e +1=0 Complexe getallen β release

ejπ + 1 = 0
Complexe getallen
voor de elektrotechniek.
β release
Ing. C.H.A. Keyer
Hogeschool van Amsterdam
Department of Electronic Engineering
15 oktober 2007
2
c
Copyleft: Cees
Keyer, Hogeschool van Amsterdam.
Alles uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt zonder voorafgaande
schriftelijke toestemming van de auteur.
Voor dit document geldt de zogenaamde GPL General Public License, alles
kan en mag worden overgenomen mits de bron wordt vermeld.
c
Copyleft: Every
thing from this document may be reproduced without any
permission from the author. If you do copy use a citation.
Caution:Reading document may cause drowsiness. Do not read before
driving or operating machinery.
3
Lees Mij
In dit diktaat, dat als aanvulling geldt voor het wiskunde boek worden de
complexe getallen geı̈ntroduceert.
Complexe getallen spelen een belangrijke rol in de elektrotechniek met name
bij het berekenen van wisselspanningssystemen.
Cees Keyer
E-mail: [email protected]
Andijk-Amsterdam zomer 2006
4
Inhoudsopgave
1 Inleiding complexe getallen
1.1 Reële getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 De complex geconjugeerde . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Berekeningen met complexe getallen.
2.1 Bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Gelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Optellen en aftrekken . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vermedigvuldigen van complexegetallen .
2.1.4 Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Weergave van complexe getallen.
3.1 Weergave in het complexe vlak.
3.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . .
3.3 De polaire vorm . . . . . . . . .
3.3.1 In het x y vlak . . . . .
3.4 Complexe vlak . . . . . . . . .
3.5 Opgave . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Vermenigvuldigen en delen . . .
3.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
.
.
.
.
.
.
11
11
11
11
12
13
15
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
18
18
20
20
21
21
4 Exponentiele vorm van een complex getal
23
4.1 Afleiding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5
6
5 Toepassing in de elektrotechniek
5.1 Fasor . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Circuit elementen . . . . . . . .
5.2.1 Weerstand . . . . . . . .
5.2.2 Spoel . . . . . . . . . . .
5.2.3 Condensator . . . . . . .
5.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . .
INHOUDSOPGAVE
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
28
29
29
29
29
30
Appendices
33
A Terminologie
33
B Formularium
35
C Antwoorden van de geselecteerde sommen.
Bijlage A
Hoofdstuk 138 Bijlage
Hoofdstuk
B
240
37
Hoofdstuk 1
Inleiding complexe getallen
1.1
Reële getallen.
De wiskunde die u tot op heden gehad heeft hield zich vooral bezig met reële
getallen. Het nadeel van deze getallen groep is dat ze geen oplossingen bieden
voor vergelijkingen zoals:
2x2 + 2x + 5 = 0
(1.1)
Deze kwadratische vergelijking kun je op een aantal manieren oplossen, een
bekende methode is de abc formule die de oplossingen geeft voor de algemene
vergelijking ax2 + bx + c = 0:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
(1.2)
2a
Als we de formule 1.2 gebruiken om de wortels van 1.1 te vinden dan krijgen
we een probleem:
√
−2 ± −36
x1,2 =
4
√
De getallen verzameling R biedt geen oplossing voor de −36, zowel 6 als
-6 in het kwadraat leveren 36 op. klaarblijkelijk is de verzameling R onvoldoende en moet dus uitgebreid worden. Het is eenvoudig te zien dat:
√
√
√
√
−36 = 36 · −1 = 36 · −1
√
We hebben nu iets nodig wat we kunnen invullen voor die −1.
7
8
HOOFDSTUK 1. INLEIDING COMPLEXE GETALLEN
We definieren:
i2 = −1
(1.3)
De i komt van het woord imaginair, als in bedacht. De letter i wordt in
de formele wiskunde gebruikt, echter voor ons elektrotechnicie geeft dit verwarring die gebruiken de i voor de stroom. In de elektrotechniek is het dus
gebruikelijk om de j te gebruiken.
j 2 = −1
(1.4)
Die j moet je niet zien
√ als een variable zoals bijv. x, y of iets dergelijks.
