s kansberekening P {r,2,3,4)

60
voorbeeldopgavcn
5 9 begrippen en formules
s kansberekening
kansexperimenten E zijn bv.
1e een worp met een zuivere viervlaksdobbelsteen
2e zonder voorkeur een ei pakken uit een mand waarin dertig rode en
zeventig blauwe eierenliggen
uitkomstenruimten U behorend bij bovengenoemdekansexperimentenzijn
P {r,2,3,4)
2e {rood ei, blauw ei}
kansmodellen K behorend bij bovengenoemdekansexperimentenzijn
ls P(1) = 0,25, P(2) = 0,25, P(3) =0,25, P@) =0,25
2e P(rood ei) = 9,3, P(blauw ei) = 9,7
som van kansen in kansmodel = I
symmetrisch kansmodel kansmodelwaarin alle kansengelijk zijn
gebeurtenis G deelverzamelingvan uitkomstenverzameling U
aantalelementenvan G
P ( G) = aantalelementenvan u onder de voorwaarde: K is symmetrisch
0 S P(]) ! 1 voor elke gebeurtenisG
P( G ) = 0+ G is onm ogelijk
P( G ) = 1+ G is z ek er
comptenrent Gc van G bevatalle elementenvan U die niet tot G behoren
complementregelP(G) + P(Gc) = 1 e P(G) = 1 -P(Gc)
+
somregel A en B zijn elkaaruitsluitendegebeurtenissen
P(A of B) = P(A) + P(B) (korter: sg = plus)
productregel A en B zijn onderlingonaÍhankelijkegebeurtenissen+
P(A en B) = P(A).P(B) (korter:en = maal)
vaasmodelkansexperimentE waarbij uit eenvaasmet n knikkers blindelings
k knikkers getrokkenworden (met of zonderteruglegging)
trekken met terugleggen elke volgendeknikker wordt pas getrokken
nadatde vorige is teruggeiegd
E is binomiaal als getrokkenwordt met teruglegging
trekken z<lnderterugleggen elke volgendeknikker wordt getrokken
zonderdat de vorige is teruggelegd
E is hypergcometrisch als getrokkenwordt zonder temglegging
vnlleclig kaartspel bestaatuit 52 kaarten(26 rode en 26 zwatte)
rode kaarten:13 hartenv en 13 ruiten I
zwartekaarten:13 klaveren* en 13 schoppena
in elke soortzitten4 plaatjesen 9 genumnterdekaarten
plaatjes:aasA, heerH, vrouw V en boerll
gcnumrrerdekaatten:10,9, 8,'7, 6, 5, 4, 3 crt2
letters'
I Een postcode bestaat uit vier cijfers, gevolgd door twee
uit A tot en met z'
letters
de
9
en
met
en
tot
De cijfers worden gekozen uit 0
brieven'
800
Een postbode heeft in zijn tas
O p h o e v e e l b r i e ve n sta a tn a a r ve r w a ch ti n g e e n p o stco d e zo n d e r h e r h a l i n g
van cijfers en zonder herhaling van letters?
N e e m h i er b i j a a n d a te l ke p o stco d e d e ze l fd e ka n sh e e fto m vo o r te ko m e n .
van alle
u is de verzameling van alle mogelijke postcodesen G is de deelverzameling
letters'
van
herhaling
zonder
en
van
cijfers
herhaling
zonder
postcodes
=
aantalelementen
Her aantaielementenvan u = 10.10.10.i0.26.26 6.760.000en het
=
=
6.000.
3.2'l
10.9.8.7.26.25
van G
=
ry 0'4846'
De definitie van de kans op een gebeurtenisgeeft dan: P(G)
ffi*33
herhaling van letters
Het verwachte aantalbrieven zonderherhalingvan cijfers en zonder
is dus gelijk aan800 .0,4846 * 388.
z E: drie worpen met een zuivere gewone dobbelsteen'
H o e g r o o ti sd e ka n sd a td e so m va n d e g e g o o i d e a a n ta l |e n kl e i n e r i sd a n 1 6 ?
