Loopt dit wel goed af

Natuurkunde
Wisselwerking & Beweging
HAVO
2 Veranderende krachten
Wisselwerking & Beweging
HAVO
2 Veranderende krachten
Dit materiaal is bedoeld voor evaluatief gebruik
2
Lesplanning hoofdstuk 2
Les
1
2
3
Onderwerp
1 Inleiding
Hoe Fignon de Tour had kunnen winnen
2 Afstand en versnelling
5
6
7
8
9
opdrachten
1 t/m 4
5 t/m 8
9, 10
Bij veranderende krachten
3 Parachutespringen
Veilig springen en landen
4
klassikaal
4 De Bungee Catapult
Bewegen onder invloed van de veerkracht
4 De Bungee Catapult
Toepassingen
5 Dynamische Modellen
Algemeen model van bewegingen
6 Dynamische Modellen
Toepassing van het algemeen model
Terugblik en samenvatting
11 t/m 15
16, 17, 18
19 t/m 22
23, 24
29 t/m 32
25+26 of
27+28
33 t/m 35
37 t/m 45
46 t/m 48
4
1 Inleiding
Een wereld vol krachten
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
In dit hoofdstuk gaan we verder met de invloed van krachten op
bewegingen. Daarbij kijken we naar situaties waarbij meerdere krachten
samenwerken en situaties waarbij sommige krachten niet constant zijn.
 Welke krachten ken je? Van welke factoren hangen die krachten af?
 Wat gebeurt er met de snelheid als de krachten niet constant zijn?
Luchtwrijving
Voorwaartse kracht
Nettokracht
Krachtenevenwicht
Frontaal oppervlak
cw-waarde
Luchtdichtheid
Veranderende krachten
Tot nu toe hebben we steeds naar situaties gekeken waarin slechts één kracht
werkt die bovendien constant is. Een constante kracht zorgt voor een
constante versnelling of vertraging. Als er meerdere krachten op hetzelfde
voorwerp werken dan kijken we naar de somkracht of nettokracht.
1
Inleiding - Een wereld vol krachten
Op de onderstaande foto’s zie je situaties waarbij meerdere krachten werken.
Noteer zoveel mogelijk verschillende krachten en geef aan van welke factoren
die krachten afhangen.
zwaartekracht – hangt af van de massa (is dus meestal constant)
Luchtwrijving overwinnen
In de drie situaties op de onderstaande foto’s zijn steeds twee krachten van
belang, een constante kracht (bijvoorbeeld de zwaartekracht of de
trapkracht) en een kracht die van grootte kan veranderen (de luchtwrijving).
2
Oriëntatie - De start van een tijdrit
Bij wielrennen is een tijdrit vaak erg belangrijk. Zo verloor de Fransman
Fignon de Tour de France in de afsluitende tijdrit. In deze opgave kijken we
naar de start van een tijdrit.
a Voorspel met een grafiek hoe de snelheid van de wielrenner verandert
gedurende de eerste minuut direct na de start van de tijdrit. Het gaat
alleen om de globale vorm van de grafiek.
Figuur 3 – Laurent
Fignon tijdens de
afsluitende tijdrit.
Figuur 4 – Grafiek van de snelheid
Tijdens de tijdrit werken er twee krachten: de trapkracht van de wielrenner
en de luchtwrijving (andere krachten worden verwaarloosd). We nemen aan
dat Fignon tijdens de gehele tijdrit een constante voorwaartse kracht van
42,5 N levert. De totale massa van Fignon plus fiets is 85 kg.
b Leg uit dat direct na de start de luchtwrijving te verwaarlozen is.
c
Bereken de versnelling direct na de start.
d Hoe groot is de snelheid na 1 seconde? En na 10 seconden? Teken die
punten in de grafiek.
Uiteindelijk bereikt de wielrenner een constante snelheid.
e Wat kun je zeggen over de twee krachten die op de wielrenner werken als
de snelheid constant is geworden?
6
3
Constante snelheid
De luchtwrijving hangt van verschillende factoren af (zie theorieblok). De
formule voor de luchtwrijving wordt vaak vereenvoudigd tot:
Fw,l  k  v 2
a Leg in je eigen woorden uit waarom de formule Fw,l =½cwAv² bij de
tijdrit vereenvoudigd kan worden tot Fw,l = k·v².
Voor de tijdrit van Fignon geldt: cw = 0,82, A = 0,37 m² en ρ = 1,28 kg/m³.
b Laat zien dat bij Fignon geldt k = 0,194.
c
Figuur 5 – Het bepalen van
het frontaal oppervlak van
een wielrenner.
Laat met een berekening zien dat bij een snelheid van 36 km/h (dat is 10
m/s) de luchtwrijving nog groter is dan de voorwaartse kracht.
d Bereken welke constante snelheid Fignon uiteindelijk bereikt.
4
Had Fignon de Tour kunnen winnen?
De Ronde van Frankrijk in 1989 werd beslist in de laatste tijdrit. Fignon
startte de tijdrit met 50 s voorsprong in het klassement.
Figuur 6 – Laurent Fignon (links) en Greg Lemond (rechts) tijdens de tijdrit in 1989.
Fignon reed toen nog in de gele trui.
a In figuur 6 zie je Fignon en Lemond tijdens die tijdrit. Welke verschillen
merk je op tussen beide wielrenners en fietsen?
De afsluitende tijdrit ging over een afstand van 24,5 km.
b Neem aan dat Fignon de hele rit met dezelfde snelheid van 14,8 m/s
aflegde. Bereken de eindtijd van Fignon.
Wetenschappers hebben berekend dat Fignon zijn luchtwrijving met 2% had
kunnen verlagen als hij hetzelfde materiaal had gehad.
c Laat zien dat dan zou gelden Fw,l = 0,190v² en bereken de snelheid en
de eindtijd die daarbij horen. Neem aan dat Fvw = 42,5 N.
Figuur 7 - Fignon won wél
de Tour van 1983 en 1984.
Bij de start van de tijdrit had Fignon een voorsprong van 50 s op zijn naaste
concurrent, Greg Lemond. Dat leek voldoende maar dankzij voor die tijd
revolutionaire aanpassingen won Lemond de tijdrit met 58 seconde
voorsprong en daadoor de Tour met 8 seconde – het kleinste verschil ooit.
d Zou Fignon de Tour de France hebben kunnen winnen met hetzelfde
materiaal als Lemond?
Luchtwrijving
De luchtwrijving Fw,l op een wielrenner of auto hangt af van de stroomlijn,
het frontaal oppervlak, de luchtdichtheid en de snelheid:
Fw,l  12  cw  A    v 2
Uit de formule blijkt dat de luchtwrijving evenredig is met de
stroomlijnfactor cw, het frontaal oppervlak A (in m²) en de luchtdichtheid
ρ (in kg/m³). De luchtwrijving is kwadratisch evenredig met de snelheid
v (in m/s). Bij grotere snelheden neemt de luchtwrijving dus sterk toe..
Omdat de stroomlijn cw, het frontaal oppervlak A en de luchtdichtheid ρ in
veel situaties constant zijn wordt de formule voor de luchtwrijving vaak
vereenvoudigd tot:
Figuur 8 – Bij wielrennen is
de luchtwrijving de
belangrijkste factor, de
rolweerstand is een stuk
kleiner.
Fw,l  k  v 2
Nettokracht en beweging
Als er meerdere krachten in één lijn op een voorwerp werken dan is de
nettokracht gelijk aan de som van de krachten.
Krachten die in dezelfde richting werken worden bij elkaar opgeteld, bij
krachten die tegengesteld werken wordt het verschil genomen.
Fnetto = som krachten
Als de nettokracht niet nul is dan zal het voorwerp versnellen of vertragen.
Voor de versnelling a geldt:
Fnetto = m·a
Als de nettokracht nul is dan heffen de krachten elkaar op. Dat betekent
dat het voorwerp stil staat of met constante snelheid beweegt.
Fres = 0  v = 0 of v = constant.
OPGAVEN
5
Als een voorwerp geen versnelling heeft, kun je dan zeggen dat er geen
krachten op dat voorwerp worden uitgeoefend? Leg uit waarom wel of niet.
6
Op een voertuig werken twee krachten. Wat weet je van de nettokracht op
het voertuig in elk van de volgende vier situaties?
a
Het voertuig staat stil.
b
Het voertuig rijdt met een
constante snelheid.
c
Het voertuig trekt op.
d
Het voertuig remt af.
8
7
Voetbal
In figuur 6 zie je de beweging van een voetbal na het nemen van een vrije
trap.
Figuur 9 – De plaats van een voetbal op een aantal opeenvolgende tijdstippen.
a Teken in figuur 9 de krachten op de voetbal op het begintijdstip (bij het
trappen van de bal) en op minstens drie andere tijdstippen.
b Welke krachten veranderen niet tijdens de beweging van de bal? Leg uit
waarom.
c
8
Figuur 10 – Twee verschillende fietshoudingen: voorovergebogen en rechtop.
Welke krachten veranderen wel tijdens de beweging van de bal? Hoe
veranderen die krachten? Leg uit waarom.
Fietshouding
In figuur 10 zie je twee mogelijke lichaamshoudingen bij het fietsen: rechtop
en voorovergebogen. De lichaamshouding heeft invloed op de luchtwrijving.
