O:\leerplan-2002\3de graad ASO-KSO-TSO

VLAAMS VERBOND VAN HET KATHOLIEK
SECUNDAIR ONDERWIJS
LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS
WISKUNDE
Derde graad KSO/TSO
Leerplan A: 6 + 2 uur/week
Leerplan B: 6 uur/week
Leerplan C: 4 uur/week
Leerplan D: 3 en 2 uur/week
Licap - Brussel D/1992/0279/023 - september 1992
INHOUD
1
BEGINSITUATIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2
DOELSTELLINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
LEERPLAN A VOOR ZES PLUS TWEE LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4
DIDACTISCHE WENKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
LEERPLAN B VOOR ZES LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4
DIDACTISCHE WENKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
LEERPLAN C VOOR VIER LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4
DIDACTISCHE WENKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
LEERPLAN D VOOR DRIE OF TWEE LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4
DIDACTISCHE WENKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5
ADDENDUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6
BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
3
3de graad KSO-TSO
1
BEGINSITUATIE
De beginsituatie voor de derde graad is afhankelijk van de gekozen studierichting in de tweede graad waarbij
drie leerplannen in aanmerking konden komen.
1
Na studierichtingen waarin het leerplan A voor 5 wekelijkse lestijden gevolgd werd
1 De leerlingen hebben de bewerkingen met reële getallen bestudeerd en de ordening van die reële getallen
onderzocht. Hierbij kwamen aan bod: ontbinding in factoren, merkwaardige producten, oplossen van
vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste graad, bewerkingen met vierkantswortels en met machten met
rationale exponenten.
2 De leerlingen hebben de Briggse logaritmen bestudeerd.
3 De leerlingen hebben cartesiaanse vergelijkingen van rechten leren opstellen en 2x2-stelsels leren oplossen.
4 De leerlingen hebben de eigenschappen van vlakke figuren benaderd vanuit congruentie en gelijkvormigheid.
5 De leerlingen hebben transformaties (verschuivingen, draaiingen, spiegelingen, projecties) gebruikt om
eigenschappen van vlakke figuren te onderzoeken.
6 De leerlingen hebben een verband gelegd tussen verschuivingen en vectoren, bewerkingen met vectoren
gemaakt en dit toegepast in meetkundige situaties.
7 De leerlingen hebben eerstegraadsfuncties en tweedegraadsfuncties bestudeerd en hun grafieken getekend.
Ze zijn vertrouwd met het verloop en de tekenverandering van veeltermfuncties. Ze kunnen vierkantsvergelijkingen en tweedegraadsongelijkheden oplossen. Ze hebben eveneens geleerd een euclidische deling op
veeltermen uit te voeren.
8 De leerlingen hebben de voornaamste begrippen uit de goniometrie bestudeerd en kunnen de betrekkingen
tussen de elementen van een driehoek toepassen. Zij hebben de functies y = a.sin[b(x + c)] bestudeerd en
de betekenis van de parameters a, b en c onderzocht.
9 De leerlingen hebben de complexe getallen bestudeerd.
10 De leerlingen hebben in verband met de voorgaande inhouden een rekentoestel leren hanteren.
2
Na studierichtingen waarin het leerplan B voor vijf wekelijkse lestijden gevolgd werd
Hier gelden dezelfde verworvenheden als in de studierichtingen waarin het leerplan A voor vijf wekelijkse
lestijden gevolgd werd uitgezonderd de onderwerpen opgesomd in 5, 6 en 9.
3
Na studierichtingen waarin het leerplan C voor drie wekelijkse lestijden gevolgd werd
1 De leerlingen hebben kennis gemaakt met de irrationale getallen en met de vierkantswortel uit een positief
reëel getal.
2 De leerlingen hebben geleerd bewerkingen uit te voeren met eentermen en veeltermen, uitgezonderd de
euclidische deling, en hierbij aandacht besteed aan merkwaardige producten en ontbinding in factoren.
3 De leerlingen hebben vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste graad en 2x2-stelsels leren oplossen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
5
3de graad KSO-TSO
4 De leerlingen hebben eigenschappen van vlakke figuren benaderd vanuit congruentie en gelijkvormigheid.
5 De leerlingen hebben cartesiaanse vergelijkingen van rechten leren opstellen.
6 De leerlingen hebben vierkantsvergelijkingen leren oplossen.
7 De leerlingen hebben de betrekkingen tussen de elementen van een rechthoekige driehoek leren toepassen.
8 De leerlingen hebben
. ofwel elementaire begrippen uit de goniometrie bestudeerd en de betrekkingen tussen de elementen van
een willekeurige driehoek leren toepassen;
. ofwel grafische voorstellingen van empirische functies leren aflezen en interpreteren.
4
Na de studierichting Handel waarin het leerplan D voor vier wekelijkse lestijden gevolgd
werd
Voor deze leerlingen gelden de verworvenheden opgesomd in het leerplan C onder de nummers 1, 2, 3, 4, 5 en
7 en in het leerplan A onder de nummers 7 en 10.
2
DOELSTELLINGEN
In vergelijking met de tweede graad vertoont de derde graad een grotere differentiatie in uitgebreidheid,
opvatting en uitwerking van de leerinhoud. De doelstellingen voor deze graad zijn dus sterk uiteenlopend
volgens het aantal wekelijkse lestijden en de gekozen studierichting.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
6
3de graad KSO-TSO
LEERPLAN A VOOR ZES PLUS TWEE LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING
Opmerkingen
- Het leerplan wordt aangeboden als een graadleerplan. De leerkrachten bepalen in onderling overleg welke
onderwerpen in het eerste leerjaar behandeld worden en welke onderwerpen in het tweede leerjaar. Het
is zonder meer duidelijk dat in het tweede leerjaar geen onderwerpen mogen behandeld worden die reeds
in het eerste leerjaar behandeld werden.
- Dit leerplan is enkel bestemd voor de studierichtingen waar 6 u./w. in het fundamenteel gedeelte plus 2
u./w. via het complementair gedeelte wordt aangeboden.
- Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens
waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel
maar ook op de beperkingen ervan.
- Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan
in van de brochure.
- Dit leerplan sluit aan bij het leerplan A uit de tweede graad.
1
Reële functies
1.1 Rationale functies: begrip, domein, nulpunten en tekenonderzoek.
1.2 Irrationale functies: begrip, domein, nulpunten.
1.3 Het verloop van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie.
Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden.
1.4 Cyclometrische functies.
1.5 Logaritmische en exponentiële functies: begrip, eigenschappen, domein. Het getal e.
Vergelijkingen.
2
Analyse
2.1
2.2
2.3
2.4
Reële getallen: orde-eigenschappen, decimale voorstelling, infimum en supremum.
Limiet van een functie in +4 en -4 en in een punt a. Berekenen van limieten.
Continuïteit van een functie in een punt en over een deelverzameling van het domein.
Afgeleide: begrip, afgeleide functie, interpretaties.
Vergelijking van de raaklijn aan een kromme in een punt ervan.
Rekenregels voor het afleiden.
De tweede afgeleide.
Middelwaardestelling.
2.5 Toepassingen van afgeleiden.
- Studie van het verloop van functies: stijgen, dalen, extrema, buigpunten, raaklijnen, asymptoten,
grafische voorstelling.
- Extremaproblemen, de regel van de l'Hospital, benaderen van nulpunten.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
7
3de graad KSO-TSO
2.6 Bepaalde integraal: begrip, interpretaties, eigenschappen.
2.7 Primitieve functies, verband met bepaalde integralen. Integratiemethoden.
2.8 Toepassingen: berekening van lengten, oppervlakten en inhouden, toepassingen uit andere disciplines.
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
Rijen en reeksen
Rekenkundige en meetkundige rijen.
Convergentie van een rij.
Som van een oneindige meetkundige rij.
Convergentie van een reeks, reeksontwikkeling van een functie, formules van Taylor en Maclaurin.
Matrixrekening - stelsels
4.1 Matrices: begrip, bewerkingen.
4.2 Elementaire rijoperaties; methode van Gauss-Jordan voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen.
4.3 Determinant van een matrix.
4.4 Methode van Cramer voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen.
4.5 Opstellen van oplossingsvoorwaarden (eliminant).
5
Ruimtemeetkunde
5.1 Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken. Projecties.
5.2 Hoeken. Loodrechte stand.
5.3 Analytische beschrijving van punten, rechten en vlakken, van het scalair produkt van twee vectoren,
van loodrechte standen, afstanden, hoeken.
5.4 De bol: vergelijking, raakvlak.
5.5 Prisma, parallellepipedum, balk, kubus, piramide, viervlak, cilinder, kegel, bol: eigenschappen,
oppervlakte- en volumeproblemen.
5.6 Facultatief.
- Analytische beschrijving van enkele krommen en oppervlakken (voorbeelden).
- Voorstelling van functies van twee veranderlijken.
6
Combinatieleer
6.1 Variaties met en zonder herhaling, permutaties, combinaties.
6.2 Binomiaalgetallen en de driehoek van Pascal.
6.3 Binomium van Newton.
7
Beschrijvende statistiek
7.1 Globale voorstellingen van statistische gegevens, interpretaties.
7.2 Beschrijvende maten: centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus); spreidingsmaten (variantie,
standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte).
7.3 Facultatief: correlatie en lineaire regressie.
8
8.1
8.2
8.3
8.4
Kansrekenen
Kansbegrip, berekenen van kansen.
Voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen.
Facultatief: discrete stochastische veranderlijke: kansverdeling, gemiddelde en variantie.
Facultatief: binomiale verdeling, poissonverdeling, normale verdeling.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
8
3de graad KSO-TSO
9
Analytische meetkunde
9.1 Afstand en loodrechte stand in het euclidisch vlak.
- Analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten.
- Scalair produkt van twee vectoren; analytische uitdrukking.
- Analytische voorwaarde voor loodrechte stand.
- Afstand van een punt tot een rechte.
9.2 Euclidisch, affien en projectief vlak en hun onderlinge samenhang.
- Punten en rechten.
- Invarianten en toepassingen betreffende karakteristieke figuren gevormd door punten en rechten.
- Analytische voorstelling van elementaire transformaties.
9.3 Kegelsneden.
- Algemene vergelijking van de tweede graad, canonieke vormen, classificatie, speciale kegelsneden
(cirkels, orthogonale hyperbolen).
- Bundels kegelsneden.
- Doorsnede van rechte en kegelsnede, raaklijnen en asymptoten, normalen, doorsnede van twee kegelsneden.
- Pooltheorie: pool, poollijn, toegevoegde punten, middelpunt, middellijn, hoofdrichtingen, assen en
toppen, brandpunten en richtlijnen, excentriciteit.
9.4 Meetkundige plaatsen: vergelijking, schets.
9.5 Facultatief: beperkte studie van enkele algebraïsche krommen. Parametervergelijkingen.
9.6 Poolcoördinaten, toepassingen.
4
DIDACTISCHE WENKEN
1
Reële functies
Nadat men in het tweede leerjaar van de tweede graad veeltermfuncties heeft bestudeerd, zal men nu kennis
maken met nieuwe reële functies: de gebroken rationale, de irrationale, de goniometrische, de cyclometrische
en tenslotte de exponentiële en de logaritmische functies.
Het is telkens de bedoeling het begrip goed te omschrijven, in te gaan op het bepalen van het domein en de
nulpunten en de verandering van het teken te onderzoeken.
Voor de gebroken rationale functies volstaat het met functies te werken waarvan teller en noemer door de
leerlingen kunnen ontbonden worden. Men zal de nodige aandacht besteden aan de rekenvaardigheden. Enkele voorbeelden van gebroken rationale vergelijkingen zullen de leerlingen vertrouwd maken met het stellen
van bestaansvoorwaarden.
Het invoeren van irrationale functies zal met de nodige omzichtigheid moeten gebeuren. Men moet er
rekening mee houden dat men slechts van goed gekozen veeltermen het teken kan bepalen zodat het bepalen
van het domein van een irrationale functie een haalbare kaart blijft.
De functies y = a.sin[b(x + c)] werden in het tweede leerjaar van de tweede graad onderzocht. De leerlingen maakten daarbij kennis met de begrippen amplitude, periode en verschuiving. Men herhaalt, in het kort,
deze begrippen en breidt ze uit naar de cosinusfunctie. Voor de tangensfunctie maakt men gebruik van puntvoor-punt-constructies. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen is nodig om nulpunten van goniometrische functies te bepalen. De leerlingen leren een verantwoorde keuze maken uit de ter beschikking staande
formules en manipuleren deze om de voornaamste types vergelijkingen tot grondvormen te herleiden. Aan
het oplossen van stelsels zal geen overdreven belang gehecht worden. Van stelsels van twee vergelijkingen
waarvan slechts één een goniometrische is, zal het volstaan de oplossingsmethode uit te leggen voor enkele
type-stelsels. Het is voldoende het oplossen van stelsels van twee goniometrische vergelijkingen door een
paar voorbeelden te behandelen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
9
3de graad KSO-TSO
Alhoewel eliminatie reeds optreedt bij het oplossen van stelsels, is het nodig dat men de eliminatie afzonderlijk toelicht door enkele voorbeelden die in de analytische meetkunde kunnen voorkomen. Een omslachtige behandeling van de goniometrische ongelijkheden is geenszins nodig. Men bedenke hierbij dat de
toepassingen vooral te vinden zijn bij het tekenonderzoek van de afgeleide van een goniometrische functie
waarbij vooral ongelijkheden aangetroffen worden van de vorm sin(ax + b) , 0.
Bijzondere zorg moet worden besteed aan de inverse relaties van de goniometrische functies die zelf geen
functies zijn. Door de goniometrische functies evenwel te beperken zal men laten zien dat de inverse relaties
van die beperkte functies wel functies zijn. Het is wenselijk hierbij de grafiek van cyclometrische functies
uit deze van de rechtstreekse functies af te leiden, gebruikmakend van het verband dat bestaat tussen de
grafieken van twee inverse functies in een rechthoekig assenstelsel.
Hoe de leerkracht de logaritmische en de exponentiële functies zal aanbrengen, zal van zijn eigen oordeel
(voorkeur) afhangen. De keuze van behandelen zal echter bepalend zijn voor de plaats in het geheel van het
leerplan. Volgens een eerste werkwijze wordt logaritme gedefinieerd als de inverse van een macht, die
toelaat de exponent te berekenen als grondtal en resultaat van de machtsverheffing gekend zijn. Het is
duidelijk dat hiervoor het exponentbegrip moet uitgebreid worden tot reële exponenten. Voldoende aandacht
moet worden besteed aan de beperkingen die in de definitie ingebouwd zijn. Steunend op de definitie kan
men de voornaamste eigenschappen van logaritmen aantonen. Door punt-voor-punt-constructies van
goedgekozen logaritmische en exponentiële functies kan men de voornaamste eigenschappen van de grafiek
afleiden. Een tweede mogelijkheid is de ln-functie aan te brengen via een goed gekozen integraalfunctie.
Daarna komt de willekeurige logaritmische functie ter sprake en van daaruit wordt de exponentiële functie
afgeleid. Het is hoe dan ook wenselijk dat het getal van Euler (e) de nodige aandacht krijgt. Er zal in ieder
geval gewezen worden op de impakt van deze transcendente functies op andere disciplines. Een rijke
illustratie via voorbeelden van groeimodellen, intrest-berekening, enzovoort zal hier niet overbodig zijn.
Voor het oplossen van exponentiële en logaritmische vergelijkingen zal men een aantal oplossingsmethoden
aanleren maar zeker niet overdrijven in de moeilijkheidsgraad.
2
Analyse
Vooraf zal de kennis van de verzameling van de reële getallen aangevuld worden. In het bijzonder is de
volledigheid van ú belangrijk. De eigenschap van het supremum kan toegepast worden op het meer
nauwkeurig bepalen van decimale voorstellingen van reële getallen. Het benaderen van reële getallen met
eindige decimale voorstellingen kan belicht worden.
Analyse is een van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde in deze studierichtingen. De leerstof zal de
leerlingen zeker boeien als de opbouw voldoende afgestemd wordt op de twee einddoelen:
1 beschikken over een algemene methode om een grote waaier van reële functies te onderzoeken en deze
in grafiek te brengen;
2 het integraalrekenen toepassen op meetkundige en andere problemen.
Daartoe vereist de opbouw een zorgvuldige planning die bewijzen van stellingen kan overslaan zonder in
oppervlakkigheid te vervallen. In deze optiek zijn afgeleiden belangrijker dan continuïteit en limieten en
zullen daarom ook ruimere aandacht moeten krijgen.
Er is meer dan één opbouw mogelijk. De volgorde in de leerstofafbakening is niet bindend.
Zo kan nog steeds "continuïteit" aan "limieten" voorafgaan en "convergentie van rijen" met behulp van het
limietbegrip ingevoerd worden. In deze opbouw moet een selecte keuze gebeuren uit het overgrote aantal
bewijsvoeringen, zowel in functie van de beschikbare tijd als met het oog op de specifiek kritische vorming
die de analyse kan meegeven. Ook de moeilijkheidsgraad van de oefeningen moet verantwoord zijn vanuit
de twee hoger vermelde einddoelen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
10
3de graad KSO-TSO
Bij een andere opbouw van de analyse kan convergentie en divergentie van een rij dienen tot de opbouw van
het limietbegrip van een rij en van functies in het algemeen. De eigenschappen van limieten zullen, naast de
onontbeerlijke rekenvaardigheden, het inzichtelijke bevorderen. Een beperkte keuze van oefeningen volstaat
hier. Het begrip continuïteit van een reële functie in een element van het domein komt tot stand door de
limiet van de functie te vergelijken met de functiewaarde. Hierdoor wordt de grafische betekenis van
continu-doorlopende grafiek mogelijk.
Het invoeren van de afgeleide van een reële functie in een element van het domein kan op verschillende
manieren gebeuren. Er bestaan geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. De
afgeleide als maat voor de ogenblikkelijke verandering van een functie in een punt wordt grafisch ondersteund door de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn. Het belang van de afgeleiden moet geïllustreerd
worden door een geschikte keuze te maken uit haar toepassingsgebieden. De voornaamste formules voor het
afleiden van elementaire functies kunnen als toepassingen van de corresponderende limietregels opgesteld
worden. Bij het berekenen van afgeleiden is het toepassen van formules een noodzaak. Het bekomen
resultaat wordt, indien nodig, tot zijn meest bruikbare vorm herleid.
Het verband tussen stijgen en dalen van een functie enerzijds en het teken van haar afgeleide anderzijds is
eenvoudig intuïtief te zien. In deze studierichtingen wordt echter een meer rigoreuze behandeling verwacht.
Hierbij steunt men op eigenschappen van reële getallen en op een aantal stellingen over continue functies over
een gesloten interval. Men zal de middelwaardestellingen (Rolle, Lagrange) moeten vermelden en hun
betekenis toelichten. Via tegenvoorbeelden zal men grafisch aantonen dat de voorwaarden van deze
stellingen wel degelijk nodig zijn. Het opstellen van de regel van de l'Hospital is hier zeker op zijn plaats.
Geschikt gekozen oefeningen zullen de leerlingen overtuigen van de efficiëntie van deze techniek.
De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe
wijze kan overbrengen. Voor de leerlingen is het tekenen van een grafiek, aan de hand van een functievoorschrift, een belangrijke vaardigheid. Met behulp van de afgeleide wordt de methode om grafieken te schetsen
verbeterd. Een studie van het tekenverloop van de afgeleide functie levert een eerste beeld van de grafiek.
Het berekenen van een aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met de assen,
eventueel nog enkele andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid.
Het oplossen van maxima- en minimaproblemen, ook uit andere disciplines, kan nu ook via de theorie van
de afgeleiden aan bod komen. Zin voor controle van een gevonden resultaat is belangrijk.
Het aanbrengen van de bepaalde integraal kan met de theorie van de onder- en de bovensommen. De
eigenschappen van de bepaalde integraal zullen grafisch toegelicht worden. Sommige bewijzen kunnen
weggelaten worden. De hoofdstelling van de integraalrekening koppelt het begrip bepaalde integraal aan
afgeleide. In plaats van via het lange proces van ondersommen beschikt men nu over een middel om langs
een kortere weg bepaalde integralen te berekenen. De leerkracht zal niet overdrijven in het aanleren van
integratiemethoden. Niet voor de hand liggende substituties zijn overbodig. Men beperkt zich tot integratiemethoden die voldoende zijn voor het afwerken van dit leerplan.
