Analytische meetkunde

WISKUNDE D TWEEDE FASE HAVO  MEETKUNDE  HOEKEN EN AFSTANDEN
4 – Afstanden
Verkennen
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5 HAVO wi-d  Hoeken en afstanden
 Afstanden  Inleiding  Verkennen
Beantwoord de vragen bij Verkennen met behulp van een constructie in
GeoGebra.
Uitleg
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5 HAVO wi-d  Hoeken en afstanden
 Afstanden  Uitleg
Opgave 1
Voer de berekening die in de Uitleg is beschreven zelf uit. Ga na of het antwoord
overeen komt met de bedoelde afstand in de applet.
Opgave 2
Bereken de afstand van P(0,5) tot lijn m: y = −0,5x + 10.
Theorie en Voorbeelden
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5 HAVO wi-d  Hoeken en afstanden
 Afstanden  Theorie
Bekijk eerst de Theorie.
Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.
Opgave 3
Bereken in Voorbeeld 1 zelf de lengte van de hoogtelijnen uit A en uit B.
Opgave 4
Oefen met de applet in Voorbeeld 1 het berekenen van lengtes van hoogtelij­
nen.
Opgave 5
Bereken de afstand van P(25, −13) tot de lijn l: 5x − 3y = 30.
Opgave 6
Gegeven is de cirkel c met vergelijking (x − 5)2 + (y − 4)2 = 10 en de lijn
l: x + y = 2.
a) Wat versta je onder de afstand van O tot cirkel c?
Bereken deze afstand.
b) Wat versta je onder de afstand van lijn l tot cirkel c?
Bereken ook deze afstand. Bekijk eventueel Voorbeeld 2.
c) Bereken ook de afstand tussen cirkel c en de cirkel om O en door (1,1).
STICHTING MATH4ALL 17 NOV 2008
1
WISKUNDE D TWEEDE FASE HAVO  MEETKUNDE  HOEKEN EN AFSTANDEN
Opgave 7
Bereken de afstand tussen de twee lijnen 2x + 4y = 7 en y = 6 − 0,5x.
Opgave 8
Wanneer heeft het zin om te vragen naar de afstand tussen twee rechte lijnen?
Hoeveel bedraagt die afstand in alle andere gevallen?
Practicum
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5 HAVO wi-d  Analytische
Meetkunde  Afstanden  GeoGebra
Voer de beschreven constructie uit en bepaal de vergelijkingen van de twee
lijnen die op afstand 2 van de lijn l: x + 4y = 8 lopen.
Verwerken
Opgave 9
Bereken (eventueel in twee decimalen nauwkeurig) de afstand van
a) punt P(2, 3) tot lijn l: 4x − 5y = 40
b) punt P(2, 3) tot cirkel c: (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16
c) lijn l tot cirkel c.
Opgave 10
Bereken in de volgende gevallen de afstand van cirkel c1 tot cirkel c2.
a) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(−2,1) en straal 1.
b) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(2,3) en straal 1.
c) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(−2,1) en straal 4.
Opgave 11
Een driehoek PQR is gegeven door P(12,5), Q(35,7) en R(40,12).
a) Bereken de lengte van de hoogtelijn uit P.
b) Bereken de oppervlakte van ∆PQR.
Opgave 12 Afstand uit oppervlakte
Soms kun je de lengte van een hoogtelijn in een driehoek snel vinden vanuit de
oppervlakte. Neem bijvoorbeeld ∆ABC met A(1,0), B(5,2) en C(2,6). De afstand
van punt C tot lijn AB is de lengte van de hoogtelijn CD in deze driehoek.
a) Bepaal eerst de oppervlakte van ∆ABC met behulp van het rooster.
b) Bereken nu de lengte van basis AB.
c) Bereken vervolgens |CD| vanuit de formule voor de oppervlakte van een
driehoek.
Deze techniek kun je toepassen om de afstand van punt P tot lijn l te berekenen.
Je bepaalt dan eerst twee (willekeurige) punten A en B op l. En vervolgens bere­
ken je de lengte van de hoogtelijn PS in ∆PAB vanuit de oppervlakte van die drie­
hoek.
d) Bereken op deze manier de afstand van P(2,10) tot de lijn l: y = 2x.
STICHTING MATH4ALL 17 NOV 2008
2
WISKUNDE D TWEEDE FASE HAVO  MEETKUNDE  HOEKEN EN AFSTANDEN
Testen
Opgave 13
Bereken de afstand van A(0,12) tot de lijn l: y = 4x + 5 in twee decimalen
nauwkeurig.
Opgave 14
Stel vergelijkingen op van de twee lijnen die een afstand
l: y = 4x + 5.
17 hebben tot de lijn
Opgave 15
Gegeven is de cirkel c met middelpunt O(0,0) en straal 17 .
Bereken de afstand van lijn l: −3x + 5y = 68 tot deze cirkel.
STICHTING MATH4ALL 17 NOV 2008
3
WISKUNDE D TWEEDE FASE HAVO  MEETKUNDE  HOEKEN EN AFSTANDEN
Antwoorden
l: y = − 23 x + 2, dus r.c.m = 1,5
1.
15.
136 −
17
m: y = 1,5x − 0,5
, 16 )
snijden met l geeft Q (15
13 13
|PQ| ≈ 3,33.
2.
3.
4.
5.
6a)
b)
c)
7.
8.
9a)
b)
c)
10a)
20
hoogtelijn uit A: lengte ≈ 3,88
hoogtelijn uit B: lengte ≈ 3,40
ongeveer 22,98
middelpunt cirkel M(5,4)
OM: y = 0,8x snijdt c in S en T.
S(2,53;2,02) ligt het dichtst
bij O. |OS| ≈ 3,24.
De afstand tussen het snijpunt
van de lijn m door het
middelpunt M van de cirkel
en loodrecht op l met lijn l en
het snijpunt van m met de
cirkel.
Die afstand is ongeveer 1,79.
Ongeveer 2,24.
Ongeveer 3,80.
Hint: maak lijn door O en
loodrecht de gegeven lijnen.
Alleen als beide lijnen
evenwijdig lopen, anders is de
afstand 0.
7,34
4,60
1
4− 5
b)
4−
c)
0
13
11a)
10 12
b)
12a)
52,5
11 roosterhokjes
b)
2
20
c)
|CD| = 22/ 20
d)
6/ 5
7
13.
14.
17
y = 4x − 12 en y = 4x + 22
STICHTING MATH4ALL 17 NOV 2008
4