Zowel de waarde van de luchtwrijvingscoëfficiënt cw als het frontaal
oppervlak A hangt af van de lichaamshouding:
Bij rechtop fietsen:
cw = 1,1
A = 0,51 m2
Bij voorovergebogen fietsen: cw = 0,88
A = 0,31 m2
De dichtheid ρ van de lucht is 1,2 kg/m3.
a Bij de voorovergebogen lichaamshouding is de luchtwrijving op de fiets
met fietser kleiner. Leg uit waarom.
b Beschrijf een methode om het frontaal oppervlak van een fietser te
meten.
c
Bereken de luchtwrijving Fw,l bij een snelheid v van 15 km/h bij rechtop
fietsen.
d Hoe groot wordt de snelheid als de fietser in voorovergebogen houding
voor een even grote voorwaartse kracht zorgt als bij 15 km/h rechtop?
2 Afstand en versnelling
Bij veranderende krachten
Wat gaan we doen?
In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe de snelheid verandert bij
beweging waarbij luchtwrijving een rol speelt. Situaties met
veranderende krachten kunnen met een computermodel nagebootst
worden.
 Hoe kun je een computermodel gebruiken om een beweging met
veranderende krachten te onderzoeken?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Dynamisch model
9
Oriëntatie - De tijdrit met een computermodel
Met een computermodel kan het verloop van de snelheid in veel kleinere
stapjes berekend worden. Het computermodel ‘Tijdrit deel 1’ tekent een
grafiek van de snelheid en berekent tegelijk de afstand. In het model kan de
trapkracht en de luchtwrijving ingesteld worden. Voor Fignon geldt k =
0,194. Dat geeft de volgende grafiek:
Figuur 11 – Snelheid tijdens de start van een tijdrit.
a Hoe kun je aan de grafiek zien dat de versnelling in het begin 0,5 m/s² is?
Figuur 12 – Computermodel
voor de tijdrit van Fignon.
Op de wielrenner werken
twee krachten. De snelheid
en de afstand zijn in het
scherm weergegeven.
b Ga na dat de eindsnelheid overeenkomt met de berekeningen van de
voorgaande paragraaf.
Met het model kun je ook onderzoeken wat het effect is van een lagere
luchtweerstand of een grotere voorwaartse kracht.
c Ga met het model na wat het effect is van een 10% kleinere
luchtweerstand of een 10% grotere voorwaartse kracht. Met hoeveel %
neemt de snelheid dan toe of af?
10
Hoe bouw je zelf een computermodel?
In het voorgaande computermodel zie je alleen de resultaten. Je ziet niet hoe
de computer rekent. In feite rekent het model op dezelfde manier als de
methode van Newton. De beweging wordt verdeeld in kleine tijdstapjes. Na
elk stapje wordt steeds opnieuw berekend hoe groot de krachten, de
versnelling en de snelheid zijn.
10
Een model voor snelheid en versnelling
In figuur 23 is het eenvoudige model voor een versnelde beweging
weergegeven.
Het model bestaat
uit een constante kracht F en een massa m
NLT- Dynamische
modellen
dieVersnelde
daardoor eenBeweging
versnelling a 1
krijgt.
?
?
snelheid_v
versnelling_a
?
?
kracht_F
massa_m
Figuur 13 – Een model voor snelheid en versnelling
Instroompijl
De waarde van de
instroompijl versnelling
geeft aan hoeveel de
variabele snelheid per
tijdseenheid toeneemt.
Als de waarde van de
instroompijl negatief is
dan neemt de snelheid
af.
De computer berekent de versnelling aan de hand van de kracht en de massa.
a Met welke formule berekent de computer de versnelling?
De versnelling is getekend als een instroompijl bij de snelheid. De instroom
voegt, als een soort kraan, elke seconde iets toe aan de snelheid.
b Lees in het kader wat de betekenis van een instroompijl is en leg in je
eigen woorden uit waarom de versnelling de instroom van de snelheid is.
c Bouw het model zelf of open het model Versnelde Beweging 1.
d Vul voor de kracht en de massa de waarden van Fignon is.
e Noteer in het vakje versnelling de juiste formule.
De snelheid is een voorraadgrootheid. De computer berekent hoeveel er inof uitstroomt, je hoeft alleen de startwaarde in te vullen.
f Welke startwaarde heeft de snelheid? Noteer die in het model.
g Laat het model lopen en teken een grafiek van de snelheid.
h Klopt de grafiek met wat je zou verwachten? Verklaar de vorm van de
grafiek en ga na of de lijn klopt met de waarden van de kracht en de
massa.
snelheid
versnelling
trapkracht
massa
luchtw rijving
k
Figuur 14 – Computermodel
voor de tijdrit van Fignon met
luchtwrijving.
i
Breid het model uit met de luchtwrijving. Gebruik de waarde voor k die
bij Fignon past. Pas ook de formule voor de versnelling aan.
Dit model kun je ook gebruiken om te onderzoeken wat het effect is van een
lagere luchtweerstand of een grotere voorwaartse kracht.
j Ga met het model na wat het effect is van een 10% kleinere
luchtweerstand of een 10% grotere voorwaartse kracht. Met hoeveel %
neemt de snelheid dan toe of af?
Overzicht wrijvingskrachten
Schuifwrijving – om te remmen of om je af te zetten
Schuifwrijving ontstaat wanneer twee voorwerpen langs elkaar schuiven,
maar ook bij het afzetten van je voeten op de vloer. De grootte van de
schuifwrijving is evenredig met de ‘druk’ van de twee voorwerpen op
elkaar en hangt af van de ruwheid van de twee oppervlakken.
De formule voor de maximale schuifwrijving is:
Fw,s  f  Fn
In deze formule is Fw,s de maximale schuifwrijving (in N), f de
wrijvingscoëfficiënt en Fn de normaalkracht (in N). De normaalkracht is
de kracht waarmee de twee voorwerpen op elkaar gedrukt worden.
Rolwrijving
De grootte van de rolwrijving is evenredig met de ‘druk’ van fietsband op
de weg. De rolwrijving hangt ook af van de vorm van de band, het
materiaal en de luchtdruk in de band. De rolwrijving is in veel situaties
constant.
De formule voor de rolwrijving is:
.
Fw,r  cr  Fn
Figuur 16 – De rolwrijving
Fw,r hangt af van de massa:
hoe meer passagiers en/of
bagage, des te groter is de
rolwrijving.
Figuur 17 – De rolwrijving
Fw,r hangt ook af van de
vervorming van de oppervlakken die elkaar raken:
hoe zachter de banden zijn
opgepompt, des te groter is
de vervorming en des te
groter is de rolwrijving.
In deze formule is Fw,r de rolwrijving (in N), cr de rolwrijvingscoëfficiënt
(zonder eenheid) en Fn de normaalkracht (in N).
Luchtwrijving
Bij het fietsen stroomt de lucht langs je lichaam en de fiets. Je botst als
het ware voortdurend tegen de lucht aan. Op je lichaam en de fiets wordt
dan een luchtwrijving uitgeoefend. De grootte van de luchtwrijving hangt
af van de snelheid, het frontaal oppervlak, de luchtdichtheid en de
stroomlijn. Hoe groter de snelheid is, des te groter is de luchtwrijving.
De formule voor de luchtwrijving is:
Fw,l  12  cw  A    v2
In deze formule is Fw,l de luchtwrijving (in N), cw de luchtwrijvingscoëfficiënt (zonder eenheid), A het frontaal oppervlak (in m²),  de
dichtheid van de lucht (in kg/m³) en v de snelheid (in m/s). In de
formule geeft de luchtwrijvingscoëfficiënt cw de invloed van de
stroomlijn: hoe beter de stroomlijn is, des te kleiner is de cw-waarde.
OPGAVEN
11
In figuur 18 zie je het v,t-diagram van een optrekkende auto.
a Leg uit waardoor de versnelling van de auto niet constant is.
b Wordt deze versnelling in de loop van de tijd groter of kleiner? Hoe zie je
dat aan het v,t-diagram?
Figuur 18 – Optrekkende auto.
c Bepaal uit de grafiek de afgelegde afstand na 25 s.
12
12
Boek op tafel
Een boek met een massa van 1,5 kg ligt op een tafelblad.
a Hoe groot is de zwaartekracht op het boek?
b Hoe groot is de nettokracht op het boek?
c
13
Hoe komt het dat de nettokracht deze waarde heeft?
Vliegtuig
Een vliegtuig vliegt met een constante horizontale snelheid van 1000 km/h
onder invloed van een constante stuwkracht van de motoren van 1,0·10 5 N.
a Hoe groot is de versnelling van het vliegtuig?
b En hoe groot is de luchtwrijving op het vliegtuig?
Op het vliegtuig werkt ook de zwaartekracht.
c Hoe komt het dat het vliegtuig niet naar beneden valt? Welke kracht
zorgt daarvoor.
14
Auto
Een auto rijdt met een constante snelheid van 50 km/h. Hoeveel keer zo
groot is de luchtwrijving op de auto bij 100 km/h?
15
Imperiaal
Een auto wordt voorzien van een imperiaal met bagage. Daardoor wordt het
frontaal oppervlak 1,5 maal zo groot.
Hoeveel maal zo groot moet de voorwaartse kracht van de motor zijn bij om
dezelfde snelheid te halen? Leg uit waarom.
3 Parachutespringen
Veilig springen en landen
Wat gaan we doen?
Stel dat jij vanaf grote hoogte uit het vliegtuig springt, dan zou je wellicht
de volgende vragen hebben:
 Welke snelheid zou je maximaal kunnen halen tijdens de vrije val?
