Aanvullingen bij de cursus Regeltechniek [H04X3a]: deel A

Aanvullingen bij de cursus Regeltechniek [H04X3a]: deel A
J. Swevers, J. De Schutter
Augustus 2006
Inhoud
1 Systeemmodellen
1
1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Modelleren van systemen uit de ingenieurswereld . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3 Soorten systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1 Lineaire en niet-lineaire systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.2 Continue en discrete systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.3 Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.4 Systemen met geconcentreerde en met verdeelde parameters . . . . . .
4
1.3.5 Deterministische en stochastische systemen . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.6 Systemen zonder en met geheugen (Statistische en Dynamische systemen) 6
1.3.7 Systemen met of zonder terugkoppeling . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Afleiden van fysische modellen
2.1 Verwaarlozen van neveneffecten . . . . . . . . . . .
2.2 Invloed op de omgeving . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Vereenvoudiging naar geconcentreerde parameters .
2.4 Lineariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Constante parameters . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
9
9
3 Afleiden van mathematische modellen
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dynamische systeemelementen. . . . . . . . . . . .
3.2.1 Tweepool-elementen of éénpoorten (fig. 3.1)
3.2.2 Tweepoorten of vierpolen . . . . . . . . . .
3.3 Systeemgrafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Continuı̈teit en compatibiliteit . . . . . . . . . . .
3.4.1 Continuı̈teit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Compatibiliteit . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 De systeemvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 De knooppuntmethode . . . . . . . . . . . .
3.5.2 De kringloopmethode . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
15
19
22
25
25
25
26
26
27
4 Toestandsvergelijkingen voor continue systemen:
4.1 Het begrip “toestand” . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Toestandsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Het afleiden van de toestandsvergelijkingen . . . .
aanvullingen
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
29
29
29
30
i
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
Uit directe simulatie . . . . . . . . .
Natuurlijke toestandsveranderlijken
Oplossen van toestandsvergelijkingen
Bepaling van eFt . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
32
33
Hoofdstuk 1
Systeemmodellen
1.1
Inleiding
Om systemen te kunnen analyseren moet men ofwel over het systeem zelf beschikken ofwel
over een beschrijving ervan in aangepaste vorm. Indien men over het systeem zelf beschikt, of
over een schaalmodel, kan men hierop testen uitvoeren om het systeemgedrag voor bepaalde
inputsignalen te analyseren.
Voorbeeld
Schaalmodellen van wagens worden in windtunnels getest om de aërodynamische weerstand
te bepalen. Input: windsnelheid en -richting. Output: aërodynamische weerstandskrachten.
Voorbeeld
In waterbouwkundige laboratoria worden schaalmodellen van havens gebouwd om de invloed
van de stromingen op aanslibbing of ontzanding te kunnen bestuderen.
Vroeger was het testen van prototypes of schaalmodellen de enige methode voor de optimalisatie van systemen. In sommige industrietakken is testen nog steeds in voege, bv. in de
automobielindustrie. Hiertoe beschikt Ford bv. over een uitgebreide testbaan voor nieuwe
wagentypes in Lommel.
Meer en meer echter begint simulatie van het systeemgedrag, op basis van mathematische
modellen, ingang te vinden. Belangrijk hierbij is te beschikken over nauwkeurige systeemmodellen. Het modelleringsproces vergt een goede observatie en begrip van de fysische wereld.
Zijn (haar) vermogen tot modelleren kenmerkt de goede ingenieur.
1.2
Modelleren van systemen uit de ingenieurswereld
Modelvorming is enorm belangrijk in de analyse van systemen. Wij gaan ons in deze cursus
speciaal toespitsen op systemen die in de technische wereld voorkomen. Een eerste stap in
de modelvorming van technische systemen is de afleiding van een fysisch model. Dit is een
hypotetisch systeemmodel dat het eigenlijke systeem zo goed mogelijk benadert in zijn belangrijke kenmerken, maar dat eenvoudiger is en zich daardoor beter leent tot mathematische
beschrijving. De kwaliteiten van een ingenieur liggen in hoge mate in zijn bekwaamheid om
eenvoudige fysische modellen uit te denken die net goed genoeg zijn om het systeemgedrag
voldoende nauwkeurig te kunnen voorspellen. Eenmaal een goed fysisch model opgesteld is,
1
Systeemmodellen
2
volstaan meestal gekende mathematische technieken om het gestelde probleem op te lossen.
Het fysisch model wordt hierbij eerst omgezet in een mathematisch model (stelsel vergelijkingen). Hulp wordt hierbij ingeroepen van andere, hoofdzakelijk grafische, modelvormen.
Naderhand moet uiteraard de bekomen oplossing terug in verband gebracht worden met de
fysische werkelijkheid door een juiste interpretatie van het resultaat. Dit kan niet in de boeken
geleerd worden, maar vergt ervaring, intuı̈tie en verbeelding. Het is een omgekeerde modellering en deze is niet zo eenvoudig als de voorwaartse modellering.
Input/output-versus toestandsruimtebenadering
Elk systeem interageert met zijn omgeving, d.i. met andere systemen. Dergelijke interacties beı̈nvloeden het systeemgedrag. De invloeden met oorzaak buiten het systeem worden
ingangsgrootheden, invoergrootheden of kortweg inputs genoemd. De respons van het systeem als gevolg van deze inputs kan vastgesteld worden door de wijzigingen van bepaalde
uitgangsgrootheden of outputs te observeren (meten). Deze voorstellingswijze noemt men de
input/output-benadering (I/0-benadering) of ook wel de ”black box-benadering.
In veel gevallen is de output van een systeem niet enkel functie van de input, zoals verondersteld in de I/O-benadering, maar ook van de inwendige toestand van het systeem zoals die
bestond op het ogenblik waarop de input begint in te werken. Deze visie, waarbij expliciet
naar de inwendige samenstelling van het systeem gekeken wordt, heeft aanleiding gegeven
tot de toestandsbeschrijving van dynamische systemen. Deze ”schoolı̈s in de jaren 60 in de
VSA ontstaan en wordt ook de ”state space approach”genoemd. De vraag die opgelost wordt
volgens de toestandsruimtebenadering is dus: ”Gegeven de input en de begintoestand van het
model, bepaal de output”.
Er zal verder duidelijk blijken dat beide benaderingswijzen aanleiding geven tot andere systeemmodellen en dus tot andere oplossingswijzen van de mathematische modellen.
Doel en methoden van de analyse van systemen
De analyse van systemen op basis van systeemmodellen heeft dus als doel het volgend probleem op te lossen: ”Gegeven de input (en de begintoestand bij de toestandsbeschrijving),
bepaal de output”.
Hiermee is meestal het ingenieursprobleem nog niet opgelost. Men wil immers meer weten,
nl. ”Hoe kan het systeem gewijzigd worden om een bepaald gewenst I/0-gedrag te realiseren ?”Dit is het syntheseprobleem dat niet tot de leerstof van deze cursus behoort. De
cursus beperkt zich tot de studie van de technieken die gebruikt worden bij de analyse van
een beperkte categorie (zie verder voor de afbakening van de beschouwde categorieën) van
dynamische systemen, zowel volgens de I/0-benadering als volgens de toestandsbeschrijving.
