Meetkundige begrippen

Meetkundige begrippen
Meetkundige begrippen
januari 2005/2008; PvL
Inhoudsopgave
Het materiaal..............................................................................................................................................3
Figuren.......................................................................................................................................................4
Driehoeken.................................................................................................................................................6
Bijzondere lijnstukken in een driehoek .....................................................................................................8
Vierhoeken...............................................................................................................................................10
Spiegelen en symmetrie...........................................................................................................................10
Lijnspiegelen........................................................................................................................................10
Puntspiegelen.......................................................................................................................................12
Translatie .................................................................................................................................................13
F-hoeken en Z-hoeken .............................................................................................................................14
Rotatie......................................................................................................................................................14
Rooster.....................................................................................................................................................15
Congruëntie..............................................................................................................................................17
Gelijkvormigheid en meetkundige vermenigvuldiging ...........................................................................17
Omtrek .....................................................................................................................................................19
Oppervlakte..............................................................................................................................................19
Omtrek en oppervlakte van een cirkel .....................................................................................................20
Afstand.....................................................................................................................................................20
Opgaven ..................................................................................................................................................21
Antwoorden ............................................................................................................................................35
23/04/2008
pagina 2
PvL; Meetkundige begrippen
Het materiaal
liniaal (de)
Een liniaal gebruik je om lijnen te trekken;
ook kan je er afstanden mee meten.
lijn (de)
lijnen trekken
afstand (de)
afstanden meten
geo-driehoek (de)
Met een geo-driehoek kan je ook hoeken
meten. Je leest de grootte van de hoek af in
graden.
hoek (de)
hoeken meten
graad (de)
gradenboog (de)
Dat kan je ook met een gradenboog.
passer (de)
Met een passer trek je cirkels.
cirkel (de)
cirkels trekken
23/04/2008
pagina 3
PvL; Meetkundige begrippen
Figuren
figuur (het)
l
rechte lijn (de)
punt (het)
Punt P
P
liggen op
gaan door
R
m
In de meetkunde bekijk je figuren.
Lijn 1 (ook wel: rechte lijn of rechte); een
lijn loopt aan beide kanten oneindig ver
door.
R ligt op m;
P ligt niet op m;
we zeggen ook: m gaat door R.
In wiskunde-taal:
R ∈ m en P ∉ m.
Uitspraak:
R is een element van m en P is niet een
element van m.
is element van
Een halve lijn loopt aan één kant oneindig
ver door.
halve lijn
A
Het lijnstuk AB met eindpunten A en B.
lijnstuk (het)
eindpunt (het)
B
l
elkaar snijden
snijpunt
De lijnen 1 en m snijden elkaar; het
gemeenschappelijke punt S heet het
snijpunt van 1 en m.
S
m
De lijnen n en o lopen evenwijdig (ook:
zijn parallel).
Notatie: n//o
n
evenwijdig ( lopen)
parallel
23/04/2008
o
pagina 4
PvL; Meetkundige begrippen
loodrecht
haaks
1 en m snijden elkaar loodrecht
óf: 1 en m staan loodrecht op elkaar
Ook wel: ze staan haaks op elkaar.
1⊥m
l
m
hoek
hoekpunt
benen van de hoek
B
A
Dit is een hoek. A heet hoekpunt en AB en
AC heten de benen van de hoek.
Notatie: ∠A of ook: ∠BAC
C
meten van een hoek
graad, graden
rechte hoek (de)
scherp
Een hoek meten we in graden; je gebruikt daar een geo-driehoek of een graden-boog
voor.
Dit is een rechte hoek. Een rechte hoek is
A
90°.( negentig graden)
( één graad is het negentigste deel van een
rechte hoek)
∠A = 90° .
Dit is een scherpe hoek.
Een scherpe hoek is kleiner dan negentig
graden.
∠A < 90°
stomp
Dit is een stompe hoek.
Een stompe hoek is groter dan 90° en
kleiner dan 180°.
∠B > 90° en ∠B < 180°
B
uitspringende hoek
Dit is een uitspringende hoek. Een
uitspringende hoek is groter
dan 180° en kleiner dan 360°
Dit is een gestrekte hoek. ∠C = 180°.