 Hoe groot zou je parachute moeten zijn om veilig te landen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Oppervlaktemethode
16
Maximumsnelheid
Een parachutesprong bestaat uit twee delen. Tijdens het eerste deel van de
sprong is de parachute nog gesloten, dat noemen we een vrije val, dan wordt
de snelheid erg groot. Na enige tijd opent de parachutist zijn parachute.
a Geef eerst een voorspelling: Wat is de maximale snelheid tijdens de vrije
val? Vanaf welke hoogte moet je springen om die snelheid te halen?
b Vul de lijst met gegevens aan met een schatting voor jouw situatie..
massa
m = . . . . kg
frontaal oppervlak
A = . . . . m²
stroomlijn
cw = 0,90
luchtdichtheid
ρ = 1,2 kg/m³
c Bereken met deze gegevens de waarde van k in de formule Fw,l = kv²
Figuur 19 – Het frontaal
oppervlak bij fietsen is
ongeveer 0,5 m²
d Bereken jouw maximale snelheid in m/s en in km/h.
e Teken in de onderstaande grafiek met een stippellijn jouw maximale
snelheid.
Figuur 20 – Welke snelheid
haal je tijdens de vrije val?
f Schets vervolgens de grafiek van de snelheid tijdens de val.
g Na hoeveel seconde (ongeveer) bereik je de maximumsnelheid?
14
17
Een model voor de parachutesprong
Het model voor de fietser is eenvoudig om te bouwen tot een model voor de
val van een parachute. De trapkracht wordt daarbij vervangen door de
zwaartekracht. Zie onderstaand figuur.
snelheid
versnelling
60
?
snelheid
50
zw aartekracht
40
massa
luchtw rijving
30
20
k
10
Figuur 21 – Model voor parachutesprong.
0
0
5
10
15
20
Time
a Welke formule komt er in het vakje voor de zwaartekracht?
Na ongeveer 20 s bereik je de maximale snelheid.
b Stel het model zo in dat het loopt tot t = 20 (bij Simulation Setup).
c Maak met het model een grafiek van de snelheid.
d Lees in het model de maximale snelheid af. Reken om naar km/h.
e Maak een ruwe schatting van de afstand die je in 20 s hebt afgelegd met
behulp van de oppervlaktemethode (zie figuur).
Figuur 22 – Afstand bepalen
met de oppervlakte.
18
?
afstand
snelheid
De hoogte berekenen met het model
De tweede vraag is: “Vanaf welke hoogte moet je springen om de
maximumsnelheid te halen?”. Met de oppervlaktemethode kun je een ruwe
schatting maken, maar het is ook mogelijk om het model uit te breiden met d
afstand. In figuur 23 zie je hoe de afstand met het model berekend wordt.
a Leg uit dat de afstand een grootheid is waar steeds iets bijkomt, een
voorraadgrootheid.
versnelling
Figuur 23 – De afstand in
een model.
b Breid het model uit met de afstand.
c Bereken met het model de afstand na 20 s en vergelijk het met de ruwe
schatting van de vorige vraag.
Bij de landing is het van belang dat de snelheid niet te groot is. Bij militairen
wordt daarvoor een snelheid van 18 km/h (5 m/s) genomen.
d Verander de waarde van k totdat de eindsnelheid 5 m/s is.
e Voor de parachute geldt cw = 1,2 . Bereken hoe groot het frontaal
oppervlak A van de parachute moet zijn.
Figuur 24 – Klassieke
parachute met
daalsnelheid 18 km/h.
OPGAVEN
19
Tennisballen
Als je twee tennisballen tegelijkertijd vanaf een toren laat vallen, raken ze op
hetzelfde moment de grond. Als je één van die ballen vult met loodkorrels,
welke komt dan het eerst op de grond terecht? Geef een toelichting.
20
Regen
Leg uit waarom het gevaarlijk zou zijn om op een regenachtige dag naar
buiten te gaan als er geen luchtwrijving zou zijn.
21
Parachute
Een parachutespringster springt uit een hoogvliegende helikopter. Haar
parachute blijft (voorlopig) ongeopend.
a Leg uit of haar versnelling tijdens de val toeneemt, afneemt of gelijk blijft.
b Waarom valt een zware parachutist sneller dan een lichte parachutist met
dezelfde maat parachute?
22
Rolweerstand en autorijden
Lees eerst het onderstaande krantenartikel over rolweerstand.
Rolweerstand niet verwaarlozen
Het is vreemd dat de rolweerstand van
de personenauto nooit dezelfde
aandacht heeft gekregen als de
luchtwrijving. De rolweerstand is
namelijk voor stadsverkeer van dezelfde
orde van grootte als de luchtwrijving.
De rolweerstand wordt veroorzaakt
door het indrukken van de band op de
plaats waar hij de weg raakt. De
bandenspanning en de structuur van
het wegoppervlak zijn er dus op van
invloed, de snelheid van de auto
nagenoeg niet.
In het algemeen is de rolweerstand
recht evenredig met het gewicht van de
auto.
In formule-vorm wordt voor deze kracht
daarom wel geschreven: Fw,r = crmg.
Hierin is cr de zogenaamde rolwrijvingscoëfficiënt. In het geval van een auto
heeft cr een gemiddelde waarde van
0,015.
De autofabrikant die een auto met een
lage rolweerstand wil leveren, moet dus
een licht
autootje op de markt
brengen. Een auto met een laag gewicht, dus een geringe massa, is in het
stadsverkeer sowieso aantrekkelijk
omdat er zo vaak geremd en opnieuw
versneld moet worden.
Bron: NRC Handelsblad
a Leg uit dat een auto met harde banden minder benzine verbruikt dan
dezelfde auto met zachte banden.
16
Uit het artikel blijkt dat de massa van een auto om twee redenen klein moet
zijn als men een energiezuinige auto wil maken.
b Wat is, naast de lagere rolweerstand, het tweede voordeel van een lichte
auto in het stadsverkeer?
In het artikel wordt gezegd dat de rolweerstand van dezelfde orde van
grootte is als de luchtwrijving. Een gemiddelde auto heeft een massa m van
1200 kg, een frontaal oppervlak A van 2,0 m² en een cw-waarde van 0,3.
c Bij welke snelheid is dan de luchtwrijving gelijk aan de rolweerstand?
4 Bewegen aan een elastiek
De Bungee Jump of Catapult
Wat gaan we doen?
Een lancering met de Bungee Catapult is een spectaculaire attractie.
Tijdens de lancering zakt je maag al in je schoenen. De veerkracht van de
bungeekoorden zorgen voor een veranderende kracht. In dit geval hangt
de kracht af van de positie.
 Wat voor soort beweging ontstaat bij een kracht die afhangt van de
plaats?
 Hoe groot zijn de G-krachten bij zo’n catapult?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Veerkracht
Veerconstante
G-versnelling
Demping
Bungee Jump en Bungee Catapult
De Bungee Catapult is een spectaculaire attractie waarbij de deelnemers aan
elastische bungeekoorden omhoog geschoten worden. Bij een bungeejump
springt men vanaf een hoogte aan bungee-elastieken naar beneden.
In deze situaties werken drie krachten: de zwaartekracht, de luchtwrijving en
de veerkracht. De veerkracht van de elastieken is evenredig met de
uitrekking:
Fveer  C  u
In deze formule is F de kracht in newton, C de veerconstante in N/m en u de
uitrekking van de veer in meter.
Figuur 25 – Bungeesprong
23
Oriëntatie - Model voor een bungeecatapult
Een eenvoudig model voor een bungeecatapult is een gewichtje aan een
metalen veer dat eerst een klein stukje naar beneden getrokken wordt en
vervolgens wordt losgelaten.
a Welke twee krachten werken er direct na het loslaten?
b Hoe bereken je de versnelling direct na het loslaten?
Het gewichtje heeft een massa van 100 gram, de veerconstante is 10 N/m.
Als het gewichtje losgelaten wordt komt het op een punt waarbij de
veerkracht even groot is als de zwaartekracht.
c Bereken hoe ver de veer dan uitgerekt is.
d Leg uit waardoor het gewichtje op die positie niet stopt maar verder naar
beneden beweegt.
e Bouw een model voor deze beweging. Verwaarloos eerst de luchtwrijving.
Figuur 26 – Model voor
bungeesprong of catapult.
18
24
Het model gebruiken
Stel de beginwaarde voor de uitrekking in op 0,15 m. Kies in de Simulation
Setup voor een zeer kleine tijdstap en laat de tijd lopen van 0 tot 2 seconde.
(NB: het model kan ‘uitlopen’. Kies zonodig voor een andere Integration
Method zoals RK2)
a Hoe groot zijn in het model de amplitude, de trillingstijd en de
evenwichtsstand?
b Stel de beginwaarde voor de uitrekking in op 0,20 m. Hoe groot zijn de
amplitude en de trillingstijd dan?
uitrekking
snelheid
versnelling
veerkracht
Ga met het model na hoe de beweging verandert als je een twee keer zo
grote massa neemt, of een twee keer zo grote veerconstante. Ga ook na
wat er verandert als je beide twee keer zo groot neemt.
luchtw rijving
zw aartekracht massa
C
c
k
Figuur 27 – Model voor
bungeecatapult.
Bij een echte catapult kom je vrij in de lucht te bewegen.
d Stel de beginwaarde voor de uitrekking in op 1 meter. Onderzoek wat nu
de maximale versnelling tijdens de beweging is.
Toepassing: een veilige de Bungee Catapult
De Bungee Catapult is een spectaculaire attractie waarbij de deelnemers aan
elastische bungeekoorden omhoog geschoten worden. Bij een grote attractie
wordt een cabine met twee inzittenden gebruikt. De cabine wordt met een
elektromagneet vastgehouden terwijl de twee armen van de installatie
worden uitgeschoven zodat het elastiek gespannen wordt.