Samengevat onderscheidt men dus in de studie van dynamische systemen vier stadia :
1. Afleiden van een fysisch model, dat het werkelijk gedrag zo dicht mogelijk benadert.
2. Afleiden van een mathematisch model dat het fysisch model beschrijft (afleiden van
beschrijvende differentiaalvergelijkingen).
3. Studie van het dynamisch gedrag van het mathematisch model (oplossen van de differentiaalvergelijkingen).
3
Systeemmodellen
Figuur 1.1:
4. Afleiden van ontwerpbeslissingen (keuze van de fysische parameters, wijzigen van het
systeem). Dit is het syntheseprobleem en wordt hier niet behandeld.
1.3
1.3.1
Soorten systemen
Lineaire en niet-lineaire systemen
Indien voor een systeem de input u(t) aanleiding geeft tot een output y(t) dan is het systeem
lineair indien en alleen indien twee voorwaarden vervuld zijn :
• homogeniteit : voor een input au(t) is de output ay(t)
• superpositie : indien y1 (t) de responsie is op u1 (t) en y2 (t) op u2 (t), dan is y1 (t)+y2 (t)
de responsie op u1 (t) + u2 (t).
Het systeem met input-output-gedrag weergegeven in fig. 1.1 is niet-lineair omdat aan geen
van beide voorwaarden voldaan is, het input-output-verband is nochtans lineair.
Samengevat is een systeem lineair indien au1 + bu2 aanleiding geeft tot ay1 + by2 (met a en
b scalaire grootheden). In onze verdere beschouwingen zullen wij ons hoofdzakelijk beperken
tot de analyse van lineaire systemen. De reden, indien misschien niet verantwoord, ligt voor
de hand: alleen voor de analyse van lineaire systemen ligt een gesloten theorie voor. Nietlineaire systemen worden veel meer ad hoc benaderd. Dit betekent echter helemaal niet dat
niet-lineaire systemen niet interessant of niet relevant zijn. Integendeel, niet-lineair gedrag
ligt aan de basis van uiterst boeiende verschijnselen in de natuur en de techniek. Sommigen
gaan zelfs zo ver te beweren dat de sleutel tot het leven in niet-lineair gedrag ligt.
1.3.2
Continue en discrete systemen
Een systeem is continu indien de input- en outputsignalen functies zijn van de continue
onafhankelijk veranderlijke (meestal de tijd). Continue systemen worden beschreven door
differentiaalvergelijkingen.
Bij discrete systemen veranderen de input- en outputsignalen enkel op discrete tijdstippen.
4
Systeemmodellen
Ofwel zijn deze signalen konstant in de tussentijden ofwel zijn ze alleen bepaald op discrete
tijdstippen. Discrete systemen worden beschreven door differentievergelijkingen.
Voorbeeld : Bevolkingsaangroeimodel
Het model is gebaseerd op de waarnemingen dat in een bepaalde groep mensen de geboorteen sterftecijers statistisch voorspelbare waarden aannemen. Het is evident dat deze cijfers
afhankelijk zijn van de beschouwde groep mensen.
Indien xi (k) het aantal mensen in de groep voorstelt met
leeftijd i bij de aanvang van jaar k;
bi
de jaarlijkse nakomelingschap van een persoon
met leeftijd i;
ai
de fraktie van de groep met leeftijd i die dat
jaar overleeft;
en
y(k) de bevolking van de groep bij het begin van
jaar k.
Het mathematisch model kan als volgt neergeschreven worden :
x1 (k + 1) = b1 x1 (k) + b2 x2 (k) + . . . + bN xN (k)
xi+1 (k + 1) = ai xi (k), i = 1, 2 . . . N − 1
(1.1)
y(k) = x1 (k) + x2 (k) + . . . xN (k)
Dit zijn de toestandsvergelijkingen van het systeem en als zodanig het diskreet mathematisch model van de bevolkingsaangroei binnen het gesloten systeem.
Analytisch zou het model veel eenvoudiger zijn indien de coëfficiënten ai en bi konstant waren.
Het is echter duidelijk dat ze funktie van de tijd zijn. Immers, verbeteringen in medische dienstverlening, hongersnood, oorlog, ... kunnen de overlevingskansen van een bevolkingsgroep
sterk wijzigen. Maatschappelijke tendenzen beı̈nvloeden duidelijk het geboortecijfer. We
hebben hier dus te doen met een tijdsveranderlijk diskreet systeem (zie 1.3.3).
1.3.3
Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen
Systemen waarvan de parameters variëren in de tijd zijn tijdsveranderlijke systemen. Zij worden beschreven door differentiaal- of differentievergelijkingen met tijdsveranderlijke coëfficiënten.
Tijdsinvariante systemen worden beschreven door differentiaal- of differentie-vergelijkingen
met constante coëfficiënten.
Indien y(t) de responsie is op de ingang u(t) dan is bij een tijdsinvariant systeem y(t − T ) de
responsie op u(t − T ). Analoog bij een tijdsinvariant discreet systeem als y(n) de responsie is
op u(n), dan is y(n − k) de responsie op u(n − k). De responsie van een tijdsinvariant systeem
is dus onafhankelijk van de oorsprong van de tijdschaal.
1.3.4
Systemen met geconcentreerde en met verdeelde parameters
Systemen met geconcentreerde parameters kunnen beschreven worden door gewone differentiaalvergelijkingen. Dit is het geval indien de input zich ogenblikkelijk door het systeem voortplant. Dit komt hierop neer dat de golflengten van de inputsignalen groot zijn vergeleken met
de fysische afmetingen van de systeemelementen.
5
Systeemmodellen
Figuur 1.2:
Systemen met verdeelde parameters worden beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen. Hier plant de input zich met een eindige snelheid doorheen het systeem voort. Thermische systemen met warmteoverdracht, chemische systemen waarin diffusie optreedt, een
trillende snaar en transmissielijnen zijn voorbeelden van verdeelde systemen.
Voorbeeld : De trillende snaar
Beschouw een stukje snaar met lengte △x met (kleine) hoeken α1 en α2 met de x-as (zie Fig.
1.2). De netto vertikale kracht op de snaar is:
Fy = T α2 − T α1
met T de kracht in de snaar. Deze Fy moet gelijk zijn aan de massakracht in vertikale richting
:
∂2y
ρ.△x. 2 ,
∂t
met ρ de massa per lengte-eenheid van de snaar. Dus :
T
△α
∂2y
= ρ. 2
△x
∂t
of daar
α=
∂y
∂x
volgt dat:
ρ ∂2y
∂2y
=
.