De oplossing van de −36 is dus j6 of 6j en dat is een zuiver imaginair getal.
De imaginaire getallen zitten in de verzameling C en dan is het ook logisch
dat de verzameling R een deelverzameling is van C. Dus R ⊂ C Nu zijn er
ook getallen die bestaan uit een reëel deel en een imaginair deel, bijv: 3 − j4.
Deze getallen worden complexe getallen genoemd. Een complex getal, vaak
aangegeven met z bestaat dus uit een reëel deel en een imaginair deel. In
het getal z = a + jb is a = ℜ(z) het reële deel en b = ℑ(z) het imaginaire
deel. Respectievelijk aan gegeven met de symbolen ℜ en ℑ
1.1.1
De complex geconjugeerde
Een belangrijk begrip is de complex geconjugeerde.
Gegeven het getal z = a + jb dan is de complex geconjugeerde z ∗ = a−jb.
De complex geconjugeerde wordt in dit diktaat met een sterretje, dus z ∗ ,
aangegeven en is niks meer of minder dan dat je van de −j een +j maakt of
omgekeerd.
1.1. REËLE GETALLEN.
1.1.2
Opgaven
1. Los de volgende vergelijkingen op:
(a) x2 − 1 = 0
(b) x2 + 1 = 0
(c) 4x2 + 12 = 0
(d) x2 + 3x + 4 = 0
(e)
x2
3
+ 2x − 5 = 0
2. Schrijf de complex geconjugeerde op:
(a) −4 + 12j
(b) 4 − 16j
(c) cos ωt + j sin ωt
(d) cos ωt − j sin ωt
(e) -4
(f) − 3j
3. Schrijf als een complex getal:
(a) j 2
(b) j 3
(c) j 4
(d) j 5
9
10
HOOFDSTUK 1. INLEIDING COMPLEXE GETALLEN
Hoofdstuk 2
Berekeningen met complexe
getallen.
Nu we complexe getallen hebben ingevoerd zou je er ook mee willen rekenen.
Berekingen zoals optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen komen in
dit hoofdstuk aan de orde.
2.1
2.1.1
Bewerkingen
Gelijkheden
Twee complexe getallen zijn aan elkaar gelijk als zowel de reële deel alsmede
het imaginaire deel aan elkaar gelijk zijn.
2.1.2
Optellen en aftrekken
Als je twee complexe getallen bij elkaar wilt optellen of van elkaar wil aftrekken dan geld de volgende regel. Tel de reële delen bij elkaar op en tel de
imaginaire delen bij elkaar op. Idem voor aftrekken.
Voorbeeld
z1 = 3 + 4j en z2 = 2 − 3j
Bepaal: z1 + z2 en z2 − z1
z1 + z2 = (3 + 4j) + (2 − 3j)
= (3 + 2) + (4 + (−3))j
= 5 + 1j
11
(2.1)
12 HOOFDSTUK 2. BEREKENINGEN MET COMPLEXE GETALLEN.
z2 − z1 = (2 − 3j) − (3 + 4j)
= (2 − 3) − ((−3) − (4))j
= −1 − 7j
2.1.3
(2.2)
Vermedigvuldigen van complexegetallen
Hier moeten we onderscheid maken tussen scalaire vermenigvuldigingen en
vermenigvuldigingen van complexe getallen.
Scalaire vermenigvuldiging
Hier wordt een complex getal vermenigvuldigd met een reëel getal.
Voorbeeld: Gegeven z1 = 4 − 3j en het reële getal is 4 gevraagd: 4 · z1
z = 4 · z1
= 4 · (4 − 3j)
= (4 · 4) − (4 · 3)j
= 16 − 12j
(2.3)
Vermedigvuldigen van 2 complexe getallen.
