Modelvragen - Faculteit Ingenieurswetenschappen

Meet je kennis!
Modelvragen ijkingstoets
v.u.: Jelle De Borger, Kasteelpark Arenberg 1, 3001 Heverlee
burgerlijk ingenieur
burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
1
1
Be prepared
Je bent van plan om deel te nemen aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect?
Neem de tijd om dit boekje grondig door te nemen en je voor te bereiden op de toets. Met een grondige
voorbereiding weet je immers nog beter of je genoeg wiskundige en probleemoplossende vaardigheden hebt
om deze studies aan te vatten.
Hoe is dit werkboek opgebouwd?
Dit boekje bestaat uit meerdere delen. Het bevat modeloefeningen, oplossingen van de oefeningen, een
formularium en een toelichting die je helpt bij het interpreteren van enkele vragen ruimtelijk inzicht. Het
formularium en de toelichting zullen ook ter beschikking gesteld worden tijdens de ijkingstoets en mag
je dus gebruiken om de oefeningen op te lossen. Aanvullend bij dit werkboek vind je op de website
eng.kuleuven.be/ijkingstoets ook TipClips bij enkele oefeningen en kan je online vragen stellen aan onze
monitoren.
De aangeboden oefeningen zijn allemaal meerkeuzevragen met één juiste antwoordmogelijkheid, net als bij
de echte ijkingstoets. Er zal geëvalueerd worden met giscorrectie: met een juist antwoord win je een punt,
een vraag blanco invullen levert je geen punten op, bij een verkeerd antwoord verlies je 1/4 punt. Gebruik
dit boekje om vertrouwd te geraken met dit concept, zodat je voluit jouw capaciteiten kan bewijzen.
Een eerste hoofdstuk bevat oefeningen die wij voor toekomstige ingenieurs als basis beschouwen. Ze zijn
gebaseerd op de leerinhouden van zowel de eerste, tweede als derde graad van het secundair onderwijs en
hebben vooral tot doel je wiskundige kennis en vaardigheden op te frissen. De competenties die je nodig hebt
om de ingenieursstudies aan te vangen, gaan verder dan het beheersen van wiskundige rekenregels, formules
toepassen, enz. In het tweede deel van deze bundel proberen we je aan te zetten tot het combineren van
verschillende wiskundige technieken.
We vinden het ook belangrijk dat je een probleem kan aanpakken, ook als de vraagstelling niet wiskundig van
aard is. Met de oefeningen uit het derde deel leer je om een niet-wiskundig probleem te interpreteren en op
te splitsen in deelproblemen. Vervolgens moet je voor deze deelproblemen de juiste wiskundige technieken
zoeken om ze op te lossen. Tenslotte moet je door een combinatie van je deelresultaten een antwoord
formuleren op de oorspronkelijke vraagstelling.
Het laatste deel oefent op het ontwikkelen van het ruimtelijk inzicht. Een onderdeel dat voor ingenieurs en
zeker voor ingenieurs-architecten een essentiële vereiste is.
Waarom goed voorbereid deelnemen?
Bij een positief resultaat op de toets mag je ervan uitgaan dat je voldoende wiskundige en probleemoplossende
bagage hebt om de studies aan te vangen en er is meer. . .
Aan de Faculteit Ingenieurswetenschappen KU Leuven zijn we dan overtuigd dat je de wiskundige technieken
om ingenieursvraagstukken aan te pakken al onder de knie hebt en kan je een vrijstelling aanvragen voor
‘Wiskunde voor probleemoplossen’, een onderdeel van een eerstesemestervak waar deze vaardigheden worden
aangeleerd.
Genoeg redenen om dit boekje grondig door te nemen en voorbereid op de afspraak te zijn op 1 juli 2013!