∂x2
T ∂t2
Dit is de bekende golfvergelijking van een gespannen snaar. Het is een partiële differentiaalvergelijking omdat het systeem een verdeelde massa heeft, waardoor een signaal zich met
eindige snelheid voortplant doorheen het systeem. De voorplantingssnelheid µ van de golf is
bepaald door :
s
T
µ=
ρ
De oplossing van de golfvergelijking heeft de volgende vorm :
y(x, t) = yo .cos
(lopende golf).
2π
(x − µt)
λ
6
Systeemmodellen
Figuur 1.3:
1.3.5
Deterministische en stochastische systemen
In veel fysische systemen zijn bepaalde parameters aan min of meer willekeurige variaties onderhevig, ofwel kunnen de parameters onvoldoende nauwkeurig bepaald worden. Een systeem
met één of meerdere onzekere parameters wordt een stochastisch systeem genoemd. Indien
alle parameters goed gekend zijn is het systeem deterministisch.
Voorbeeld : Markov-systeem een discreet stochastisch systeem
De kans dat een gezond persoon ziek wordt tijdens een epidemie is 0,75. De kans om te
genezen na 1 week is 1. Bepaal de evolutie van het percentage zieken in de tijd. (We nemen
als bemonsteringsinterval 1 week).
1.3.6
Systemen zonder en met geheugen (Statistische en Dynamische systemen)
Een systeem is zonder geheugen indien de output op een tijdstip t alleen afhankelijk is van
de input op datzelfde ogenblik. Indien de output ook afhankelijk is van voorbije inputs over
bvb. een tijdinterval (t − T, t), dan heeft het systeem een geheugen met lengte T .
Een systeem bestaande uit een capaciteit C, met de stroom i(t) als input en de spanning e(t)
over de capaciteit als output heeft een geheugen met oneindige lengte, omdat :
Z
1 t
i(τ )dτ
e(t) =
C −∞
De output hangt dus af van alle i-waarden vanaf t = −∞. Een elektrische weerstand echter
is een geheugenlooselement, omdat e = iR. Geheugenloze systemen worden soms statische
systemen genoemd, systemen met geheugen heten dan dynamsiche systemen.
1.3.7
Systemen met of zonder terugkoppeling
Als de input gekozen wordt rekening houdend met de output spreekt men van een teruggekoppeld system. De aard van de terugkoppeling d.w.z. de bewerking die men de output laat
ondergaan vóór hij als input tot het systeem dient wordt gekozen in funktie van bepaalde
doelstellingen (performantieindex) (zie Fig. 1.3). Meestal wil men de output y zo goed mogelijke gelijk maken aan de input u.
Terugkoppeling is een zeer belangrijk concept; het speelt een sleutelrol in moderne technische
systemen. Men treft het evenzeer in de natuur en in levende wezens aan als in technische
systemen. Het mechanisme dat onze lichaamstemperatuur constant houdt is een knap staaltje
van terugkoppeling.
Systeemmodellen
7
Het principe is steeds hetzelfde in alle toepassingen van terugkoppeling: het gewenste systeemgedrag (input) wordt vergeleken met het werkelijke (output) en het verschil tussen beide
wordt gebruikt om door middel van passende äctuatoren”het systeem te dwingen zich te
gedragen zoals gewenst.
Teruggekoppelde systemen hebben een reeks zeer interessante eigenschappen.
Deze cursus behandelt praktisch uitsluitend deterministische, lineaire, tijdsinvariante systemen met geconcentreerde parameters met of zonder geheugen, met
of zonder terugkoppeling.
Hoofdstuk 2
Afleiden van fysische modellen
Een fysisch model van een dynamisch systeem is een denkbeeldig fysisch systeem dat eenvoudiger is dan het origineel systeem, maar dat in zijn gedrag voldoende hierbij aansluit om
een (voor de ingenieur) geldige analyse te kunnen doorvoeren.
Bij het construeren in gedachten van een fysisch model worden vereenvoudigingen gemaakt.
De systeemelementen worden geı̈dealiseerd. Het beste model is het eenvoudigste model dat de
nodige informatie oplevert voor een ingenieursbeslissing. Een benaderend antwoord is soms
beter dan het juiste antwoord, omdat dit laatste soms slechts ten koste van veel geld en moeite
kan bereikt worden.
De meest voorkomende vereenvoudigingen zijn :
2.1
Verwaarlozen van neveneffecten
Het verwaarlozen van neveneffecten vereenvoudigt het mathematisch model dat resulteert uit
het fysisch model wegens de vermindering van het aantal veranderlijken die hiermee gepaard
gaat.
• Voorbeeld: Een draadgewikkelde weerstand bezit ook een zekere inductantie, die
echter voor laagfrequent-toepassingen zonder meer kan verwaarloosd worden.
• Voorbeeld: Een veer bezit ook een massa die eveneens in veel toepassingen verwaarloosbaar is.
2.2
Invloed op de omgeving
Meestal veronderstelt met dat het dynamisch gedrag van een systeem geen invloed uitoefent
op de omgeving. Anders uitgedrukt: men veronderstelt dat de bronnen ideaal zijn.
• Voorbeeld: De spanning afgegeven door een batterij (die behoort tot de omgeving) aan
een elektrisch netwerk (het systeem) is in veel gevallen onafhankelijk van het gedrag van
het netwerk. Dit geldt zolang de inwendige weerstand van de batterij veel kleiner is dan
de weerstand van het netwerk waarop de batterij aangesloten is. Het niet voldaan zijn
van deze veronderstelling verzwaart de mathematische oplossing van de systeemvergelijkingen meestal in aanzienlijke mate.
8
Afleiden van fysische modellen
9
• Voorbeeld: De druk van het water dat uit de kraan komt is in eerste benadering
constant en onafhankelijk van het waterniveau in de watertoren.
2.3
Vereenvoudiging naar geconcentreerde parameters
Indien mogelijk worden verdeelde parameters zoveel mogelijk geweerd daar zij aanleiding
geven tot partiële differentiaalvergelijkingen in plaats van tot gewone differentiaalvergelijkingen bij geconcentreerde elementen.
• Voorbeeld: Een Bladveer met zware massa op het uiteinde. De massa van de bladveer
mag verwaarloosd worden t.o.v. de zware massa aan het uiteinde bij de studie van het
trillingsgedrag van de massa.
• Voorbeeld: Het samengeperste gas in een cilinder kan aanzien worden als een lineaire
geconcentreerde veer voor de berekening van de zuigerverplaatsing.
• Voorbeeld: Een satelliet kan beschouwd worden als een puntmassa voor de berekening
van de baan. Echter niet bij de berekening van de “spin” van de satelliet om haar as.
• Voorbeeld Thermische systemen zijn steeds met verdeelde parameters.
2.4
Lineariteit
Het fysisch model wordt indien mogelijk zó vereenvoudigd dat het leidt tot lineaire differentiaalvergelijkingen, d.w.z. waarbij de coëfficiënten alleen functie van de tijd zijn. Wanneer de
coëfficiënten constant zijn spreekt men van tijdsinvariante lineaire systemen.