In de categorie van de meetkundige toepassingen komen dan de klassieke problemen aan bod: oppervlakteberekening van een vlak gebied, lengteberekening van een vlakke kromme, oppervlakteberekening en
inhoudsberekening van een omwentelingsoppervlak. Afhankelijk van de samenstelling van de groep kan een
geschikte keuze gemaakt worden voor toepassingen uit andere disciplines.
3
Rijen en reeksen
Rijen kunnen een belangrijke rol spelen bij de studie van limieten of bij de opbouw van integralen. Dit
onderwerp kan bijgevolg ook geïntegreerd worden in de studie van de analyse. Vooreerst bestudeert men de
meetkundige en de rekenkundige rij. Het berekenen van de algemene term en het opzoeken van de som van
de eerste n termen zal zeker behandeld worden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
11
3de graad KSO-TSO
Het voorstellen van termen met indices en het gebruik van het sommatieteken krijgen de nodige aandacht en
verruimen het algebraïsch instrumentarium. Eventueel kan men rekenkundige en meetkundige rijen met
elkaar vergelijken. Rekenkundig en meetkundig gemiddelde spelen dan een analoge rol. Men zal het belang
van rijen illustreren door een aantal praktische vraagstukken. De limiet van een rij in +4 zal leiden tot de
begrippen convergentie en divergentie.
Via de geassocieerde partieelsommen wordt de convergentie van reeksen besproken. Een illustratie via de
overeenkomstige rekenkundige en meetkundige reeksen zal leiden tot enkele belangrijke besluiten. De
formule van Lagrange zal veralgemeend worden en leiden tot de formules van Taylor en Maclaurin. Deze
formules vormen een basis voor de benadering van een functie door veeltermfuncties. Deze formules kunnen
gebruikt worden om veeltermbenaderingen op te stellen voor bijvoorbeeld cos x, sin x, (1 + x)q (q is een
rationaal getal), ln(1 + x), ex, ... Hier is er gelegenheid tot numeriek rekenwerk.
4
Matrixrekening - stelsels
Het hoofddoel van dit onderwerp is het leren oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de
methode van Gauss-Jordan of volgens de methode van Cramer. Matrices en determinanten treden hierbij als
hulpmiddelen op. Men kan dit onderwerp op één van de volgende manieren uitwerken.
Een mogelijkheid is dat men eerst matrices behandelt en daarna de toepassing ervan bij het oplossen van
stelsels. Om het begrip matrix, het produkt van matrices, ... aan te brengen kan men gebruik maken van een
van de talrijke toepassingen van matrices binnen en buiten de wiskunde.
Een andere mogelijkheid voor het uitwerken van dit onderwerp is dat men alles aanbrengt aan de hand van
het oplossen van stelsels. Elementaire rijoperaties vinden hun oorsprong in het vervangen van stelsels door
andere equivalente stelsels. Matrices worden dan geïntroduceerd om het schrijfwerk te beperken. De
coëfficiënten van de onbekenden en de rechterleden uit de vergelijkingen vormen een schema, een matrix.
Nu kan gedefinieerd worden wat men onder een matrix verstaat, wat de coëfficiëntenmatrix en de uitgebreide
matrix van een stelsel zijn en wat elementaire rijoperaties zijn. De optelling en de vermenigvuldiging van
matrices worden dan behandeld. De vermenigvuldiging van matrices komt voor in de notatie A.X = B voor
een stelsel. Er kan hier ingegaan worden op enkele eigenschappen van het vermenigvuldigen van matrices:
de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, is associatief als de bewerking mogelijk is, niet alle
matrices hebben een inverse, het bestaan van nuldelers, ...
De inverse van een matrix kan berekend worden via elementaire rijoperaties.
Hoe men een determinant aanbrengt zal afhangen van de gekozen optie. Men kan dit doen vanuit het
inverteren van matrices of op zuiver algebraïsche wijze. Men zal er in elk geval op wijzen dat de determinant een rol zal spelen bij het oplossen van vierkante stelsels.
De rang van een matrix kan men bepalen met behulp van hoofddeterminanten of door het uitvoeren van een
aantal rijoperaties. De algemene oplosbaarheidsvoorwaarde voor een stelstel (rang van de coëfficiëntenmatrix = rang van de uitgebreide matrix) moet vermeld worden. Deze voorwaarde kan uit voorbeelden
afgeleid worden.
Het oplossen van stelsels zal bij voorkeur geschieden via de Gauss-Jordan reductiemethode. De regel van
Cramer levert een elegante formule voor het oplossen van sommige stelsels. Die regel heeft echter ook
nadelen: voor grotere stelsels vraagt het uitrekenen van de determinanten veel tijd en de methode is niet op
alle stelsels toepasbaar.
Naast het oplossen van stelsels zal ook het bespreken van eenvoudige stelsels aan bod komen. Dat bepaalde
stelsels voor bepaalde waarden van de coëfficiënten oplosbaar zijn en voor andere strijdig, zal aanleiding
geven tot het opstellen van de oplosbaarheidsvoorwaarden (elimineren). Men zal er ook op wijzen dat men
een oplosbaarheidsvoorwaarde kan formuleren zonder de oplossing zelf te zoeken. Bij de eliminatie kan het
opstellen van de nodige en voldoende voorwaarde opdat twee tweedegraadsvergelijkingen een gemeenschappelijke oplossing zouden hebben een interessante nieuwe toepassing vormen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
12
3de graad KSO-TSO
5
Ruimtemeetkunde
De ruimtemeetkunde moet als een verlengstuk gezien worden van de vroeger bestudeerde vlakke meetkunde.
Als aanloop kan men de studie van punten, rechten en vlakken en hun onderlinge ligging op een intuïtieve
manier onderzoeken en meetkundig formuleren. Bijzondere aandacht moet geschonken worden aan de
ontwikkeling van het ruimteliijk inzicht en aan het vertrouwd maken van de leerlingen met het schetsen in een
plat vlak. Om de elementen uit die ruimte analytisch te beschrijven zal men een basis in die ruimte invoeren.
Punten, rechten en vlakken, meetkundige voorwaarden, ... krijgen nu een algebraïsche vertaling, die soms
handiger blijkt te zijn.
Belangrijk zijn de vraagstukken die verband houden met het opstellen van vergelijkingen van rechten en
vlakken die aan zekere voorwaarden voldoen.
Transformaties van de ruimte (projectie, spiegeling, ...) kunnen eventueel behandeld worden.
Nadat men het scalair produkt ingevoerd heeft komen nieuwe metrische problemen ter sprake. Hoeken en
afstanden kunnen nu gemakkelijker berekend worden.
In de opbouw van de ruimtemeetkunde zal men de studie van de bekendste veelvlakken en oppervlakken
integreren. Alhoewel enkele basisformules omtrent oppervlakte en inhoud intuïtief aanvaard kunnen worden
(zelfs bewezen kunnen worden in de analyse), zal men hier mogelijkheden inbouwen om oppervlakte- en
inhoudsproblemen meetkundig te behandelen.
Eigenschappen uit de ruimtemeetkunde zullen op de meeste opportune manier behandeld wor-den: vectorieel,
analytisch of synthetisch.
6
Combinatieleer
De combinatieleer bestaat vooral in het oplossen van telproblemen die onder andere voorkomen bij het berekenen van kansen. Deze studie zal omvatten: het opzoeken van het aantal variaties, permutaties en combinaties. Het spreekt vanzelf dat elk geval geïllustreerd moet worden met een reeks aangepaste voorbeelden en
dat bij het inoefenen in de eerste plaats de soort van groepering onderzocht moet worden. Het bepalen van
de binomiaalformule van Newton kan gebeuren door het berekenen van (a + b)2, (a + b)3, ..., (a + b)n. Dit
leidt eveneens tot het opstellen van de driehoek van Pascal.
7
Beschrijvende statistiek
Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het ordenen, samenvatten en overzichtelijk voorstellen van
gegevens (zowel kwalitatieve als kwantitatieve) afkomstig uit allerlei disciplines. Verklarende statistiek
daarentegen formuleert conclusies, met een zekere betrouwbaarheid en maakt daarbij gebruik van kansrekening. Ruwe statistische gegevens worden geordend, grafisch voorgesteld en samengevat. Het ordenen van
de gegevens gebeurt aan de hand van een frequentietabel. Het groeperen brengt met zich reeds een samenvatting van de informatie en dus een verlies aan informatie mee. Als er minder klassen gemaakt worden,
gaat er meer informatie verloren, maar is het resulterende frequentiediagram overzichtelijker en andersom.
Er zijn veel mogelijkheden om statistische gegevens grafisch voor te stellen. Het is belangrijk dat de leerlingen een aantal frequent voorkomende grafische voorstellingen leren lezen en interpreteren. Men zal niet
nalaten er enkele te tekenen.
Een verdere stap in het verwerken van statistische gegevens met behulp van kwantitatieve kenmerken zijn de
centrummaten en spreidingsgetallen. Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat sommige getallen,
gebruikt in de statistiek, geregeld misbruikt worden. Een typisch voorbeeld in dit verband is dat van
gegevens over inkomens. Meestal ligt hierbij het "rekenkundig gemiddelde" hoger dan de "mediaan". Wie
er belang bij heeft mensen te doen geloven dat het "gemiddelde" inkomen hoog is, gebruikt het "rekenkundig
gemiddelde" en wie daarentegen de indruk wil wekken dat het "gemiddelde" inkomen laag is, kiest de "mediaan".
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
13
3de graad KSO-TSO
Een systematische behandeling van mogelijke grafische voorstellingen, kentallen voor het centrum en de
spreiding van frequentieverdelingen, riskeert te ontaarden in een dorre opsomming. Het is beter deze
voorstellingen en kentallen gaandeweg in te voeren bij het behandelen van een groot aantal voorbeelden, die
zo realistisch en actueel mogelijk gekozen worden.
8
Kansrekenen
In de kansrekening stelt men eerst duidelijk wat een uitkomstenverzameling is en wat onder een gebeurtenis
wordt verstaan. Hierbij sluit aan wat een enkelvoudige en een samengestelde gebeurtenis is. Deze begrippen
kunnen aangebracht worden door middel van gemakkelijk uit te voeren experimenten. De combinatieleer zal
hier gebruikt worden voor het oplossen van de optredende telproblemen.
Beschouwingen over de voorwaarden waaraan de kansen moeten voldoen, kunnen er toe leiden een axiomatisch kansmodel op te stellen. Men kan hierbij aandacht besteden aan de zogenaamde uniforme kansverdeling
wat vrij veel maar niet uitsluitend voorkomt.
De voornaamste formules van de kansleer, de somregel en de produktregel, zullen zeker besproken worden.
Hun bijzondere gevallen zijn daarvan een uitloper. Men zal dus ondermeer het onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen via voorbeelden illustreren. De regel van de voorwaardelijke kans
kan het eindpunt vormen.
Voor de klassen die het aankunnen, kan een ruimer perspectief aangeboden worden. Het definiëren van een
stochastische veranderlijke, zowel continue en discrete, kan het verband met de analyse duidelijk maken.
Nadat men de twee voornaamste parameters van een verdeling: wiskundige verwachting en standaardafwijking van een stochastische veranderlijke, heeft gedefinieerd, kan men enkele belangrijke kansverdelingen
onderzoeken.
9
Analytische meetkunde
De bedoeling van dit programmaonderdeel is een belangrijke bijdrage te leveren tot de meetkundige vorming
van de leerlingen. Dit gebeurt hier aan de hand van een groot en coherent geheel, dat een duidelijk beeld
geeft van de mogelijke wisselwerking tussen meetkunde en algebra. Hierbij wordt geleerd hoe men
meetkundige problemen kan oplossen met analytische methoden. Het is een synthese van wat vroeger gezien
werd en tevens een basis voor verdere wiskundige studies.
Men leert nu gebruik te maken van "vlakken" die weliswaar meetkundig abstracter zijn maar die anderzijds
belangrijke voordelen bieden. Het algebraïsch rekenwerk zal dikwijls eenvoudiger zijn omdat men bijvoorbeeld de assenstelsels beter aan de figuren kan aanpassen, omdat men gebruik kan maken van complexe
getallen, enz. Bovendien wordt het mogelijk efficiënter te werken omdat men verschillende problemen in het
gewone vlak kan oplossen als speciale gevallen van één overkoepelende theorie in het "abstracter vlak".
Denk hier aan lineaire systemen van kegelsneden, algemene snijpuntstheorie, pooltheorie. Het bewust en
gecontroleerd hanteren van abstractere modellen als wiskundige techniek kan in deze leerstof zeer duidelijk
geïllustreerd worden.
Deze nieuwe hulpmiddelen worden aangewend om wat ingewikkelder configuraties van punten en rechten in
het vlak te bestuderen. Verder zal men, als veralgemening van de cirkel, ook nulpunten van willekeurige
kwadratische vergelijkingen onderzoeken: de kegelsneden.
1
AFSTAND EN LOODRECHTE STAND IN HET EUCLIDISCH VLAK
De afstand tussen twee punten uitgedrukt met behulp van hun coördinaten in een cartesiaans assenstelsel
wordt als een eenvoudige toepassing van de stelling van Pythagoras bekomen. Een meetkundige definitie van
het scalair produkt van twee vectoren maakt gebruik van afstanden en hoeken. Een vertrekpunt kan hier de
"correctieterm" zijn in de cosinusregel, als men die vergelijkt met de stelling van Pythagoras. De analytische
uitdrukking voor dit scalair produkt is eenvoudig en met behulp van de cosinusregel te vinden. Wil men het
bewijs van de bilineariteit leveren, dan zal vooraf de coördinaat van de som van twee vectoren en van een
veelvoud van een vector moeten bepaald worden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
14
3de graad KSO-TSO
Uit de analytische uitdrukking van het scalair produkt wordt de voorwaarde voor de orthogonaliteit van twee
rechten afgeleid. De kans wordt hier geboden om vraagstukken en eigenschappen uit de meetkunde
analytisch te behandelen. Een overzicht van de merkwaardige punten in een driehoek kan hierbij aansluiten.
2
EUCLIDISCH, AFFIEN EN PROJECTIEF VLAK
In dit leerstofpunt worden verschillende vlakken ingevoerd. Deze vlakken staan niet los van het vlak zoals
dat tot nu toe bekend is. Het is niet in de eerste plaats de bedoeling om een structurele studie te maken van
het projectief vlak en het gecomplementeerd affien vlak. De klemtoon ligt veeleer op het laten inzien hoe ze
als hulpmiddel gebruikt worden om meetkundige problemen handig en efficiënt op te lossen. Dit wordt onder
ander getoond door een aantal reeds behandelde problemen over rechten opnieuw op te lossen en nieuwe
begrippen en problemen (zoals dubbelverhouding, harmonische puntenviertallen, bundels rechten, ...) te
bestuderen.
Om de verschillende vlakken en hun onderling verband te behandelen, kan men verschillende wegen
gebruiken. Hierbij moet de klemtoon liggen op het oplossen van concreet voorstelbare meetkundige
problemen in het gewone vlak.
De structuren zijn niet zo precies afgebakend, maar worden wel op een geleidelijke en gemotiveerde wijze
ingevoerd vertrekkend van het bekende vlak. Het begrip "assenstelsel" wordt uitgebreid door een willekeurige basis in B0 te kiezen. Op die manier bekomt men affiene assenstelsels {0,e1,e2} en affiene coördinaten.
Rechten hebben nog steeds eerstegraadsvergelijkingen in zulk assenstelsel, maar de eenvoudige uitdrukking
voor het scalair produkt is niet meer geldig in een affien assenstelsel. Dit heeft tot gevolg dat problemen in
verband met afstanden en hoeken veel moeilijker op te lossen zijn in een niet-rechthoekig assenstelsel.
Komen deze metrische begrippen echter niet voor, dan wordt de analytische oplossing eenvoudiger omdat een
affiene ijk gemakkelijker kan aangepast worden aan figuren zoals een driehoek, een parallellogram, ... Men
kan dit aantonen door enkele affiene begrippen als deelverhouding (en dus midden), zwaartelijnen, ...
opnieuw te behandelen. Aspecten van transformatiemeetkunde kunnen opnieuw belicht worden. Op deze
manier ontstaat een (niet volledig geformaliseerd) beeld van de scheiding tussen het affien en het euclidisch
vlak.
Vervolgens wordt een abstracter vlak opgebouwd, namelijk het gecompleteerde vlak, waar punten en
richtingen de nieuwe "punten" worden (eigenlijke punten en punten op 4). Ook "rechten" worden opnieuw
gedefinieerd. De analytische beschrijving van dit vlak vertrekt van de invoering van homogene coördinaten
ten overstaan van een affiene ijk.
Het is mogelijk meer algemene projectieve ijken in te voeren. Dit zijn homogene stelsels waarbij grondpunten niet meer op de rechte op 4 moeten liggen. Algebraïsch kan men met affienhomogene coördinaten
werken zoals met projectieve coördinaten. Op dit punt gekomen kan men wijzen op een meer algemene
structuur, namelijk het projectief vlak.
3
KEGELSNEDEN
Tot dusver werden figuren bestudeerd die opgebouwd zijn uit punten en rechten. Rechten hebben eerstegraadsvergelijkingen. Bij de studie van de parabool in het tweede leerjaar van de tweede graad zijn ook al
kwadratische vergelijkingen aan bod gekomen. Cirkels, ellipsen en hyperbolen, gedefinieerd als meetkundige plaatsen, leiden ook tot dergelijke vergelijkingen. Het is de bedoeling puntenverzamelingen beschreven
door kwadratische vergelijkingen nu algemeen te bestuderen.
Bij deze studie is het eenvoudig te vertrekken van het projectief vlak, waar men nulpunten van homogene
tweedegraadsveeltermen met drie veranderlijken zal bestuderen. Dit is een logische uitbreiding van de
"rechten" uit het projectief vlak die nulpunten waren van homogene eerstegraadsvergelijkingen.
Daar het bij tweedegraadsvergelijkingen algebraïsch al eenvoudiger is over ÷ te werken, zal men nu ook
punten met complexe coördinaten toelaten. Dit leidt tot een niet-geformaliseerde invoering van het gecomplexifieerd vlak. Hier is weer geen abstracte studie van deze structuur vereist, maar er moet worden getoond
hoe dit vlak wordt aangewend bij het oplossen van "reële" meetkundige problemen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
15
3de graad KSO-TSO
Eerst worden snijpuntstheorie en pooltheorie (met inbegrip van raaklijntheorie) ontwikkeld. Deze vormen
de basis voor verdere affiene begrippen (middelpunten, middellijnen, toegevoegde middellijnen, asymptoten)
en euclidische begrippen (assen, toppen, normalen, ...).
Deze studie zal uiteindelijk leiden tot de volledige classificatie van tweedegraadskrommen in ellipsen
(cirkels), hyperbolen en parabolen.
De keuze van een aangepaste ijk leidt tot eenvoudige vergelijkingen. Dit belangrijke punt kan men telkens
meetkundig illustreren. Door een gepast assenstelsel te kiezen met de assen als X- en Y-as komt men tot de
euclidische canonieke vorm.
De projectieve theorie van lineaire systemen van kegelsneden (bundels en netten) is een efficiënt middel om
snel de vergelijkingen van families kegelsneden te vinden. De analogie met rechtenbundels kan een startpunt
zijn. Een analytische definitie van bundels als lineaire combinaties van de vergelijkingen van de basiskegelsneden is dan nogal voor de hand liggend. Elke kegelsnede kan men beschouwen als een zestal op een factor
na bepaald en dus een "punt" uit een nieuwe projectieve ruimte. Een bundel is dan een "rechte" in deze
ruimte. Dergelijke interpretaties kunnen de leerlingen een "veralgemeende meetkundige intuïtie" bijbrengen.
Bij het zoeken van de hoofdrichtingen en de assen heeft men een verband met eigenwaarden en eigenvectoren
van 2x2-matrices.