Het is uiteraard mogelijk om twee complexe getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Het is belangrijk om op te merken dat j 2 = −1.
z1 · z2 = z1 z2
Gegeven z1 = 3 − 4j en z2 = 2 − 2j
Gevraagd: z1 z2
z = z1 · z2
= (3 − 4j) · (2 − 2j)
= 3(2 − 2j) + (−4j)(2 − 2j)
= 6 − 6j + −8j + 8j 2
= (6 − 8) + (−6 − 8)j
= −2 − 14j
(2.4)
Het is belangrijk om op te merken dat een vermenigvuldiging van een complex
getal met zijn complex geconjugeerde een reëel getal oplevert.
13
2.1. BEWERKINGEN
Gevraagd: z · z ∗ Neem z = a + bj en z ∗ = a − bj
z = z · z∗
= (a + bj) · (a − bj)
= a(a − bj) + (bj)(a − bj)
= a2 − abj + abj − (bj)2
= a2 + b2
(2.5)
We zien dus dat dit een reëel getal is. Van deze eigenschap wordt bij delen
gebruik gemaakt.
2.1.4
Delen
Bij delen maken we gebruik van de eigenschap dat een product van een
complex getal met zijn geconjugeerde een reëel getal oplevert. Als we delen
maken we gebruik van het vermenigvuldigen met het getal 1.
z1
=?
z2
z1
=
z2
z1
=
z2
=
·1
·
(2.6)
z2∗
z2∗
ℜ(z2
)2
1
· z1 · z2∗
2
+ ℑ(z2 )
14 HOOFDSTUK 2. BEREKENINGEN MET COMPLEXE GETALLEN.
Een getallen voorbeeld: Gegeven: z1 = 3 − 4j en z2 = 2 − 3j Bepaal
(3 − 4j)
z1
=
z2
(2 − 3j)
(3 − 4j) (2 + 3j)
·
=
(2 − 3j) (2 + 3j)
1
= 2
· (3 − 4j) · (2 + 3j)
2 + 32
1
=
· 3(2 + 3j) + (−4j)(2 + 3j)
13
1
· (6 + 9j) + (−8j − 12j 2 ) let op: j 2 = −1
=
13
1
· (6 + 12) + (9 − 8)j
=
13
1
=
· (18 + j)
13
18 + j
=
13
1
18
+
·j
=
13 13
z1
z2
(2.7)
15
2.2. OPGAVEN
2.2
Opgaven
1. Gegeven z1 = 10 − 7j en z2 = 5 + 3j:
Los op:
(a) z1 + z2
(b) z1 − z2
(c) z2 − z1
2. Bepaal de oplossing van de volgende opgaven in de vorm a + bj
(a) (1 − j) · (2 + j)
(b) (1 − J)/(2 + j)
(c) 3 · (2 + j)
(d)
1
j
(e)
j
1+j
(f)
2
1+j
+
1
2+j
+
3
2−2j
(g) 2j(3 − 3j)
(h) 4(3 − 3j)
(i)
2−6j
3−4j
(j) (3 + 2j)(2 − 3j)
3. Bepaal de volgende machten:
(a) j 1
(b) j 2
(c) j 3
(d) j 4
(e) j 5
(f)
j2
j3
16 HOOFDSTUK 2. BEREKENINGEN MET COMPLEXE GETALLEN.
Hoofdstuk 3
Weergave van complexe
getallen.
3.1
Weergave in het complexe vlak.
Het is soms handig om complexe getallen in het zogenaamde complexe vlak
weer te geven. Dit vlak is vergelijkbaar met het x-y vlak wat u uit uw
vooropleiding nog kent.
Imaginaire as
4j
3j
2j
J
−5 −4 −3−2 −1
(−3 − 4j)
(5 + 4j)
1 2 3 4 5 6 7 8
−J
−2j
−3j
−4j
Figuur 3.1: Het complexe vlak.
17
R as
18
HOOFDSTUK 3. WEERGAVE VAN COMPLEXE GETALLEN.
