Werkdocument theorie

Werkdocument
Dynamische modellen havo
Theorie
Dit exemplaar behoort aan:
Naam:
_____________________________________
Klas:
_____________________________________
_
Inhoudsopgave
Blz.
3
6
12
15
18
24
26
30
Les C
Les D
Les E
Les F
Les G
Les H
Les I
Les J
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
1
Les C
Opdracht 1
Petfles met alleen uitstroom
Inleiding
In dit experiment staat een plastic fles (een PET-fles) model voor een lekkende
emmer. Uitstroom is mogelijk door openingen in de bodem en in de dop. Je gaat
experimenteel onderzoeken hoe het waterpeil in een PET-fles verandert in de loop
van de tijd. Van de verandering van dat waterpeil ga je diagrammen maken.
Benodigdheden
Neem een grote petfles, zaag de bodem er af en boor een gaatje in de dop (diameter
5, 6 of 7 mm). Houd de fles op de kop en een vinger op het gaatje (of schroef er een
dichte dop op). Giet met een maatcilinder 100 mL water in de fles en zet een streepje
op de zijkant van de fles. Doe dit 15 keer en noteer daarbij steeds de waarde van het
watervolume.
Werkwijze
Vul de petfles met water en laat deze leeglopen door het gaatje in de dop. Om
draaikolken te voorkomen kun je hem het beste een beetje scheef houden.
Meet de tijd voor het weglopen van steeds 100 mL.
Zet de meetwaarden in een tabel hieronder (Excelprogramma opent zich na
dubbelklik op de tabel!).
Vervang de dop door een dop met een groter gaatje. Herhaal de proef (je mag ook
de meetresultaten van klasgenoten met een dop met groter gaatje gebruiken).
Vervang de dop door een dop met een kleiner gaatje. Herhaal de proef (je mag ook
de meetresultaten van klasgenoten met een dop met kleiner gaatje gebruiken).
Maak van je tabel een diagram van het volume tegen de tijd. Dat zijn dus drie
grafieken in één diagram. Maak de legenda in orde, d.w.z. geef voor elke lijn aan of
het een groot, middelgroot of klein gaatje was.
Resultaten
Noteer je meetresulaten in onderstaande tabel 1. Je kunt de tabel openen door met
je muis op de tabel te dubbelklikken. Na afloop sluit je het programma en staan je
resultaten in de tabel.
Dop met middelgroot gat
Volume (ml) Tijd (s)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Δt (s)
Werkdocument theorie
Dop met groot gat
Tijd (s)
Δt (s)
Dop met klein gat
Tijd (s)
Dynamische modellen havo
Δt (s)
2
Figuur 1: het laten leeglopen van een lekke emmer
Conclusies
Beantwoord onderstaande vragen.
1a.
fles.
De uitstroomsnelheid is wel / niet afhankelijk van de hoeveelheid water in de
Antwoord:
1b. Hoe groter het watervolume, hoe groter/kleiner de tijd t voor het uitstromen van
100 mL water, dus hoe groter/kleiner de uitstroomsnelheid.
Antwoord:
1c.
De uitstroomsnelheid is wel / niet afhankelijk van de grootte van het gaatje in
de dop.
Antwoord:
1d.
Hoe groter het gaatje, hoe groter/kleiner de tijd t voor het uitstromen van 100
mL water, dus hoe groter/kleiner de uitstroomsnelheid.
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
3
Opdracht 2.
Petfles met instroom en uitstroom!
Inleiding
In dit experiment staat een plastic fles (een PET-fles) model voor een lekkende
emmer. Instroom en uitstroom is mogelijk door openingen in de bodem en in de
dop. Je gaat experimenteel onderzoeken hoe het waterpeil in een PET-fles verandert
in de loop van de tijd als er zowel uitstroom als instroom plaatsvindt. Van de
verandering van dat waterpeil maak je een diagram.
Benodigdheden
Zie opdracht 1
Werkwijze
Open de kraan een eindje als de omgekeerde petfles (met dop met gaatje 6 mm)
leeg is.
Meet telkens de tijd als er 100 mL water bij is gekomen. Ga door totdat een
evenwichtsniveau is bereikt.
Opmerking: wanneer de fles overstroomt voordat zich een evenwicht kan instellen,
draai dan de kraan iets dichter en begin opnieuw. Als zich een evenwicht instelt bij
minder dan 200 ml, draai dan de kraan wat verder open en start de meting opnieuw.
Resultaten
Noteer je meetresulaten in onderstaande tabel 2. Je kunt de tabel openen door met
je muis op de tabel te dubbelklikken. Na afloop sluit je het programma en staan je
resultaten in de tabel.
Dop met middelgroot gat
Volume (ml) Tijd (s)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Δt (s)
Figuur 2: het vullen van een lekke emmer (= omgekeerde petfles met dop met gaatje).
Bij welk volume (in mL) is er evenwicht ontstaan?
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
4
Conclusies
Bij een lekkende fles of emmer met een constante instroom kan zich wel / niet een
evenwicht instellen.
Antwoord:
De uitkomst van het experiment (zie de grafieklijnen) hangt wel / niet af van de stand
van de kraan (vergelijk je resultaten met die van je klasgenoten).
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
5
Les D
Opdracht
Het bouwen van een eenvoudig model
Inleiding
In les D ga je zelf een eenvoudig dynamisch model maken van een lekkende emmer.
Bekijk eerst de powerpoint hieronder (je kunt de powerpoint openen door op het
plaatje de dubbelklikken).
Dynamische Modellen
NLT-module havo / vwo
René Westra
Arjan de Graaf
bevolking
geboorten
geboortecijfer
sterfte
sterftecijfer
water_in_emmer_in_L
Benodigdheden
Bij het lesmateriaal hoort een computerprogramma Powersim. Dit is vrij te
downloaden via http://www.fisme.uu.nl/modelleren/docent/software.php.
De handleiding bij het programma Powersim vind je in onze elektronische
leeromgeving (ELO).
Je kunt Powersim openen door op figuur 3 hieronder te klikken (Je moet dan wel
eerst het programma Powersim zelf openen vanuit je computer).
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Time
Figuur 3. Diagram in Powersim
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
6
Werkwijze
Volg onderstaande instructie. Wil je eerst bekijken hoe een model gemaakt wordt, ga
dan naar http://oudwww.bonhoeffer.nl/nlt/filmpjes/badkuip.wmv .
We nemen de situatie van een badkuip.
Start het modelleerprogramma Powersim
De hoeveelheid water in de badkuip wordt
weergegeven met een voorraadgrootheid
(levelvariabele).