• Voorbeeld: Een niet-lineaire veerkarakteristiek zal men vervangen door een lineaire
die zo dicht mogelijk bij de niet-lineaire aansluit rondom het werkingspunt om aldus
een eenvoudiger model te bekomen.
• Voorbeeld: Hydraulische systemen gedragen zich steeds niet-lineair.
2.5
Constante parameters
Indien de systeemparameters variëren in de tijd worden de systeemvergelijkingen moeilijker
oplosbaar.
Indien de parametervariatie voldoende traag gebeurt (t.o.v. de tijdsvariaties in de oplossing)
kan de oplossing gezocht worden voor een constante parameter.
Oplossen voor verschillende vaste waarden van de parameter kan dan toch een voldoende
nauwkeurig idee geven van het gedrag van het systeem met tijdsvariante parameter.
Voorbeeld: Een slinger met variërende slingerlengte volgens Fig. 2.1 is essentieel een systeem
met tijdsafhankelijke parameter. De slingerlengte kan alleen binnen een zeer kleine hoek als
constant beschouwd worden. De slinger van Fig. 2.1 kan stuksgewijs d.w.z. binnen bepaalde
grenzen van de hoek, als een systeem met constante parameters beschouwd worden.
10
Afleiden van fysische modellen
Figuur 2.1:
Hoofdstuk 3
Afleiden van mathematische
modellen
3.1
Inleiding
Het gedrag van fysische systemen wordt bepaald door de stroom, de opslag en de uitwisseling
met de omgeving van verschillende energievormen.
De analyse van het gedrag van fysische systemen vereist, zoals reeds gezegd, het opstellen van
een vereenvoudigd fysisch model, bestaande uit elementaire, geı̈dealiseerde bouwstenen. Deze
bouwstenen zijn in feite de realisaties van de betrekkingen die tussen de fysische grootheden,
zoals kracht, debiet, spanning, enz. van het mathematisch model optreden.
De betrekkingen tussen de beschrijvende grootheden van een systeem worden in het algemeen
bewegingsvergelijkingen of systeemvergelijkingen genoemd. Het opstellen van de systeemvergelijkingen omvat drie belangrijke stappen :
1. Keuze van de fysische veranderlijken die de ogenblikkelijke toestand van het systeem beschrijven, zoals snelheid, druk, spanning, debiet, . . .
De fysische veranderlijken worden opgedeeld in zgn. “staande” veranderlijken (across
variables) en “lopende” veranderlijken (through variables).
Lopende veranderlijken meten de doorgang van een grootheid doorheen een systeemelement, zoals de stroom door een weerstand, de kracht door een veer, het vloeistofdebiet
door een leiding.
Staande veranderlijken meten het verschil in toestand tussen de uiteinden van het systeemelement, zoals de spanning over een weerstand, de drukval over een leiding, het
snelheidsverschil tussen de uiteinden van een schokdemper.
De lopende veranderlijke heeft dezelfde waarde aan beide uiteinden van het element.
De staande veranderlijke wordt uitgedrukt als het verschil tussen de absolute waarden
(t.o.v. een willekeurige referentie) aan beide uiteinden. Verder inzicht verkrijgt men
door na te gaan hoe de veranderlijken gemeten kunnen worden. Om lopende veranderlijken te meten moet de kring onderbroken worden om het meettoestel te kunnen
tussenschakelen. Om staande veranderlijken te meten wordt het meettoestel över”de
klemmen geplaatst. Als algemeen symbool wordt f gebruikt voor lopende en v voor
11
12
Afleiden van mathematische modellen
staande veranderlijken.
2. Betrekkingen tussen de fysische veranderlijken voor elk element.
Voor elk van de gekozen geı̈dealiseerde systeemelementen bestaat er een betrekking
tussen de lopende en de staande veranderlijke van dat element. Deze betrekkingen steunen op empirische fysische wetten zoals de mechanische betrekkingen tussen kracht
en beweging (bv. kracht evenredig met verplaatsing bij een lineaire veer), elektrische
betrekkingen tussen spanning en stroom (bv. stroom door weerstand evenredig met aangelegde spanning over de weerstand), electro-mechanische betrekkingen tussen kracht
en elektrische stroom (kracht op een geleider evenredig met de stroom door de geleider).
Tabel 3.1 bevat enkele belangrijke ideale systeemelementen samen.
3. Verbindingsvoorwaarden tussen de systeemelementen.
Door de wijze waarop de verschillende systeemelementen op elkaar inwerken worden
voorwaarden opgelegd aan de betrekkingen tussen de paren veranderlijken die elk van
de systeemelementen definiëren. Deze voorwaarden zijn :
• Evenwichtsvoorwaarden (continuı̈teit):
Zijn altijd betrekkingen tussen lopende veranderlijken. Zij worden, naargelang
de discipline, soms knooppuntvergelijkingen of continuı̈teitsvergelijkingen genoemd.
Voorbeelden zijn de stroomwet van Kirchhoff in een knooppunt van een elektrisch netwerk, het krachtenevenwicht in een punt van een mechanische structuur,
de continuı̈teitsvoorwaarde van een vloeistofstroom.
• Verenigbaarheidsvoorwaarden (compatibiliteit) :
Zijn altijd betrekkingen tussen staande veranderlijken. Zij worden soms kringloopvergelijkingen of verbindingsvoorwaarden genoemd. Voorbeelden zijn de spanningswet van Kirchhoff in een kringloop of geometrische verbindingsvoorwaarden in mechanische systemen.
Uiteindelijk moeten de volgens deze drie stappen bekomen veranderlijken gecombineerd worden en eventueel ongewenste veranderlijken geëlimineerd (zie verder).
3.2
Dynamische systeemelementen.
Het gedrag van systeemelementen wordt bepaald door bepaalde functionele verbanden tussen
twee veranderlijken waarvan één staande veranderlijke v en één lopende veranderlijke f . De
lopende veranderlijke heeft dezelfde waarde aan elk van de twee elementuiteinden, terwijl de
staande veranderlijke gedefinieerd wordt in termen van het verschil tussen de twee elementuiteinden. Deze twee veranderlijken kunnen gezien worden als de afgeleiden naar de tijd van
de geı̈ntegreerde lopende veranderlijke h en de geı̈ntegreerde staande veranderlijke x:
f
= dh/dt
v = dx/dt
In tabel 3.2 zijn de vier hierboven besproken veranderlijken samengebracht voor translationele en rotationele mechanische systemen, elektrische systemen, hydraulische en thermische
systemen.
Het vermogen P dat in een element door de uiteinden 1 en 2 gaat is steeds het product van
Afleiden van mathematische modellen
Tabel 3.1: Ideale systeemelementen
13
Afleiden van mathematische modellen
Tabel 3.2: Staande en lopende veranderlijken voor fysische systemen
14
15
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.1:
de staande en de lopende veranderlijke :
P = f v21
terwijl de energie E de integraal van het vermogen is. Tussen 0 en t geldt :
Z t
Z t
f v21 dt
P.dt =
E=
0
0
De enige uitzondering op deze energiebetrekkingen is het thermisch systeem; daar is vermogen
de lopende veranderlijke zelf (warmteflux q) en energie is de geı̈ntegreerde lopende veranderlijke (hoeveelheid overgebrachte warmte).
