1. Invoering van de goniometrische cirkel 2. Het meten van hoeken

1. Invoering van de goniometrische cirkel
We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee
loodrechte assen door O. We duiden (Eo, Eδ) aan : een orthonormale basis van het
vlak.
We kunnen een representant van elke hoek zo kiezen dat haar beginbeen
samenvalt met de positieve x-as. Elke hoek zal dan volledig bepaald worden door
het tweede been van de verplaatste hoek. Dat tweede been heeft precies één
snijpunt met de eenheidscirkel. Elke hoek bepaalt dus precies één punt op die
cirkel. We noemen dat punt het beeldpunt van de hoek (bijectie tussen de
verzameling van alle hoeken en de punten op de cirkel).
Als we op deze manier elke hoek laten overeenkomen met een beeldpunt
op de eenheidscirkel, spreken we van de goniometrische cirkel.
De twee assen verdelen de goniometrische cirkel in vier cirkelbogen : de
vier kwadranten.
2. Het meten van hoeken
(Zestigdelige) graden :
180° = gestrekte hoek
1° = 60’
1’ = 60”
DEG
Radialen :
π rad = gestrekte hoek
1 rad is decimaal onderverdeeld
RAD
Omzetten radialen ↔ graden :
x rad = y°
⇔
Formularium wiskunde KAM
y.π
=x
180
⇔
x.180
=y
π
goniometrie 1
1 rad ≈ 57°
3. Goniometrische getallen
Definitie :
Beschouw α ∈ A met Eα beeldpunt van α op de goniometrische cirkel.
1) cos α = de abscis van Eα
2) sin α = de ordinaat van Eα
sin α
3) ∀ α ∈ A \ {-δ,δ}: tan α =
cos α
cos α
4) ∀ α ∈ A \ {o,ω}: cot α =
sin α
1
5) ∀ α ∈ A \ {-δ,δ}: sec α =
cos α
1
6) ∀ α² ∈ A \ {o,ω}: csc α =
sin α
Weergave op de goniometrische cirkel :
Grondformule :
cos 2 α + sin 2 α = 1
Afgeleide formules :
Formularium wiskunde KAM
1 + tan ²α =
1
cos ²α
1 + cot ²α =
1
sin ²α
goniometrie 2
Bijzondere waarden
α=
0°
30°
π
0 rad
6
rad
45°
π
4
rad
60°
π
3
rad
90°
π
2
rad
sin α
0
1
2
2
2
3
2
1
cos α
1
3
2
1
2
0
tan α
0
3
3
2
2
1
3
/
cot α
/
3
1
3
3
0
Tekens :
cos α
Iste kwadrant
+
IIde kwadrant
IIIde kwadrant
IVde kwadrant
+
sin α
+
+
-
tan α cot α
+
+
+
+
-
4. Verwante hoeken
Gelijke hoeken : ∀k ∈ Z :
sin(α + k .360°) = sin α
sin(α + k .2π ) = sin α
cos(α + k .360°) = cos α
cos(α + k .2π ) = cos α
tan(α + k .360°) = tan α
cot(α + k .360°) = cot α
tan(α + k .2π ) = tan α
cot(α + k .2π ) = cot α
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 3
Complementaire hoeken :
α en β zijn complementaire hoeken ⇔ α + β = δ
π
sin(90° - α ) = cos α
sin( - α ) = cos α
2
cos(90° - α ) = sin α
cos( - α ) = sin α