Klik met de linker muisknop op het
rechthoekige icoon voor een
voorraadgrootheid in de knoppenbalk.
Plak dit icoontje ergens in het midden bovenaan op
het lege witte werkblad.
Hernoem de variabele Level_1 naar Water_in_bad
door op de naam te gaan staan en éénmaal te
klikken met de linker muisknop.


De waterstromen in en uit het bad worden met stroomvariabelen weergegeven.
Figuur 4: knoppenbalk Powersim, voorraadgrootheid en stroomicoon

Klik op het linker stroomicoon in de
knoppenbalk
Voeg deze instroom toe aan de linkerkant van de
voorraadgrootheid water_in_bad en sleep naar
rechts totdat de stroom contact maakt met de
variabele water_in_bad. Dan licht deze zwart op.
Doe hetzelfde voor de uitstroom, maar begin dan
in water_in_bad en sleep naar rechts.


?
?
Rate_1
w ater_in_bad
?
Rate_2
Figuur 5: model Powersim
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
7
De vraagtekens in de drie elementen (zie figuur 5) geven aan dat er nog geen
waarden aan de variabelen zijn toegekend.
Neem aan dat er al 10 L water in de badkuip zit. Neem een constante instroom van 4
L per minuut en een uitstroom van 1,5 L per minuut. Breng deze waarden als volgt in
het model (zie figuur 6):
Figuur 6: definiëren variabelen, water in bad
en kraan

Dubbelklik op het blokje van de variabele
water_in_bad. Je krijgt de eigenschappen te zien.
Voer de beginwaarde 10 in (bij Definition) en de
eenheid L (bij Unit of Measure).
Klik op de naam van de instroom en verander deze
in kraan. Dubbelklik op de instroom. Voer de
eenheid (L/min) in en definieer de beginwaarde op
4 L/min.
Klik ook op de uitstroom en verander deze in
Afvoer. Dubbelklik op de uitstroom. Voer de
eenheid (L/min) in en definieer de uitstroom op 1.5.
L/min.


Voor de onafhankelijke variabele neemt Powersim standaard: de tijd t. In dit geval
willen we de verandering per minuut weten.
De grootte en het aantal van de rekenstappen kunnen worden ingesteld onder het
menu Simulate.