De benen van een gestrekte
hoek liggen in elkaars verlengde.
gestrekte hoek
in elkaars verlengde
C
23/04/2008
pagina 5
PvL; Meetkundige begrippen
elkaar onder een
hoek van … snijden
1 en m snijden elkaar onder een hoek van
45°;
l
135°
45°
m
1 en m maken een hoek van 45° met
elkaar.
∠(l,m) = 45°
Afspraak: we kiezen altijd de kleinste
hoek.
Driehoeken
driehoek (de)
hoekpunt (het)
zijde (de)
Een driehoek is een figuur met drie
hoekpunten en drie zijden.
Hiernaast staat een willekeurige driehoek
getekend.
ligt tegenover
overstaand
aanliggend
C
A
B
scherphoekige driehoek
Een driehoek waarvan alle hoeken scherp
zijn heet scherphoekig.
stomphoekig
Een driehoek met een stompe hoek heet
stomphoekig.
Rechthoekig
Rechthoekige driehoek:
AB en AC heten rechthoekszijden.
BC heet schuine zijde of hypothenusa.
C
Rechthoekszijden
schuine zijde of
hypothenusa
B
A
Stelling van Pythagoras
som van de hoeken
1
A
In een rechthoekige driehoek geldt de
stelling van Pythagoras:
AB2 + AC2 = BC2
Van elke driehoek is de som van de hoeken
gelijk aan 180° .
C
verlengen
23/04/2008
Driehoek ABC (notatie Δ ABC )
De zijde CB ligt tegenover hoek(punt) A;
ook wel: de zijde CB is de overstaande
zijde van A.
AB en AC zijn de aanliggende zijden van
A.
2
3
B
pagina 6
Zie hiernaast:
Verleng AB en teken vanuit B een halve lijn
evenwijdig aan zijdeAC.
Nu geldt:
∠C = ∠B2 ( Z-hoeken; zie later)
PvL; Meetkundige begrippen
∠A = ∠B3 ( F-hoeken; zie later)
Dus:
∠A + ∠B1 + ∠C = ∠B3 + ∠B1 + ∠B2 = 180 °
gelijkbenige driehoek
benen
basis(hoeken)
tophoek
C
Gelijkbenige driehoek:
de gelijke zijden AC en BC heten de
benen. AB heet de basis.
∠A en ∠B. heten basishoeken (en zijn
gelijk).
∠C heet tophoek.
A
B
gelijkzijdige driehoek
Gelijkzijdige driehoek:
alle drie de zijden zijn even lang en alle
drie de hoeken zijn even groot.
De hoeken van een gelijkzijdige driehoek
zijn dan ook alle 60°.
Gelijkbenig rechthoekige driehoek.
De hoeken van een gelijkbenig
rechthoekige driehoek zijn 90°, 45° en 45°.
Een heel belangrijke driehoek is de ‘halve’
gelijkzijdige driehoek:
De zogenaamde
30°-60°-90°-driehoek.
30°
60°
complement (het)
supplement (het)
Twee hoeken A en B, die samen 90° zijn. heten elkaars complement.
Twee hoeken A en B met ∠A + ∠B = 180° heten elkaars supplement.
∠A2 en ∠A4 heten overstaande hoeken. Zo
ook: ∠A1 en ∠A3 .
overstaande hoeken
1
4
aanliggende hoeken
23/04/2008
Er geldt: ∠A2 =∠A4 en ∠A1 = ∠A3
2
3
∠A1 en ∠A2 heten aanliggende hoeken. Ze
zijn elkaars supplement.
∠A1 + ∠A2 = 180 Zo ook:
∠A1 en ∠A4 , ∠A4 en ∠A3 en tenslotte
∠A3 en ∠A2.
A
pagina 7
PvL; Meetkundige begrippen
Bijzondere lijnstukken in een driehoek
C
zwaartelijn (de)
A
D
B
C
In een driehoek ABC (we gebruiken voor
driehoek het symbool Δ) noemen we het
midden van zijde AB: D. Als we nu
hoekpunt C met D verbinden, krijgen we
de zwaartelijn CD van ABC.