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
2
2
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Formuleverzameling
√
2 ≈ 1, 41;
√
3 ≈ 1, 73
Logaritmische en exponentiële functie
e = lim (1 + 1/x)x ≈ 2, 72
x→∞
loga x =a log x = y ↔ x = ay (a ∈ R+
0 \ {1})
x
ln x = loge x; exp(x) = e
loga (xy) = loga x + loga y
loga xy = loga x − loga y
loga (xn ) = n loga x
loga b logb c = loga c
ax+y = ax ay ; axy = (ax )y
Trigoniometrische functies
sin α
cos α
1
tg α = tan α = cos
α ; cotg α = cot α = sin α = tan α
sec α = cos1 α ; cosec α = sin1 α
Bgsin x = arcsin x, (|x| ≤ 1)
Bgcos x = arccos x, (|x| ≤ 1)
Bgtan x = arctg x; Bgcot x = arccot x
Bgsec x = arcsec x, (|x| ≥ 1)
Bgcosec x = arccosec x (|x| ≥ 1)
sin2 α + cos2 α = 1; tan2 α + 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2 α
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)
2 tan α
sin 2α = 2 sin α cos α = 1+tan
2α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 =
2 tan α
tan 2α = 1−tan
2α
tgα
cotgα
1
sin α
α
0
1−tan2 α
1+tan2 α
α−β
α−β
α+β
sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2 ; sin α − sin β = 2 sin 2 cos 2
α−β
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos 2 ; cos α − cos β = −2 sin 2 sin 2
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
−2 sin α sin β = cos(α + β) − cos(α − β)
Sinus-en cosinusregel in een driehoek
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
α
c
b
γ
β
a
Verzamelingenleer
A
∪ B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.
A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.
A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren.
A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.
cos α
1
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
3
3
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte
(cartesiaans assenstelsel)
Afstand tussen twee punten p1 (x1 , y1 ) en p2 (x2 , y2 ) in het vlak: |p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
|ax0 + by0 + c|
√
Afstand van het punt p(x0 , y0 ) tot de rechte L ↔ ax + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) =
a 2 + b2
x 1 x 2 + y 1 y2
u · v
= 2
Hoek α tussen twee vectoren u(x1 , y1 ) en v (x2 , y2 ) in het vlak: cos α =
u u
x1 + y12 x22 + y22
Afstand tussen twee punten p1 (x1 , y1 , z1 ) en p2 (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
|p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Afstand van het punt p(x0 , y0 , z0 ) tot het vlak γ ↔ ax + by + cz + d = 0 in de ruimte:
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√
d(p, γ) =
a 2 + b2 + c 2
Hoek α tussen twee vectoren u(x1 , y1 , z1 ) en v (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
u · v
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z2
cos α =
= 2
u u
x1 + y12 + z12 x22 + y22 + z22
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten
ax2 + bx + c = 0, a = 0
D = b2 − 4ac
√
D
; ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
Als D > 0; x1,2 = −b±
2a
−b
Als D = 0, x1 = x2 = 2a ; ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
Als D < 0, geen reële oplossingen.
Afgeleiden
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
g(x) ± h(x)
g (x) ± h (x)
g(h(x))
g(x)h(x)
g(x)
h(x)
g (x)h(x) + g(x)h (x)
g (x)h(x) − g(x)h (x)
(h(x))2
g −1 (x)(inverse)
xq , q ∈ Q
qxq−1
ex
ex
ax
ax ln a
sin x
cos x
cos x
− sin x
Bgtan x
tan x
sec2 x
Bgcot x
cot x
−cosec 2 x
Bgsec x
sec x
tan x sec x
cosec x
− cot x cosec x
g (h(x))h (x)
1
−1
g (g (x))
1
x
1
x ln a
1
√
(|x| < 1)
1 − x2
1
(|x| < 1)
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
1
√
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
1
− √
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
ln x
a
log x
Bgsin x
Bgcos x
Bgcosec x
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
4
4
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Primitieven
f (x)
g (x)
g(x) + C
1
x,
x = 0
f (x)dx
ln |x| + C
ln x
x ln x − x + C
√ 1
k2 −x2
Bgsin xk + C
√
ln |x + k 2 + x2 | + C
x−a 1
ln
2a
x+a + C
√ 1
k2 +x2
1
,a
x2 −a2
= 0
(x) dx =
Substitutie: f (g(x))g
f (u) du
Partiële integratie: u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u (x) dx
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
5
5
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen
1
Basiswiskunde
Oefening 1.1
Zij f : R → R een afleidbare functie. Gegeven is de grafiek van de afgeleide van f . Welke uitspraak is waar?
(A) De functie f bereikt een lokaal minimum in −3.