Klik op Simulation Setup (zie figuur 7) en voer
(indien nodig) bij de starttijd 0 en bij Stop Time 100
(min) in, en neem een tijdstap van 1 (min).
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
8
1. Achtergrondinformatie: tijdstap Powersim
De tijdstap is de toename van de tijd per cyclus van de modelberekeningen. In
Powersim stel je de tijdstap en de totale rekentijd in bij Simulation Setup in het menu
Simulate
Grafieken maken
Om te zien hoe het volume in de badkuip reageert op de instroom en uitstroom
zetten we enkele diagrammen klaar.
Figuur 18: knoppenbalk Powersim, diagram



Klik op het icoontje voor het diagram.
Plaats het diagram rechtsboven.
Klik nu op het blokje van de variabele
water_in_bad en sleep deze naar de verticale as
van het diagram.
Op dezelfde manier kun je diagrammen van de instroom Kraan en de uitstroom
Figuur 9: diagrammen Powersim
Afvoer klaarzetten.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
9
De Y-as kun je voor een beter leesbare grafiek nog aanpassen door te dubbelklikken
op de figuur. Dan ga je naar Value Y-axis, dan op axis en dan kun je de beginwaarde
op 0 zetten en de maximale waarde op 5.
Het model uitvoeren
Als het niet is gelukt een goed badkuipmodel te bouwen, vraag dan je docent om
raad (hij/zij heeft het bestand badkuip1.sim achter de hand.)
Voorspel hoe de grafiek van water_in_bad eruit zal zien (met een startwaarde van
water_in _bad = 10 L, een instroom = 4 L/min en een uitstroom = 1.5 L/min.
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
10
Resultaten
Om te zien welke resultaten een model oplevert, moet je het laten doorrekenen.
Klik op de Run button.
. De computer tekent de grafieken en er verschijnt ook in
de voorraadgrootheid water_in_bad een grafiekje en een getal dat de waarde
aangeeft. Vergelijk deze uitkomst van het model met je eigen voorspelling.
Beschrijf de verschillen tussen jouw voorspelling en het modelresultaat. Beschrijf ook
hoe je die verschillen verklaart.
Antwoord:
Conclusies
Bestudeer de grafieken voor verschillende in- en uitstroomsnelheden.
a
b
c
Wat gebeurt er met het waterniveau in de badkuip als de instroom = 0?
Wat gebeurt er met het waterniveau in de badkuip als de uitstroom = 0?
Welk element ontbreekt er dus aan het model van de badkuip om onmogelijke
waarden voor water_in_bad te kunnen voorkomen? (Onmogelijk wil hier
zeggen: een leeg bad of een bad dat overstroomt.)
Antwoord:
a.
b.
c.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
11
Les E
Opdracht
Het model aanpassen
Inleiding
In werkelijkheid is de uitstroom niet constant, maar afhankelijk van de hoeveelheid
water in het bad. De uitstroom is groter als er meer water in het bad zit. Zie je
resultaten van het leegloopexperiment met de petfles. In deze praktische opdracht ga
je proberen relaties aan te brengen in je dynamisch model. Doel is om het model zo
veel mogelijk te laten kloppen met je experiment.
Werkwijze
Je gaat nu door klikken en slepen een relatie maken tussen de voorraadgrootheid
water_in_bad en de rekengrootheid afvoer. Zo'n afhankelijkheid geef je in het model
Figuur 10: knoppenbalk Powersim, relatiepijl
aan met een relatiepijl.
Klik op het icoon van de relatiepijl (zie figuur 10) en plaats de cursor in de variabele
water_in_bad.
Versleep de pijl totdat deze contact maakt met de Afvoer. Merk op dat de ruit van
Afvoer verandert in een cirkel. De ruit is het symbool voor een constante en de cirkel
is het symbool voor een rekengrootheid. Dat wil zeggen dat de afvoer nu ook van
een andere grootheid afhangt, in dit model dus van de hoeveelheid water in het bad.
Hoe die afhankelijkheid is (de formule) staat in het menu Define Variable (zie figuur
11), dat tevoorschijn komt als je de cirkel aanklikt.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
12
Figuur 11: definiëren variabelen, afvoer

Als je de boog van de lijn niet mooi vindt, kun je de
vorm naar wens veranderen door klikken en
trekken aan heel kleine blokjes.
Herdefinieer de instroom en de uitstroom

Neem eerst aan dat de kraan gesloten is:
dubbelklik op Kraan en stel deze in op 0 L/min.

Dubbelklik op Afvoer. Vervang (in het vakje
definition) de constante waarde door de
vergelijking 0,1 * water_in_bad. (type 0,1 * en
dubbelklik op de gewenste "Linked Variable").

Om het bad alleen leeg te kunnen laten lopen,
moet het wel eerst gevuld zijn. Doe dat.

