Een leerlijn voor ruimtemeetkunde
advertisement
SECUNDAIR ONDERWIJS RUIMTEMEETKUNDE Vakoverleg voor leraren derde graad aso/kso/tso met leerplan a Diocesane begeleiding wiskunde maart 2014 1 Inhoudstafel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Overleg in groepjes Overzicht leerplandoelstellingen ruimtemeetkunde Uit het leerplan tweede graad (leerweg 5, leerplan a) Een groot deel ruimtemeetkunde derde graad_leerplan a in een notendop Twee opwarmers Meetkundeopdrachten en GeoGebra 3D als meerwaarde Een knipoog naar ‘omwentelingslichamen’ Oplossingsstrategie is prioritair Differentiatie 2 P3 P4-7 p7-8 P9-13 p14-16 p17-27 p28-30 p31 p32-33 4 Een groot deel ruimtemeetkunde derde graad_leerplan a in een notendop 4.1 Vectoren, coördinaten en afstand 1. Coördinaten van een willekeurig punt P in de ruimte Ten opzichte van een positief georthonormeerd xyz -assenstelsel geldt voor een willekeurig punt P dat OP x ex y ey z ez . Kort wordt dit P x, y, z met ex 1,0,0 , ey 0,1,0 , ez 0,0,1 . OP wordt een gebonden vector genoemd (gebonden aan de oorsprong O). Bijgevolg is OP x 2 y 2 z 2 zodat OP 2 x2 y 2 z 2 . 2. Coördinaten van een vrije vector PQ in de ruimte. Hierbij is P x1 , y1 , z1 en Q x2 , y2 , z2 . Aangezien PQ PO OQ OQ OP geldt dat PQ x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . Bijgevolg is PQ x2 x1 y2 y1 z2 z1 en dus is 2 2 PQ 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2 2 2 . 3. Midden M van PQ met P x1 , y1 , z1 en Q x2 , y2 , z2 1 PM MQ zodat hieruit volgt dat OM OP OQ . 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , 2 2 2 Bijgevolg is M 4. Zwaartepunt Z van een driehoek PQR met P x1 , y1 , z1 , Q x2 , y2 , z2 en R x3 , y3 , z3 Noem M het midden van PQ , dan is ZR 2 MZ . Hieruit volgt dat 1 x x x y y2 y3 z1 z2 z3 OZ OP OQ OR . Bijgevolg is Z 1 2 3 , 1 , . 3 3 3 3 5. Zwaartepunt Z van een viervlak PQRS met P x1 , y1 , z1 , Q x2 , y2 , z2 ,R x3 , y3 , z3 en S x4 , y4 , z4 Noem T het zwaartepunt van driehoek PQR , dan is ZS 3 TZ . Hieruit volgt dat OZ 1 OP OQ OR OS . 4 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4 , , . 4 4 4 Bijgevolg is Z 9 2 Overzicht leerplandoelstellingen ruimtemeetkunde Het is niet de bedoeling in de eerste graad een systematische studie te maken van ruimtemeetkunde. De behandeling is zeer intuïtief en gebruikt slechts een minimaal aantal begrippen. De aanschouwelijkheid wordt best ondersteund door het gebruik van materiaal. In Technologische opvoeding worden leerlingen geconfronteerd met het voorstellen (in perspectief en met aanzichten) van ruimtefiguren. Het is zinvol de daar overeengekomen conventies te respecteren. In het basisonderwijs werd voor het berekenen van het volume van ruimtefiguren hoofdzakelijk gewerkt met de formule oppervlakte grondvlak maal hoogte. Ook hier ligt de nadruk op het gebruik van de formules in realiteitsgebonden situaties. Eerste graad A-stroom 1ste leerjaar - In de ruimte evenwijdige en snijdende herkennen - Op een ruimtefiguur kruisende rechten herkennen (V) - Aan de hand van een schets of een tekening een kubus, een balk, een recht prisma en een cilinder herkennen - Een kubus, een balk en een recht prisma voorstellen in een perspectieftekening (bijvoorbeeld cavalièreperspectief of isometrisch perspectief) (V) - Een ontwikkeling van een kubus en een balk tekenen - Een ontwikkeling van een cilinder en een recht prisma tekenen (U) - Een ontwikkeling van een cilinder en een recht prisma tekenen (U) - Van een ruimtelijke figuur opgebouwd uit twee of meer kubussen en voorgesteld in een vlakke tekening verschillende aanzichten tekenen (V) - Vraagstukken over de oppervlakte en het volume van een kubus, een balk en een cilinder oplossen - De formules voor de oppervlakte en het volume van een kubus, een balk en een cilinder kennen en toepassen in vraagstukken - Vraagstukken over de oppervlakte en het volume van een recht prisma oplossen (U) - Een strategie ontwikkelen om de oppervlakte te berekenen van een samengestelde figuur en een onregelmatige figuur en die berekening uitvoeren - Technieken van schatten gebruiken om lengte, oppervlakte en volume te schatten en die techniek gebruiken als controle van resultaten 2de leerjaar - Zich vanuit diverse vlakke weergaven een beeld vormen van een eenvoudige