Getalstelsels

OPDRACHT: GETALSTELSELS
Profiel:
Aantal studielasturen:
Niveau:
Werkvorm:
E&M, C&M
10
VWO
Groepjes van twee of drie
Eerste deel
Dat veel mensen de overgang van het jaar 1999 naar het jaar 2000 als iets bijzonders ervaren
heeft vooral te maken met de manier waarop we de getallen noteren.
Wat betekent bijvoorbeeld de 5 in 5631? En de 3? En de 1? En wat betekenen de 7, de 8, en
de 2 in 0,782?
In de antwoorden op deze vragen wordt een belangrijke rol gespeeld door het getal 10. We
hadden 5631 en 0,782 dan ook genoteerd in het tientallig stelsel. Dat het, in onze cultuur,
gebruikelijk is getallen te noteren in het tientallig stelsel heeft hoogstwaarschijnlijk te maken
met het feit dat wij en onze voorvaderen geboren zijn met twee handen en aan iedere hand
vijf vingers.
Als we de geschiedenis echter bekijken blijkt het helemaal niet zo vanzelfsprekend om met
het tientallig stelsel te werken.
Een bekend getalstelsel is het zestigtallig stelsel van de Babyloniërs, waarvan we de
overblijfselen ook nu nog tegenkomen (denk aan de tijdrekening, of de indeling in drie
honderd en zestig graden van de vier windstreken).
Veronderstel nu eens dat mensen in het algemeen zouden beschikken over drie vingers aan
iedere hand. Dan zouden wij misschien de getallen noteren in het zestallig stelsel. Dat zou
dan als volgt gaan:
1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21 ……………
Merk op dat hiervoor uitsluitend de symbolen (=cijfers) 0, 1, 2, 3, 4 en 5 gebruikt worden.
Een getal wordt genoteerd in het zestallig stelsel als 42. Hoe zouden wij dat getal noteren in
het tientallig stelsel?
Hoe moet het getal zeventien genoteerd worden in het zestallig stelsel?
Hieronder volgen een aantal sommetjes opgegeven in het zestallig stelsel. Geef de
antwoorden ook in het zestallig stelsel.
Probeer die antwoorden te vinden zonder voor het eigenlijke rekenwerk om te rekenen naar
het tientallig stelsel.
a. 3 + 5 =
b. 4 + 2 =
c. 12 + 12 =
d. 12 + 15 =
e. 34 + 55 =
f. 123 + 534 =
g. 231 – 135 =
h. 325 – 143 =
i. 143 – 325 =
j. 2 x 4 =
k. 5 x 23 =
l. 15 x 32 =
m. 32 x 43 =
n. 45 x 55 =
o. 322 x 143 =
Geef de tafels van vermenigvuldiging in het zestallig stelsel.
Hieronder volgen een aantal deelsommetjes opgegeven in het zestallig stelsel. Geef de
antwoorden ook in het zestallig stelsel.
Probeer dat weer zonder om te rekenen naar het tientallig stelsel. Vergelijk zonodig met de
methode waarmee je deelsommen maakt in het tientallig stelsel.
a. 12 : 4 =
b. 122 : 5 =
c. 122 : 14 =
d. 1412 : 35 =
e. 12150 :35 =
f. 55330 : 322 =
Hoe moet het getal tweeduizend genoteerd worden in het zestallig stelsel?
Welke breuk wordt in het zestallig stelsel aangeduid met :
a. 0,1
b. 0,2
c. 0,3
d. 0,4
e. 0,5
f. 0,01
g. 0,32
h. 0,215
i. 0,34231
(dit zijn dus geen decimale, maar sixtale breuken)
Hoe noteer je de getallen
1 1 1
1
,
,
en met behulp van sixtale breuken?
4 5 7
9
Doe zelf een onderzoek naar het noteren van getallen in het n-tallig stelsel waarbij n iets
anders is dan zes of tien. Geef daarmee ook wat rekenvoorbeelden analoog aan bovenstaande
opdrachten.
Welke moeilijkheid kom je tegen als n groter is dan tien?
1
noteren als
7
0,142857142857142857……………………..,
In het ‘gewone’ tientallige stelsel kunnen we
een zogenaamde repeterende decimale breuk. Daarentegen kan
1
genoteerd worden als 0,25
4
en dat noemen we een eindigende decimale breuk.
1
(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,………..) in het tientallig stelsel
k
genoteerd kunnen worden met behulp van een eindigende decimale breuk en voor welke
1
getallen
een repeterende breuk nodig is?
k
Kun je voorspellen welke getallen
Hoe zit dat in een n-tallig stelsel als n iets anders is dan tien?
Met hoeveel vingers aan iedere hand zouden we waarschijnlijk gewend zijn aan het noteren
in een stelsel waarbij we minder dan nu gebruik moeten maken van een repeterende ‘n-ale’
breuk?
Tweede deel
Maak een keuze uit een van onderstaande opdrachten:
Zoek eens naar de oorsprong van ons tientallige stelsel en de tekens die we voor de cijfers
gebruiken. Bekijk ook hoe andere culturen hun getallen noteerden (noteren).
Beschrijf een ander getallenstelsel dan het tientallige of het zestallige. Geef analoog aan het
eerste deel van de opdracht aan hoe je met dit getallenstelsel rekent.