Laat het diagram voor het leeglopen tekenen.

Schets deze grafiek in een diagram.

Zet nu de kraan een eindje open en laat ook de
afvoer open staan.

Laat het model draaien tot zich een
evenwichtsniveau heeft ingesteld. Verander, indien
nodig, de instroom zodat het bad niet overstroomt
(er past maximaal 100 L in het bad).
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
13
Resultaten
a
Ga eerst met een berekening na hoe ver je de kraan open moet draaien om
evenwicht te krijgen bij 70 L water in het bad en nog steeds dezelfde afvoer.
b
Draai (in het model) de kraan op de stand die je in a uitgerekend hebt en laat
het model rekenen. Komt de eindstand uit bij 70 L?
Antwoord:
a.
b.
Noodstop
Maak een voorziening in het badkuipmodel om overstroming tegen te gaan. Hiervoor
moet je de IF-functie gebruiken in de Kraan. Neem aan dat het bad begint over te
stromen als er 100 liter in zit.
Vraag
Hoe luidt nu de formule die je invult?
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
14
Les F
Opdracht
Bevolkingsgroei en politiek.
In de 19e eeuw werd op grond van een (te) eenvoudig model een ramp voorspeld.
2. Achtergrondinformatie: de theorie van Malthus
In 1798 publiceerde de Britse demograaf en econoom
Malthus het pamflet “An Essay on the Principle of
Population”, waarin hij stelde dat de bevolkingsgroei
van nature exponentieel verloopt, maar dat de groei
van de voedselproductie lineair is. Dit zou, volgens
Malthus, uiteindelijk leiden tot de beschikbaarheid
van steeds minder voedsel per mens.
Na 1750 was de bevolking in Engeland sterk
begonnen te groeien doordat er minder epidemieën
optraden door verbeterde hygiëne. In dezelfde
periode begon de Industriële Revolutie. Malthus
rekende uit dat de bevolking sinds 1750 elke 25 jaar
verdubbelde.
Indien de menselijke bevolking met dezelfde snelheid
zou blijven groeien, zou het aantal mensen te groot
worden om iedereen van voldoende voedsel te
kunnen voorzien.
Malthus bepleitte bevolkingscontrole te
bewerkstelligen door "morele terughoudendheid" te
betrachten, zodat men te sterke bevolkingsgroei kon
vermijden.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
15
De theorie van Malthus
Vraag 1.
In 1800 woonden in Engeland ongeveer 15 miljoen mensen. Malthus voorspelde dat
de bevolking elke 25 jaar zou verdubbelen. Vul de 2e kolom van de tabel in figuur 23
in waarin je om de 25 jaar het aantal inwoners uitrekent tot het jaar 2000. Open Excel
bestand door dubbelklik.
Jaar
Aantal inwoners
Aantal inwoners
bij verdubbeling om de 25 jaar
bij lineaire groei.
1775 7,5 miljoen
7,5 miljoen
1800 15 miljoen
15 miljoen
1825
1850
1875
1900
1925
1950
1975
2000
Figuur 12: tabel inwoners van Engeland
Vraag 2.
Groot-Brittannië had in werkelijkheid in het jaar 2000 ca 60 miljoen inwoners.
Geef drie oorzaken waardoor dit getal afwijkt van de voorspelling van Malthus.
Antwoord:
Vraag 3.
Ga na of een lineaire groei van 7,5 miljoen per 25 jaar een betere voorspelling had
opgeleverd. Vul daartoe eerst de 3e kolom van de tabel in. Conclusie?
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
16
Antwoord:
In Nederland zijn er diverse instanties die zich in de bevolkingsgroei verdiepen, zoals
het CBS (Centraal Bureau Statistiek) en het RIVM. In bijlage 2, Bevolkingsgroei, vind
je achtergrondinformatie over de groei van de Nederlandse bevolking.
Op wereldschaal is de bevolkingsgroei anders (geweest) dan op landelijke schaal.
In 1804 woonden er 1 miljard mensen op de wereld. In 1927 waren dat er 2 miljard.
Eind jaren '50 groeide de wereldbevolking tot 3 miljard personen. Sinds 1999 staat
de teller al op meer dan 6 miljard.
Vraag 4.
Is er bij de wereldbevolking sprake van lineaire of exponentiële groei?
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
17
Les G
Opdracht Een eenvoudig model voor de bevolkingsgroei
bevolking
geboorten
sterfte
Figuur 13: eenvoudig model bevolkingsgroei in een
kleine stad
In figuur 13 staat een eenvoudig model van de bevolkingsgroei in een kleine stad. De
stad heeft 5000 inwoners.
Elk jaar worden er 150 baby's geboren en sterven er 75 mensen.
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Time
Maak dit model in Powersim als volgt:

Start het modelleerprogramma Powersim (b.v.
door op bovenstaande figuur te dubbelklikken).