ruimtelijke figuur - Aangeven welke informatie verloren is gegaan in een perspectieftekening, een projectietekening van een van een driedimensionale situatie (B) - Aangeven welke informatie verloren is gegaan in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie - Aan de hand van een schets of een tekening een kegel, een piramide en een bol herkennen - Technieken van schatten gebruiken om lengte, oppervlakte en volume te schatten en die techniek gebruiken als controle van resultaten - Vraagstukken in verband met het volume van een kegel, een piramide en een bol oplossen (U) 4 De leerlingen bezitten vanuit de eerste graad een aantal methoden en voorstellingstechnieken om ruimtelijke situaties te beschrijven. De eigenschappen, nu nog vaak in de vlakke meetkunde geformuleerd, moeten waar zinvol in ruimtelijke situaties geïllustreerd worden en bij het oplossen van ruimtelijke problemen toegepast worden. De meetkunde dient zo opgebouwd te worden dat de leerlingen zelf een grote inbreng hebben in het onderzoeken van meetkundige figuren en hun eigenschappen, het formuleren van vermoedens en verklaringen. Tweede graad 1ste leerjaar ASO - Eenvoudige problemen oplossen in verband met ruimtelijke situaties met behulp van eigenschappen van vlakke figuren - De inhoud van sommige ruimtefiguren benaderend berekenen, door ze op te splitsen in of aan te vullen tot gekende ruimtefiguren - Het effect op de oppervlakte en de inhoud van een ruimtefiguur berekenen bij schaalverandering. 1ste leerjaar TSO/KSO - Gebruik maken van schetsen en tekeningen bij het oplossen van problemen gesteld in vlakke en beperkte ruimtelijke situaties - Gebruik maken van begrippen en elementaire eigenschappen bij het oplossen van problemen in vlakke en ruimtelijke situaties 2de leerjaar ASO, TSO a - In concrete ruimtelijke situaties de onderlinge ligging van twee rechten, van een rechte en een vlak, en van twee vlakken onderzoeken en ruimtelijk voorstellen - Eigenschappen over de ligging van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren - Met voorbeelden illustreren dat informatie verloren gaat bij het voorstellen in twee dimensies van een driedimensionale situatie of: situaties waarin de ruimtelijke onderlinge ligging van rechten niet getrouw wordt weergegeven in een vlakke voorstelling ervan, ruimtelijk aanwijzen en in een tekening voorstellen - Eenvoudige problemen oplossen in verband met ruimtelijke situaties door gebruik te maken van eigenschappen van vlakke figuren - In concrete situaties op een gegeven ruimtelijke voorstelling de doorsnede bepalen van een veelvlak met een vlak (U_ASO 4) 2de leerjaar TSO/KSO b,c,d Het leerplan voorziet ‘woordelijk’ in dezelfde leerplandoelstellingen als in het 1ste leerjaar. 5 Derde graad Betreft ASO a en KSO/TSO a: het verplichte onderdeel van de meetkunde van de derde graad bouwt verder op de ruimtemeetkunde. Daarvoor is in het verleden al een solide basis gelegd. Zoals in de tweede graad zal de vlakke meetkunde geregeld aan bod komen in ruimtelijke toepassingen, maar ook bij het onderzoeken van mogelijke veralgemeningen van vlakke naar ruimtelijke situaties. In de derde graad worden een aantal nieuwe middelen aangebracht, zodat de leerlingen wezenlijk over drie fundamentele werkwijzen beschikken: een synthetische aanpak, een analytische aanpak en een werkwijze met vectoriële middelen. Door ervaring moeten de leerlingen leren welke aanpak geëigend is in welke situatie. ASO a, KSO/TSO a - Vectoren en coördinaatgetallen gebruiken om punten te bepalen in de ruimte - Vectoren en coördinaatgetallen en de bewerkingen ervan gebruiken om problemen in ruimtelijke situaties op te lossen - Eigenschappen over de ligging van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren - Rechten en vlakken door vergelijkingen voorstellen en hun onderlinge ligging bespreken - Afstanden tussen punten, rechten en vlakken berekenen - Hoeken tussen rechten, tussen rechten en vlakken en tussen vlakken berekenen - Meetkundige problemen met diverse hulpmiddelen voorstellen en oplossen De leerlingen ervaren snel de kracht van de analytische methode. Ze moeten echter ook inzien dat ook deze methode haar beperkingen heeft, en dat de ‘oude’ synthetische aanpak soms een meer aangewezen werkwijze is. Goed gekozen