(B) De functie f bereikt een lokaal minimum in p.
(C) De functie f bereikt een lokaal maximum in p.
(D) De functie f bereikt een lokaal maximum in q.
(E) De functie f bereikt een lokaal maximum in 3.
Oefening 1.2
Hieronder zie je de grafieken van twee reële functies, links van de functie f , rechts van de functie g. De
schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f ?
(A) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x + 1).
(C) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 + 1).
(D) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 − 1).
g
f
(B) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x − 1).
1
1
1
x
1
x
(E) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x − 1/2).
Oefening 1.3
We noemen twee natuurlijke getallen onderling ondeelbaar als ze geen gemeenschappelijke delers hebben
behalve 1. Dan bevat de lijst van de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, · · · , 2012 precies n getallen die onderling
ondeelbaar zijn met 12. Bepaal n.
(A) n = 336
(B) n = 503
(C) n = 671
(D) n = 1006
(E) n = 1845
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
6
6
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 1.4
Welke van onderstaande mogelijkheden is de afgeleide van de functie met voorschrift f (x) =
(A)
1
1−sin(2x)
(B)
cos(2x)
1−sin(2x)
sin(x)
cos(x)−sin(x) ?
(C) 1
(D)
− cos(x)
sin(x)+cos(x)
(E)
cos(x)
sin(x)−cos(x)
Oefening 1.5
Wat is de lengte van de cirkelboog die een hoek θ = 1/5 rad omsluit. De straal R van de cirkel is 5. De
figuur dient enkel als principe-tekening; de hoek θ is niet met de juiste grootte getekend.
(A)2π
(B) 2π
(C)1
(D)5π
(E)5
5
Oefening 1.6
Een lineair stelsel met 7 vergelijkingen en 3 onbekenden
(A) is altijd strijdig.
(B) is nooit strijdig.
(C) heeft in sommige gevallen precies 4 oplossingen.
(D) heeft nooit oneindig veel oplossingen.
(E) heeft in sommige gevallen oneindig veel oplossingen.
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
7
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
7
Oefening 1.7
Gegeven een functie f : R → R : x → aebx .
Hierin is a, b ∈ R. Hieronder zie je de grafiek van f (x). Wat kan je besluiten over de parameters a en b?
(A) a > 0 en b > 0
(B) a > 0 en b < 0
(C) a < 0 en b < 0
(D) a < 0 en b > 0
(E) b = 0
Oefening 1.8
Bepaal de vergelijking van
√ de raaklijn die raakt in het punt (−4, 1) aan de cirkel in het xy-vlak met middelpunt (−2, 0) en straal 5.
(A) 2x + y = −8
(B) −2x − y = 7
(C)
1
2x
+ y = −1
(D) −2x + y = 9
(E) − 12 x + y = 3
Oefening 1.9
Als x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx +r deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x +3 , dan is p(q+r) gelijk aan
(A)12
(B)15
(C)18
(D)21
(E)24
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
8
8
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 1.10
Een complex getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b reële getallen en i2 = −1. Dan zijn er
onder de lijst van complexe getallen
(1 + i)4 (1 − i)4 (1 + i)2 (1 − i)2 2
,
,
,
,i
4
4
2
2
precies n die gelijk zijn aan -1. Bepaal n.
(A) n = 1
(B) n = 2
(C) n = 3
(D) n = 4
(E) n = 5
Oefening 1.11
Veronderstel dat x en y reële getallen zijn die voldoen aan ex = 3 ey . Wat mag je besluiten over x en y?
(A) x = 3y.
(B) x = y ln 3.
(C) x = 3 + y.
(D) x = y + ln 3.
(E) x = y 3 .
Oefening 1.12
Bereken, indien mogelijk, volgende limiet:
4x3 − 3x + 1
·
x→1/2 4x3 − 4x2 + x
lim
(A) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 0.
(B) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 1.
(C) Deze limiet bestaat en ligt in het interval [2, 2012].
(D) Deze limiet bestaat en is gelijk aan +∞.
(E) Deze limiet bestaat niet.
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
9
9
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
2
Wiskundige combinatievragen
Oefening 2.1
De functie x = f (y) is gedefinieerdvia het verband yxn = C met n en C constant. Als y stijgt van 1 tot
100
100, daalt x van 10 tot 1. Bereken 1 2f (y)dy.
