klassikale uitleg (10 minuten)

Deel 2 van les 1 lessenserie getallen
(10 minuten)
Richtlijn voor de klassikale bespreking:
De Pythagoreeërs hadden gedefinieerd wat getallen zijn.
Ze zeiden dit: Je begint met een eenheid en dan ga je tellen. Zo krijg je getallen. Als je als
eenheid een appel neemt, dan staat 3 voor 3 appels. Als je als eenheid 1 cm neemt (of de
lengte van een stokje, want ze hadden toen nog geen centimeters) dan staat 3 voor 3 cm (of
3 keer de lengte van het stokje).
De Pythagoreeërs zeiden ook:
Je begint met 1, dan krijg je een even getal, dan een oneven getal, dan weer een even getal
en zo gaat het door. Over die even en oneven getallen hadden ze stellingen. Dat zijn
beweringen, die je kan bewijzen, op grond van wat je aangenomen hebt.
Hier zien we een aantal van hun stellingen (dia8).
Met de klas bij een aantal stellingen een voorbeeld bedenken.
De stellingen kloppen. De manier waarop de Pythagoreeërs getallen definieerden klinkt
logisch en goed. Maar hebben we hiermee wel alle getallen?
Nee, op deze manier krijg je alleen positieve gehele getallen. Een geheel aantal keer de
eenheid. Dus als je eenheid 1 cm is (of de lengte van een stokje), dan komt daarna 2 cm, 3
cm enz. (of 2 keer de lengte van het stokje, 3 keer de lengte van het stokje enz.) Konden ze
dan niet nauwkeurig meten? Konden ze dan bijvoorbeeld 4,13 cm niet afmeten? (of 4,13
keer de lengte van een stokje). Teken een getallenlijn op het bord:
|-------|-------|-------|-------|-I------|
1
2
3
4 4.13 5
Jawel, dat konden ze wel. Je kan namelijk de eenheid zo klein kiezen als ze willen. Om 4,13
af te meten (of 4,13 cm of 4,13 keer de lengte van een stokje), neem je de eenheid gewoon
100 keer zo klein.
Met de nieuwe eenheid is het getal dan 413.
Wil je nu weten hoeveel keer zo groot het is als je oorspronkelijke eenheid. Dat is nu
413:100 = 4,13
De Pythagoreeërs kenden 4,13 niet als getal. Maar ze kenden het als verhouding: 413:100.
Zo’n verhouding schrijven wij nu als een breuk 413/100 of een decimale breuk 4,13.
Dus de verhoudingen van de Pythagoreeërs komen overeen met onze breuken.
De Pythagoreeërs kenden alle breuken die wij ook kennen. Alle breuken zijn immers te
schrijven als een verhouding tussen twee gehele getallen.
De Pythagoreeërs rekenden met hun verhoudingen net zo als wij met breuken rekenen. Ze
konden ze optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en ze hadden zelfs een slimme
manier om breuken te vereenvoudigen.
Je vereenvoudigt een breuk door de teller en de noemer te delen door de grootste
gemeenschappelijke deler, de ggd. Bijvoorbeeld als je 20/24 wilt vereenvoudigen, dan deel
je de teller en de noemer door 4. 4 is dus de ggd.
Hoe vind je de ggd?
Op deze manier, zeiden de Pythagoreeërs (zie dia 9):






Neem beide getallen. (20 24)
Trek het kleinste getal af van het grootste getal (24-20=4)
Ga verder met het antwoord en het kleinste getal (4 20)
Trek weer het kleinste getal af van het grootste getal (20-4=16)
ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt. ( 16-4=12 12-4=8 8-4=4)
Dat is de GGD (4)
Zie dia 10
Alle getallen hebben dus een ggd!
Als ze geen gemeenschappelijke factor hebben dan is de ggd is 1.
We weten nu het een en ander over de allereerste theorie van getallen. De Pythagoreeërs
kenden gehele getallen en breuken. Kan je daarmee alles ‘meten’?
Hebben we daarmee alle positieve getallen op de getallenlijn? Daar lijkt het wel op. Er zijn
oneindig veel van deze getallen. Je kan overal komen op de getallenlijn. Zelfs al op het
interval tussen 4 en 5 zijn oneindig veel getallen.
Teken een getallenlijn en zet er tussen 4 en 5 de ‘oneindig veel getallen’ op.
We hebben het gehad over het getal 4,13 maar er is natuurlijk bijvoorbeeld ook het getal
4,134 of 4,1342745639286475343 en 4,2 en 4,22 en 4,222 en 4,2222 en …… en ook 4,34 en
4,344 en 4,3444 enzovoort.
En neem twee getallen. Je kan altijd een getal vinden dat er tussenin zit. Bijvoorbeeld
tussen 4,1 en 4,2 ligt 4,15. En tussen 4,15 en 4,1 zit weer 4,125 en zo kan je doorgaan. En
dan zijn er ook nog oneindig veel getallen tussen 2 en 3 en tussen 3 en 4 etc.
Conclusie (dia 11)
Met gehele getallen en breuken hebben we oneindig veel getallen op de positieve
getallenlijn!
Daarmee hebben we alle positieve getallen die er zijn! Toch? ….
Dus, als we de zijden van een driehoek bekijken, dan kan je altijd een eenheid kiezen zodat
de zijden gehele getallen zijn.
En van twee gehele getallen kan je de ggd bepalen …….
Werkblad 1 gaat over de stervijfhoek, een prachtige meetkundige figuur. Het was het
herkenningsteken van de Pythagoreeërs, het symbool van gezondheid.
In dit werkblad gaan we de zijden van een driehoek in de figuur als , de ggd ervan bepalen en
we gaan de verhouding van de zijden uitrekenen.
-
Deze les nog niet het antwoordenblad geven, leerlingen zelf laten nadenken. Wel na
een tijdje de hints geven op de dia’s en evt klassikaal dingen laten zien op dia 12 .