voorbeelden zullen de leerlingen laten inzien dat deze synthetische aanpak een sterk hulpmiddel blijft bij het argumenteren van een bewering. Bij het oplossen van een meetkundig probleem maken de leerlingen dus gebruik van analytische hulpmiddelen, van meetkundige redeneringen en van een schets die deze redeneringen en berekeningen ondersteunt. ASO a - De basiseigenschappen van een reële vectorruimte (beperkt tot dimensie twee en drie) formuleren en gebruiken - De onderlinge ligging van een bol en een rechte en van een bol en een vlak onderzoeken (U) - Enkele krommen en oppervlakken (analytisch) beschrijven (U) - Transformaties in de ruimte beschrijven (U) ASO b,c (keuze) - Eigenschappen over de loodrechte stand van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren - In een concrete probleemstelling op een ruimtelijke voorstelling de doorsnede bepalen van een veelvlak met een vlak - Problemen oplossen in verband met ruimtelijke situaties door gebruik te maken van eigenschappen van vlakke figuren - Veelvlakken en hun eigenschappen onderzoeken - Eenvoudige meetkundige problemen in verband met veelvlakken oplossen 6 De leerlingen beschikken over een ruime kennis van eigenschappen uit de vlakke meetkunde en de driehoeksmeetkunde. Ze kunnen hier toegepast worden op problemen in ruimtelijke situaties. Ten aanzien van de tweede graad kunnen zowel problemen i.v.m. loodrechte stand in ruimtelijke situaties als meer complexe problemen aan bod komen. Het blijft daarbij zinvol voldoende aandacht te besteden aan het zichtbaar maken van de vlakke situaties waarin de eigenschappen worden toegepast. Op zich versterkt dit al het ruimtelijk inzicht en het ruimtelijk voorstellingsvermogen. TSO/KSO b,c zie 2de graad: 2de leerjaar TSO a Verplicht voor: Beeldende vorming (b-leerplan); architecturale en binnenhuiskunst en industriële ICT (c-leerplan) als vanuit het complementair gedeelte een (of twee) bijkomende lestijd(en) wordt/worden ingericht. Keuze voor: Bouw- en houtkunde, elektriciteit en elektronica, elektromechanica, vliegtuigtechnieken en grafische wetenschappen (b-leerplan); druk- en afwerkingstechnieken, drukvoorbereidingstechnieken en multimediatechnieken (cleerplan) 3 Uit het leerplan tweede graad (leerweg 5, leerplan a) Eigenschappen over de ligging van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren De bedoeling is elementaire eigenschappen te verwerven die inzicht geven in de ligging van rechten en vlakken ten opzichte van elkaar. Deze eigenschappen kunnen gebruikt worden bij het onderzoeken van ruimtefiguren (bijv. welke consequenties heeft het evenwijdig zijn van grondvlak en bovenvlak van een ruimtefiguur op de snijlijnen met de zijvlakken). Vandaar dat het zinvol is deze eigenschappen zelf in concrete ruimtelijke situaties te ontwikkelen. Zo kunnen een aantal eigenschappen ontdekt worden door de doorsnede van een kubus of een balk met een vlak te onderzoeken. Deze eigenschappen worden gebruikt om constructies en redeneringen te verklaren. In het kader van het ontwikkelen van redeneervaardigheden kunnen een aantal eigenschappen ook bewezen worden. Hierbij wordt lokaal deductief gewerkt, d.w.z. dat men werkt tegen de achtergrond van een aantal aanvaarde grondeigenschappen. Voor de loodrechte stand van rechten, van een rechte en een vlak en van vlakken, die hier voor het eerst aan bod komen, kan het intuïtieve inzicht geëxpliciteerd worden in een aantal elementaire eigenschappen. Bewijzen van de eigenschappen kunnen in de derde graad aan bod komen. De (nieuwere) eigenschappen over loodrechte stand van rechten en vlakken kan men vooral ‘onderzoekend veralgemenen’, waar de eigenschappen over evenwijdigheid van rechten en vlakken voor bewijzen kunnen gebruikt worden Zoals voor de vlakke meetkunde kunnen een aantal van de onderzochte eigenschappen opgenomen worden in een gereedschapskist voor de ruimtemeetkunde. Dit kan bijvoorbeeld gebruikt worden bij het oplossen van nieuwe problemen. Het vormt ook de onderbouw voor het werkkader dat in de derde graad aan bod zal komen. 