Men bepaalt brandpunten en excentriciteit van kegelsneden met behulp van de canonieke vergelijking. Hier
kan men dan terugkeren tot de definities van deze kegelsneden als meetkundige plaatsen.
Indien enigszins mogelijk zal men niet nalaten ook op het ontstaan van de kegelsneden als doorsneden van
een kegel en een vlak te wijzen. Een korte schets van de belangrijke historische rol van kegelsneden (o.a.
in de Griekse wiskunde) kan ook verrijkend zijn.
4
MEETKUNDIGE PLAATSEN
Kegelsneden, maar ook vele andere krommen, verkrijgt men als meetkundige plaatsen. De meetkundige
voorwaarden die een meetkundige plaats karakteriseren, vertolken zich, na de keuze van een ijk, als een
voorwaarde voor de coördinaten: de vergelijking van de meetkundige plaats in die ijk.
Naast gevallen waar men rechtstreeks de definitie van de meetkundige plaats in een analytische voorwaarde
omzet, zal men ook voorbeelden bespreken van meetkundige plaatsen die gedefinieerd worden als snijpunten
van families geassocieerde krommen.
De betekenis van "elimineren" van de parameter, als het opstellen van de oplossingsvoorwaarden zonder
eerst de oplossingen zelf te zoeken, kan hier zeer duidelijk geïllustreerd worden. Het verschijnen van
"singuliere" en "parasitische" delen kan dan precies verklaard worden.
Om het "meetkundig" denken van de leerlingen te bevorderen, is het aangewezen bij de studie van meetkundige plaatsen zich niet te beperken tot het afleiden van de vergelijking ervan. Het bepalen van een ruwe
schets van de meetkundige plaats is leerrijk en werkt stimulerend en controlerend. Dit kan gebeuren met de
volgende (niet exhaustieve) lijst van hulpmiddelen:
- bepalen van gebieden,
- bepalen van symmetrieassen,
- bepalen van snijpunten met de coördinatenassen,
- bepalen van asymptotische richtingen en asymptoten,
- bepalen van bijzondere punten en raaklijnen in deze punten.
Deze laatste twee items kunnen voor algebraïsche krommen op korte en elementaire wijze behandeld worden
door gebruik te maken van de snijpuntstheorie (snijden van de kromme met de rechte). Dit kan aangebracht
worden vertrekkend van de reeds behandelde theorie voor kegelsneden en kan geïllustreerd worden via
enkele eenvoudige klassieke voorbeelden. Het opent tevens perspectieven voor verdere studie. Tevens kan
gebruik gemaakt worden van de methoden die in de analyse ontwikkeld werden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
16
3de graad KSO-TSO
5
POOLCOÖRDINATEN
Het invoeren en bespreken van poolcoördinaten in het georiënteerd euclidisch vlak als alternatieve analytische
beschrijving van figuren moet niet noodzakelijk als laatste hoofdstuk worden aangepakt. Bij de definitie zal
men zeker wijzen op verschillen met cartesiaanse coördinaten: de pool heeft geen coördinaten en één punt
heeft meerdere stellen poolcoördinaten t.o.v. een gekozen poolstelsel. Het nut van poolcoördinaten kan
blijken uit de eenvoudige poolvergelijking van sommige krommen (o.a. cirkels en kegelsneden). In meer
technische toepassingen komen bijvoorbeeld cycloïden voor.
Bij de transformatieformules tussen geassocieerde stelsels (pool- en cartesiaans stelsel) is de interpretatie als
modulus en argument van het beeldpunt in het complex vlak voor de poolcoördinaat enerzijds, en als reëel
en imaginair deel van de cartesiaanse coördinaten anderzijds, interessant. Dit opent tevens nieuwe perspectieven op het gebruik van de complexe getallen bij meetkundige problemen (en omgekeerd).
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
17
3de graad KSO-TSO
LEERPLAN B VOOR ZES LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING
Opmerkingen
- Het leerplan wordt aangeboden als een graadleerplan. De leerkrachten bepalen in onderling overleg welke
onderwerpen in het eerste leerjaar behandeld worden en welke onderwerpen in het tweede leerjaar. Het
is zonder meer duidelijk dat in het tweede leerjaar geen onderwerpen mogen behandeld worden die reeds
in het eerste leerjaar behandeld werden.
- Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens
waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel
maar ook op de beperkingen ervan.
- Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan
in de brochure.
- De leerstofpunten 1 tot en met 8 sluiten aan bij het leerplan A en het leerplan B uit de tweede graad, de
leerstofpunten 9 en 10 bij het leerplan A en de leerstofpunten 11 en 12 bij het leerplan B.
1
Reële functies
1.1 Rationale functies: begrip, domein, nulpunten en tekenonderzoek.
1.2 Irrationale functies: begrip, domein, nulpunten.
1.3 Het verloop van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie.
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden.
1.4 Cyclometrische functies.
1.5 Logaritmische en exponentiële functies: begrip, eigenschappen, domein. Het getal e. Eenvoudige
vergelijkingen.
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Analyse
Reële getallen: orde-eigenschappen, decimale voorstelling, infimum en supremum.
Limiet van een functie in +4 en -4 en in een punt a. Berekenen van limieten.
Continuïteit van een functie in een punt en over een deelverzameling van het domein.
Afgeleide: begrip, afgeleide functie, interpretaties.
Vergelijking van de raaklijn aan een kromme in een punt ervan.
Rekenregels voor het afleiden.
De tweede afgeleide.
Toepassingen van afgeleiden.
- Studie van het verloop van functies: stijgen, dalen, extrema, buigpunten, raaklijnen, asymptoten,
grafische voorstelling.
- Extremaproblemen, de regel van de l'Hospital.
Bepaalde integraal: begrip, interpretaties, eigenschappen.
Primitieve functies, verband met bepaalde integralen. Integratiemethoden.
Toepassingen: berekening van oppervlakten en inhouden, toepassingen uit andere disciplines.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
18
3de graad KSO-TSO
3
Matrixrekening - stelsels
3.1 Matrices: begrip, bewerkingen.
3.2 Elementaire rijoperaties; methode van Gauss-Jordan voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen.
3.3 Facultatief: determinant van een matrix.
3.4 Facultatief: methode van Cramer voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen.
3.5 Facultatief: opstellen van oplossingsvoorwaarden (eliminant).
4
Combinatieleer
4.1 Variaties met en zonder herhaling, permutaties, combinaties.
4.2 Binomiaalgetallen en de driehoek van Pascal.
4.3 Binomium van Newton.
5
Beschrijvende statistiek
5.1 Globale voorstellingen van statistische gegevens, interpretaties.
5.2 Beschrijvende maten: centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus); spreidingsmaten (variantie,
standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte).
6
Kansrekenen
6.1 Kansbegrip, berekenen van kansen.
6.2 Voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen.
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Analytische meetkunde
Analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten.
Scalair produkt van twee vectoren; analytische uitdrukking.
Analytische voorwaarde voor loodrechte stand.
Afstand van een punt tot een rechte.
Vergelijking van een cirkel. Raaklijnen.
Ruimtemeetkunde
Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken.
Hoeken. Loodrechte stand.
Projecties.
Elementaire eigenschappen van lichamen.
Vraagstukken op het berekenen van oppervlakte en inhoud van een prisma, een parallellepipedum, een
balk, een kubus, een piramide, een cilinder, een kegel, een bol.
De leerstofpunten 9 en 10 zijn alleen bestemd voor leerlingen die in de tweede graad het leerplan A hebben
gevolgd.
9
Analytische meetkunde
9.1 Ellips, hyperbool, parabool: definities, canonieke vergelijking, grafiek, assen van symmetrie, raaklijn,
normaal, asymptoot, middellijn.
9.2 Facultatief: methoden voor het opzoeken van meetkundige plaatsen.
9.3 Poolcoördinaten.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
19
3de graad KSO-TSO
10
10.1
10.2
10.3
10.4
Rijen en reeksen
Rekenkundige en meetkundige rijen.
Convergentie van een rij.
Som van een oneindige meetkundige rij.
Facultatief: convergentie van een reeks, reeksontwikkeling van een functie, formules van Taylor en
Maclaurin.
De leerstofpunten 11 en 12 zijn alleen bestemd voor leerlingen die in de tweede graad het leerplan B hebben
gevolgd.
11
Goniometrie
11.1 Som- en verschilformules.
11.2 Formules voor de dubbele hoek.
11.3 Formules van Simpson.
12
12.1
12.2
12.3
12.4
Complexe getallen
Definities, hoofdbewerkingen.
Oplossen van vierkantsvergelijkingen met negatieve discriminant.
De goniometrische vorm van complexe getallen.
De formule van de Moivre. Toepassingen.
4
DIDACTISCHE WENKEN
1
Reële functies
Nadat men in het tweede leerjaar van de tweede graad veeltermfuncties heeft bestudeerd, zal men nu kennis
maken met nieuwe reële functies: de gebroken rationale, de irrationale, de goniometrische, de cyclometrische
en tenslotte de exponentiële en de logaritmische functies.
Het is telkens de bedoeling het begrip goed te omschrijven, in te gaan op het bepalen van het domein en de
nulpunten en de verandering van het teken te onderzoeken.
Voor de gebroken rationale functies volstaat het met functies te werken waarvan teller en noemer door de
leerlingen kunnen ontbonden worden. Men zal de nodige aandacht besteden aan de rekenvaardigheden. Enkele voorbeelden van gebroken rationale vergelijkingen zullen de leerlingen vertrouwd maken met het stellen
van bestaansvoorwaarden.
Het invoeren van irrationale functies zal met de nodige omzichtigheid moeten gebeuren. Men moet er
rekening mee houden dat men slechts van goed gekozen veeltermen het teken kan bepalen zodat het bepalen
van het domein van een irrationale functie een haalbare kaart blijft.
De functies y = a.sin[b(x + c)] werden in het tweede leerjaar van de tweede graad onderzocht. De leerlingen maakten daarbij kennis met de begrippen amplitude, periode en verschuiving. Men herhaalt, in het kort,
deze begrippen en breidt ze uit naar de cosinusfunctie. Voor de tangensfunctie maakt men gebruik van puntvoor-punt-constructies. Bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen zal men zich best beperken tot
het oplossen van de grondvormen en van ontbindbare vergelijkingen. Het is voldoende ongelijkheden van
de vorm sin(ax + b) # c op te lossen.
Bijzondere zorg moet besteed worden aan de inverse relaties van de goniometrische functies die zelf geen
functies zijn. Door de goniometrische functies evenwel te beperken zal men laten zien dat de inverse relaties
van die beperkte functies wel functies zijn. Het is wenselijk hierbij de grafiek van cyclometrische functies
uit deze van de rechtstreekse functies af te leiden, gebruikmakend van het verband dat bestaat tussen de
grafieken van twee inverse functies in een rechthoekig assenstelsel.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
20
3de graad KSO-TSO
Hoe de leerkracht de logaritmische en de exponentiële functies zal aanbrengen, zal van zijn eigen oordeel
(voorkeur) afhangen. De keuze van behandelen zal echter bepalend zijn voor de plaats in het geheel van het
leerplan. Volgens een eerste werkwijze wordt logaritme gedefinieerd als de inverse van een macht, die
toelaat de exponent te berekenen als grondtal en resultaat van de machtsverheffing gekend zijn. Het is
duidelijk dat hiervoor het exponentbegrip moet uitgebreid worden tot reële exponenten. Voldoende aandacht
moet worden besteed aan de beperkingen die in de definitie ingebouwd zijn. Steunend op de definitie kan
men de voornaamste eigenschappen van logaritmen aantonen. Door punt-voor-punt-constructies van
goedgekozen logaritmische en exponentiële functies kan men de voornaamste eigenschappen van de grafiek
afleiden. Een tweede mogelijkheid is de ln-functie aan te brengen via een goed gekozen integraalfunctie.
Daarna komt de willekeurige logaritmische functie ter sprake en van daaruit wordt de exponentiële functie
afgeleid. Het is hoe dan ook wenselijk dat het getal van Euler (e) de nodige aandacht krijgt. Er zal in ieder
geval gewezen worden op de impakt van deze transcendente functies op andere disciplines. Een rijke
illustratie via voorbeelden van groeimodellen, intrestberekening, enz. zal hier niet overbodig zijn. Bij het
oplossen van vergelijkingen zal men zich beperken tot het oplossen van de meest voorkomende, namelijk af(x)
= b en tot vergelijkingen die herleidbaar zijn tot vierkantsvergelijkingen.
2
Analyse
Vooraf zal de kennis van de verzameling van de reële getallen aangevuld worden. In het bijzonder is de
volledigheid van ú belangrijk. De eigenschap van het supremum kan toegepast worden op het meer
nauwkeurig bepalen van decimale voorstellingen van reële getallen. Het benaderen van reële getallen met
eindige decimale voorstellingen kan belicht worden.
Analyse is een van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde in deze studierichtingen. De leerstof zal de
leerlingen zeker boeien als de opbouw voldoende afgestemd wordt op de twee einddoelen:
1 beschikken over een algemene methode om een grote waaier van reële functies te onderzoeken en deze
in grafiek te brengen;
2 het integraalrekenen toepassen op meetkundige en andere problemen.
Daartoe vereist de opbouw een zorgvuldige planning die bewijzen van stellingen kan overslaan zonder in
oppervlakkigheid te vervallen. In deze optiek zijn afgeleiden belangrijker dan continuïteit en limieten en
zullen daarom ook ruimere aandacht moeten krijgen.
Er is meer dan één opbouw mogelijk. De volgorde in de leerstofafbakening is niet bindend.
Zo kan nog steeds "continuïteit" aan "limieten" voorafgaan en "convergentie van rijen" met behulp van het
limietbegrip ingevoerd worden. In deze opbouw moet een selecte keuze gebeuren uit het overgrote aantal
bewijsvoeringen, zowel in functie van de beschikbare tijd als met het oog op de specifiek kritische vorming
die de analyse kan meegeven. Ook de moeilijkheidsgraad van de oefeningen moet verantwoord zijn vanuit
de twee hoger vermelde einddoelen.
Bij een andere opbouw van de analyse kan convergentie en divergentie van een rij dienen tot de opbouw van
het limietbegrip van een rij en van functies in het algemeen. De eigenschappen van limieten zullen, naast de
onontbeerlijke rekenvaardigheden, het inzichtelijke bevorderen. Een beperkte keuze van oefeningen volstaat
hier. Het begrip continuïteit van een reële functie in een element van het domein komt tot stand door de
limiet van de functie te vergelijken met de functiewaarde. Hierdoor wordt de grafische betekenis van
continu-doorlopende grafiek mogelijk.
Het invoeren van de afgeleide van een reële functie in een element van het domein kan op verschillende
manieren gebeuren. Er bestaan geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. De
afgeleide als maat voor de ogenblikkelijke verandering van een functie in een punt wordt grafisch ondersteund door de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn. Het belang van de afgeleiden moet geïllustreerd
worden door een geschikte keuze te maken uit haar toepassingsgebieden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
21
3de graad KSO-TSO
De voornaamste formules voor het afleiden van elementaire functies kunnen als toepassingen van de
corresponderende limietregels opgesteld worden. Bij het berekenen van afgeleiden is het toepassen van
formules een noodzaak. Het bekomen resultaat wordt, indien nodig, tot zijn meest bruikbare vorm herleid.
Het verband tussen stijgen en dalen van een functie enerzijds en het teken van haar afgeleide anderzijds is
eenvoudig intuïtief te zien. In deze studierichtingen wordt echter een meer rigoreuze behandeling verwacht.
Hierbij steunt men op eigenschappen van reële getallen en op een aantal stellingen over continue functies over
een gesloten interval. Men kan de middelwaardestellingen (Rolle, Lagrange) vermelden en hun betekenis
toelichten. Via tegenvoorbeelden zal men grafisch aantonen dat de voorwaarden van deze stellingen wel
degelijk nodig zijn. Het opstellen van de regel van de l'Hospital is hier zeker op zijn plaats. Geschikt
gekozen oefeningen zullen de leerlingen overtuigen van de efficiëntie van deze techniek.
De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe
wijze kan overbrengen. Voor de leerlingen is het tekenen van een grafiek, aan de hand van een functievoorschrift, een belangrijke vaardigheid. Met behulp van de afgeleide wordt de methode om grafieken te schetsen
verbeterd. Een studie van het tekenverloop van de afgeleide functie levert een eerste beeld van de grafiek.
Het berekenen van een aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met de assen,
eventueel nog enkele andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid.
Het oplossen van maxima- en minimaproblemen, ook uit andere disciplines, kan nu ook via de theorie van
de afgeleiden aan bod komen. Zin voor controle van een gevonden resultaat is belangrijk.
Het aanbrengen van de bepaalde integraal kan met de theorie van de onder- en de bovensommen. De
eigenschappen van de bepaalde integraal zullen grafisch toegelicht worden. Sommige bewijzen kunnen
weggelaten worden. De hoofdstelling van de integraalrekening koppelt het begrip bepaalde integraal aan
afgeleide. In plaats van via het lange proces van ondersommen beschikt men nu over een middel om langs
een kortere weg bepaalde integralen te berekenen. De leerkracht zal niet overdrijven in het aanleren van
integratiemethoden. Niet voor de hand liggende substituties zijn overbodig. Men beperkt zich tot integratiemethoden die voldoende zijn voor het afwerken van dit leerplan.
In de categorie van de meetkundige toepassingen komen dan de klassieke problemen aan bod: oppervlakteberekening van een vlak gebied, oppervlakteberekening en inhoudsberekening van een omwentelingsoppervlak. Afhankelijk van de samenstelling van de groep kan een geschikte keuze gemaakt worden voor
toepassingen uit andere disciplines.
3
Matrixrekening - stelsels
Het hoofddoel van dit onderwerp is het leren oplosssen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de
methode van Gauss-Jordan (of volgens de methode van Cramer). Matrices (en determinanten) treden hierbij
als hulpmiddel(en) op. Men kan dit onderwerp op één van de volgende manieren uitwerken.
Een mogelijkheid is dat men eerst matrices behandelt en daarna de toepassing ervan bij het oplossen van
stelsels. Om het begrip matrix, het produkt van matrices, ... aan te brengen kan men gebruik maken van een
van de talrijke toepassingen van matrices binnen en buiten de wiskunde.
Een andere mogelijkheid voor het uitwerken van dit onderwerp is dat men alles aanbrengt aan de hand van
het oplossen van stelsels. Elementaire rijoperaties vinden hun oorsprong in het vervangen van stelsels door
andere equivalente stelsels. Matrices worden dan geïntroduceerd om het schrijfwerk te beperken. De
coëfficiënten van de onbekenden en de rechterleden uit de vergelijkingen vormen een schema, een matrix.
Nu kan gedefinieerd worden wat men onder een matrix verstaat, wat de coëfficiëntenmatrix en de uitgebreide
matrix van een stelsel zijn en wat elementaire rijoperaties zijn. De optelling en de vermenigvuldiging van
matrices worden dan behandeld. De vermenigvuldiging van matrices komt voor in de notatie A.X = B voor
een stelsel. Er kan hier ingegaan worden op enkele eigenschappen van het vermenigvuldigen van matrices:
de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, is associatief als de bewerking mogelijk is, niet alle
matrices hebben een inverse, het bestaan van nuldelers, ...
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
22
3de graad KSO-TSO
De inverse van een matrix kan berekend worden via elementaire rijoperaties.
Hoe men een determinant kan aanbrengen zal afhangen van de gekozen optie. Men kan dit doen vanuit het
inverteren van matrices of op zuiver algebraïsche wijze. Men zal er op wijzen dat de determinant een rol kan
spelen bij het oplossen van vierkante stelsels.
De rang van een matrix kan men bepalen met behulp van hoofddeterminanten of door het uitvoeren van een
aantal rijoperaties. De algemene oplosbaarheidsvoorwaarde voor een stelstel (rang van de coëfficiëntenmatrix = rang van de uitgebreide matrix) kan vermeld worden. Deze voorwaarde kan uit voorbeelden
afgeleid worden.
Naast het oplossen van stelsels kan ook het bespreken van eenvoudige stelsels aan bod komen. Dat bepaalde
stelsels voor bepaalde waarden van de coëfficiënten oplosbaar zijn en voor andere strijdig, zal dan aanleiding
geven tot het opstellen van de oplosbaarheidsvoorwaarden (elimineren).
