De driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal
Dion Gijswijt
De driehoek van Pascal is zonder twijfel
een van de mooiste en verrassendste getalpatronen in de wiskunde. Deze beroemde
driehoek is zó eenvoudig dat iedereen hem
op kan schrijven, maar toch bezit hij een
onuitputtelijke rijkdom aan patronen en
merkwaardige eigenschappen. Hoewel hij
al bekend was aan Chinese en indiase wiskundigen van duizend jaar geleden, is de
driehoek vernoemd naar de 17-de eeuwse
Franse wiskundige Blaise Pascal, die een
boek over deze ‘rekendriehoek’ schreef.
O PGAVE 1. Neem de driehoek over op papier en bereken de getallen in rij 7 tot en
met 10.
Hoe wordt de driehoek gemaakt
Hier zie je de eerste 6 rijen van de driehoek van Pascal. Helemaal in de top staat
het getal 1. Alle andere getallen zijn daaruit afgeleid volgens een eenvoudig recept.
Elk van deze getallen is gelijk aan de som
van de twee getallen erboven. Voor de enen
op de rand moet je aannemen dat buiten de
driehoek nullen staan.
O PGAVE 3. Bereken de som van de getallen uit rij 1 en doe dat ook voor rij 2, 3, 4
en 5. Kun je de verdubbelingen verklaren?
1
1
1
2
1
3
1
4
1
1
5
1
3
6
10 10
1
4
1
5
1
O PGAVE 2. Het aantal getallen in de eerste
rij is 1. Het aantal getallen in de eerste
twee rijen is gelijk aan 3. Tel ook het aantal getallen in de eerste 3, 4 en 5 rijen. De
uitkomsten zijn de eerste 5 driehoeksgetallen. Zoek de driehoeksgetallen op in de
driehoek van Pascal en bereken het totaal
aantal getallen in de eerste 10 rijen van de
driehoek.
O PGAVE 4. Je weet dat (x+1)1 = 1×x+1
en (x+1)2 = 1×x2 +2×x+1. Controleer
dat (x + 1)3 = 1 × x3 + 3 × x2 + 3 × x + 1.
Gebruik de driehoek nu om (x + 1)4 en
(x + 1)5 te berekenen.
O PGAVE 5. Kleur de oneven getallen in
de driehoek zwart. Zie je het patroon? Ga
na dat een getal in de driehoek oneven is
als precies één van de twee getallen erboven oneven is. Met deze truc kun je snel
nieuwe rijen kleuren, zonder de getallen uit
te rekenen.
O PGAVE 6. Kleur de driehoek met 3 kleuren. kleur de drievouden rood, de drievouden plus 1 zwart en de drievouden plus 2
blauw. Gebruik de regel:
rood+rood=zwart+blauw=rood,
rood+zwart=blauw+blauw=zwart en
rood+blauw=zwart+zwart=blauw.
Meer informatie
In de driehoek van pascal zitten nog veel
meer eigenschappen verborgen, waarvan
je er veel zelf kunt ontdekken. Voor meer
informatie kun je de homepage of een van
de volgende bronnen raadplegen:
Mathematical Carnival, Martin gardner,
Penguin Group, ISBN 0-14-013507-3
http://members.tripod.com/˜
absolutebow/ptri2.html