(A) 99
(B)360
(C) 396
(D) 891
(E) 9999
Oefening 2.2
Bepaal de afgeleide van de functie f : R → R met voorschrift f (x) =
(A) f (x) =
1
1 + cos(2x)
(B) f (x) =
− sin x cos x
1 − 2 sin(2x)
(C) f (x) =
cos(2x)
1 − 2 sin(2x)
(D) f (x) =
sin x cos x[−1 − cos(2x) + 2 sin(2x)]
[1 + cos(2x)]2
(E) f (x) =
sin(2x)
[1 + cos(2x)]2
sin x cos x
.
1 + cos(2x)
Oefening 2.3
We definiëren f (x) met volgend meervoudig voorschrift:



f (x) = 0 als x ≤ 0

 f (x) = x als x > 0
Onderstaande figuur geeft de grafiek van
g(x) = a0 f (x) + a1 f (x − 1) + a2 f (x − 2) + a3 f (x − 3) + a4 f (x − 4) + a5 f (x − 5)
Bepaal a3 .
(A)-2
(B)-1
(C)0
(D)1
(E)2
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
10
10
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 2.4
De grafiek van de functie f : R → R is gegeven in onderstaande figuur.
Definieer drie functies, α, β, γ : R → R, met voorschriften
• α(t) = f (cos t)
• β(t) = f (2 cos(t/2))
• γ(t) = f (3 cos(t/3))
waarbij t ∈ R. Als a het maximum is van de functie α, b het maximum van de functie β en c het maximum
van de functie γ, welk van de volgende uitspraken is dan geldig:
(A) a = b = c
(B) a > b > c
(C) a < b < c
(D) a = b = c
(E) a = b = c
Oefening 2.5
Bekijk onderstaande figuren met daarin de functies f (x) en g(x). Welke waarde is een benadering van de
volgende uitdrukking (f ◦ g) (6)?
We noteren met f ◦ g de functie van R naar R gegeven door (f ◦ g)(x) = f (g(x)) (voor x ∈ R).
(A)-2
(B)-1
(C)0
(D)1
(E)2
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 2.6
1
.
1 + a ex
Hierin is a ∈ R. Wat kan je op basis van de grafiek besluiten over a?
Hier zie je de grafiek van de functie f : R → R : x →
1
1/2
0
1
(A) a ≤ 1/2
(B) 1/2 < a < 1
(C) a = 1
(D) 1 < a < 2
(E) a ≥ 2
Oefening 2.7
Welke van volgende integralen is strikt positief?
π
sin x
dx
(A)
2
−π 1 + x
π
cos x
dx
(B)
2
−π1 + x
π
x4 sin x dx
(C)
(D)
(E)
−π
π
x4 cos x dx
−π
π
0
(x − π/2)2 cos x dx
11
11
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
12
12
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 2.8
Bepaal de x-coördinaat van de vector v3 = v1 + v2 in het xy-vlak als je weet dat
• v1 een lengte 2 heeft en een hoek van 30◦ maakt met de positieve x-as.
• v2 geöriënteerd is volgens de x-as
• v3 een hoek α maakt met de positieve x-as
(A) cos α
(B) tan α
(C) cot α
√
(D) 3 cos α
√
(E) 3 + cos α
Oefening 2.9
De functie f : R → R heeft als voorschrift f (t) = a e−t/τ , met a en τ constant. Verder weten we dat f (0) = e
en f (2) = 1. Bereken
2
f (t)dt·
0
(A) e-1
(B) 2e-2
(C) 2e
(D) 2-2/e
(E) 1
Oefening 2.10
Beschouw de kromme K bepaald door de vergelijking y = x3/2 in het vlak met cartesiaans assenstelsel xy.
Welk punt van deze kromme ligt het dichtst bij het punt met coördinaten (1/2, 0)?
(A) (0, 0)
(B) (1/2, 1/23/2 )
(C) (1/3, 1/33/2 )
(D) (1/4, 1/43/2 )
(E) (1, 1)
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
13
13
Oefening 2.11
Onderstaande figuur geeft de grafiek weer van de functie f : R+ → R met als voorschrift f (t) = e1−t/τ cos(2πt/T ),
waarbij T en τ constant zijn. Bepaal T /τ .