4
Combinatieleer
De combinatieleer bestaat vooral in het oplossen van telproblemen die o.a. voorkomen bij het berekenen van
kansen. Deze studie zal omvatten: het opzoeken van het aantal variaties, permutaties en combinaties. Het
spreekt vanzelf dat elk geval geïllustreerd moet worden met een reeks aangepaste voorbeelden en dat bij het
inoefenen in de eerste plaats de soort van groepering onderzocht moet worden. Het bepalen van de
binomiaalformule van Newton kan gebeuren door het berekenen van (a + b)2, (a + b)3, ..., (a + b)n. Dit
leidt eveneens tot het opstellen van de driehoek van Pascal.
5
Beschrijvende statistiek
Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het ordenen, samenvatten en overzichtelijk voorstellen van
gegevens (zowel kwalitatieve als kwantitatieve) afkomstig uit allerlei disciplines. Verklarende statistiek
daarentegen formuleert conclusies, met een zekere betrouwbaarheid en maakt daarbij gebruik van kansrekening. Ruwe statistische gegevens worden geordend, grafisch voorgesteld en samengevat. Het ordenen van
de gegevens gebeurt aan de hand van een frequentietabel. Het groeperen brengt met zich reeds een samenvatting van de informatie en dus een verlies aan informatie mee. Als er minder klassen gemaakt worden,
gaat er meer informatie verloren, maar is het resulterende frequentiediagram overzichtelijker en andersom.
Er zijn veel mogelijkheden om statistische gegevens grafisch voor te stellen. Het is belangrijk dat de leerlingen een aantal frequent voorkomende grafische voorstellingen leren lezen en interpreteren. Men zal niet
nalaten er enkele te tekenen.
Een verdere stap in het verwerken van statistische gegevens met behulp van kwantitatieve kenmerken zijn de
centrummaten en spreidingsgetallen. Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat sommige getallen,
gebruikt in de statistiek, geregeld misbruikt worden. Een typisch voorbeeld in dit verband is dat van
gegevens over inkomens. Meestal ligt hierbij het "rekenkundig gemiddelde" hoger dan de "mediaan". Wie
er belang bij heeft mensen te doen geloven dat het "gemiddelde" inkomen hoog is, gebruikt het "rekenkundig
gemiddelde" en wie daarentegen de indruk wil wekken dat het "gemiddelde" inkomen laag is, kiest de "mediaan".
Een systematische behandeling van mogelijke grafische voorstellingen, kentallen voor het centrum en de
spreiding van frequentieverdelingen, riskeert te ontaarden in een dorre opsomming. Het is beter deze
voorstellingen en kentallen gaandeweg in te voeren bij het behandelen van een groot aantal voorbeelden, die
zo realistisch en actueel mogelijk worden gekozen.
6
Kansrekenen
In de kansrekening stelt men eerst duidelijk wat een uitkomstenverzameling is en wat onder een gebeurtenis
wordt verstaan. Hierbij sluit aan wat een enkelvoudige en een samengestelde gebeurtenis is. Deze begrippen
kunnen aangebracht worden door middel van gemakkelijk uit te voeren experimenten. De combinatieleer zal
hier gebruikt worden voor het oplossen van de optredende telproblemen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
23
3de graad KSO-TSO
Beschouwingen over de voorwaarden waaraan de kansen moeten voldoen, kunnen er toe leiden een axiomatisch kansmodel op te stellen. Men kan hierbij aandacht besteden aan de zogenaamde uniforme kansverdeling
wat vrij veel maar niet uitsluitend voorkomt.
De voornaamste formules van de kansleer, de somregel en de produktregel, zullen zeker besproken worden.
Hun bijzondere gevallen zijn daarvan een uitloper. Men zal dus ondermeer het onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen via voorbeelden illustreren. De regel van de voorwaardelijke kans
kan het eindpunt vormen.
7
Analytische meetkunde
Men zal de analytische uitdrukking van de afstand tussen twee punten bekomen door middel van de stelling
van Pythagoras. De voorwaarde voor loodrechte stand tussen twee rechten kan bepaald worden langs
goniometrische weg, door gebruik te maken van gelijkvormige driehoeken of steunend op de stelling van
Pythagoras. Vraagstukken en eigenschappen uit de meetkunde worden nu analytisch behandeld. Zo kan men
het concurrent zijn van de merkwaardige lijnen in een driehoek analytisch aantonen. Een overzicht van de
merkwaardige punten in een driehoek kan hierbij aansluiten.
Vraagstukken zoals het bepalen van de snijpunten van een cirkel en een rechte en een vergelijking opstellen
van de raaklijn in een punt van een cirkel zijn hier eveneens op hun plaats. Men kan eveneens de vergelijking opstellen van de raaklijn(en) uit een punt aan een cirkel en de gemeenschappelijke punten van twee cirkels bepalen.
8
Ruimtemeetkunde
De ruimtemeetkunde is een uitbreiding van de vroeger geziene vlakke meetkunde.
De onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken onderzoekt men op een intuïtieve wijze. Enkele
eigenschappen worden geformuleerd. Men bespreekt de verschillende situaties van hoeken in de ruimte en
daaruit wordt de loodrechte stand van rechten en vlakken onderzocht.
Bijzondere aandacht wordt geschonken aan de ontwikkeling van het ruimtelijk inzicht en aan het voorstellen
van ruimtefiguren in een vlak. Enerzijds maakt men gebruik van het natuurlijk, het isometrisch en het
cavalièreperspectief waar de conventies erop gericht zijn een voorstelling te bekomen die eerder aansluit bij
de beelden die bij de waarneming opgedaan worden en anderzijds de orthogonale projectie waar het inzichtelijk aspect meer naar voor komt.
In de opbouw van de ruimtemeetkunde integreert men de definitie, de begrippen, de elementaire eigenschappen, de oppervlakte en de inhoud van de ruimtefiguren die in de leerstofafbakening vermeld zijn. Een
goede keuze van de vraagstukken biedt een ruime waaier aan toepassingen.
9
Analytische meetkunde
Men kan ellips, hyperbool en parabool het best definiëren als een verzameling van punten. Door het maken
van een goede keuze van een assenstelsel bekomt men een eenvoudige vergelijking voor deze kegelsneden.
De vorm van een kegelsnede wordt bepaald door het vinden van symmetrieassen met behulp van de definitie
of de canonieke vergelijking en door gebruik te maken van de technieken uit de analyse voor het verloop van
functies. De vergelijkingen van raaklijnen, normalen en asymptoten kunnen opgesteld worden met behulp
van de analyse.
Eventueel kan men nog parametervergelijkingen van een ellips en van een cirkel opstellen.
Op verschillende plaatsen kan men ingaan op constructiemethodes van kegelsneden.
Waar tijd en niveau het toelaten kan men enkele methoden voor het opzoeken van meetkundige plaatsen
bespreken.
Naast gevallen waar men rechtstreeks de definitie van de meetkundige plaats in een analytische voorwaarde
omzet kan men ook voorbeelden bespreken van meetkundige plaatsen die gedefinieerd worden als snijpunten
van families geassocieerde krommen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
24
3de graad KSO-TSO
Om het "meetkundig" denken van de leerlingen te bevorderen is het aangewezen bij de studie van de
kegelsneden (en eventueel van meetkundige plaatsen) zich niet te beperken tot het afleiden van de vergelijking
ervan. Het bepalen van een ruwe schets is leerrijk en werkt stimulerend en controlerend. Dit kan gebeuren
met de volgende (niet exhaustieve) hulpmiddelen:
- het bepalen van gebieden;
- het bepalen van symmetrieassen;
- het bepalen van snijpunten met de coördinatenassen;
- het bepalen van asymptoten;
- het bepalen van bijzondere punten en raaklijnen in deze punten.
Het invoeren en bespreken van poolcoördinaten in het georiënteerd euclidisch vlak als alternatieve analytische
beschrijving van figuren moet niet noodzakelijk als laatste hoofdstuk worden aangepakt. Bij de definitie zal
men zeker wijzen op verschillen met cartesiaanse coördinaten: de pool heeft geen coördinaten en één punt
heeft meerdere stellen poolcoördinaten t.o.v. een gekozen poolstelsel. Het nut van poolcoördinaten kan
blijken uit de eenvoudige poolvergelijkingen van sommige krommen (o.a. cirkels en kegelsneden). In meer
technische toepassingen komen bijvoorbeeld cycloïden voor.
Bij de transformatieformules tussen geassocieerde stelsels (pool- en cartesiaans stelsel) is de interpretatie als
modulus en argument van het beeldpunt in het complex vlak voor de poolcoördinaten enerzijds en als reëel
en imaginair deel van de cartesiaanse coördinaten anderzijds, interessant. Dit opent tevens nieuwe perspectieven op het gebruik van de complexe getallen bij meetkundige problemen (en omgekeerd).
10
Rijen en reeksen
Rijen kunnen een belangrijke rol spelen bij de studie van limieten of bij de opbouw van integralen. Vooreerst
bestudeert men de meetkundige en de rekenkundige rij. Het berekenen van de algemene term en het
opzoeken van de som van de eerste n termen zal zeker behandeld worden. Het voorstellen van termen met
indices en het gebruik van het sommatieteken krijgen de nodige aandacht en verruimen het algebraïsch
instrumentarium. Eventueel kan men rekenkundige en meetkundige rijen met elkaar vergelijken. Rekenkundig en meetkundig gemiddelde spelen dan een analoge rol. Men zal het belang van rijen illustreren door een
aantal praktische vraagstukken. De limiet van een rij in +4 zal leiden tot de begrippen convergentie en
divergentie.
Als de beschikbare tijd en het niveau van de klas het toelaten kan men via de geassocieerde partieelsommen
de convergentie van reeksen bespreken. Een illustratie via de overeenkomstige rekenkundige en meetkundige reeksen zal leiden tot enkele belangrijke besluiten.
Men kan ook de formules van Taylor en Maclaurin opstellen. Hiervoor gaat men uit van de formule van
Lagrange die men veralgemeent. Deze formules vormen een basis voor de benadering van een functie door
veeltermfuncties. Deze formules kunnen gebruikt worden om veeltermbenaderingen op te stellen voor
bijvoorbeeld cos x, sin x, (1 + x)q (q is een rationaal getal), ln(1 + x), ex, ... Hier is er gelegenheid tot
numeriek rekenwerk.
11
Goniometrie
Vooreerst kan men de formule voor cos(a - b) bewijzen. Hiervoor bestaan verschillende methoden. De
andere somformules kunnen op een eenvoudige wijze uit deze formule afgeleid worden. Het aanbrengen van
de formules voor de dubbele hoek en van de formules van Simpson is ook eenvoudig. Bij het inoefenen van
deze formules zal men niet overdrijven in de moeilijkheidsgraad.
12
Complexe getallen
Als inleiding op de studie van complexe getallen is een herhaling van de opeenvolgende uitbreidingen van het
getalbegrip nuttig. De methode van invoeren van complexe getallen is vrij.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
25
3de graad KSO-TSO
Complexe getallen kunnen gedefinieerd worden als getallen gelijk aan a + bi met i2 = -1 of als koppel reële
getallen (merk op dat in de elektriciteitsleer i vervangen wordt door j). De meetkundige voorstelling sluit
hier onmiddellijk op aan. De optelling van complexe getallen heeft een eenvoudige meetkundige betekenis.
Het is nu mogelijk vierkantsvergelijkingen met reële coëfficiënten en negatieve discriminant op te lossen.
Via de meetkundige voorstelling van een complex getal komt men tot de goniometrische schrijfwijze voor een
complex getal. De begrippen modulus en argument moeten hier ingevoerd worden. Met behulp van de
goniometrische vorm kan de meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging (de deling) duidelijk gemaakt
worden.
De formule van de Moivre wordt nu afgeleid. Als toepassing hierop worden n-de machten en n-de machtswortels berekend. Het is hier belangrijk op te merken dat het aantal n-de machtswortels steeds n is (vergelijk
voor n = 2 bijvoorbeeld met de situatie in ú). Dit sluit nauw aan bij de motivatie om de complexe getallen
in te voeren.
Men kan ook binomiaalvergelijkingen oplossen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
26
3de graad KSO-TSO
LEERPLAN C VOOR VIER LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING
Opmerkingen
- Het leerplan wordt aangeboden als een graadleerplan. De leerkrachten bepalen in onderling overleg welke
onderwerpen in het eerste leerjaar behandeld worden en welke onderwerpen in het tweede leerjaar. Het
is zonder meer duidelijk dat in het tweede leerjaar geen onderwerpen mogen behandeld worden die reeds
in het eerste leerjaar behandeld werden.
- Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens
waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel
maar ook op de beperkingen ervan.
- Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan
in de brochure.
- Dit leerplan sluit aan bij het leerplan D uit de tweede graad.
1
Reële functies
1.1 Gebroken rationale functies: begrip, domein, nulpunten en tekenonderzoek.
1.2 Goniometrische functies.
- Definitie en som- en verschilformules, formules voor de dubbele hoek, formules van Simpson.
- Formules voor verwante hoeken, verloop van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie.
- Goniometrische vergelijkingen van de vorm sin(ax + b) = c, cos(ax + b) = c, tg(ax + b) = c.
1.3 De cyclometrische functies y = bgsinx, y = bgcosx, y = bgtgx: begrip, domein, nulpunten, grafiek.
1.4 Logaritmische en exponentiële functies: begrip, eigenschappen, domein, grafiek. Vergelijkingen van
de vorm af(x) = b.
2
Analyse
2.1 Intuïtieve aanbreng van het begrip limiet en van het gedrag op oneindig. Berekenen van limieten.
2.2 Afgeleide: definitie, meetkundige interpretatie, rekenregels voor het berekenen van afgeleiden.
Vergelijking van de raaklijn in een punt van een kromme.
2.3 Studie van het verloop van veeltermfuncties en van gebroken rationale functies: stijgen, dalen, extrema,
buigpunten, raaklijnen, asymptoten, grafische voorstelling.
2.4 Extremaproblemen.
2.5 Invoeren van het begrip bepaalde integraal als oppervlakte.
2.6 Primitieve functies, verband met integralen.
2.7 Eenvoudige integratiemethoden.
2.8 Toepassingen: berekenen van oppervlakten en inhouden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
27
3de graad KSO-TSO
3
Matrices en stelsels
3.1 Bewerkingen met matrices. Toepassingen.
3.2 Oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de methode van Gauss-Jordan.
3.3 Vraagstukken.
4
Financiële Algebra
4.1 Enkelvoudige intrest; samengestelde intrest.
4.2 Toepassingen: koop op afbetaling, gelijkwaardige percenten, kasbons.
4.3 Annuïteiten; kapitaalvorming, schuldaflossing op korte en lange termijn; aflossingstabel opstellen en
bespreken.
5
5.1
5.2
5.3
5.4
6
Beschrijvende statistiek
Verzamelen van statistische gegevens.
Frequentietabellen, frequentieverdelingen.
Grafische voorstellingen.
Beschrijvende maten voor kwantitatieve kenmerken.
Centrummaten: rekenkundig gemiddelde, mediaan, modus.
Spreidingsgetallen: variantie, standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte.
Facultatief: Combinatieleer en kansrekenen
6.1 Permutaties, variaties, combinaties.
6.2 Binomium van Newton.
6.3 Elementaire begrippen en eigenschappen uit de kansrekening (uitkomst, universum, gebeurtenis, kans
van een uitkomst, regel van Laplace).
6.4 Voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen.
4
DIDACTISCHE WENKEN
1
Reële functies
Nadat men in het tweede leerjaar van de tweede graad veeltermfuncties heeft bestudeerd, zal men nu kennis
maken met nieuwe reële functies: de gebroken rationale, de goniometrische, de cyclometrische en tenslotte
de exponentiële en de logaritmische functies.
Het is telkens de bedoeling het begrip goed te omschrijven, in te gaan op het bepalen van het domein en de
nulpunten en de verandering van het teken te onderzoeken. Voor de gebroken rationale functies volstaat het
met functies te werken waarvan teller en noemer door de leerlingen kunnen ontbonden worden. Men zal de
nodige aandacht besteden aan de rekenvaardigheden. Enkele voorbeelden van gebroken rationale vergelijkingen zullen de leerlingen vertrouwd maken met het stellen van bestaansvoorwaarden.
In het eerste leerjaar van de tweede graad ontmoetten de leerlingen de begrippen sinus, cosinus en tangens
van een scherpe hoek en maakten ze toepassingen op de betrekkingen tussen de elementen van een rechthoekige driehoek. Na het invoeren van de goniometrische cirkel worden sinus, cosinus en tangens van een
georiënteerde hoek gedefinieerd en hun verloop bestudeerd. Het verloop van de goniometrische functies
wordt grafisch geïllustreerd. De verbanden tussen de goniometrische getallen van verwante hoeken worden
opgezocht met behulp van de goniometrische cirkel. De som- en verschilformules kunnen op verschillende
manieren aangebracht worden. Bewijzen zijn niet noodzakelijk. De andere formules kunnen op een
eenvoudige wijze uit de som- en verschilformules worden afgeleid.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
28
3de graad KSO-TSO
Bij het inoefenen van deze formules zal men niet overdrijven in de moeilijkheidsgraad. Bij het oplossen van
goniometrische vergelijkingen zal men zich beperken tot het oplossen van de grondvormen. Waar het niveau
en de tijd het toelaten kan men de functies y = a.sin [b(x+c)] onderzoeken, waarbij dan de begrippen
periode, amplitude en verschuiving ter sprake komen.
Door de goniometrische functies te beperken zal men laten zien dat de inverse relaties van die beperkte
functies wel functies zijn. Het is wenselijk hierbij de grafiek van cyclometrische functies uit deze van de
rechtstreekse functies af te leiden, gebruikmakend van het verband dat bestaat tussen de grafieken van twee
inverse functies in een rechthoekig assenstelsel.
Logaritme definieert men als de inverse van een macht, die toelaat de exponent te berekenen als grondtal en
resultaat van de machtsverheffing gekend zijn. Voldoende aandacht moet besteed worden aan de beperkingen
die in de definitie ingebouwd zijn. Steunend op de definitie kan men de voornaamste eigenschappen van
logaritmen aantonen. Bij het oplossen van vergelijkingen zal men zich beperken tot het oplossen van de
meest voorkomende namelijk af(x) = b. Om deze vergelijkingen op te lossen maakt men meestal gebruik van
logaritmen. Men zal echter niet nalaten aan te tonen dat sommige van die vergelijkingen op te lossen zijn
door te steunen op het begrip exponent. Door punt-voor-punt-constructies van goedgekozen logaritmische
en exponentiële functies kan men de voornaamste eigenschappen van de grafiek afleiden. De invoering van
het getal e stelt men best uit tot na het limietbegrip of, naargelang de wijze waarop het getal e wordt
aangebracht, tot na het begrip afgeleide. Er zal in ieder geval gewezen worden op de impakt van deze
transcendente functies op andere disciplines. Een rijke illustratie via voorbeelden van groeimodellen,
intrestberekening, enz. zal hier niet overbodig zijn.
2
Analyse
Men beperkt zich tot een intuïtieve behandeling van het begrip "limiet": als x nadert tot a (hetzij kleiner dan,
hetzij groter dan) en f(x) nadert tot b, dan is b de limiet van f(x) in a. Met numerieke berekeningen zal men
n
bx n 1 ... c)
de eigenschap lim (ax
x6±4
lim (ax n)
x6±4
±4 aantonen. Bij het berekenen van de limieten
in de grenspunten van het domein wordt het verband gelegd met de asymptoten. De ligging van de kromme
ten opzichte van deze speciale rechten kan hierbij aansluiten. Limieten van goniometrische functies kunnen
onderzocht worden.
Het invoeren van het begrip afgeleide verdient de nodige aandacht. Er bestaan talrijke geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. Voorbeelden zijn: de ogenblikkelijke snelheid
gegeven door de snelheidsmeter van een auto; de helling van een berg. Deze geven de leerlingen een goed
beeld van de begrippen "maat voor de snelheid waarmee iets verandert" en "maat voor de helling van de
grafiek in een punt".