2
tan(90° - α ) = cot α
tan( - α ) = cot α
2
cot(90° - α ) = tan α
cot( - α ) = tan α
2
π
π
π
Supplementaire hoeken :
α en β zijn supplementaire hoeken ⇔ α + β = ω
sin(180° - α ) = sin α
sin(π - α ) = sin α
cos(180° - α ) = - cos α
cos(π - α ) = - cos α
tan(180° - α ) = - tan α
cot(180° - α ) = - cot α
tan(π - α ) = - tan α
cot(π - α ) = - cot α
Antisupplementaire hoeken :
α en β zijn anti-supplementaire hoeken ⇔ α - β = ω
sin(180° + α ) = -sin α
sin(π + α ) = -sin α
cos(180° + α ) = - cos α
cos(π + α ) = - cos α
tan(180° + α ) = tan α
cot(180° + α ) = cot α
tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
Tegengestelde hoeken :
α en β zijn tegengestelde hoeken ⇔ α + β = o
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 4
sin(-α ) = -sin α
cos(-α ) = cos α
tan(-α ) = - tan α
cot(-α ) = - cot α
5. Optellingsformules
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
sin(α − β ) = sin α .cos β − cos α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + cos α .sin β
tan α + tan β
tan(α + β ) =
1 − tan α .tan β
tan α − tan β
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
6. Verdubbelingsformules
sin 2α = 2.sin α .cos α
cos 2α = 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2sin 2 α
= cos 2 α − sin 2 α
tan 2α =
2 tan α
1 − tan 2 α
We kunnen ook de goniometrische getallen uitdrukken in functie van tan α .
2 tan α
1 + tan 2 α
1 − tan 2 α
cos 2α =
1 + tan 2 α
sin 2α =
Deze laatste formules zijn ook onder een andere vorm bekend, we spreken in dat geval
van de t-formules.
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 5
2t
1− t2
2t
sin x =
1+ t2
1− t2
cos x =
1+ t2
tan x =
met t = tan
x
2
Uitbreiding : sin 3α = 3sin α − 4 sin ³α
cos 3α = 4 cos ³α − 3cos α
7. Halveringsformules
cos α = ±
1 + cos 2α
2
sin α = ±
1 − cos 2α
2
1 − cos 2α
1 + cos 2α
Het teken wordt bepaald door het kwadrant waarin de beschouwde hoek α zich bevindt.
tan α = ±
De formules zijn ook gekend onder de naam : formules van Carnot en zien er dan licht gewijzigd
als volgt uit :
α
1 + cos α
cos = ±
2
2
sin
tan
α
2
α
2
=±
1 − cos α
2
=±
1 − cos α
1 + cos α
8. Formules van Simpson
Eerste vorm : PRODUCT → SOM
2sin α cos β = sin (α − β ) + sin (α + β )
2 cos α cos β = cos (α − β ) + cos (α + β )
2sin α sin β = cos (α − β ) − cos (α + β )
Tweede vorm : SOM → PRODUCT
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 6
 x+ y
 x− y
sin x + sin y = 2sin 
 cos 

