Hoofdstuk 4 N gekoppelde slingers

Hoofdstuk 4
N gekoppelde slingers
4.1
De bewegingsvergelijkingen
We beschouwen een systeem van N identieke slingers met lengte l, waarvan de naburige
slingers met identieke veren gekoppeld zijn, zoals aangegeven in figuur 4.1. We veronderstellen vaste randvoorwaarden, wat inhoudt dat de slingers 1 en N door een veer gekoppeld
zijn met een wand. Alle veren hebben een gelijke veerconstante K en evenwichtslengte
a. Aan elke slinger hangt een massa M. De uitwijking xj (t) van de j de slinger wordt
gemeten vanaf de evenwichtpositie xj (t) = 0. We beschouwen louter kleine uitwijkingen.
Om de bewegingsvergelijkingen op te schrijven voor alle massa’s j dienen we te kijken
welke krachten er op hen uitgeoefend worden. Allereerst zijn daar natuurlijk de krachten
van de veren, zoals we die ook in het vorige hoofdstuk hebben gezien. Daarnaast wordt
op elke massa ook nog een extra kracht uitgeoefend ten gevolge van de zwaartekracht.
x
Voor kleine uitwijkingen xj (t) is deze kracht gelijk aan F = M ẍj = −Mg lj , zoals we
reeds gezien hebben in paragraaf 1.1.2. De zwaartekracht leidt dus tot een extra term in
de bewegingsvergelijkingen:
M ẍj = −
Mg
xj + K(xj+1 − xj ) + K(xj−1 − xj )
l
met j = 1, 2, . . . N
(4.1)
met vaste randvoorwaarden:
x0 (t) = 0; xN +1 (t) = 0
Merk op dat indien de term − Ml g afwezig is, deze vergelijkingen reduceren tot die van
een lineaire keten van gekoppelde oscillatoren, behandeld in het vorige hoofdstuk. In feite
beschrijven bovenstaande vergelijkingen dus een algemener geval, wat echter op compleet
identieke wijze opgelost kan worden.
31
4.2
4.2.1
Eigentrillingen en dispersierelatie
De dispersierelatie
Ook in dit geval wordt de algemene oplossing gevonden door te zoeken naar N eigentrillingen met de algemene vorm:
xj (t) = Aj cos(ωt − ϕ)
Invullen in de bewegingsvergelijkingen (4.1) geeft:
−Mω 2 Aj = −
Mg
Aj + K(Aj+1 − Aj ) + K(Aj−1 − Aj )
l
met j = 1, 2, . . . N
(4.2)
Schrijf de amplitudes Aj als:
Aj = Ak sin kja + Bk cos kja
zodat (zie hoofdstuk 3):
Aj+1 + Aj−1 = 2Aj cos ka
Dit betekent dat vergelijking (4.2) overgaat in:
Mg
Aj + 2K(cos ka − 1)Aj
l
−Mω 2 Aj = −
Dit resulteert in:
ω2 =
g
K
1
+ 4 sin2 ( ka)
l
M
2
Dit is dus de dispersierelatie voor een keten van N slingers, getekend in figuur 4.2.
Deze dispersierelatie is te schrijven als:
ω 2 (k) = ω02 + ω12 sin2 ( 12 ka) met ω0 =
⇑
tgv kracht
op elke slinger
Indien de term
g
l
q
g
l
en ω1 = 2
q
K
.