Bij afgeleiden komen hoofdzakelijk volgende punten aan bod: afgeleide van een functie in een punt, de
vergelijking van de raaklijn, de afgeleide functie en de rekenregels voor het bepalen van de afgeleide. Deze
rekenregels worden aanvaardbaar gemaakt of bewezen. De kettingregel zal in eenvoudige gevallen toegepast
worden.
De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe
wijze kan overbrengen. Voor de leerlingen is het tekenen van een grafiek, aan de hand van een functievoorschrift, ook een belangrijke vaardigheid. Met behulp van de afgeleide wordt de methode om grafieken te
schetsen verbeterd. Een studie van het tekenverloop van de afgeleide functie levert een eerste beeld van de
grafiek. Het berekenen van een aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met
de assen, eventueel nog enkele andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid.
De bepaalde integraal van een functie zal gedefinieerd worden als de oppervlakte "onder" de grafiek van de
functie waarbij bepaalde tekenconventies in acht worden genomen. De oppervlakte wordt benaderd door de
gezamelijke oppervlakte van een aantal rechthoekjes en kan zo dicht worden benaderd als men wil door het
aantal rechthoekjes te verhogen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
29
3de graad KSO-TSO
Het begrip oppervlaktefunctie Of wordt dan ingevoerd. De dx, die bij de integraalnotatie optreedt, beschouwt
men als een onderdeel van de notatie. Met behulp van de formules voor de berekening van de oppervlakte
van een rechthoek, een driehoek en een trapezium kunnen de leerlingen oppervlaktefuncties berekenen van
constante functies en eerstegraadsfuncties. Door het vergelijken van de grafische voorstellingen van Iabf(x)dx
met de overeenstemmende oppervlaktefunctie komt men tot de eigenschap Iabf(x)dx = Of(b) - Of(a). Via een
aantal opgaven zal duidelijk worden dat men integralen van veeltermfuncties kan berekenen als men de
oppervlaktefuncties kent. Doordat men de oppervlaktefuncties van hogeregraadsfuncties niet kan bepalen,
zal men in de voorgaande opgaven het verband nagaan tussen de oppervlaktefunctie en de functie zelf.
Hierdoor komt de volgende eigenschap aan bod: de afgeleide van de oppervlaktefunctie Of van een functie
f is f. Gelijktijdig ontstaat de noodzaak van het invoeren van de definitie van het begrip "primitieve functie".
Combinatie van vorige eigenschappen samen met de eigenschap "primitieve functies van een zelfde functie
verschillen door een constante" levert de techniek voor het berekenen van bepaalde integralen. Als integratiemethoden beperkt men zich tot integratie door splitsing, door eenvoudige substituties en door partiële
integratie. Tenslotte komen toepassingen van integralen aan bod. Zo leert men de oppervlakte van vlakke
figuren en de inhoud van omwentelingslichamen berekenen.
3
Matrices en stelsels
De bedoeling van dit onderwerp is het leren oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de
methode van Gauss-Jordan. Matrices zijn hierbij een handig hulpmiddel. Men kan dit onderwerp op één van
de volgende manieren uitwerken.
Een mogelijkheid is dat men eerst matrices behandelt en daarna de toepassing ervan bij het oplossen van
stelsels. Om het begrip matrix, het produkt van matrices, ... aan te brengen kan men gebruik maken van een
van de talrijke toepassingen van matrices binnen en buiten de wiskunde.
Een andere mogelijkheid voor het uitwerken van dit onderwerp is dat men alles aanbrengt aan de hand van
het oplossen van stelsels. Elementaire rijoperaties vinden hun oorsprong in het vervangen van stelsels door
andere equivalente stelsels. Matrices worden dan geïntroduceerd om het schrijfwerk te beperken. De
coëfficiënten van de onbekenden en de rechterleden uit de vergelijkingen vormen een schema, een matrix.
Nu kan gedefinieerd worden wat men onder een matrix verstaat, wat de coëfficiëntenmatrix en de uitgebreide
matrix van een stelsel zijn en wat elementaire rijoperaties zijn. De optelling en de vermenigvuldiging van
matrices worden dan behandeld. De vermenigvuldiging van matrices komt voor in de notatie A.X = B voor
een stelsel. Er kan hier ingegaan worden op enkele eigenschappen van het vermenigvuldigen van matrices:
de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, is associatief als de bewerking mogelijk is, niet alle
matrices hebben een inverse, ...
De inverse van een matrix kan berekend worden via elementaire rijoperaties.
4
Financiële Algebra
De leerlingen moeten in de eerste plaats kennis maken met de grondbeginselen en de specifieke denkwijzen
van de financiële wiskunde. Onvermijdelijk komen hierbij enkele rekentechnische oefeningen aan bod. De
theoretische kennis mag echter niet losgekoppeld worden van de realiteit. Zo is het zeer belangrijk dat de
leerlingen, als toekomstige consumenten, vaardig worden in het evalueren van het ruime aanbod binnen de
financiële wereld. De behandeling van praktijkvoorbeelden moet nochtans voldoende algemeen blijven zodat
de leerlingen ook raad weten met andere of nieuwe financiële contracten.
Bij de intrestrekening zal bijzondere aandacht worden besteed aan de definitie van de "rentevoet per periode".
Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat dit begrip, vaak gewild, onnauwkeurig wordt gedefinieerd (de periode wordt niet vermeld of men gebruikt een synoniem dat toch niet helemaal dezelfde
betekenis heeft). Men kan voorzichtig beginnen en voor de periode steeds één jaar nemen zodat men altijd
te maken heeft met een werkelijke rentevoet. Zo kunnen de wiskundige formules van de enkelvoudige en de
samengestelde intrest in dit geval opgebouwd worden. Deze leerstof is tevens ruim genoeg om talrijke praktijkvoorbeelden te behandelen: belegging op termijn, groeibon, kasbon met of zonder kapitalisatie, verlopen
intrest op coupons, ...
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
30
3de graad KSO-TSO
Hierbij is het bijvoorbeeld belangrijk dat de leerlingen de bedragen die op dergelijke waardepapieren afgedrukt staan kunnen berekenen. Bovendien moeten zij de werkelijke rentevoet (beter gekend als het actuarieel
rendement) van zulke belegging kunnen berekenen. Hierbij zal men ook rekening houden met de roerende
voorheffing en naast het bruto-rendement ook het netto-rendement bepalen.
Als de leerlingen voldoende vaardig zijn in het berekenen van intresten tegen een werkelijke rentevoet kan
de stap naar andere periodes van kapitalisatie worden gezet. Het begrip "gelijkwaardige rentevoet" laat toe
verschillende rentetarieven te vergelijken. Bovendien is dit begrip onmisbaar bij de studie van de annuïteiten
met tussentijdse betalingen waarbij de werkelijke rentevoet wordt gegeven.
Bij de berekening van de contante waarde of de slotwaarde van de meest voorkomende typen van annuïteiten
moet men er zeker over waken dat er geen berg van formules ontstaat. Het gebruik van een kapitaal-tijd-as
als eenvoudige voorstelling van talrijke formules is aan te bevelen. Zoals bij de intrestrekening kan men bij
de annuïteiten ook beginnen met het jaar als eenheidsperiode en tegen een werkelijke rentevoet. Nadien
komen de annuïteiten met tussentijdse betalingen aan bod. Hierbij kiest men als eenheidsperiode de periode
van de annuïteit. Om de leerlingen met de verschillende spaar- of kredietvormen vertrouwd te maken,
kunnen, bij de studie van annuïteiten, eenvoudige gevallen hiervan aan bod komen.
Men zal zich beperken tot de meest gebruikte types van leningen. Wiskundig verschillen de lening op
afbetaling (al dan niet persoonlijk) en de koop op afbetaling niet. Bijgevolg worden ze best samen behandeld.
Het is hier van belang dat de leerlingen begrijpen hoe de financiële verplichting van een dergelijk contract
tot stand komt en dat ze deze ook kunnen berekenen. De naam "lastenpercentage" verdient zeker uitleg.
Belangrijk is ook dat ze de werkelijke rentevoet die de geldschieter aanrekent kunnen berekenen. Hier moet
ook worden gewezen op de (wettelijk toegelaten) benadering van deze werkelijke rentevoet die in de praktijk
wordt gebruikt. De meest voorkomende hypothecaire lening is ongetwijfeld deze waarbij de dienst geregeld
wordt door een constante annuïteit. De leerlingen moeten hierbij het aflossingsplan kunnen opstellen.
Steunend op dit plan kunnen eventueel eenvoudige vraagstukken van vervroegd terugbetalen (al dan niet met
wederbeleggingsvergoeding) of wijziging van de rentevoet worden behandeld.
5
Beschrijvende Statistiek
Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het ordenen, samenvatten en overzichtelijk voorstellen van
gegevens (zowel kwalitatieve als kwantitatieve) afkomstig uit allerlei disciplines. Verklarende statistiek
daarentegen formuleert conclusies, met een zekere betrouwbaarheid en maakt daarbij gebruik van kansrekening. Ruwe statistische gegevens worden geordend, grafisch voorgesteld en samengevat. Het ordenen van
de gegevens gebeurt aan de hand van een frequentietabel. Het groeperen brengt met zich reeds een samenvatting van de informatie en dus een verlies aan informatie mee. Als er minder klassen gemaakt worden,
gaat er meer informatie verloren, maar is het resulterende frequentiediagram overzichtelijker en andersom.
Er zijn veel mogelijkheden om statistische gegevens grafisch voor te stellen. Het is belangrijk dat de leerlingen een aantal frequent voorkomende grafische voorstellingen leren lezen en interpreteren. Men zal niet
nalaten er enkele te tekenen.
Een verdere stap in het verwerken van statistische gegevens met behulp van kwantitatieve kenmerken zijn de
centrummaten en spreidingsgetallen. Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat sommige getallen,
gebruikt in de statistiek, geregeld misbruikt worden. Een typisch voorbeeld in dit verband is dat van gegevens
over inkomens. Meestal ligt hierbij het "rekenkundig gemiddelde" hoger dan de "mediaan". Wie er belang
bij heeft mensen te doen geloven dat het "gemiddelde" inkomen hoog is, gebruikt het "rekenkundig gemiddelde" en wie daarentegen de indruk wil wekken dat het "gemiddelde" inkomen laag is, kiest de "mediaan".
Een systematische behandeling van mogelijke grafische voorstellingen, kentallen voor het centrum en de
spreiding van frequentieverdelingen, riskeert te ontaarden in een dorre opsomming. Het is beter deze
voorstellingen en kentallen gaandeweg in te voeren bij het behandelen van een groot aantal voorbeelden, die
zo realistisch en actueel mogelijk gekozen worden.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
31
3de graad KSO-TSO
6
Combinatieleer en kansrekenen
De combinatieleer bestaat vooral in het oplossen van telproblemen die onder andere voorkomen bij het berekenen van kansen. Deze studie zal omvatten: het opzoeken van het aantal variaties, permutaties en combinaties. Het spreekt vanzelf dat elk geval geïllustreerd moet worden met een reeks aangepaste voorbeelden en
dat bij het inoefenen in de eerste plaats de soort van groepering onderzocht moet worden. Het bepalen van
de binomiaalformule van Newton kan gebeuren door het berekenen van (a + b)2, (a + b)3, ..., (a + b)n. Dit
leidt eveneens tot het opstellen van de driehoek van Pascal.
In de kansrekening stelt men eerst duidelijk wat een uitkomstenverzameling is en wat onder een gebeurtenis
wordt verstaan. Hierbij sluit aan wat een enkelvoudige en een samengestelde gebeurtenis is. Deze begrippen
kunnen worden aangebracht door middel van gemakkelijk uit te voeren experimenten. De combinatieleer zal
hier worden gebruikt voor het oplossen van de optredende telproblemen.
Beschouwingen over de voorwaarden waaraan de kansen moeten voldoen, kunnen er toe leiden een axiomatisch kansmodel op te stellen. Men kan hierbij aandacht besteden aan de zogenaamde uniforme kansverdeling
wat vrij veel maar niet uitsluitend voorkomt.
De voornaamste formules van de kansleer, de somregel en de produktregel, zullen zeker besproken worden.
Hun bijzondere gevallen zijn daarvan een uitloper. Men zal dus ondermeer het onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen via voorbeelden illustreren. De regel van de voorwaardelijke kans
kan het eindpunt vormen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
32
3de graad KSO-TSO
LEERPLAN D VOOR DRIE OF TWEE LESTIJDEN PER WEEK
3
LEERSTOFAFBAKENING
Opmerkingen
- Het leerplan geeft een opsomming van een aantal keuze-onderwerpen. Per studierichting moeten echter een
aantal van deze onderwerpen behandeld worden. Op het einde van de leerstofafbakening vindt men in dit
verband een overzicht. Daarnaast blijven er nog een aantal lestijden over waarvoor de leerkracht uit de
leerstofafbakening kiest, rekening houdend met de specificiteit van de studierichting.
Bij de samenstelling van de verplichte onderwerpen en de vrij te kiezen onderwerpen houdt men rekening
dat men over minimum 25 lestijden per wekelijks beschikbare lestijd beschikt.
- Het is evident dat in het eerste leerjaar van de derde graad geen leerstof mag behandeld worden die reeds in
de voorgaande graden aangeleerd werd en dat in het tweede leerjaar van de derde graad geen leerstof mag
behandeld worden die in een van de voorgaande leerjaren werd aangeleerd.
Indien men analyse bestudeert, zal men er voor zorgen (nagaan) dat voldoende functieleer wordt (werd)
aangeleerd.
- De onderwerpen zullen behandeld worden in overleg met de andere disciplines, zodat niet parallel maar
complementair wordt gewerkt.
- Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens
waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel
maar ook op de beperkingen ervan.
- Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan
in de brochure.
- Dit leerplan sluit aan bij het leerplan B, het leerplan C of het leerplan D uit de tweede graad.
Eerste onderwerp: Financiële Algebra (ca. 25 lestijden)
1 Briggse logaritmen als voorbereiding op de financiële algebra.
Definitie, elementaire eigenschappen.
2 Enkelvoudige intrest; samengestelde intrest.
3 Toepassingen : koop op afbetaling, gelijkwaardige percenten, kasbons.
4 Annuïteiten; kapitaalvorming, schuldaflossing op korte en lange termijn; aflossingstabel opstellen en bespreken.
Tweede onderwerp: Grafieken en diagrammen (ca. 10 lestijden)
1 Grafisch voorstellen van empirische functies, staafdiagram, strookdiagram, schijfdiagram, blokdiagram, ...
2 Interpreteren van deze grafieken.
Derde onderwerp: n-de machtswortels en rationale exponenten (ca. 10 lestijden)
1 Definities.
2 Rekenen met machten met rationale exponenten.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
33
3de graad KSO-TSO
Vierde onderwerp: Reële functies (ca. 25 lestijden)
1 Functies van de tweede graad: definitie, grafiek, nulpunten, tekenonderzoek, verloop.
2 Veeltermen en veeltermfuncties: euclidische deling, deling door (x - a), nulpunten, tekenonderzoek.
Vijfde onderwerp: Goniometrie A (ca. 20 lestijden)
1
2
3
4
5
Maatgetallen van een hoek; omrekeningen.
De goniometrische cirkel.
Definities van de goniometrische getallen van een hoek.
De functies y = a.sin[b(x + c)]: periode, amplitude, verschuiving.
Betrekkingen tussen de elementen van een willekeurige driehoek: sinusregel, cosinusregel. Toepassingen.
Zesde onderwerp: Goniometrie B (ca. 20 lestijden)
Opmerking: bij de aanvang van dit onderwerp wordt verwacht dat de leerstofpunten vermeld in het vijfde
onderwerp "Goniometrie A" aangeleerd werden, hetzij in het tweede leerjaar van de tweede graad, hetzij in de
derde graad.
1 Formules voor verwante hoeken, som- en verschilformules, formules voor de dubbele hoek, formules van
Simpson.
2 Goniometrische vergelijkingen van het type: sin(ax + b) = c, cos(ax + b) = c en tg(ax + b) = c.
3 Cyclometrische functies: begrip.
Zevende onderwerp: Complexe getallen (ca. 20 lestijden)
1
2
3
4
Definities, hoofdbewerkingen.
Oplossen van vierkantsvergelijkingen met negatieve discriminant.
De goniometrische vorm van complexe getallen.
De formule van de Moivre. Toepassingen.
Achtste onderwerp: Matrices en stelsels (ca. 10 lestijden)
1 Matrix: elementaire rij-operaties van een matrix.
2 Oplossen van stelsels van eerstegraadsvergelijkingen volgens de methode van Gauss-Jordan.
3 Vraagstukken.
Negende onderwerp: Analytische meetkunde (ca. 20 lestijden)
1
2
3
4
5
Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten.
Analytische voorwaarde voor loodrechte stand van twee rechten.
Afstand van een punt tot een rechte.
Vergelijking van een cirkel.
Facultatief: transformaties van een assenstelsel.
Tiende onderwerp: Beschrijvende statistiek (ca. 25 lestijden)
1
2
3
4
Verzamelen van statistische gegevens.
Frequentietabellen, frequentieverdelingen.
Grafische voorstellingen.
Beschrijvende maten voor kwantitatieve kenmerken.
Centrummaten: rekenkundig gemiddelde, mediaan, modus.
Spreidingsgetallen: variantie, standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
34
3de graad KSO-TSO
Elfde onderwerp: Combinatieleer en kansrekenen (ca. 25 lestijden)
1 Permutaties, variaties, combinaties.
2 Binomium van Newton.
3 Elementaire begrippen en eigenschappen uit de kansrekening (uitkomst, universum, gebeurtenis, kans van
een uitkomst, regel van Laplace).
4 Facultatief: voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen.
Twaalfde onderwerp: Algebra van Boole (ca. 25 lestijden)
1 Verzamelingenleer: unie, doorsnede en complement van verzamelingen, eigenschappen, wetten van de
Morgan, inclusie, gelijkheid.
2 Booleaanse algebra: definitie en axioma's, dualiteitsprincipe, eigenschappen, orde, Booleaanse formules,
normaalvorm, isomorfisme.
3 De schakelalgebra.
Dertiende onderwerp: Veeltermfuncties (ca. 40 lestijden)
1 Intuïtieve aanbreng van het begrip limiet en van het gedrag op oneindig.
2 Intuïtieve aanbreng van het begrip afgeleide; meetkundige betekenis van de afgeleide in een punt; rekenregels voor het berekenen van de afgeleide van een veeltermfunctie; vergelijking van de raaklijn in een punt
van de kromme.
3 Studie van het verloop van veeltermfuncties: stijgen, dalen, extreme waarden, buigpunten, ligging holle en
bolle zijde, raaklijnen, grafische voorstelling.
4 Invoering van het begrip bepaalde integraal als oppervlakte.
5 Primitieve functies van veeltermfuncties, verband met integralen.
6 Berekening van de integraal van een veeltermfunctie.
7 Toepassingen.
Veertiende onderwerp: Gebroken rationale functies (ca. 30 lestijden)
Opmerking: als men dit onderwerp en het vorige onderwerp behandelt in hetzelfde leerjaar dan worden de
leerstofpunten geïntegreerd.
1
2
3
4
Definitie, domein, nulpunten, tekenonderzoek.
Berekenen van limieten van gebroken rationale functies. Asymptoten.
Het berekenen van de afgeleide van een gebroken rationale functie.
Studie van het verloop van gebroken rationale functies.
Vijftiende onderwerp: Logaritmische en exponentiële functies (ca. 15 lestijden)
1
2
3
4.
Definitie, eigenschappen.
Vergelijkingen van de vorm af(x) = b.
Grafiek van een logaritmische en een exponentiële functie.
Facultatief: afgeleide.
Zestiende onderwerp: Ruimtemeetkunde A (ca. 10 lestijden)
1 Vraagstukken op het berekenen van oppervlakte en inhoud van een prisma, een parallellepipedum, een balk,
een kubus, een piramide, een cilinder, een kegel, een bol.
Zeventiende onderwerp: Ruimtemeetkunde B (ca. 25 lestijden)
1 Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken.
2 Hoeken. Loodrechte stand.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
35
3de graad KSO-TSO
3 Projecties.
4 Elementaire eigenschappen van lichamen.
5 Vraagstukken op het berekenen van oppervlakte en inhoud van een prisma, een parallellepipedum, een balk,
een kubus, een piramide, een cilinder, een kegel, een bol.
