theorieboek 1f 2f 3f

Draft
THEORIEBOEK
1F
2F
3F
Voorwoord van de uitgever
Waarom dit theorieboek?
“Hoe reken je dat ook alweer uit?” Een herkenbare vraag voor iedereen.
Binnen of buiten de rekenles, er komt een moment dat je denkt ‘hoe ging dat
ook alweer met procenten, met de prijs exclusief BTW, met de staartdeling,
met….’.
Dit boek bevat het antwoord. Niet het antwoord op de som, maar wel het
antwoord op hoe het werkt. Wat je moet weten en hoe je stap voor stap tot
een oplossing kunt komen. Inclusief de tips waar je op moet letten en aan
moet denken, met duidelijke voorbeelden, bij allerlei onderwerpen die je
tegen kunt komen in een rekentoets of rekenexamen, van de basisschool (1F)
tot voortgezet onderwijs en MBO (2F en 3F).
Voor wie is dit theorieboek?
Als je zelf wil leren rekenen of juist anderen wilt helpen bij het leren rekenen,
dan is dit boek voor jou. Je leert alleen rekenen als je zelf ontdekt hoe het
werkt. Natuurlijk moet je daarbij oefenen met passende rekenproblemen
zodat je vaardig wordt in het toepassen van de oplossingsstrategieën uit dit
boek. Dat kan met rekenmethoden die veel opgaven bevatten, zowel digitaal
als in werkboeken. Gebruik je Rekenblokken dan komt dat goed uit: we
hebben er voor gezorgd dat de onderwerpen in dit boek naadloos aansluiten
bij de lessen in de leerwerkboeken en digitale lessen van Rekenblokken. Wel
zo handig.
Hoe werkt het?
Je kan dit boek in veel verschillende situaties gebruiken: bij zelfstudie, in de
les, als student of juist als docent.
2
Voorbeeld zelfstudie
Voorbeeld in de les
Je bent je aan het voorbereiden
op een rekentoets. Je komt een
opgave tegen waarin iets met
procenten moet gebeuren, maar
je begrijpt niet zo goed wat
precies.
Je werkt in Rekenblokken aan een
les over ‘oppervlakte’ en je loopt
bij een bepaald scherm of opgave
tegen een probleem aan dat je
niet snapt.
1
Zoek in dit theorieboek het
onderwerp procenten op in de
inhoudsopgave.
Bedenk bij welk domein dit
onderwerp zou kunnen horen:
Getallen, Verhoudingen, Meten&
Meetkunde of Verbanden
2
Kijk bij het onderwerp procenten
eerst eens naar de verschillende
situaties waarin procenten kunnen
voorkomen en vergelijk dat met
je opgave. Moet je bijvoorbeeld
een som met procenten zonder
rekenmachine uitrekenen? Of
moet je een korting berekenen of
juist het kortingspercentage zelf?
Dit theorieboek is in domeinen
ingedeeld. Je kunt heel handig
het juiste domein opzoeken via
de labels aan de zijkant van
de pagina’s. Blader naar het
onderwerp van de les, in dit
voorbeeld ‘oppervlakte’. Kijk bij
dit onderwerp eerst eens naar de
verschillende situaties waarin kan
voorkomen en vergelijk dat met je
opgave.
3
Heb je de situatie gevonden die er het meest op lijkt? Lees dan
rustig het theoriestuk door, bekijk de voorbeelden en probeer of je
op dezelfde manier je opgave kunt oplossen. Zet je berekeningen op
papier!
4
Blijf kalm als het niet direct lukt! Kijk eens naar de tips, misschien
herken je het en kun je je aanpak verbeteren zodat het wel lukt.
5
Belangrijk: als het nog niet lukt, vraag hulp en laat dan vooral zien
hoe je het geprobeerd hebt op te lossen. Neem dit theorieboek mee
als je de uitleg of het voorbeeld in dit theorieboek op een bepaald punt
niet meer volgde zodat je aan kan wijzen waar je vastliep.
Je zult zien dat je veel kan leren op deze manier en dat je de volgende
keer bij zo’n zelfde soort som veel beter kan terughalen hoe het ook
alweer wél lukt.