Figuur 28 – De elastieken
zijn niet altijd gespannen.
Figuur 29 – Bungee Catapult met koorden aan het lichaam of met een cabine.
G-versnelling
In het dagelijks gebruik wordt vaak gesproken over G-krachten, maar het is
beter om te spreken over de G-versnelling. De spectaculaire effecten worden
immers veroorzaakt doordat je versnelt of vertraagt. Met de G-versnelling
vergelijken we de versnelling met de valversnelling g. Een versnelling van 3g
betekent dat de versnelling drie keer zo groot is als g, dus 39,8 = 29,4 m/s².
Veiligheidseisen: Voor pretparkattracties zoals de Bungee Catapult geldt
dat de G-versnelling nooit hoger mag zijn dan 5g. Daarnaast geldt er bij elke
installatie een maximale hoogte.
Een computermodel van de Bungee Catapult
In het model van de Bungee Catapult wordt een cabine met twee personen
weggeschoten.
De startwaarden van het model zijn: massa = 250 kg, hoogte = 35 m,
veerconstante = 675 N/m (van de bungeekoorden samen).
25
G-versnellingen
Eén van de veiligheidseisen bij de Bungee Catapult is de maximale hoogte.
a Open het model ‘Bungee Catapult’ en start de simulatie. Hoe hoog komt
de cabine in dit voorbeeld?
Figuur 30 – De armen van
de installatie kunnen
uitgeschoven worden
Figuur 31 – G-versnellingmeter en grafiek van de hoogte.
Het model laat met een G-meter zien wat er tijdens de lancering gebeurt.
b Hoe groot is tijdens deze lancering de maximale G-versnelling? Gebruik
de slider om de beweging te onderzoeken.
De grootste G-versnelling treedt op direct na de lancering.
c Voel je je dan zwaarder of juist lichter?
Figuur 32 – Met de buttons
kan het model gestart en
gestopt worden. Met de slider
kan de beweging onderzocht
worden (nadat de model
doorgerekend is).
d Hoe groot is de G-versnelling op het hoogste punt? Leg uit.
26
De hoogte van de bungee-armen aanpassen
Deze Bungee Catapult voldoet wel aan de veiligheidseisen, maar is niet erg
spectaculair. De proefpersoon komt niet eens boven de palen uit en de
maximale G-versnelling is niet erg groot. Door de armen verder uit te
schuiven verandert de hoogte en worden de bungeekoorden meer
gespannen.
a Pas de hoogte van de armen van de Bungee Catapult zo aan dat de
lancering wel spectaculair is maar toch binnen de veiligheidseisen blijft.
Wat is de optimale hoogte van de armen van de installatie?
Figuur 33 – Startwaarden
van het model.
b Hoe groot is dan de maximale G-versnelling? Hoe hoog komt de cabine?
20
De totale massa is 250 kg. Dat werd veroorzaakt door twee zware personen
in de cabine. Wat zal er gebeuren als er vervolgens twee lichte personen
instappen?
c Verander de massa in 150 kg en start het model. Leg kort uit wat er
gebeurt.
Een manier om deze lancering veilig te maken is het verlagen van de hoogte.
d Verander de waarde van de hoogte van de armen van de installatie tot de
maximale G-versnelling bij de start 5g is. Noteer de hoogte van de armen.
e Leg uit waardoor de cabine nu niet een hoogte van 55 m bereikt.
Het aanpassen van de hoogte van de armen is kennelijk geen goede manier
om te compenseren voor zwaardere of lichtere personen. De beheerder van
de installatie heeft twee andere mogelijkheden om hiervoor te compenseren:
- Het aanpassen van de veerconstante van de koorden.
- Het aanpassen van de totale massa van de cabine.
f Welk van deze mogelijkheden is in de praktijk het eenvoudigst uit te
voeren? Leg uit.
27
Toepassing: demping bij een auto
Om een beetje soepel over een hobbelige weg te rijden heeft een auto
schokbrekers die zorgen voor demping en vering. De metalen spiraalveren
leveren de veerkracht, de olie binnen de cilinders zorgt voor demping.
Hierbij spelen dezelfde drie krachten een rol: zwaartekracht, veerkracht en
wrijving.
a Leg uit dat bij een auto de wrijving een veel grotere invloed heeft op de
beweging dan bij de Bungee Catapult. Hoe zou de auto na een hobbel
bewegen als de wrijving heel klein zou zijn?
Figuur 35 – Schokbrekers
combineren vering en
demping.
Figuur 36 – De auto deint na
de hobbel nog even na.
Naast de schokbrekers is ook de massa van de auto belangrijk voor het
gedrag op de weg.
b Hoe verandert de beweging van een auto na een hobbel als de auto heel
zwaar beladen is?
Het computermodel ‘autodemping’ is gemaakt om te onderzoeken wat er
gebeurt als een auto over een hobbel rijdt of door een kuil gaat. In het model
zijn de massa van de auto, de veerkracht van de vering en de demping
(wrijving) van de schokbrekers opgenomen.
c Open het model ‘Autodemping’ en laat het model lopen. Het model rijdt
één keer over een drempel. Daarna kun je zelf een kuil of een hobbel
nabootsen door de auto op te pakken en omhoog of omlaag te bewegen.
d Onderzoek wat er gebeurt als je de auto door kuilen en over hobbels laat
gaan.
e Vind je dat de schokbreking van de auto goed werkt? Is de demping te
slap of te sterk? Leg uit.
Bij schokbrekers is het erg belangrijk dat de massa, de vering en de demping
goed op elkaar zijn afgesteld. Dat wordt kritische demping genoemd. Het
model start met de volgende waarden: massa = 1200 kg, vering = 8000 N/m
en demping = 3000 N/(m/s).
f Verander de demping totdat de auto zonder te ‘deinen’ over de drempel
gaat. Bij welke waarde wordt de demping (ongeveer) kritisch?
28
Toepassing: Demping bij bruggen
Ook bij bruggen spelen de zwaartekracht, de veerkracht en de demping een
rol. Daarnaast is er nog de kracht van de wind of van het verkeer dat over de
brug rijdt. Zo bleek al vrij snel na het in gebruik nemen van de nieuwe
Erasmusbrug over de Maas in Rotterdam dat er iets mis was. Onder
bepaalde weersomstandigheden raakten de tuikabels van de brug sterker dan
verwacht in trilling. Alle schokdempers moesten worden vervangen.
Figuur 38 – De Erasmusbrug in Rotterdam en het vervangen van de schokdempers.
De trillingen zijn te voorkomen door de massa, de veerkracht of de wrijving
aan te passen.
a Leg uit waarom het bij de Erasmusbrug niet goed mogelijk om de massa
of de veerkracht aan te passen.
Een beroemd voorbeeld van resonantie bij een brug is de Tacoma Narrows
Bridge, een hangbrug met een lengte van maar liefst 1,6 km lengte in de
Verenigde Staten. Het was op dat moment de derde langste brug van de
wereld. De eerste versie van de brug stortte op 7 november 1940, kort na de
voltooiing, op spectaculaire wijze in door trillingen die werden veroorzaakt
door de wind.
Figuur 39 – De Tacoma Narrows Bridge, een lange en smalle hangbrug.
b Bekijk het filmpje (te vinden op internet) en leg in je eigen woorden uit
waardoor de brug kon instorten door de wind.
22
De Tacoma Narrows Bridge is een klassieke hangbrug. De betonnen
constructie met daarop het relatief slappe wegdek hangt met verticale tuien
aan dikke kabels die in een boog tussen de pilaren aan de zijkanten
gespannen zijn. Na het instorten van de brug is een nieuwe versie gebouwd
die veel beter tegen invloed van de wind bestand was.
c Wat zou men aan het ontwerp hebben kunnen veranderen om de brug
beter bestand te maken tegen de invloed van de wind? Noem meerdere
factoren en beschrijf hoe die aanpassing werkt.
EXTRA: Een computermodel voor de beweging van de brug
De beweging van de brug is een goed voorbeeld van resonantie: een
gedempte trilling die door een aandrijvende kracht een steeds grotere
amplitude krijgt.
Figuur 40 – Startwaarden in
het model.
Figuur 41 – De trilling van het wegdek wordt in het model weergegeven door een
balk.
d Open het model ‘Resonantie Tacoma brug’. Onderzoek of je de juiste
frequentie kunt vinden om de brug in resonantie te krijgen.
OPGAVEN
29
Topsnelheid
Een kleine auto heeft een topsnelheid van 120 km/h. Een tweede auto met
dezelfde vorm en afmetingen heeft een veel krachtiger motor, die voor een
tweemaal zo grote voorwaartse kracht op de auto kan zorgen.
a Hoe groot is de nettokracht (of de resultante van de krachten) op de
auto’s als ze beide op topsnelheid rijden?
b De rolwrijving op beide auto’s is verwaarloosbaar klein. Hoe groot is dan
de topsnelheid van de tweede auto?
30
Metalen veer
Een metalen veer heeft een lengte van 18 cm. Als er een voorwerp met m =
0,20 kg dan wordt de lengte van de veer 29 cm.
a Bereken de zwaartekracht op het voorwerp
b Bereken de veerconstante van de veer.
c
31
Hoe lang wordt de veer als er een twee keer zo zwaar voorwerp aan wordt
gehangen?
Veer
Een voorwerp met m = 0,20 kg hangt in evenwicht aan een veer met C = 120
N/m. Het voorwerp wordt 10 cm naar beneden getrokken.
a Bereken de nettokracht op het voorwerp.
b Bereken de versnelling op het moment dat het voorwerp losgelaten
wordt.
c
Hoe verandert de versnelling als de massa van het voorwerp twee keer zo
groot is?
d Hoe verandert de versnelling als een twee keer zo stugge veer gebruikt
wordt?
