inleiding tot de kwantummechanica

JA N D E Z I D E R K E E S KO O M E N - M A J E R N I K
INLEIDING TOT DE
K WA N T U M M E C H A N I C A
2
jan dezider kees koomen-majernik
Fundamentele vergelijkingen
De Schrödingervergelijking:
∂Ψ
= ĤΨ
∂t
Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking:
ih̄
ĤΨ = EΨ
Standaard Hamiltoniaan:
h̄2 2
∇ +V
2m
Onzekerheidsrelatie van Heisenberg:
Ĥ = −
σx σp ≥
h̄
2
Paulivergelijking:
1
∂
2
(σ · ( p − qA)) + qφ |ψi = ih̄ |ψi
2m
∂t
Diracvergelijking:
∂ψ
cα · p̂ + βmc2 ψ = ih̄
∂t
Pauli matrices:
σx =
0
1
1
0
!
, σy =
0
i
−i
0
!
, σz =
Algemene onzekerheid:
2
1
σA σB ≥ h[ A, B]i
2i
1
0
0
−1
!
inleiding tot de kwantummechanica
Fundamentele constanten
Constante van Planck:
h̄ = 1.05457 · 10−34 Js
Gravitatieconstante:
G = 6.672 · 10−11 m3/kgs
Constante van Avogadro:
NA = 6.022136736 · 1023 1/mol
Lichtsnelheid:
c = 2.99792 · 108 m/s
Massa van een elektron:
me = 9.10939 · 10−31 kg
Massa van een proton:
m p = 1.67262 · 10−27 kg
Lading van het elektron:
−e = −1.60218 · 10−19 C
Permittiviteit van het vacuüm:
e0 = 8.85419 · 10−12 C2/Jm
Constante van Boltzmann:
k B = 1.38066 · 10−23 J/K
3
Inhoudsopgave
I
Theorie
9
De klassieke mechanica
Elektromagnetisme
Kwantummechanica
II
Simulatie
11
17
41
61
Het waterstofatoom
63
Voorwoord
l vanaf jongs af aan was ik geïnteresseerd in het doen van huistuin-en-keuken experimenten uit populaire wetenschaps boeken. Mijn interesse in de wetenschap begon met scheikunde toen ik
op elf jarige leeftijd een boek heb gekregen van mijn moeder over de
fundamentele bouwstenen van de chemie. Daarna ontwikkelde ik
een grote belangstelling voor de natuur- en wiskunde, maar vooral
voor de kwantummechanica. De eerste keer dat ik in contact kwam
met de kwantummechanica was ik compleet overrompeld door de
magie van dit vak. Ik denk dat we veilig kunnen stellen dat geen één
wetenschapper kwantummechanica echt goed begrijpt. Uit verschillende experimenten blijkt onomstotelijk dat kwantummechanica dé
methode is voor het beschrijven van het aller kleinste in ons universum.
In dit profielwerkstuk wordt de nadruk gelegd om op een uitgebreide maar duidelijke manier een compleet beeld te krijgen van de
fundamentele bouwstenen van de natuurkunde. In het eerste deel
van dit profielwerkstuk komen de volgende theorieën aan bod: klassieke mechinica, de vier Wetten van Maxwell, de Lorentzkracht, de
Wet van Ohm en de Schrödingervergelijking. Ook zullen we in het
eerste deel de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom afleidden. In het tweede deel gaan we met behulp van de gevonden
oplossing een simulatie maken van de kansdichtheid van het elektron.
A
8
jan dezider kees koomen-majernik
Het is sterk aan te raden dat de lezer een gevorderde kennis heeft
van de analytische wiskunde. De lezer moet op de hoogte zijn van
de volgende theorieën: differentiaalrekening, integraalrekening,
vectorrekening, rijen en reeksen en differentiaalvergelijkingen. Is
deze bagage noodzakelijk? Natuurkunde kan je vergelijken met
timmerwerk. Gebruikmakend van het juiste gereedschap maakt het
vak een stuk makkelijker.
Als laatste wil ik alle mensen bedanken die mij hebben geholpen
met het realiseren van dit profielwerkstuk. Ik wil in het bijzonder
bedanken de heer N.G. Schultheiss en mevrouw A. Toll.
Jan Dezider Kees Koomen-Majernik
Maart 2012
Deel I
Theorie
De klassieke mechanica
Introductie
e mechanica is het onderdeel van de natuurkunde die zich bezig houdt met evenwicht en beweging van voorwerpen onder
invloed van de krachten die erop werken. De klassieke mechanica beschrijft het gedrag van macroscopische objecten zoals astronomische
objecten, projectielen, sterren, planeten, sterrenstelsels en nog veel
meer. Ze is van toepassing op ’allerdaagse’ situaties waar er sprake
is van snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid of
niet al te sterke zwaartekrachtvelden en waar het gedrag van de materie op atomaire schaal te verwaarlozen is. Wanneer we objecten
gaan bestuderen die zeer klein zijn moeten we een andere vorm van
mechanica gaan gebruiken namelijk kwantummechanica. Wanneer
objecten zich voortbewegen met snelheden die bijna zo groot zijn
als de lichtsnelheid wordt de klassieke mechanica versterkt door de
speciale relativiteitstheorie.
Isaac Newton leverde ons de fundamentele wetten van de klassieke mechanica. Deze drie natuurwetten zijn in 1687 geformuleerd
in zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
D
De Wetten van Newton
De Wetten van Newton vormen samen met de wet van behoud van
impuls en de wet van impulsmoment de grondslag van de klassieke
mechanica. We beginnen simpel met de Wetten van Newton geschreven in de conventionele vorm:
1. Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, is in rust of
beweegt zich rechtlijnig met constante snelheid voort
2. Als op een voorwerp een nettokracht werkt, krijgt het een versnelling. Kracht is gelijk aan massa maal versnelling: F = ma.
3. Een kracht komt nooit in z’n eentje, maar is altijd de helft van een
tweeling. Actie en reactie zijn even groot, maar tegengesteld van
richting.
12
jan dezider kees koomen-majernik
Deze wetten zijn zo bekend dat we soms hun betekenis als een natuurkundige wet uit het oog verliezen. De Eerste Wet van Newton is
weinigzeggend zonder het woord "kracht". Een woord dat Newton
in alle drie zijn wetten gebruikt. De Tweede Wet van Newton geeft
een toelichting wat precies een kracht is, namelijk: een kracht die uitgeoefend wordt op een object is gelijk aan de snelheid waarmee het
impuls van een bewegend object veranderd. Newton definieerde het
impuls als het product van de massa en de snelheid.
~p ≡ m~v
Dus de tweede wet van Newton kan nu geschreven worden als
~F = d~p = d (m~v)
dt
dt
(1)
Het ging Newton om de verandering van de beweging, dus massa en
snelheid mogen beide variëren. Als de massa m constant is kunnen
we de tweede wet herschrijven tot de volgende welbekende vergelijking:
~F = m~a
waarin ~F de kracht in Newton is in de richting van de versnelling,
m de massa in kilogram en ~a de versnelling in m/s2 . Eigenlijk zijn de
eerste en de tweede wet van Newton geen "wetten" maar kunnen
beter beschouwd worden als definities, omdat afstand, tijd en massa
concepten zijn die we al begrijpen.
inleiding tot de kwantummechanica
Behoudswetten
Laten we nu eens gaan kijken naar de mechanica van een individueel
object en daarvan de behoudswetten uit proberen af te leiding. We
moeten benadrukken dat dit geen bewijs is voor de behoudswetten
maar een een afleiding. Om te kunnen concluderen of deze wetten
correct zijn moeten we ze testen. Het feit dat deze wetten kloppen
bewijst hoe perfect en elegant de wetten van Newton zijn, althans in
de klassieke mechanica.
De eerste behoudingswet betreft de lineaire impuls van een deeltje.
Als een deeltje vrij is, dat wil zeggen dat er geen kracht op het deeltje
d~p
wordt uitgeoefend, dan wordt vergelijking (1) simpelweg dt = 0.
Dat betekend dat de vector ~p constant blijft in de tijd. Dus de eerste
behoudingswet wordt
1. De totale lineaire impuls ~p van een deeltje is een behouden grootheid wanneer de totale kracht op het deeltje gelijk is aan nul.
We kunnen deze uitspraak ook in andere termen formuleren. Laten
we ~s een constante vector zijn zo dat ~F ·~s = 0 en onafhankelijk is van
de tijd. Dan wordt de vergelijking
d~p
·~s = ~F ·~s = 0
dt
wanneer we deze integreren naar de tijd krijgen we
~p ·~s = constant
wat betekend dat de lineaire impuls in de richting van de kracht
constant is in de tijd.
De Wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerp
eenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is het de neiging heeft
om die draaiing vol te houden. Er is dus een externe kracht, of liever
gezegd een moment, nodig om dat te veranderen. Het impulsmoment is als volgt gedefinieerd
~L ≡ ~r × ~p
Het krachtmoment, of simpelweg moment, wordt gedefinieerd als
~ ≡ ~r × ~F
N
waar ~r de plaatsvector voorstelt vanaf het middelpunt tot aan het
punt waar aan kracht ~F uitgeoefend op wordt.
13
14
jan dezider kees koomen-majernik
Omdat ~F = m ddt~v kunnen we de vergelijking voor het krachtmoment
herschrijven. Deze wordt
~ = ~r × m d~v = r × d~p
N
dt
dt
Laten we de vergelijking voor het impulsmoment differentiëren. Dit
zal uiteindelijk een verband geven tussen het impulsmoment en het
krachtmoment. Dus
d~L
d
=
(~r × ~p) = ~r 0 × ~p +~r × ~p0
dt
dt
maar
~r 0 × ~p = ~r 0 × m = m ~r 0 × ~r 0 = 0
dus
d~L
= ~r × ~p0 = N
dt
Dus als er geen krachtmoment op een deeltje wordt uitgeoefend (dus
~
N = 0) dan is d L = 0, maar ~L is een vector die constant blijft wanneer
dt
de tijd vordert. Dit lijdt tot de tweede behoudingswet die luidt:
1. Het impulsmoment van een deeltje is een behouden grootheid
wanneer het niet onderworpen is aan een krachtmoment.
Als er een kracht ~F op een deeltje wordt uitgeoefend en het deeltje
verandert van toestand 1 naar toestand 2 dan wordt de arbeid die
nodig is voor het veranderen van de toestand gedefinieerd als
ˆ2
~F · d~r
W12 ≡
(2)
1
Wanneer we de kracht ~F uitschrijven en de integraal herschrijven met
de kettingregel krijgen we
ˆ2
ˆ2
~F · d~r =
W12 =
1
m
d~v
d~r
dt
1
De variabele waarnaar geïntegreerd wordt, kunnen we herschrijven
in d~r = ~v · dt
ˆ2
1
d~v
m
d~r =
dt
ˆ2
1
d~v
m
· ~v dt = m
dt
ˆ2
~v · d~v =
1
1 2 2
mv 2
1
inleiding tot de kwantummechanica
De arbeid die verricht wordt door een kracht ~F op een object is gelijk
aan het verschil in kinetische energie
W12 =
1 2 2
1 mv = m v22 − v21 = T2 − T1 = ∆T
2
2
1
waar T ≡ 12 mv2 de kinetische energie is van het object. Als T1 > T2
dan is W12 < 0 wat betekend dat het object arbeid heeft verricht met
als resultaat een afname van de kinetische energie.
Laten we eens vergelijking (2) van een andere kant bekijken. In
veel voorkomende natuurkundige processen heeft de kracht ~F de
eigenschap om een object van plaats A naar een plaats B te verplaatsen en met dezelfde hoeveelheid aan energie weer terug te plaatsen
naar zijn beginpositie. Stel dat een deeltje op aarde met een massa m
omhoog wordt geheven tot een hoogte h, dan wordt er arbeid mgh
verricht om het deeltje omhoog te heffen. Maar het deeltje kan met
dezelfde hoeveelheid aan arbeid terug keren naar zijn oorsprong. De
arbeid waarmee een object terug kan keren naar zijn oorsprong met
dezelfde hoeveelheid aan arbeid die verricht is om het te verplaatsen
wordt potentiële energie genoemd.
