Vrije elektronen in metalen

42- Quantum Mechanica
Onbepaaldheid (Heisenberg)
ΔE * Δt = h / (2*Π)
ΔE = onbepaaldheid in energie
Δx = h / (2* Π * Δp)
Δx = onbepaaldheid in plaats
h = 6,626 * 10-34
Δt = tijdinterval
Δp = absolute meetfout impuls
Δp = m * v * foutpercentage
Toegepast op Bohr:
p = h / (2*Π * r) In baan varieert p tussen –p en +p,
dus Δp = h / (2*Π * r) 
Δx = h / (2*Π * Δp) = r
r = Bohrstraal
_________________________________________________________________________
Golffuncties
vb: Ψ = A * sin ( k * x )
k = constante
k = 2*Π / λ = 2*Π * p / h
λ = golflengte deeltje
p = impuls deeltje ( m * v )
2
Ukin = ½ * m * v
_________________________________________________________________________
Potentiaalput (eendimensionaal)
E = n2 * h2 / (8 *m * L2)
E = Energie in oneindig diepe potentitaalput.
n = toestand elektron
L = breedte potentiaalput
ΔE = h * (c / λ ) = h * f
λ = Golflengte foton bij energiesprong ΔE.
1 eV = 1,6 * 10-19 Joule
Energieniveaus tussen bijv 9 en 10 eV: Eerst E1 uitrekenen.(in eV !!)
Ondergrens n  √ 9 / E1
Bovengrens n  √ 10 / E1 stel n : 48,3 - 51,5 dan 3 niveaus
_________________________________________________________________________
Transmissie door potentiaalbarriere. (Tunnelen)
T = e-2*k*L
T= transmissiecoefficient L = breedte potentiaalbarriere (m)
k = √ ( 2*m (U0 – E ) / (h/2*Π)2 ) U0 = hoogte potentiaalbarriere (Joule) E = energie deeltje
43- Quantum Mechanica van Atomen.
Quantumgetallen
Code Beschrijving
n
hoofd quantumgetal
L
neven quantumgetal
m1
magnetisch quantumgetal
ms
spin quantumgtal
Waarde L
0
1
2
3
4
5
Lettersymbool
s
p
d
f
g
h
Bereik
1-∞
0 tot en met (n –1)
-L tot +L
+ ½ of - ½
Mogelijkheden
1
n
( 2 * L ) +1
2
Energieniveaus H-atoom : En = - 13,6eV / n2
n = hoofd quantumgetal
___________________________________________________________________________
Waarschijnlijksheids dichtheid waterstofatoom
|Ψ100 2| = 1 / (Π * r03) * e-2r / r 0 |Ψ100 2| = waarschijnlijkheidsdichtheid voor n =1, l =0, m1=0
r0 = Bohrstraal : 5,29 * 10-11
r = straal baan
2
2
Pr = 4* Π * r * |Ψ |
Pr = radiale waarschijnlijkheidsdichtheid
Voor de grondtoestand van waterstof geldt: Pr = (4 * r2 / r03)* e-2r / r 0 (substitutie |Ψ2100| )
___________________________________________________________________________
Uitsluitingsprincipe van Pauli : Ingewikkelde atomen
In een atoom kunnen twee elektronen niet dezelfde quantumtoestand innemen.
Z = Het aantal elektronen of protonen in een neutraal atoom.
Bohr:
rn = n2 * ( r0 / Z)
rn = straal elektronbaan in toestand n
En= (Z2 * 13,6eV) / n2
En = energie elektron in toestand n Z = zichtbare nettolading
___________________________________________________________________________
Periodiek systeem
Elektronen configuratie: 1s22s22p63s1
n = 1  2 elektronen met L = s (0)
n = 2  2 elektronen met L = s (0) en 6 elektronen met L = p (1)
n = 3  1 elektron met L = s (0)
Let op! Het derde elektron heeft een n van 2!!
____________________________________________________________________________
Rontgenspectra en atoomgetal
λ 0 = h * c / (e*V)
λ 0 = drempelgollengte
V = doorlopen spanningsverschil
KE = e * V
ΔEn1-n2 = (Z – Q)2 * (13,6) * (1/n12 – 1/n22) * 1,6* 10 –19 Q = verschil in zichtbare lading
44-Moleculen en vaste stoffen
Covalente binding: onstaat alleen als gedeelde elektronen een totale spin hebben van 0.