32
bungeejumper
Een bungeejumper met massa m = 80 kg springt naar beneden van een
hoogte van 40 m. De bungeekoorden hebben een lengte van 10 m en een
veerconstante van 200 N/m. Verwaarloos de luchtwrijving.
a Op welke hoogte is het bungeekoord voor het eerst gespannen?.
b Leg uit dat op deze hoogte de bungeejumper nog steeds versnelt.
c
Op een bepaald moment is de jumper op een hoogte van 20 m. Bereken
de nettokracht en geef aan in welke richting de nettokracht werkt.
24
33
Hobbelige weg
Een auto rijdt over een hobbelige weg. Het rijgedrag van de auto hangt af van
de massa, de veerkracht en de wrijvingskracht. In eerste instantie zijn de
schokbrekers van de auto goed afgesteld.
a Hoe verandert het rijgedrag als er stuggere veren gebruikt worden? Leg
uit waarom dat voor de inzittenden niet prettig is.
b Hoe verandert het rijgedrag als de demping sterk vermindert? Leg uit
waarom dat voor de inzittenden niet prettig is.
34
Raket
Een raket met een massa van 2,1·104 kg wordt gelanceerd. Bij de start is de
(constante) stuwkracht 3,9·105 N. De luchtwrijving op de raket is in de eerste
seconden na de start nog verwaarloosbaar klein.
a Bereken de versnelling van de raket bij de start.
De stuwkracht blijft constant. Op een grote hoogte boven het aardoppervlak
blijkt de versnelling van de raket groter te zijn dan bij de start.
b Geef daarvoor ten minste drie redenen.
35
Werelduurrecord
Francesco Moser vestigde begin 1984 in Mexico Stad een nieuw werelduurrecord bij het wielrennen: 51,151 km. Hij deed dat op een fiets met
schijfwielen (dus: zonder spaken in de wielen), en dat was nieuw in die tijd.
Het oude record stond op naam van Eddy Merckx met 49,431 km. Welke
invloed hebben deze nieuwe schijfwielen gehad op de geslaagde aanval op
het werelduurrecord?
In de tabel van figuur 16 staan enkele gegevens over Francesco Moser en
verschillende soorten racefietsen.
Figuur 15 – Een racefiets met
schijfwielen heeft een kleinere
luchtwrijvingscoëfficiënt.
massa Moser met racefiets
m
86,7 kg
Frontaal oppervlak
A
0,30 m2
luchtdichtheid
ρ
1,125 kg/m3
rolwrijvingscoëfficiënt
cr
0,0020
 racefiets met schijfwielen
cw
0,80
 racefiets met spaakwielen
cw
0,83
luchtwrijvingscoëfficiënt:
Figuur 16
Bij een rit over zo’n 50 km kunnen we de start wel verwaarlozen, zodat we de
hele rit kunnen opvatten als een eenparige beweging.
Ga met een berekening na of de verbetering van het werelduurrecord een
gevolg was van de nieuwe schijfwielen. Of, met andere woorden: had
Francesco Moser dat record ook wel verbeterd op een racefiets met
spaakwielen?
5
Dynamische Modellen
Een model bouwen voor bewegingen
Wat gaan we doen?
Bij het beschrijven van bewegingen staan de begrippen kracht,
versnelling en snelheidsverandering centraal. Omdat die begrippen in
élke beweging dezelfde rol spelen ligt het voor de hand om een algemeen
model voor bewegingen te maken dat in elke situatie bruikbaar is. Het
startprobleem (neerkomende kogels) wordt gebruikt om een algemeen
model te vinden.
 Hoe bouw je een algemeen model voor bewegingen op?
 Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?
NLT-module
Het lesmateriaal is een
onderdeel van de module
Dynamische Modellen.
Modellen van bewegingen
Bij het onderwerp bewegingen en krachten zijn veel situaties te vinden
waarbij een model gebruikt wordt om voorspellingen te doen of om
verbeteringen aan te brengen. Enkele voorbeelden van dit soort situaties:
- de lancering van raketten
- een flight-simulator voor het trainen van piloten
- de invloed van luchtwrijving en gewichtbesparing bij wielrennen
Om een algemeen geldend computermodel voor bewegingen op te stellen
maken we gebruik van een probleem uit een praktijksituatie.
36
Praktijksituatie: Neerkomende kogels
Iemand plaatste op internet de volgende vraag:
Vreugdeschoten
Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen soms met
een pistool in de lucht ten overstaan van een grote menigte.
Waarom raakt er nooit iemand gewond als de kogel weer naar
beneden valt?
Bron: www.intermediar.nl rubriek Knagende vragen
Bespreek de Knagende Vraag in je groep. Noteer daarbij zoveel mogelijk
verklaringen, oorzaken of vragen.
Om tot een antwoord te komen, kijken we eerst naar de beweging van de
kogel. Daarbij komen vragen naar voren als “Hoe hard komt een kogel uit
een pistool?”, “Met welke snelheid komt de kogel op de grond?”, “Hoe hoog
komt de kogel?” en “Hoe lang is de kogel in de lucht?”. En je gaat deze
beantwoorden met behulp van een model.
26
Plan van aanpak
We kijken naar de situatie dat de kogel recht omhoog geschoten wordt.
Daarbij werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtwrijving. De
beweging bestaat uit twee delen: omhoog en omlaag.
Het plan van aanpak bestaat uit:
 Een model bouwen voor een situatie zonder luchtwrijving. De
zwaartekracht zorgt dan voor het afnemen en toenemen van de
snelheid.
 Het model uitbreiden voor de hoogte van de kogel.
 De luchtwrijving toevoegen aan het model.
37
Uitvoering: Een eenvoudig model
Als eerste wordt een eenvoudig model opgesteld dat later uitgebreid wordt.
Voor het eenvoudige model beginnen we met twee aannames:
 Er is geen luchtwrijving.
 De kogel wordt verticaal omhoog geschoten.
Met deze twee aannames wordt de beweging van de kogel een rechtlijnige
beweging met slechts één kracht: de zwaartekracht.
a Wat voor soort beweging is de beweging omhoog van de kogel?
b Wat voor soort beweging is de beweging omlaag van de kogel?
In figuur 42 is het eenvoudige model voor een versnelde beweging
weergegeven. Een constante kracht F werkt op een massa m die daardoor
een versnelling a krijgt. De versnelling zorgt ervoor dat de snelheid v
NLT- Dynamische modellen
verandert.
Versnelde Beweging 1
?
?
snelheid_v
versnelling_a
?
?
kracht_F
massa_m
Figuur 42 – Een model voor snelheid en versnelling
Instroompijl
De waarde van de
instroompijl versnelling
geeft aan hoeveel de
variabele snelheid per
tijdseenheid toeneemt.
Als de waarde van de
instroompijl negatief is
dan neemt de snelheid
af.
In het model in figuur 42 is de versnelling de instroom bij de snelheid.
c Lees in het kader wat de betekenis van een instroompijl is en leg in je
eigen woorden uit waarom de versnelling de instroom van de snelheid is.
d Is het model in figuur 42 geschikt voor de beweging omhoog, de
beweging omlaag, of voor beide bewegingen? Leg uit.
Positief of negatief
Een vertraagde beweging omhoog is een beweging met een positieve snelheid
en een negatieve versnelling. De snelheid neemt dan af.
Na het hoogste punt wordt de snelheid negatief. Omdat de versnelling
negatief blijft wordt de snelheid steeds meer groter negatief. Het voorwerp
heeft een steeds grotere snelheid omlaag.
Om het model goed te laten werken moet bij elke kracht, snelheid,
versnelling of positie nagegaan worden of de waarde positief of negatief is.
Meestal wordt omhoog als positief gezien, naar beneden als negatief.
38
Omhoog en omlaag
Om het model in twee richtingen te laten werken is het nodig om een
positieve en een negatieve richting te kiezen. In dit soort situaties wordt
omhoog als positief gezien, naar beneden als negatief.
a Welke van de vier vakjes in het model van figuur 23 heeft, in het geval
van de kogel die omhoog geschoten wordt, aan het begin een negatieve
waarde?
In figuur 43 vind je enkele gegevens over het pistool dat door de Nederlandse
politie gebruikt wordt.
b Welke van de vier modelvariabelen uit figuur 42 zijn met deze gegevens
te bepalen? Noteer de gegevens.
Figuur 43 – Een Walther P5
kaliber kogel
frontaal oppervlak
massa
afschietsnelheid
cw-waarde
luchtdichtheid
9 mm
6,410-5 m²
9 gram
350 m/s
0,2 à 0,3
1,3 kg/m³
c
Met welke formule bereken je de zwaartekracht?
d Is de zwaartekracht positief of negatief?
Open het model Versnelde Beweging 1. Dit model is het begin van een
model voor een versnelde beweging.
39
Model Versnelde Beweging
Model Versnelde Beweging 1 gaat alleen over snelheid en versnelling. De
versnelling a hangt af van de kracht F en de massa m: F = ma .
a Welke formule moet je nu in het model invullen om de versnelling a te
berekenen?
De enige kracht in dit model is de zwaartekracht. In plaats van steeds de
waarde uitrekenen, kun je deze ook laten berekenen met een formule.
b Trek een relatiepijl van massa naar kracht en noteer de formule waarmee
je de zwaartekracht kunt berekenen uit de massa in het model. Denk aan
de negatieve waarde voor de zwaartekracht!
c Kies de massa en de beginsnelheid van de kogel van een Walther P5 (zie
figuur 43). Laat het model lopen.