We kunnen de potentiële energie definiëren als de arbeid die nodig is om een object van plaats A naar B te verplaatsen verricht door
een kracht ~F:
ˆ2
~F · d~r ≡ U1 − U2
1
15
16
jan dezider kees koomen-majernik
Limitaties van de Newtoniaanse mechanica
In dit hoofdstuk hebben we concepten als positie, tijd, impuls, momentum en energie geïntroduceerd. We hebben aangenomen dat
ze allemaal meetbare kwantiteiten zijn die gemeten kunnen worden met speciale instrumenten. Deze formules zijn getest op allerlei
macroscopische objecten en zijn bewezen dat ze kloppen. Maar wanneer we een meting willen uitvoeren op microscopische schaal dan
ondervinden we een bepaald limiet van nauwkeurigheid in de meetresultaten.1 Men zou bijvoorbeeld de plek van een elektron kunnen
meten door een foton op het elektron te botsen, maar we kunnen de
plaats van dit elektron niet exact meten vanwege de onzekerheid σx
die veroorzaakt wordt door de golflengte van het foton. Doordat we
een meting proberen te verrichten door het elektron te beschieten met
een foton veranderen we de toestand van het elektron, omdat tijdens
de botsing tussen het elektron en het foton een impuls wordt overgedragen van het foton aan het elektron. De standaardafwijking van
de onbekende hoeveelheid impuls die overgedragen wordt, wordt
aangeduid met σp . Het product σx σp is een maat in hoeverre men de
plaats en de impuls van een deeltje tegelijkertijd kan meten. In 1927
werd aangetoond dat het product van σx σp groter moest zijn dan een
specifieke minimum waarde. De minimum waarde voor σx σp is ongeveer 10−34 Js. Dit is een extreme kleine waarde voor het beschrijven
macroscopische objecten. Dus dat betekend dat het geen enkel probleem is om objecten op laboratorium schaal de positie en de impuls
tegelijkertijd te meten. Dat betekend dat Newtoniaans mechanica niet
toegepast kan worden op subatomaire deeltjes. Hiervoor moest een
nieuwe natuurkundige theorie opgesteld worden: de kwantummechanica.
Een ander probleem met Newtoniaanse mechanica is het concept
van de tijd. Tijd is volgens de Newtoniaanse mechanica een absolute begrip. Volgens de Newtoniaanse mechanica is het mogelijk
om exact te kunnen bepalen of twee gebeurtenissen tegelijkertijd
hebben plaatsgevonden of de een na de ander. Dat betekend dat
informatie met een oneindige snelheid reist, maar dit is onjuist. Interacties tussen objecten planten zich voor met een eindige snelheid. De
maximum snelheid waarmee informatie zich kan voortplanten is de
snelheid van het licht in vacuüm: c = 3 · 108 m/s. Dit leidde allemaal
tot de conclusie dat tijd juist geen absolute eenheid is en dat tijd en
ruimte een verband met elkaar hebben. De theorie die de oplossing
biedt voor dit probleem is de speciale relativiteitstheorie.
We nemen aan dat de meetapparatuur
oneindig nauwkeurig is.
1
Elektromagnetisme
Introductie
Elektromagnetisme is de tak van de natuurkunde die zich bezig
houdt met het verklaren van de krachten tussen elektrisch geladen
deeltjes. Deze krachten worden beschreven door middel van elektromagnetische velden. De elektromagnetische kracht is een van de
vier fundamentele natuurkrachten die er in dit universum bestaan
en wordt veroorzaakt door de ijkboson het foton. Veel krachten die
men regelmatig voelt zijn er aan te danken. Bijvoorbeeld: je zakt niet
door een vloer als deze de kracht erop kan verdragen. Deze ontstaat
doordat atomen in het materiaal zich verzetten tegen verplaatsing uit
hun evenwichtsstand. In dit hoofdstuk zullen we de vier vergelijkingen van Maxwell beschrijven en bewijzen. De Wet van Ohm, Gauss,
Coulomb, Faraday, Ampere, Biot-Savart en de Wet van Kirchhoff zijn
allemaal speciale gevallen van de Wetten van Maxwell.
Elektrostatische velden
De Wet van Coulomb
De Franse kolonel Charles-Augustin de Coulomb voerde rond 1770
een serie experimenten uit om kwantitatief de kracht te bepalen van
twee elektrisch geladen objecten. De wet die hieruit voortkwam heet
de Wet van Coulomb die stelt dat de kracht tussen twee kleine objecten die van elkaar verwijderd zijn omgekeerd kwadratisch evenredig
is met de afstand.
F=k
Q1 Q2
R2
waar Q1 en Q2 de positieve en negatieve ladingen zijn van de twee
objecten, R de afstand is tussen de twee objecten en k een constante
is. De constante k is
k=
1
4πe0
18
jan dezider kees koomen-majernik
waar e0 de permittiviteit van het vacuum is en gemeten wordt in
Farads per meter F/m,
.
e0 = 8.854 · 10−12 =
1
10−9
36π
F/m
(3)
De Wet van Coulomb wordt dan
F=
Q1 Q2
4πe0 R2
We kunnen de Wet van Coulomb ook in vectorvorm schrijven. Laten
we ~r1 de vector zijn die de plaats aangeeft waar de lading Q1 bevind
en ~r2 voor Q2 . De afstand tussen de twee vectoren is dus R~12 =
~r2 −~r1 . De wet van Coulomb in vectorvorm wordt dan
~F = Q1 Q2 ~a12
4πe0 R212
(4)
waar ~a12 de eenheidsvector is, oftewel
~R
~r −~r1
~a12 = 12 = 2
|~r2 −~r1 |
~R12 Elektrische veldsterkte
Stel dat we één lading onbeweegbaar maken, bijvoorbeeld Q1 , en we
brengen een andere lading Q2 in het elektrische veld van lading Q1 .
De lading Q2 zal overal een kracht ervaren dus is er sprake van een
kracht veld. De lading Q2 noemen we voor het gemak de testlading
Qt . De kracht op deze testlading wordt gegeven door de Wet van
Coulomb.
~F =
Q1 Q t
a~12
4πe0 R212
We herschrijven deze formule zodat we als eenheid kracht per lading
krijgen.
~F
Q1
~a12
=
Qt
4πe0 R212
(5)
Het rechter lid van formule (5) is een functie van Q1 en de afstand
tussen de testlading en Q1 . Deze formule beschrijft een vectorveld en
wordt de elektrische veldsterkte genoemd. We definiëren de elektrische veldsterkte als een kracht vector per testlading met als grootheid
~E
~
~E = F
Q
inleiding tot de kwantummechanica
Distributie van ladingen
Stel we hebben een gebied in de ruimte dat geladen is met een
enorme hoeveelheid aan aparte ladingen die van elkaar gescheiden
zijn met een relatief kleine afstand. Ondanks de ladingsverdeling discreet is, mag men een continu model toepassen waarbij de distributie
van ladingen wordt beschreven door de ladingsdichtheid. We noteren
de ladingsdichtheid met ρv en heeft als eenheid coulombs per meter
C/m3 .
De minuscule lading ∆Q in een minuscule volume ∆v is
∆Q = ρv ∆v
waar we ρv mogen definiëren als een limiet
ρv = lim
∆v→0
∆Q
∆v
Dus de totale lading over een eindig oppervlak kan berekend worden
door te integreren over dat volume
ˆ
ρ dv
Q=
vol
De incrementele bijdrage aan de elektrische veldsterkte in ~r gevormd
door een incrementele lading ∆Q op ~r 0 kan dan worden berekend
door
ˆ
ρv (~r 0 )dv0
~E(r ) =
vol
~r −~r 0
4πe0 |~r −~r 0 |2 |~r −~r 0 |
19
20
jan dezider kees koomen-majernik
Elektrische flux
Rond 1937 raakte de directeur van de Royal Society in Londen Michael Faraday zeer geïnteresseerd in statische elektrische velden en
de effecten van verschillende isolatoren op elektrische velden. Deze
vraag viel hem lastig tijdens de tien jaar dat hij bezig was met het
onderzoeken van inductiespanningen. Toen hij klaar was met zijn experimenten over inductiespanning bouwde hij een opstelling om de
effecten van elektrische velden nader te bestuderen. Hij construeerde
twee metalen bollen waarvan de één kleiner was dan de andere zodat
de kleinere bol binnen in de grotere bol paste, zie figuur 1.
De ruimte tussen de kleine en de grote bol vulde hij op met een
isolator (ook wel een diëlektricum genoemd). We nemen aan de de
isolatoren die hij gebruikt ideale isolatoren waren.
Zijn experiment bestond hoofdzakelijk uit de volgende stappen:
1. De binnenste binnenste bol werd een bekende positieve lading
gegeven.
2. De buitenste bol werd er omheen gemonteerd met de diëlektricum
ertussen.
3. De buitenste bol werd voor een korte tijd ontladen door het te
verbinden met de aarde.
4. De buitenste bol werd voorzichtig gedemonteerd en de lading
werd nauwkeurig gemeten op de bollen.
Faraday kwam erachter dat de totale lading op de buitenste bol even
groot is als de binnenste bol ongeacht welk diëlektricum er gebruikt
werd. Hij concludeerde dat er sprake was van een soort van verplaatsing van de binnenste bol naar de buitenste die onafhankelijk
was van het soort medium dat er gebruikt werd, men noemt deze
verplaatsing de elektrische flux.
De Wet van Gauss
Het resultaat van het experiment van Faraday kan gezien worden als
een wet die luidt dat de elektrische flux dat door een denkbeeldige
bolvormig oppervlak heen gaat gelijk is aan de lading die omsloten
wordt door dat denkbeeldige oppervlak. De fluxdichtheid veranderd
naarmate het denkbeeldig bolvormig oppervlak verder van de bronlading verwijderd maar de lading van het denkbeeldige oppervlak
is gelijk aan de bronlading. Als de totale lading Q is dan zal er ook
een elektrische flux van Q coulombs door het omsluitende oppervlak
gaan. Op elk punt van het oppervlak zal er een elektrische flux dicht~ A heersen waarbij de subscript A er ons aan herinnerd dat D
~
heid D
berekend moet worden aan het oppervlak.
Figuur 1: Aangepast van Engineering
Electromagnetics (p. 55), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
inleiding tot de kwantummechanica
Laten we ons een klein stukje ∆A van de totale oppervlakte voorstellen. ∆A heeft een bepaalde plek in de ruimte waardoor en bepaalde flux doorheen gaat. De enige unieke richting die kan worden
geassocieerd met ∆A is de richting die normaal op het gekozen oppervlakte staat, zie figuur 2
Beschouw op een willekeurig punt P een klein oppervlakte ∆A en
~ A een hoek θ maken met ∆A zoals te zien is in figuur 2. De flux
laat D
die door ∆A heen gaat is het product van de normale component van
~ O en ∆A,
D
~
~ A · ∆A
Φ = f lux die door ∆A gaat = D A,normaal ∆ = D A A cos θ∆A = D
ook wel het inwendig product genoemd.
Om de totale
flux Ete berekenen die door gehele oppervlakte gaat
D
~
moeten we D A |∆A van al die kleine oppervlakte elementen bij
~ A het inwendig product genomen moet
elkaar optellen. Omdat van D
worden met ∆A en opgeteld moet worden totdat je de gehele oppervlakte gehad heb kunnen we dit herschrijven tot een integraal.
˛
?
~ =
~ A · dA
Φ=
D
Q
A
¸
~ gelijk moet zijn
~ A · dA
We kunnen heel gemakkelijk bewijzen dat A D
Q
aan Q door de integraal uit te werken waarbij D = 4πr
2 voor een bol
~ = e0 ~E.
en D
˛
En voor
A
¸
A
~ =
~ A · dA
D
Q
4πr2
4πr2 = Q
~ wordt het dan
~E A · d A
˛
Q
Q
2
~ =
~E A · d A
4πr
=
2
e
4πe
r
0
0
A
Dus de Wet van Gauss is
˛
Φ=
~ = Q
~E · d A
e0
A
21
Figuur 2: Overgenomen van Engineering
Electromagnetics (p. 58), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
22
jan dezider kees koomen-majernik
Wet van Gauss in differentiële vorm
De eerste Wet van Gauss, ook wel de eerste Wet van Maxwell genoemd, kan ook in differentiële vorm geschreven worden. De vier
vergelijkingen van Maxwell vormen de basis van de elektromagnetische theorie.
Laten we een punt P voorstellen in cartesische het coördinatenstel~ op het punt P kan uitgedrukt worden in de x,
sel. De waarde van D
~ 0 = Dx0~a x + Dy0~ay + Dz0~az , zoals te zien is
y, en z componenten, D
op afbeelding 3. Wij kiezen een vierkant om punt P heen als een gesloten oppervlakte met als zijden ∆x, ∆y en ∆z waar we de Wet van
Gauss op gaan toepassen,
˛
~ =Q
~ · dA
D
A
Om de integraal te kunnen nemen over een vierkant moeten we de
integraal opsplitsen in zes aparte integralen, één voor elke zijde,
ˆ
˛
ˆ
~ =
~ · dA
D
A
ˆ
+
voor
ˆ
+
achter
ˆ
+
links
ˆ
+
rechts
+
boven
onder
Laten we de eerste integraal uitwerken. Aangezien hot oppervlakte~ vrijwel constant is op
element heel klein is kunnen we zeggen dat D
dit oppervlakte-element dus,
ˆ
· ~
~ voor
=D
voor · ∆ A
voor
· ~
=D
voor · ∆y∆z~a x
·
= Dx,voor ∆y∆z
~ x moeten benaderen. De voorzijde is
waar we alleen de waarde van D
∆x
2 van P verwijderd dus,
~ x,voor =· Dx0 + ∆x × snelheid van verandering van D tot x
D
2
∆x
∂Dx
·
= Dx0 +
2 ∂x
waar Dx0 de waarde van Dx is op met punt P. We gebruiken een
partiële afgeleide, omdat de verandering van D ook afhangt van x, y,
en z. We hebben nu
ˆ
·
=
voor
∆x ∂Dx
Dx0 +
2 ∂x
∆y∆z
Figuur 3: Overgenomen van Engineering
Electromagnetics (p. 67), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
inleiding tot de kwantummechanica
Beschouw nu de integraal voor de achterkant.