Want dan brengen de elktronen veel tijd bij elkaar door; tussen de twee positieve kernen, zodat
deze twee kernen naar het centrum toetrekken.
Ion binding: gedeelde elektronen zijn ongelijk verdeeld, zodat het ene atoom een positieve
lading krijgt en het andere een negatieve. Hierdoor trekken ze elkaar aan. Ongelijke verdeling
omdat de elektronen verschillende netto ladingen “zien”.
____________________________________________________________________________
Potentiele Energie
Upot_2ladingen = 1 / (4* Π *e0) * (q1* q2 ) / r e0 = 8,854 * 10-12
De potentiele energie diagram van een tweeatomig molecuul laat na het negatieve minimum;
de bindingsenergie een positief maximum zien; de activeringsenergie.
Upot_inwendig = U0 = - α / (4* Π *e0) * (e2 / r0) (1 –1/m)
α = constante in opgave
r0 = constante in opgave !!
____________________________________________________________________________
Molecuulspectra
μ = m1 * m2 / (m1 + m2 )
μ = gereduceerde massa
ftrilling =1 / (2* Π) * √ ( k / μ )
k = veerconstante
____________________________________________________________________________
Vrije elektronen in metalen
Toestandsdichtheid: g (E) = (8 * √ ( 2 * Π * m3/2 ) ) / h3 * E1/2
m = massa elektron
E = energie midden in het gegeven interval in Joules
Elektronentoestanden: N = g (E) *V * ΔE
ΔE = interval in Joules
V = volume blokje
Fermi Energie: EF = (h2 / 8*m) * ((3 /Π) * (N / V))2/3
N / V = aantal ladingsdragers per m3
-23
Fermi Temperatuur: TF = EF / k
k = 1,38 * 10 (Boltzman)
Fermi Snelheid: vF = √ (2* EF /m)
____________________________________________________________________________
Reader
Driftsnelheid enzo
n = N / (A * L)
Veldsterkte:
n =vrije elektronen per m3
A = doorsnede draad
E=V/L
Bewegelijkheid: μ = e * τ / m
vd = -μ * E
I = -e * vd * A * n
N = totaal aantal bewegelijke elektronen
L = lengte draad
V = potentiaalverschil
τ = tijd tussen twee botsingen (gemiddelde vrije tijd)
E = elektrische veldsterkte
vd = driftsnelheid
Stroomdichtheid:
j = -e * vd * n
j = (1 /A) * I
j=σ*E
Soortelijk geleidingsvermogen: σ = n * e * μ
Soortelijke weerstand :
ρ=1/σ
Weerstand: R = ρ * ( L / A)
____________________________________________________________________________
Hall effect
Hallspanning:
VHall = - 1/ (n*e) * (B * I / d)
B = veldstrekte
d = dikte
Hallspanning:
RH = -1 /(n*e)
VHall = (RH * B * I) / d
RH = Hallweerstand
Elektrisch Hall –veld: ‫ع‬H = vd * B * e
Halfgeleiding
Ekin_electronengas = 3/2 * kB * T
Ekin_elektronengas= ½ *m * vrms2
vrms = √ ((3* kB * T ) / m)
kB =1,38 * 10-23
T=absolute temperatuur
vrms = middelbare snelheid / thermische snelheid
m = me = 9,11 * 10-31
____________________________________________________________________________
Intrinsieke halfgeleiders
Zuiver silicium: even veel gaten als elektronen (intrinsiek) ni = pi
Stroomdichtheid:
j n = σn * E
en
j = jn + jp
jn = deel tgv elektronen
σn = n * e * μn en
μn = e * τn / mn
jp = deel tgv gaten
Intrinsieke halfgeleider: n = p = ni  σi = ni * e (μp * μn )
μn = bewegelijkheid elektron
____________________________________________________________________________
Extrinsieke halfgeleiders
n-type: verontreiniging met 5-waardig element, zodat er meer vrije elektronen zijn als gaten 
n ≈ ND
n =concentratie geleiding elektronen
ND = concentratie verontreiniging
2
p ≈ ni / ND
p-type: verontreiniging met 3-waardig element, zodat er meer gaten zijn als vrije elektronen 
p ≈ NA
p =concentratie gaten
ND = concentratie verontreiniging
n ≈ ni2 / NA ni = vrije elektronen per volume eenheid
Totale bewegelijkheid:
1/ μ = 1/ μ1 + 1/ μ2