3.2
Opgaven
1. Teken de navolgende complexe getallen in het complexe vlak
(a) (3 + 2j)
(b) (3 − 2j)
(c) (−3 + 2j)
(d) (5 + 4j)
2. Teken in het complexe vlak
(a) (3 + 3j)
(b) Vereenvoudig eerst j(3 + 3j) en teken deze dan in het complexe
vlak.
U ziet dat vermedigvuldigen met j draaien is in het complexe vlak
(tegen de klok in.) En dat dan met π2
(c) Onder zoek of vermedigvuldigen met −j de andere kant op draait.
3.3
3.3.1
De polaire vorm
In het x y vlak
Er zijn twee methoden om coordinaten in een plat vlak weer te geven. Enerzijds door een (x,y) getallen paar anderzijds door een lengte t.o.v de oorsprong en een hoek ten opzichte van de positieve x-as tegen de klok in geroteerd. Zie ook figuur 3.2.
Zo kun je dus het punt A opgeven als (7, 5) of als de lengte r met de hoek ϕ
Op veel calculatoren is het mogelijk om e.e.a. rechtstreeks om te zetten.
19
3.3. DE POLAIRE VORM
Y
6
5
4
3
2
1
A (7,5)
r
ϕ
1 2 3 4 5 6 7 8
X
Figuur 3.2: Cartesiaane coordinaten.
Als punt A uit figuur 3.2 de coördinaten (a, b) zou hebben dan is de lengte
van r te berekenen met de stelling van Pythagoras:
√
(3.1)
r = a2 + b2
En de hoek ϕ via de arctanges:
ϕ = arctan
b
a
En dan ook cos ϕ = a/r, en sin ϕ = b/r
Een verkorte schrijfwijze die vaak gehanteerd wordt is: r∠ϕ
20
HOOFDSTUK 3. WEERGAVE VAN COMPLEXE GETALLEN.
3.4
Complexe vlak
Wat in de vorige paragraaf aan de orde is gekomen gaat natuurlijk ook op
voor complexe getallen, zie figuur 3.3.
z = r(cos ϕ + j sin ϕ)
De lengte r in de polaire vorm wordt de modulus genoemd en de hoek ϕ het
argument. De modulus is nooit negatief. De hoek wordt tegen de klok in
gemeten vanaf de positieve reële as. Het is handig om de volgende weergave
van complexe getallen te onthouden.
z = a + bj
= r(cos ϕ + j sin ϕ)
= r∠ϕ
Rechthoekige vorm
Polaire vorm
Verkorte polaire schrijfwijze
Im
6j
5j
4j
3j
2j
j
A (7 + 5j)
r
ϕ
1 2 3 4 5 6 7 8
Re
Figuur 3.3: Het complexe vlak.
3.5
Opgave
1. Schrijf in de polaire vorm:
(a) 1 + 3j
(b) 1 − 3j
2. Toon aan dat r∠θ en r∠ − θ elkaars complex geconjugeerde zijn.
(3.2)
(3.3)
(3.4)
21
3.6. VERMENIGVULDIGEN EN DELEN
3.6
Vermenigvuldigen en delen
Het gebruik van de polaire vorm is vooral voordelig bij het delen en vermenigvuldigen van complexe getallen. Bij vermenigvuldigen geldt dat je de
moduli met lekaar vermenigvuldigd en de hoeken bij elkaar opteld. Analoog
voor delen, moduli delen op elkaar en hoeken van elkaar aftrekken.
z1 z2 = r1 r2 ∠(ϕ1 + ϕ2 )
z1
r1
= ∠(ϕ1 − ϕ2 )
z2
r2
3.7
vermenigvuldigen
(3.5)
delen
(3.6)
Opgaven
1. Toon met behulp van de goniometrische indentiteiten aan dat:
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 )
z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )]
2. Hier moet ik nog wat sommen bij beunen.
(3.7)
(3.8)
(3.9)
22
HOOFDSTUK 3. WEERGAVE VAN COMPLEXE GETALLEN.
Hoofdstuk 4
Exponentiele vorm van een
complex getal
4.1
Afleiding.