Achttiende onderwerp: Ruimtemeetkunde C (ca. 25 lestijden)
Opmerking: bij de aanvang van dit onderwerp wordt verwacht dat de leerstofpunten vermeld in het zeventiende
onderwerp "Ruimtemeetkunde B" werden aangeleerd.
1
2
3
4
Projectie van Monge: projectie van punten, rechten en vlakken.
Voorstelling van ruimtefiguren.
Wentelen van een projectievlak.
Doorsnede van vlakken en ruimtefiguren.
Overzicht per studierichting van de verplicht te behandelen onderwerpen
Studierichtingen met drie lestijden per week.
Studierichtingen: Elektriciteit, Elektromechanica, Elektronica, Industriële informatica, Mechanica, Textiel,
Vliegtuigtechnieken
onderwerp 6
onderwerp 7
onderwerp 13
onderwerp 14
onderwerp 15
goniometrie B
complexe getallen
veeltermfuncties
gebroken rationale functies
logaritmische en exponentiële functies
ca. 20 lestijden
ca. 20 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 30 lestijden
ca. 15 lestijden
Totaal: ca. 125 lestijden - er is nog voor ca. 25 lestijden een vrije keuze.
Studierichting:
onderwerp 6
onderwerp 9
onderwerp 13
onderwerp 14
onderwerp 15
Chemie
goniometrie B
analytische meetkunde
veeltermfuncties
gebroken rationale functies
logaritmische en exponentiële functies
ca. 20 lestijden
ca. 20 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 30 lestijden
ca. 15 lestijden
Totaal: ca. 125 lestijden - er is nog voor ca. 25 lestijden een vrije keuze.
Studierichting:
onderwerp 6
onderwerp 1
onderwerp 14
onderwerp 15
onderwerp 17
Bouwkunde, Bouwkundig tekenen
goniometrie B
veeltermfuncties
gebroken rationale functies
logaritmische en exponentiële functies
ruimtemeetkunde B
ca. 20 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 30 lestijden
ca. 15 lestijden
ca. 25 lestijden
Totaal: ca. 130 lestijden - er is nog voor ca. 20 lestijden een vrije keuze.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
36
3de graad KSO-TSO
Studierichtingen: Grafische wetenschappen, Handel
onderwerp 1
onderwerp 10
onderwerp 13
onderwerp 14
financiële algebra
beschrijvende statistiek
veeltermfuncties
gebroken rationale functies
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 30 lestijden
Totaal: ca. 120 lestijden - er is nog voor ca. 30 lestijden een vrije keuze.
Studierichting
Informaticabeheer
De onderwerpen aangeduid met (1) dienen te worden behandeld indien via het complementair gedeelte in het
eerste en het tweede leerjaar nog een vierde lesuur wiskunde wordt ingericht.
onderwerp 1
onderwerp 2
onderwerp 8
onderwerp 10
onderwerp 11
onderwerp 13
onderwerp 15
Totaal:
financiële algebra
grafieken en diagrammen (1)
matrices en stelsels
beschrijvende statistiek
combinatieleer en kansrekenen (1)
veeltermfuncties
logaritmische en exponentiële functies
ca. 25 lestijden
ca. 10 lestijden
ca. 10 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 15 lestijden
indien 3 - 3 uur: ca. 115 lestijden - er is nog voor ca. 35 lestijden een vrije keuze;
indien 4 - 4 uur: ca. 150 lestijden - er is nog voor ca; 50 lestijden een vrije keuze.
De keuze van de school, vakgroep, of leraar is in principe vrij, maar binnen deze studierichting verdient het
aanbeveling de keuze te overwegen binnen de volgende onderwerpen.
onderwerp 5
goniometrie A
ca. 20 lestijden
in verband met het begrijpen en beschrijven van periodieke verschijnselen
onderwerp 9
analytische meetkunde
ca. 20 lestijden
in verband met het begrip en het gebruik van coördinatensystemen op het computerscherm
onderwerp 12
algebra van Boole
ca. 25 lestijden
in verband met het begrip van schakelalgebra
onderwerp 17
ruimtemeetkunde B
ca. 25 lestijden
in verband met het bevorderen van het ruimtelijk inzicht, onder meer bij grafische voorstellingen van
enquêteresultaten.
Studierichting:
onderwerp 1
onderwerp 3
onderwerp 4
onderwerp 10
onderwerp 13
Sociale en technische wetenschappen
financiële algebra
n-de machtswortels en rationale exponenten
reële functies
beschrijvende statistiek
veeltermfuncties
ca. 25 lestijden
ca. 10 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 40 lestijden
Totaal: ca. 125 lestijden - er is nog voor ca. 25 lestijden een vrije keuze.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
37
3de graad KSO-TSO
Studierichting:
Creatie en mode
Verplichte onderwerpen
1
Financiële algebra
30 lestijden*
(*) Gezien het sociaal en maatschappelijk belang van dit onderwerp wordt het aangegeven aantal
lestijden (ca. 25 lestijden) vermeerderd.
4
Reële functies
15 lestijden*
Onderdeel 2, Veeltermen en veeltermfuncties, vervalt hier en moet geïntegreerd worden in onderwerp
13. Het onderdeel over de Euclidische deling en het algebraïsch rekenen mag tot het strikte minimum
beperkt worden. Voor het algebraïsch rekenen dat het elementaire niveau overstijgt, worden ICThulpmiddelen ingeschakeld.
(*) Het aangegeven aantal lestijden wordt gezien de voorgaande opmerking verminderd.
9
Analytische meetkunde
20 lestijden
Met inbegrip van onderdeel 5, dat enige ondersteuning biedt bij het begrijpen van de werkwijzen van
in de sector gebruikelijke software.
De verwerking van leerstofonderdelen met gebruik van de loodrechte stand kunnen beperkt gehouden
worden, in verband met de beperkte algebraïsche voorkennis van de leerlingen. Meetkundige software kan hier alleszins verheldering brengen.
13 Veeltermfuncties
40 + 10 lestijden*
Het onderzoeken van veeltermfuncties (nulpunten en tekenonderzoek) dat in het leerplan opgenomen
is in het onderdeel ‘Reële functies’ wordt hier geïntegreerd.
Het algebraïsch rekenen moet verworven worden in de mate dat het ook effectief gebruikt zal worden.
Het is zinloos te veel tijd te besteden aan het ontwikkelen en automatiseren van rekentechnieken, die
achteraf nauwelijks gebruikt worden. ICT-hulpmiddelen bieden hier een alternatief. De tijd die
gewonnen wordt, kan besteed worden aan het oplossen van vraagstukken en toepassingen.
(*) Het aangegeven aantal lestijden wordt gezien voorgaande opmerkingen vermeerderd.
15 Logaritmische en exponentiële functies
15 lestijden
Vrije gedeelte
Voor de vrije keuze moeten nog minimum 20 lestijden worden aangevuld.
Aanbeveling
10 Beschrijvende statistiek
10 lestijden
In de tweede graad komt het onderdeel ‘Beschrijvende statistiek’ al aan bod. Een deel van de leerinhouden, die voorzien zijn in onderwerp 10, is daar behandeld. Een korte herhaling van deze leerinhouden kan volstaan. Leerinhouden die in de tweede graad slechts summier zijn voorgekomen of niet
tot de aangegeven leerinhouden behoren (bijv. spreidingsmaten, gegroepeerde gegevens) kunnen
meer uitgebreid aan bod komen. De aandacht moet vooral gaan naar het aflezen en interpreteren van
informatie. Voor de berekeningen worden ICT-hulpmiddelen gebruikt.
De ontwerp-eindtermen voor de basisvorming voorzien in de derde graad nog een onderdeel beschrijvende statistiek. Het is niet zinvol voor korte tijd het onderwerp, dat in de derde graad gebruikelijk is
in deze studierichting, weg te laten.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
38
3de graad KSO-TSO
Studierichtingen: Architecturale kunst, Beeldende vorming
onderwerp 13
onderwerp 14
onderwerp 17
onderwerp 18
veeltermfuncties
gebroken rationale functies
ruimtemeetkunde B
ruimtemeetkunde C
ca. 40 lestijden
ca. 30 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
Totaal: ca. 120 lestijden - er is nog voor ca. 30 lestijden een vrije keuze.
Studierichtingen met twee lestijden per week
Studierichtingen: Autotechnieken, Binnenhuisinrichting, Bouwtechnieken, Elektrotechnieken, Fijnmechanische technieken, Glastechnieken, Houttechnieken, Koel- en warmtechnieken,
Kunststoftechnieken, Mechanische vormgevingstechnieken, Papierfabricatietechnieken,
Scheepsmotoren, Telecommunicatie, Textielproductie, Textielveredeling
onderwerp 4
onderwerp 13
onderwerp 16
reële functies
veeltermfuncties
ruimtemeetkunde A
ca. 25 lestijden
ca. 40 lestijden
ca. 10 lestijden
Totaal: ca. 75 lestijden - er is nog voor ca. 25 lestijden een vrije keuze.
Studierichtingen: Apotheekhulp, Bijzondere jeugdzorg, Binnenhuiskunst, Brood- en banketbakkerij en
confiserie, Dans, Druk- en afwerkingstechnieken, Drukvoorbereidingstechnieken, Fotografie, Grafische technieken, Haarverzorging, Hotel, Landbouw, Land- en tuinbouw,
Lichamelijke opvoeding en sport, Mode en kleding, Muziek, Onthaal en public relations,
Optiek, Orthopedische technieken, Schoonheidsverzorging, Secretariaat-talen, Slagerij en
vleeswarenbereiding, Tandtechnieken, Toegepaste beeldende kunst, Toerisme, Tuinbouw,
Verpleegaspiranten, Vrije beeldende kunst, Woordkunst-drama
onderwerp 1
onderwerp 4
onderwerp 10
financiële algebra
reële functies
beschrijvende statistiek
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
ca. 25 lestijden
Totaal: ca. 75 lestijden - er is nog voor ca. 25 lestijden een vrije keuze.
4
DIDACTISCHE WENKEN
Eerste onderwerp: Financiële Algebra
De leerlingen moeten in de eerste plaats kennis maken met de grondbeginselen en de specifieke denkwijzen van
de financiële wiskunde. Onvermijdelijk komen hierbij enkele rekentechnische oefeningen aan bod. De
theoretische kennis mag echter niet losgekoppeld worden van de realiteit. Zo is het zeer belangrijk dat de
leerlingen, als toekomstige consumenten, vaardig worden in het evalueren van het ruime aanbod binnen de
financiële wereld. De behandeling van praktijkvoorbeelden moet nochtans voldoende algemeen blijven zodat
de leerlingen ook raad weten met andere of nieuwe financiële contracten.
Voor zover de leerstof in verband met logaritmen niet behandeld werd in het tweede leerjaar van de tweede
graad kan men de machten met rationale exponenten bondig herhalen en deze aanwenden om het begrip "logaritme van een getal" te stichten. Bij de studie van de (Briggse) logaritmen zal men zich beperken tot de
definitie en de voornaamste eigenschappen. Immers, met de actuele rekentoestellen gebruikt men bij de
financiële berekeningen de logaritme slechts om exponentiële vergelijkingen van de vorm af(x) = b op te lossen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
39
3de graad KSO-TSO
Bij de intrestrekening zal bijzondere aandacht besteed worden aan de definitie van de "rentevoet per periode".
Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat dit begrip, vaak gewild, onnauwkeurig gedefinieerd wordt
(de periode wordt niet vermeld of men gebruikt een synoniem dat toch niet helemaal dezelfde betekenis heeft).
Men kan voorzichtig beginnen en voor de periode steeds één jaar nemen zodat men altijd te maken heeft met
een werkelijke rentevoet. Zo kunnen de wiskundige formules van de enkelvoudige en de samengestelde intrest
in dit geval opgebouwd worden. Deze leerstof is tevens ruim genoeg om talrijke praktijkvoorbeelden te
behandelen: belegging op termijn, groeibon, kasbon met of zonder kapitalisatie, verlopen intrest op coupons ...
Hierbij is het bijvoorbeeld belangrijk dat de leerlingen de bedragen die op dergelijke waardepapieren afgedrukt
staan, kunnen berekenen. Bovendien moeten zij de werkelijke rentevoet (beter gekend als het actuarieel rendement) van zulke belegging kunnen berekenen. Hierbij zal men ook rekening houden met de roerende voorheffing en naast het bruto-rendement ook het netto-rendement bepalen.
Als de leerlingen voldoende vaardig zijn in het berekenen van intresten tegen een werkelijke rentevoet kan de
stap naar andere periodes van kapitalisatie gezet worden. Het begrip "gelijkwaardige rentevoet" laat toe
verschillende rentetarieven te vergelijken. Bovendien is dit begrip onmisbaar bij de studie van de annuïteiten
met tussentijdse betalingen waarbij de werkelijke rentevoet gegeven wordt.
Bij de berekening van de contante waarde of de slotwaarde van de meest voorkomende typen van annuïteiten
moet men er zeker over waken dat er geen berg van formules ontstaat. Het gebruik van een kapitaal-tijd-as als
eenvoudige voorstelling van talrijke formules is aan te bevelen. Zoals bij de intrestrekening kan men bij de
annuïteiten ook beginnen met het jaar als eenheidsperiode en tegen een werkelijke rentevoet.
Nadien komen de annuïteiten met tussentijdse betalingen aan bod. Hierbij kiest men als eenheidsperiode de
periode van de annuïteit. Om de leerlingen met de verschillende spaar- of kredietvormen vertrouwd te maken,
kunnen, bij de studie van annuïteiten, eenvoudige gevallen hiervan aan bod komen.
Men zal zich beperken tot de meest gebruikte types van leningen. Wiskundig verschillen de lening op
afbetaling (al dan niet persoonlijk) en de koop op afbetaling niet. Bijgevolg worden ze best samen behandeld.
Het is hier van belang dat de leerlingen begrijpen hoe de financiële verplichting van een dergelijk contract tot
stand komt en dat ze deze ook kunnen berekenen. De naam "lastenpercentage" verdient zeker uitleg. Belangrijk
is ook dat ze de werkelijke rentevoet die de geldschieter aanrekent kunnen berekenen. Hier moet ook gewezen
worden op (de wettelijk toegelaten) benadering van deze werkelijke rentevoet die in de praktijk gebruikt wordt.
De meest voorkomende hypothecaire lening is ongetwijfeld deze waarbij de dienst geregeld wordt door een
constante annuïteit. De leerlingen moeten hierbij het aflossingsplan kunnen opstellen. Steunend op dit plan
kunnen eventueel eenvoudige vraagstukken van vervroegd terugbetalen (al dan niet met wederbeleggingsvergoeding) of wijziging van de rentevoet behandeld worden.
Tweede onderwerp: Grafieken en diagrammen
Men laat de leerlingen in deze lessen kennis maken met verschillende voorstellingen van allerlei gegevens zoals
dat gebeurt in de verschillende domeinen van de menselijke activiteit en in de wetenschappen. De leerlingen
moeten er toe komen dergelijke grafische voorstellingen zelf te construeren en te interpreteren.
Derde onderwerp: n-de machtswortels en rationale exponenten
Het begrip vierkantswortel uit een positief reëel getal werd in het eerste leerjaar van de tweede graad aangeleerd. Men zal er nog eens op wijzen dat de rekenkundige vierkantswortel uit een positief reëel getal positief
is. Men zal zo vlug mogelijk de rationale exponenten invoeren. Het volstaat de eigenschappen van de machten
met natuurlijke exponenten "vormelijk" over te nemen en op getallenvoorbeelden te illustreren. Het rationaal
maken van teller of noemer wordt niet als een expliciet leerstofpunt aanzien. De moeilijkheidsgraad van de
oefeningen mag zeker niet overdreven worden.
Vierde onderwerp: Reële functies
Het schetsen van een aantal parabolen als grafieken van functies van de tweede graad is een hulpmiddel om de
verschillende invloeden van de coëfficiënten op het verloop van de functies te onderzoeken. Het oplossen van
de kwadratische vergelijking dient onder andere om de nulpunten van de tweedegraadsfunctie te bepalen en om
vraagstukken op te lossen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
40
3de graad KSO-TSO
De formules voor de som en het product van de wortels zijn een middel om de drieterm van de tweede graad
te ontbinden. Het verloop en de tekenverandering wordt grafisch ondersteund. De gevonden regels kunnen dan
toegepast worden bij het oplossen van kwadratische ongelijkheden. Het oplossen van ongelijkheden in breukvorm is leerstof die behoort tot het onderwerp "Gebroken rationale functies".
Bij de definitie van een veeltermfunctie zal men - in het voorschrift - een veelterm herkennen. De leerlingen
kennen de optelling en de vermenigvuldiging van veeltermen maar niet de deling van veeltermen onderling. De
deling door (x - a) leidt tot de reststelling en de regel van Horner. De voornaamste ontbindingen in factoren
kunnen nu herhaald worden en uitgebreid tot de ontbinding van x3 ± a3. Het tekenonderzoek van veeltermfuncties is een toepassing op ontbinding in factoren. Aansluitend hierbij is het aangewezen ongelijkheden van een
hogere graad dan de tweede op te lossen maar geen ongelijkheden met gebroken vormen. Bij de leerlingen kan
het idee ontstaan dat het bepalen van nulpunten van veeltermfuncties door middel van voorgaande hulpmiddelen steeds mogelijk is. Deze foute opvatting kan door een tegenvoorbeeld bestreden worden.
Vijfde onderwerp: Goniometrie A
In de praktijk wordt naast zestigdelige graden en radialen ook honderddelige graden gebruikt. Daarom moet
deze laatste maataanduiding zeker aan bod komen.
De definitie van sinus en cosinus van een georiënteerde hoek wordt vastgelegd met behulp van de coördinaatgetallen van zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. De meetkundige betekenis van de tangens aan de hand
van de goniometrische cirkel komt hier eveneens aan bod.
Het berekenen van sinus en cosinus als de hoek gegeven is en omgekeerd het bepalen van een hoek met
gegeven sinus of cosinus door middel van een rekentoestel wordt voldoende ingeoefend. Merk op dat zich
enige problemen voordoen: een hoek tussen 0E en 180E is niet eenduidig bepaald door zijn sinus (wel door zijn
cosinus). Bij deze berekeningen stelt men vast dat er een verband bestaat tussen sinus en cosinus van eenzelfde
hoek. De grondformule wordt uit de definitie op de goniometrische cirkel afgeleid.
Uit de punt-voor-punt-constructies van bijvoorbeeld y = sin x, y = 2.sin x, y = 3.sin x, ... kan het begrip amplitude afgeleid worden. Het begrip periode kan afgeleid worden uit de constructies van bijvoorbeeld de functies
y = sin x, y = sin 2x, y = sin 3x, ... en het begrip verschuiving uit de constructies van bijvoorbeeld
y = sin x, y = sin(x +
π
π
), y = sin(x ), ... Met behulp van deze begrippen kan men nu de grafiek
3
4
schetsen van de functies van de vorm y = a.sin[b(x + c)].
De driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek wordt herhaald en aangevuld tot die in de willekeurige
driehoek. Sinusregel en cosinusregel kunnen afgeleid worden door te steunen op de eigenschappen van rechthoekige driehoeken. Men zal het geheel afsluiten met toepassingen, waarbij vraagstukken met gegevens uit
andere disciplines niet mogen ontbreken.
Zesde onderwerp: Goniometrie B
De verbanden tussen de goniometrische getallen van verwante hoeken worden opgezocht met behulp van de
goniometrische cirkel. Deze verbanden worden aangewend om de hoeken te bepalen als een goniometrisch
getal gegeven is. De som- en verschilformules kunnen op verschillende manieren aangebracht worden.
Bewijzen zijn niet noodzakelijk.
Het oplossen van goniometrische vergelijkingen blijft beperkt tot het oplossen van de grondvormen.