Klik met de linker muisknop op het rechthoekige
icoon voor een voorraadgrootheid in de
knoppenbalk (helemaal links).

Plak dit icoontje ergens in het midden bovenaan op
het lege witte werkblad.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
18

Geef de variabele Level_1 de nieuwe naam
bevolking door op de naam te gaan staan en één
maal te klikken met de linker muisknop.
De geboorten en de sterfgevallen worden met stroomvariabelen weergegeven.


Klik op het stroomicoon in de knoppenbalk.
Voeg deze bevolkingstoename toe aan de
linkerkant van de voorraadgrootheid bevolking en
sleep naar rechts totdat de stroom contact maakt
met de variabele bevolking. Dan licht deze zwart
op.
Doe hetzelfde voor de bevolkingsafname door
sterfte, maar begin dan in de bevolking en sleep
naar rechts.
De vraagtekens in de drie elementen geven aan
dat er nog geen waarden aan de variabelen zijn
toegekend.
Dubbelklik op het blokje van de variabele
bevolking. Je krijgt de eigenschappen te zien. Voer
bij Definition de beginwaarde 5000 in en bij Unit of
Measure de eenheid p (van personen).
Klik op de naam van de instroom en verander deze
in geboorten. Dubbelklik op de geboorten. Voer de
eenheid (p/j) in en definieer de beginwaarde op
150 p/j.
Klik ook op de uitstroom en verander deze in
sterfte. Dubbelklik op de sterfte. Voer de eenheid
(p/j) in en definieer de sterfte op 75 p/j.





Voor de onafhankelijke variabele neemt Powersim standaard: de tijd t. In dit geval
willen we de verandering per jaar weten.
De grootte en het aantal van de rekenstappen kan worden ingesteld onder het menu
Simulate.

Klik op Simulation Setup en voer (indien nodig) bij
de starttijd 0 en bij Stop Time 100 (j) in, en neem
een tijdstap van 1 (j).
Maak ook een tabel en een diagram van de
bevolking in de tijd.

Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
19

Klik op het icoontje voor het diagram (zie figuur 18)
en plaats het diagram rechtsboven.
Klik nu op het blokje van de variabele bevolking en
sleep deze naar de verticale as van het diagram.

Om te zien welke resultaten het model oplevert moet je het laten doorrekenen.

Klik op de Run button.
. De computer tekent de
grafieken en er verschijnt ook in de
voorraadgrootheid bevolking een grafiekje en een
getal dat de waarde aangeeft.
Vraag 1.
a
Beschrijf hoe de bevolking verandert in loop van de tijd.
b
Is dit een lineair groeiproces of een exponentieel groeiproces? Beschrijf ook
waaraan je dat ziet.
c
Schrijf je antwoord op vraag 1a in de vorm van een formule.
Antwoord:
a.
b.
c.
Uitbreiding van het bevolkingsmodel met geboortecijfers en sterftecijfers
Het model bij opdracht 1 is niet erg realistisch, want er wordt aangenomen dat de
geboorten en sterfte in het stadje constante waarden zijn. Dit leidt tot een lineaire
groei. In werkelijkheid hangt het aantal geboortes en de sterfte af van de grootte van
de bevolking. En dan is het niet meer zo eenvoudig om er een formule voor te
vinden. Daarom gaan we het model nu uitbreiden.
Meer realistisch is een model waarin het aantal geboorten een percentage is van het
aantal inwoners. We noemen deze grootheid het geboortecijfer. Het geboortecijfer
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
20
bereken je door het aantal geboorten per jaar te delen door het bevolkingsaantal in
dat jaar.
Vraag 2
a
Bereken het geboortecijfer in het eenvoudige model voor de bevolkingsgroei
in het 1e jaar.
b
Ga na dat het geboortecijfer in dit model niet constant is. Neemt het toe of af?
Antwoord:
a.
b.
In dit model gaan we ervan uit dat het geboortecijfer constant is door de jaren heen.
Als je het geboortecijfer weet, kun je daarmee de rekengrootheid geboorten telkens
laten uitrekenen in het model. Dit gaat als volgt:

Selecteer de Constante (rechthoekje) in de
Modelknoppenbalk. Plaats het symbool linksonder
de geboorten(stroom) door te klikken. Geef het de
naam geboortecijfer.
Je weet dat de geboortestroom afhangt van het geboortecijfer, dus is er een
relatiepijl nodig tussen de symbolen geboorten en geboortecijfer.
bevolking
geboorten
sterfte
geboortecijfer
sterftecijfer
Figuur 14: model bevolkingsgroei met geboorte- en sterftecijfers

Selecteer (klik op) het icoon voor de relatiepijl en sleep vanuit het
geboortecijfer totdat de pijl contact maakt met de
geboorten(stroom).
Geboorten is nu veranderd van een constante (ruit) in een
rekengrootheid (cirkel).
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
21
Het aantal geboorten hangt ook af van de totale bevolking, dus is er ook een
relatiepijl nodig van bevolking naar geboorten.

Breng deze relatiepijl aan.
Merk op dat de variabele geboorten opnieuw een ? krijgt. Dat komt omdat de
bestaande vergelijking niet meer geldig is. De relatiepijlen van bevolking en
geboortecijfer naar geboorten geven aan dat de vergelijking voor geboorten de
variabele bevolking en geboortecijfer moet bevatten.

Dubbelklik de geboorten en herdefinieer deze met behulp van de
formule-editor. Merk op dat je alleen gebruik kunt maken (door
dubbelklikken) van de variabelen waaruit relatiepijlen zijn getrokken.
Noteer wat de definitie (formule) voor geboortestroom moet zijn.
Omdat we hier te maken hebben met hele aantallen (mensen),
moeten we de stromen afronden op gehele getallen door gebruik te
maken van de ROUND-functie in Powersim. Pas de
geboortestroom aan.
Pas op soortgelijke wijze de sterfte(stroom) aan. Het sterftecijfer
vertegenwoordigt de sterfte van de bevolking. Neem voor het
sterftecijfer de waarde is 0,015 (1,5%) van de bevolking.



Vraag 3.
Hoe luidt de definitie (formule) voor de sterfte(stroom)?
Antwoord:

Voer het model uit.
Vraag 4.
a
b
c
d
e
Beschrijf hoe de bevolkingsgroei nu verloopt.
Hoe groot is de bevolking na 20 jaar?
Is dit een lineair groeiproces of een exponentieel groeiproces?
Beschrijf ook waaraan je dat ziet.
Wat gebeurt er met de bevolking in de situatie dat het geboortecijfer
hoger is dan het sterftecijfer?
Wat gebeurt er met de bevolking in de situatie dat het geboortecijfer
lager is dan het sterftecijfer?
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
22
Antwoord:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
23
Les H
Opdracht
Terugkoppeling
Als een verandering van de afhankelijke variabele (die het gevolg voorstelt), invloed
heeft op een variabele die een oorzaak is van die verandering, dan spreken we van
terugkoppeling.
+
bevolking
geboorten
+
+
water in bad
uitstroom
Als in het bevolkingsmodel (met geboortecijfers en
sterftecijfers) de bevolking toeneemt, neemt ook het
aantal geboorten toe, waardoor de bevolking weer
sneller toeneemt. Dit heet een positieve
terugkoppeling:
de verandering versterkt zichzelf.
Je kunt dat ook in een plaatje
tekenen (zie figuur 15). Als je een
keer rond bent, zie je: hoe groter
de bevolking, hoe sneller het
aantal mensen toeneemt.
In het model over waterstromen
was sprake van een negatieve terugkoppeling.
-
Figuur 15: positieve en negatieve
terugkoppeling
Als er veel water in de emmer zit, heb je een grote
uitstroom, dus neemt de hoeveelheid water in de
emmer snel af. Bij een kleiner geworden hoeveelheid
water in de emmer wordt de uitstroom kleiner, waardoor de afname van de
hoeveelheid water in de emmer weer minder snel gaat.
Je kunt dat ook in een plaatje tekenen (zie figuur 15). Als je een keer rond bent, zie
je: hoe minder water in de emmer, hoe minder het afneemt.
Dit noemen we dan een negatieve terugkoppeling: de verandering dempt zichzelf.
Vraag 1.
Leg uit welke drie variabelen betrokken zijn bij de twee terugkoppelingen in het
model van de bevolkingsgroei. Doe dit door soortgelijke tekeningen te maken als in
figuur 15.
Antwoord:
In het experiment met de petfles was er een constante instroom van water uit de
kraan. Daar was dus geen terugkoppeling op de instroom. In het waterreservoir van
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
24
een wc zit wel een terugkoppeling op de instroomkraan: een vlotter in de waterbak
drijft op het water, stijgt mee met het water en druk zo de kraan dicht.
Vraag 2.
a
Leg uit of de terugkoppeling van de vlotter op de instroomkraan in het
waterreservoir van de wc een positieve of negatieve terugkoppeling is.
b
Leg uit dat voor een stabiel evenwicht van een voorraadgrootheid een
negatieve terugkoppeling nodig is.
Antwoord:
a.
b.
c.
Klimaatmodellen zijn heel complex en heel groot. De klimaatverwachtingen van de
verschillende modellen verschillen dan ook nogal van elkaar. Daardoor zijn
klimaatverwachtingen nog erg grof en onbetrouwbaar. Bovendien is een groot aantal
invloeden nog onbegrepen, zeker in detail. Bijvoorbeeld het feit dat de sneeuw- en
ijsbedekking in de poolstreken door de eeuwen heen zo (relatief) stabiel is gebleken.
Immers: sneeuw weerkaatst het zonlicht heel goed. Waar de sneeuw is
weggesmolten, wordt de zonnestraling minder weerkaatst waardoor het water of de
grond veel sterker op- warmt, waardoor je zou verwachten dat er meer ijs en sneeuw
smelt, waardoor ………
Vraag 3.
a
Leg uit dat sneeuw voor een terugkoppeling zorgt bij de opwarming van de
aarde.
b
Leg uit of deze terugkoppeling positief of negatief is.
Antwoord:
a.
b.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
25
Les I
Opdracht De waterbalans in je lichaam (bij een marathon)
In de figuur hierboven kun je lezen welke bijdragen een belangrijke rol spelen bij het
veranderen van de waterhoeveelheid in het lichaam in de rustsituatie.
Vraag 1.
Welke factoren zou je kunnen opnemen in een eerste model van de
waterhuishouding bij de mens?
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
26
Antwoord:
a.
Voor de voorspellende waarde van je model zijn de grote bijdragen natuurlijk
belangrijker dan de kleine, maar bovendien zijn de sterk wisselende bijdragen
interessanter dan bijdragen die nauwelijks veranderen. Zulke constante bijdragen
kun je eenvoudig optellen en in je model opnemen als “overige”, terwijl je van de
veranderlijke bijdragen gedetailleerd studie moet maken om een goede voorspelling
te kunnen doen.
Figuur 16: drinken tijdens de marathon
is belangrijk
Figuur 17: ontlasting
komt soms ongelegen
Figuur 18: nieren en blaas,
waar aanmaak en opslag van
urine plaatsvinden
Vraag 2.
Kies voor je model voor een marathonloper één factor die de wateropname
(instroom) bepaalt en twee factoren die de waterafgifte bepalen. Geef argumenten
voor je keuze van deze grootheden.
Antwoord:
Het lichaam van een mens van 70 kg bestaat voor ongeveer uit 60% water, wat dus
overeenkomt met 42 liter.
Die 42 liter is als volgt verdeeld:
26,5 liter in de cellen
12,6 liter in weefselvocht en lymfe
2,9 liter in bloed.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
27
Onder normale omstandigheden wordt door een mens elke dag ongeveer 1,5 tot 2