ˆ
· ~
~
=D
achter · ∆ A achter
achter
· ~
=D
achter · (− ∆y∆z~a x )
·
= − Dx,voor ∆y∆z
waar
~ x,achter =· Dx0 − ∆x ∂Dx
D
2 ∂x
wat geeft
ˆ
·
=
voor
∆x ∂Dx
− Dx0 +
2 ∂x
∆y∆z
Als we deze twee integralen combineren krijgen we
ˆ
ˆ
·
+
=
voor
achter
∂Dx
∆x∆y∆z
∂x
Dit kunnen we ook doen voor de andere zijden
ˆ
ˆ
+
·
∂Dy
∆x∆y∆z
∂y
·
∂Dz
∆x∆y∆z
∂z
=
rechts
links
en
ˆ
ˆ
+
=
boven
onder
Wanneer we dit combineren krijgen we
˛
~ =·
~ · dA
D
A
∂Dy
∂Dx
∂Dz
+
+
∂x
∂y
∂z
∆x∆y∆z
ofwel
˛
~ = Q =·
~ · dA
D
A
∂Dy
∂Dz
∂Dx
+
+
∂x
∂y
∂z
∆v
Deze uitdrukking is een benadering die beter wordt als ∆v nul nadert. De Wet van Gauss voor een gesloten oppervlak ∆v geeft ons een
benadering die stelt dat
·
Lading omsloten door ∆v =
∂Dy
∂Dz
∂Dx
+
+
∂x
∂y
∂z
× volume ∆v (6)
23
24
jan dezider kees koomen-majernik
Divergentie
Vergelijking (6) geeft een benadering voor de Wet van Gauss. We
zouden een exacte relatie kunnen krijgen voor de Wet van Gauss
door ∆v naar nul te laten gaan. Vergelijking (6) wordt dan
∂Dy
∂Dx
∂Dz
+
+
∂x
∂y
∂z
¸
·
=
A
~
~ · dA
D
Q
=
∆v
∆v
A
~
~ · dA
D
Q
= lim
∆v
∆v→0 ∆v
of als een limiet
∂Dy
∂Dz
∂Dx
+
+
∂x
∂y
∂z
¸
= lim
∆v→0
Het is duidelijk dat de laatste term de ladingsdichtheid ρv voorstelt,
dus
∂Dy
∂Dx
∂Dz
+
+
∂x
∂y
∂z
¸
A
= lim
∆v→0
~
~ · dA
D
= ρv
∆v
Deze vergelijking bevat te veel informatie om in een keer te bespreken, daarom splitsen we ze op en bespreken we ze afzonderlijk.
∂Dy
∂Dx
∂Dz
+
+
∂x
∂y
∂z
¸
A
= lim
∆v→0
∂Dy
∂Dz
∂Dx
+
+
∂x
∂y
∂z
~
~ · dA
D
∆v
(7)
= ρv
(8)
We bespreken vergelijking (8) in de volgende paragraaf. Bij vergelijking (7) is er nog geen sprake van ladingsdichtheid. De methode die
hierboven is uitgelegd had op elke willekeurige vector ~B toegepast
kunnen worden. Dit lijdt tot de algemene vergelijking
∂By
∂Bx
∂Bz
+
+
∂x
∂y
∂z
¸
= lim
∆v→0
A
~
~B · d A
∆v
waar ~B een snelheid, temperatuur gradiënt, kracht of een andere
vector veld. Omdat deze operatie voor vaak voorkomt heeft deze
een eigen naam gekregen, divergentie. De divergentie van ~B wordt
gedefinieerd als
¸
div ~B = lim
∆v→0
A
~
~B · d A
∆v
(9)
en wordt meestal afgekort als div ~B. De natuurkundige interpretatie
van de divergentie van een vectorveld hangt af van de operaties die
aan het rechter lid van vergelijking (9) uitgevoerd worden. Laten we
nu ~B beschouwen als een vector van de fluxdichtheid familie om de
fysische interpretatie makkelijker te maken.
inleiding tot de kwantummechanica
De divergentie van een fluxdichtheid vector ~B is de uitstroom van flux
uit een klein gesloten oppervlak per volume eenheid als het volume naar nul
gaat.
Bijvoorbeeld, laten we eens gaan kijken naar de divergentie van de
snelheid van water nadat de kraan geopend is. De netto uitstroom
van het water door een gesloten oppervlak moet gelijk zijn aan nul
omdat de instroom en de uitstroom aan elkaar gelijk zijn. Vandaar
dat de divergentie van de snelheid gelijk is aan nul.
Echter, indien we de divergentie nemen van de luchtsnelheid van
een zojuist geperforeerde fietsband is deze groter dan nul omdat de
lucht in de band uitzet naarmate de druk in de band daalt.
De eerste vergelijking van Maxwell
We kunnen met de kennis van de vorige paragrafen de Wet van
Gauss in differentiële vorm schrijven
¸
~ = lim
div D
∆v→0
A
~
~ · dA
D
Q
=
∆v
∆v
~ = ∇·D
~ = ρv
div D
(10)
(11)
waarbij ∇ als de del operator gedefinieerd wordt.
∇=
∂
∂
∂
~a x + ~ay + ~az
∂x
∂y
∂z
Wanneer we Q delen door een volume ∆v krijgen we vanzelfsprekend de ladingsdichtheid. Dit is de eerste vergelijking van de vier
vergelijkingen van Maxwell die elektrische en stationaire magnetische
velden beschrijven. Uit deze vergelijking kan opgemaakt worden dat
de elektrische flux die door een volume ∆v heen gaat exact het zelfde
is aan de ladingsdichtheid in dat volume v.
25
26
jan dezider kees koomen-majernik
Stoom, geleiders en weerstand
Stroom en stroomdichtheid
Als elektrische ladingen in beweging zijn, dan is er sprake van
stroom. De eenheid van stroom is ampère (A) die gedefinieerd wordt
als de hoeveelheid lading die per tijdseenheid in een punt stromen.
Stroom wordt aangegeven door het symbool I, dus
dQ
dt
In de veldtheorie is men meestal geïnteresseerd in gebeurtenissen
op een bepaald punt dan op een groot oppervlak. De stroom die
door een punt heen gaat kunnen we herschrijven als een product van
een zogeheten stroomdichtheid, die gemeten word in ampère per
vierkante meter ( I/m2 ). Stroomdichtheid is een vector die aangeduid
wordt met ~J.
De stroom ∆I die normaal door een heel klein oppervlakte ∆S gaat
is
I=
∆I = JN ∆S
De totale stroom kan verkregen worden door te integreren over het
oppervlak.
ˆ
I = ~J · dS
S
Stroomdichtheid is gerelateerd worden aan de snelheid van de
stroomdichtheid volume op een bepaald punt. Beschouw een ladingselement ∆Q = ρv ∆v = ρv ∆S∆L, zoals te zien is op afbeelding
4a. In een tijdinterval ∆t heeft de lading een afstand van ∆x afgelegd
zoals te zien is op afbeelding 4b. De stroom is dan
∆Q
∆x
= ρv ∆S
∆t
∆t
Als we het limiet nemen met respect tot de tijd krijgen we
∆I =
∆I = ρv ∆S v x
waar v x voor de snelheid in de richting van de x-as is. Dus in het
algemeen kunnen we zeggen, in termen van stroom dichtheid
~J = ρv~v
(12)
Figuur 4: Overgenomen van Engineering
Electromagnetics (p. 121), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
inleiding tot de kwantummechanica
De laatste vergelijking laat heel goed zien dat een lading in beweging een stroom veroorzaakt. Een goede analogie voor stroomdichtheid is een tunnel waar auto’s doorheen rijden. De dichtheid van
auto’s door de tunnel kan worden verhoogt worden door de auto’s
sneller te laten rijden of door meer auto’s per vierkante meter te laten
rijden.
27
28
jan dezider kees koomen-majernik
Metalen geleiders
In de natuurkunde beschrijft men het gedrag van elektronen die om
de nucleus heen bewegen in termen van totale energie van het elektron. De totale energie van het elektron is de som van de potentiële
energie en de kinetische energie. Volgens de kwantummechanica bestaan er alleen bepaalde energielagen waar het elektron in zich kan
bevinden als het om de nucleus heen "beweegt". Dat betekent dat een
elektron alleen een bepaalde hoeveelheid aan energie kan absorberen
en emitteren, ook wel kwanta genoemd, om naar een ander energie
niveau te kunnen gaan. In een vaste kristallijne stof, zoals een metaal
of een diamant, zitten de atomen dicht bij elkaar, dus er zijn meer
elektronen beschikbaar en kunnen verschillen energie niveaus bezet worden. Bij een temperatuur van -273,15 graden Celsius zijn alle
energie niveaus in het atoom netjes in volgorde bezet door elektronen. De elektronen met de hoogste hoeveelheid aan energie worden
valentie elektronen genoemd en bevinden zich in de valentie band.
Als er hogere energie niveaus zijn toegestaan in de valentie band of
als er een geleiding band dicht tegen de valentie band aan zit kunnen
elektronen onder invloed van een veld gaan stromen door de vaste
stof, zoals te zien is in afbeelding 5a Dit wordt elektrische geleiding
van metalen genoemd.
Maar als de de hoeveelheid energie die nodig is om van de valentie band naar de geleidingsband erg hoog is om van de elektron
in de geleidingsband te verplaatsen dan is de stof een isolator. Zie
afbeelding 5b
Als de energie gap tussen de valentie band en de geleidingsband
niet al te groot maar niet al te klein is zoals te zien in de afbeelding
is er sprake van een halfgeleider die onder speciale omstandigheden
stroom kan geleiden zoals onder invloed van hitte. Deze stoffen
worden halfgeleiders genoemd, afbeelding 5c
Figuur 5: Overgenomen van Engineering
Electromagnetics (p. 125), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
inleiding tot de kwantummechanica
Beschouw een geleider waar de elektronen bewegen onder invloed van een elektrisch veld. Onder invloed van een veld ~E zal een
elektron een kracht ondervinden.
~F = −e~E
Een elektron zou in de ruimte continu versnellen, maar in de kristallijne stof zal het elektron voortdurend botsen tegen atomen waardoor
een gemiddelde maximale snelheid behaalt wordt. Deze gemiddelde
maximale snelheid vd wordt de drift snelheid genoemd en is evenredig met elektrische veld met een constante µ die de mobiliteit van het
elektron aanduidt in de stof. Dus
~vd = −µ~E
(13)
Uit deze vergelijking kunnen we opmaken dat de snelheid van het
elektron in een andere richting is dan de richting van het elektrische
veld. Vergelijking (12) laat ook zien dat de mobiliteit gemeten wordt
in de eenheid vierkante meter per voltseconde; voor aluminium is
deze waarde 0.0012, 0.0032 voor koper en 0.0056 voor zilver. Wanneer
we vergelijking (13) in vergelijking (12) substitueren krijgen we
~J = −ρe µe ~E
(14)
waar ρe de elektronen ladingsdichtheid is. De totale ladingsdichtheid
ρv is nul omdat er evenveel positieve als negatieve deeltjes in het
neutrale materiaal bevinden.
De relatie tussen ~J en ~E voor een metalen geleider is ook een evenredig verband met de constante σ die de elektrische geleiding aangeeft.
~J = σ~E
(15)
waar σ gemeten wordt in siemens per meter (S/m). De geleiding is
eigenlijk een functie van de temperatuur. De weerstand, wat de omgekeerde is van de geleiding, varieert lineair wanneer de temperatuur
rond de kamertemperatuur bevindt.
Als we vergelijking (15) en (18) combineren zien we dat de geleiding een product is van ladingsdichtheid en de mobiliteit van de
elektronen.
σ = −ρe µe
29
30
jan dezider kees koomen-majernik
Vergelijking (15) wordt ook wel De Wet van Ohm in punt vorm
genoemd. We kunnen de Wet van Ohm herschrijven die van toepassing is op macroscopische schaal. Laten we aannemen dat ~J en ~E
homogeen zijn, zoals te zien is in het cilindrische gebied in figuur 6.
Omdat ze uniform zijn is
ˆ
~ = JA
I = ~J · d A
S
De potentiële energie is de integraal van de kracht over de afstand
ˆ
Vab = −
a
b
~E · d~L = −~E · ~Lba
oftewel
V = EL
Dus
J=
I
V
= σE = σ
A
L
oftewel
L
I
σA
De verhouding van het potentiaalverschil tussen de twee uiteinden
van de cilinder wordt de weerstand genoemd dus
V=
V = IR
(16)
L
σA
(17)
waar
R=
Figuur 6: Overgenomen van Engineering
Electromagnetics (p. 127), door William
H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:
McGraw-Hill Science.
inleiding tot de kwantummechanica
31
Magnetisme
De Lorentzkracht
Als er stroom door een metaal wordt gestuurd dan zullen alleen de
elektronen in het metaal bewegen. De positieve nucleus blijft op zijn
plek. De elektronen gaan bijna met de snelheid van het licht door de
het metaal wat betekend dat er relativistische effecten optreden.