We noemen zo'n lijnstuk zwaartelijn,
omdat de twee delen waarin een
zwaartelijn de driehoek verdeelt even
'zwaar' zijn: ze hebben gelijke oppervlakte.
We kunnen nog twee zwaartelijnen
tekenen. De drie zwaartelijnen gaan door
één punt: het zwaartepunt.
zwaartepunt (het)
A
B
De halve lijn n die hoek C middendoor
deelt heet de bissectrice uit hoek C van
ΔABC.
C
bissectrice (de)
A
B
n
C
A
B
Ook de drie bissectrices van een driehoek
gaan door één punt.
bissectricepunt (het)
loodrecht
een loodlijn neerlaten
Als we door A een lijn trekken die
loodrecht staat op n, zeggen we dát we
vanuit A een loodlijn neerlaten om n.
A
n
C
In een driehoek:
als we vanuit C een loodlijn neerlaten op
AB krijgen we de hoogtelijn CD.
hoogtelijn (de)
A
23/04/2008
D
B
pagina 8
PvL; Meetkundige begrippen
C
Vanuit de scherpe hoek van een
stomphoekige driehoek kan je de loodlijn
alleen neerlaten op het verlengde van de
tegenoverliggende zijde.
A
B
C
Ook de drie hoogtelijnen van een driehoek
gaan altijd door één punt: het hoogtepunt.
hoogtepunt (het)
A
B
C
A
B
Ook in een stomphoekige driehoek!
C
In een rechthoekige driehoek zijn de
rechthoekszijden ook hoogtelijnen; het
hoogtepunt is nu het hoekpunt van de
rechte hoek.
A
B
Tenslotte:
C
De lijn die loodrecht staat op AB en AB
middendoor deelt, heet de middelloodlijn
van AB.
middendoor delen
middelloodlijn (de)
A
B
C
Ook de drie middelloodlijnen van een
driehoek gaan door één punt.
middelloodpunt (het)
A
B
Maak nu opgaven 1 t/m 15 vanaf blz. 21.
23/04/2008
pagina 9
PvL; Meetkundige begrippen
Vierhoeken
C
De figuur ABCD is een vierhoek.
Vierhoek ABCD heeft vier hoekpunten en
vier zijden. AB en CD zijn overstaande
zijden en hoek A en hoek C zijn
overstaande hoeken.
D
vierhoek (de)
A
B
C
diagonaal (de)
We kunnen de diagonalen tekenen: AC en
BD.
D
A
B
C
2
D
Met één diagonaal ontstaan twee
driehoeken en daarmee is duidelijk dat:
1
de som van de hoeken van een vierhoek is
altijd 360°.
2
1
A
B
Spiegelen en symmetrie
Lijnspiegelen
B
C
spiegelen in een lijn
spiegeling (de)
B’
(spiegel)beeld (het)
het origineel
We spiegelen driehoek ABC in lijn 1;
we noemen driehoek A'B'C' het
spiegelbeeld van ΔABC of het beeld van
ΔABC bij spiegeling in 1.
l
A
De lijn 1 heet de spiegelas.
spiegelas (de)
Hoe vinden we het beeld van bijvoorbeeld
punt A?
a. teken een lijn door A loodrecht op
1
b. kies op deze loodlijn A' zó, dat A
en A' evenver van 1 liggen.
Als we een punt C willen spiegelen, dat op
de spiegelas 1 ligt, krijgen we als beeld
weer C; we zeggen dat het beeld C' van C
bij spiegeling in 1 met C samenvalt.
C’
A’
l
samenvallen
C
C’
23/04/2008
pagina 10
PvL; Meetkundige begrippen
Het spiegelen van een lijn.
m’
In het geval de lijn de spiegelas snijdt.
A’
spiegelas l
B
A
m
B’
En als de lijn evenwijdig is aan de
spiegelas.
spiegelas l
m
m’
C
De lengte van lijnstukken en de grootte
van een hoek blijven na spiegelen gelijk.
