pvdxy 60 dv

3NCB0 – Tussentoets 2 van 17 december 2015
Maximale score is 15 punten; de punten per onderdeel staan (tussen haakjes) bij ieder onderdeel.
Mocht je een onderdeel niet kunnen uitvoeren, werk bij volgende onderdelen dan verder met
algemene antwoorden/vectoren, bijvoorbeeld ~v2 = (v2,x , v2,y ).
Opgave 1
Kwallen zijn vrolijke beesten, die de hele dag lui in de
oceaan drijven en af en toe een visje verschalken dat tegen
hun naar beneden hangende tentakels zwemt. De vraag is
nu hoe snel een kwal weet of zich voedsel aandient, en of
het zeewater daarbij van invloed is. Als modelsysteem
nemen we zeewater (volumetrische massadichtheid ρw )
en kwallententakels met massadichtheid ρk > ρw , (constante) diameter dk en lengte Lk . De tentakels hangen
verticaal naar beneden, en je mag er vooreerst van uit
gaan dat ze zonder wrijving door het water bewegen.
a. (1) Bereken de lineaire massadichtheid µ van een tentakel. Is die afhankelijk van de diepte?
b. (2) Bereken de spankracht Fs in een tentakel. Is die
afhankelijk van de diepte?
c. (2) Een vis die tegen de onderkant van een tentakel
zwemt, veroorzaakt transversale golven die naar
boven lopen. Stel een integraal op en bereken
daarmee hoe lang die golven erover doen om de afstand Lk te overbruggen.
d. (2) De druk neemt in zeewater toe met de diepte, en het water zal in de praktijk ook voor
enige wrijving zorgen. Beredeneer (niks uitrekenen) of die twee effecten al dan niet invloed
zullen hebben op amplitude en/of snelheid van transversale golven die over de tentakels
lopen.
Opgave 2
Een ronde straal van een niet-viskeuze vloeistof
met dichtheid ρ, diameter d1 en uniforme
snelheid ~v1 = (U, 0) valt in een afbuiger. Naast
de richting verandert ook de diameter van de
straal; de uittredende straal heeft diameter d2
en uittredende snelheid ~v2 . De druk in de
stralen is aangepast; overal heerst een druk p0 .
Zie de schets hiernaast. We gaan stapsgewijs
de kracht F~ bepalen die op de afbuiger moet
worden uitgeoefend om deze op zijn plaats te
houden.
v1
d1
y
d2
o
60
x
v2
p0
a. (1) Schets een geschikte contour C voor toepassen van behoud van impuls. Schets ook de
relevante normaalvector(en) en geef ze in componenten, als ~n = (nx , ny ).
b. (2) Bepaal de snelheidsvector ~v2 .
~ uiteraard in vectorvorm.
c. (2) Bepaal de in- en uittredende impulsfluxen I,
d. (1) Wat is de gevraagde kracht F~ ?
e. (2) In werkelijkheid speelt viscositeit altijd een rol. Stel dat de gebruikte vloeistof water
is (dichtheid ρ = 1000 kg/m3 en viscositeit η = 0.001 Pa · s). Beredeneer wat verandert
aan het snelheidsprofiel aan de uitstroomkant van de ombuiger. Bij een uitstroomsnelheid
van 0.1 m/s en diameter d2 = 0.001 m, verwacht je een laminaire of turbulente stroming?
Formules: golven
Fs ∂ 2 u(x; t)
∂ 2 u(x; t)
=
∂t2
µ
∂x2
Fs /µ = vg2
u(x; t) = f (kx − ωt + φ)
∂u(x; t) ∂u(x; t)
P (x; t) = −Fs
∂x
∂t
Formules: stroming
Druk, dichtheid en viscositeit
dichtheid:
ρ=
m
V
σ=
opwaartse kracht:
Fb = ρf gV ′
γ = F/L
druppel:
∆p =
2γ
R
Fw = 6πηRvrel
Wet van Stokes
(dimensieloos):
CD =
Fw
1
2 A
ρvrel
2
Weber:
We =
ρv2 L
γ
F
A
druk:
p=
atmosfeer:
p(y) = p0 exp − pρ00 gy
oppervlaktespanning:
Wet van Stokes:
ρ
ρwater
relatieve
dichtheid:
hydrostatische
druk:
dp
dy
= −ρg
Kentallen
Reynolds:
Re =
ρvL
η
Mach:
Ma =
v
c
Behoudswetten
massabehoud:
ρ1 v1⊥ A1 + ρ2 v2⊥ A2 = 0
impulsbehoud:
met v ⊥ = ~v · ~n
P~
PR
P~
Ii = −
p~ndAi + F
Ai
Ai
met I~ = ρv ⊥~v A
Bernoulli:
p1 + ρgy1 + 21 ρv12 = p2 + ρgy2 + 21 ρv22
=
24
Re
Uitwerking
Opgave 1
a. Totale massa gedeeld door totale lengte (want cilindrisch, dus onafhankelijk van z).