(A) T /τ = 0.1
(B) T /τ = 0.2
(C) T /τ = 1/e
(D) T /τ = e
(E) T /τ = 5
Oefening 2.12
Definieer de functie f : R → R met als voorschrift
f (x) = n als n ≤ x < n + 1 met n een geheel getal, m.a.w. n ∈ Z.
Bepaal
(A) 4
0
4
f (x)dx
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 12
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
14
3
14
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Toepassingen
Oefening 3.1
De grafiek stelt de snelheid voor van een bal die een rechtlijnige beweging uitvoert:
Op welke(e) tijdstip(pen) is de bal het verst verwijderd van zijn positie op het tijdstip t = 0 s?
(A) t = 2 s.
(B) t = 3 s.
(C) t = 4 s.
(D) t = 5 s.
(E) t = 2 s en t = 4 s.
Oefening 3.2
De letter F uit onderstaande figuur is opgebouwd uit 7 vierkanten met elk zijde 2. Elk vierkant heeft dezelfde
massa m. Het zwaartepunt van elk vierkant is gelegen in het midden van elk vierkant. Bepaal de coördinaten
van het zwaartepunt van de volledige letter.
Tip: de coördinaten van het zwaartepunt van een object dat samengesteld is uit twee objecten A en B is
mA xA + mB xB mA yA + mB yB
,
). Hierbij zijn mA en mB de massa’s van respectievelijk het
gegeven door (
mA + mB
mA + mB
object A en het object B. (xA , yA ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object A; (xB , yB ) zijn de
coördinaten van het zwaartepunt van object B.
y
(A) (3, 4)
(B) (7/4, 5)
(C) (12/7, 5)
(D) (15/7, 5)
1
0
(E) (15/7, 33/7)
1
x
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
15
15
Oefening 3.3
Onderstaande figuur geef het tijdsverloop aan van een wagen die vanuit rust met een constante versnelling
vertrekt. Op de horizontale as staat de tijd in het kwadraat t2 . De grootte van de versnelling van de wagen
is dan
(A) 0,25 m/s2
(B) 1,5 m/s2
(C) 2,5 m/s2
(D) 5 m/s2
(E) 10 m/s2
Oefening 3.4
Een auto rijdt aan 95 km/u en haalt een 1.10 km lange trein in die in dezelfde richting rijdt op een spoor
dat parallel loopt met de weg. Als de trein een snelheid van 75 km/u heeft, hoelang doet de auto er dan
over om de trein in te halen? En welke afstand zal de auto in die tijd afgelegd hebben?
(A) minder dan 2.5 min en minder dan 2.5 km
(B) minder dan 2.5 min en meer dan 2.5 km
(C) meer dan 2.5 min en minder dan 7.5 km
(D) meer dan 2.5 min en meer dan 7.5 km
(E) Geen van voorgaande antwoorden is correct
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
16
16
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 3.5
Schip A bevindt zich 65 km ten westen van schip B in open zee. Om 9 uur ’s morgens begint schip A naar
het zuiden te varen aan 15 km/u, en begint schip B naar het westen te varen aan 10 km/u. Op welk tijdstip
zijn beide schepen het dichtst bij elkaar?
(A) Om 10 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar
(B) Om 10u30 zijn de schepen het dichtst bij elkaar
(C) Om 11 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar
(D) Om 12 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar
(E) Om 12u30 zijn de schepen het dichtst biji elkaar
Oefening 3.6
Een mier legt een afstand van 10,0 cm over de x−as af in 2,00 s. Daarna draait ze naar links over een hoek
van 30, 0◦ en loopt nog eens 10,0 cm in 1,80 s in een rechte lijn. Tenslotte draait ze nog een draai van 70, 0◦
naar links en legt weer 10,0 cm af langs een rechte lijn, deze keer in 1,55 s. Bepaal de x− en y−component
van de eindpositie van de mier.