B
B'
A
A'
rechthoek (de)
A'= D
C'
C=B'
symmetrisch
l
symmetrieas (de)
D'=A
B=C'
In een gelijkbenige driehoek is de
hoogtelijn uit de top een symmetrieas.
Hieruit volgt dat deze hoogtelijn ook
zwaartelijn en bissectrice is.
l
23/04/2008
De rechthoek ABCD valt bij spiegeling in
de lijn 1 met zijn beeld samen: we zeggen
dat de rechthoek een symmetrische figuur
is. De lijn 1 heet de symmetrieas. We
zeggen ook wel dat de rechthoek
symmetrisch is in 1.
pagina 11
PvL; Meetkundige begrippen
Een vlieger is een vierhoek die
symmetrisch is in de lijn door twee
overstaande hoekpunten.
A en C zijn de toppen van de vlieger. De
diagonaal AC is de middelloodlijn van de
andere diagonaal BD.
C
vlieger (de)
D
B
l
A
C
Een ruit is een vierhoek die symmetrisch is
in de lijnen door de overstaande
hoekpunten.
De zijden van een ruit zijn even lang; de
overstaande hoeken zijn even groot en de
diagonalen delen elkaar loodrecht
middendoor.
ruit (de)
D
B
A
C
Een vierkant is een ruit met een rechte
hoek. De diagonalen zijn nu ook even lang.
vierkant (het)
D
B
A
Puntspiegelen
C
B
lijnspiegelen
A'
puntspiegelen
centrum van de
puntspiegeling
S
A
B'
C'
Ook hier weer:
Een figuur heet symmetrisch in een punt S
(puntsymmetrisch) als die figuur bij
spiegeling in S met zijn beeld samenvalt.
Het punt S heet middelpunt van de figuur
(punt)symmetrisch
middelpunt (het)
23/04/2008
Naast spiegelen in een lijn (lijnspiegelen)
kunnen we ook spiegelen in een punt:
puntspiegelen.
We spiegelen Δ ABC in S.
Δ A'B'C' is het puntspiegelbeeld van Δ
ABC. Punt S heet het centrum van de
puntspiegeling.
Het puntspiegelbeeld van een lijnstuk is
een even lang lijnstuk dat er evenwijdig
mee is.(zie bv. AB en A'B'). Ook de
grootte van een hoek blijft bij
puntspiegeling behouden.
pagina 12
PvL; Meetkundige begrippen
Het punt S heet middelpunt van de figuur.
C = A’
B’ =D
Vierhoek ABCD is puntsymmetrisch (in
het snijpunt van zijn diagonalen): zo'n
vierhoek heet een parallellogram.
Voor een parallellogram geldt:
a. de diagonalen delen elkaar
middendoor.
b. de overstaande zijden zijn even
lang en evenwijdig
c. de overstaande hoeken zijn even
groot.
Een rechthoek is een parallellogram met
een rechte hoek.
Of:
een rechthoek is een parallellogram met
even lange diagonalen.
S
parallellogram
(het)
C’= A
B = D’
D
C
S
A
B
Zo is een ruit een parallellogram waarvan
de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
Maak nu opgaven 16 t/m 33 vanaf blz. 24.
Translatie
afbeelding (de)
translatie (de)
transleren
verschuiving (de)
verschuiven
afstand (de)
richting (de)
vector (de)
B
A
P'
tegenovergesteld
Naast de afbeeldingen lijnspiegelen en
puntspiegelen is er ook nog de afbeelding
translatie. Translatie is verschuiving
(transleren is verschuiven). Verschuiven
doe je over een bepaalde afstand en in een
bepaalde richting . We zeggen: we
verschuiven over een vector.
Voorbeeld:
het translatiebeeld van punt P bij translatie
over vector AB is P'
P
Bij translatie over vector BA is het beeld
P ".
( verschuiving in tegenovergestelde
richting).
P"
l
verschuiven
verschoven
Q
Q'
P
P'
A
23/04/2008
l'
B
pagina 13
Het translatiebeeld van een lijn is een
evenwijdige lijn. Van een lijnstuk is het
beeld evenwijdig en even lang.
