Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten

Te kennen leerstof wiskunde
voor het toelatingsexamen
graduaten
Lea De Bie
[email protected]
1 SOORTEN GETALLEN
(Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof)
1.1 Natuurlijke getallen
De eerste getallen waar we als kind kennis mee maken zijn die getallen waarmee je leert
tellen: 0, 1, 2, 3, enz…
We noemen ze dan ook de “Natuurlijke getallen”. De verzameling van alle natuurlijke
getallen wordt voorgesteld door |N .
|N = {0,1,2,3,4,5,6,.....}
We kunnen hiermee al heel wat berekeningen maken:
1+5=6 ∈ |N
2.5=10 ∈ |N
Maar: al vlug ondervind je tekortkomingen, je moet een tekort kunnen uitdrukken, een
negatief resultaat bij het kaartspelen, vriesweer,…
5-6∉ |N
⇒ We moeten de natuurlijke getallen uitbreiden met negatieve getallen:
0, 1, 2 maar ook -1, -2…
1.2 Gehele getallen
= {0,1,−1,2,−2,3,−3,4,−4,....}
We zien dat we de natuurlijke getallen hier terugvinden, dus de natuurlijke getallen zijn een
deel van de gehele getallen. In symbolen:
|N ⊂
5-6= -1∈
3.(-2)= -6 ∈
-8 : (-2)= 4 ∈ maar hier verschijnen dan al vlug problemen vb 5: 2 ∉ !
Nochtans moeten we dergelijke verhoudingen kunnen uitdrukken, er is dus weer nood aan een
uitbreiding:we hebben breuken nodig.
1.3 Rationale1 getallen
| =⎧
Q
⎨ a ∈ , en b ∈
}
a
| is dus de verzameling van alle getallen die we kunnen
Q
0
b
⎩
schrijven als een breuk met in teller en noemer een geheel getal.
x
Als we dan bemerken dat elk geheel getal x kan geschreven worden als de breuk , en dat bv
1
12
0,333333333= kunnen we ook een poging doen om de rationale getallen op te sommen:
3
1 −5
⎫
| =⎧
Q
;0,666666;.......⎬
⎨0;1;−1;2;−2; ;
3 4
⎩
⎭
Je merkt dus weer dat de gehele getallen ook rationale getallen zijn:
1
ratio= rede of verhouding, de Grieken beschouwden breuken als verhoudingen, vandaar de
naam.
2
men kan aantonen dat elk decimaal getal met een repeterend decimaal gedeelte kan
geschreven worden als een breuk, en dus een rationaal getal is.
|N ⊂
|
⊂Q
Weer hebben we een aantal problemen opgelost:
5
|
5: 2= ∈ Q
2
|
9 =3 ∈ Q
16 4
|
= ∈ Q
25 5
| , dit hadden de Grieken reeds ontdekt (zie opmerkingen), dit zou geen probleem zijn
2∉ Q
als men in de praktijk dit getal nooit tegenkwam, maar diezelfde Grieken hadden al een
eenvoudig praktisch probleem waar 2 een oplossing biedt. (zie ook opmerkingen)
We moeten dus weer uitbreiden:
1.4 Reële getallen
Als we al dit soort getallen toevoegen aan de rationale getallen krijgen we volgende
verzameling:
| R = 0;1;−1;2;−2;0,333333...; 2 ; 3; π; e.....
|N ⊂ ⊂ Q
| ⊂ |R
{
}
2 ∈ | R en weer zijn veel problemen opgelost.
Blijft echter nog een probleem:
− 1 ∉ |R want stel − 1 = x ∈ |R dan zou x²= -1 wat onmogelijk is bij reële getallen.
Als we vroeger in de algebra wortels van negatieve getallen tegenkwamen (bv bij oplossen
van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant) stelden we gewoon “geen
oplossing”, in de reële algebra kan men dit lang volhouden. Nu blijkt echter dat om bepaalde
problemen in de elektronica wiskundig te kunnen omschrijven, we moeten doen alsof wortels
van negatieve getallen wel kunnen. Zoals telkens hierboven moeten we dus de getallen weer
gaan uitbreiden. We komen hier met ons voorstellingsvermogen tekort, het is moeilijk om een
voorbeeld uit de praktijk te bekijken waar we deze getallen tegenkomen. Men heeft nieuwe
getallen “uitgevonden” om aan een praktische nood te voldoen. Men spreekt dan ook over
“imaginaire3 getallen”.
1.5 Complexe getallen
We voeren een nieuw getal in, in de wiskunde wordt dit getal meestal “i” genoemd, in de
elektronica gebruikt men meestal “j”. In deze cursus gebruiken we daarom ook “j”.
We stellen j² = -1, en dat is eigenlijk alles wat we van j weten, de rest kunnen we dan puur
wiskundig afleiden.
We stellen dan dat z = a+bj waarbij a, b ∈ | R en j² = -1; en de verzameling van al deze
getallen z vormen de verzameling complexe getallen.
C| = {z = a + bj a , b ∈ | R en j² = −1}
vb: 2 –3j ∈ C| maar ook 4 = 4 + 0j ∈ C|
| ⊂ |R ⊂ C
| en we hier wel degelijk met een uitbreiding te maken.
dus we zien: |N ⊂ ⊂ Q
In het volgend hoofdstuk bestuderen we deze complexe getallen verder.
3
je hoort het Frans woord “imaginer”=inbeelden
1.6 Opmerkingen
1)
2 kan niet geschreven worden als een breuk.
| ; men kan aantonen dat een decimaal getal met een repeterend
3) 0,735353535….. ∈ Q
gedeelte altijd kan geschreven worden als een breuk.
| ; zonder repeterend gedeelte kan een decimaal getal niet
4) 2,873608752435….∉ Q
geschreven als een breuk.
| noemt men de verzameling van de IRRATIONALE getallen
5) |R \ Q
6) De Reële as
0,5
0
π
|R
Elk reëel getal kan men voorstellen door een punt op de reële as.
Omgekeerd kan men stellen dat elk punt op de reële as een reëel getal voorstelt, zodat we
merken dat er geen mogelijkheid is om nog een andere soort getallen zoals complexe getallen
op deze as voor te stellen.
We zullen dus naar een andere voorstellingsmanier moeten uitkijken.
1.7 Interessante sites
http://home.pi.be/ursula/wiskoef/3soortgetal.htm
http://nl.wikipedia.org/wiki/Re%EBel_getal
2 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN
2.1 Inleiding
| eigenlijk ook
In het eerste hoofdstuk hebben we gezien dat alle getallen van |N , en Q
reële getallen zijn.
Daarom beperken we ons hier tot de eigenschappen van de reële getallen. Deze
| .
eigenschappen zijn dan immers zeker ook geldig voor de getallen van |N , en Q
2.2 Hoofdbewerkingen
2.2.1 Terminologie
De hoofdbewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Het resultaat bij een optelling heet de som.
Het resultaat bij een aftrekking heet het verschil.
Het resultaat bij een vermenigvuldiging heet het poduct.
Het resultaat bij een deling heet het quotiënt.
Bij een optelling a + b of aftrekking a – b noemt men a en b de termen.
Bij een vermenigvuldiging a . b of deling a : b noemt men a en b de factoren.