Tabel 3.2 geeft de staande en lopende veranderlijken voor fysische systemen aan.
3.2.1
Tweepool-elementen of éénpoorten (fig. 3.1)
Een element beschreven door het verband tussen één lopende veranderlijke f en één staande
veranderlijke v21 wordt een tweepool of éénpoort genoemd.
In fysische systemen bestaan volgende systeemelementen :
1. Veralgemeende inductanties.
Zuivere translatie- en rotatieveren, zuivere inductanties en zuivere hydraulische inertanties
worden gedefinieerd door een éénduidig verband tussen de lopende veranderlijke f en de
geı̈ntegreerde staande veranderlijke x :
x21 = f1 (f ) met x21 = 0 voor f = 0 en f1 éénduidig.
16
Afleiden van mathematische modellen
De inductantie is ideaal (lineair) indien :
x21 = L . f
of
v21 = L . df /dt
met L de veralgemeende inductantie.
Voor ideale veren is L de soepelheid, voor ideale inductanties wordt L de inductantie genoemd,
voor hydraulische elementen de inertantie.
De energie E toegevoerd aan het element in tijdsinterval [0, te ] is :
Z te
Z fe
E=
f.v21 .dt =
f L df = 1/2 L fe2
0
0
De energie kan uitgedrukt worden enkel in funktie van fe , de eindtoestand van de lopende
veranderlijke.
In tabel 3.1 zijn de zuivere veralgemeende inductanties gecatalogeerd. De algemene grafische
voorstelling is deze van een spoel. Er bestaat geen thermische inductantie.
2. Veralgemeende capaciteiten.
Zuivere massa’s en inerties, net als zuivere elektrische, hydraulische en thermische capaciteiten
worden gedefinieerd door een éénduidig verband tussen de staande veranderlijke v21 en de
geı̈ntegreerde lopende veranderlijke :
h = f (v21 )
In alle gevallen, uitgenomen de elektrische capaciteit, moet één elementuiteinde verbonden
zijn met een referentie met constante staande veranderlijke. Voor een ideale capaciteit geldt :
h = C v21
of
f = C . dv21 /dt
met C constant. Hierin is C de veralgemeende capaciteit.
Voor ideale massa’s is C de massa of het traagheidsmoment; voor de andere elementen is het
de elektrische, hydraulische of thermische capaciteit.
De toegevoegde energie is :
E=
Z
0
te
v21 f dt =
Z
v21e
v21 dh
0
De energie kan uitgedrukt worden enkel in functie van v21e , de eindtoestand van de staande
veranderlijke.
17
Afleiden van mathematische modellen
Voor ideale elementen is :
E=
Z
te
v21 . f dt =
0
Z
0
v21e
2
v21 C dv21 = 1/2 C v21e
Deze vergelijking geldt niet voor de thermische capaciteit, maar wel :
Z te
q . dt = Ct . θ21e
E=
0
Tabel 3.1 bevat ook de veralgemeende capaciteiten. De voorstelling is deze van een elektrische
capaciteit.
3. Veralgemeende weerstand.
Zuivere translatie- en rotatiedempers en elektrische, hydraulische en thermische weerstanden
worden gedefinieerd door de éénduidige functie :
f = f (v21 )
zó dat f = 0 als v21 = 0 en de tekens van f en v21 altijd gelijk zijn. Ideale weerstanden zijn
gekenmerkt door :
1
f = v21
R
waarin R de veralgemeende weerstand voorstelt. Het vermogen geleverd aan een veralgemeende weerstand is :
P = f v21 = v21 . f (v21 )
Daar wegens de definitie de tekens van f en v21 steeds gelijk zijn, is P steeds positief, dus
het vermogen vloeit steeds de weerstand binnen. Een veralgemeende weerstand dissipeert dus
energie. Voor een ideale weerstand is :
P = f 2R =
2
v21
R
De verschillende weerstandtypes zijn in tabel3.1 weergegeven. Als symbool gebruikt men dat
van de elektrische weerstand.
4. Ideale bronnen.
Een toestel dat energie aan een systeem kan toevoeren wordt een bron genoemd. In de analyse
van systemen is het nuttig ideale bronnen te beschouwen. Twee speciale ideale bronnen worden
onderscheiden :
• bronnen waarbij de bronveranderlijke een staande veranderlijke is die volgens een bepaalde wet in de tijd varieert. We noemen ze v-bronnen. Deze bron is ideaal indien de
bronveranderlijke onafhankelijk is van de f -veranderlijke die door de bron moet geleverd
worden.
18
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.2:
Tabel 3.3: Fysische bronnen als benadering van ideale bronnen
• bronnen waarbij de bronveranderlijke een lopende veranderlijke is. We noemen ze f bronnen. Deze f -bron is ideaal indien de bronveranderlijke onafhankelijk is van de
v-waarde die over de bron ontstaat.
De gebruikte symbolen zijn in fig. 3.2 gegeven.
In fig. 3.2 a is v21 een functie van de tijd, onafhankelijk van de f -veranderlijke die door de
bron moet geleverd worden. De pijl duidt aan dat wanneer de bronveranderlijke v21 > 0, dan
v2 > v1 . De pijl wijst dus in de richting van een v-val in de bron. In fig. 3.2 b is f een
bepaalde tijdsfunctie onafhankelijk van de waarde van v21 en positief aanzien indien gericht
volgens de pijl. In tabel 3.3 worden enkele veel voorkomende fysische bronnen aangegeven die
de ideale bron benaderen.
Voorstelling van systeemelementen met georiënteerde grafen. Een algemeen symbool voor een willekeurig tweepool-element is een georiënteerde lijngraf. De uiteinden van
de graf duiden de staande veranderlijken aan van het element en de lijn tussen de uiteinden
stelt de continuı̈teit van de lopende veranderlijke voor in het element. De pijl duidt aan dat
f positief is in de richting van de pijl en dat v21 positief is als v2 > v1 (fig. 3.3).
Nota :
19
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.3:
Figuur 3.4:
De zin van de pijlen bij de grafenvoorstelling van bronnen is in volledige overeenstemming
met de algemene voorstelling van systeemelementen door lijngrafen.
Dit betekent dat bij een v-bron, waarbij de pijl gericht is van v2 naar v1 , dus waarbij v21 > 0
of v2 −v1 als positief aanzien wordt, de positieve zin voor de f -veranderlijke in de bron volgens
de pijlzin ligt. Bij de kring van fig. 3.4 a is de stroom door de spanningsbron negatief (omdat
als positieve zin voor de stroom de pijlrichting aangenomen wordt).