7 Gereedschapskist meetkunde De leerlingen moeten na de tweede graad beschikken over een verzameling meetkundige eigenschappen, die vlot kunnen toegepast worden bij het onderzoeken van meetkundige situaties, het verklaren van eigenschappen, het oplossen van meetkundige problemen. Een vlotte en soepele verwoording ervan en een duidelijke visuele ondersteuning kunnen de toepasbaarheid vergroten. Ze moeten een duidelijk en hanteerbaar kader vormen, waarop de leerling kan terugvallen. Dit betekent niet dat de leerlingen dergelijke overzichten moeten memoriseren. Het overzicht moet wel beschikbaar zijn. Dat kan bijvoorbeeld in de vorm van een ‘vademecum’. Zo’n lijst kan geleidelijk (gespreid over de verschillende leerjaren) en samen met de leerlingen worden opgebouwd (bijv. een synthesetaak na een hoofdstuk). Gereedschapskist, in het bijzonder voor ruimtemeetkunde Een vlak wordt bepaald door drie niet-collineaire punten; twee snijdende rechten; twee nietsamenvallende evenwijdige rechten en een rechte en een punt buiten die rechte. Als een rechte twee punten gemeen heeft met een vlak, dan ligt die rechte in dat vlak. Verschillende rechten zijn of snijdend, of evenwijdig, of kruisend. Als twee rechten evenwijdig zijn met een zelfde derde, dan zijn ze ook onderling evenwijdig. Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan ligt de rechte die door een punt van dat vlak gaat en evenwijdig is met de gegevens rechte volledig in dat vlak. Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken dan is ze evenwijdig met hun snijlijn. Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn beide vlakken evenwijdig. Als twee vlakken evenwijdig zijn met eenzelfde derde vlak dan zijn ze ook onderling evenwijdig. Als een vlak twee evenwijdige vlakken snijdt, dan zijn de snijlijnen evenwijdig. Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt dit vlak ook de andere rechte. Als een vlak één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt het ook het andere vlak en de snijlijnen zijn evenwijdig. Een rechte staat loodrecht op een vlak als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak. Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als in het ene vlak een rechte ligt die loodrecht staat op het andere vlak. …. Waar of niet waar? Illustreer met een tekening 1 2 3 4 5 6 Als een rechte p die in het vlak ligt, evenwijdig is met een vlak , dan ben je zeker dat evenwijdig is met . Als een rechte p evenwijdig is met het vlak , en het vlak is evenwijdig met het vlak , dan is de rechte p evenwijdig met het vlak . Als twee evenwijdige rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn beide vlakken evenwijdig. Als een vlak evenwijdig is met één van twee evenwijdige vlakken, dan is het evenwijdig met het andere vlak. Als de rechte a loodrecht staat op het vlak en de rechte a ligt in het vlak , dan staan de vlakken en loodrecht op elkaar. Als een rechte loodrecht staat op de snijlijn van twee vlakken, dan staan ze loodrecht op beide vlakken. a en b zijn twee kruisende rechten en het punt P ligt niet op a en niet op b. Hoe kan je een vlak bepalen dat door P gaat en evenwijdig is met de rechten a en b? 8 4 Een groot deel ruimtemeetkunde derde graad_leerplan a in een notendop 4.1 Vectoren, coördinaten en afstand 1. Coördinaten van een willekeurig punt P in de ruimte Ten opzichte van een positief georthonormeerd xyz -assenstelsel geldt voor een willekeurig punt P dat OP x ex y ey z ez . Kort wordt dit P x, y, z met ex 1,0,0 , ey 0,1,0 , ez 0,0,1 . OP wordt een gebonden vector genoemd (gebonden aan de oorsprong O). Bijgevolg is OP x 2 y 2 z 2 zodat OP 2 x2 y 2 z 2 . 2. Coördinaten van een vrije vector PQ in de ruimte. Hierbij is P x1 , y1 , z1 en Q x2 , y2 , z2 . Aangezien PQ PO OQ OQ OP geldt dat PQ x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . Bijgevolg is PQ x2 x1 y2 y1 z2 z1 en dus is 2 2 PQ 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2 2 2 . 3. Midden M van PQ met P x1 , y1 , z1 en Q x2 , y2 , z2 1 PM MQ zodat hieruit volgt dat OM OP OQ . 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , 2 2 2 Bijgevolg is M 4. Zwaartepunt Z van een driehoek PQR met P x1 , y1 , z1 , Q x2 , y2 , z2 en R x3 , y3 , z3 Noem M het midden van PQ , dan is ZR 2 MZ . Hieruit volgt dat 1 x x x y y2 y3 z1 z2 z3 OZ OP OQ OR . Bijgevolg is Z 1 2 3 , 1 , . 3 3 3 3 5. Zwaartepunt Z van een viervlak PQRS met P x1 , y1 , z1 , Q x2 , y2 , z2 ,R x3 , y3 , z3 en S x4 , y4 , z4 Noem T het zwaartepunt van driehoek PQR , dan is ZS 3 TZ . Hieruit volgt dat OZ 1 OP OQ OR OS . 