Bij de deling a : b noemen we a het deeltal en b de deler.
Het delen wordt ook vaak geschreven met een breukstreep: a : b =
a
. a wordt dan de teller
b
genoemd en b de noemer.
2.2.2 Eigenschappen van breuken
• Als je de teller en de noemer van een
• Als je de teller en de noemer van een
rationaal getal door eenzelfde van nul
rationaal getal met eenzelfde van nul
verschillend getal deelt, dan bekom je
verschillend getal vermenigvuldigt, dan
een gelijk rationaal getal.
bekom je een gelijk rationaal getal.
Met symbolen:
∀a ∈ |N en ∀b, m ∈ |N 0:
a
a: m
=
b
b: m
Dit doen we:
om breuken te vereenvoudigen
∀a ∈ |N en ∀b, m ∈ |N 0:
a
a. m
=
b
b. m
Dit doen we:
om breuken gelijknamig te maken
2.2.3 Rekenen met breuken
Optellen van rationale getallen in breukvorm:
◊ je maakt de ongelijknamige breuken eerst gelijknamig !
◊ de som is dan de breuk waarvan:
* de noemer dezelfde noemer is als die van de termen
* de teller gelijk is aan de som van de tellers
vb:
3 2 1 3.5 2.4 1.10 15 8 10 15 + 8 − 10 13
+ − =
+
−
=
+
−
=
=
4 5 2 4.5 5.4 2.10 20 20 20
20
20
Vermenigvuldigen van rationale getallen in breukvorm:
◊ je bepaalt het teken met de tekenregel voor de vermenigvuldiging
◊ je vereenvoudigt voor je vermenigvuldigt
◊ je schrijft het product van de tellers en het product van de noemers
vb:
5 ⎛ 9⎞
5.3
15
=−
⋅⎜− ⎟ = −
3 ⎝ 4⎠
1.4
4
Delen van rationale getallen in breukvorm:
◊ je bepaalt het teken met de tekenregel van de deling
* zelfde tekens geven +
* verschillende tekens geven ◊ je vermenigvuldigt de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk
3
vben: 1) 7
1
−
3
−
of
−
3 ⎛ 1⎞ 3 3 9
3 ⎛ 1⎞
: ⎜− ⎟ ⇒ − : ⎜− ⎟ = ⋅ =
7 ⎝ 3⎠ 7 1 7
7 ⎝ 3⎠
5
5
5 3 15
2) = 1 = ⋅ =
2 2 1 2 2
3 3
3 3
3 1 3
3) 4 = 4 = ⋅ =
7 7 4 7 28
1
Machten van rationale getallen in breukvorm
◊ Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.
2
2 2 22 4
⎛ 2⎞
vb: ⎜ ⎟ = ⋅ = 2 =
⎝ 3⎠
3 3 3
9
2.2.4 Wetenschappelijke notatie
Voor zeer grote of zeer kleine getallen schakelt een rekentoestel automatisch over op de
wetenschappelijke notatie.
De wetenschappelijke notatie van een rationaal getal is het product van een macht van 10
en een decimaal getal met absolute waarde gelegen tussen 1 en 10
Let op !
970 000
in de notatie met een macht van 10
97 . 104
in de wetenschappelijke notatie
9,7 . 105
Op het rekenmachientje wordt ook met volgende notatie gewerkt:
5 000 000 = 5 . 106 = 5 E6
106 is een miljoen, dus 5 . 106 kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoen. Hetzelfde geldt voor
E6.
75 900 000 000 = 75,9 . 109 = 75,9 E9
109 is een miljard, dus 75,9 * 109 kan je onmiddellijk lezen als 75,9 miljard. Hetzelfde geldt
voor E9.
0,000 235 = 235 * 10-6 = 235 E-6
10-6 is een miljoenste, 235 * 10-6 kan je onmiddellijk lezen als 235 miljoensten.
2.2.5 Absolute waarde van een getal
De functie “absolute waarde”
•
•
maakt elk negatief getal positief en
laat elk positief getal onveranderd.
Voorbeeld
We noteren
7 is de absolute waarde van +7 en -7
|+7| = 7
lees: de absolute warde van +7 is 7
|-7| = 7
lees: de absolute waarde van -7 is 7
De absolute waarde van a noteer je |a|
a en –a zijn tegengestelde getallen: ze hebben dezelfde absolute waarde maar een
verschillend toestandsteken.
2.3 Tekenregels
2.3.1 Tekenregel voor twee tekens na elkaar
(altijd gescheiden door een haakje! ):
+(-=-
-(+=-
verschillende tekens
vervangen door
-
-(-=+
+(+=+
zelfde tekens
vervangen door
+
2.3.2 Optellen en aftrekken van twee getallen
Twee mogelijkheden:
De gehele getallen hebben hetzelfde teken:
• behoud dit teken
• tel de absolute waarden op
De gehele getallen hebben een verschillend teken:
• neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde
• maak het verschil: grootste absolute waarde min kleinste absolute waarde
2.3.3 Opmerkingen:
1. Als er haakjes staan, werk je die altijd eerst weg
voorbeeld:
8 + (-5) = 8 – 5
2. Elke aftrekking wordt beschouwd als een optelling, want een getal aftrekken is
hetzelfde als het tegengestelde van dat getal optellen
voorbeeld:
-3 -7 = -3 + (-7)
2.3.4 Tekenregel voor vermenigvuldigen
(ook altijd haakjes!)
+·-=-·+=+·+=+
-·-=+
verschillende tekens geven dezelfde tekens geven +
2.3.5 Product van twee getallen
•
bepaal het teken:
twee dezelfde tekens
geven
+
twee verschillende tekens
geven
-
•
bepaal het product van de absolute waarden van de getallen
•
Afspraken
1. Het vermenigvuldigingsteken mag weggelaten (-5) · (-3) wordt dus (-5)(-3)
worden als dat niet tot verwarring leidt.
in 5 · 3 moet de · blijven, anders staat er 53!
2. Haken rond een factor mag je weglaten als:
• er daardoor geen twee tekens onmiddellijk
na elkaar komen te staan,
• er geen verwarring met een som mogelijk is.
(+5)(-3) = 5.(-3) = 5(-3)
(-5)(-3) = -5(-3)
(-5)(+3) = -5·3
2.3.6 Product van meerdere getallen
Om een product met meer dan twee factoren te berekenen (gedurig product):
•
bepaal je eerst het teken:
+ als het aantal negatieve factoren even is
- als het aantal negatieve factoren oneven is
•
bereken je daarna het product van de absolute waarden van de factoren
2.3.7 Tekenregel voor de deling
(ook altijd haakjes!)
+ : + = +
- : - = +
zelfde tekens geven +
+ : - = - : + = verschillende tekens geven –
2.3.8 Quotiënt van twee getallen:
•
bepaal het teken:
twee dezelfde tekens geven +
twee verschillende tekens geven -
•
bereken het quotiënt van de absolute waarden.