liter water opgenomen en afgestaan.
De zoutconcentratie in het lichaam van de mens is ongeveer 9 gram per liter. Als
iemand vocht krijgt toegediend via een infuus, gebruikt men vaak een zoutoplossing
van die concentratie (fysiologische zoutoplossing).
Vraag 3.
Hoeveelheid water (in liter) bevat het menselijk lichaam onder normale
omstandigheden. Welke zijn dat?
Antwoord:
Vraag 4.
Noteer op welke manier en in welke mate (in liter per dag) water wordt opgenomen
en afgegeven in een rustsituatie.
Antwoord:
Vraag 5.
Teken nu een stroomschema voor een regulatiemodel
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
28
Bijzondere omstandigheden
Mensen eten te veel zout
Mythes over zout zijn talrijk. Zo is er het niet weg te branden verhaal dat keukenzout
nóóit als nieuw voedingsmiddel zou worden toegelaten op de westerse markt, omdat
het te sterk verslavend is en bij langdurig gebruik aantoonbare risico’s heeft voor de
gezondheid. Welnu, dat verhaal is waar, meldt Sijmons op gezag van
voedingsexperts van de Universiteit Wageningen. Zout is gevaarlijk spul. Meer dan 9
gram keukenzout heeft een mens per dag niet nodig. Dat is minder dan twee
theelepeltjes en de meeste mensen eten méér, vooral de snackers onder ons.
(Uit een recensie van “Etenschap” van Rob Sijmons, door Jeroen Trommelen. De
Volkskrant, 6 oktober 2001)
Als de omstandigheden veranderen, heeft dat grote gevolgen
Zo kan iemand in de tropen op één dag wel 8 tot 10 liter zweet op een dag verliezen.
Tijdens de beklimming van een redelijk hoge berg kan een fietser of bergbeklimmer
wel 4 tot 5 liter vocht per dag verliezen. Niet elke vochtopname is even geschikt om
de hoeveelheid water aan te vullen. Zo zijn koffie en bier vochtafdrijvend. Zeer sterk
vochtafdrijvend is zeewater. Het drinken van een liter leidt tot afgifte van 1,35 liter
urine.
Gevolgen van oververhitting en onderkoeling
Bij een stijging van de lichaamstemperatuur boven 38°C gaat het prestatievermogen
met 2% omlaag. Dat effect neemt bij verdere verhoging toe. Boven de 40°C wordt de
grens tussen “koortsachtige inspanning” en “warmtestuwing” overschreden. Er
ontstaan stuiptrekkingen, bij 42°C worden allerlei enzymen vernietigd en treedt vrij
snel de dood in.
Bij afkoeling leidt een daling tot 35°C tot extreem rillen en gebrek aan coördinatie. Bij
elke halve graad verdere daling zakt de stofwisseling (en dus het prestatieniveau) 3
tot 5%. Bij 33°C treedt apathie op, bij 32°C bewusteloosheid en bij 24°C treedt
gewoonlijk de dood in.
(Bewerkt naar “Heet aanvoelen: warmtestuwing” en “Wie bevriest, herinnert zich de
sneeuw: onderkoeling” in het boek De laatste adem van Peter Stark, een
verhalenbundel met belevenissen in extreme situaties)
Gevolgen van waterverlies
2 % verlies van lichaamsgewicht door waterafgifte zorgt al voor negatieve effecten
op fysieke en mentale prestaties: een atleet presteert ongeveer 20% minder
10 % verlies leidt tot ernstige stoornissen
20 % verlies leidt tot de dood.
.
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
29
Les J
Opdracht
Simulatiemodel van water in het lichaam
Je gaat nu een simulatiemodel bouwen van water in het lichaam.
Bouw het model van het schema in figuur 20 in Powersim. Als je niet meer weet hoe
dit moet: kijk terug in de vorige lessen waar je dit geleerd hebt.
w ater_in_lichaam
opname
?
drinken
afgifte
?
?
urine
transpiratie
Figuur 20: model van water in het lichaam
Geef model een naam en sla het op.
Een marathon duurt voor snelle lopers tussen 2 uur 10 minuten en 2 uur 30 minuten.
Het is het handigst om voor deze periode de minuut als eenheid van tijd te nemen.
Laat het model 150 minuten doorrekenen om de hele marathon te beschrijven. Als
de tijd is uitgedrukt in minuten, dan moeten ook de opname en afgifte in
hoeveelheden per minuut worden uitgedrukt. Als je de waarden in L/dag naar L/min
omrekent, worden het wel erg kleine getallen.
Voordat je aan model kunt rekenen, moet je voor de grootheden drinken, urine en
transpiratie nog de beginwaarden invullen. Bij het invullen van die grootheden moet
je denken aan de rustsituatie.
Reken de waarden voor opname en afgifte om in hoeveelheden per minuut (in
mL/min) en vul de gevonden waarden in het model in. Vergeet niet ook de
startwaarde van water_in_lichaam om te zetten in mL.
Voer het model uit om te controleren wat er met de voorraadgrootheid
water_in_lichaam gebeurt. Voeg een grafiek in om water_in_lichaam weer te geven.
Teken de grafiek die je krijgt over.
Vraag 1.
a
Als de hoeveelheid water in het lichaam niet op het gewenste niveau blijft, wat
is dan de oorzaak daarvan?
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
30
Antwoord:
b
Pas je model zodanig aan dat de hoeveelheid water in het lichaam op het
gewenste niveau blijft. Noteer wat je hebt veranderd. Sla dit model op onder
de naam water1.sim
Antwoord:
c
Welke waarde(n) is (zijn) in de marathon anders dan in de ‘rustsituatie? Leg je
antwoord uit.
Antwoord:
d.
Geeft dit model een goed beeld van hoe homeostase werkt? Waarom wel of
niet?
Antwoord:
Werkdocument theorie
Dynamische modellen havo
31