Beschouw een metalen draad zoals te zien is in afbeelding 7. De
zwarte stippen stellen de elektronen voor die naar links bewegen met
een drift snelheid van v0 . Om het niet al te complex te maken beschouwen we Llab de afstand tussen de elektronen die overal uniform
is. Het draad is elektrisch neutraal en als de lading q niet beweegt zal
het ook geen aantrekkingskracht voelen naar de draad toe. Maar als
de lading q gaat bewegen met een snelheid v dan zal er lengtecontractie optreden waarbij het lijkt voor de landing q alsof de afstand
tussen de elektronen kleiner wordt, terwijl de afstand tussen de positieve nuclei het zelfde blijft toen de lading q stil stond. De lading q
zal dan een aantrekkingskracht voelen richting de draad. Dit wordt
de magnetische kracht genoemd.
De lading q zal een bepaalde elektrische veldsterkte voelen wanneer het zich verplaatst met een snelheid v. De elektrische veldsterkte
in een draad wordt gegeven door
E=
1 ρ
2πr e0
waarbij ρ de ladingsdichtheid is in het draad. In dit geval is er sprake
van twee lijnen van ladingen namelijk de lijn van de bewegende elektronen en de positieve lijn van lading van de nuclei. De elektrische
0
veldsterkte die de lading q voelt in het K frame is
0
0
E =
0
0
1 ρ− − ρ+
>0
2πr
e0
(18)
0
en de vector ~E = E · ĵ omdat de aantrekking loodrecht op de draad
staat.
In dit geval zijn er drie verschillende referentiekaders namelijk:
• Referentiekader K: is het laboratorium frame waarbij men als ware
naar de opstelling kijkt en stilstaat relatief tot de opstelling.
0
• Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de lading q
met een snelheid v.
00
• Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de elektronen met een snelheid v0 .
Figuur 7: DoctorPhys. (2011,
augustus 31). D2. The Magnetic
Field [Video file]. Geraadpleegd op
http://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc
32
jan dezider kees koomen-majernik
De lading q "ziet" de positieve ladingen naar links bewegen met een
snelheid van β = vc en ziet de negatieve ladingen bewegen met een
snelheid van β T = vcT . De snelheid β T kan berekend worden door de
de snelheden v en v0 relativistisch op te tellen.
β0 + β
1 + β0 β
βT =
(19)
De ladingsdichtheid wordt berekend door de formule ρ = QL waarbij
L de afstand is tussen twee ladingen in. In het laboratorium frame
nemen we LQ waar elke lading Q met een lengte Llab van elkaar
lab
verwijderd is. De lading van de draad is in de laboratorium frame
neutraal omdat er evenveel positieve ladingen als negatieve ladin00
00
gen bevinden. In de K is de separatie tussen de ladingen L . Om de
elektrische veldsterkte te kunnen berekenen hebben we de waarden
0
0
voor ρ− en ρ+ nodig die bepaald kunnen worden door de formule
0
voor lengtecontractie. Gezien vanuit het K frame wordt de lengtecontractie voor de positieve deeltjes gegeven door
0
L+ = Llab
q
1 − β2
en voor de elektronen wordt deze gegeven door
0
L− = L
00
q
1 − β2
dus
0
ρ− =
L
00
√Q
1− β2T
en
0
ρ+ =
Llab
√Q
1− β2
0
De elektrische veldsterkte gezien uit het K frame wordt


1 
Q
Q

q
p
E =
−
2πre0 L00 1 − β2
Llab 1 − β2
T
0
00
We willen de L kwijt zien te krijgen omdat we alles meten in het
laboratorium frame. Gezien uit de laboratorium frame is de lengtecontractie tussen de electronen
Llab = L
√
We substitueren
1
00
L
=
1− β20
Llab
00
q
1 − β20
0
in de vergelijking van E wat geeft

q
2
1
Q  1 − β0
1

q
E =
−p
2πre0 Llab
1 − β2
1 − β2
0
T
(20)
inleiding tot de kwantummechanica
Als we β T uitschrijven krijgen we

0
E =
q
1
Q 
r
2πre0 Llab 
1−

1−
β20
β0 + β
1+ β 0 β

1

2 − p1 − β2 
De vergelijking lijkt er niet makkelijker op, maar we zullen later
zien dat er
q heel veel termen tegen elkaar kunnen weg strepen. Laten
we eerst 1 − β2T herschrijven en daarna dit in vergelijking (20)
substitueren en herleiden.
s
s
1 + 2β 0 β + β20 β2 − β20 − 2β 0 β − β2
β0 + β 2
1−
=
1 + β0 β
(1 + β 0 β )2
s
s
s
1 − β20 (1 − β2 )
1 + β20 β2 − β 0 − β2
β0 + β 2
1−
=
=
1 + β0 β
(1 + β 0 β )2
(1 + β 0 β )2
q


2
1
+
β
β
1
−
β
(
)
0
0
1
Q 
1
0

q
−p
E =
2πre0 Llab
2
1
− β2
2
1 − β 0 (1 − β )
!
0
1
1
Q
(1 + β 0 β )
−p
E =
2πre0 Llab
(1 − β2 )
1 − β2
0
E =
1
Q
p
((1 + β 0 β) − 1)
2πre0 Llab 1 − β2
0
1
Q
p
E =
β0 β
2πre0 Llab 1 − β2
De kracht op het elektron in y richting is
0
0
Fy = qE =
q
Q
p
β0 β
2πre0 Llab 1 − β2
Hou er rekening mee dat dit een kracht is in de richting van de yas. Alle referentiekaders bewegen in de richting van de x-as dus dat
betekend dat de y-component van de impuls geen relativistische
effecten ondervindt.
Fy =
dpy
dt
en
0
Fy =
dpy
0
dt
33
34
jan dezider kees koomen-majernik
Dit geldt echter niet voor de tijd. Er treedt namelijk tijd dilatatie op
0
p
0
dt = √dt 2 wat we kunnen herschrijven tot dt = 1 − β2 dt.
1− β
0
Wanneer we dit in de vergelijking Fy =
0
Fy =
dpy
0
dt
substitueren krijgen we
dpy
dpy
Fy
1
= p
0 = p
2
dt
dt
1−β
1 − β2
Dus in het laboratorium frame krijgen we
q
Q
β0 β
2πre0 Llab
q
Q vo v
Fy = qE =
2πre0 Llab c c
q
1
Q
Fy =
v
0 v
2πr e0 c2
Llab
De term e 1c2 wordt ook wel gedefinieerd als e 1c2 ≡ µ0 waar µ0
0
0
de magnetische permeabiliteit van het vacuüm voorstelt. De (absolute) permeabiliteit µ van een medium is de mate waarin het medium
een magnetisch veld geleidt. Letterlijk betekent de magnetische doordringbaarheid.
Fy = qE =
Fy =
De volgende groep
omdat v0 =
dan
Llab
t
dus
Q
Llab v0
Q
Llab v0
q
µ0
2πr
Q
v0 v
Llab
is niks anders dan de elektrische stroom
=
Q Llab
Llab t
=
Q
t
= I. Dus de formule wordt
µ0 I
2πr
Het product qv beschrijft de eigenschap van de bewegende lading zoµ0 I
als te zien is in afbeelding 7. Het product 2πr
heeft betrekking op een
externe krachtveld. Dit veld wordt het magnetische veld genoemd en
wordt aangeduid met de letter B.
Fy = qv
B=
µ0 I
2πr
De grootte van de kracht is
Fy = qvB
inleiding tot de kwantummechanica
35
Maar de kracht Fy heeft een bepaalde richting namelijk naar de draad
µ I
0
toe dus ~Fy = qvB ĵ waarbij ~B = 2πr
θ̂ en ~v = v î in de richting van de
x-as zijn zoals the zien is in afbeelding 8. We kunnen hier het
kruisproduct toepassen om de kracht ~F uit te drukken
~F = q~v × ~B
Figuur 8: DoctorPhys. (2011,
augustus 31). D2. The Magnetic
Field [Video file]. Geraadpleegd op
http://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc
waar
~B = µ0 I θ̂
2πr
De algemene wet die magnetische en elektrische velden beschrijft
wordt de Wet van Lorentz genoemd.
~F = q~E + q~v × ~B
We kunnen net als bij de Wet van Gauss een denkbeeldige lijn om de
draad denken2 en het hele proces wat we bij de Wet van Gauss
gedaan hebben uitvoeren maar dan nu van achter naar voren. Wat we
krijgen als we de integraal uitwerken is de Wet van Ampère.
B=
µ0 I
2πr
˛
,B (2πr ) = µ0 I
,
~B · d~l = µ0 I
De Wet van Ampère is
˛
~ = µ0 I
~B · dl
Omdat bij een een magnetisch veld de veldlijnen altijd terug keren
naar de bron kunnen we zeggen dat
‹
~ =0
~B · d A
Bij de Wet van Gauss wordt er een
denkbeeldige oppervlakte genomen
maar nu nemen we een denkbeeldige
lijn en volgen het zelfde proces als bij
het uitwerken van de Wet van Gauss.
2
36
jan dezider kees koomen-majernik
De Wet van Faraday
De Wet van Faraday luidt als volgt
˛
~E · d~l = − dΦ B
dt
waar Φ B de magnetische flux is. De magnetische flux kan berekend
worden door het magnetische veld te vermenigvuldigen met de
oppervlakte waar het magnetische veld door heen penetreert, dus
Φ B = BA. We gaan deze wet proberen af te lijden door middel van
afbeelding 9.
In de afbeelding stellen de "x"-en de magnetische veldlijnen voor
die het papier in gaan. In het magnetische veld hebben we voor een
deel een gesloten draad ingezet die met een snelheid v uit het magnetische veld getrokken wordt. Alleen de lading q die helemaal links
in de draad is weergegeven zal een kracht ervaren die een stroom zal
veroorzaken. De twee ladingen in het midden van de draad zullen
niet bijdragen aan een stroom omdat deze ladingen een kracht ervaren die ze van de draad af wil "trekken". De meest linkse lading
q zal in de draad gaan bewegen met een kracht F = qvB. Omdat er
een inductiespanning gecreëerd wordt zal er ook een elektrisch veld
gecreëerd worden. Het elektrische veld kan berekend worden met
de formule E = vB aangezien F = qvB = qE. De snelheid v wordt
gegeven dor
dl
dt
waar l de lengte is van het draad dat in het magnetische veld bevind zoals te zien is in afbeelding 9. De minus voor de afgeleide is
essentieel omdat l steeds kleiner zal worden. Dit geeft ons
v=−
dl
B
dt
Laten we een lijnintegraal opstellen over het elektrische veld
˛
~E · d~l = Ew
E = vB = −
(21)
(22)
Zijde l komt niet in de vorige vergelijking voor omdat de Lorentzkracht een hoek van 1/2π radialen maakt met de draad en is het
inwendig product gelijk aan nul. Wanneer we vergelijking (21) in
vergelijking substitueren krijgen we.
˛
~E · d~l = − dl Bw
dt
Maar als we het draad ook omhoog bewegen moeten we w in de afgeleide plaatsen. In ons voorbeeld is w constant maar in de gevallen
w niet constant is moet het in de afgeleide staan.
Figuur 9: DoctorPhys. (2011,
augustus 31). D3. Faraday’s
Law [Video file]. Geraadpleegd op
http://www.youtube.com/watch?v=gWwSiVr90og
inleiding tot de kwantummechanica
˛
~E · d~l = − d (lw) B = − dA B
dt
dt
Doordat we l en w in de afgeleide plaatsen, krijgen we de oppervlakte. In ons voorbeeld is B constant dus we zouden ook B in de
afgeleide plaatsen. Indien B wel variabel is kunnen we het vooralsnog in de afgeleide laten, omdat het tocht het zelfde effect zal
veroorzaken volgens experimenten. De Wet van Faraday wordt
˛
waar Φ B = AB
~E · d~l = − dΦ B
dt
37
38
jan dezider kees koomen-majernik
De Wet van Ampère met Maxwell zijn correctie
Maxwell focuste op het feit dan een verandering in magnetische
flux een elektrisch veld creëert. Maak is het andersom ook waar?
Kan een verandering in een elektrisch veld een magnetisch veld
opwekken? Maxwell heeft uitgevonden dat dit mogelijk is. Maar
voordat we naar Maxwell zijn correctie op de Wet van Ampère gaan
kijken, herhalen we de Wet van Gauss op een oneindig grootte plaat
met een ladingsdichtheid σ. We stellen ons een vierkant volume voor
die een deel van de plaat omsluit zoals te zien is in afbeelding 10.