2.4 Volgorde van bewerkingen
1. Eerst bewerkingen tussen haakjes: eerst de binnenste haakjes!
2. Vermenigvuldigen en delen (van links naar rechts)
3. Optellen en aftrekken (gedurige som)
voorbeeld 1
voorbeeld 2
voorbeeld 3
7 + 3 . 15 - 120 : 60
-5 + 3 . 2 - 4 : (-1 . 2 + 6)
= [25 - (2 + 7)] : [(7 - 6) - (2 + 7)]
= 7 + 45 - 2
= -5 + 3 . 2 - 4 : (-2 + 6)
= [25 - 9] : [1 - 9]
= 50
= -5 + 3 . 2 - 4 : 4
= 16 : (-8)
= -5 + 6 - 1
= -2
=0
2.5 Oefeningen
1. Bereken:
- 5 + (-4) = ..............................................
-88 + 132 = .............................................
-8 - (-7) = ................................................
-81 - (-19) = ............................................
7 + (-9) = ................................................
14 + (-15) = ............................................
zelfde tekens geven +
47 - 58 = .................................................
-120 + (-13) = .........................................
-47 - 58 = ................................................
-100 - (-13) = ..........................................
-47 - (-58) = ............................................
-100 + (-120) = .......................................
2. Bereken volgende lettervormen als:
x = -5
y = 12
z = -11
x+y-z
-x + y + z
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
-x - y - z
x+y+z
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
x-y+z
-x - y + z
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
= ........................................................
3. Bereken zonder rekenmachine. Schrijf de uitkomst zo eenvoudig mogelijk.
1 1
2 + 5 = ........................................................................................................................................
3 2
4 + 3 = .........................................................................................................................................
1 5
3 +18 = ........................................................................................................................................
1 2
− = ........................................................................................................................................
3 9
9
4
= ..................................................................................................................................
− +
11 11
7 5
− − = .....................................................................................................................................
8 8
7
6
− ( − ) = ................................................................................................................................
9
18
6 3
+ − 1 = ................................................................................................................................
7 2
3
1 11
= ........................................................................................................................
− −1+ +
5
6 15
11 4 3 1
−
− − − = ......................................................................................................................
20 5 8 4
6 10 5 2
+
− − = .........................................................................................................................
7 21 6 3
−
6 ⎛ 3⎞ 7
+ ⎜− ⎟ +
= = ..................................................................................................................
25 ⎝ 5 ⎠ 50
9
5
2
+ ( − ) + ( − ) = ....................................................................................................................
10
4
5
4. Bereken:
2 1
1 1
( − − ) − (1 + − )
3 6
2 3
1
7
1 3
3
+ ( − + 1) − 2 − − ( − 2 − )
4
8
2 4
8
= ..............................................................
= . .............................................................
= ..............................................................
= ..............................................................
5. Bereken:
-5 . (-6) = ...............
-12 . 3 = ..................
11.(-7) = .................
-16 . 0 = ..................
7.(-3) = ...................
-8.(-8) = ..................
-2 . 3 = ...................
-9 . 3 = ....................
-4 . (-6) = ...............
-12 . 5 = ..................
-28.(-1) = ................
8.(-7) = ...................
6 : 2 = .....................
-81 : (-9 ) = ............
-48 : 4 = ..................
-55 : 5 = ..................
-100 : (-25) = .........
-72 : 8 = .................
-75 : (-3) = ..............
5 : 0 = .....................
-45 : 15 = ...............
64 : (-2) = ...............
105 : (-21) = ...........
0 : 5 = .....................
6. Bereken:
7. Bereken:
(4 - 40 + 6) : (-3 . 2)
(25 - 73) : (4 . 5 - 12)
[(-3 - 8) - 2] : [-9 +(5 - 9)] =
= .......................................
= ......................................
..........................................
= .......................................
= ......................................
= .......................................
= .......................................
= ......................................
= .......................................
27 : (-3 -6)
-72 : (-12 + 4)
(10 . 5 - 6) : (-11)
= .......................................
= ......................................
= .......................................
= .......................................
= ......................................
= .......................................
= .......................................
= ......................................
= .......................................
8. Bereken:
9. Bereken de volgende opgaven voor
a = -2
b = -3
c = +5
a + bc
5a + 2ab
(b - c) : a
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
(a + 1)(c - 9)
a : (b + c)
(b - c) : (b - a)
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
5 . 33 + 2 . 43
52 + 34
17 - 112
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
4 . 32 - 5
-4 - 3 . 22 + (-3) 3
(-4) 2 . 3 : (-8)
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
-53 - 3 (-4) 2
-23 . 32 + 4 (-5) 2
170 + 2(6 -3) 2 + 5(4 - 5) 5
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
-3(6 - 4) 3.(32 - 2 . 4)
(62 - 3) : (-11) + (3 - 2.4) 2
6(-1) 3 - 72 . 80 + (7 - 4) 2
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
= .......................................
= ......................................
= ......................................
10.Bereken:
2.6 Volgorde van bewerkingen
Volgende regels voor de volgorde zijn belangrijk:
1. eerst haakjes uitwerken
2. dan machten (en dus ook wortels) uitwerken
3. daarna de vermenigvuldigingen en delingen uitwerken in de volgorde waarin ze zich
voordoen, van links naar rechts.
4. als laatste: optellen en aftrekken, ook best in de volgorde waarin ze zich voordoen, van
links naar rechts.
Opmerkingen:
In 6 . 42 hoort de exponent 2 bij het grondtal 4
In (6 . 4)2 hoort de exponent 2 bij het grondtal (6 . 4): dat zie je omdat er haakjes staan!
Op dezelfde manier kan je zien dat:
maar:
Dus:
(-3)² = (-3)(-3) = 9
in (-3)² is het grondtal -3
in -3² is het grondtal 3!
en
-3² = - (3 . 3) = - 9
2.7 Oplossingen van oefeningen
oef 1:
-9
-1
-2
-11
-105
11
44
-62
-1
-133
-87
-220
oef 2:
18
4
-28
6
-4
-18
oef 3:
7
10
17
12
11
18
1
9
5
11
3
−
2
10
9
5
14
7
−
10
79
−
40
1
−
6
11
−
50
−
−
3
4
oef 4:
−2
−
1
2
oef 5:
30
-21
24
-36
64
-60
-77
-6
28
0
-27
-56
oef 6:
3
4
-3
9
-9
-32
-12
25
-5
-11
oef 7:
5
-6
1
oef 8:
-3
9
-4
oef 9:
-17
4
oef 10:
251
123
-29
-432
0
2
-1
4
8
86
-79
-776
169
−
11
-95
3
157
-5772
2.8 Interessante sites
http://www.amby.com/educate/math/integ_x1.html (engels - rekenen met negatieve getallen)
http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get2-2a''.htm (hoofdbewerkingen met gehele getallen)
http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get3-2a.htm (som van rationale getallen of breuken)
http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get3-2h.htm (bewerkingen met rationale getallen)
http://www.math.uu.nl/publications/Theses/Kool/inhoud.html (een beetje geschiedenis)
http://users.belgacom.net/annuntiawisk/getinh.htm (overzicht getallenleer)
http://home.pi.be/ursula/wiskoef/1volgbew_q.htm (oefeningen op volgorde van bewerkingen)
http://proto.thinkquest.nl/~klb045/h5-rrinleiding.html (volgorde van bewerkingen)
3 LINEAIRE VERGELIJKINGEN
3.1 Gelijkheden
3.1.1 Definitie
Een gelijkheid bestaat uit drie delen.
voorbeeld
6+9
=
het eerste lid
het gelijkteken
(het linkerlid)
15
het tweede lid
(het rechterlid)
3.1.2 Werken met gelijkheden
♦ Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal
optelt. En dus ook als je van beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal aftrekt.