De punten P en Q, lijnstuk PQ en tenslotte
lijn 1 worden verschoven over vector AB .
Merk op:
1. vierhoek PP'Q'Q is een parallellogram!
Ook het translatiebeeld van een hoek is
(natuurlijk) een even grote hoek.
PvL; Meetkundige begrippen
F-hoeken en Z-hoeken
D
C
We tekenen een parallellogram:
∠D = ∠A2
F-hoeken
F-hoeken zijn even groot!
A
1
2
B
Voorbeelden van F-hoeken.
B
Ook: Z-hoeken zijn even groot
Z-hoeken
A
4
1
3
2
Voorbeelden van Z-hoeken.
Rotatie
rotatie (roteren)
draaiing
(draaien)
richting van de
draaiing
Rotatie (roteren) is hetzelfde als draaiing (draaien). Denk aan de wieken van een molen!
Bij een rotatie heb je:
- het rotatiecentrum (om welk punt draai je)
- de rotatiehoek ( over welke hoek draai je)
- de richting van de draaiing
positief: tegen de wijzers van de klok
negatief: met de wijzers van de klok mee
P'
P
P'
P
constructie (de)
23/04/2008
+60
+60
O
O
P' is het beeld van P bij een rotatie over
een hoek van 60° in positieve richting om
0
constructie zonder en met behulp van een
passer
pagina 14
PvL; Meetkundige begrippen
B'
A'
Rotatie van ΔABC over 80° in positieve
richting.
C
C'
B
O
80
A
Maak nu opgaven 38 en 40 op blz. 28 én A, B en C vanaf blz. 30.
Rooster
rooster (het)
roosterlijn
roosterpunt
B
x-as en y-as (de)
oorsprong (de)
coördinaat (de)
vector (de)
staart (de)
kop (de)
plaatsvector
23/04/2008
C
5
D4
3
2
1
Een rooster bestaat uit een x-as en een y-as
(loodrecht op elkaar) met hun snijpunt 0
(de oorsprong). De lijnen evenwijdig aan
de x-as en de y-as noemen we de
roosterlijnen en hun snijpunten de
roosterpunten. Elk punt is nu bepaald door
twee coördinaten: de x-coördinaat en de ycoördinaat. De x-coördinaat staat voor de
y-coördinaat. Zie in de tekening de
volgende punten:
O(0,0); A(3,2) ; B(-3,2) ; C(-4 , 0) ;
D(0 , 3) en E(2,-3).
A
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4
-1
-2
E
-3
-4
5
Met behulp van een rooster kunnen we ook
makkelijk vectoren aangeven.
⎛ 2⎞
y-as
Als A(2,-1) en B(4,3) dan is AB = ⎜⎜ ⎟⎟
T
⎝ 4⎠
B
( 2 naar rechts en 4 omhoog).
2 heet het x-kental en 4 het y-kental (
t
1
van vector AB . A heet het startpunt ( de
x-as
O 1
staart) en B het eindpunt ( de kop) van
A
vector AB .
Een vector wordt bepaald door een lengte
en een richting.
Overigens staat in dezelfde figuur de
vector t ; er geldt t = AB .
Een vector met als startpunt de oorsprong
O heet plaatsvector. In dit geval is de
vector t de plaatsvector van het punt
T(2,4).
We kunnen vectoren optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met een getal.
pagina 15
PvL; Meetkundige begrippen
y -a s
b
s
somvector
1
kop-staart-methode
a
1
O
y -a s
2t
b
vermenigvuldigen
van een vector met
een getal
x -a s
t
s
1
O
1
x -a s
-t
tegengestelde
vector
⎛ 2⎞
⎛1⎞
Als a = ⎜⎜ ⎟⎟ en b = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎝ 3⎠
dan geldt voor de somvector:
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3⎞
s = a + b = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠
In de figuur krijg je de somvector door
vector a naar de kop van vector b te
verschuiven en dan de vector te tekenen
die begint in het startpunt van vector b en
eindigt bij de kop van de verschoven
vector a . Deze methode heet de kopstaart-methode.
