Klassiek vrije elektronengas, Drude model

Notities College Gecondenseerde Materie
Elektronen in kristallen I: Klassiek vrije elektronengas,
Drude model
Elektronen in kristallen, ofwel elektronenstructuur, tegenhanger van de
geometrische structuur.
Van de 4 fundamentele interacties is de elektromagnetische wisselwerking,
waarvan met name de Coulomb interactie, verantwoordelijk voor de binding
in een kristal. Elektronen vormen het bindende medium tussen de positief
geladen kernen.
- sterke wisselwerking (in de atoomkern) heeft een te korte dracht
- zwakke wisselwerking n.v.t., speelt een rol bij verval van deeltjes
- gravitatie is te zwak
Elektronenstructuur is zeer bepalend voor veel eigenschappen van een materiaal, waaronder:
- elektrische geleiding (metaal, halfmetaal, halfgeleider, isolator)
- thermische geleiding
- thermospanning
- optische eigenschappen
- compressibiliteit
- ..etc..
Drude Model (1900)
Drude model:
- klassiek model voor elektronen in metalen (geformuleerd door Drude in
1900, 3 jaar na ontdekking van het elektron door Thompson in 1897)
- beschrijving van de elektronen als een vrij elektronengas, d.w.z. kinetische
gas theorie toegepast op elektronen.
- Aannamen:
> geen interactie tussen de elektronen; blijkt redelijk
> geen interactie met ionen; blijkt minder goed tot slecht
> elektronen maken botsingen met de roosterionen
> na een botsing heeft het elektron een snelheid v 0 in een willekeurige richting, waarvan de grootte v0 = |v0 | correspondeert met de gemiddelde ther1
mische energie, d.w.z.
1
mv02
2
= 32 kB T
atoomkern met lading eZ a
kerngebonden electronen met lading−e(Z a −Z)
geleidingselectronen met lading −e
Fig. 1.1. Schematische voorstelling van het Drude model voor een
metaal met Z valentie-elektronen.
• Elektrische geleiding
Experimenteel gemeten stroomdichtheid (aantal ladingseenheden door een
oppervlakte eenheid per sec.):
j = σE = −σ∇φ
(1)
E = elektrische veld
φ = elektrische potentiaal
σ = elektrische geleidbaarheid
Op grond van zijn model leidde Drude de stroomdichtheid als volgt af.
Stroomdichtheid:
j = −nevav
(2)
n=elektronendichtheid
e=elementaire ladingseenheid
vav =gemiddelde snelheid van de elektronen
2
Zonder elektrisch veld (spanningsverschil) is vav = 0. Mét elektrisch veld
E = −∇φ geldt:
v(t) = v0 + at = v0 +
eEt
FCoul t
= v0 −
m
m
v0 = snelheid direct na een botsing op t = 0
t = tijd gerekend vanaf de laatste botsing
a= versnelling t.g.v. de Coulombkracht
FCoul =Coulombkracht
m=elektronmassa
Stel τ is de gemiddelde tijd tussen twee botsingen, dan volgt:
vav = v0,av −
eEτ
eEτ
=−
m
m
(3)
v0,av = gemiddelde snelheid direct na een botsing = 0
Na substitutie van vgl. (3) in vgl. (2) vinden we voor de stroomdichtheid:
j=
ne2 τ
E = σE
m
(4)
waarbij de elektrische geleidbaarheid σ gelijk is aan:
ne2 τ
σ=
m
3
(5)
• Thermische geleiding
Hoge T
Lage T
x-vτ
-
x
x+v+τ
Fig. 1.2 Schematische voorstelling van warmtegeleiding. De elektronen bij hoge temperatuur T , links van positie x, hebben gemiddeld een
grotere snelheid dan de elektronen bij lage T . Er zullen ’warme’ elektronen van links naar rechts de grens op positie x passeren terwijl er ’koude’
elektronen van rechts naar links die grens passeren. Netto geeft dit een
warmtestroom van links naar rechts.