Voor een f -bron (fig. 3.4), waarbij de pijl de positieve f -zin aanduidt, is de positieve zin voor
de v-veranderlijke die over de bron komt te staan deze waarbij v1 > v2 of v12 > 0. In het
voorbeeld van fig. 3.4 b, waarbij de pijl de positieve zin aanduidt van de stroombron, is de
spanning die over de stroombron komt te staan (d.i. de geassocieerde v-veranderlijke van de
f -bron) negatief, omdat ze tegengesteld is aan de door de pijl opgelegde positieve zin van de
spanning over de stroombron opgelegd door de pijl zin. (Fig. 3.4).
3.2.2
Tweepoorten of vierpolen
Een systeem dat gekenmerkt is door een stel verbanden tussen twee paren lopende en staande
veranderlijken wordt een vierpool of tweepoort genoemd. Een dergelijk systeem kan energie
uitwisselen met zijn omgeving aan elke poort.
1. Zuivere transformatoren
Een veralgemeende zuivere transformator is een tweepoort waarbij de geı̈ntegreerde staande
veranderlijken (of in sommige gevallen de geı̈ntegreerde lopende veranderlijken) verbonden
zijn door een éénduidige functie en waarbij de totale energieflux in het toestel nul is.
Dus :
xb = f (xa )
of
hb = f (ha )
20
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.5:
Figuur 3.6:
en wegens de energievoorwaarde :
p = fa va + fb vb = 0
Voor een ideale transformator :
vb = nva
(uit xb = nxa )
en dus wegens de energievoorwaarde :
1
fb = − fa
n
De constante n is de transformatieverhouding. Voor de grafische voorstelling zie fig. 3.5.
Tabel 3.4 geeft enkele veel voorkomende ideale transformatoren weer.
In fig. 3.6 is de transformatieverhouding n = −1 omdat vb negatief is als va positief is, wegens
de heersende mechanische beperkingen.
Afleiden van mathematische modellen
Tabel 3.4: Veel voorkomende ideal transformatoren
21
22
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.7:
2. Zuivere gyratoren.
Transformatoren zetten een staande veranderlijke om in een staande en een lopende in een
lopende. Een gyrator daarentegen zet een staande veranderlijke om in een lopende zonder
energieverlies.
De ideale gyrator is bepaald door :
vb = r . fa
en
1
fb = − va
r
met r de gyratieverhouding.
De grafische voorstelling is weergegeven in fig. 3.7.
3. Omzetters (opnemers, sensoren).
Omzetters zijn transformatoren of gyratoren maar tussen twee verschillende energiesoorten.
Een electrodynamische snelheidsopnemer zet een snelheid om in een elektrische spanning
(E = Blv) en is dus als een transformator te beschouwen (snelheid en spanning zijn beide
staande veranderlijken). Bij een piezoelektrisch kristal (bvb. een accelerometer) wordt een
samendrukking van het kristal (geı̈ntegreerde staande veranderlijke) omgezet in een elektrische
lading (geı̈ntegreerde lopende veranderlijke) over de kristalvlakken. Deze opnemer is dus
een gyrator.(Meer hierover staat in de kursus Meetsystemen gedoceerd in het vierde jaar
Mechanika)
4. Afhankelijke bronnen
Een zuivere afhankelijke bron is een ideale bron waarin de bronveranderlijke functie is van
een tweede, onafhankelijke veranderlijke. In een ideale afhankelijke bron is dit verband zuiver
proportioneel.
Fig. 3.8 illustreert afhankelijke f - en v-bronnen. De afhankelijke bron is dus analoog aan de
transformator of de gyrator, uitgenomen dat hier de energievoorwaarde niet geldt.
3.3
Systeemgrafen
Een systeem is een verzameling van onderling verbonden systeemelementen (waaronder bronnen). Door elk systeemelement te vervangen door zijn grafvoorstelling bekomt men een sys-
23
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.8:
teemgraf. Hierbij kan volgende algemene procedure gevolgd worden :
• identificeer de geconcentreerde systeemelementen. Het aantal geconcentreerde elementen
is gelijk aan het aantal takken in de systeemgraf.
• kies een referentiepunt in het systeem ten opzichte waarvan alle staande veranderlijken
uitgedrukt kunnen worden.
• teken een tak voor elk element en elke bron.
• oriënteer de graf. Bij deze stap is de oriëntatie van de pijlen op de elementgrafen
totaal willekeurig. Niet echter bij de brongrafen! Daar moet de pijl in de juiste zin getekend worden. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de tekenconventie voor de bronnen.
Bij elektrische netwerken is dit vrij eenvoudig. Een positieve v-bron (dwz. waarbij
v2 > v1 ) wordt getekend met de pijl van v2 naar v1 toe. Zij doet in de aangesloten keten (het systeem) een stroom ontstaan zódanig dat aan de aansluitklemmen een
spanning optreedt waarbij v2 > v1 (uiteraard, anders wordt aan de spanningswet van
Kirchhoff niet voldaan!). Een positieve stroombron wordt getekend met de pijl in de
zin van de positieve stroom. Deze positieve stroom(bron) doet in de uitwendige keten
een spanningsval ontstaan waarbij v2 > v1 . Bij mechanische systemen kan een analoge
redenering gevolgd worden. Doch vooraf moet een positieve bewegingszin afgesproken
worden voor alle bewegingen in het systeem. Een positieve snelheidsbron, dwz. een bron
waarbij v2 > v1 , aangesloten op een mechanisch systeem doet het aangrijpingspunt van
de bron een positieve snelheid aannemen (ten opzichte van de referentie). De pijl in de
bron wordt dus van v2 naar v1 getekend.
Een positieve krachtbron wordt getekend met de pijl in de zin van een positieve kracht,
dwz. een kracht die het systeemelement waarop hij inwerkt een positieve snelheid meegeeft.
Hiernaast zijn enkele voorbeelden van mechanische systemenen hun systeemgraf weergegeven
(Fig. 3.9 en 3.10). Bij elektrische netwerken blijft de topologie behouden in de systeemgraf.
Een voorbeeld is in fig. 3.11 weergegeven.
De systeemgraf heeft het grote voordeel dat, vooral voor mechanische systemen, nadat de
systeemgraf is getekend, de systeemvergelijkingen quasi-automatisch kunnen afgeleid worden.
Vooral bij mechanische systemen worden klassiek nogal wat tekenfouten gemaakt. Analoge
beschouwingen gelden voor hydraulische, thermische,... systemen.
24
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.9:
Figuur 3.10:
25
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.11:
3.4
3.4.1
Continuı̈teit en compatibiliteit
Continuı̈teit
Continuı̈teit is de uitdrukking van de volgende fysische wetten :
elektrische systemen :
mechanische systemen :
hydraulische systemen :
thermische systemen :
behoud
behoud
behoud
behoud
van
van
van
van
lading (stroomwet van Kirchhoff)
hoeveelheid van beweging
hoeveelheid materie
energie
De knooppuntwet is de uitdrukking van de continuı̈teits-voorwaarde. Hierin wordt gezegd :
In een georiënteerde systeemgraf is de algebraı̈sche som van de lopende veranderlijken die een knooppunt binnenstromen gelijk aan nul,
of
X
fik = 0
i
voor elk knooppunt k.