Een vector vermenigvuldigen met een
getal:
⎛1⎞
als t = ⎜⎜ ⎟⎟ , dan is:
⎝ 2⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⋅1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ en:
2 t = 2⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
2
2
⋅
2
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ 4⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞
− t = −⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠ ⎝ − 2⎠
− t heet de tegenstelde vector van t .
y -a s
Het verschil van twee vectoren:
⎛1⎞
⎛ 4⎞
als e = ⎜⎜ ⎟⎟ en d = ⎜⎜ ⎟⎟ dan is:
⎝ 4⎠
⎝ 2⎠
e
d
1
O
1
x -a s
v
⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 −1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
v = d − e = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2 − 4⎠ ⎝ − 2⎠
Overigens kan je in de tekening ook hier
de kop-staart-methode gebruiken met
vector d en vector − e (de tegengestelde
van e ) .
Maak nu opgave 42 op blz. 29 én D op blz. 33.
23/04/2008
pagina 16
PvL; Meetkundige begrippen
Congruëntie
is congruent met
congruentie (de)
Als twee figuren door een translatie, door een spiegeling, door een rotatie of door een
combinatie van deze afbeeldingen op elkaar terecht komen, heten die figuren congruent.
y -a s
bijv.:
C
ΔABC is congruent met ΔDEF
omdat ΔABC na puntspiegeling in de
B
oorsprong op ΔDEF terecht komt.
A
We noteren:
x -a s
O
D
ΔABC ≅ ΔDEF .
(let op de volgorde van de punten!)
E
F
F
E
C
D
B
Als twee driehoeken bijvoorbeeld een even
grote hoek hebben en de aan die hoek
liggende zijden zijn ook gelijk, dan zullen
beide driehoeken congruent zijn:
ΔABC ≅ ΔDEF
A
Gelijkvormigheid en meetkundige vermenigvuldiging
gelijkvormig (met)
De figuren A en B zijn gelijkvormig.
Notatie: A ~ B
A:
vergroting (de)
Uitspraak:
A is gelijkvormig met B
C:
vermenigvuldigingsfactor (de)
B is een vergroting van A: de zijden van B
zijn twee keer zo groot als die van A.
B:
We zeggen: de vermenigvuldigingsfactor
van A naar B is 2.
verkleining (de)
Omgekeerd is A een verkleining van B.
We zeggen: de vermenigvuldigingsfactor
van B naar A is ½ .
Let op:
figuur C is niet gelijkvormig met A en B!
23/04/2008
pagina 17
PvL; Meetkundige begrippen
Als twee gelijkvormige figuren (die niet
even groot zijn) zo worden geplaatst dat
overeenkomstige zijden evenwijdig zijn,
gaan de verbindingslijnen van
overeenkomstige punten door een vast
punt, zeg O.
In de hier getekende situatie zeggen we:
B is het beeld van A bij een
vermenigvuldiging vanuit het centrum O
met factor 3.
Of:
A is het beeld van B bij een
vermenigvuldiging vanuit het centrum O
1
met factor .
3
In driehoek ABC is het lijnstuk DE
evenwijdig met de zijde AB.
Vraag:
overeenkomstig
vermenigvuldiging
vanuit het centrum
..... met factor ....
B
A
O
C
2
Bereken de lengte van lijnstuk DE.
Antwoord:
E
D
3
A
B
8
Noem DE = x
Vermenigvuldig ΔCAB vanuit het centrum C zó,
dat ΔCDE het beeld is van ΔCAB .
CD 2
= .
De vermenigvuldigingsfactor is dan
CA 5
Korte notatie:
×
2
5
ΔCAB ⎯⎯→
ΔCDE.
2
1
Daaruit volgt: x = × 8 ; dus DE = 3 .