De omgekeerde relaties van goniometrische functies zijn zelf geen functies. De cyclometrische functies worden
gedefinieerd als inverse functies van goedgekozen beperkingen van de goniometrische functies. De grafiek van
deze laatste functies kan men afleiden uit het verband dat er bestaat tussen de grafieken van twee inverse functies in een rechthoekig assenstelsel.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
41
3de graad KSO-TSO
Zevende onderwerp: Complexe getallen
Als inleiding op de studie van complexe getallen is een herhaling van de opeenvolgende uitbreidingen van het
getalbegrip nuttig. De methode van invoeren van complexe getallen is vrij. Complexe getallen kunnen
gedefinieerd worden als getallen gelijk aan a + bi met i2 = -1 of als koppel reële getallen (merk op dat in de
elektriciteitsleer i vervangen wordt door j). De meetkundige voorstelling sluit hier onmiddellijk op aan. De
optelling van complexe getallen heeft een eenvoudige meetkundige betekenis.
Het is nu mogelijk vierkantsvergelijkingen met reële coëfficiënten en negatieve discriminant op te lossen.
Via de meetkundige voorstelling van een complex getal komt men tot de goniometrische schrijfwijze voor een
complex getal. De begrippen modulus en argument moeten hier ingevoerd worden. Met behulp van de
goniometrische vorm kan de meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging (de deling) duidelijk gemaakt
worden.
De formule van de Moivre wordt nu afgeleid. Als toepassing hierop worden n-de machten en n-de machtswortels berekend. Het is hier belangrijk op te merken dat het aantal n-de machtswortels steeds n is (vergelijk voor
n = 2 bijvoorbeeld met de situatie in ú). Dit sluit nauw aan bij de motivatie om de complexe getallen in te
voeren.
Men kan ook binomiaalvergelijkingen oplossen.
Achtste onderwerp: Matrices en stelsels
Een volledige en algemene behandeling is hier niet bedoeld. Het is de bedoeling matrices te gebruiken bij het
oplossen van stelsels om het schrijfwerk te vereenvoudigen. Matrices worden door middel van elementaire
rijoperaties omgezet in rij-equivalente matrices. Deze werkwijze wordt gebruikt bij de methode van GaussJordan om stelsels op te lossen.
Negende onderwerp: Analytische meetkunde
Men zal de analytische uitdrukking van de afstand tussen twee punten bekomen door middel van de stelling van
Pythagoras. De voorwaarde voor loodrechte stand tussen twee rechten kan bepaald worden langs goniometrische weg, door gebruik te maken van gelijkvormige driehoeken of steunend op de stelling van Pythagoras.
Vraagstukken en eigenschappen uit de meetkunde worden nu analytisch behandeld. Zo kan men het concurrent
zijn van de merkwaardige lijnen in een driehoek analytisch aantonen. Een overzicht van de merkwaardige
punten in een driehoek kan hierbij aansluiten.
Vraagstukken zoals het bepalen van de snijpunten van een cirkel en een rechte en een vergelijking opstellen van
de raaklijn in een punt van een cirkel zijn hier eveneens op hun plaats. Men kan eveneens de vergelijking
opstellen van de raaklijn(en) uit een punt aan een cirkel en de gemeenschappelijke punten van twee cirkels
bepalen.
Men kan ook enige aandacht besteden aan het transformeren van een assenstelsel (verschuiving, rotatie) op
voorwaarde dat deze begrippen kunnen toegepast worden binnen de technische vakken van de betrokken
studierichting.
Tiende onderwerp: Beschrijvende statistiek
Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het ordenen, samenvatten en overzichtelijk voorstellen van
gegevens (zowel kwalitatieve als kwantitatieve) afkomstig uit allerlei disciplines. Verklarende statistiek
daarentegen formuleert conclusies, met een zekere betrouwbaarheid en maakt daarbij gebruik van kansrekening.
Ruwe statistische gegevens worden geordend, grafisch voorgesteld en samengevat. Het ordenen van de gegevens gebeurt aan de hand van een frequentietabel. Het groeperen brengt met zich reeds een samenvatting van
de informatie en dus een verlies aan informatie mee. Als er minder klassen gemaakt worden, gaat er meer
informatie verloren, maar is het resulterende frequentiediagram overzichtelijker en andersom. Er zijn veel
mogelijkheden om statistische gegevens grafisch voor te stellen. Het is belangrijk dat de leerlingen een aantal
frequent voorkomende grafische voorstellingen leren lezen en interpreteren. Men zal niet nalaten er enkele te
tekenen.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
42
3de graad KSO-TSO
Een verdere stap in het verwerken van statistische gegevens met behulp van kwantitatieve kenmerken zijn de
centrummaten en spreidingsgetallen. Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat sommige getallen,
gebruikt in de statistiek, geregeld misbruikt worden. Een typisch voorbeeld in dit verband is dat van gegevens
over inkomens. Meestal ligt hierbij het "rekenkundig gemiddelde" hoger dan de "medaan". Wie er belang bij
heeft mensen te doen geloven dat het "gemiddelde" inkomen hoog is, gebruikt het "rekenkundig gemiddelde"
en wie daarentegen de indruk wil wekken dat het "gemiddelde" inkomen laag is, kiest de "mediaan".
Een systematische behandeling van mogelijke grafische voorstellingen, kentallen voor het centrum en de
spreiding van frequentieverdelingen, riskeert te ontaarden in een dorre opsomming. Het is beter deze voorstellingen en kentallen gaandeweg in te voeren bij het behandelen van een groot aantal voorbeelden, die zo
realistisch en actueel mogelijk gekozen worden.
Elfde onderwerp: Combinatieleer en kansrekenen
De combinatieleer bestaat vooral in het oplossen van telproblemen die onder andere voorkomen bij het berekenen van kansen. Deze studie zal omvatten: het opzoeken van het aantal variaties, permutaties en combinaties.
Het spreekt vanzelf dat elk geval geïllustreerd moet worden met een reeks aangepaste voorbeelden en dat bij
het inoefenen in de eerste plaats de soort van groepering onderzocht moet worden. Het bepalen van de
binomiaalformule van Newton kan gebeuren door het berekenen van (a + b)2, (a + b)3, ..., (a + b)n. Dit leidt
eveneens tot het opstellen van de driehoek van Pascal.
In de kansrekening stelt men eerst duidelijk wat een uitkomstenverzameling is en wat onder een gebeurtenis
wordt verstaan. Hierbij sluit aan wat een enkelvoudige en een samengestelde gebeurtenis is. Deze begrippen
kunnen aangebracht worden door middel van gemakkelijk uit te voeren experimenten. De combinatieleer zal
hier gebruikt worden voor het oplossen van de optredende telproblemen.
Beschouwingen over de voorwaarden waaraan de kansen moeten voldoen, kunnen er toe leiden een axiomatisch
kansmodel op te stellen. Men kan hierbij aandacht besteden aan de zogenaamde uniforme kansverdeling wat
vrij veel maar niet uitsluitend voorkomt.
Twaalfde onderwerp: Algebra van Boole
Het is nuttig eerst een aantal begrippen uit de verzamelingenleer te herhalen en te illustreren op een venndiagram. Door te vertrekken van de verzameling van de deelverzamelingen van een verzameling uitgerust met de
doorsnede, de unie en het complement kan men de structuur van de Booleaanse algebra aanbrengen en hieruit
de axioma's afleiden.
Eens de structuur vastgelegd, zullen de leerlingen gewezen worden op het dualiteitsprincipe, dat hun toelaat van
een stelling op een andere over te gaan. Bij de eigenschappen, die bewezen worden, zal men rekening houden
met het niveau van de klas. Booleaanse formules zullen gedefinieerd worden en herleid tot de normaalvorm.
Als concrete toepassing zal men de schakelalgebra invoeren, die homomorf is met de Booleaanse twee-elementen-algebra. Met enkele modelschakelingen kunnen de Booleaanse eigenschappen geïllustreerd worden.
Dertiende onderwerp: Veeltermfuncties
Men beperkt zich tot een intuïtieve behandeling van het begrip "limiet": als x nadert tot a (hetzij kleiner dan,
hetzij groter dan) en f(x) nadert tot b, dan is b de limiet van f(x) in a. Met numerieke berekeningen zal men de
n
bx n 1 ... c)
eigenschap lim (ax
x6±4
lim (ax n)
x6±4
±4 aantonen.
Het invoeren van het begrip afgeleide verdient de nodige aandacht. Er bestaan talrijke geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. Voorbeelden zijn: de ogenblikkelijke snelheid gegeven
door de snelheidsmeter van een auto; de helling van een berg. Deze geven de leerlingen een goed beeld van de
begrippen "maat voor de snelheid waarmee iets verandert" en "maat voor de helling van de grafiek in een punt".
Bij afgeleiden komen hoofdzakelijk volgende punten aan bod: afgeleide van een functie in een punt, de
vergelijking van de raaklijn, de afgeleide functie en de rekenregels voor het bepalen van de afgeleide van een
veeltermfunctie.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
43
3de graad KSO-TSO
Het verband tussen stijgen, dalen, extrema en afgeleiden toont men grafisch aan. De grafiek van een functie is
als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe wijze kan overbrengen. Een
studie van het teken van de afgeleide functie geeft een eerste beeld van de grafiek. Het berekenen van een
aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met de assen, eventueel nog enkele
andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid.
De bepaalde integraal van een functie zal gedefinieerd worden als de oppervlakte "onder" de grafiek van de
functie waarbij bepaalde tekenconventies in acht genomen worden. De oppervlakte wordt benaderd door de
gezamenlijke oppervlakte van een aantal rechthoekjes en kan zo dicht benaderd worden als men wil door het
aantal rechthoekjes te verhogen. Het begrip oppervlaktefunctie Of wordt dan ingevoerd. De dx, die bij de
integraalnotatie optreedt, beschouwt men als een onderdeel van de notatie. Met behulp van de formules voor
de berekening van de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een trapezium kunnen de leerlingen
oppervlaktefuncties berekenen van constante functies en eerstegraadsfuncties. Door het vergelijken van de
grafische voorstellingen van Iabf(x)dx met de overeenstemmende oppervlaktefunctie komt men tot de eigenschap Iabf(x)dx = Of(b) - Of(a). Via een aantal opgaven zal duidelijk worden dat men integralen van veeltermfuncties kan berekenen als men de oppervlaktefuncties kent. Doordat men de oppervlaktefuncties van
hogeregraadsfuncties niet kan bepalen, zal men in de voorgaande opgaven het verband nagaan tussen de
oppervlaktefunctie en de functie zelf. Hierdoor komt de volgende eigenschap aan bod: de afgeleide van de
oppervlaktefunctie Of van een functie f is f. Gelijktijdig ontstaat de noodzaak van het invoeren van de definitie
van het begrip "primitieve functie". Combinatie van vorige eigenschappen samen met de eigenschap "primitieve functies van een zelfde functie verschillen door een constante" levert dit de techniek voor het berekenen van
bepaalde integralen. Als integratiemethoden beperkt men zich tot integratie door splitsing en integratie door
eenvoudige substituties.
Rekening houdend met wat mogelijk is, berekent men, als toepassingen van integralen, de oppervlakte van een
vlakke figuur en de inhoud van een omwentelingslichaam.
Veertiende onderwerp: Gebroken rationale functies
Bij deze functies heeft men aandacht voor het domein, de nulpunten en het teken. Het volstaat met functies te
werken waarvan de teller en de noemer door de leerlingen kunnen ontbonden worden in factoren van de eerste
en de tweede graad.
De leerstof in verband met limieten en afgeleiden van gebroken rationale functies wordt bij voorkeur geïntegreerd in de studie van deze onderwerpen bij de veeltermfuncties.
Men berekent de limieten in de grenspunten van het domein en bepaalt hieruit de asymptoten. De ligging van
de kromme ten opzichte van deze speciale rechten kan hierbij aansluiten.
Het volstaat de rekenregels voor het berekenen van de afgeleide van een rationale gebroken functie intuïtief
aanvaardbaar te maken. Ze zijn nodig om de berekeningen efficiënter te laten verlopen.
Het tekenonderzoek en het bepalen van de nulpunten van de afgeleide functie gebruikt men bij de studie van
het verloop van de functie. De tweede afgeleide kan berekend worden om buigpunten op te zoeken. Samen met
de snijpunten met de assen en eventueel nog enkele andere punten, kan men de grafiek met een voldoende
nauwkeurigheid tekenen.
Vijftiende onderwerp: Logaritmische en exponentiële functies
Het is aan te raden vooraf het begrip logaritme te definiëren als de inverse van een macht die toelaat de exponent te berekenen als het grondtal en het resultaat van de machtsverheffing gegeven zijn.
Steunend op de definitie van logaritme zijn de bewijzen van de eigenschappen niet te moeilijk.
Bij het oplossen van vergelijkingen zal men zich beperken tot het oplossen van de meest voorkomende vorm
namelijk af(x) = b. Om deze vergelijkingen op te lossen maakt men meestal gebruik van logaritmen. Men zal
echter niet nalaten aan te tonen dat sommige van de vergelijkingen op te lossen zijn door te steunen op het
begrip exponent.
Uit de constructies van de functies f : x µ ax voor verschillende waarden van a, met a > 1, kan men besluiten dat
de exponentiële functie afleidbaar is en dat het teken van de afgeleide functie positief is.
Er bestaat een grondtal a waarvoor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt met coördinaat (0,1) gelijk
is aan 1. Die bijzondere a-waarde noemt men het getal e.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
44
3de graad KSO-TSO
Men zal aandacht hebben voor de meest gebruikte logaritmen: de Briggse en de Neperiaanse.
De logaritmische functie wordt gedefinieerd als de inverse van de exponentiële functie. De eigenschappen
kunnen afgeleid worden uit punt-voor-punt-constructies van welgekozen voorbeelden.
De afgeleide functies mogen gewoon geponeerd worden.
Logaritmische en exponentiële functies zijn belangrijk zowel binnen als buiten de wiskunde. Praktische
toepassingen zullen dit illustreren.
Zestiende onderwerp: Ruimtemeetkunde A
Alhoewel dit onderwerp reeds voorkomt in de leerplannen voor de eerste en de tweede graad is het voor
sommige studierichtingen nuttig deze leerstof te hernemen.
Men zal de oefeningen zoveel mogelijk praktijkgericht maken. Ook zal men niet nalaten gekende begrippen,
zoals de stelling van Pythagoras, congruentie, gelijkvormigheid, driehoeksmeting, in de oefeningen in te lassen.
Zeventiende onderwerp: Ruimtemeetkunde B
De ruimtemeetkunde is een uitbreiding van de vroeger geziene vlakke meetkunde.
De onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken onderzoekt men op een intuïtieve wijze. Enkele
eigenschappen worden geformuleerd. Men bespreekt de verschillende situaties van hoeken in de ruimte en
daaruit wordt de loodrechte stand van rechten en vlakken onderzocht.
Bijzondere aandacht wordt geschonken aan de ontwikkeling van het ruimtelijk inzicht en aan het voorstellen
van ruimtefiguren in een vlak. Enerzijds maakt men gebruik van het natuurlijk, het isometrisch en het
cavalièreperspectief waar de conventies erop gericht zijn een voorstelling te bekomen die eerder aansluit bij de
beelden die bij de waarneming opgedaan worden en anderzijds de orthogonale projectie waar het inzichtelijk
aspect meer naar voor komt.
In de opbouw van de ruimtemeetkunde integreert men de definitie, de begrippen, de elementaire eigenschappen,
de oppervlakte en de inhoud van de ruimtefiguren die in de leerstofafbakening vermeld zijn. Een goede keuze
van de vraagstukken biedt een ruime waaier aan toepassingen.
Achttiende onderwerp: Ruimtemeetkunde C
Alvorens dit onderwerp aan te vatten moet het voorgaande onderwerp "ruimtemeetkunde B" grondig bestudeerd
zijn. Het is goed mogelijk dat bepaalde onderdelen uit dit onderwerp geïntegreerd worden in het voorgaande
onderwerp.
Het komt er op aan het ruimtelijk inzicht gradueel te ontplooien. Hiervoor moet het voorstellingsvermogen
zodanig getraind worden dat een ruimtelijke situatie kan omgezet worden in een twee-dimensionale voorstelling
en omgekeerd. Bij het projectietekenen ligt het accent vooral op het vlak van het verstandelijke en van het
inzichtelijke.
Het doel van de rechthoekige projectie is, door middel van constructies, een vlakke afbeelding te maken van
ruimtelijke figuren, zodanig dat hierdoor op ondubbelzinnige wijze hun werkelijke afmetingen, hun ware vorm
en eventueel hun onderlinge stand bepaald zijn. Men zal bij voorkeur de ruimtefiguren onderzoeken in hun
meest gunstige stand.
De rechthoekige projectie steunt noodzakelijk op een reeks conventies of overeenkomsten. Deze hebben zowel
betrekking op de wijze van projecteren als op de grafische afwerking van de projectietekening.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
45
3de graad KSO-TSO
5
ADDENDUM
DE COMPUTER IN DE WISKUNDELES
De computer neemt gaandeweg een steeds meer uitgesproken plaats in in ons leven. Daarom is het ook
noodzakelijk na te gaan waar en op welke manier de computer kan ingeschakeld worden in het leerproces
binnen de school.
Naast de vormende waarde van het autonome vak Informatica kan deze nieuwe technologie binnen andere
vakken eveneens een methodologische rol vervullen. We spreken van computerondersteund onderwijzen en
van computerondersteund leren. In deze gevallen vervult de computer een didactische rol door het leerproces
sneller, efficiënter, interessanter ... te maken. De computer wordt door de leerkracht of de leerlingen gebruikt
als hulpmiddel (demonstraties, berekeningen, simulaties), als controlemiddel bij het maken van oefeningen,
toetsen of als ondersteuning bij ingewikkelde berekeningen.
Concreet kan dit gestalte gegeven worden via een wiskundeklas en/of een informaticaklas.
Meer dan vijf jaar onderzoek, ontwikkeling en navorming binnen het VVKSO tonen aan dat de personal
computer zeer waardevolle didactische voordelen biedt in het wiskunde-onderwijs. De ontwikkelde lesmodellen werden reeds door de deelnemers van het navormingsproject, informatica in de wiskunde van het VVKSO,
geëvalueerd, zowel tijdens de navormingssessies als in de concrete lessituatie bij de leerlingen.
De computer als illustrator van wiskundige begrippen
De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een directe wijze
kan overbrengen. Wie een grafiek kan "lezen" ziet in één oogopslag hoe het veranderingsproces, dat door de
grafiek voorgesteld wordt, verloopt.
Het dynamische aspect van de beeldvorming is evenmin te verwaarlozen, bijvoorbeeld: het ontstaan van een
oppervlaktefunctie en de torus. Dank zij de snelle en nauwkeurige reproductie van grafieken wordt het visuele
inzicht in een probleem aanmerkelijk verbeterd. Voor het verband tussen een functie en haar oppervlaktefunctie kan bijvoorbeeld vanaf een bepaald startpunt op de functie, bij veranderde x-waarden de oppervlaktefunctie in een tweede grafische voorstelling groeien. De invloed van een ander startpunt op het verloop van de
oppervlaktefunctie is zo ook meteen duidelijk. De grafieken van functie, afgeleide functie en tweede afgeleide
functie samen op één beeld dragen bij tot het grafisch inzicht in begrippen zoals "nulpunten van de ene functie
zijn extreme waarden of buigpunten voor de andere" en "het teken van de ene functie is bepalend voor het
verloop van de andere".
Vele eigenschappen en definities kunnen grafisch geïllustreerd worden, zodat de bewijsvoering die op de
klassieke manier verloopt beter begrepen wordt.
Bijvoorbeeld: middelwaardestelling, bepaalde integraal via ondersommen of bovensommen, inhoud van een
omwentelingslichaam als limiet van een som inhouden van cilinderschijven, hoofdstelling van de integraalrekening en meetkundige betekenis van de afgeleide.
De computer biedt de leerkracht de mogelijkheid om in de loop van de opbouw van een bewijsvoering terug te
grijpen naar voorafgaande begrippen en eigenschappen ter staving van de hypothese. Zonder de snelle
aanschouwelijke voorstelling van deze eigenschappen dreigt de leerling de verwijzing naar de ondersteunde
begrippen niet goed in te schatten. Door bij het betoog de computer in te schakelen blijft het lesverloop
behouden, terwijl de redenering accuraat ondersteund wordt.