4 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4 , , . 4 4 4 Bijgevolg is Z 9 4.2 Vergelijkingen van rechten en vlakken 1. Rechte door de oorsprong 2. Rechte niet door de oorsprong Px, y, z variabel punt van r0 , OS a, b, c richtingsvector van r0 S O Px, y, z variabel punt van r , OS a, b, c richtingsvector van r, P1 x1 , y1 , z1 vast punt van r. Vectorieel: Vectorieel: OP OP1 k OS met k een reële OP k OS met k een reële parameter parameter x k a Parametrisch: y k b z k c x x1 k a Parametrisch: y y1 k b z z k c 1 x y z a b c mits a, b, c 0 Cartesiaans: Bijzondere gevallen: er zijn er 6 in totaal! vb1: a =b= 0 r0 z as met als stelsel Bijzondere gevallen: er zijn er 6 in totaal! vb1: a =b= 0 r // z as met als stelsel x x1 y y1 z z1 a b c mits a, b, c 0 2. Cartesiaans: x 0 y 0 x x1 y y1 cartesiaanse vergelijkingen cartesiaanse vergelijkingen vb2: c=0 r0 is een rechte door O gelegen in het xy-vlak met als stelsel cartesiaanse vb2: c=0 r is een rechte evenwijdig aan het xy-vlak met als stelsel cartesiaanse x x1 y y1 vergelijkingen a b z z1 x y vergelijkingen a b z 0 3. Vergelijkingen van rechten - van cartesiaans naar parametrisch - van parametrisch naar cartesiaans Werken met rechten: bij voorkeur parametrisch (zie verder bij toepassingen)! 10 4. Onderlinge ligging van twee rechten r en s x1 ka1 x 2 la 2 Redenering via y1 kb1 y 2 lb2 geeft aanleiding tot z kc z lc 1 2 2 1 a1 b 1 c1 a2 b2 c2 x2 x1 y2 y1 . z 2 z1 Handige criteria zijn dan: Is a2 , b2 , c2 t a1 , b1 , c1 én - Is a2 , b2 , c2 t a1 , b1 , c1 én - a1 b1 c1 a2 b2 c2 x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 5. Vlak door de oorsprong 0 , dan zijn r en s snijdend 6. Vlak niet door de oorsprong Px, y, z variabel punt van , Px, y, z variabel punt van 0 , 0 , dan zijn r en s kruisend onafhankelijke richtingsvectoren van 0 OS1 a1 , b1 , c1 en OS 2 a2 , b2 , c2 lineair onafhankelijke richtingsvectoren van en P1 x1 , y1 , z1 vast punt van Vectorieel: Vectorieel: OS1 a1 , b1 , c1 en OS 2 a2 , b2 , c2 lineair OP k OS1 l OS2 met k en l reële OP OP1 k OS1 l OS2 met k en l reële parameters parameters x k a1 l a2 Parametrisch: y k b1 l b2 z k c l c 1 2 x x1 k a1 l a2 Parametrisch: y y1 k b1 l b2 z z k c l c 1 1 2 x y z Cartesiaans: a1 b1 c1 0 a2 b2 c2 Cartesiaans: x x1 y y1 z z1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 7. Vergelijkingen van vlakken: - van cartesiaans naar parametrisch van parametrisch naar cartesiaans Werken met vlakken: bij voorkeur cartesiaans (zie verder bij toepassingen)! 11 0 8. Onderlinge ligging van een rechte r en een vlak x x1 k a Stel r y y1 k b en ux vy wz t 0 z z k c 1 met a, b, c en u, v, w 0,0,0 en k IR De onderlinge ligging wordt beredeneerd uit u a v b w c k ux1 vy1 wz1 t 0 Is u a v b w c 0 dan is r // (in geval P1 x1 , y1 , z1 ) of r (in geval P1 x1 , y1 , z1 ) Is u a v b w c 0 dan snijden r en elkaar in een punt S 9. Onderlinge ligging van twee vlakken Stel u1 x v1 y w1 z t1 0 en u2 x v2 y w2 z t2 0 met u1, v1, w1 en u2 , v2 , w2 0,0,0 u2 , v2 , w2 , t2 k u1 , v1 , w1 , t1 met k 0 // u2 , v2 , w2 k u1 , v1 , w1 en t2 k t1 met k 0 s u2 , v2 , w2 k u1 , v1 , w1 10. Vlakkenwaaier u1 x v1 y w1 z t1 0 r u2 x v2 y w2 z t 2 0 M1: wr k u1 x v1 y w1 z t1 l u2 x v2 y w2 z t2 0 M2: wr u1 x v1 y w1 z t1 l u2 x v2 y w2 z t2 0 . Deze waaier bevat echter het vlak u2 x v2 y w2 z t 2 0 niet! 12 4.3 Afstanden en hoeken in de ruimte 1 Scherpe hoek tussen twee rechten l en m rich l a1 , b1 , c1 en rich m a2 , b2 , c2 zodat cos a1 a2 b1 b2 c1 c2 a12 b12 c12 a22 b22 c22 2 Loodrechte stand van twee rechten l en m rich l a1 , b1 , c1 en rich m a2 , b2 , c2 zodat l m a1 a2 b1 b2 c1 c2 0 3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten 4 Loodrechte stand van een rechte l en een vlak rich l a, b, c en ux vy wz t 0 l a, b, c k u, v, w met k 0 5 Loodlijn l uit een punt P op een vlak Px1 , y1 , z1 x x1 k u en ux vy wz t 0 zodat l y y1 k v z z k w 1 6 Loodvlak uit een punt P op een rechte l 7 Scherpe hoek tussen twee vlakken en Px1 , y1 , z1 en rich l a, b, c zodat a x x1 b y y1 c z z1 0 u1 x v1 y w1 z t1 0 en u2 x v2 y w2 z t2 0 zodat u1 u2 v1 v2 w1 w2 cos 2 u1 v12 w12 u22 v22 w22 8 Loodrechte stand van twee vlakken en u1 x v1 y w1 z t1 0 en u2 x v2 y w2 z