A=BÙA+C=B+C
A=BÙA–C=B–C
♦ Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je de beide leden van een gelijkheid met eenzelfde
getal vermenigvuldigt. En dus ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde
getal (niet nul!) deelt.
A=BÙA.C=B.C
A=BÙA:C=B:C
3.2 Vergelijking
•
•
Een vergelijking is een gelijkheid waarin een letter voorkomt.
De letter noem je de onbekende. Alle letters kunnen gebruikt worden als onbekende.
voorbeeld
het eerste lid
het gelijkteken
het tweede lid
5.a + 4
=
2.a + 10
3.x + 7
=
x + 11
•
•
De vergelijking oplossen wil zeggen de oplossing van de vergelijking zoeken.
Je lost een vergelijking op met de weegschaalmethode: je houdt de vergelijking in
evenwicht door in het linkerlid en in het rechterlid dezelfde bewerking met eenzelfde
getal uit te voeren.
voorbeeld
5.a + 4 = 2.a + 10
-2.a
↓
↓
-2.a
↓
-4
↓
:3
3.a + 4 = 10
-4
↓
3.a = 6
:3
•
↓
a = 2
Een oplossing van de vergelijking is een getal dat je in de plaats van de onbekende
moet zetten om van de vergelijking een gelijkheid te maken.
•
De oplossingverzameling is de verzameling V van alle oplossing van een vergelijking.
3.3 Lineaire vergelijking
3.3.1 Definitie
Een lineaire vergelijking is een eerstegraadsvergelijking, dwz dat in de vereenvoudigde vorm
van de vergelijking de onbekende voorkomt enkel met exponent 1.
In dit hoofdstuk werken we enkel met lineaire vergelijkingen.
3.3.2 Werkwijze om een vergelijking op te lossen:
∗ Vergelijkingen met haakjes: Je werkt altijd eerst de haakjes weg!
∗ Komen er breuken voor in de vergelijking, dan kan je best de noemers wegwerken door
beide leden te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer.
∗ Door bij de beide leden eenzelfde getal op te tellen (of van de beide leden een zelfde getal
af te trekken), komen de termen waarin de onbekende staat in één lid en de termen zonder
onbekende in het andere lid.
of: Als de onbekende in beide leden van de vergelijking voorkomt, dan moet je eerst de
termen met een onbekende in het ene lid plaatsen en de termen zonder onbekende in het
andere lid.
In de praktijk merk je dat dit er op neerkomt dat je een term van teken verandert als je
van lid verandert. (dus alleen bij het optellen of aftrekken!!!)
∗ Je telt de termen met onbekende samen en je telt de termen zonder onbekende samen!
∗ Door de beide leden met eenzelfde getal te vermenigvuldigen (of de beide leden door
eenzelfde getal te delen), vind je de oplossing (en).
∗ Je maakt de proef voor de gevonden oplossing.
3.3.3 Voorbeelden:
1. 7a – 3 = 5a + 1
7a – 3 + 3 = 5a + 1 + 3
7a – 5a = 5a + 1 + 3 – 5a
7a – 5a = 1 + 3
2a = 4
2a 4
=
2 2
a=2
beide zijden + 3
beide zijden – 5a
2. 2.(3x – 1) + 4 – 5x = – 4.( – x + 1) – x
6x – 2 + 4 – 5x = 4x – 4 – x
6x – 5x – 4x + x = – 4 – 4 + 2
haakjes uitwerken
beide zijden + 2 – 4 – 4x + x
termen met x optellen alsook
termen zonder x
beide leden delen door – 2
beide leden door 2
V = {2}
– 2x = – 6
− 2x − 6
=
−2
−2
x=3
V = {3}
vereenvoudigen
3
2
3( x + ) =
4
3
9 2
3x + =
4 3
|
|
|
3.
12 is een gemeenschappelijke noemer
36x 27 8
+
=
12 12 12
↓ ↓ rechterlid: elke term . 12
linkerlid: elke term . 12 ↓
36x + 27 = 8
↓……
……↓
36 x = -19
↓……
……↓
x=-
⎧ 19 ⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 36 ⎭
19
36
Proef
L(……) = ……………………………………………
= ……………………………………………
2
R(……) =
3
............ = .............
3.3.4 Evenredigheden
Definitie:
De gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid
a c
=
b d
Symbolen:
Je leest:
of
met b ≠ 0, d ≠ 0
de verhouding van a tot b is gelijk aan de verhouding van c tot d
a staat tot b zoals c tot d
Terminologie: a, b, c en d zijn de termen van de evenredigheid:
a is de eerste term; b is de tweede term; c is de derde term en d de vierde term
a en d zijn de uiterste termen en b en c zijn de middelste termen
Hoofdeigenschap van evenredigheden:
a c
= ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c met b ≠ 0 en d ≠ 0
b d
Dit kan je eenvoudig bewijzen:
a c
=
b d
a (b ⋅ d) c (b ⋅ d)
⇔ ⋅
= .
b
1
d
1
⇔
a ⋅b⋅d c⋅b⋅d
=
b
d
⇔
a ⋅ b/ ⋅ d c ⋅ b ⋅ d/
=
b/
d/
⇔
a ⋅1 ⋅ d = c ⋅1 ⋅ b
⇔
a ⋅d = c⋅b
Stap 1: beide leden
. (b.d) of dus .
bd
1
Stap 2: vereenvoudigen
Een aantal vergelijkingen kunnen eenvoudiger opgelost worden als men de hoofdregel voor
evenredigheden toepast.
Voorbeeld:
3x − 1
=
⇔ 3x.4 = 5.(−1)
5
4
12 x = −5
12x − 5
=
12 12
5
x=−
12
⎧ 5⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 12 ⎭
3.3.5 Speciale vergelijkingen
1. 2x – 3 = 2(x – 1) + 4
2x – 3 = 2x – 2 + 4
2x – 2x = – 2 + 4 + 3
0x = 5 ⇒ V = { } = Φ
want geen enkel getal voldoet aan deze vergelijking!
Men noemt dit een valse vergelijking.
2. 3(x – 1) – 1 = 3x – 4
3x – 3 – 1 = 3x – 4
3x – 3x = – 4 + 1 + 3
0x = 0 ⇒ V = |R
want elk reëel getal voldoet aan deze vergelijking!
Men noemt dit een identieke vergelijking.
3.4 Oefeningen
1. Los volgende vergelijkingen op:
x + 6 = 15
x – 4 = – 12
– 8x = – 24
2x = x – 3
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
0,75 + x = 0,5
0,5 . p . 0,75 = – 3
1
5
+x=
4
6
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
x+
1 1
=
3 3
3
1
+y=
5
2
x−2=
1
2
3
t=5
2
−
10
= y−3
3
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
1
2
x=−
4
3
3x = −
1
12
−
2
3
x=−
7
8
3
−4
−6
⋅ t ⋅ (− ) =
5
8
5
……………………….. ……………………….. ……………………….. ………………………..
……………………….. ……………………….. ……………………….. ………………………..