Het ligt voor de hand dat, door een snelle reproductie van de grafiek met gewijzigde parameters, het "lezen" van
een grafiek systematischer aangepakt wordt. Voor goniometrische functies zullen grafische interpretaties van
periode, amplitude en verschuivingen de betekenis van de parameters in het voorschrift verduidelijken.
De continuïteit van het onderzoek en het redeneringsproces is niet langer onderbroken door tijdrovend
tekenwerk. We dienen niet alleen oog te hebben voor het tekenen van een grafiek, doch ook duidelijk aandacht
te besteden aan het interpreteren ervan. De grafische voorstelling van een concreet wiskundig probleem werkt
inzichtverwervend.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
46
3de graad KSO-TSO
De leerling ziet hoe (via de informatica) de grafieken ontstaan en hoe ze manipuleerbaar zijn.
Of nu wiskundig zwakke of sterke afdelingen beoogd worden, de grafische component binnen het wiskundeonderwijs blijft uitermate belangrijk. Bij wiskundig zwakke richtingen denken we in de eerste plaats aan
demoprogramma's bij het aanleren van nieuwe begrippen. De grafische mogelijkheden van de computer kunnen
hierbij sterk benut worden. Hij kan een aantal momentopnamen snel na elkaar weergeven (cf. begrip limiet met
∆x 6 0).
Terwijl bij sterke richtingen de computer wezenlijk kan bijdragen tot een beter inzicht in en een steviger
onderbouw van abstracte begrippen, zoals limieten, benaderingen van functies:
het interpreteren van limieten als tabellen, reeksen getallen of het grafisch illustreren van wiskundig
exactere definities;
het voorstellen van een functie samen met een opklimmend aantal termen van de Taylor-reeks zal voor de
leerlingen het begrip "benaderen" vastleggen.
Dient men een leerling bijvoorbeeld duidelijk te maken dat hij met zijn oplossing bij een oefening op een
verkeerd spoor zit, dan overtuigt de grafische uitwerking van het resultaat door de computer de leerling van zijn
verkeerde aanpak. Naast de "klassieke" grafische voorstelling van de oplossingen kan ook een andere voorstellingswijze gebruikt worden. Bijvoorbeeld bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden. De oplossingen worden niet enkel op de goniometrische cirkel getoond maar ook op de grafieken van de
bijbehorende functies. Een voorstelling die veel te tijdrovend is om aan het bord te maken, maar een voorstelling die heel wat informatie bevat zoals de snijpunten en intervallen.
Voor statistiek is het gebruik van een rekenblad met haar grafische mogelijkheden het middel om niet één vaste
opgave te laten verwerken, maar verschillende reeksen opgaven naast elkaar te plaatsen zodat de mogelijkheid
bestaat om meer aan interpretatie te doen.
De leerkracht kan de leerlingen actief bij het leerproces betrekken door in te spelen op concrete situaties. De
computer is dan in staat deze wijzigingen in een oogwenk te actualiseren.
De computer als presentator en corrector van oefeningen
De software als voorbeeldgenerator werkt de herkenning van patronen, structuren en regels, kortom het zelf
ontdekken van stukjes wiskunde, in de hand.
Eens de computervaardigheden verworven zijn, ontstaan er uitgebreide mogelijkheden om reeds bekende
technieken, concepten of strategieën in een andere dan de 'traditionele' werkvormen te herhalen en uit te diepen.
*
Er bestaan geschikte, sterk gestructureerde oefeningen op computer, om leerlingen op eigen tempo en
niveau hun kennis te laten testen.
*
Meer open omgevingen (computerlabo's) stimuleren de leerling om de oplossing nauwkeurig te formuleren
en leveren onmiddellijk een resultaatscontrole. Aangepaste opgaven dwingen de leerling hun werkwijze
te verfijnen tot een concreet eindresultaat bereikt is. De computer confronteert de leerling onmiddellijk
met de betekenis van een gemaakte keuze. De leerling is verplicht telkens opnieuw de werkwijze te
verantwoorden. De computer doet de leerlingen bewuster werken rond bestudeerde technieken.
Voor verschillende leerstofonderdelen onder andere goniometrie, ruimtemeetkunde en matrices bestaan er
programma's die de leerling toelaten individueel oefeningen op te lossen, waarbij de keuze van de leerling
zowel verbaal als grafisch ondersteund wordt. Andere programma's bieden een hulpmiddel bij het instuderen
van nieuwe begrippen.
De integratie vergt een noodzakelijke onderbouw
Schoolse beperkingen
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
47
3de graad KSO-TSO
Informaticamiddelen kosten vrij veel geld en voor nogal wat scholen zullen de verder beschreven specificaties
van apparatuur en programma's problemen opleveren op budgettair gebied. Gegroepeerde aankopen zijn dan
ook aan te raden om het financiële aspect van de introductie van de informaticamiddelen haalbaar te maken.
Groepsaankopen waarborgen bovendien een standaard van gebruikt materiaal. Het is in het verleden bewezen
dat het ontbreken van een dergelijke (breed verspreide) standaard aan hardware de ontwikkeling en ondersteuning van didactische software afremde.
Het tijdsgebrek in de les, dat ontstaat omwille van het groot aantal te behandelen onderwerpen, geeft soms
aanleiding tot compromissen. Voorbeelden hiervan zijn evaluaties, die eerder op het reproductieve dan wel op
het inzichtelijke gericht zijn. De informatica bevordert het inzichtelijk werk in de klas.
De inrichting van een wiskundeklas
In een aantal scholen bestaan reeds één of meer computerklassen uitgerust met XT of AT toestellen die kunnen
ingeschakeld worden bijvoorbeeld bij het maken van oefeningen.
Concreet durven we echter stellen dat het grootste gedeelte van de computertijd zal gaan naar demonstreren.
Daarenboven moet de computer vlot beschikbaar zijn. Het demonstreren van een item neemt trouwens geen
volledige les in beslag, doch duurt maar een paar minuten. Daarom durven we pleiten voor de inrichting van
een wiskundeklas.
De leerkracht moet dus kunnen beschikken over de nodige hard- en software. De wiskundige en grafische
bewerkingen maken het noodzakelijk dat de computer over voldoende geheugencapaciteit beschikt en uitgerust
is met een snelle processor. Om de inzichtelijkheid te verhogen is het nodig het toestel te koppelen aan een
kleurenmonitor met hoge grafische kwaliteit. Betreft het daarenboven een opstelling voor demonstraties in de
wiskundeklas, dan mag ons inziens een degelijke grootschermprojectie niet ontbreken.
Concreet betekent dit:
.
.
.
.
.
.
.
.
processor van het type 80386 DX met mathematische coprocessor;
minstens 4MB RAM geheugen (8MB lijkt in de toekomst een standaard te worden);
flikkervrij kleurenscherm (bij voorkeur 17" diagonaal of meer) met een 1024x720 pixelresolutie;
harde schijf van minstens 100MB;
3½" (én eventueel 5¼" schijfstation);
muis;
grootschermprojectie in kleur (monitor of LCD);
printer (bij voorkeur met de hoge resolutie van een inktspuwer of laserprinter).
Geregeld worden in de Mededelingen van het VVKSO, onder Kl. 10.23.51, de specificaties over de te
gebruiken software vermeld.
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
48
3de graad KSO-TSO
6
BIBLIOGRAFIE
6.1
Algemene werken wiskunde-didactiek
ASPEELE, M.J., DELAGRANGE, N., DE ROO, F., Wiskundedidactiek, een inleiding. Leuven, Acco, 1987
ATHEN, H., BRUHN, J., ET AL, Lexikon der Schulmathematik, 1, 2, 3 en 4. Köln, Aulis Verlag, 1980
BOROWSKI, E., BORWEIN, J., Dictionary of Mathematics. Glasgow, Collins, 1989
BOYER, C., A history of mathematics. New York, John Wiley and Sons, 1968.
BUNT, L.N.H., ET AL, Van Ahmes tot Euclides: hoofdstukken uit de geschiedenis van de wiskunde.
Groningen, Wolters, 1960
BURTON, D.M., The history of mathematics. An introduction. Boston, Allyn and Bacon, 1985
CAJORI, F., A history of mathematics. New York, Chelsea, 1985
Comparative Studies of Mathematics curricula. Change and Stability 1960 - 1980. Bielefeld, Institut für
Didaktik der Mathematik der Universität Bielefeld
Co-operation between science teachers en mathematics teachers. Bielefeld, Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Bielefeld
DE BLOCK, A., Geprogrammeerde instructie. Antwerpen, Standaard Wetenschappelijke Uitgeverij
DIENES, Z.P., Die sechs Stufen im mathematischen Lernprozess. Freiburg, Herder, 1975
Etudes sur l'enseignement de mathématiques 1, 2 en 3. Unesco
FISCHER, R., MALLE, G., Mensch und Mathematik. Mannheim, Bibliographisches Institut, 1985
FREUDENTHAL, H., Mathematics as an educational task. Dordrecht, Reidel, 1973
GOOSSENS, ET AL, Vademecum voor de leerkracht wetenschappen. Leuven, Acco
KAISER, H., NOBAUER, W., Geschichte der Mathematik für den Schulunterricht. München, Freytag, 1984
KLINE, M., Mathematics in Western Culture. New York, Pelican book, 1973
KURKE, H., ET AL, Recent Trends in toMathematics. Leipzig, BSB B.G. Teubner
LAGERWERF, B., Wiskundeonderwijs nu. Groningen, Wolters, 1982
LAKATOSI, I., Proofs and refutations: the logic of mathematical discovery. Cambridge, Cambridge University Press, 1981
MASON, J., Learning and doing mathematics. London, Macmillan, 1988
PIAGET, J., INHELDER, B., The child's conception of space. London, Routledge and Kegan, 1971
POLYA, G., How to solve it: a new aspect of mathematical method. Princeton, Princeton University Press,
1971
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
49
3de graad KSO-TSO
POLYA, G., Induction and analogy in mathematics I & II. Princeton, Princeton University Press, 1973
POLYA, G., Mathematical discovery: on understanding, learning, and teaching problem solving. New York,
Wiley, 1981
RESSNIKOFF, H.L., WELLS, R.O., Mathematik im Wandel der Kulturen. Braunschweig, Vieweg, 1983
Richtlinien für die gymnasiale Oberstufe in Nordhein-Westfalen: Mathematik. Köln, Greven und Bechtold,
1983
SERVAIS, W., VARGA, T., Teaching school mathematics. Unesco, Pinguin Books
STEUR, H., Levende wiskunde. Toepassingen geordend naar wiskundig onderwerp. Culemborg, TjeenkWillingk, Educaboek, 1980
STRUIK, D.J., Geschiedenis van de wiskunde. Utrecht, Het Spectrum, 1990
Tendances nouvelles de l'enseignement de mathématiques. CIEM, Unesco, 1979
TIETZE, U., KLIKA, M., WOLPERS, H., Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II.
Braunschweig, Vieweg, 1982
VAN DORMOLEN, J., Aandachtspunten. Bohn, Scheltema en Holkema, 1976
VAN DORMOLEN, J., Didactiek van de wiskunde. Bohn, Scheltema en Holkema, 1976
WANSINK, J.H., Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren 1 en 2. Groningen, Wolters, 1971
6.2
Vakdidactische werken in verband met leerstof derde graad
ADAM, J., Inleiding tot de wiskundige theorie der verzekeringen. Brussel, Beroepsvereniging voor verzekeringsondernemingen, 1976
ARTMANN, B., PETERHANSEL, W., SACHS, E., Beispiele und Aufgaben zur linearen Algebra.
Mannheim, Bibliographisches Institut, 1984
AVELANGE, Statistique descriptive. Liège, Science et lettres.
BANCHOFF, T., WERMER, J., Linear algebra through geometry. Heidelberg, Springer Verlag, 1983
BARNETT, V., Teaching statistics in schools throughout the world. Voorburg, International statistical
institute, 1982
BLUM, W., TORNER, G., Didaktik der Analysis. Göttingen, Vandenhoeck und Ruprecht, 1983
BOCKSTAELE, P., Meetkunde van de ruimte. Antwerpen, Standaard, 1970
BOLLAERTS, D., Wiskundige toelatingsexamens. Antwerpen, Standaard Educatieve Uitgeve-rij
BRENY, Théorie des probabilités. Brussel, Presse Université
BROECKX, F., ET AL, Fundamentele wiskunde. Antwerpen, De Sikkel
BUCHMANN, G., Nichteuklidische Elementargeometrie: Einführung in ein Modell. Stuttgart, Teubner, 1975
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
50
3de graad KSO-TSO
BUNT, Statistiek. Groningen, Wolters
BURGHARDT, W.D., MEYER, D., Stochastik: Grundkurs. Frankfurt a/M., Diesterweg, 1985
BURKILL, J., A first course in mathematic analyse. Cambridge, Cambridge Press
CHOQUET, L'enseignement de la géométrie. Paris, Herman
COXETER, H.S., Introduction to geometry. New York, Wiley
CRAMER, H., Mathematical methods of statistics. Princeton, Princeton University Press
DE BOCK D., ET AL, Analyse, een intuïtieve kennismaking. Leuven, Acco, 1986
DE BOCK D., ET AL, Wiskunde vanuit toepassingen. Afgeleiden en integralen. Leuven, Aggregatie
wiskunde HSO KUL, 1992
DE MEYER, A.M., Beschrijvende statistiek voor het secundair onderwijs: een inleiding. Leuven, Acco, 1986
DENEF, F., ET AL, ELAN algoritmen in het wiskundeonderwijs. Leuven, Acco, 1984
DEPREZ, J., ET AL, Ruimtemeetkunde. Leuven, Acco, 1987
DE PRIL, N., D'HOOGE, L., GOOVAERTS, M., Waarschijnlijkheidsleer. Antwerpen, De Sikkel
DE SLOOVERE, H., BORGHIJS, L., Theorie der financiële algebra. Brussel, De Boeck, 1966
DIEUDONNE, Algèbre linéaire et géométrie élementaire. Paris, Herman
DOMS, F.P., Inwijding in de statistiek. Antwerpen, De Sikkel, 1965
DURRAN, J.H., Statistics and probability. Cambridge, Cambridge University Press
Einführung in die Analysis 1 und 2. Reeks: Mathematik Heute, Hannover, Schroedel-Schöningh Schulbuchverlag, 1990
EVYATAR, A., Motivated mathematics. Cambridge, Cambridge University Press, 1981
FRENKEL, J., Géométrie pour l'élève-professeur. Paris, Herman, 1973
FREUDENTHAL, H., Waarschijnlijkheid en statistiek. Haarlem, De Erven F. Bohn N.V., 1966
GHEYSENS, L., ET AL, Analytische meetkunde. Leuven, Acco
GRAF, K.D., BAUMANN, R., Computer in der Schule: Perspective für den Mathematikunterricht. Stuttgart,
Teubner, 1985
Grundkurs Stochastik. Reeks: Mathematik Heute, Hannover, Schroedel-Schöningh Schulbuchverlag, 1990
HARPER, E., NMP Mathematics for secondary schools. Harlow, Longman, 1987
JONCKHEERE, P., VANHOUTTE, A., Beginselen van wiskundige statistiek. Antwerpen, Standaard
wetenschappelijke uitgeverij
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
51
3de graad KSO-TSO
KLINGEN, H., OTTO, A., Computereinsatz im Unterricht, der pädagogische Hintergrund. Stuttgart, Metzler
Verlag, 1986
KREUTZKAMP, T., NEUNZIG, W., Lineare Algebra. Stuttgart, Teubner, 1975
LANG, S., Math! Encounters with high school students. New York, Springer, 1985
L'archipel des isométries: essai de redécouverte. Louvain la Neuve, Groupe d'enseignement mathématique,
1982
LEHMANN, E., Lineare Algebra mit dem Computer. Stuttgart, Teubner, 1983
LEHMANN, E., Mathematik-Unterricht mit Computer-Einsatz. Bonn, Dümmler, 1988
Les fonctions c'est aussi autre chose. Louvain la Neuve, Groupe d'enseignement mathématique
LEVY-BRUHL, P., Précis de géométrie. Paris, Presse Université
LIPSCHUTZ, Linear algebra. Schaum's outline series, New York, McGraw-Hill International Book Company
MANDERICK, M., PELTIER, M., ROUCHE, N., Contremanuel de statistique et probabilité. Brussel, Vie
Ouvrière, 1982
MITSCHKA, A., Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Freiburg, Herder, 1982
NEILL, H., SHUARD, H., Teaching Calculus. Glasgow, Blackie, 1982
NIJS, R., Beginselen der wiskundige statistiek. Antwerpen, De Sikkel, 1978
NOEL, G., ET AL, Colloque international sur l'enseignement de la géométrie. Mons, Université de l'état, 1982
OTTO, A., Analysis met dem Computer. Stuttgart, Teubner, 1985
PADBERG, F., Didaktik der elementare Zahlentheorie. Freiburg, Herder, 1981
PAPY, G., Le premier enseignement d'analyse. Brussel, Presse Univesité
PIAGET, J., The origin of the idea of chance in children. London, Routledge and Kegan, 1975
ROELS, J., ET AL, Wiskunde vanuit toepassingen. Leuven, Aggregatie HSO wiskunde KUL, 1990
SCHRODER, E.M., Geometrie euklidischer Ebener: mathematische Grundlegung der Schulgeometrie.
Paderborn, Schoningh, 1985
SHUARD, H., NEILL, H., From graphs tot calculus. Glasgow, Blackie, 1977
SKEMP, R.R., Understanding the symbolism of mathematics, Visible language. Cleveland (Ohio), 1982
SPIEGEL, M.R., Statistics. Schaum's outline serie, New York, McGraw-Hill International Book Company
THOMAS-VAN DIEREN, F., ROUCHE, N., Mesures, pavages et nombres irrationnels. Louvain la Neuve,
Groupe d'enseignements mathématique, 1985
VAN WYCK, L.A., Elementaire statistiek. Groningen, Wolters
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
52
3de graad KSO-TSO
VERAVERBEKE, N., Eindige kanstheorie. Leuven, Acco, 1986
VON HARTEN, G., STEINBRING, H., Stochastik in der Sekundarstufe I. Köln, Aulis Verlag Deubner, 1984
WALSER, W., Wahrscheinlichkeitsrechnung. Stuttgart, Teubner, 1975
WESTERMANN, L.R.J., Meetkunde met vectoren 1 en 2. Groningen, Wolters, 1970
WITTMANN, E., Infinitesimalrechnung in genetischer Darstellung. Ratingen, Henn, 1973
WYVEKATE, M.L., Verklarende statistiek. Aula boeken, Utrecht, Spectrum
ZAMANSKY, M., Introduction à l'algèbre et l'analyse moderne. Paris, Dunod
6.3
Tijdschriften
BELGIE
Mathématique et Pédagogie. Société Belge des professeurs de Mathématiques, 7460 Casteau, Chemin de
Fontaines, 14 bis
Uitwisseling. Aggregatie HSO wiskunde KUL, 3001 Leuven, Celestijnenlaan 200B
Wiskunde en Onderwijs. Vlaamse Vereniging Wiskundeleraars, 2160 Wilrijk, Elzenhoutstraat 1, bus 3
NEDERLAND
De Nieuwe Wiskrant. Vakgroep OW & OC, NL-3561 GG Utrecht, Tiberdreef 4
Euclides. Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraars, Groningen, Wolters-Noordhoff
Pythagoras. Stichting ivio, Lelystad
DUITSLAND
Der Mathematikunterricht. Stuttgart, Klett Verlag
Didaktik der Mathematik. München, Bayerischer Schulbuchverlag
Mathematik lehren. Velber, Friedrich Verlag/Klett
Praxis der Mathematik. Köln, Aulis Verlag
Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Karlsruhe, Fachinformationszentrum
ENGELAND
Educational Studies in Mathematics. Dordrecht/Boston, Reidel
International Journal of Mathematical Education in Science en Technology. Londen, Taylor en Francis
Mathematical Spectrum. Sheffield, Sheffield University
The Mathematical Gazette. Leicester, The Mathematical Association
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
53
3de graad KSO-TSO
USA
Journal for Research in Mathematics Education. Reston, National Council of Teachers of Mathematics
The mathematics Teacher. Reston, National Council of Teachers of Mathematics
AV Wiskunde
D/1992/0279/023
54
3de graad KSO-TSO