M
⇑
tgv kracht tussen
de slingers
afwezig is (ω0 = 0), is bovenstaande dispersierelatie gelijk aan die van
een lineaire keten gekoppelde oscillatoren (vergelijking (3.9)). In dat geval is de minimale
frequentie ωmin = 0 voor k = 0 en de maximale frequentie ωmax = ω1 voor k =
π
a
(zie
stippellijn in figuur 4.2). Voor de gekoppelde
slingers is de minimale frequentie niet nul,
q
maar ωmin = ω0 voor k = 0 en ωmax =
ω02 + ω12 . Dit heeft grote consequenties voor
de dispersie rond k = 0, ofwel in de zogenaamde continuumlimiet (ka ≪ 1), die we in
32
hoofdstuk 6 uitgebreid zullen bespreken. Voor ka ≪ 1 geldt namelijk sin( 21 ka) ≈ 21 ka,
dus:
1
ω 2 (k) ≈ ω02 + ω12 ( ka)2
2
= ω02 + v02 k 2
1
met v0 = ω1 a
2
Dit wordt een niet-lineaire dispersie genoemd. De fysische consequentie hiervan is bijvoorbeeld dat de fasesnelheid vϕ =
ω(k)
k
(vergelijking (3.23)) sterk afhangt van het golfgetal k.
Indien ω0 = 0 spreken we van een lineaire dispersie omdat in dat geval ω = v0 k en ω
lineair toeneemt met k, m.a.w. vϕ = v0 , zoals we ook gezien hebben in het geval van de
klassieke golfvergelijking.
4.2.2
Eigentrillingen
We passen vaste randvoorwaarden toe:
• x0 (t) = 0 geeft A0 = 0 wat leidt tot Bk = 0 → Aj = Ak sin kja
• xN +1 = 0 geeft AN +1 = 0 ofwel Ak sin(k(N + 1)a) = 0
Dit betekent:
k=
nπ
(N + 1)a
met n = 1, 2, . . . N
We vinden dus N onafhankelijke eigentrillingen met de volgende gedaante:
xj (t) = Ak sin kja cos(ωk t − ϕk )
nπ
waarbij k =
n = 1, 2, . . . N
(N + 1)a
g 4K
1
en ωk2 =
+
sin2 ( ka)
l
M
2
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Merk op dat de toegestane k waarden en de vorm van de eigentrillingen voor N gekoppelde slingers identiek zijn aan die van de lineaire keten van N oscillatoren. Alleen de
dispersierelatie en dus de eigenfrequenties zijn anders.
Bijvoorbeeld, de eigentrillingen voor 7 gekoppelde slingers zijn hetzelfde als die in figuur 3.3 (a), terwijl de bijbehorende eigenfrequenties te zien zijn in figuur 4.3 (a). Ook
in dit geval wordt de dispersiecurve beter gevuld naarmate het aantal slingers toeneemt,
zoals is aangegeven in figuur 4.3 (b) voor N = 29.
33
l
K
x1
a
M
xj-1
xj
xj+1
xN
Figuur 4.1: Een systeem van N slingers met lengte l gekoppeld door identieke veren met
veerconstante K en evenwichtslengte a. Aan elke slinger hangt een massa M. In dit geval
beschouwen we vaste randvoorwaarden.
2
2
ω0 +ω1
Frequentie ω
ω1
ω0
Oscillatoren (ω0=0)
Slingers
0
0
__
π
2a
golfgetal k
__
π
a
Figuur 4.2: De dispersierelatie van een lineaire keten van N slingers (getrokken lijn). De
curve is uitgerekend voor het geval dat ω1 = 4ω0 . Ter vergelijking is ook de dispersiecurve
voor N gekoppelde oscillatoren getekend (stippellijn).
34
__
K
__
2 M
__
K
__
2 M
7
a) 7 slingers
6
b) N = 29 slingers
5
Frequentie
Frequentie
4
3
2
1
0
0
Dispersiecurve
Eigenfrequenties
__
π
2a
golfgetal k
0
π
__
a
0
__
π
2a
golfgetal k
π
__
a
Figuur 4.3: a) De eigenfrequenties voor een systeem van N = 7 gekoppelde slingers,
aangebracht in de dispersiecurve (ω1 = 4ω0 ). b) de eigenfrequenties voor N = 29. Met
toenemende N wordt de dispersiecurve steeds meer opgevuld.
35