..……………………… ..……………………… ..……………………… ..………………………
..……………………… ..……………………… ..……………………… ..………………………
7 21
=
4 x
1,6 16
=
x
23
1 1,2
=
3 x
9b.2=36
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
2
1 7
⋅x⋅ =
5
3 10
3 7
− 14 − 84
. ⋅x⋅
=
10 20
30
90
30 = 1,5 . x
x – 1,5 = 3(1 – 0,05)
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
...................................
..................................
...................................
...................................
3.5 Oplossingen van de oefeningen
Oef 1
V = {9}
V = {- 8}
V = {3}
V = {- 3}
V = {0}
V = {- 0,25}
V = {- 8}
⎧ 7 ⎫
V = ⎨
⎬
⎩ 12 ⎭
⎧ 1⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 10 ⎭
⎧ 8⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 3⎭
V = {12}
⎧ 21⎫
V=⎨ ⎬
⎩4⎭
⎧5 ⎫
V=⎨ ⎬
⎩2⎭
⎧ 1⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 36 ⎭
V = {2,3}
⎧ 400 ⎫
V=⎨
⎬
⎩ 21 ⎭
⎧10 ⎫
V=⎨ ⎬
⎩3⎭
⎧ 21⎫
V=⎨ ⎬
⎩16 ⎭
V = {3,6}
⎧ 1⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 3⎭
V = {20}
V = {4,35}
V = {- 4}
V = {2}
3.6 Interessante sites
http://home.pi.be/ursula/wiskoef/2vglopl.htm (vergelijkingen oplossen)
4 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN
4.1 Definitie
In een vorig hoofdstuk hebben we lineaire vergelijkingen leren oplossen. Daar kwam de
onbekende slechts voor in de eerste graad.
Een vergelijking waarin de onbekende voorkomt in de tweede graad noemt men een
kwadratische of tweedegraads vergelijking of ook een vierkantsvergelijking
Algemene vorm:
ax² + bx + c = 0 met b, c ∈ |R , a ∈ |R 0 en x de onbekende
Voorbeeld:
x² – 5x + 6 = 0
Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat we waarden voor x zoeken, zodanig dat als we in
de vergelijking x vervangen door die waarde, er een gelijkheid staat.
vb: vervang x door 4:
4² – 5.4 + 6 = 16 – 20 + 6 = 2 ≠ 0
4 is dus geen oplossing van deze vergelijking
vb: vervang x door 3:
3² – 5.3 + 6 = 9 – 15 +6 = 0
3 is dus oplossing van deze vergelijking
vb: vervang x door 2:
2² – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
2 is dus ook een oplossing van deze vergelijking
We kunnen dan aantonen dat 2 en 3 de enige oplossingen zijn: V = {2,3}
Hoe we deze waarden vinden bespreken we in volgend item.
4.2 Kwadratische vergelijkingen oplossen in |R
We kunnen uiteraard de regels van rekenen met gelijkheden toepassen, maar in de meeste
gevallen vinden we daar geen oplossing mee:
vb: 4x² – 5x + 6 = 0 Ù 4x² – 5x = – 6, maar dit levert nog geen oplossing.
vb: x² – 1 = 0 Ù x² = 1Ù V = {1, – 1}, hier mag je uiteraard de tweede oplossing niet
vergeten!
Bepaalde tweedegraadsvergelijkingen kunnen eenvoudig opgelost worden:
4.2.1 Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het
product van twee factoren
Hierbij gebruiken we volgende regel:
Het product van 2 factoren kan slechts gelijk zijn aan 0 als minstens 1 van de factoren gelijk
is aan 0. (rechtstreeks gevolg van een eigenschap van de reële bewerkingen)
A.B = 0 Ù A = 0 en/of B = 0
Een tweedegraadsvergelijking wordt zo omgevormd tot het product van twee
eerstegraadsvergelijkingen, deze kunnen we reeds oplossen!
vb
(x – 2) . (3x + 1) = 0 Ù x – 2 = 0 of 3x + 1 = 0
1. x – 2 = 0 Ù x = 2
1
2. 3x + 1 = 0 Ù 3x = −1 ⇔ x = −
V=
3
⎧ 1⎫
⎨2,− ⎬
3⎭
⎩
Nu zijn er allerhande truukjes om een tweedegraadsvergelijking om te vormen naar een
product van twee factoren, maar dat valt buiten het bereik van deze cursus. Daarom bespreken
we vooral de algemene oplossingsmethode.
4.2.2 Algemene oplossingsmethode
Een willekeurige tweedegraadsvergelijking kunnen we herleiden
tot de standaardvorm
ax² + bx + c = 0
We gaan nu deze vergelijking omvormen tot een product van
twee factoren. Dit is een omslachtige berekening die we nadien
niet herhalen, maar we zullen slechts het eindresultaat gebruiken
om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.
⎧⎪ − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac ⎫⎪
,
V=⎨
⎬
2a
2a
⎪⎭
⎪⎩
Dit lijkt dus hopeloos moeilijk, maar we stellen nu:
D = b ² − 4ac
Discriminant:
ax² + bx + c = 0
−b+ D
x1 =
2a
−b− D
x2 =
2a
dan wordt de oplossing al veel eenvoudiger:
Er zijn nu 3 mogelijkheden:
D>0
⎧− b + D − b − D ⎫
V=⎨
,
⎬
2a ⎭
⎩ 2a
D<0
D heeft dan geen reële betekenis, zodat we geen reële oplossing voor x hebben!
V=∅
D=0
−b
x1 =
2a
−b
x2 =
2a
⎧ b⎫
V = ⎨− ⎬
⎩ 2a ⎭
Samengevat hebben we volgende mogelijkheden:
⎧− b + D − b − D ⎫
V=⎨
,
D > 0 2 verschillende oplossingen:
⎬
2
a
2a ⎭
⎩
D < 0 0 oplossingen
V=∅
⎧ b⎫
D = 0 1 oplossing (of 2 = oplossingen)
V = ⎨− ⎬
⎩ 2a ⎭
4.2.3 Voorbeelden
1. x² – 5x + 6 = 0
D = b² − 4ac = (−5) 2 − 4.1.6 = 25 − 24 = 1
D = 1 =1
− b + D − (−5) + 1 6
=
= =3
x1 =
2.1
2
2a
− b − D − (−5) − 1 4
x2 =
=
= =2
2a
2.1
2
V={2, 3}
2. – 2x² + 3x – 1 = 0
D = b² − 4ac = 32 − 4.(−2).(−1) = 9 − 8 = 1
D = 1 =1
− b + D − 3 +1 − 2 1
=
x1 =
=
=
2.(−2) − 4 2
2a
− b − D − 3 −1 − 4
=
=
=1
2.(−2) − 4
2a
⎧1 ⎫
V = ⎨ ,1⎬
⎩2 ⎭
x2 =
We voeren hier de controle uit voor x =
1
, maar opgelet! Vaak is de controle moeilijker
2
dan de berekening zelf!
2
?
1
⎛1⎞
− 2 ⋅ ⎜ ⎟ + 3 ⋅ − 1= 0
2
⎝2⎠
?
1 3
− 2 ⋅ + − 1= 0
4 2
−2 6 4
+ − =0
4 4 4
3. x² + x + 1 = 0
D = b² – 4ac = 1² – 4.1.1 = 1 – 4 = – 3
geen reële oplossing!!