We passen de Wet van Gauss toe op het het denkbeeldige oppervlak waar Q de lading is van de plaat
‹
~ = Q
~E · d A
e0
Figuur 10:
Het elektrische veld is omhoog gericht aan de boven kant van de
plaat en naar beneden gericht op de onderkant van de plaat, dus
kunnen we zeggen
Ebeneden A + Eboven A =
σA
e0
dus E is dan
E=
σ
2e0
Deze zullen we later nodig hebben voor de afleiding. Om de laatste
vergelijking van Maxwell af te leiden maken we gebruik van een
condensator zoals te zien is in afbeelding 11. Een condensator is een
elektrische component die een lading kan opslaan. De stroom I gaat
naar één van de platen die het circuit onderbreekt. Omdat de stroom
niet verder kan lopen zal de lading op de platen steeds groter
worden. Het elektrische veld wordt dus dan ook steeds groter op de
¸
~ = µ0 I dat er
plaat. We weten dat volgens de Wet van Ampère ~B · dl
rond de draad een magnetische veld gecreëerd wordt maar Maxwell
vroeg zich af wordt er ook een magnetisch veld opgewekt tussen de
platen waar geen draad is? Kan een verandering in het elektrische
veld een magnetisch veld opwekken?
Op elke plaat in de condensator kan je de elektrische veldsterkte
berekenen. Dat is de formule die we zojuist opgesteld hebben.
E=
σ
2e0
Doordat de ene plaat positief geladen is en de andere negatief versterken ze elkaar dus wordt het elektrische veld twee maal zo sterk
dus
Figuur 11:
Figuur 10 & 11. DoctorPhys. (2011,
augustus 31). D4. The Displacement
Current [Video file]. Geraadpleegd op
http://www.youtube.com/watch?v=q0oejYOPQ0
inleiding tot de kwantummechanica
E=
σ
e0
waar σ de ladingdichtheid is die geschreven kan worden als σ =
Het elektrische veld veranderd in de condensator dus
dΦ E
d ( EA)
d σ
d σ
d Q
I
=
=
A =
A =
=
dt
dt
dt e0
dt e0
dt e0
e0
Laten we zeggen dat de ook een magnetische veld heerst buiten
¸
~ = µ0 I.
de platen, dan geld de Wet van Ampère hier ook ~B · dl
In deze vergelijking staat er aan het rechte lid de term µ0 I maar
dΦ E
I
I
E
wij hebben dΦ
dt = e0 verkregen. We kunnen dt = e0 met µ0 e0
vermenigvuldigen om toch µ0 I te verkrijgen
µ 0 e0
dΦ E
I
= µ 0 e0 = µ 0 I
dt
e0
Dit moeten we toevoegen aan de Wet van Ampère wat geeft
˛
~ = µ0 I + µ0 e0 dΦ E
~B · dl
dt
Q
A.
39
40
jan dezider kees koomen-majernik
De vier vergelijkingen van Maxwell, de Lorentzkracht en de Wet van Ohm
‹
~ = Q
~E · d A
e0
ρ
∇ · ~E =
e0
~ =0
~B · d A
∇ · ~B = 0
~ = µ0 I + µ0 e0 dΦ E
~B · dl
dt
∂~E
∇ × ~B = µ0~J + µ0 e0
∂t
‹
˛
˛
∂~B
∇ × ~E = −
∂t
~E · d~l = − dΦ B
dt
~F = q ~E + ~v × ~B
V=I
L
σA
Kwantummechanica
Introductie
n tegenstelling tot de Newtoniaanse mechanica, Maxwell zijn theorie over elektrodynamica of Einstein zijn theorie over relativiteit
is de kwantummechanica niet door één persoon ontdekt, sterker nog
het herinnert men eraan aan de traumatische jeugd die de kwantummechanica onderging. Elke wetenschapper kan kwantummechanica
"doen", maar waarom de deeltjes zo gedragen die met behulp van de
vergelijkingen in de kwantummechanica beschreven worden begrijpt
niemand goed. Een bekende pionier op het gebied van kwantummechanica was Richard Feynman die zei: "I think I can safely say that
nobody understands quantum mechanics."
De kwantumtheorie benaderd de werkelijkheid op een hele andere
manier dan dat de klassieke mechanica. De klassieke mechanica gaat
er vanuit dat er een waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid is en
dat natuurkundige grootheden continue variabelen zijn die in elke
gewenste combinatie gemeten kunnen worden. In de kwantumtheorie zijn de grootheden gekwantificeerd (ze variëren in stapjes) en is
er geen waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid. De keuzen die de
waarnemer maakt bij het opstellen van zijn experiment bepaald in
grote mate de uitkomst van het experiment, iets wat in de klassieke
mechanica niet aan de orde is. Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden (bijvoorbeeld plaats en impuls) heeft volgens de onzekerheidsrelatie van
Heisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootst
mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en onbepaalbaar. Vanwege deze onzekerheid
die er heerst op kwantumniveau doet de kwantumtheorie slechte
statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen.
I
42
jan dezider kees koomen-majernik
De Schrödingervergelijking in 1-D
De Schrödingervergelijking
Als we een deeltje met een massa m, die beperkt wordt om alleen in
de x-richting te bewegen, onderworpen is aan een kracht F ( x, t) kunnen we (met behulp van de juiste initiële waarden) x (t) berekenen
met behulp van de Wetten van Newton.
De kwantummechanica benaderd dit probleem op een hele andere
manier. Men is op zoek naar een golffunctie Ψ( x, t) van het deeltje
die gevonden kan worden door het oplossen van de Schrödingervergelijking
ih̄
∂Ψ( x, t)
h̄2 ∂2 Ψ( x, t)
+ V ( x, t)Ψ( x, t)
=−
∂t
2m ∂x2
(23)
waar h̄ de Dirac constante is. Wat is nou die golffunctie? Immers is
een deeltje is altijd gelokaliseerd op een specifiek punt terwijl de
golffunctie verspreid is in de ruimte. Hoe kan een deeltje beschreven
worden als een golffunctie? Het antwoord op deze vraag wordt
gegeven door de waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born die stelt
dat |Ψ( x, t)|2 je de kans geeft om een deeltje te vinden op plaats x op
tijd t, beter gezegd
(
|Ψ( x, t)|2 dx =
kans om het deeltje te vinden
tussen xen ( x + dx ), op tijd t.
)
(24)
inleiding tot de kwantummechanica
Normalisatie
Laten we gaan kijken naar vergelijking 24 die stelt dat de kansdichtheid voor het vinden van een deeltje op plaats x op tijd t het kwadraat is van de golffunctie. Men weet niet waar het deeltje bevindt,
maar we weten wel dat het deeltje ergens zich in de ruimte moet
bevinden. Dit kunnen we als volgt in een vergelijking opschrijven
ˆ+∞
|Ψ( x, t)|2 dx = 1
(25)
−∞
Zonder deze regel zou de statistische interpretatie onzin zijn. Deze
eis zou je moeten storen, omdat immers de golffunctie wordt bepaald
door de Schrödingervergelijking. Als we naar vergelijking 23 kijken
zien we dat Ψ( x, t) en AΨ( x, t) oplossingen zijn waarbij A een
(complexe) constante is. We moeten dus een waarde voor A vinden
die voldoet aan vergelijking 25. Dit proces wordt normalisatie van de
golffunctie genoemd. Voor sommige oplossingen van de
Schrödingervergelijking is de integraal oneindig, in dit geval zal geen
enkele constante "1" als uitkomst maken. Het zelfde geldt voor
Ψ = 0. Deze oplossingen kunnen niet genormaliseerd worden en dus
kunnen ze geen fysische deeltjes beschrijven.
Maar wacht eens even! Stel dat we de golffunctie genormaliseerd
hebben voor tijd t = 0. Hoe weet men dat de golffunctie genormaliseerd blijft als de tijd verstrekt en Ψ evolueert? Men kan de golffunctie niet blijven normaliseren want dan wordt A en functie van t en
dan heb je niet langer meer een oplossing voor de Schrödingervergelijking. Gelukkig bezit de Schrödingervergelijking de eigenschap
dat het deels automatisch de golffunctie normaliseert. Zonder deze
cruciale functie zou de Schrödingervergelijking incompatibel zijn
met de statistische interpretatie en zou de hele theorie ineenstorten.
Dus laten we hier pauzeren en een bewijs leveren voor dit belangrijke
punt.
43
44
jan dezider kees koomen-majernik
d
dt
ˆ+∞
ˆ+∞
∂
2
|Ψ( x, t)|2 dx
|Ψ( x, t)| dx =
∂t
−∞
(26)
−∞
∂
De ∂t
|Ψ( x, t)|2 term kunnen we uitschrijven door middel van de
productregel.
∂
∂
∂Ψ ∂Ψ∗
+
Ψ
(Ψ∗ Ψ) = Ψ∗
| Ψ |2 =
∂t
∂t
∂t
∂t
De Schrödingervergelijking leert ons dat
∂Ψ
i
ih̄ ∂2 Ψ
− VΨ
=
∂t
2m ∂x2
h̄
en de complexe geconjugeerde van de Schrödingervergelijking is dan
ih̄ ∂2 Ψ∗
i
∂Ψ∗
=
− VΨ∗
∂t
2m ∂x2
h̄
dus
∂
ih̄
| Ψ |2 =
∂t
2m
∂2 Ψ ∗
−
Ψ
Ψ
∂x2
∂x2
∗∂
2Ψ
∂ ih̄
∂Ψ∗
∗ ∂Ψ
=
Ψ
+
Ψ
∂x 2m
∂x
∂x
De integraal van vergelijking (26) kan nu uitgewerkt worden. Dit
geeft ons
d
dt
+∞
ˆ+∞
∂Ψ ∂Ψ∗
ih̄
Ψ∗
+
Ψ |Ψ( x, t)|2 dx =
2m
∂t
∂t
−∞
−∞
Maar Ψ( x, t) moet de nul gaan naderen als x naar (±) oneindig gaat,
want anders is de golffunctie niet normaliseerbaar en representeren
ze geen deeltjes. Hieruit volgt dat
d
dt
ˆ+∞
|Ψ( x, t)|2 dx = 0
−∞
en dus is de integraal een constante (tijdonafhankelijke). Als Ψ genormaliseerd is op t = 0, dan zal Ψ voor altijd genormaliseerd blijven.
QED
inleiding tot de kwantummechanica
45
De tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking
In de vorige paragraaf hebben we een aantal eigenschappen van de
Schrödingervergelijking uitgelegd en bewezen. Laten we nu gaan
kijken naar misschien de belangrijkste vraag "hoe lossen we de Schrödingervergelijking op?" We nemen aan dat de potentiële energie V
onafhankelijk is van t. In dit geval kunnen we de Schrödingervergelijking oplossen door middel van scheiden van variabelen (de eerste
aanval die men doet voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen). We zoeken oplossingen die simpele producten zijn,
Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t)
(27)
waarbij ψ alleen een functie is van x en f alleen van t. Op het eerste
gezicht lijkt dit heel absurd, want de meeste oplossingen zullen misschien niet in de vorm van twee simpele en variabel onafhankelijke
producten voorkomen, maar we zullen later zien dat de oplossingen
die we krijgen door middel van deze aanname hele speciale oplossingen zijn.
Als eerst substitueren we (27) in de Schrödingervergelijking, dit
geeft
ih̄
∂ψ( x ) f (t)
h̄2 ∂2 ψ( x ) f (t)
=−
+ V ( x )ψ( x ) f (t)
∂t
2m
∂x2
Uitwerken van de afgeleiden geeft
∂Ψ
df
=ψ ,
∂t
dt
∂2 Ψ
d2 ψ
= 2f
2
∂ x
dx
de Schrödingervergelijking wordt dan
ih̄ψ
df
h̄2 d2 ψ
f + Vψ f
=−
dt
2m dx2
Nu deelt men beide leden door ψ f zodat het linkerlid alleen afhankelijk is van f (t) en het rechterlid alleen van ψ( x )
ih̄
1 df
h̄2 1 d2 ψ
=−
+ V (x)
f dt
2m ψ dx2
(28)
Het linkerlid is nu alleen een functie van t en het rechterlid is alleen
een functie van x.3 De enige manier dat vergelijking (28) waar kan
zijn is als beide leden in feite een constante zijn. Wij noemen deze
constante E. We zullen later zien waarom we deze constante E noemen.
ih̄
1 df
=E
f dt
Merk op dat dit niet het geval is als V
een functie van x en t zou zijn.
3
46
jan dezider kees koomen-majernik
iE
df
=− f
dt
h̄
(29)
en
−
h̄2 1 d2 ψ
+ V (x) = E
2m ψ dx2
−
h̄2 d2 ψ
+ V ( x )ψ = Eψ
2m dx2
(30)
Door de aanname te maken dat de oplossing voor de Schrödingervergelijking een product moet zijn van onafhankelijke variabelen
namelijk Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t), hebben we een partiële differentiaalvergelijking omgezet in twee gewone differentiaalvergelijkingen
(vergelijking 29 en 30). Differentiaalvergelijking 29 is makkelijk om
iEt
op te lossen. De algemene oplossing is Ce− h̄ , maar we kunnen de
constante C ook samenvoegen met de integratieconstante die zal opduiken bij het oplossen van vergelijking 30, omdat de uiteindelijke
oplossing toch een product is van ψ en f , dus
f (t) = e−
iEt
h̄
Vergelijking 30 wordt ook de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking genoemd. We kunnen niet verder gaan met oplossen totdat V
gespecificeerd is.