De exponentiele1 vorm van complexe getallen wordt vaak gebruikt. Veel functies kunnen als een machtreeks worden geschreven. Zonder deze afteleiden
noemen we:
x3 x5 x7
+
−
+ ······
3!
5!
7!
x2 x4 x6
cos x = 1 −
+
−
+ ······
2!
4!
6!
x2 x3 x4
+
+
+ ······
ex = 1 + x +
2!
3!
4!
sin x = x −
(4.1)
(4.2)
(4.3)
We mogen stellen dat deze reeksontwikkeling, zoals het zo mooi heet, ook
voor complexe getallen gelden. Zonder het aan te tonen schrijven we:
ez = 1 + z +
1
z2 z3 z4
+ + + ······
2! 3! 4!
(4.4)
Het getal e is ongeveer 2.71 en is tevens het grondtal van de natuurlijke logaritme
23
24HOOFDSTUK 4. EXPONENTIELE VORM VAN EEN COMPLEX GETAL
Onder verwijzing naar de polairevorm zoals die in 3.3. En naar de formules
4.1 en 4.2 kunnen we schrijven:
ϕ2 ϕ4 ϕ6
ϕ3 ϕ5 ϕ7
z = 1−
+
−
+··· +j ϕ −
+
−
+···
(4.5)
2!
4!
6!
3!
5!
7!
ϕ3 ϕ4
ϕ2
−j
+
+ ······
(4.6)
=r 1 + jϕ −
2!
3!
4!
En als we nu nog even de ejϕ uitschrijven:
j 2 ϕ2 j 3 ϕ3 j 4 ϕ4
+
+
+···
2!
3!
4!
ϕ3 ϕ4
ϕ2
−j
+
+···
= 1 + jϕ −
2!
3!
4!
ejϕ = 1 + jϕ +
let op j 2 = −1
(4.7)
(4.8)
Hieruit volgt dan natuurlijk dat:
z = r(cos ϕ + j sin ϕ) = rejϕ
(4.9)
En we zien ook dat:
ejϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ)
en
e−jϕ = r(cos ϕ − j sin ϕ)
(4.10)
(4.11)
De bovenstaande formules,4.10 4.11, worden de formules van Euler genoemd.
Verder is het handig om te weten dat:
ejϕ + e−jϕ
cos ϕ =
2
ejϕ − e−jϕ
sin ϕ =
2j
en
(4.12)
(4.13)
We kunnen ons indenken dat de vraag rijst waarom dit nu allemaal nodig
is? Uit de inleidende vakken blijkt dat we in de elektrotechniek heel veel
met complexe getallen werken en ook met cosinus vormige signalen. Een
voorbeeld kan zijn een cosinusvormig signaal van 100 Hertz met een spanning
van 13 Volt en een fase verschuiving van π/2. Dit wordt in het algemeen
opgeschreven als:
U(t) = 13 cos(2π100t + π/2)
(4.14)
25
4.2. OPGAVEN
Het bovenstaande is natuurlijk alleen het reële deel van:
13ej(π2·100·t+π/2) = 13 (cos(2π100t + π/2) + j sin(2π100t + π/2))
Dus kunnen we schrijven:
U(t) = 13ℜ(ej(ωt+π/2) )
4.2
(4.15)
Opgaven
1. Bepaal het argument en de modulus van de navolgende getallen:
(a) 4ejπ/5
(b) 2e−jπ/3
2. Schrijf het getal 3 + j4 in zijn exponentiele vorm en teken zowel de
normale vorm als de exponentiele vorm in het complexe vlak.
3. Toon aan dat ejπ + 1 gelijk is aan nul.
4. Er kunnen vast nog wel meer sommen bedacht worden.
26HOOFDSTUK 4. EXPONENTIELE VORM VAN EEN COMPLEX GETAL
Hoofdstuk 5
Toepassing in de
elektrotechniek
Zoals we al lieten doorschemeren zijn de complexe getallen reuze handig in
de elektrotechniek. Zeker omdat het wisselspanningsgedrag van een spoel en
condensator goed gemodelleerd kunnen worden met behulp van deze complexe getallen. Zelfs een eenvoudige schakeling, zoals in figuur 5.1, wordt een
diffrentiaal vergelijking als er wisselspanning gebruikt wordt.