Een direkt gevolg bij deze veralgemeende knooppunts wet is :
Voor een systeemgraf met n knooppunten zijn slechts (n - 1) knooppuntsvergelijkingen lineair onafhankelijk.
3.4.2
Compatibiliteit
Compatibiliteit is de uitdrukking van volgende waarheden :
elektrische systemen :
mechanische systemen :
hydraulische systemen :
thermische systemen :
spanningswet van Kirchhoff
geometrische beperkingen
som van de drukvallen gelijk aan nul in een kringloop
som van de temperatuursvallen gelijk aan nul in een kringloop.
De kringloopwet is de uitdrukking van de verenigbaarheidsvoorwaarde. Hierin wordt gezegd :
In een georiënteerde systeemgraf is de algebraı̈sche som van de staande veranderlijken in een willekeurige kringloop gelijk aan nul, of
X
vqp = 0
q
26
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.12:
voor elke kringloop p.
Stelling
In een systeemgraf (met alleen tweepolen) bestaande uit n knooppunten en b
takken zijn er b − (n − 1) onafhankelijke kringloopvergelijkingen.
3.5
De systeemvergelijkingen
Een voldoende stel vergelijkingen wordt gevormd door :
(n − 1) onafhankelijke knooppuntsvergelijkingen
b − (n − 1) onafhankelijke kringloopvergelijkingen
b − s elementvergelijkingen (s is het aantal bronnen).
Dus voor een graf met b takken, n knooppunten en s bronnen zijn er (n − 1) + (b − (n − 1))
+ (b − s) = 2b − s onafhankelijke vergelijkingen beschikbaar voor 2(b − s) + s = 2b − s
onbekenden (voor elke tak 2 onbekenden uitgenomen voor de brontakken waar slechts één
onbekende overblijft).
In veel gevallen is het niet nodig alle vergelijkingen neer te schrijven daar men meestal niet
geı̈nteresseerd is in alle veranderlijken voor elke tak. Er bestaan twee systematische methoden
om het aantal vergelijkingen te beperken : de knooppuntmethode en de kringloopmethode
3.5.1
De knooppuntmethode
De staande veranderlijke van ieder knooppunt wordt uitgedrukt ten opzichte van één referentieknooppunt. Dit resulteert in de zogenaamde knooppuntveranderlijken. Deze veranderlijken
voldoen automatisch aan de kringloopwet, want de staande veranderlijken tussen twee knooppunten is het verschil van de overeenkomstige knooppuntveranderlijken. De knooppuntvergelijkingen worden dan voor elk knooppunt geschreven en de lopende veranderlijken uitgedrukt
in termen van de elementvergelijkingen. Aldus bekomt men (n−1) vergelijkingen in de (n−1)
knooppuntveranderlijken.
Voorbeeld : In figuur 3.12 is een elektrisch netwerk (zonder geheugen) voorgesteld samen
met de systeemgraf (bemerk dat de topologie behouden blijft).
27
Afleiden van mathematische modellen
Kies knooppuntveranderlijken met e als referentieknooppunt.
vae = v
(gekende bron)
vce = v4
vbe = v2
vde = v6
Toepassing van de knooppuntwet in b, c en d (in a is toepassing van de knooppuntwet overbodig daar vae = v gekend is) levert volgende vergelijkingen op :
b : −f1 + f2 + f3 = 0
c : −f3 + f4 + f5 = 0
d : −f5 + f6 = 0
In bovenstaande vergelijkingen worden de lopende veranderlijken vervangen in funktie van de
knooppuntveranderlijken en de elementvergelijkingen :
v − v2
v2
v2 − v 4
+
+
=0
R1
R2
R3
v2 − v 4
v4
v4 − v 6
c : −
+
+
=0
R3
R4
R5
v6
v4 − v 6
+
=0
d : −
R5
R6
b : −
Het aantal vergelijkingen is dus gereduceerd tot het aantal knooppuntveranderlijken (buiten
deze waar de staande veranderlijke gekend is, zoals bij takken met bronnen (vb.knoop a)).
3.5.2
De kringloopmethode
Hier worden de veranderlijken zodanig gekozen dat de knooppuntwet automatisch voldaan is.
Als veranderlijken worden de rondlopende veranderlijke in de mazen beschouwd. Men noemt
ze kringloopveranderlijken. Dus de lopende veranderlijke in elke tak is het verschil tussen de
kringloopveranderlijken aan elke zijde van de tak. Op deze wijze zijn de knooppuntvergelijkingen automatisch voldaan.
De kringloopwet wordt toegepast op alle onafhankelijke mazen en de staande veranderlijken
worden uitgedrukt in termen van de lopende veranderlijken via de elementvergelijkingen.
Voorbeeld 3.2: We passen de kringloopmethode toe op het voorbeeld van fig. 3.12.
Kies de mazen A, B en C (aantal = 3 = b - (n - 1)) en definieer de kringloopveranderlijken
fA , fB en fC .(fig. 3.13).
De kringloopwet toegepast op mazen A, B en C :
A : −v + v1 + v2 = 0
B : −v2 + v3 + v4 = 0
C : −v4 + v5 + v6 = 0
28
Afleiden van mathematische modellen
Figuur 3.13:
In deze vergelijkingen worden de staande veranderlijken uitgedrukt in funktie van de kringloopveranderlijken en de elementvergelijkingen :
A : −v + R1 fA + R2 (fA − fB ) = 0
B : −R2 (fA − fB ) + R3 fB + R4 (fB − fC ) = 0
C : −R4 (fB − fC ) + R5 fC + R6 fC = 0
We bekomen dus 3 vergelijkingen in de 3 kringloopveranderlijken fA , fB en fC .
Hoofdstuk 4
Toestandsvergelijkingen voor
continue systemen: aanvullingen
4.1
Het begrip “toestand”
De toestand van een systeem op een bepaald ogenblik is de minimale informatie die samen
met de input de toekomstige output éénduidig bepaalt. De spanning over de capaciteit bij
t = 0, de stroom door een spoel bij t = 0, de kracht op een veer bij t = 0, de snelheid van een
massa bij t = 0, de stand van een spaarrekening bij k = 0, enz. bepalen de beginvoorwaarden
van een systeem en dus de toekomstige output.
De waarde van de gekozen veranderlijke (de zg. toestandsveranderlijke) bij t = 0 bepaalt de
beginvoorwaarden van het systeem. Het aantal toestandsveranderlijken is gelijk aan het aantal
beginvoorwaarden die het systeemgedrag bepalen en is dus gelijk aan de orde van het systeem.