Nu we de Schrödingervergelijking omgezet hebben in een tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking vragen we ons af waarom deze
aanname zo speciaal is, want de meeste oplossingen voor de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking zullen niet in deze vorm ψ( x ) f (t).
inleiding tot de kwantummechanica
De oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking
De algemene oplossing voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking is een oneindige combinatie van oplossingen (ψ1 ( x ), ψ2 ( x ), ψ3 ( x ) . . .)
elk met een met een daarbij behorende scheidingsconstante ( E1 , E2 , E3,... )
Ψ1 ( x, t) = ψ1 ( x )e−
iE1 t
h̄
,
Ψ2 ( x, t) = ψ2 e−
iE2 t
h̄
Dus elke combinatie van een oplossing (in vorm van een som) is dus
ook een oplossing. Dit kunnen we in een wat meer algemene vorm
opschrijven.
Ψ( x, t) =
∞
∑ cn ψn (x)e−
iEn t
h̄
n =1
De bovenstaande formule lijkt veel op de exponentiële vorm van de
Fourier series. Met behulp van de Fourier series kan men elke continue functie construeren. Dus elke oplossing voor de (tijdafhankelijke)
Schrödingervergelijking kan in de bovenstaande vorm geschreven
worden. Dat betekend dat het scheidden van de Schrödingervergelijking met de aanname Ψ( x, t) = ψ( x ) f (t) alle oplossingen geeft. Als
je de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking hebt opgelost ben je
bijna klaar. Het oplossen van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is simpel, alleen moet je En vinden.
47
48
jan dezider kees koomen-majernik
De Schrödingervergelijking in 3-D
De Schrödingervergelijking in het Cartesisch coördinatenstelsel
In de vorige paragraaf hebben we de Schrödingervergelijking in
één dimensie beschreven en opgesplitst in twee gewone onafhankelijke differentiaal vergelijkingen, waarbij de potentiële energie alleen
afhangt van de plaats. In deze paragraaf gaan we kijken naar de
Schrödingervergelijking in drie dimensies. Het herschrijven van de
Schrödingervergelijking in meerdere dimensies is vrij voor de hand
liggend. De Schrödingervergelijking in het algemeen is
ih̄
∂Ψ
= ĤΨ
∂t
waar de Hamiltoniaan Ĥ verkregen wordt door substitutie van operators in de klassieke vergelijking voor kinetische energie
1 2
1 2
p x + p2y + p2z + V
mv + V =
2
2m
waar het impuls p in x, y en z coördinaten in de kwantummechanica
gefineerd wordt als
p̂ x →
h̄ ∂
,
i ∂x
p̂y →
h̄ ∂
,
i ∂y
p̂z →
h̄ ∂
i ∂z
oftewel
h̄
∇
i
Dus de Schrödingervergelijking in drie dimensies is dan
~p →
ih̄
∂Ψ
h̄2 2
=−
∇ Ψ + VΨ
∂t
2m
waar
∇2 ≡
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
gedefinieerd wordt als de Laplaciaan in het Cartesisch coördinatenstelsel.
inleiding tot de kwantummechanica
De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten
Vaak is de formule voor de potentiële energie V alleen een functie
van de afstand tot de oorsprong, dan het het vanzelfsprekend om
bolcoördinaten (r, θ, φ) te gebruiken. In bolcoördinaten neemt de
Laplaciaan de volgende vorm aan
1 ∂
∇ = 2
r dr
2
∂
r
∂r
2
1
∂
+ 2
r sin θ ∂θ
∂
sin θ
∂θ
1
+ 2 2
r sin θ
∂2
∂φ2
In bolcoördinaten wordt de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking
2 h̄2 1 ∂
∂
∂ ψ
1
∂ψ
1
2 ∂ψ
+ Vψ = Eψ
r
+
sin
θ
+
2m r2 dr
∂r
∂θ
r2 sin θ ∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
(31)
We gaan nu weer kijken naar oplossingen in vorm van simpele producten
−
ψ(r, θ, φ) = R(r )Y (θ, φ)
Wanneer we dit substitueren in vergelijking 31 en de afgeleiden nemen krijgen we
2 h̄2 Y d
R
∂
∂Y
R
∂ Y
2 dR
−
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
+ V RY = E RY
2m r2 dr
dr
∂θ
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ2
Daarna delen we beide leden door R Y en vermenigvuldigen we
2
beide leden met −2mr
om de variabelen te kunnen scheidden.
2
h̄
1 d
R dr
r
2 dR
dr
−
2mr2
h̄2
1
[V (r ) − E ] +
Y
1 ∂
sin θ ∂θ
∂Y
sin θ
∂θ
1
+
sin2 θ
De eerste term in de accolades is alleen een functie van r, terwijl
de tweede term alleen een functie is van θ en φ. Dus, zoals eerder
uitgelegd, elke term is gelijk gelijk aan een constante. Deze scheidingsconstante noemen we l (l + 1). We krijgen dus twee aparte
differentiaalvergelijkingen
1 d
R dr
1
Y
1 ∂
sin θ ∂θ
r2
dR
dr
−
∂Y
sin θ
∂θ
2mr2
h̄2
[V (r ) − E ] = l ( l + 1)
1
+
sin2 θ
∂2 Y
∂φ2
(32)
= − l ( l + 1)
(33)
Vergelijking 32 kunnen we niet verder vereenvoudigen of oplossen
totdat V (r ) bepaald is. In vergelijking 33 hangt Y af van θ en φ. Deze
∂2 Y
∂φ2
=0
49
50
jan dezider kees koomen-majernik
vergelijking kunnen we, net als de vorige vergelijkingen, opsplitsen
in twee gewone differentiaalvergelijkingen. We vermenigvuldigen
vergelijking 33 eerst met Y sin2 θ, dit geeft
2 ∂
∂Y
∂ Y
= −l (l + 1) sin2 θY
(34)
sin θ
sin θ
+
∂θ
∂θ
∂φ2
Daarna gaan we de partiële differentiaalvergelijking proberen op te
lossen door scheiden van variabelen:
Y (θ, φ) = Θ(θ )Φ(φ)
We voeren dit, in vergelijking (34) en nemen de afgeleiden en delen
door Θ Φ geeft geeft ons
1
d
dΘ
1 d2 Φ
sin θ
sin θ
+ l (l + 1) sin2 θ +
=0
Θ
dθ
dθ
Φ dφ2
De eerste term is alleen een functie van θ en de tweede term is alleen
een functie van φ, dus de termen verschillen van elkaar een constante
die we m2 noemen
1
d
dΘ
sin θ
sin θ
+ l (l + 1) sin2 θ = m2
Θ
dθ
dθ
(35)
1 d2 Φ
= − m2
Φ dφ2
(36)
De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de azimutale vergelijking
Vergelijking 36 is vrij eenvoudig om op te lossen en heeft als oplossing:
1 d2 Φ
= −m2 ⇒ Φ(φ) = eimφ
Φ dφ2
Als nu φ zich verplaatst met 2π dan komen we precies op het zelfde
punt in de ruimte terecht waar we starten, dus
Φ(φ + 2π ) = Φ(φ)
dus
eim(φ+2π ) = eimφ
dus
e2πim = 1
Hieruit volgt dat m een geheel getal moet zijn.
m = 0, ±1, ±2, . . .
inleiding tot de kwantummechanica
De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de geassocieerde Legendre
vergelijking
Om de poolcoördinatenvergelijking (35) op te lossen moet deze herleidt worden tot de geassocieerde Legendrevergelijking. De poolcoördinatenvergelijking die we gaan oplossen is
1
d
dΘ
sin θ
sin θ
+ l (l + 1) sin2 θ = m2
Θ
dθ
dθ
herleiden geeft
1 d
sin θ dθ
sin θ
dΘ
dθ
m2
+ l ( l + 1) −
Θ=0
sin2 θ
(37)
Daarna gebruiken we de substitutie P (cos θ ) = Θ(θ ) en x = cos θ. De
afgeleiden worden dan
d
dx
d
=
= − sin θ
dθ
dθ
dx
Wanneer we dit substitueren in vergelijking 37 geeft dit
d
1
(− sin θ )
sin θ
dθ
d
dx
sin θ (− sin θ )
dP
sin θ
dx
2
dP
dx
m2
+ l ( l + 1) −
P=0
sin2 θ
m2
+ l ( l + 1) −
sin2 θ
P=0
Omdat
sin2 θ + cos2 θ = 1
kunnen we de volgende substitutie maken
sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − x2
wat geeft
d
dx
1 − x2
dP m2
+ l ( l + 1) −
P=0
dx
1 − x2
Als we de afgeleide in de eerste term uitwerken met behulp van de
productregel krijg je
d2 P
dP
m2
1−x
− 2x
+ l ( l + 1) −
P=0
dx
dx2
1 − x2
2
Nu hebben we de poolcoördinaten vergelijking van de Schrödingervergelijking omgezet in de geassocieerde Legendrevergelijking
waarvan de oplossing in de wiskundige literatuur te vinden is. De
oplossing voor de geassocieerde Legendrevergelijking is
51
52
jan dezider kees koomen-majernik
Plm ( x )
|m| d m 1 d l l
2
2
= 1−x
x
−
1
dx
dx
2l l!
2
Nu we de oplossingen voor de geassocieerde Legendrevergelijking
en de azimutale vergelijking hebben gevonden moeten we de normalisatiefactor vinden. Deze normalisatiefactor voor de geassocieerde
Legendrevergelijking en de azimutale vergelijking samen is
s
2n + 1 (n − m)!
4π (n + m)!
dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking 34 is
s
Ynm (θ, φ)
=
2n + 1 (n − m)! imφ m
e Pl (cos θ )
4π (n + m)!
(38)
inleiding tot de kwantummechanica
Het waterstof atoom
De geassocieerde Laguerre vergelijking
Het waterstof atoom bestaat uit een zware bewegenloze kern (die we
in de oorsprong plaatsen) met een lading e waar omheen een elektron
beweegt met dezelfde lading e. Tussen het elektron en het proton
heerst er een elektrisch veld vanwege de lading van het proton en
elektron. Deze kracht wordt beschreven door de Wet van Coulomb.
Door de Wet van Coulomb te vermenigvuldigen met r krijgen we een
formule voor de potentiële energie die we in de Schrödingervergelijking kunnen invullen.
V (r ) = −
e2 1
4πe0 r
Vergelijking (32) leert ons dat
1 d
R dr
r2
dR
dr
2mr2
[V (r ) − E ] = l ( l + 1)
h̄2
waar V (r ) de potentiële is. Door de bovenstaande vergelijking te
herleiden en voor V (r ) de potentiële energie te substitueren krijgt
men
−
"
#
h̄2 d2 u
e2 1
h̄2 l (l + 1)
−
+ −
u = Eu
+
2m dr2
4πe0 r
2m
r2
(39)
We moeten nu u(r ) vinden en bepalen wat de toegestane waarden
voor E zijn. Als eerste gaan we de constanten samenvoegen en maken hier één constante van om de vergelijking overzichtelijk te houden.
√
−2mE
h̄
Als we vergelijking (39) delen door E krijgen we
"
#
1 d2 u
me2
1
l ( l + 1)
= 1−
+
u
k2 dr2
2πe0 h̄2 k (kr )
(kr )2
k≡
(40)
(41)
Deze vergelijking kunnen we nog korter opschrijven door de volgende substitutie
p ≡ kr, en p0 ≡
me2
2πe0 h̄2 k
(42)
Dus vergelijking (41) wordt dan
d2 u
p0
l ( l + 1)
= 1−
+
u
p
dp2
p2
(43)
53
54
jan dezider kees koomen-majernik
Laten we nu het asymptotische vorm van de oplossingen bekijken.
Als p → ∞ zal de term in de haakjes domineren en ongeveer gelijk
zijn aan 1. Dus de vergelijking wordt dan
d2 u
=u
dp2
met als algemene oplossing
u( p) = Ae− p + Be p
maar e p zal oneindig groot worden als ρ → ∞ dus B = 0, want
anders is dit in strijdt met de statistische interpretatie van de golffunctie. De oplossing voor grote waarden van p is
u( p) ∼ Ae− p
Aan de andere hand, als p → 0 zal de centrifugale term domineren.