t2 0 zodat u1 u2 v1 v2 w1 w2 0 9 Scherpe hoek tussen een rechte l en een vlak rich l a, b, c en ux vy wz t 0 zodat sin a u bv c w a 2 b 2 c 2 u 2 v 2 w2 10 Afstand van een punt P tot een vlak Px1 , y1 , z1 en ux vy wz t 0 zodat d P, 13 ux1 vy1 wz1 t u 2 v 2 w2 5 Twee opwarmers O1 ABCD met ribbe 6 bevinden zich twee mieren. Bij het hoekpunt A van een kubus PQRS 1 2 De ene kruipt in rechte lijn van A naar het midden M van [PQ] en vandaar naar het midden N van [QR]. De tweede gaat van A naar Q en dan naar N. Welke mier legt de kortste afstand af ? Een derde mier neemt de kortst mogelijke weg van A naar N. Bereken de afstand van deze kortst mogelijke weg. O2 ABCD met ribbe 6 geldt dat Q, R en S vaste punten op de ribben zijn zodat Voor de kubus EFGH AQ 2 QE , AR 5 RB en SH 2 SE . Bepaal een punt P op BC zodat PQ en RS elkaar snijden. 14 O1: synthetisch – analytisch O2 Methode 1: analytisch, met DA, DC, DH als xyz-assenstelsel Q6,0,4, R6,5,0, S 4,0,6, Pk ,6,0 , maak gebruik van het criterium voor snijdende rechten k 6 6 4 Als k 6,6,4 r 2,5,6 en 2 5 6 0 PQ en RS zijn snijdende rechten 1 0 1 26 Dit geeft aanleiding tot 26 5k 0 zodat P ,6,0 . 5 Methode 2: analytisch, met DA, DC, DH als xyz-assenstelsel Het punt P is het snijpunt van de rechte BC met het vlak QRS x k BC y 6 z 0 x6 vl QRS y z4 0 5 4 0 1 0 1 vlQRS 5x 4 y 5z 50 0 x k y 6 P z 0 5 x 4 y 5 z 50 0 zodat 5k 26 0 . 26 Bijgevolg: P ,6,0 5 15 Methode 3: synthetisch Gebruik makend van meetkundig inzicht én gelijkvormige driehoeken! 16 6 Meetkundeopdrachten en GeoGebra 3D als meerwaarde Overzicht O1: O2: O3: O4: O5: O6: O7: O8: O9: Doorsnede van een kubus met een vlak bepaald door drie punten Doorsnede van een kubus met een vlak, meer complexe situatie Bepalen van een rechte die twee kruisende rechten snijdt volgens een gegeven richting Extremumvraagstuk Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Loodvlak uit een punt op een rechte Scherpe hoek tussen twee overstaande zijvlakken bij een regelmatige vierzijdige piramide Bepalen van een vlak door twee punten en loodrecht op een ander vlak Een zadeloppervlak 17 O1: Doorsnede van een kubus met een vlak bepaald door drie punten O2: Doorsnede van een kubus met een vlak, meer complexe situatie EFGH met ribbe 4. P is het midden van EH en Q is het midden van HG . Gegeven is de kubus ABCD Deel 1 Het vlak omvat de rechte PQ omvat en is evenwijdig met HB. EFGH Teken de doorsnede van en ABCD We bepalen een cartesiaanse vergelijking van P2,0,4 ; Q0,2,4; B4,4,0 en H 0,0,4 x2 y z4 1 1 0 0 of x y 2 z 10 0 1 1 1 Alternatief: bepalen via een vlakkenwaaier die de rechte PQ omvat. In deze waaier is er juist één vlak dat evenwijdig is met HB. 18 Deel 2 Snijpunten van met de assen bepalen: R10,0,0 ; S 0,10,0 en T 0,0,5 Doorsnede 19 Uitdaging: deze opdracht kan ook louter synthetisch opgelost worden! 20 Alternatieve synthetische methode! HB ligt in het vlak ABGH. De snijlijn van dit vlak met het vlak loopt evenwijdig met HB. Hierdoor vinden we het snijpunt R van AB met . HB ligt in het vlak BCHE. De snijlijn van dit vlak met het vlak loopt evenwijdig met HB. Hierdoor vinden we het snijpunt S van BC met . We verkrijgen de snijlijn RS met het grondvlak. Nu kunnen we de doorsnede construeren. Als we alle constructielijnen zichtbaar laten krijgen we volgende figuur. 21 O3 Bepalen van een rechte die twee kruisende rechten snijdt volgens een gegeven richting 5 3 x 3 x k 2 2 Gegeven zijn de kruisende rechten l y 2k en m y r . 3 1 z r z 3k 2 y z Bepaal een punt L op l en een punt M op m zodat LM evenwijdig is met p x . 6 2 Methode 1 1 3 5 2 L k ,2k , 3k , M , r ,r 2 2 3 3 1 k t 6 2 1 2 1 k ,2k r ,3k r t 1,6,2 2k r 6t 3 2 3 6 1 3k r 2t 2 1 k 2 1 r 3 1 t 3 1 1 1 Hieruit volgt L2,1,1 en M , , . 