L
R
C
U(t)
Figuur 5.1: Een eenvoudig serie kringetje.
di
+ Uc + R · i = U(t)
dt
Na wat omschrijven, zie [1][hoofdstuk 9] volgt:
L
d2 Uc
dUc
+R·C
+ Uc = U(t)
(5.1)
2
dt
dt
Diffrentiaal vergelijkingen worden vaak als lastig beschouwd, zeker om ze met
de hand op te lossen vraagt nog al wat wiskunde achtergrond. Met name de
tijd geeft nog al eens problemen.
L·C ·
27
28
5.1
HOOFDSTUK 5. TOEPASSING IN DE ELEKTROTECHNIEK
Fasor
Veel elektrotechnicie werken met sinus of cosinus vormige signalen zoals:
u(t) = Umax cos(ωt + ϕ) = Umax cos(2πf t + ϕ)
(5.2)
Met: Umax de maximale amplitude,
ω de hoek frequentie in radialen/seconde is gelijk aan 2πf ,
f de frequentie in Hertz en met
ϕ de fase verschuiving in radialen. Deze weergave is afhankelijk van de tijd,
en wordt dus de tijdsdomein weergave genoemd. Om een elektrische schakeling te analyseren moet er gerekend worden dus delen vermenigvuldigen etc.
Rekenen met sinussen en cosinussen is nogal langdradig en vermoeiend. Om
een en ander te vereenvoudigen voeren we de fasor in. Een phasor bestaat
uit twee verschilende delen een lengte en een hoek verdraaiing.
Imaginaire as
ω
~
U
U
ϕ
R as
Figuur 5.2: De fasor als draaiende vector.
Het is mogelijk om een fasor weer te geven in het complexe vlak. Als we
even terug bladeren naar de formule, 4.14 en we proberen deze weer te geven
als een complex getal dan krijgen we:
U(t) = 13ej(π2·100·t+π/2) = 13ejωt ejπ/2
(5.3)
29
5.2. CIRCUIT ELEMENTEN
De term ejω·t kunnen we wel even terzijde schuiven, wat we dan in weze doen
is de tijdsafhankelijkheid er uit halen. We zetten het signaal stil in de tijd.
De fasor representatie wordt dan:
Ũ = 13eπ/2 = 13∠π/2
(5.4)
De fasor kan natuurlijk ook getekend worden zie figuur 5.2: Alle informatie
die we nodig hebben zit in de fasor, de ejωt blijft onveranderd in de berekeningen, dus die kunnen we terecht ter zijde schuiven
5.2
Circuit elementen
Nu we de fasor hebben geintroduceert moeten we ook de componenten zoals
weerstand condensator en spoel als fasor gaan schrijven. De wet van Ohm
geldt nog steeds voor de weerstand al schrijven we de spanning en stroom
anders. De wet van Ohm in fasor vorm is aldus:
Ũ = I˜ · Z
(5.5)
De Z is de impedantie en kan capacitief inductief of weerstand zijn of een
combinatie van deze elementen. In appendix 1 worden de kreten impedantie
etc verklaard. Voor de afleiding van de fasor relaties wordt verwezen naar
[1][hoofdstuk 10]
5.2.1
Weerstand
De ideale weerstand veroorzaakt geen fase draaiing in een wissel spanning:
Ũ = I˜ · R
(5.6)
5.2.2
Spoel
De fasor relatie van de wet van Ohm voor een spoel is:
Ũ = I˜ · jωL
5.2.3
(5.7)
Condensator
De fasor relatie voor de condensator is:
Ũ = I˜ ·
1
jωC
(5.8)
30
HOOFDSTUK 5. TOEPASSING IN DE ELEKTROTECHNIEK
5.3
Opgaven
1. Bepaal de reactantie van een spoel bij 1 MHz en een zelf inductie van
3 mH
2. Bepaal de reactantie van een condensator bij 10 kHz en een capaciteit
van 3 µF
3. Bepaal de stroom door de impedantie van 4 + 6jΩ als de spanning
Ũ = 10∠π/3 is.