De vergelijking wordt dan
d2 u
l ( l + 1)
=
u
dρ2
p2
de algemene oplossing is
u( p) = Cpl +1 + Dp−1
maar de oplossing p−1 zal het oneindige naderen als p → 0 dus is
D = 0. De oplossing voor kleine waarden van p is
u( p) ∼ Cpl +1
Men hoopt dat de oplossing voor vergelijking (41) in de volgende
vorm is, waar v( p) een onbekende functie is die Cpl +1 en Ae− p aan
elkaar vast "lijmt".
u ( p ) = p l +1 e − p v ( p )
Nu moeten we v( p) vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijking op te stellen en oplossen voor v( p). We beginnen als eerste
met het nemen van de eerste en tweede afgeleiden van u( p)
dv
du
l −p
=pe
(l + 1 − p) v + p
dp
dp
d2 u
= pl e− p
dp2
l ( l + 1)
−2l − 2 + p +
p
dv
d2 v
v + 2 (l + 1 − p)
+p 2
dp
dp
Nu kunnen we vergelijking (43) gelijkstellen aan de bovenstaande
vergelijking. Na wat algebraïsche tussenstappen vindt men dat
inleiding tot de kwantummechanica
p
d2 v
dv
+ ( p0 − 2 (l + 1)) v = 0
+ 2 (l + 1 − p)
2
dp
dp
(44)
We nemen aan dat de oplossing voor v( p) uitgedrukt kan worden in
een (oneindige) machtreeks. Deze methode wordt ook
∞
v( p) =
∑ aj pj
j =0
Het doel is nu om de onbekende coëfficiënten ( a0 , a1 , a2 , . . .) te bepalen. Wanneer we de eerste afgeleidde nemen krijgen we
dv
=
dp
∞
∞
j =0
j =0
∑ ja j p j−1 = ∑ ( j + 1) a j+1 p j
Nogmaals differentiëren geeft
d2 v
=
dp2
∞
∑ j ( j + 1 ) a j +1 p j −1
j =0
Het is de bedoeling dat we een recursief voorschrift krijgen voor het
bepalen van de coëfficiënt a j . Als eerste substitueren we de afgeleidden in, in vergelijking (41), dit geeft
∞
∞
∞
∞
j =0
j =0
j =0
j =0
∑ j ( j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) ∑ ( j + 1) a j+1 p j − 2 ∑ ja j p j + ( p0 − 2 (l + 1)) ∑ a j p j = 0
We kunnen nu de vergelijking onderbrengen onder één sommatie en
de p j eruit factoriseren
∞
∑
j ( j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) ( j + 1) a j+1 p j − 2 ja j p j + ( p0 − 2 (l + 1)) a j p j
=0
j =0
Maar p j waarbij j = 0, 1, 2, 3, . . . zal nooit nul worden, dus
j ( j + 1) a j+1 + 2 (l + 1) ( j + 1) a j+1 − 2ja j + ( p0 − 2 (l + 1)) a j = 0
wanneer we a j+1 vrijmaken, krijgt men
a j +1 =
2 ( j + l + 1) − p0
( j + 1) ( j + 2l + 2)
aj
Dit recursief voorschrift geeft ons alle coëfficiënten en dus de functie
v( p). Men start met de coëfficiënt a0 = A die bepaalde wordt door
normalisatie.
Maar we moeten nu controleren of de gevonden oplossing v( p)
niet "opblaast" als j → ∞.
55
56
jan dezider kees koomen-majernik
lim
j→∞
2 ( j + l + 1) − p0
( j + 1) ( j + 2l + 2)
aj ≈
2j
A
j!
dus
∞
2j j
p = Ae2p
j!
j =0
v( p) = A ∑
en dus is u( p)
u( p) = Apl +1 e p
Maar u( p) zal het oneindige naderen als j → ∞ en dit is in strijd
met de statistische interpretatie van de golffunctie, omdat ze niet
normalizeerbaar zijn. Er is maar één oplossing voor dit dilemma en
dat is de series aflopen moeten zijn zodat
a jmax +1 = 0
dat betekend dat
2 ( jmax + l + 1) − p0 = 0
We definiëren
n ≡ jmax + l + 1
(waarbij n het hoofdkwantumgetal genoemd wordt) dus
p0 = 2n
(45)
Maar p0 bepaald de energie (vergelijking (40) en (42)), dus
E=−
h̄2 k2
me2
=−
2m
8π 2 e02 h̄2 p20
Dat betekend dat de toegestane energieniveaus in het waterstof
atoom berekend kunnen worden door
"
En = −
m
2h̄
2
e2
4πe0
2 #
1
E
= 21 ,
2
n
n
n = 1, 2, 3, . . .
Dit is de bekende formule van Bohr die deze formule gevonden
heeft door klassieke mechanica te combineren met de toen jonge
kwantummechanica. Met behulp van vergelijking (42) en (45) krijgen
we
k=
me2
4πe0 h̄
2
1
1
=
n
an
inleiding tot de kwantummechanica
waar
me2
−1
= 0.529 × 10−10 m
4πe0 h̄2
de Bohr radius genoemd wordt. Uit vorige vergelijking en vergelijking (42) volgt dat
a≡
r
an
Blijkbaar wordt de golffunctie voor het waterstofatoom bepaald door
drie kwantumnummers (n, m en l)
p=
ψnlm (r, θ, φ) = Rnl (r )Ylm (θ, φ)
waar
1 l +1 − p
p e v( p)
r
waar v( p) een polynoom is waar de coëfficiënten bepaald worden
door
Rnl (r ) =
2 ( j + l + 1 − n)
a
( j + 1) ( j + 2l + 2) j
De polynoom v( p) waar de coëfficiënten bepaald worden door de
formule hierboven komt veel voor in de toegepaste wiskunde. Die
ook als volgt geschreven wordt
a j +1 =
+1
v( p) = L2l
n−l −1 (2p )
waar
p
Lq− p ( x ) ≡ (−1) p
d
dx
p
Lq ( x )
waar
Lq ( x ) ≡ e
x
d
dx
q
e− x x q
p
De polynomen die uit Lq− p ( x ) worden de geassocieerde Laguerre
polynomen genoemd.
De algemene formule voor de normalisatiefactor voor de geassocieerde Laguerre vergelijking is
s
( n − l − 1) ! 2 3
N=
2n(n + 1)! na
Dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking (39) is
s
Rnl (r ) =
( n − l − 1) !
2n(n + 1)!
2
na
3
e
2
− na
2r
na
l
+1
L2l
n − l −1
2r
na
57
58
jan dezider kees koomen-majernik
De golffunctie voor de grondtoestand
De golffunctie voor ψ100 , dus de eerste schil van het waterstof atoom
is
Ψ100 (r, θ, φ) = R10 (r )Y00 (θ, φ)
Het recursief voorschrift voor v( p) wordt al afgekapt bij de eerste
term en geeft ons alleen de constante a0 .
a0 − r
e a
a
Nu moeten we alleen nog R10 (r ) normaliseren om a0 te vinden
R10 (r ) =
ˆ∞
| R10 |2 r2 dr =
| a0 |2
a
0
dus a0 =
√2
a
ˆ∞
e
−r 2
a r dr
= | a0 |2
0
terwijl Y00 =
√1 ,
4π
dus
Ψ100 (r, θ, φ) = √
1
4πa3
r
e− a
a
=1
4
inleiding tot de kwantummechanica
De golffunctie van het waterstofatoom
We hebben in het begin de aanname gemaakt dat de oplossing Ψ
voor het waterstofatoom in vorm van een product zal voorkomen
Ψ(r, θ, φ) = N R(r )Y (θ, φ)
waar N de normalisatiefactor is. Verder hebben we ook ontdekt dat
bij het oplossen van de drie vergelijkingen (R(r ), Θ(θ ) en Φ(φ)) ook
drie speciale gehele getallen n, l en m voorkomen. Als we alle oplossingen R(r ), Θ(θ ), Φ(φ) en de normalisatiefactor N aan elkaar vast
plakken krijgen we de algemene oplossing voor het waterstofatoom.
s
Ψnlm (r, θ, φ) =
( n − l − 1) !
2n(n + 1)!
2
na
3
e
r
− na
2r
na
l
+1
L2l
n − l −1
2r
na
s
2n + 1 (n − m)! imφ m
e Pl (cos θ )
4π (n + m)!
(46)
59
Deel II
Simulatie
Het waterstofatoom
Inleiding
n het eerste deel van dit werkstuk hebben we veel theorie behandeld van klassieke mechanica tot kwantummechanica. Ook hebben we de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom opgelost
waarbij we speciale effecten zoals relativistische effecten hebben
verwaarloost. Het waterstofatoom is het enige atoom waarbij de
Schrödingervergelijking in zijn meest "eenvoudigste" vorm exact opgelost kan worden. Dit maakt op zich niet heel veel uit, omdat de
golffunctie van hogere elementen bijna het zelfde zijn als die van een
geëxciteerd waterstofatoom.
Het doel is om met behulp van Wolfram Mathematica 8® een dichtheidsplot te maken van de kansdichtheid. Met MathWorks MATLAB® zullen we een drie dimensionaal beeld te creëren van de golffunctie van het waterstofatoom en deze te analyseren. Dit vereist
kennis over de syntaxis van Wolfram Mathematica 8® en MathWorks
MATLAB®.
I
Implementatie
In het vorige deel hebben we de algemene oplossing voor het waterstofatoom afgeleidt. Het handigste zou zijn als we een functie
kunnen vinden voor Mathematica waarbij we alleen de waarden voor
n, l en m hoeven in te voeren en dat Mathematica de juiste bijbehorende golffunctie geeft. Op het internet is de volgende functie voor
het waterstofatoom te vinden voor Mathematica,
1 Hydrogen [ n_ , l _ , m_] : =
2 Sqrt [ 2 ^ 3 / ( n * a ) ^3]
3 Sqrt [ ( n − l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] *
4 Exp[− r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l *
5 LaguerreL [ n − l − 1 , 2 * l + 1 , ( 2 * r ) /(n * a ) ] *
6 SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ]
7 // F u l l S i m p l i f y
64
jan dezider kees koomen-majernik
4 Deze
voeren we in Mathematica en drukken op enter op om de
functie in het geheugen op te slaan. Regel 6 stelt vergelijking 38 voor
en regel 7 zorgt ervoor dat de oplossing zo veel mogelijk herleidt
wordt. De rest spreekt voor zich.
4
jjjj
Met behulp van deze code hoeven we alleen de waarden voor n, l en
m in te voeren en Mathematica zal ons de juiste oplossing voor de
desbetreffende waarden geven. Als we voor Ψnlm = Ψ321 de
golffunctie willen weten hoeven we alleen het volgende in
Mathematica in te voeren
Hydrogen [ 3 , 2 , 1 ]
De a moet nu nog gedefinieerd worden, dit is de Bohr radius in
ångström die we als volgt invoeren in Mathematica.
a = 0.529
Wanneer we verschillende waarden voor n, l en m invoeren krijgen we de golffunctie Ψnlm voor de desbetreffende waarden, maar
deze oplossing geeft nog niet de kansdichtheid van het elektron.
Om de kansdichtheid te krijgen uit de golffunctie Ψnlm moeten we
statistische interpretatie van Born toepassen op de golffunctie.5 De
golffunctie die Mathematica ons levert moet gekwadrateerd worden
en vermenigvuldigd worden met 4πr2 . Nadat we de oplossing Ψnlm
vermenigvuldigd hebben met 4πr2 moeten we een coördinatentransformatie toepassen. De algemene oplossing voor de golffunctie is
in bolcoördinaten terwijl het handiger is met het driedimensionale
Cartesisch coördinatenstelsel in Mathematica te werken. Wanneer
we l en m nul laten dus Ψnlm = Ψn00 is de golffunctie alleen een
functie van r. Maar als we l niet nul laten, dus Ψnlm = Ψnm0 , wordt
de golffunctie een functie van r en θ. En als Ψnlm = Ψnlm dan is de
golffunctie een functie van r, θ en φ.
Stel we willen een plot hebben waar Ψnlm = Ψn00 dan hebben we
in principe voldoende aan een 2D plot waar de kansdichtheid een
functie is van de afstand r. Om een plot te maken van Ψ100 moeten
we eerst de golffunctie krijgen. Daarvoor gebruiken we de functie
Hydrogen[n, l, m]. Wanneer we een 2D plot willen maken van de
afstand tegen de kans moeten we eerst de golffunctie krijgen. Als
voorbeeld nemen we Ψ100 . Als eerste voeren we het volgende stukje
code in on de golffunctie te krijgen,
Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ]
dit geeft ons
q
Ψ100 =
1 − ar
e
a3
√
π
Vergelijking 24 is de statistische interpretatie van Born in het Cartesische
coördinatenstelsel. Vergelijking 24 voor
´
bolcoördinaten is |Ψ|2 d3~r = 1
5
inleiding tot de kwantummechanica
65
De kansdichtheid voor Ψ100 wordt dan
2r
4e− a r2
a3
Om een 2D plot te maken van deze functie gebruiken de onderstaande syntaxis. De afstand r doen we in n termen van de Bohr
radius, dus a, 2a, 3a, . . . na.