3
Voorbeeld voor de docent
Je geeft een rekenles op niveau 2F over breuken. Je vraagt je opeens
af wat eigenlijk het verschil is tussen niveau 2F en 3F op dit punt. Het
referentiekader uitpluizen is dan een goed advies. Je kunt ook in dit
theorieboek bij het onderwerp ‘breuken’ kijken naar de voorbeeldsommen op
1F, 2F en 3F die na ieder onderwerp zijn opgenomen. De uitwerking van de
niveaus in rekenexamens tot 2020 wijzigt nog steeds. Raadpleeg daarvoor de
meest recente examensyllabus.
Succes met rekenen
Je rekent dingen uit op je eigen manier. Er zijn vaak meerdere goede
oplossingswijzen. Kies de manier die het beste bij jou past. Zorg dat je je
berekeningen op papier zet. Uit onderzoek is bewezen dat dit helpt in het
leerproces en het voorkomt fouten. Met behulp van deze gids kun je snel
beoordelen of je aanpak optimaal is en hoe je een stap vooruit kunt maken.
Meer informatie
Voor meer informatie over dit theorieboek en Rekenblokken kunt u contact
opnemen met onze klantenservice, tel 073 628 8766 of email
[email protected] . Zij zijn bereikbaar voor al uw vragen en
ondersteunen u graag en vakkundig!
Uw op- of aanmerkingen op dit
theorieboek en/of Rekenblokken
stellen we zeer op prijs.
Peter Hoogendijk
Uitgever
4
Over de auteur
Anneke van Gool is ontwerper
van trainingen reken- en
wiskundedidactiek. Ze heeft
een jarenlange ervaring met
rekendidactiek in zowel
basisonderwijs als VO en MBO.
Ze is de eindredacteur van
Rekenblokken en conceptauteur
van Pluspunt. Haar kennis en
ervaring met de hele doorlopende
leerlijn in rekendidactiek heeft
ze gebundeld in dit theorieboek:
“Als je weet wat je doet, komt het
meestal wel goed”.
Inhoudsopgave
Domein 1 – Getallen
1
2
3
4
5
6
Opbouw, schrijfwijze en uitspraak
Getallen vergelijken
Afronden van getallen
Optellen en aftrekken
Vermenigvuldigen en delen
Machten en wortels
Domein 2 – Verhoudingen
1 Breuken
2 Rekenen met verhoudingen
3Procenten
4Schaal
Domein 3 – Meten en Meetkunde
1 Basiskennis meten
2 Rekenen met geld
3Gewicht
4Tijd
5Lengte
6Snelheid
7Omtrek
8Oppervlakte
9Inhoud
10Temperatuur
11Basiskennis meetkunde
12Oriënteren
13Kijk op figuren
Domein 4 – Verbanden
1 Tabellen
2Diagrammen
3Grafieken
4 Gegevens samenvatten
5 Verbanden beschrijven
5
GETALLEN
Overal om je heen zie je getallen: in de media,
op prijskaartjes, klokken, verkeersborden,
etiketten van eten en drinken, thermometers.
Dit hoofdstuk gaat over de verschillende
soorten getallen die er zijn en over de manieren
waarop je met die getallen kunt rekenen.
Vaak is het handig dat je dan even denkt aan
een situatie waarin je de getallen zou kunnen
gebruiken, betalen in een winkel bijvoorbeeld.
1.5 negatieve getallen
Getallen die groter zijn dan 0 heten ook wel positieve getallen. Getallen
die kleiner zijn dan 0 (je kunt ook zeggen: getallen onder de 0) noemen
we negatieve getallen. Denk aan temperaturen als het vriest. Dan is de
temperatuur onder nul, bijvoorbeeld -3 °C (zeg: min drie graden Celsius). Aan
het minteken kun je zien dat je te maken hebt met een negatief getal.