2 3 3 Methode 2 Interpreteer LM als de snijlijn s van twee vlakken en . wordt bepaald door een punt op l , rich l en rich p, door een punt op m, rich m en rich p. x x 1 y 1 z 2 1 2 3 1 6 2 0, 5 3 y 2 3 z 0 1 1 0 1 6 2 Dan is L het snijpunt van l en s, M het snijpunt van m en s. 22 O4 Extremumvraagstuk Van de piramide TABCD ligt de top T op hoogte 12 boven het grondvlak ABCD. Het grondvlak is een rechthoek met afmetingen AB 12 en BC 9 . De hoogte van de piramide is TO . O ligt op BD zodanig dat BO 2 DO . Een vlak evenwijdig met het grondvlak snijdt de piramide volgens de rechthoek EFGH. EFGH waarbij IJKL in het grondvlak van de Deze rechthoek is het bovenvlak van een balk IJKL piramide ligt. Op welke hoogte dient het vlak aangebracht te worden zodat de inhoud van de balk maximaal is? 23 O5 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Methode 1 O0,0,0, E4,0,4 , B4,4,0 , H 0,0,4 . Stel OE en BH parametrisch voor. Punt P van OE heeft als coördinaat k ,0, k , punt Q van BH heeft als coördinaat l , l ,4 l PQ OE k l ,l , k l 4 1,0,1 0 k 2 PQ BH k l ,l , k l 4 1,1,1 0 4 l 3 4 4 8 Besluit: P2,0,2 , Q , , 3 3 3 Methode 2 Zie de opdracht als een analoog verhaal als: bepaal een rechte die twee gegeven kruisende rechten snijdt volgens een gegeven richting. Het verschil is dat hier die ‘gegeven richting’ nog dient bepaald te worden. rich OE 1,0,1 , rich BH 1,1,1 Voor de richtingsgetallen van de gemeenschappelijke loodlijn a, b, c geldt dat a r a c 0 b 2r . a b c 0 c r Hierna komen we terecht in de oplossingstechniek(en) zoals geïllustreerd in O3. 24 O6 Loodvlak uit een punt op een rechte Er zijn drie manieren om de afstand van een punt tot een rechte analytisch te berekenen. Derde methode: gebruik van analyse x 5z 4 0 . Voor een punt L van l geldt: L4 5k ,2 k , k P2,1,1 en l x 2 y 3z 0 PL 2 5k 2 1 k 2 k 12 PL 27k 2 20k 6 2 PL is minimaal van zodra dat PL minimaal is. d 10 is PL minimaal. 27k 2 20k 6 54k 20 . Voor k dk 27 100 200 d P , l 6 27 27 d P , l 62 27 O7 Scherpe hoek tussen twee overstaande zijvlakken bij een regelmatige vierzijdige piramide Methode 1 Analytisch Ten opzichte van een goed gekozen assenstelsel worden de gegevens gecoördinatiseerd en een cartesiaanse vergelijking van de betreffende vlakken wordt opgesteld. Vervolgens gebruik je de formule cos u1 u2 v1 v2 w1 w2 u12 v12 w12 u22 v22 w22 Methode 2 Synthetisch Bepaal de snijlijn van de gegeven vlakken. Neem in elk vlak een rechte die loodrecht staat op deze snijlijn. De hoek is de hoek tussen deze twee loodlijnen op de snijlijn. 25 O8 Bepalen van een vlak door twee punten en loodrecht op een ander vlak Bepaal een cartesiaanse vergelijking van het vlak dat de punten A4,0,0 en B4,0,4 bevat en loodrecht staat op het vlak x y z 0 Methode 1 x4 y z 0 0 1 0 zodat x y 4 0 1 1 1 Methode 2 Stel ux vy wz t 0 A 4u t 0, B 4u 4w t 0 u v w0 k u 4 4u t 0 k 4u 4 w t 0 v 4 u v w 0 w 0 t k k x y 4 0 met k 0 . Neem dan x y 4 0 . 4 Methode 3 Werk met een vlakkenwaaier welke de rechte AB omvat en steun op de loodrechte stand van twee vlakken. x 4 AB y 0 z k w AB r x 4 s y 0 r, s,0 1,1,1 0 r s 0 Stel r s 1 . Het gevraagde vlak heeft als cartesiaanse vergelijking x y 4 0 . 26 O9 Een zadeloppervlak Bepaal de meetkundige plaats van de punten Px, y, z die op gelijke afstand liggen van de kruisende x r x s rechten l y r en m y s . z 1 z 1 Stel Lr , r ,1 , M s,s,1 respectievelijke punten van l en m. PL x r y r z 1 2 2 2 2 PM x s y s z 1 PL l x r , y r , z 1 1,1,0 0 x y r 2 PM m x s, y s, z 1 1,1,0 0 x y s 2 xy 2 2 PL PM z 2 2 2 2 2 27 7 Een knipoog naar ‘omwentelingslichamen’ Laat men het gebied begrensd door de grafiek van een continue functie f met als voorschrift y f x over a, b wentelen om de x-as, dan verkrijgt men een omwentelingslichaam. Bij het wentelen om de x-as beschrijft een punt Px, y , dat ligt op de grafiek van y f x , een cirkelbeweging waarvan het vlak van de beweging een vlak is dat evenwijdig is met het YZ-vlak. Een stelsel parametervergelijkingen van het verkregen omwentelingslichaam is dan van de vorm x t y f t cos met t a, b en 0,2 . z f t sin Parametrisch: z x t 2 4 y t t cos 2 4 z t t sin y Cartesiaans: y 2 z 2 x2 x4 x 28 We kunnen ook gebruik maken van een stelsel parametervergelijkingen van een gegeven vlakke kromme (in plaats van een gegeven functievoorschrift). Bijvoorbeeld om een ellipsoïde voor te stellen kunnen we als volgt te werk gaan. Beschouw de ellips E met halve grote as 5 en halve kleine as 3. Een stelsel parametervergelijkingen van deze x 5 cos t ellips is met t 0,2 . y 3 sin t x 5 cos t Een stelsel parametervergelijkingen van de gevraagde ellipsoïde is dan y 3 sin t . cos . z 3 sin t . sin Hierbij zijn t , 0,2 . Een cartesiaanse vergelijking verkrijgen we als volgt: y 2 z 2 9 sin 2 , samen met x 2 25 cos 2 levert dit dan x2 y2 z 2 1 of nog 9 x 2 25 y 2 25z 2 225 0 . 