V=∅
4. x² – 6x + 9 = 0
D = b² − 4ac = (−6) 2 − 4.1.9 = 36 − 36 = 0
D = 0 =0
− b + D − (−6) + 0 6
=
= =3
2a
2.1
2
− b − D − (−6) − 0 6
x2 =
=
= =3
2a
2.1
2
V = {3}
x1 =
5. – 2x² – 3x + 1 = 0
D = b ² − 4ac = (−3) 2 − 4.(−2).1 = 9 + 8 = 17
D = 17
x1 =
− b + D − (−3) + 17 3 + 17
=
≈ −1,75
=
2a
2.(−2)
−4
x2 =
− b − D − (−3) − 17 3 − 17
=
=
≈ 0,25
2.(−2)
−4
2a
⎧ 3 + 17 3 − 17 ⎫
V=⎨
,
⎬
−4 ⎭
⎩ −4
4.3 Speciale gevallen
Met speciale gevallen bedoelen we hier kwadratische vergelijkingen van de vorm
ax² + bx + c = 0 waarbij b = 0 en/of c = 0.
−c
1. b = 0
ax² + c = 0 Ù ax² = – c Ù x ² =
a
⎧ −c
−c
−c
−c
−c⎫
en x 2 = −
V=⎨
,−
≥ 0 ⇒ x1 =
⎬
a
a
a
a ⎭
⎩ a
−c
< 0 ⇒ geen reële oplos sin g
a
ax² + bx = 0 Ù x.(ax + b) = 0
2. c = 0
1) x = 0
b
2) ax + b = 0 Ù ax = – b Ù x = −
a
b
⎫
⎧
V = ⎨0,− ⎬
a⎭
⎩
3. b = 0 en c = 0
ax² = 0 Ù x² = 0 Ù x = 0
V = {0}
4.4 Oefeningen
1. Los op in |R
a.
b.
c.
d.
e.
f.
x² – 6x + 5 = 0
x² – 4x – 5 = 0
9t² + 15t + 4 = 0
(p – 3).(p – 4) = 42
14(x – 4) – (x + 2) = (x + 2) . (x – 4)
11x² – 55x = 0
g.
h.
i.
j.
x² + 1 = 0
x² – 1 = 0
t(2t + 9) = – 7
3x² + 7x = 20
4.5 Oplossingen van de oefeningen
1.a. V = {5, 1}
1.b. V = {5, – 1}
⎧ 4 1⎫
1.c. V = ⎨− ,− ⎬
⎩ 3 3⎭
1.d. V = {10, – 3}
1.e. V = {10, 5}
1.f. V = {0, 5}
1.g. V = ∅
1.h. V = { – 1, 1}
⎧ 7 ⎫
1.i. V = ⎨− ,−1⎬
⎩ 2 ⎭
⎧5 ⎫
1.j. V = ⎨ ,−4⎬
⎩3 ⎭
4.6 Interessante sites
http://users.pandora.be/ka1/oefening/Vergelijkingen%20&%20ongelijkheden/niet%20openen/
Vierkantsvergelijkingen%20(%205u%20).html (oplossen van vierkantsvergelijkingen)
25
5 STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN
5.1 Stelsels van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden
(2 x 2 –stelsels)
5.1.1 Voorbeeld:
2
⎧2 x − y = 4 Dit lineair stelsel oplossen in |R wil zeggen dat we alle koppels (x1,y1)
⎨
zoeken waarvoor beide vergelijkingen in een gelijkheid resulteren.
⎩ x − 3 y = −3
(-1,-6) is zo een oplossing voor de eerste vergelijking, maar de tweede
vergelijking geeft: - 1 - 3.(- 6) = 17 ≠ 0, en is dus geen oplossing voor de tweede vergelijking.
Het koppel (3,2) is een oplossing van beide vergelijking en dus een oplossing van het stelsel
2 . 3 – 2 = 6 – 2 = 4 en 3 – 3 . 2 = 3 – 6 = – 3
In een vorig hoofdstuk hebben we al aangehaald dat we een vergelijking van de vorm
ax + by + c = 0 grafisch kunnen voorstellen door een rechte. Als we dit toepassen op een
stelsel vergelijkingen kunnen we puur grafisch al een belangrijk besluit trekken:
Er zijn 3 mogelijkheden:
1. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 snijdende rechten, er is dan één snijpunt dat
de oplossing van het stelsel voorstelt.
2. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 evenwijdige rechten, er is dan geen snijpunt
en dus ook geen oplossing voor het stelsel.
3. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 samenvallende rechten en dan zijn er
oneindig veel oplossingen, nl elk punt van die rechte.
Ter illustratie geven we hier de grafische voorstelling van het voorbeeldstelsel:
We merken dus dat (3,2) inderdaad
het snijpunt van de 2 rechten is, en
dus de enige oplossing van het
stelsel.
26
5.1.2 Algemeen
Elk stelsel dat herleid kan worden tot de volgende standaardvorm:
⎧ax + by = c
waarbij x en y de onbekenden zijn, en a, b, c, d, e en f ∈ |R
⎨
⎩dx + ey = f
noemt men een lineair stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden.
Om stelsels te kunnen oplossen moeten we rekening houden met een aantal rekenregels voor
vergelijkingen.
1. A = B Ù A + k = B + k
met k ∈ |R
met k ∈ |R
2. A = B Ù k . A = k . B
3.
A=B
Ù
k.A=k.B
+ C=D
Ù
+ l.C=l.D
A + C = B + D en k . A + l . C = k . B + l . D
met k en l ∈ |R
4. A = B en B = C Ö A = C
Of samengevat: elke lineaire combinatie van 2 gelijkheden resulteert in een nieuwe gelijkheid.
Voorbeeld:
1ste gelijkheid:
1 kg appels = 1 €
2de gelijkheid:
1 kg kiwi’s = 2 €
lineaire combinatie
2 kg appels + 3 kg kiwi’s = 2 . 1 + 3 . 2 ( = 8 €)
5.2 Oplossingsmethoden
5.2.1 Combinatiemethode
= rechtstreekse toepassing van regel 3, waarbij wel telkens het stelsel eventueel herleid wordt
naar de standaardvorm.
Voorbeeld 1
⎧− 2 x + 3 y = 1
⎨
⎩2 x + y = 3
We merken hier dat eenvoudig optellen van de 2 vergelijkingen
de termen in x laat wegvallen en we houden een vergelijking in y
over. Deze is dan eenvoudig op te lossen.
0x + 4 y = 4
4y = 4
y =1
We werken nu verder met een gelijkwaardig stelsel van 1 van de 2 gegeven vergelijkingen
samen met de gelijkheid y = 1:
⎧2 x + y = 3
⎨
⎩y = 1
V = {(1,1)}
⇔
⎧y = 1
⎨
⎩2 x + 1 = 3
⇔
⎧y = 1
⎨
⎩2 x = 2
⇔
⎧y = 1
⎨
⎩x = 1
controle :
⎧− 2.1 + 3.1 = −2 + 3 = 1
⎨
⎩ 2 .1 + 1 = 2 + 1 = 3
27
Dit voorbeeld was nu zeer eenvoudig omdat de termen in x wegvielen bij optellen van de
vergelijkingen, in andere gevallen hebben we ook een toepassing van regel 2 nodig:
Voorbeeld 2
⎧− 3x + y = 9 De termen in x of in y moeten worden weggewerkt, je kiest die met het minste
⎨
rekenwerk! Hiervoor gaan we de vergelijkingen vermenigvuldigen met een
⎩4 x + 3y = 1 geschikte factor.