5
5
Evenredigheidstabel
(de)
We gebruiken een zogenaamde evenredigheidstabel:
8 BC 5
AB BC CA
en dat levert:
x EC 2
DE EC CD
8
×5
Nu zie je daarin:
kruislings
vermenigvuldigen
8 BC 5
x EC 2
En dus ook geldt: 2 ×
8
1
= x Ofwel: x = 3
5
5
In een evenredigheidstabel kan je altijd kruislings vermenigvuldigen:
8 BC 5
1
Dat geeft: x × 5 = 8 × 2; dus 5x = 16 ; dus x = 3
x EC 2
5
23/04/2008
pagina 18
PvL; Meetkundige begrippen
Nog een voorbeeld:
DE // AB
Vraag:
C
Bereken de lengte van lijnstuk AD.
5
Antwoord:
Noem AD = x
De tabel is nu:
AB BC CA
E
D
6
A
B
10
10 BC 5 + x (!)
.Dus:
DE EC CD
6 EC
5
Kruislings vermenigvuldigen:
6 × (5+x) = 10 × 5 .
Dus: 30 + 6x = 50
20 10
1
=
=3
x=
6
3
3
Maak nu opgaven 1 t/m 4 op blz. 34 én 39 en 41 op blz. 28/29.
Omtrek
C
omtrek (de)
De omtrek van ΔABC = AB + BC + CA
A
B
Oppervlakte
De oppervlakte van een rechthoek:
F
E
oppervlakte (de)
Opp. rechthoek ABEF = lengte × breedte =
AB × BE = 7 × 4 = 28
4
A
7
B
De oppervlakte van een rechthoekige
driehoek:
Opp ΔABF = ½ × opp. bijbehorende
rechthoek = ½ × 4 × 7
= 14
F
4
A
willekeurig
7
B
F
C
E
A
D
B
De oppervlakte van een willekeurige
driehoek:
1) Teken de hoogtelijn uit C
2) Lijnstuk CD heet de hoogte van de
driehoek
3) De zijde AB heet nu de-basis van de
driehoek
Opp ΔABC =
½ × opp. rechthoek ABEF = ½ ⋅AB ⋅ CD =
½ ⋅ basis ⋅ hoogte
hoogte (de)
basis (de)
½ ⋅ basis ⋅ hoogte
23/04/2008
pagina 19
PvL; Meetkundige begrippen
Omtrek en oppervlakte van een cirkel
cirkel (de)
straal (de)
middellijn (de)
diameter (de)
Van een cirkel is M het middelpunt en r de
straal.
d ( = 2 ⋅ r) heet de diameter van de cirkel.
Dat is dus de lengte van de middellijn.
r
M
d
De omtrek van een cirkel is: 2πr
De oppervlakte van een cirkel is: πr2
Afstand
afstand (de)
afstand tussen een
punt en een lijn
Onder de afstand tussen twee figuren verstaan we steeds de kortste afstand tussen die
figuren.
Zo is de afstand tussen twee punten natuurlijk de lengte van het lijnstuk dat die punten met
elkaar verbindt.
De afstand tussen een punt A en een lijn n
wordt als volgt bepaald:
A
1) teken eerst de loodlijn van A op n
A
n
n
2) noem het snijpunt van de loodlijn met
n : A'
3)
de
afstand van A tot n is de afstand van
A’
A tot A'.
projectie (de)
A’ heet de projectie van A op lijn n.
We gebruiken voor afstand vaak de letter d ( van het engelse woord distance). In het
voorbeeld hierboven zouden we kunnen opschrijven: d(A,n) = d(A,A').
a
Alle punten met gelijke- afstand a tot-één
bepaald punt A vormen een- cirkel met dat
punt A als middelpunt en a als straal.
A
m
Alle punten met gelijke afstand tot een lijn
m vormen twee evenwijdige lijnen "aan
beide kanten" van die lijn.
Maak nu opgaven 34 t/m 37 op blz. 26/27
23/04/2008
pagina 20
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 21
PvL; Meetkundige begrippen
K
23/04/2008
pagina 22
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 23
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 24
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 25
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 26
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 27
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 28
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 29
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 30
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 31
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 32
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 33
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 34
PvL; Meetkundige begrippen
Antwoorden
23/04/2008
pagina 35
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 36
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 37
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 38
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 39
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 40
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 41
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 42
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 43
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 44
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 45
PvL; Meetkundige begrippen
23/04/2008
pagina 46
PvL; Meetkundige begrippen