PΨ100 (r ) =
P l o t [ f , { x , x−min , x−max } ]
dus voor PΨ100 (r ) wordt deze
P l o t [ ( Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ] ) ^ 2 * 4 * Pi * r ^2 , { r , 0 ,
AxesLabel −> {Å,
4 \[ Pi ] r ^2 S u b s c r i p t [ R ,
PerformanceGoal −> " Q u a l i t y " ,
PlotRange −> Full ,
P l o t S t y l e −> { Thick , Thick }
]
5 a} ,
nl ]^2} ,
Voor golffuncties waarbij Ψnlm = Ψnm0 is de oplossing niet meer
punt- en draaisymmetrisch wat wel het geval is bij golffunctie waar
Ψnlm = Ψn00 dus moeten we gebruik maken van een 3D plot waar
de x-as de kansdichtheid voorstelt en y en z de afstand als m = 0.t6
Een oplossing van de golffunctie waarbij Ψnlm = Ψnm0 zal altijd een
functie zijn van r en cos θ (zie vergelijking 46), dus moeten we r en
cos θ uitschrijven in termen van x en y. Daarvoor gebruiken we de
volgende substitutie
De z-as omhoog, de y-as rechts en de
x-as het papier uit
6
q
x 2 + y2
z
cos θ = p
y2 + z2
r=
De syntaxis voor de 3D plot in Mathematica is
Plot3D [ f , { x , x−min , x−max } , { y , y−min , y−max } ]
De 3D plot voor bijvoorbeeld PΨ210 ( x, y) is
Plot3D [
( E^( − ( Sqrt [ x^2+y^2]/ a ) ) ( x^2+y^2)^4 ( x/Sqrt [ x^2+y ^ 2 ] ) ^ 2 ) / ( 2 8 8 a ^ 5 ) ,
{ x , −20a , 20 a } , { y , − 20, 20 a } ,
PlotRange −> All
]
De meest belangrijkste plot die we gaan gebruiken is de kansdichtheidsplot. Deze plot zal met behulp van kleuren aangeven waar de
kans het grootst zal zijn om het elektron te vinden. De syntaxis die
we gaan gebruiken voor de dichtheidsplot is
66
jan dezider kees koomen-majernik
DensityPlot [ HydrogenNxz [ n , l , 0 ] , { y , −b , b } , { z , −b , b } ,
Mesh −> False ,
Frame −> False ,
P l o t P o i n t s −> 1 0 0 ,
ColorFunctionScaling −> True ,
ColorFunction −> " S u n s e t C o l o r s " ,
PerformanceGoal −> " Q u a l i t y " ,
Axes −> True ,
Ticks −> False ,
]
De functie HydrogenNxz heb ik zelf gedefinieerd waar
HydrogenNxz[n, l, m] = (Hydrogen[n, l, m])2 4πr2
q
r = y2 + z2
y
θ = arctan
z
Als laatste gaan we een contourplot maken van alle mogelijke
golffuncties gaande van n = 1 tot n = 5 waarbij we ook l en m
variëren. Deze plot kunnen we niet maken in Mathematica, omdat
Mathematica niet geavanceerd genoeg is. In plaats daarvan gebruiken we MathWorks MATLAB® voor het plotten. Het script dat we
gaan gebruiken is
% P l o t t i n g hydrogen o r b i t a l s
close a l l ;
% Quantum numbers ==========================
n=1;
l = 0 ; % 0<= l <n
m= 0 ; % − l <= m <= l
%===========================================
p r o b a b i l i t y =1E − 5;
a = 1 ; % Bohr r a d i u s
% Normalization
N=abs ( sign (m) * s q r t ( 2 ) +( sign ( abs (m) ) − 1) * 2 ) ;
% Angular p a r t
SphericalYlm=@( l ,m, t h e t a , phi ) s q r t ( ( 2 * l +1) / ( 4 * pi ) *
f a c t o r i a l ( l −abs (m) ) / . . .
f a c t o r i a l ( l +abs (m) ) )
AssociatedLegendre
(
l
,m,
cos
(
t
h e t a ) ) . * exp ( 1 i *m*
*
phi ) ;
14 Y=@( l ,m, t h e t a , phi ) ( SphericalYlm ( l ,m, t h e t a , phi ) +
SphericalYlm ( l , −m, t h e t a , phi ) ) /N;
15 % R a d i a l p a r t
16 R=@( n , l , r ) s q r t ( ( 2 / ( a * n ) ) ^3 * f a c t o r i a l ( n−l − 1) / ( 2 * n *
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
inleiding tot de kwantummechanica
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
f a c t o r i a l ( n+ l ) ) ) . * . . .
exp(− r /( a * n ) ) . * ( 2 *
r /( a * n ) ) . ^ l * 1/ f a c t o r i a l ( n−l − 1+2* l +1) . * . . .
A s s o c i a t e d L a g u e r r e ( n−l − 1 ,2 * l + 1 , 2 * r /( a * n ) ) ;
% Wave f u n c t i o n
p s i =@( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) R ( n , l , r ) . * Y ( l ,m, t h e t a , phi )
;
% Setting the grid
border = 3 2 ;
accuracy =100;
[ x , y , z ]= ndgrid ( l i n s p a c e (− border , border , a c c u r a c y ) ,
l i n s p a c e (− border , border , a c c u r a c y ) , l i n s p a c e (−
border , border , a c c u r a c y ) ) ;
% Conversion Cartesian to s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s
r = s q r t ( x .^2+ y .^2+ z . ^ 2 ) ;
t h e t a =acos ( z . / r ) ;
phi=atan2 ( y , x ) ;
% P l o t o r b i t a l , − and + wave f u n c t i o n p h a s e
c o l o r s =sign ( p s i ( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) ) ;
i s o s u r f a c e ( p s i ( n , l ,m, r , t h e t a , phi ) . ^ 2 , p r o b a b i l i t y ,
colors ) ;
t i t l e ( [ ’ n = ’ num2str ( n ) ’ , l = ’ num2str ( l ) ’ , m =
’ num2str (m) ] , ’ FontName ’ , ’ Times ’ , ’ F o n t S i z e ’ , 1 2 )
;
s e t ( gcf , ’ c o l o r ’ , [ 1 1 1 ] ) ;
daspect ( [ 1 1 1 ] ) ;
axis off ;
view ( 3 ) ;
camlight ( ’ l e f t ’ ) ;
camzoom ( 0 . 9 5 ) ;
l i g h t i n g phong ;
axis vis3d ;
r o t a t e 3 d on ;
brighten ( 1 ) ;
We hoeven alleen de waarden voor n, l en m te wijzig in regels 4, 5 en
6 om een contourplot te krijgen. Voor grotere waarden van n zullen
we ook de waarden in regels 8 en 20 wijzigen en eventueel ook regel
21 om de rekentijd in tekorten.
67
68
jan dezider kees koomen-majernik
Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψn00
Als eerste beginnen we met de gemakkelijkste golffuncties waarbij
we n variëren en waar we l = m = 0. Als eerste gaan we de functie
Hydrogen[n, l, m] definiëren in Mathematica door in te voeren:
Hydrogen [ n_ , l _ , m_] : = Sqrt [ 2 ^ 3 / ( n * a ) ^3] Sqrt [ ( n
− l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] * Exp[− r /(n *
a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * LaguerreL [ n − l − 1 ,
2 * l + 1 , ( 2 * r ) /(n * a ) ] *
SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ] //
FullSimplify
dan moet a nog gedefinieerd worden. De eenheid van de Bohr radius
doen we in de ångström.
a = 0.529
We voeren in Mathematica het volgende in on de formules voor de
golffuncties te verkrijgen:
Hydrogen [ n , 0 , 0 ]
waar we apart voor n de waarden n = 1, 2, 3, 4, 5 invullen. Dit geeft
ons vijf golffuncties die allemaal tot de s-orbitalen horen.7
Ψnlm = Ψn00
Golffunctie Ψn00 (r )
q
n=1
π
q
n=2
r
1 e− 2a
a3
√
q
n=3
n=4
q
n=5
1 e− ar
3
a√
1
a3
r
1 e− 5a
a3
3/2
r
1 e− 3a
a3
e
r
− 4a
(2− ar )
8 2π
(27a2 −18ar+2r2 )
√
486a2 3π
(192a3 −144a2 r+24ar2 −r3 )
√
36864 π
(9375a4 −7500a3 r+1500a2 r2 −100ar3 +2r4 )
√
5625000a4 5π
Vervolgens maken we een plot van de afstand gezien vanaf het
proton tegen de kansdichtheid.
De "a" heb ik expres niet uitgewerkt,
omdat dan de formules in de tabel
hieronder onoverzichtelijk worden
7
inleiding tot de kwantummechanica
Figuur 12:
2
4 Πr2 Rnl
4 Πr2 R2nl
1.0
0.08
0.8
0.06
0.6
PY200
PY100
0.04
0.4
0.02
0.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Å
2
4 Πr2 R2nl
4
6
8
Å
2
4 Πr2 Rnl
0.005
0.00020
0.004
PY400
0.00015
0.003
PY300
0.00010
0.002
0.00005
0.001
5
10
Å
15
5
4 Πr2 R2nl
6. ´ 10-6
5. ´ 10-6
PY500
4. ´ 10-6
3. ´ 10-6
2. ´ 10-6
1. ´ 10-6
0
5
10
15
20
25
30
Å
Met deze grafieken kunnen we heel goed analyseren waar het
elektron het meeste van zijn tijd doorbrengt. In de grafiek van PΨ100
zien we dat de top van de grafiek als x-coordinaat 0.529 Å heeft. Dit
is exact de afstand die N.Bohr berekend heeft voordat de
Schrödingervergelijking opgesteld werd. Een ander interessant
fenomeen is dat bij golffuncties waarbij n > 1 er plaatsen (de dalen)
zijn waar de kans dat we het elektron kunnen vinden 0 is. Dus als
een elektron van de ene kant van het dal naar de andere wilt gaan,
ondergaat het elektron tunneling.
Naast de normale plot maken we ook een een dichtheidsplot.
10
15
20
Å
69
70
jan dezider kees koomen-majernik
Figuur 13:
inleiding tot de kwantummechanica
Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnl0
Het hoofdkwantumgetal n is de hoofdverdeling van de energieniveaus in een atoom (de (hoofd)schillen). Het impulsmoment verdeelt
de (hoofd)schillen in subschillen. Voor een hoofdkwantumgetal n
kan l de waarden 0, 1, 2, . . . n − 1 bezitten. De subschillen worden
aangegeven door een letter uit de reeks s, p, d, f , g, h, i, j, k, . . . (voor
l = 0, 1, . . . n − 1) toe te voegen aan het hoofdkwantumgetal n. Anders dan de hoofdkwantumletters, worden deze letters nog steeds
veelvuldig in natuur- en scheikunde gebruikt. De mogelijke combinaties van l die bij een bepaalde waarde van n horen die we gaan
plotten staan in de tabel hieronder
Ψnlm
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
...
s-orbitalen
Ψ100
Ψ200
Ψ300
Ψ400
Ψ500
l=0
p-orbitalen
Ψ210
Ψ310
Ψ410
Ψ510
l=1
d-orbitalen
Ψ320
Ψ420
Ψ520
l=2
f-orbitalen
Ψ430
Ψ530
l=3
g-orbitalen
Ψ540
l=4
Nu we verschillende waarden voor l invullen in onze functie Hydrogen[n, l, m] krijgen we oplossingen die een functie zijn van r en
cos θ. Voordat we een plot kunnen maken van de kansdichtheid,
moeten we eerst een coördinatentransformatie toepassen (zie vorige
paragraaf).
71
72
jan dezider kees koomen-majernik
Figuur 14:
inleiding tot de kwantummechanica
Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnlm
Het magnetische kwantumgetal ml beschrijft het magnetische impuls
in een willekeurige richting. Het magnetisch kwantumgetal kan de
waarden −l0 ≤ ml ≤ l0 aannemen. Het magnetisch kwantumgetal
ml heeft geen invloed op de energie van het elektron, maar het veranderd wel de kansdichtheid. Alle mogelijke golffunctie die we kunnen
tekenen met n = 1, 2, . . . 5 staan in de tabel hieronder
n
n
n
n
n
=1
=2
=3
=4
=5
...
l=0
l=1
l=2
l=3
l=4
...
ml = 0
0
0
0
0
...
-1, 0, 1
-1, 0, 1
-1, 0, 1
-1, 0, 1
...
-2, -1, 0, 1, 2
-2, -1, 0, 1, 2
-2, -1, 0, 1, 2
...
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
...
-4, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3, 4
...
...
...
Nu we waarden voor ml gaan invoeren betekend dat de golffunctie
Ψnlm een functie wordt van r, θ en φ. Om de orbitalen te plotten
gebruiken we MATLAB®, omdat Mathematica® minder geavanceerd
is in het plotten van 3D grafieken. We moeten alleen de waarden van
n, l en m wijzigen en het script runnen.
Voor elke energieniveau n zullen we een 3D plot maken met MATLAB.
73
jan dezider kees koomen-majernik
74
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Tabel 1:
s ( l = 0)
m=0
s
m=0
pz
p ( l = 1)
px
m = ±1
py
Tabel 2:
n=5
n=4
n=3
n=1
n=2
m=0
d z2
d xz
m = ±1
dyz
p ( l = 2)
d xy
m = ±2
d x 2 − y2
inleiding tot de kwantummechanica
75
jan dezider kees koomen-majernik
76
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Tabel 3:
m=0
f z3
f xz2
m = ±1
f yz2
f ( l = 3)
f xyz
m = ±2
f z ( x 2 − y2 )
f x( x2 −3y2 )
m = ±3
f y(3x2 −y2 )
=1
=2
=3
=4
=1
=2
=3
=4
Tabel 4:
n=5
n
n
n
n
n=5
n
n
n
n
m=0
m = ±3
g ( l = 4)
m = ±1
g ( l = 4)
m = ±4
m = ±2
inleiding tot de kwantummechanica
77