Benader het antwoord in vier decimalen nauwkeurig'
y
bij de derde worp: z'
Noem het aantalogen bij de eersteworp: x, bij de tweede worp: en
= 216 geordendedrietallen (x,y,z).
6.6.6
dan
u
bevat
De uitkomstenverzameling
StelGisdedeelverzamelingvanallegeordendedrietallen(x,y,z)metx+y+z(|6+
= {(6,6,6), (6'6'5)' (6'5'6)' (5'6'6)'
Gc bevat atle drietaltenmet x+y+z ) 16, d.w.z.6c
(6,s,5), (5,6,5),(s,5,6),(6,6,4),(6,4,6),(4,6,6))' Gc bevat dus 10 elementen'
Elk element van U heeft dezelfde kans gegooid te woÍden'
vindenwe nu: P(G)
M.b.v. decomplenrentregel
= 1- P(Gc)= t -#
=2#
o'g537'
-
sp e l ka a r te n .
B : d r i e ke e r tr l i n d e l i n g s e e n ka a r t tr e kke n u i t e e n vo l l e d i g
terugleggen'
met
wordt
getrokken
Bereken de kans op één harten als
B e r e k en d e ka n so p é é n h a r te n a |sg e tr o kke n w o r d tzo n d e r te r u g l e g g e n .
B e n a d er b e i d e a n tr vo o r d e n i n vi e r d e ci m a l e n n a u w ke u r i g '
Stel h = harten(13 stuks)en gh = géénharten(39 stuks) +
P(éénharten) = P((h, gh, gh) of (g'h,h, gh) of (gh' gh' h))'
geeft dan:
Herhaaldetoepassingvan de somregeien de productregel
Bij een trekkingnlet terugleggen:
tt t9 i 9 * l ( ) 1 3 .1 q
l ) ( t i e r r h r u te n=) A A'i
sz'n 'í
Ri.icerr trekkingzonderterrrgleggen:
t9 l 3 31,t.
t I rr) ]lt
r
l , {t : t . r rl r r r .r r r-r ) ï, ï
#
+
# ï
3 e .3 9 .1'í3
fi '5 2
-
5 9 J1 9 .x 0 .4 2 1 9 .
t+o o o s- - "'
39 1e 11 = s77g8 x
ffi o
s,,
52' í
" 4lsq '
v,+JJ2
r
62
voorbeeldopgaven
6 1 begrippen en formules kansberekening
9. 2 roosterdiagram en tloomcliagram
roosterdiagram grafische voorstelling van u als bv. E: twee worpen met een
gewone dobbelsteen (zie onderstaandefiguur)
x is aantal ogen bij eerste lvorp en y is aantal ogen bij tweede worp
X = (5,3), d.w.z. bij eersteworp 5 ogen en bij tweede worp 3 ogen
1 Kansexperiment E: tegetijkertijd een zuivere gewonedobbelsteenen een
opgooien.
zuivere viervlaksdobbelsteen
gewone
dobbelsteengegooidwordt noemen we
met
de
dat
ogen
Het aantal
gegooidwordt y.
getal
met
viervlaksdobbelsteen
de
dat
en het
Gebeurt enisG 1 = {( x, y) lx S y} en gebeur t enisG 2 = {( x'y) | x+y = 6}'
Geef in een roosterdiagramvan U de elementenvan Gl en G2 aan.
B ereken P( G r ) , P( G z) ,P( G r n G 2) en P( G r u G z) .
van U. Hierin zijn de elementenvan G1
tekeningis eenroosterdiagram
Onderstaande
meteenO en de elementenvan G2meteenX.
aangegeven
A
X
x x
boomdiagram onderstaandefiguur is kansdiagram als bv. E: drie keer tossen
met een vals geldstuk (kans op kop = g'7 en kans op munt = 0'3)
bovendienisbijelkemogelijkeserievandrieworpenhetaantalkeren
kop geteld en genoteerd
xX
X
M.b.v. bovenstaandefiguur vinden we nu:
p (c l)=
*
P(G1@
r . -=r *
= # , P ( c t =* = i , P ( G r n c r ) = h = #
"n
I
2
De voetballersX en Y nemenelk tweestrafschoppen.