 2 
 2 
 x+ y  x− y
sin x − sin y = 2 cos 
 sin 

 2   2 
 x+ y
 x− y
cos x + cos y = 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
 x+ y  x− y
cos x − cos y = −2sin 
 sin 

 2   2 
9. Rechthoekige driehoeken
We beschouwen een ∆ABC met zijden a,b en c waarbij we gelijknamige zijde en hoek
tegenoverstaand beschouwen. Hierbij staat a eigenlijk voor het maatgetal van de lengte van een
zijde van de driehoek en A voor het maatgetal van de hoek ingesloten door de twee zijden die A
als grenspunt hebben.
We beschouwen een rechthoekige driehoek met rechte hoek in A.
Verband tussen de hoeken
A = 90° en B + C = 90°
Verband tussen de zijden – stelling van Pythagoras :
a² = b² + c²
Formules a.h.v. goniometrische getallen :
b
a
c
cos B =
a
b
tan B =
c
sin B =
c
a
b
cos C =
a
c
tan C =
b
sin C =
Deze formules worden het best gememoriseerd als volgt :
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 7
(maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde
(maatgetal van de lengte van de) schuine zijde
(maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde
cos( scherpehoek ) =
(maatgetal van de lengte van de) schuine zijde
(maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde
tan( scherpehoek ) =
(maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde
sin( scherpehoek ) =
10. Willekeurige driehoeken
Verband tussen de hoeken :
A + B + C = 180°
Verband tussen de zijden – driehoeksongelijkheid :
a<b+c
b<c+a
c<a+b
Cosinusregel :
a ² = b ² + c ² − 2b.c.cos A
b ² = c ² + a ² − 2c.a.cos B
c ² = a ² + b ² − 2.a.b.cos C
Sinusregel :
a
b
c
=
=
= 2r ,
sin A sin B sin C
met r = de straal van de omcirkel
Projectieregel :
a = b.cos C + c.cos B
b = c.cos A + a.cos C
c = a.cos B + b.cos A
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 8
Hoogte van een driehoek :
hA = b.sin C = c.sin B
hB = c.sin A = a.sin C
hC = a.sin B = b.sin A
Oppervlakte van een driehoek :
1
1
1
S = .hA .a = .hB .b = .hC .c
2
2
2
1
1
1
= a.b.sin C = b.c.sin A = c.a.sin B
2
2
2
=
p.( p − a).( p − b).( p − c)
waarbij p =
1
(a + b + c )
2
Halve-hoek-formules of formules van Gauss :
cos
B
p.( p − b)
=
2
ca
cos
C
=
2
A
( p − b).( p − c)
=
2
bc
sin
B
( p − c).( p − a)
=
2
ca
sin
C
( p − a).( p − b)
=
2
ab
( p − b).( p − c)
A
=
2
p.( p − a)
tan
B
( p − c).( p − a)
=
2
p.( p − b)
tan
C
( p − a ).( p − b)
=
2
p.( p − c)
cos
A
=
2
sin
tan
p.( p − a )
bc
p.( p − c)
ab
Tangens-regel :
a+b
tan
A+ B
2
=
−
a
b
A − B tan
2
b+c
tan
B+C
2
=
−
b
c
B − C tan
2
c+a
tan
C+A
2
=
−
c
a
C − A tan
2
Straal van de ingeschreven cirkel :
ri = ( p − a).tan
A
B
C
= ( p − b).tan = ( p − c).tan
2
2
2
Straal van de omgeschreven cirkel :
abc
abc
r=
=
4 p( p − a)( p − b)( p − c) 4 S
Bissectrice of deellijn :
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 9
2bc
A
cos
2
b+c
2ca
B
cos
dB =
2
c+a
2ab
C
dC =
cos
2
a+b
dA =
Zwaartelijnen :
1
zA =
b² + c ² + 2bc cos A
2
1
zB =
c ² + b ² + 2ca cos B
2
1
zC =
a ² + b ² + 2ab cos C
2
11. Goniometrische vergelijkingen
Inleidende opm : de parameter k mag overal in de oplossingenverzamelingen enkel gehele
waarden aannemen.
Basisvergelijkingen :
sin x = a
⇔ sin x = sin α
(indien a ∉ [ −1,1] ⇒ V = ∅ )
met α zodat sin α = a
⇒ V = {α + k .2π } ∪ {(π − α ) + k .2π }
cos x = a
⇔ cos x = cos α
(indien a ∉ [ −1,1] ⇒ V = ∅ )
met α zodat cosα = a
⇒ V = {±α + k .2π }
tan x = a
⇔ tan x = tan α
met α zodat tanα = a
⇒ V = {α + k .π }
Bijzonder gevallen :
sin x = 0 ⇒ V = {kπ }
π

sin x = 1 ⇒ V =  + k .2π 
2

Formularium wiskunde KAM
 π

sin x = −1 ⇒ V = − + k .2π 
2


goniometrie 10
π

cos x = 0 ⇒ V =  + k .π 
2

cos x = 1 ⇒ V = {k .2π }
cos x = −1 ⇒ V = {π + k .2π }
π

tan x = 1 ⇒ V =  + k .π 
4

 π

tan x = −1 ⇒ V = − + k .π 
 4

tan x = 0 ⇒ V = {k .π }
Algemene vergelijkingen
Het is de bedoeling de meer ingewikkelde vergelijkingen te herleiden naar basisvergelijkingen.
Vooreerst herleiden we de vergelijking naar nul. Daarna zijn o.a. volgende methodes mogelijk :
•
•
•
•
een som om zetten in een product (Simpson)
⇒ vgl valt uiteen in verscheidene basisvergelijkingen.
de vergelijking d.m.v. goniometrische formules omvormen tot er nog slechts één
goniometrisch getal optreedt en deze dan vervangen door een hulponbekende
⇒ we bekomen een algebraïsche vergelijking, waarvan de oplossingen aanleiding geven
tot basisvergelijkingen.
x
de vergelijking d.m.v. de t-formules ( t = tan ) omvormen tot een algebraïsche
2
vergelijking in t bv. vergelijkingen van de vorm a cos x + b sin x = c
.
homogene vergelijkingen (elke term heeft dezelfde graad in sin x en cos x samen), na
afzondering van gemeenschappelijke factoren, delen door de hoogste macht van cos x , en
daarna tan x gelijkstellen aan een hulponbekende.
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 11