4. Gegeven de schakeling van figuur 5.3
De spanning van de bron is gegeven als U(t) = 22 cos(4t + 30◦ ). De
U(t)
C
R
Uo
Figuur 5.3: Schakelingetje.
spanning over de weerstand is gegeven als Uo (t) = 5 cos(4t + 120◦ )
Bepaal de waarde van de capaciteit.
Appendices
31
Appendix A
Terminologie
Admitantie De wisselstroom geleiding.
Aangegeven met de letter Y.
De admitantie is de reciproke van de impedantie. Deze kan een fase
draaing te weeg brengen. In formule vorm:
I˜ = Ũ Y
Impedantie De wisselstroom weerstand.
Aangegeven met de letter Z
Deze kan ook een fase draaiing veroorzaken.
˜
Ũ = IZ
reactantie De wisselstroom weerstand van een ideale spoel cq condensator: Aangegeven met de letter Xl voor de spoel en voor de condensator met
Xc
suceptantie De geleiding van een spoel of condensator.
33
34
APPENDIX A. TERMINOLOGIE
Appendix B
Formularium
Is dit handig???
35
36
APPENDIX B. FORMULARIUM
Appendix C
Antwoorden van de
geselecteerde sommen.
37
BijlageA
Hoofdstuk 1
Opgaven van 1.1.2
x2 − 1 = 0
x2 = 1
(C.1)
(C.2)
√
x=± 1
x = ±1
(C.3)
(C.4)
x2 + 1 = 0
x2 = −1
p
x = 1 · 2
x = 1
x2
+ 2x − 5 = 0
2
x2 + 6x − 15 = 0
x1,2
x1,2
x1,2
x1,2
x1,2
√
−6 ± 62 − 4 · −15
=
√ 2
−6 ± −24
=
2p
−6 ± 24 · 2
=
2√
−6 ±  24
=
2√
24
= −3 ± 
2
(C.5)
(C.6)
(C.7)
(C.8)
∗3
(C.9)
abc formule
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)
(C.14)
(C.15)
Opgave 2 complex geconjugeerde: teken wissel voor het imaginaire deel.
z = cos ωt +  sin ωt
z ∗ = cos ωt −  sin ωt
38
(C.16)
(C.17)
39
A. HOOFDSTUK 1
Opgave 3
2
3
4
5
⇒ −1
⇒ 2  ⇒ −
⇒ 2 · 2 ⇒ −1 · −1 ⇒ 1
⇒ 2 · 2 ·  ⇒ −1 · −1 ·  ⇒ 
(C.18)
(C.19)
(C.20)
(C.21)
BijlageB
Hoofdstuk 2
1:b
z1 − z2 = (invullengetallen)
(10 − 7) − (5 + 3) ⇒ (10 − 5) + (−7 − 3)
5 − 10
(C.22)
(C.23)
(C.24)
2:f
3
2
+
⇒ breuken weg werken
(1 + ) (2 − 2)
(1 − )
3
(2 + 2)
2
·
+
·
⇒
(1 + ) (1 − ) (2 − 2) (2 + 2)
3
2
· (1 − ) + · (2 + 2) ⇒
2
8
3
(1 − ) + · (2 + 2) ⇒
8
6 6
(1 − ) + ( + ) ⇒
8 8
6 2
(1 − )
8 8
(C.25)
(C.26)
(C.27)
(C.28)
(C.29)
(C.30)
3:f
2
⇒
3
2−3 ⇒
−1 ⇒
1

40
(C.31)
(C.32)
(C.33)
(C.34)
Bibliografie
[1] Richard C Dorf and James A. Svoboda. Introduction to electric circuits.
Wiley, sixt edition, 2004.
41