X en Y hebbenper strafschopeen scoringskansvan 0,7 respectievelijk0'8.
Berekende kans dat X en Y samenpreciestwee strafschoppenbenutten.
We tekeneneersteenboomdiagramvoor X en eenboomdiagramvoor Y en noterendan
onderbeidediagrammenhet aantaltreffers(r = raaken m - mis):
boomdiagrm voor Y
32212r
m.b.v. bovenstaandboomdiagram kunnen we nu vinden:
P(0 x k) = 0,3 .0,3 ' 0,3 = 0,027
P( lx k ) = 0, 3. 0, 3. 0, 7 + 0, 3. 0 , 7 . 0 , 3 + 0 , 7 '0 , 3 '0 , 3
P( 2x k ) = 0, 3. 0, 7. 0, ' 1 + 0, ' 7. 0 , 3 . 0 , 7 +0 , 7 '0 , 7 '0 '3
P( 3x k ) = 0, 7. 0, 7. 0, 7 = 0, 343
= 0 '1 8 9
=0 , 4 4 1
voor X en Y vindenwe:
M.b.v.de boomdiagrammen
P(X scoort2 x en Y scoort0 x) = (0,7)2.(0'2)2 = 0,0196;
f)(X scoo r t lxenYscoor tx)
l = ( 2 ( 0, 7. 0, 3) ) . ( 2( 0, 8. 0, 2) )= 0, 1344;
l)(X scoort0 x cn Y scoort2 x) = (0,3)2.(0'8)2= 0,0576.
I Icrrl rul tk l cttrpl i ts s i ng v l ttt tl c s otttrc gc lgeeft:
= 0' 21l 6'
=
f '(X crr Y l )c rl trl l c rls i l rrrrl l l w c c : s rrl l ,s t:hoppc n) 0' 0196 + 0,1344 + 0' 0576
voorbeeldopgaven
63 begrippenen formules kansberekening
9. 3 combin ato riek
faculteitsgetallen n! zie onderstaandeafspraken
0! = I
1! = 1
1 v o o r n =2 , 3 , " '
n! = n x ( n- 1) x ( n- 2) x . . . x 3x 2x
permutaties = rangschikkingen
permutatie van k uit n permutatievan k verschillende elementen uit een
verzameling V vaÍl n elementen (k ! n)
opmerking: (x1, x2, x3) en (x3, x2, x1) zijn verschillende peÍrnutaties
van 3 elementenuit de 5 elementenvan V = {x1, x2, x3, x4, x5}
I Berekenhet aantalpermutatiesvan 2 uit 5.
Berekenook het aantalcombinatiesvan 2 uit 5'
5!
5 x 4 x 3 x2 x 1 =5 x4 =2 0 p e r m u ta ti e sva n 2 u i t5 .
Er zljn
@=- ffi r
Er zijn
ffi
5!
2 Een doos bevat zeven verschillend gekleurde kubussen'
Hoeveel verschillende stapels van drie kubussen kan men hiermee vormen?
Elke mogelijke opeenstapelingvan drie kubussenis een permutatie van 3 uit 7.
1l
vank uit n = ?;h'
aantalpermutaties
Er zijn derhalv #
"
<OSnl
combinaties = deelverzamelingen
combinatie van k uit n combinatie van k verschillende elementenuit een
verzameling V van n elementen (k ! n)
opmerking: (x1, x2, x3) en (x3, x2, x1) zijn dezelfde combinaties
van 3 elementenuit de 5 elementenvan V = {xt, xz, x3' x4' x5}
k uit n = ffi
aantalcombinatiesvan
getallen
vandevorm(i)
binomiaalcoèfficiënten
/ n\
([)
{t Sn)
=
fn+ïit
t S
"l
wordt uitgesprokenals: n boven k
enkele eigenschappen van binomiaalcoëfficiënten
5 x4
5 x4 x3 x2 xI
= 7 x 6 x 5 = 210 verschillende stapelsmogelijk'
3 O p e e n c i r k e l l i g g e n d e p u n te n A' B' C ' D , E, F e n G'
Hoeveel verschillende driehoeken kan men hiermee vormen?