(A) x > 15 en y > 15
(B) x > 15 en y < 15
(C) x < 15 en y > 15
(D) x < 15 en y < 15
(E) Geen van voorgaande antwoorden is correct
Oefening 3.7
De breedte b, de lengte l en de hoogte h van een balkvormig voorwerp zijn op een bepaald ogenblik respectievelijk 10 cm, 5 cm en 3 cm. De breedte en de hoogte groeien allebei op dat ogenblik met een snelheid van
2 cm/s. De lengte neemt af met een snelheid van 1 cm/s. Hoe snel groeit het volume van het voorwerp op
het gegeven ogenblik?
(A) 4 cm3 /s.
(B) 35 cm3 /s.
(C) 95 cm3 /s.
(D) 100 cm3 /s.
(E) 160 cm3 /s.
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
17
17
Oefening 3.8
Een glijbaan moet bekleed worden met een gladde folie. In de onderstaande figuur wordt een doorsnede van
de glijbaan getoond. Het eerste stuk, AB, is een recht stuk van 6m lang dat een hoek maakt van 60◦ met
de horizontale. Het tweede stuk is een cirkelboog die in B raakt aan het eerste stuk, en die in C raakt aan
de horizontale. Het hoogteverschil tussen B en C bedraagt 2 m. Het laatste stuk is een horizontaal stuk van
lengte 1 m. Hoe lang (uitgedrukt in m) moet de folie zijn?
A
(A) 7 + 4π/3
√
(B) 7 + 4 2π/3
√
(C) 7 + 2π
√
(D) 7 + 2 2π/3
6m
60◦
B
2m
C
(E) 11
D
1m
Samengestelde oefening 1
Je plaatst een ladder van 5 meter lengte op een horizontale vloer tegen een verticale muur. Als de ladder
onderaan op de vloer steunt op een afstand van xv meter van de muur, steunt hij bovenaan op een hoogte
van ym meter tegen de muur.
Vraag 3.9
Zoek de functie f die ym uitdrukt in functie van xv (dus ym = f (xv )). Bepaal f (3).
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Vraag 3.10
Bereken de afgeleide van f in xv = 3.
(A) -1/8
(B) -1/4
(C) -1/2
(D) -3/4
(E) -1
Vraag 3.11
De ladder schuift uit en de positie van het steunpunt xv hangt af van de tijd t, xv = g(t). Hierdoor is ook de
hoogte ym tijdsafhankelijk: ym = f (g(t)) = h(t). Op tijdstip t0 is xv = g(t0 ) = 3 en is de afgeleide g (t0 ) = 4
Bereken de afgeleide h (t0 ).
(A) -16/3
(B) -3
(C) 12
(D) 3t0
(E) 4t0
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
18
18
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Samengestelde oefening 2
De schepbak van een kleine graafmachine is verbonden aan de hefarm ACDE, die roteert rond het punt A.
Een zuiger BC is met scharnieren verbonden aan het frame van de machine (in het punt B) en aan de arm
van de schepbak (in het punt C). De schepbak wordt opgetild door de lengte van de zuiger BC te vergroten.
De linkerhelft van de figuur toont de machine met de hefarm in de rusttoestand. De rechterhelft van de
figuur toont een andere stand van de machine. De stand van de schepbak hangt af van de geöriënteerde
hoek α tussen de positieve x-as en de lijn AC. Dit betekent dat stand1 1 (linkerfiguur) α < 0 en voor stand
2 (rechterfiguur) α > 0.
E
D
C
A
A
α
α
B
C
B
D
E
y
y
x
x
Vraag 3.12
De baan die het punt C volgt om van stand 1 (linkerfiguur) naar stand 2 (rechterfiguur) te bewegen is
(A) een cirkelboog met centrum in A
(B) een cirkelboog met centrum in B
(C) een stuk van een parabool
(D) een stuk van een ellips
(E) een lijnstuk
Vraag 3.13
De raaklijn aan de baan uit vorige vraag in het punt C voor stand 1 (linkerfiguur)
(A) is vertikaal
(B) is horizontaal
(C) maakt een hoek α met de horizontale x-as
(D) maakt een hoek α met de vertikale y-as
(E) maakt een hoek van 45◦ met de horizontale x-as
Vraag 3.14
De eenheidsvector evenwijdig met de raaklijn uit vorige vraag is gegeven door
(A) (1, 0)
√
√
(B) ( 2/2, 2/2)
(C) (cos α, sin α)
(D) (cos α, − sin α)
(E) (− sin α, cos α)
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
4
19
19
Ruimtelijk inzicht
Toelichting vragen ruimtelijk inzicht
De toets bevat vragen die je ruimtelijk inzicht meten. Er wordt gebruik gemaakt van enkele begrippen die
hier kort toegelicht worden.