⎧ − 3x + y = 9 − 3
de factoren waarmee vermenigvuldigd wordt, worden
⎨
4
x
3
y
1
1
+
=
⎩
tussen rechte lijnen naast het stelsel geplaatst
⎧9 x − 3y = −27
⎨
⎩4 x + 3 y = 1
13x + 0 y = −26
13x = −26
x = −2
We krijgen nu weer volgend stelsel:
⎧− 3x + y = 9
⇔
⎨
⎩ x = −2
V = {(− 2,3)}
⎧ x = −2
⎨
⎩− 3.(−2) + y = 9
⇔
⎧x = −2
⎨
⎩6 + y = 9
⇔
⎧x = −2
⎨
⎩y = 9 − 6 = 3
Voorbeeld 3
⎧2 x − 5 y = −12 3
⎨
⎩− 3x − 4 y = −5 2
⎧6 x − 15 y = −36
⎧y = 2
⎧y = 2
⎧y = 2
⎧y = 2
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩− 6 x − 8 y = −10
⎩x = −1
⎩2 x − 10 = −12
⎩2 x − 5.2 = −12
⎩2 x − 5 y = −12
0 x − 23y = −46
− 23y = −46
V = {(− 1,2 )}
y=2
5.2.2 Substitutiemethode
Deze methode is alleen interessant als één van twee onbekenden vlug berekend kan worden.
Voorbeeld 1
1
⎧
1
1
1
1
y=
⎧
⎧
⎧
⎧
⎪
⎧2 y = 1
⎪y =
⎪
⎪y =
⎪y =
⎪y =
2
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
2
2 ⇔⎨
2
2
⎨
⎩3x − 4 y = 7
⎪⎩3x − 4 y = 7
⎪⎩3x − 2 = 7
⎪⎩3x = 9
⎪⎩x = 3
⎪3x − 4 ⋅ 1 = 7
2
⎩⎪
Voorbeeld 2
⎧5x + y = 16
⎧ y = 16 − 5x
⇔⎨
⎨
⎩4 x − 5 y = 7
⎩4x − 5(16 − 5x ) = 7
⎧⎛ 1 ⎞⎫
V = ⎨⎜ 3, ⎟⎬
⎩⎝ 2 ⎠⎭
(*)
28
(*)
Ù
Ù
4x – 5.(16 – 5x) = 7
29x – 80 = 7
29x = 7 + 80
29x 87
Ù
=
29 29
Ù x=3
In het stelsel kunnen we nu vergelijking (*) vervangen door x = 3:
⎧x = 3
⎧x = 3
⇔⎨
⎨
⎩ y = 16 − 5.3 ⎩ y = 1
V = {(3,1)}
5.2.3 Gelijkstellingsmethode
Hierbij zullen we gebruik maken van eigenschap 4 in stelsels van volgende vorm:
Voorbeeld 1
5 − 3y
⎧
⎧ y − 5 5 − 3y
(*)
⎪⎪x = 4
⎪⎪ 2 = 4
⇔⎨
⎨
⎪x = y − 5
⎪x = y − 5
2
2
⎩⎪
⎩⎪
y − 5 5 − 3y
=
2
4
Ù 4 . (y – 5) = 2 . (5 – 3y)
Ù 4y – 20 = 10 – 6y
Ù 4y + 6y = 10 + 20
Ù 10y = 30
Ù y=3
⎧y = 3
⎧y = 3
⎧y = 3
⎪
⎪
⎨
y−5 ⇔ ⎨
3−5 ⇔ ⎨
⎩ x = −1
⎪⎩x = 2
⎪⎩x = 2
(*)
V = {(− 1,3)}
Voorbeeld 2
⎧ y = −2 x − 1
⎧ y = −2x − 1
⎧ y = −2 x − 1
⎪
⎪
⎪
⎨
4x − 5 ⇔ ⎨
4x − 5 ⇔ ⎨
4x − 5
⎪⎩ y + 1 = 3
⎪⎩ y = 3 − 1 ⎪⎩− 2x − 1 = 3 − 1
(*)
29
(*)
− 6x 3 4x − 5 3
− =
−
3
3
3
3
⎛ − 6x 3 ⎞ ⎛ 4x − 5 3 ⎞
3⋅⎜
− ⎟=⎜
− ⎟⋅3
3⎠ ⎝ 3
3⎠
⎝ 3
− 6x − 3 = 4x − 5 − 3
− 6 x − 4 x = −5 − 3 + 3
− 10 x = −5
− 10 x − 5
=
of
− 10 − 10
x=
1
2
Het nieuwe stelsel wordt dan:
1
⎧
1
1
1
x
=
⎧
⎧
⎧
⎪⎪
⎪x =
⎪x =
⎪x =
2
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
2
2
2
⎨
1
⎪⎩ y = −2x − 1 ⎪ y = −2 ⋅ − 1 ⎪⎩ y = −1 − 1 ⎪⎩ y = −2
⎪⎩
2
⎧⎛ 1
⎞⎫
V = ⎨⎜ ,−2 ⎟⎬
⎠⎭
⎩⎝ 2
Uiteraard zal een stelsel vaak niet onmiddellijk in een geschikte vorm voor één van de drie
methodes staan, maar dan herleid je het stelsel eerst mbv de eigenschappen.
5.2.4 Speciale gevallen
Identiek stelsel:
⎧2 x − y = 1 − 2
⎨
⎩4 x − 2 y = 2 1
⎧− 4x + 2 y = −2
⎨
⎩4 x − 2 y = 2
0x + 0 y = 0
Je vindt dus geen nieuwe vergelijking want we hebben eigenlijk twee keer dezelfde
vergelijkingen, of we hebben een lineaire vergelijking met 2 onbekenden.
De oplossing wordt: y = 2x – 1 of
V = {(t ,2 t − 1) t ∈ R}
Vals stelsel:
⎧2 x − y = 1 − 2
⎨
⎩4 x − 2 y = 5 1
⎧− 4x + 2 y = −2
⎨
⎩4 x − 2 y = 5
0x + 0 y = 3
Geen enkele oplossing kan hier aan voldoen, de 2 vergelijkingen zijn tegenstrijdig!