Aangezien A, B, C, D, E, F en G op een cirket liggen, zal elke keuze van drie punten
een driehoek opleveren.
Bovendien is bij een driehoek de volgorde van de hoekpuntenniet van belang' d.w.z.
het aantal mogelijke driehoeken is gelijk aan het aantal combinaties van 3 uit 7.
7t
7 x6 x5
^-
Erzijnderhalv"5,f+J)1.
(g)
r Welkewaardenvanx voldoenaandevergelijking
= (33) t
* 5x=30v5x=55 ( à x=6vx=
( 84)
U i tei genschap2volgt
: = (!)
11'
eigenschaP I
/.\
( ó )= 1 " (;/= '
/n\
2
eigen s c h a p
s Hoeveel negenstapswegenzijn er in onderstaande graaf van o naar a?
A
(t)=('lo)ts"r
3
eigen s c h a p
([)
= uuntar.angschikkingen
vank "x--en"en n-k "y--en"(k ! n)
we sprekenaf: x betekent:één stap naar rechts en y betekent:één stap naar boven.
Een negenstapswegvan o naar A kunnen we dan opvatten als een rangschikking van
,,x-en', en drie ',y--en".Het aantal negenstapswegen
van o naar A is dus gelijk aan
zes
3 volgt nu:
eigenschap
Uit
letters'
negen
van
deze
hct aantalrangschikkingen
van O naarA is gelijk aan (?)
I Ícl alrrtal ncgcrnstnpswcgcn
=
arfu
= tt'
voorbeeldopgaven
formules kansberekening
65 begrippenen
F as c al
9.+ drie ho ekq xn
driehoek van Pascal een deel hiervan is getekendin onderstaandefiguur
v
t Bereken de getallen in de 8e rij van de driehoek van pascal.
volgens eigenschap1 is de 8e rij van de driehoek van pascal van de volgende vorm:
G)(?)(r)(8)G)(3)(S)(e)c)
./ a \
M.b.v. (t/
=
Rl
k!-fu
vindenwe de getallen 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8 en 1.
z Hoeveelveertienstapswegen
zijn er mogelijk van (0,0)via (3,4)naar (6,g)?
volgenseigenschap
2 zrlner (3) = ,t zevenstapswegen
van (0,0)naar(3,4)mogelijk.
Elke zevenstapsweg
van (3,4)naar(6,8)is vanhet type:drie "x__en"
en vier "y-<n".
Het aantalzevensrapswegen
van(3,4)naar(6,8)is duseveneens
gerijk*" (])
= ls.
Er zijn dus35 x 35 = 1225veertienstapswegen
mogelijkvan (0,0) via (3,4)naar(6,g).
3 B erekenhet aant alr angschikkingen
van delet t er ser iexxxxyyyyy.
Maak hierbij gebruik van eigenschap
3 en voorbeeldopgave
l.
Het aantal rangschikkingenvan vier "x--en,'en vijf ,'y--en,'ls gefilt aan (f).
ne rij van driehoek van Pascal verzameling van n+l getallen op de
lijn door de punten (n,0) en (0,n)
eigenschappen
in driehoek van Pascal
,1kele
M.b.v. eigenschap3 en voorbeeldopgave I we vinden dan:
G) =G) .( l ) =56+70=126.
e igens c hap I
nerijisvandevorm:
(s) (ï) G)
(,5)
(,1,) (l)
e igens c hap 2
(l)
= uun,utn-stapswegenvan (0,0) naar (k,n-k) (k I n)
eigenschap 3
(l) (uï,)= (tïl) (ksn)
-
ei g e n s c h a p4
(6 )-(ï).(i). .(,5) * ( "11) * (=l)' "
n Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling van negen elementen?
Voor elke k ! 9 is het aantaldeelverzamelingenvan k elementenuit een verzamelins
van negenelemenrengetijk aa" (?).
Het aantaldeelverzamelingenvan een verzamelingvan negenelementenis dus gelijk aan
de som van de getallen in de negenderij van de driehoek van pascal.
Volgens eigenschap4 is dezesom gelijk aan29 = 512.