28
40
Na het hoogste punt
De snelheid van de kogel neemt af naarmate de kogel hoger komt. Zodra de
kogel weer naar beneden komt neemt de snelheid weer toe. De snelheid
wordt dan negatief.
a Breid het model uit met een grafiek van de snelheid en teken de grafiek.
300
200
snelheid_v
100
0
-100
-200
-300
0
10
20
30
40
50
60
70
Time
Figuur 44 – Snelheid-tijd-diagram van de kogel
b Klopt de grafiek met je verwachtingen? Noteer wat wel en niet
overeenkomt.
Op een gegeven moment wordt de snelheid van de kogel nul.
c Bepaal zo nauwkeurig mogelijk op welk tijdstip de snelheid nul wordt.
d Maak met behulp van de grafiek van de snelheid een schatting van de
hoogte die de kogel bereikt.
Wiskunde D Dynamische modellen
41
Het model uitbreiden
ersnelde Beweging en afstand
Tijdens het vallen neemt niet alleen de snelheid van het voorwerp toe, ook de
?
hoogte_h
hoogte verandert.
a Voeg een niveauvariabele hoogte_h toe en vul de beginwaarde in.
b Teken een instroompijl bij de hoogte, en zorg dat de waarde van de
instroom gelijk is aan de snelheid.
Met het uitgebreide model is het mogelijk om een grafiek van de hoogte van
de kogel te tekenen.
snelheid_v
6.000
versnelling_a
5.000
hoogte_h
4.000
kracht_F
massa_m
Figuur 45 - Model met
snelheid en afstand
3.000
2.000
1.000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Time
Figuur 46 – Hoogte-tijd-diagram van de kogel
c
Laat het model een grafiek tekenen van de hoogte. Neem het resultaat
over in figuur 46.
d Hoe hoog komt de kogel? Klopt je antwoord met de voorspelling?
42
De invloed van de luchtwrijving
Het eenvoudige model van het pistoolschot gaat uit van een beweging zonder
luchtwrijving, in de praktijk zal de luchtwrijving wel degelijk invloed hebben.
Voordat het model uitgebreid wordt stellen we een voorspelling op.
a Zal de kogel in werkelijkheid hoger of minder hoog komen dan in het
eenvoudige model?
b Zal de kogel in werkelijkheid korter of langer in de lucht zijn dan in het
eenvoudige model?
Figuur 47 - Een Walther P5
c
kaliber kogel
frontaal oppervlak
massa
afschietsnelheid
cw-waarde
luchtdichtheid
d Schets in de grafieken van de snelheid en de afstand een voorspelling van
de beweging met luchtwrijving.
9 mm
6,410-5 m²
9 gram
350 m/s
0,2
1,3 kg/m³
43
Zal de kogel in werkelijkheid met een hogere of lagere snelheid op de
grond komen dan in het eenvoudige model?
Luchtwrijving
Voor de luchtwrijving van een kogel geldt:
Fw,l  12  cw  A    v 2
a Bereken met de formule de grootte van de luchtwrijving van de kogel van
de Walther P5 direct na het verlaten van de loop.
b Breid het model uit met een rekenvariabele F_lucht.
c Breid het model uit met drie constanten: cw_waarde, oppervlak_A en
luchtdichtheid.
d Trek alle benodigde relatiepijlen, denk ook aan de snelheid.
e Hoe moet de formule voor de versnelling aangepast worden?
IF-statement gebruiken
De luchtwrijving heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt dan
is de luchtwrijving naar beneden gericht (negatief). Omgekeerd moet de
luchtwrijving positief zijn als de kogel omlaag beweegt.
In de formule wordt het kwadraat van de snelheid gebruikt. De uitkomst
is dus altijd negatief! In het model kan de luchtwrijving op een juiste
manier ingevoerd worden met de onderstaande formule voor de
luchtwrijving:
IF( v>0 , -0,5*cw*A*ρ*v^2 , 0,5*cw*A*ρ*v^2)
Het IF-statement betekent dat als de voorwaarde ( v>0) klopt de eerste
formule wordt gebruikt. Als de voorwaarde niet klopt wordt de tweede
formule gebruikt.
30
44
Positieve en negatieve luchtwrijving
De luchtwrijving heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt dan is
de luchtwrijving negatief. Omgekeerd moet de luchtwrijving positief zijn als
de kogel omlaag beweegt. Lees het bovenstaande kader over het IF-statment.
a Leg uit dat met deze formule de luchtwrijving negatief is als de kogel
omhoog gaat, en positief als de kogel naar beneden gaat.
b Noteer de formule voor Flucht in het model.
c Laat het model lopen en teken grafieken voor de hoogte en voor de
snelheid. Pas indien nodig de assen aan en schets de grafieken in figuur
48.
1.400
300
1.200
1.000
hoogte_h
snelheid_v
200
100
800
600
0
400
200
-100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
Time
20
25
30
35
Time
Figuur 48 – Snelheid-tijd-diagram en hoogte-tijd-diagram van de kogel met
luchtwrijving
d Welke maximale hoogte bereikt de kogel?
e Hoe lang is de kogel onderweg?
f
45
Met welke snelheid bereikt de kogel de grond?
Evaluatie: Resultaten van het model
Geef antwoord op de onderstaande vragen met behulp van de resultaten van
je model èn de informatie in de bron ‘Losse flodders of dodelijke schoten’.
a Kan een neervallende kogel dodelijk zijn? Licht toe.
b Is een kogel lang genoeg in de lucht om met de wind meegenomen te
worden? Licht toe.
c
Maak een afweging naar aanleiding van de vraag:
Is het vreugdevuur nu wel of niet gevaarlijk?
Losse flodders of dodelijke schoten?
Knagende vraag: Vreugdeschoten
Bij
vreugdevolle
gebeurtenissen
schieten mensen soms met een pistool
in de lucht ten overstaan van een grote
menigte. Waarom raakt er nooit
iemand gewond als de kogel weer naar
beneden valt?
Antwoord R. Kollerie, Arnhem:
Als
deze
pistoolschoten
of
zelfs
machinegeweersalvo's afgevuurd worden met echte
kogels, vallen soms wel degelijk doden. Tijdens de
onrusten in Albanië waren er waarnemers die hun
verontrusting uitspraken over het aantal doden en
gewonden dat op deze manier werd veroorzaakt.
Antwoord Nico Verschuren, Amsterdam:
Een verticaal afgevuurde kogel kan een grote hoogte
bereiken. Afhankelijk van het type, komt het
projectiel tot duizend à 2.500 meter boven de grond.
Het duurt daarbij soms meer dan een minuut
voordat de kogel weer terugkeert op aarde. Al
die
tijd is de kogel ten prooi aan zijwind. Zelfs een kogel
die recht omhoog wordt afgevuurd, krijgt daardoor
meestal een behoorlijke horizontale snelheid.
Daardoor is de kans gering dat de kogel neerkomt
binnen een straal van honderd meter van de
schutter.
Antwoord Peter Kooistra, Amsterdam:
Aan het begin van de vorige eeuw werd dit door
verschillende kogelexperts gemeten, meldt Peter. De
7,6 mm kaliber kogels deden er bijna twintig
seconden over om een hoogte te bereiken van ruim
2,5 km. Daarna deden ze er meer dan dertig
seconden over om weer neer te komen in het meer,
met een snelheid van honderd meter per seconde.
Hoe dodelijk is zo'n kogel? Kooistra: 'Bij zo'n vijftig
meter per seconde dringt de kogel door de huid. De
inslag van zo'n kogel kan dus soms dodelijk te zijn'
Bron: www.intermediair.nl
32
6
Dynamische Modellen
Het algemeen model gebruiken
Wat gaan we doen?
NLT-module
In de vorige les is aan de hand van een praktijksituatie (vallende kogels)
een model ontwikkeld waarmee alle bewegingen die langs een rechte lijn
verlopen onderzocht kunnen worden.
 Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?
Het lesmateriaal is een
onderdeel van de module
Dynamische Modellen.
Algemeen model van bewegingen
In het onderstaande figuur is het algemeen model voor bewegingen
weergegeven. In dit model zijn, naast snelheid, versnelling en afstand, drie
krachten opgenomen die samen een totale kracht of resultante leveren. Het
model is gemaakt voor bewegingen langs een rechte lijn.
NLT - Dynamische modellen
Algemeen model bewegingen
afstand_s
verplaatsing
snelheid_v
versnelling_a
?
totale_kracht_F
massa_m
?
?
?
kracht_F1
kracht_F2
kracht_F3
Figuur 30 – Een algemeen model voor bewegingen en krachten
46
Het algemeen model
Het model in figuur 30 lijkt veel op het laatste model van de verticale baan
van de kogel. Er zijn ook verschillen.
a Vergelijk het algemene model met het model van de kogel. Welke
verschillen zie je?
b Dit model kun je ook gebruiken voor de remweg van een auto. Hoe zorg
je dat de snelheid van de auto afneemt?
Toepassing algemeen model: Schaatsen
De eerste toepassing van het algemeen model gaat over schaatsen. Het
ijsstadion van Calgary is een zogenaamde ‘hooglandbaan’ waar de
luchtwrijving op een schaatser relatief klein is.
Topsprinters beweren dat je in Calgary na de sprint wel een volle ronde
van 400 m kunt doorglijden. Klopt deze bewering?
Om dit te onderzoekenzetten we eerst op een rij welke krachten er werken.