Een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen
De figuur hieronder links toont een object dat opgebouwd is uit kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij
5 bij 5 identieke kubussen. Rechts zie je de dezelfde figuur, waarbij de grenzen tussen vlakken van kubussen
die in elkaars verlengde liggen niet meer getekend worden.
Isometrische voorstelling
Een isometrische voorstelling is één van de manieren om een driedimensioneel object in twee dimensies weer
te geven. Wat dit is wordt verder toegelicht. De figuur hieronder links geeft een beeld van een kubus met
de schaduw op het vlak waarop hij rust. Randen die enkel zichtbaar zijn als de vlakken doorzichtig zijn,
worden voorgesteld in stippellijn. De figuur rechts geeft een ’isometrische’ voorstelling: verticale randen
lopen van boven naar onder op het tekenblad en randen die in de ruimte weg van de waarnemer lopen
worden getekend onder 30◦ ten opzichte van een lijn van links naar rechts op het blad. Het hoekpunt
vooraan-boven en onderaan-achter valt samen bij deze voorstelling.
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
20
20
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
De figuur hieronder bevat links een ’isometrische’ voorstelling van de kubus, zonder schaduw en met ondoorzichtige vlakken. Een dikke lijn geeft de grens aan van het object met de omgevende lucht vanuit de
waarnemer gezien. Hieronder rechts wordt de isometrische voorstelling van een object getoond dat bekomen werd door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke
kubussen.
Doorsnedes
We beschouwen nu een doorsnede van een object. Hiertoe wordt een doorzichtig snijvlak aangegeven en een
kijkrichting:
• De letters ’AB’ bevinden zich in het snijvlak en zijn vanuit het standpunt van de waarnemer normaal
leesbaar
• De streepjes aan de hoeken van het vlak bevinden zich achter het snijvlak vanuit de waarnemer gezien
Bij de voorstelling van de snede gelden volgende conventies:
• Delen van het object die gesneden worden hebben een dikke rand en zijn grijs ingekleurd
• Delen waarop men kijkt hebben een dunne rand en zijn niet ingekleurd
• Delen voor het snijvlak (ten opzichte van de waarnemer) hebben een streepjeslijn als grens en zijn niet
ingekleurd
Een dikke lijn heeft voorrang op een dunne, die op zijn beurt voorrang heeft op een streepjeslijn.
Onderstaande figuren tonen een voorbeeld. Links wordt een object getoond dat bekomen werd door het
samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 kubussen. De doorsnede AB is
rechts getekend.
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
21
21
Oefening 4.1
Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht.
Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal
5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven
links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft
enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de
isometrie.
(C)
(A)
(B)
(D)
(E)
Oefening 4.2
Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht.
Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal
5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven
links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft
enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de
isometrie.
(C)
(A)
(B)
(D)
(E)
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
22
22
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Oefening 4.3
Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?
Oefening 4.4
Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?
Oplossingen
Modelvragen ijkingstoets
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
Correcte antwoorden
1.1 E
1.2 B
1.3 C
1.4 A
1.5 C
1.6 E
1.7 C
1.8 D
1.9 A
1.10 C
1.11 D
1.12 C
2.1 B
2.2 A
2.3 E
2.4 E
2.5 B
2.6 D
2.7 B
2.8 C
2.9 B
2.10 C
2.11 B
2.12 B
3.1 A
3.2 E
3.3 D
23
23
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
24
3.4 C
3.5 C
3.6 B
3.7 D
3.8 A
3.9 D
3.10 D
3.11 B
3.12 A
3.13 D
3.14 E
4.1 E
4.2 C
4.3 D
4.4 D
24
Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
FACULTEIT
INGENIEURSWETENSCHAPPEN
Kasteelpark Arenberg 1 bus 2200
3001 HEVERLEE, België
tel. + 32 16 32 13 50
fax + 32 16 32 19 82
[email protected]
www.eng.kuleuven.be