V=∅
30
5.3 Oefeningen
1. Werk volgende 2 x 2 – stelsels uit:
⎧2 x − 5 y = 19
⎨
⎩x − 6 y = 20
⎧ x−y
⎪⎪1 − 2 = 4
⎨
⎪x + y =1
⎪⎩ 4
⎧x + y = 11
⎨
⎩x − y = −3
⎧ x + 3y = 5
⎨
⎩5x + 6 y = −2
⎧2( x − 6) = 3( y − 4)
⎨
⎩7 x + y = 46
⎧x + y = 2 x − y − 2
⎨
⎩x − y = 6 − 2( x + y)
⎧x y
⎪⎪ 2 − 3 = 3
⎨
⎪x − y + 3 = 9
4
⎩⎪
⎧2 x + 6 y = 5
⎨
⎩3x + 9 y = 4
⎧3x = 2 y + 4
⎨
⎩3x − y = 3( y − x ) + 8
5.4 Oplossingen van de oefeningen
oef 1
V = {( 2, -3)}
V = {( - 4, 3)}
V = {( 6, 4)}
V=∅
V = |R
V = {( -4, 2)}
V = {( 4, 7)}
V = {( 2, 0)}
V = {( 12, 9)}
5.5 Interessante sites
http://home.pi.be/ursula/wisk3.htm#stelsel (2 x 2 - stelsels)
31
6 Veeltermfuncties
6.1 Eerstegraadsfuncties
Definitie: Een lineaire of eerstegraadsfunctie in |R is een functie bepaald door het voorschrift:
|R → |R
x a f ( x ) = ax + b met a,b ∈ |R
f(x) noemt men het functievoorschrift. Voor elke x vindt men een bijbehorende f(x) = y.
Men noemt deze functie een lineaire of eerstegraadsfunctie omdat in ax + b, x hoogstens in de
eerste graad voorkomt.
Nulpunt: Belangrijke punten voor elke functie zijn die punten waarvoor de functie nul wordt.
b
Voor een lineaire functie, die punten waarvoor f(x) = ax + b = 0 of x = − , dit is
a
hier duidelijk maar 1 punt: het nulpunt genaamd.
Vb: f(x) = 2x + 3 met f(2) = 2.2 + 3 = 7; f(-1) = 2.(-1) + 3 = 1 en
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
f ⎜ − ⎟ = 2.⎜ − ⎟ + 3 = −3 + 3 = 0 (nulpunt!)
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
Grafiek: Bekijkt men f ( x ) = {( x, y) y = ax + b} als de verzameling coördinaten van punten in
|R , en tekent men deze punten, verkrijgt men de grafiek van deze functie. In
module 1 hebben we al gevonden dat y = ax + b de vergelijking van een rechte
voorstelt.
De grafiek zal dan ook een rechte zijn. Voor een rechte heeft men met 2punten
genoeg, maar ter controle berekent men 3 punten
Voorbeelden:
f(x) = 2x + 3
f(x) = x – 2
We merken op dat het nulpunt het snijpunt
van de rechte met de grafiek is!
32
f(x) = x
f(x) = - 2x + 1
een rechte door de oorsprong!
f(x) = - x – 2
f(x) = - x
33
We merken op dat bij f(x) = ax + b de rechte stijgend is als a > 0 en
de rechte is dalend als a < 0.
Speciaal geval: a = 0 B f(x) = b men noemt dit een constante functie.
vb: f(x) = 2
Grafiek:
Deze functie heeft geen nulpunt!
Tekenverloop: Als je naar de voorbeeldfuncties kijkt kunnen we daar een algemeen
tekenverloop uit afleiden:
a > 0 B stijgende rechte:
−
x
b
−
a
f(x)
-
b
a
0
+
a < 0 B dalende rechte:
−
x
−
b
a
f(x)
+
b
a
0
-
6.1.1 Oefeningen
1. Maak de grafiek van volgende functies, bereken ook telkens de nulpunten.
1
a. f(x) = x − 1
2
b. f(x) = -2
c. f(x) = 3x . (-x + 1) + 2x + 2 (2 - 3x) + 1
34
7 Inhoudsopgave
1
2
SOORTEN GETALLEN ................................................................................................... 2
1.1
Natuurlijke getallen ............................................................................................................. 2
1.2
Gehele getallen ..................................................................................................................... 2
1.3
Rationale getallen................................................................................................................. 2
1.4
Reële getallen........................................................................................................................ 3
1.5
Complexe getallen ................................................................................................................ 3
1.6
Opmerkingen........................................................................................................................ 4
1.7
Interessante sites .................................................................................................................. 4
BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN ................................................................ 5
2.1
Inleiding ................................................................................................................................ 5
2.2
Hoofdbewerkingen............................................................................................................... 5
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.3.8
3
Terminologie ................................................................................................................................... 5
Eigenschappen van breuken ............................................................................................................ 5
Rekenen met breuken ...................................................................................................................... 5
Wetenschappelijke notatie............................................................................................................... 6
Absolute waarde van een getal........................................................................................................ 7
Tekenregels........................................................................................................................... 7
Tekenregel voor twee tekens na elkaar ........................................................................................... 7
Optellen en aftrekken van twee getallen ......................................................................................... 8
Opmerkingen:.................................................................................................................................. 8
Tekenregel voor vermenigvuldigen................................................................................................. 8
Product van twee getallen ............................................................................................................... 8
Product van meerdere getallen ........................................................................................................ 9
Tekenregel voor de deling............................................................................................................... 9
Quotiënt van twee getallen:............................................................................................................. 9
2.4
Volgorde van bewerkingen.................................................................................................. 9
2.5
Oefeningen ............................................................................................................................ 9
2.6
Volgorde van bewerkingen................................................................................................ 12
2.7
Oplossingen van oefeningen .............................................................................................. 13
2.8
Interessante sites ................................................................................................................ 14
LINEAIRE VERGELIJKINGEN................................................................................... 15
3.1
3.1.1
3.1.2
Gelijkheden......................................................................................................................... 15
Definitie ........................................................................................................................................ 15
Werken met gelijkheden................................................................................................................ 15
3.2
Vergelijking ........................................................................................................................ 15
3.3
Lineaire vergelijking.......................................................................................................... 16
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.4
Definitie ........................................................................................................................................ 16
Werkwijze om een vergelijking op te lossen:................................................................................ 16
Voorbeelden: ................................................................................................................................. 16
Evenredigheden............................................................................................................................. 17
Speciale vergelijkingen ................................................................................................................. 18
Oefeningen .......................................................................................................................... 19
35
4
3.5
Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 20
3.6
Interessante sites ................................................................................................................ 20
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN ...................................................................... 21
4.1
Definitie............................................................................................................................... 21
4.2
Kwadratische vergelijkingen oplossen in |R ................................................................... 21
4.2.1
4.2.2
4.2.3
5
4.3
Speciale gevallen................................................................................................................. 24
4.4
Oefeningen .......................................................................................................................... 24
4.5
Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 25
4.6
Interessante sites ................................................................................................................ 25
STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN .............................................................. 26
5.1
5.1.1
5.1.2
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
6
Stelsels van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden (2 x 2 –stelsels) .................... 26
Voorbeeld:..................................................................................................................................... 26
Algemeen ...................................................................................................................................... 27
Oplossingsmethoden .......................................................................................................... 27
Combinatiemethode ...................................................................................................................... 27
Substitutiemethode........................................................................................................................ 28
Gelijkstellingsmethode.................................................................................................................. 29
Speciale gevallen........................................................................................................................... 30
5.3
Oefeningen .......................................................................................................................... 31
5.4
Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 31
5.5
Interessante sites ................................................................................................................ 31
Veeltermfuncties.............................................................................................................. 32
6.1
6.1.1
7
Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren.............. 21
Algemene oplossingsmethode....................................................................................................... 22
Voorbeelden .................................................................................................................................. 23
Eerstegraadsfuncties.......................................................................................................... 32
Oefeningen .................................................................................................................................... 34
Inhoudsopgave................................................................................................................. 35
36