De twee krachten op een uitglijdende schaatser zijn de glijwrijving Fw,g
(tussen de schaatsen en het ijs) en de luchtwrijving Fw,l (op het lichaam). De
glijwrijving Fw,g op de schaatser wordt gegeven door de volgende formule:
Figuur 31 – De Olympic Oval
in Calgary
Fw, g  c g  Fn  c g  m  g
Hierin is cg de glijwrijvingscoëfficiënt, Fn de normaalkracht (van het ijs op de
schaatser), m de massa van de schaatser, en g de zwaartekrachtconstante
(9,8 N/kg). Uit deze formule blijkt dat de glijwrijving tijdens het uitglijden
constant is.
Voor de luchtwrijving Fw,l op de schaatser geldt de volgende formule:
Fw,l  12  cw  A    v 2
Hierin is cw de luchtwrijvingscoëfficiënt (stroomlijnfactor), A de frontale
oppervlakte van de schaatser,  de luchtdichtheid en v de snelheid van de
schaatser. Uit deze formule blijkt dat de luchtwrijving tijdens het uitglijden
niet constant is.
Figuur 31 - Het testen van de
luchtwrijving van een
schaatspak gebeurt in een
windtunnel
47
Oriëntatie op het schaatsmodel
Naast de benodigde formules heb je een groot aantal gegevens nodig van
grootheden die in de berekeningen gebruikt worden.
a Stel een lijst op van alle grootheden waarvan de waarde voor dit
probleem van belang is. Noteer het symbool van de grootheid met de
bijbehorende eenheid (voor bijvoorbeeld de massa is dat: m in kg).
Snelste rondje aller
tijden
Jeremy Wotherspoon
verbeterde het afgelopen
weekeinde in Salt Lake City
het meest onderschatte
schaatswereldrecord: dat
van de snelste volle ronde
van 400 meter. Tijdens zijn
wereldrecordrace over 1000
meter (1.07,72) legde de
Canadees de afstand tussen
200 en 600 meter af in
24,71 seconden.
Als eerste moet je weten met welke snelheid de schaatser de finishlijn
passeert. Lees daarvoor het krantenartikel ‘ Snelste rondje aller tijden’.
b Geef op basis van het artikel een redelijke schatting van de snelheid van
een topschaatser bij het passeren van de finishlijn.
Twee andere benodigde gegevens zijn de glijwrijvingscoëfficiënt cg en de
massa m van de schaatser: cg = 0,0034 en m = 75 kg.
c Bereken de grootte van de glijwrijving Fw,g .
bron: Volkskrant, 3-12-2001
Voor de luchtwrijving gaat het om de luchtwrijvingscoëfficiënt cw en het
frontaal oppervlak A van de schaatser, en om de dichtheid  van de lucht: cw
= 0,70, A = 0,60 m² en  = 1,02 kg/m³. Daardoor geldt: Fw,l = 0,214v².
d Bereken de grootte van de luchtwrijving Fw,l bij het passeren van de
finishlijn.
34
Direct na het passeren van de finishlijn neemt de snelheid van de schaatser
af.
e Bereken de nettokracht en de vertraging direct na de finishlijn.
Schets in de grafiek van figuur 32 hoe je verwacht dat de snelheid van de
schaatser zal afnemen. Gebruik daarbij de gegevens die je hiervoor
berekend hebt en noteer getallen langs de assen.
v
f
0
0
t
Figuur 32 - Voorspelling van het (v,t)-diagram van een uitglijdende schaatser.
Met behulp van de grafiek kun je een voorspelling maken over het uitglijden
van de schaatser na het passeren van de finishlijn.
g Schat hoe lang het duurt voordat de schaatser stilstaat.
h Schat welke afstand de schaatser tijdens het uitglijden aflegt.
48
Een model voor schaatsen bouwen
Open het ‘ Algemeen model voor bewegingen’. Je gaat dit model aanpassen
voor de schaatser na het passeren van de finishlijn.
a Plaats de luchtwrijving en de glijwrijving in het model. Gebruik voor elke
symbool in de formules een aparte variabele (een constante) in het
model.
b Trek de benodigde relatiepijlen en vul het model met formules en
getallen.
c Breid het model uit met een grafiek voor de snelheid en een grafiek voor
de afstand.
d Laat het model lopen. Welke afstand haalt de uitglijdende schaatser?
e Hoe lang duurt het totdat de schaatser stilstaat?
f
Nadat de snelheid nul is geworden, gebeurt er iets vreemds in het model.
Wat gebeurt er eigenlijk? Hoe kan dat?
35
Antwoorden
8.
Fw  cw . . A.v 2
a. Zowel cw als A zijn kleiner bij de voorovergebogen
fietser, dus de luchtwrijvingskracht is kleiner.
b. Er zijn verschillende manieren, bijv dmv een foto
waarvan de schaal bekend is, raster aanbrengen,
vakjes tellen.
2
2
c. Fw  cw .. A.v  1,1.0,51.1, 2.(15 / 3,6)  11,7 N
1. Zwaartekracht, hangt af van de massa
Opwaartse kracht , hangt af van volume ballon,
temperatuur, dichtheid
Veerkracht, hangt af van uitrekking en sterkte veer.
Luchtwrijving, hangt af van snelheid, luchtdichtheid,
oppervlak en vorm
Drijfkracht, hangt af van volume onder water en
dichtheid water
Spankracht touw, hangt af van de kracht waarmee
getrokken wordt
Kracht langs helling, hangt af van massa en
stijgingspercentage weg
Liftkracht, hangt af van snelheid, vorm en grootte
vleugels.
Fw  cw .. A.v 2  0,88.0,31.1, 2.(15 / 3,6) 2  5,68 N
d. Ongeveer half zo groot.
9. a. De snelheid groeit 5,0 m/s in 10 s. Dus a =
v/t = 5,0/10 = 0,50 m/s²
b. 14,8 m/s.
c. Met ongeveer 5%.
10. a. a = F/m
j. Met ongeveer 5%.
2. a. De snelheid neemt in het begin toe, maar
bereikt na een tijdje een maximale waarde. Verder
eigen antwoord van de leerling.
b. Eigen uitleg.
c. F = ma geeft a = 0,5 m/s²
d. na 1 seconde 0,5 m/s, na 10 seconde 5,0 m/s.
e. Die zijn even groot.
11. a.-b. Bij een constante versnelling neemt de
snelheid gelijkmatig toe (of af) en is de (v,t)-grafiek
een rechte lijn. De grafiek is echter krom, wordt
steeds minder steil, de snelheid neemt steeds minder
snel toe, dus de versnelling neemt af.
3. a. De factoren cw, A en ρ zijn constant.
b. k = ½×cw×A×ρ = 0,194
c. Fw,l = k·v² = 0,194×10² = 19,4 N, du voorwaartse
kracht is 42,5 N.
d. Evenwicht, dus Fw,l = 42,5 geeft 0,194×v² = 42,5
en v = 14,8 m/s = 53,3 m/s.
d. De oppervlakte schatten met een driehoek:
½2512 = 150 m.
4. a. Ligstuur, helm, andere houding, dicht
achterwiel.
b. s = vt geeft 24.500 = 14,8t en t = 1655,4 s = 27
min 35,4 s.
c. 2% minder betekent 0,98, dus 0,1940,98 =
0,190. Dan geldt 0,190v² = 41,5. Dat geeft v = 14,78
s en t = 1656 s.
d. De tijden verschillen 19 s. Daarmee had Fignon de
Tour de France kunnen winnen met 11 s verschil.
12.
a. Zwaartekracht: 1,5x9,81=14,7 N
b. Nettokracht: 0 N (immers de snelheid is en blijft
0 m/s).
c. De nettokracht op het boek is het gevolg van de
combinatie van zwaartekracht en de kracht die de
tafel uitoefent, ter ondersteuning van het boek.
5. Je kunt zeggen dat de krachten die op dat
voorwerp worden uitgeoefend elkaar opheffen: de
nettokracht is 0. De precieze formulering van
Newtons Tweede Wet luidt: Fnetto  m.a
13. a. Het vliegtuig heeft een constante snelheid dus
de versnelling is 0.
b. De luchtwrijving heft de voortstuwende kracht op:
grootte is dus 1,0.105 N.
c. De liftkracht van de vleugels
6. a., b. Nettokracht 0 N.
c. De nettokracht is in voorwaartse richting
(gelijkgericht aan de snelheid).
d. De nettokracht is in achterwaartse richtin
(tegengesteld aan de snelheid.)
14. De luchtwrijvingskracht is evenredig met het
kwadraat van de snelheid: 2 keer zo grote snelheid
dan 4 x zo grote luchtwrijvingskracht.
15. Als alleen het frontaal oppervlak verandert wordt
de luchtwrijvingskracht 1,5 maal zo groot. Het is
echter waarschijnlijk dat de stroomlijn van de auto
ook slechter wordt,zodat de luchtwrijvingscoefficient
7. b. Zwaartekracht blijft gelijk.
c. Luchtwrijvingskracht verandert, want die is
afhankelijk van de snelheid.
36
groter wordt. Dat zorgt voor een extra toename van
de luchtwrijvingskracht.
d. Het heeft een snelheid, er is een kracht nodig om
af te remmen.
16 a. Eigen voorspelling.
b. Eigen gegevens.
c. Gebruik k = ½cwA ρ
d. Gebruik Fz = Fw,l, dus m·g = k·v².. Vul jouw k in
24. a. amplitude 5,2 cm, evenwicht bij 9,8 cm en
trillingstijd 0,63 s.
b. amplitude 10,2 cm, trillingstijd gelijk.
c. T wordt 1,4 maal zo groot, 1,4 maal zo klein en
blijft gelijk.