Daar de beginvoorwaarden geassocieerd zijn met de initiële energieopslag in het systeem kunnen als toestandsveranderlijken steeds de veranderlijken gekozen worden die verantwoordelijk
zijn voor de energieopslag, zoals de spanning over een capaciteit, de stroom door een spoel, de
snelheid van een massa, de kracht op (of de verplaatsing van) een veer. Voor systemen die energie uitwisselen met de omgeving wordt het aantal beginvoorwaarden dat moet gespecifieerd
worden, dus ook het aantal toestandsveranderlijken, bepaald door het aantal onafhankelijke
wijzen waarop energie kan opgeslagen worden in het systeem. Dit aantal noemt men de orde
van het systeem. Het volstaat echter niet altijd het aantal energieopslaande elementen te
tellen om de orde te bekomen. Er bestaan ook gedegenereerde of ”pathologische”systemen
waar dit niet zo is. Bv. twee veren in serie waarbij het tussenliggend verbindingspunt niet
toegankelijk is, gedragen zich als één equivalente veer en verhogen de orde slechts met één.
Voor discrete systemen, die niet rechtstreeks met energieuitwisseling te maken hebben, is de
orde gelijk het aantal vertragingselementen in de simulatie.
4.2
Toestandsvergelijkingen
Voor een willekeurig systeem van orde n (lineair of niet-lineair) met r ingangen en s uitgangen
kan een systeem beschrijving gevonden worden in functie van de toestandsveranderlijken. De
29
Toestandsvergelijkingen voor continue systemen
30
Figuur 4.1:
algemene vorm van deze beschrijvingswijze is :
ẋ = Fx + Gu : toestandsvergelijking
(4.1)
y = Hx + Ju : input/output − vergelijking
Hierin is :
x : de toestandsvector (met n componenten)
u : de inputvector (bij een SISO-systeem is dit een scalar)
y : de outputvector (bij een SISO-systeem is dit een scalar)
F : de systeemmatrix (voor lineaire, tijdsinvariante systemen heeft deze n × n matrix constante elementen)
G : de n × r-input matrix (voor een systeem met één input is dit een vector met n componenten)
H : de s × n output matrix (voor een systeem met één uitgang is dit een rij-vector met n
componenten)
J : een s × r matrix die de directe koppeling van de input naar de output beschrijft. Meestal
is J = 0. Voor een SISO-systeem is J een scalar.
Fig. 4.1 geeft een algemeen geldig blokschema dat de toestandsvergelijkingen aanschouwelijk
voorstelt voor een continu systeem.
4.3
4.3.1
Het afleiden van de toestandsvergelijkingen
Uit directe simulatie
Zie ”Feedback Control of Dynamic Systems”(Franklin et al.) sectie 7.2.1 blz 473 ev.
4.3.2
Natuurlijke toestandsveranderlijken
De vorige methode via de simulatie om, geeft gegarandeerd een geldig stel toestandsvergelijkingen, maar is zeker niet de kortste weg. Voor heel wat systemen kan een “natuurlijk”
stel toestandsveranderlijken, die rechtstreeks te maken hebben met de energieopslag in het
systeem, gedefinieerd worden.
Door manipulatie van de systeemvergelijkingen, bekomen volgens de knooppunt- of kringloopmethode, kunnen de toestandsvergelijkingen afgeleid worden.
Voorbeeld :
31
Toestandsvergelijkingen voor continue systemen
Figuur 4.2:
Een electro-mechanisch systeem, bestaande uit een dc-motor met onafhankelijke bekrachtiging (bv. permanente magneten) die een belasting aandrijft bestaande uit een schijf met
inertie I en visceuze wrijving C (Fig. 4.2).
De kringloopvergelijking in de elektrische kringloop levert:
u(t) = Ri + L
di
+ eb
dt
(4.2)
met eb de tegen−emk in het anker (Blv-regel). Deze tegen−emk wordt bepaald door:
eb = kω . ω
(4.3)
met ω de hoeksnelheid van de motoras.
De knooppuntsvergelijking in knoop 4 levert :
C=I
dω
+ cω
dt
(4.4)
met C het motorkoppel, bepaald door :
C = Kc . i
(4.5)
Daar een motor een reciprook toestel is, is Kω = Kc = K. (De motor kan dus aanzien worden
als een transformator omzetter van elektrische energie naar mechanische energie: stroom i
wordt omgezet in een koppel, de hoeksnelheid ω in een spanning eb .)
Als “natuurlijke” toestandsveranderlijken definiëren we :
¸ ·
¸
·
i
x1
=
ω
x2
zodat we kunnen schrijven :
u = Rx1 + Lẋ1 + Kx2
Kx1 = I ẋ2 + cx2
(4.6)
32
Toestandsvergelijkingen voor continue systemen
of
·
ẋ1
ẋ2
De outputvergelijking is :
¸
=
·
−R
L
+ KI
y=
4.3.3
£
−K
L
− CI
0 1
¤
·
¸·
x1
x2
x1
x2
¸
¸
+
·
1/L
0
¸
u(t)
+ 0 . u(t)
(4.7)
(4.8)
Oplossen van toestandsvergelijkingen
Homogene oplossing
De homogene oplossing xh (t) is de oplossing van de toestandvergelijking voor u(t) = 0, dus
van :
ẋ = F . x
(4.9)
met x(0) als beginvoorwaarde.
Deze oplossing is gelijk aan :
xh (t) = eFt . x(0)
(4.10)
Particuliere oplossing
De particuliere oplossing xp (t) is de oplossing van de toestandvergelijking voor u(t) 6= 0 en
x(0− ) = 0. Deze oplossing is gelijk aan :
Z t
xp (t) =
eF(t−τ ) G u dτ
0−
Volledige oplossing
De volledige oplossing van de toestandvergelijking is de som van de homogene en de particuliere oplossing :
Z t
Ft
−
x(t) = e x(0 ) +
eF(t−τ ) G u dτ
(4.11)
0−
Vervanging in de input-outputvergelijking geeft :
Z t
Ft
−
y(t) = H e x(0 ) +
H eF(t−τ ) G u dτ + J u
(4.12)
0−
Hierin is de eerste term de nul-input-oplossing y0i , de overige termen de nul-toestand-oplossing y0s . De keuze van 0− of 0+ als ondergrens is arbitrair, zolang er geen impuls optreedt
in de input bij t = 0.
Verband met de convolutieintegraal
Oplossing (4.12) bevat duidelijk een term met een convolutieintegraal. Voor een SISO-systeem
met begintoestand nul moet (4.12) identiek zijn aan de uitdrukking van de convolutieintegraal.
Men bekomt :
Z t
y =
H eF(t−τ ) G u dτ + J u
0
Z t
=
|H eF(t−τ ) G + J . δ(t − τ )| u(τ ) dτ
(4.13)
0
Toestandsvergelijkingen voor continue systemen
Door identificatie met :
y=
Z
33
t
h(t − τ )x(τ ) dτ
(4.14)
0
bekomt men :
h(t) = H eFt G + J . δ(t)
(4.15)
In veel practische gevallen is J = 0 (als de orde van teller van de transfertfunctie kleiner is
dan de orde van de noemer), zodat :
h(t) = H eFt G
4.3.4
(4.16)
Bepaling van eFt
Door toepassing van het theorema van Cayley-Hamilton (zie cursus Analyse II, deel 1, 2de
kan).