25 9 De gevraagde ellipsoïde kunnen we als volgt voorstellen. 29 Een illustratie van voorgaand principe is het voorstellen van een torus. Beschouw een cirkel met als middelpunt M 0,3 en straal r = 1. Deze cirkel wentelt om de x-as. Een stelsel parametervergelijkingen van deze cirkel is van de x cos t met t 0, 2 . y 3 sin t vorm Een stelsel parametervergelijkingen van de torus is dan x cos t y 3 sin t cos met t , 0,2 . z 3 sin t sin Een cartesiaanse vergelijking: y 2 z 2 3 1 x 2 . 2 Hieruit volgt dat x 2 y 2 z 2 10 6 1 x 2 zodat x 2 y 2 z 2 10 De gevraagde torus kunnen we als volgt voorstellen z y x 30 2 36 36 x 2 . 8 Oplossingsstrategie is prioritair Voorbeeld Voorbeelden in verband met ‘Krijgen de leerlingen opdrachten te verwerken waarbij het bepalen van een oplossingsstrategie prioritair is en het rekenwerk op de ‘achtergrond’ mag uitgevoerd worden?’ 1. Hoe bepaal je een punt dat op een gegeven rechte ligt en even ver van twee gegeven punten? 2. Hoe bepaal je een rechte die door een gegeven punt gaat, een gegeven rechte snijdt en loodrecht op een andere gegeven rechte staat? 3. Twee kruisende rechten a en b snijden een vlak . Hoe bepaal je twee vlakken, een dat a omvat en een dat b omvat, zodat de snijlijn in ligt? 4. Hoe bepaal je een rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte r en twee gegeven kruisende rechten a en b snijdt? 5. Hoe bepaal je een rechte r die twee gegeven kruisende rechten a en b snijdt en evenwijdig is met twee gegeven snijdende vlakken? 6. Hoe bereken je de afstand tussen de kruisende rechten a b x 3 y 1 z 2 en 2 x 1 y 5 3 z? 3 2 7. Hoe bereken je de afstand van het punt P1,2,3 tot de rechte x k r y k ? z k 3x y 7 , y 3z 5 8. Hoe toon je aan dat de rechten a 1 x y z 1, b x 2 t y 3 c y 3 t en d x 2 z een parallellogram bepalen? 3 z t 9. Hoe bepaal je vergelijkingen van de raakvlakken aan de bol x 2 y 2 z 2 2 x 8 y 4 z 4 0 die loodrecht staan op de rechte x 2 0 ? l 4 y 3z 4 0 10. Gegeven de rechte x 3 2t r yt z 2t en het vlak x z 5 0 . Hoe bepaal je cartesiaanse vergelijkingen van alle vlakken die de rechte r omvatten en met een hoek van 60° maken? 31 9 Differentiatie Voorbeeld 1 Elke keuze staat op evenveel punten. Leerlingen beantwoorden één keuze. Keuze 1 Stel de determinantvergelijking op van een vlak bepaald door een punt P x1 , y1 , z1 en twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren s1 a1 , b1 , c1 en s2 a2 , b2 , c2 . Keuze 2 Bewijs: twee rechten a (door P1 x1 , y1 , z1 en met richtingsvector s1 a1 , b1 , c1 ) en b (door P2 x2 , y2 , z2 en met richtingsvector s2 a2 , b2 , c2 ) zijn kruisend als en slechts als a1 b1 c1 a2 b2 c2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 Keuze 3 Behandel de (scherpe) hoek tussen twee snijdende vlakken Voorbeeld 2 Uit onderstaande keuzemogelijkheden dien je er twee te kiezen. Keuze 1 Bepaal vergelijkingen van de raakvlakken aan de bol x 2 y 2 z 2 2 x 8 y 4 z 4 0 die x 2 0 . 4 y 3z 4 0 loodrecht staan op de rechte l Keuze 2 Bepaal een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de rechte a die door het punt A(1, 2, 0) gaat, evenwijdig is met het vlak y 3z 2 0 en loodrecht staat op de rechte x 4 y 1 0 . b y z 2 0 Keuze 3 Bepaal een vergelijking van het vlak dat de rechte a staat op het vlak 7x-3y+5z+2=0. 32 x 1 y 3 z 2 omvat en loodrecht 2 1 5 Voorbeeld 3 Elke keuze staat op een verschillend aantal punten, naargelang de moeilijkheidsgraad. Leerlingen beantwoorden één keuze. Keuze 1 /14 7 x 2 y 7 0 x 2 y 7 z 1 en b . 2 7 3 3x 2 z 7 0 Toon aan dat a en b een vlak bepalen. Bepaal een cartesiaanse vergelijking van dit vlak. Gegeven de rechten a Keuze 2 /15 1 x r x 1 Toon aan dat de rechten a y k en b y 1 kruisend zijn. z 1 z r 2 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van een vlak dat b omvat en loodrecht staat op a. Keuze 3 /16 x y 1 omvat, snijdt de x,y, en z-as respectievelijk in de z 1 Een veranderlijk vlak dat de rechte a punten A, B en C . Bepaal de vergelijking van dit vlak zo dat het punt D, met OD OA OB OC , in het vlak 3x 2 y 4 z 7 0 ligt. Keuze 4 /20 Bewijs dat vier vlakken met als vergelijkingen ui x vi y wi z ti 0 met i 1,2,3,4, waarvan drie een punt gemeen hebben, door één punt gaan als en slechts als 33 u1 v1 w1 t1 u2 v2 w2 t2 u3 v3 w3 t3 u4 v4 w4 t4 0.