Veerkracht en zwaartekracht.
b. (veerkracht – zwaartekracht) / massa
c. Fz = Fveer, dus mg = Cu geeft 0,19,8 = 10u en
u = 0,098 m.
d. 90 m/s².
zonder luchtweerstand:
helling = a = 9,81 m/s²
maximumsnelheid
25.-26. Eigen resultaten van onderzoek aan de
simulatie van de Bungee Katapult.
f
g. Zie grafiek. Meestal na 15 tot 20 seconde.
27. a. De beweging van de auto dempt snel, bij
weinig demping blijft de auto bij iedere hobbel nog
lang op-en-neer-bewegen.
b. De bewegin gaat trager en blijft langer deinen.
c. d.
e. De demping is te slap.
f. Bij demping = 5000
17. a. (zwaartekracht – luchtwrijving)/massa.
e. Maak een schatting met behulp van een driehoek
en een rechthoek. Ongeveer 800 m
18. a. De snelheid (in m/s) geeft aan hoeveel meter
de afstand elke seconde groeit (of afneemt).
d. Eigen waarde
e. Eigen waarden. Gebruik dat k = ½cwA
28. a. De massa van het wegdek zou dan veel groter
moeten worden en de tuien worden veel trakker
gespannen.
b. De wind duwt toevallig in het juiste tempo
waardoor de brug steeds iets meer gaat bewegen.
c. Grotere massa, stijver wegdek, zwaardere kabels.
d. De brug gaat bewegen als f = 0,16 Hz
19. De luchtwrijving blijft gelijk, maar de
zwaartekracht wordt veel groter.
20. De druppels blijven dan versnellen, dus de
snelheid wordt erg groot. Bij een hoogte van 500 m
wordt de snelheid 99 m/s = 357 km/h. Dat zou hard
aankomen.
29. a. Bij constante topsnelheid is de nettokracht 0
N.
b. Bij topsnelheid geldt: Fmotor = Fw,l = kv². Als F
twee keer zo groot wordt dan wordt v² ook twee keer
zo groot. Dan wordt v met 2 vermenigvuldigd
1202 = 170 km/h. Je kunt ook een
getallenvoorbeeld nemen met k = 2 en v = 120
21. a. In het begin is v=0m/s en de versnelling gelijk
aan g. Tijdens de val neemt v toe dus de versnelling
zal steeds kleiner worden.
b. Zie 50.
30. a. Fz = mg = 0,209,8 = 1,96 N.
b. C = F/u = 1,96/0,11 = 17,8 N/m
c. Nog eens 11 cm erbij, dus 40 cm.
22. a. Een band die zachter heeft een grotere
rolweerstand. De motor moet harder draaien, en per
km meer benzine nodig is.
b. De kracht nodig voor optrekken en afremmen is
volgens de tweede wet evenredig met de massa:
minder nettokracht nodig bij versnellen en remmen.
c.
cr .m.g  cw . . A.v 2 ofwel: 0,015.1200.9,81=0,3.1,2.2.v 2
v
31. a. F = Cu = 1200,10 = 12 N.
b. F = ma geeft a = F/m = 12/0,2 = 60 m/s².
c. De helft, 30 m.s².
d. Het dubbele, 120 m/s².
176,58
 15, 7m / s  56km / h
.72
32. a. 20 m.
b. De veerkracht is dan nog kleiner dan de
zwaartekracht.
c. Fveer = Cu = 20010 = 2000 N. Fnetto = 2000 809,8 = 1,2 kN omhoog.
23. a. Veerkracht en zwaartekracht.
b. (veerkracht – zwaartekracht) / massa
c. Fz = Fveer, dus mg = Cu geeft 0,19,8 = 10u en
u = 0,098 m.
37
33. a. De auto ‘reageert’ veel sneller op hobbels, de
inzittenden worden een beetje door elkaar geschud..
b. Na een hobbel blijft de auto lang op en neer
deinen. Daar kun je wagenziek van worden.
e. Ruim 6 km hoog. Vergelijk met je voorspelling.
f . Bij Δt=1 wordt de hoogte 6,4 km. Bij Δt=0,1 wordt
de hoogte 6,26 km.
42. a. Minder hoog.
b. Korter.
c. Een lagere snelheid.
d. –
34. a. Fnetto = Fstuw- Fz. De zwaartekracht is 2,06105
N, Fnetto = 1,8105 N. F = ma geeft a = 1,8105 /
2,1104 = 8,6 m/s².
b. De massa is minder geworden, de luchtwrijving is
kleiner geworden en er werkt een kleinere
zwaartekracht.
43. a. Fw,l = 0,50,26,4·10-51,3350² = 1,0 N.
b. –
c. –
d. –
e. a = (F_z + F_lucht)/massa
35. Bij constante snelheid met schijfwielen:
Fnetto  0 N dus Fvw  Fw,rol  Fw,l
1
1
Fvw  cr .Fn  .cw,l . A. .v 2  0, 0020.86, 7.9,81  .0,80.1,125.0,30.v 2
2
2
s 51151
v

 14, 2m / s dus Fvw  1, 70  0,135.(14, 2) 2  28,95 N
t 3600
Met spaakwiel en dezelfde voorwaartse kracht:
44. a. ALS v positief is DAN geldt de eerste formule
en is F negatief, ANDERS is F positief.
b. –
c. –
d. De maximale hoogte is ongeveer 1,36 km.
e. De kogel is ongeveer 34 s onderweg.
f. De eindsnelheid is ongeveer 100 m/s.
1
Fvw  28,95  1, 70  .0,83.1,125.0,30.v 2 
2
28.95  1, 70
v
 13,95m / s
0,5.0,83.1,125.0,30
s  v.t  13,95.3600  50218m
45. a. Een kogel met een snelheid van 100 m/s kan
dodelijk zijn.
b. De kogel is een halve minuut in de lucht, op die
hoogte waait het altijd vrij hard. Zelfs bij rustig
weer komt de kogel vele honderden meters
verder op de grond.
c. De trefkans is niet groot, maar er is toch gevaar
bij grote menigtes en veel kogels.
Dat is meer dan de afstand die Merckx reed:
Moser zou het record verbroken hebben met een gespaakt wiel.
37. a. Een eenparig vertraagde beweging, g = 9,8
m/s²
b. Een eenparig versnelde beweging, g = 9,8 m/s².
c. De versnelling is de toename of afname van de
snelheid per seconde, de eenheid is m/s per
seconde, ofwel m/s².
d. Het model is geschikt voor beide bewegingen. De
kracht is negatief, de beginsnelheid positief. De
negatieve instroom zorgt voor een afname.
46. a. Het algemeen model kent drie krachten die
niet gespecificeerd zijn.
b. Negatieve kracht.
46. a. De massa m in kg, de beginsnelheid v in m/s,
de luchtdichtheid ρ in kg/m³, de cw-waarde, de
snelheid v in m/s, het frontaal oppervlak A in m², de
glijweerstand Fw,g in N.
b. 400 m in ca. 25 s geeft v = 16 m/s.
c. Fw,g .= 0,00349,8175 = 2,5 N.
d. Fw,l = 0,50,70,61,0216² = 55 N.
e. a = 57,5/75 = 0,76 m/s².
f. De snelheid daalt eerst snel, daarna steeds
langzamer.
g. Maak een eigen schatting.
h. Maak een eigen schatting.
38. a. De kracht is negatief
b. De snelheid: 350 m/s, de massa: 0,009 kg, de
zwaartekracht: 0,089 N.
c. F = m*g of F = m*9,81
d. Negatief
39. a. a = F/m .
b. Fz = -9,81massa
40. a. De grafiek is een dalende rechte lijn, de
helling is 9,8.
b. Omdat er alleen zwaartekracht is moet de
versnelling constant zijn.
c. Na 35,7 s.
d. De kogel is op het hoogste punt.
e. vgem = 175 m/s en t = 35,7 s geeft h = 6,2 km.
f. Twee keer 35,7 = 71,4 s.
47. a. b. –
c. –
d. De schaatser haalt een afstand van meer dan 540
m.
e. Het uitglijden duurt ongeveer 140 s.
f. De snelheid wordt negatief door de constante
glijwrijvingskracht, dat is een foutje in het model.
41. a. De beginhoogte is 0 m.
b. –
c. De snelheid (in m/s) geeft aan hoe snel de
hoogte toeneemt per tijdstap van een seconde.
d. De grafiek wordt een parabool.
38
Samenvatting
Samenvatting
In het onderstaande schema’s zijn de begrippenlijst en de formulelijst uit
hoofdstuk 2 uitgebreid met begrippen en formules uit hoofdstuk 3.
Begrippen
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Zwaartekracht
Normaalkracht
Luchtwrijving
Schuifwrijving
Veerkracht
Veerconstante
Nettokracht
Versnelling
Valversnelling
Snelheidsverandering
Gemiddelde snelheid
Remweg
Oppervlakmethode in
het v,t-diagram
Autogordel
Kreukelzone
39
Betekenis symbolen, eenheden, situatie waarbij de formule gebruikt wordt
Formules
Fz  m  g
Fw,s  f  Fn
Fnetto  m  a
v  a  t (of a 
v
)
t
v(t )  a  t
s (t )  12 a  t 2
s  v gem  t
srem  12 vbegin  trem
v(t )  g  t
s (t )  12 g  t 2
Fw,l  12 cw  A    v2
Fv  C  u
40
BIJLAGE - Overzicht knoppen op de taakbalk Powersim