Experimenteel gemeten warmtegeleiding:
jq = −κ∇T
jq = energie stroomdichtheid (in Jm−2 sec−1 )
κ = thermische geleidingscoëfficient
Drude leidde eerst de warmtegeleiding voor het 1-dimensionale (1d) geval
(deeltjes bewegen langs x-richting) als volgt af.
De netto warmte stroomdichtheid ter plaatse x is gelijk aan:
jq (x) = (energieflux door het oppervlak ter plaatse x van links naar rechts) (energieflux door het oppervlak ter plaatse x van rechts naar links)
ofwel:
1
jq = (n− v− Etherm (x − v− τ ) − n+ v+ Etherm (x + v+ τ ))
2
1
1
dEtherm
2
2
= (n− v− − n+ v+ )Etherm (x) − (n− v−
+ O(v 3 τ 2 )
+ n + v+
)τ
2
2
dx
4
' −nv 2 τ
dEtherm dT
dT
= −v 2 τ CV,el
dT dx
dx
CV,el = ncV,el = n dEtherm /dT = soortelijke warmte per volume eenheid
τ = gemiddelde tijd tussen twee botsingen, relaxatietijd
v+/− = gemiddelde snelheid links/rechts van x
n+/− = elektronendichtheid links/rechts van x
v = gemiddelde snelheid ter plaatse x
n = elektronendichtheid ter plaatse x
De factor 21 komt vanwege het feit dat de elektronen beide kanten op kunnen bewegen. Gemiddeld beweegt de helft van het aantal elektron één kant
op. De term evenredig met (n− v− − n+ v+ ) moet uiteindelijk 0 zijn want
een eventuele netto flux van elektronen naar één kant zal een elektrisch veld
veroorzaken dat de elektronen weer terug drijft, tot zich een evenwicht instelt
waarin er geen netto flux van elektronen is maar wel een netto energie flux.
Voor het 3-d geval, gebruik makend van vx2 = vy2 = vz2 = 31 v 2 , volgt:
1
1
(6)
jq = − v 2 τ CV,el ∇T = − vlCV,el ∇T = −κ∇T
3
3
waarbij l = vτ de gemiddelde afstand tussen twee botsingen, ofwel de vrije
weglengte, is en κ de thermische geleidingscoëfficient:
1
κ = vlCV,el
3
(7)
• Verdiensten Drude model
- Ondanks de eenvoud verklaart het Drude model qualitatief zowel elektrische
als de thermische geleiding.
- Tevens volgt uit het Drude model:
κ
1 CV,el mv 2
=
σ
3 ne2
wat met 21 mv 2 = 32 kb T en CV,el = 23 nkB leidt tot:
3
κ
=
σ
2
kB
e
!2
T = LT
(8)
2
waarbij L = 3kB
/(2e2 ) ' 1.11 10−8 W att − Ohm/K 2 het zogenaamde
Lorentzgetal. L hangt alléén af van de universele constanten kB en e. Het
5
door Drude gevonden verband tussen κ en σ was, gezien de eenvoud van het
model, in zeer goede overéénstemming met de experimentele feiten, en stond
bekend als de Wiedemann-Franz wet. Experimenteel was namelijk gevonden:
L ' 2.2 − 2.9 10−8 W att − Ohm/K 2
• Manco van het Drude model
Volgens de kinetische gastheorie zouden de elektronen een belangrijke bijdrage aan de soortelijke warmte moeten leveren, namelijk:
Cv,el =
dEtherm
dEkin
d
=
=
dT
dT
dT
3
nkB T
2
3
= nkB
2
(9)
Echter, in de praktijk verschillen de gemeten soortelijke warmten van metalen
weinig van die van isolatoren. (Een isolator bevat geen vrije elektronen.) De
oplossing voor dit dilemma kwam van de moderne fysica: de quantum mechanica, ontwikkeld in begin van de 20-ste eeuw (1900-1925), vanuit de crisis
ontstaan door tekortkomingen van de klassieke fysica op meerdere fronten.
6