µ=
ρk πd2k /4Lk
πd2k
ρk Vk
=
=
ρk .
Lk
Lk
4
b. Spankracht is netto effect van zwaartekracht en opwaartse kracht, en wordt veroorzaakt
door het netto gewicht van de tentakel onder een punt z. Neem z = 0 bovenaan, z = Lk
onderaan.
πd2
Fs = Fg − Fb = (ρk − ρw ) l (Lk − z)g .
4
c. Integraalformulering: dt = dz/vg (z)
ZT
0
T
=
ZLk s
0
dt =
ZLkr
0
µ
dz
Fs (z)
(πd2k /4) ρk
dz
(ρk − ρw )(πd2k /4)(Lk − z)g
ZLk
ρk
=
(Lk − z)−1/2 dz
(ρk − ρw )g
0
s
ρk Lk
= 2
.
(ρk − ρw )g
r
d. Druk heeft geen invloed, is overal hetzelfde. Wrijving heeft wel invloed. De amplitude wordt
naar boven toe minder, en ook de snelheid wordt lager, indachtig
s
Terugdrijvende kracht
vg =
Tegenwerkende massa
Door wrijving vermindert de terugdrijvende kracht (want de wrijvingsterm heeft tegengesteld teken), en de tegenwerkende massa wordt groter (want het water komt nu ook in
beweging). Beide effecten zorgen ervoor dat vg kleiner wordt.
Opgave 2
a. De relevante normaalvectoren voor onderstaande
contour (volgende blz) zijn ~n1 = (−1, 0) en
√
~n2 = (cos(−60◦ ), sin(−60◦ ) = ( 12 , − 21 3).
C
n1
v1
y
o
60
x
v2
n2
b. Massabehoud: ρv1⊥ A1 + ρv2⊥ A2 = 0.
We zien dat v1⊥ = ~v1 ·~n1 = −U en ~v2 = (|~v2 | cos(−60◦ ), |~v2 | sin(−60◦ )), zodat v2⊥ = ~v2 ·~n2 =
|~v2 |. Met constante dichtheid ρ en doorsnedeoppervlakken A1 = π4 d21 en A2 = π4 d22 volgt
dat
π
d2
π
−U · d21 + |~v2 | · d22 = 0 ⇔ |~v2 | = U 21
4
4
d2
√
2
d
en dus dat ~v2 = U d21 ( 12 , − 12 3).
2
c. I~1 = ρv1⊥ A1~v1 = ρ · −U · π4 d21 (U, 0)
= (− π4 d21 ρU 2 , 0).
√ d2
d2
d2
I~2 = ρv ⊥ A2~v2 = ρ · U 12 · π d2 1 U 12 , − 1 3U 12 =
2
d2
4 2
2
d2
2
d2
√
4
π d1
2 ( 1 , − 1 3).
ρU
2
4 d2
2
2
P~
P~
d. Impulsbehoud:
Ii = −
p~ndAi + F
.
Omdat gegeven is dat de druk in de straal is aangepast heerst overal op contour C een
druk p0 . Er is daarom geen netto bijdrage van de drukterm. Er zijn twee impulsfluxen I~1
en I~2 , en de gevraagde kracht F~ :
π
1 d21
1 √ d21
F~ = I~1 + I~2 = d21 ρU 2 −1 +
,
−
.
3
4
2 d22
2
d22
PR
e. Door de viscositeit moet de plakvoorwaarde gelden: aan de wand gaat de snelheid naar nul.
Met de gegeven waarden volgt voor het Reynoldsgetal aan de uitstroomopening:
Re =
ρvd2
103 · 10−1 · 10−3
=
= 100,
η
10−3
hetgeen een typische waarde voor een laminaire buisstroming is (want Re < 2300).