Negatieve getallen hebben ook een plaats op de getallenlijn. Daarvoor maken
we de getallenlijn links van de 0 een stukje langer:
-41
-50
-35
-40
-45
-30
-21
-20
-25
-5
-10
-18
5
0
-1
10
25
20
18
42
30
27
40
35
Je zegt: min vijfenveertig.
tegengestelde getallen
Twee getallen die op de getallenlijn even ver van 0 af liggen, maar het ene
getal aan de linkerkant van 0 en het andere aan de rechterkant van 0, noemen
we tegengestelde getallen. Bijvoorbeeld -5 en 5. Die liggen allebei even ver
van 0 af. -5 is kleiner dan 0 en 5 is groter dan 0.
negatieve getallen en geld
Ook bij geld kun je met negatieve getallen te maken krijgen, maar op je
rekeningoverzicht zie je dan niet meteen een minteken voor het bedrag staan.
Bij het bedrag staat dan: tekort of debet. Dat is de hoeveelheid geld die je
hebt uitgegeven maar eigenlijk niet hebt, Je hebt dan een negatief saldo. Je
staat rood.
Als je een positief saldo op je rekening hebt, dan zie je de hoeveelheid geld
die je echt hebt. Bij het bedrag staat dan soms: credit.
8
1 De opbouw, schrijfwijze en uitspraak van getallen
50
2
Getallen vergelijken
2.1 hele getallen vergelijken
g e ta lle n
Als je getallen op volgorde van grootte gaat zetten, moet je getallen
vergelijken. Je kijkt bij de getallen eerst naar de cijfers die de hoogste waarde
hebben. Dat zijn de cijfers die op de plaats met de hoogste waarde staan.
Bij getallen van twee cijfers kijk je dus eerst naar de tientallen. Je kunt er een
getallenlijn bij gebruiken.
voorbeeld
Zet op volgorde van klein naar groot: 87, 57, 83.
57 heeft maar 5 tientallen, dus 57 is de kleinste van de drie getallen.
Als de tientallen gelijk zijn, zoals bij 83 en 87, dan kijk je naar de eenheden.
57
0
10
20
30
40
50
60
83
70
80
87
90
100
83 is kleiner dan 87 want 83 heeft 3 eenheden en 87 heeft er 7.
De getallen op volgorde van klein naar groot: 57, 83, 87.
ongelijkheidstekens
Bij het vergelijken van getallen kun je ongelijkheidstekens gebruiken:
83 is kleiner dan 87. Dit kun je zo noteren: 83 < 87
87 is groter dan 83. Dit kun je zo noteren: 87 > 83
< betekent: is kleiner dan
> betekent: is groter dan
Manieren om de tekens te onthouden:
Ÿ Van het teken voor ‘is kleiner dan’ (<) kun je een K (van Klein) maken.
Ÿ Als je het ongelijkheidsteken ziet als een puntje van een pijl, dan wijst het
puntje altijd het kleinste getal aan:
4 > 3 kun je zien als 4
3
6
3 < 6 kun je zien als 3
2 getallen vergelijken
9
2.2 kommagetallen vergelijken
Als je kommagetallen op volgorde van grootte gaat zetten, kijk je eerst naar
cijfers voor de komma. Je kunt er weer een getallenlijn bij gebruiken.
voorbeeld
1. Welk getal is het grootst: 45,4 of 45,24?
Het aantal cijfers achter de komma is verschillend, maar je gaat op
dezelfde manier te werk als in de vorige voorbeelden. De cijfers voor
de komma zijn hier gelijk, dus je kijkt naar het cijfer op de plaats van de
tienden. Dan zie je dat 45,24 kleiner is dan 45,4.
Met de getallenlijn:
45,24
45,0
45,1
45,2
45,3
45,4
45,4
45,5
45,6
45,7
45,8
45,9
46,0
Denk hier bijvoorbeeld aan afstanden: je ziet meteen dat 45,24 m minder is
dan 45,4 m. Maar als je de getallen uitspreekt, zou je je kunnen vergissen.
Je hoort namelijk ‘45 meter 24’ en ‘45 meter 4’.
2. Zet de getallen op volgorde van klein naar groot:
0,350 · 0,426 · 0,455 · 0,801 · 0,451
Vergelijk eerst de cijfers voor de komma.
Als die allemaal gelijk zijn, dan vergelijk je de cijfers achter de komma.
Kijk eerst naar het cijfer op de plaats van de tienden. Het getal 0,350 is het
kleinste getal en 0,801 is het grootste getal.
Als de cijfers op de plaats van de tienden gelijk zijn, dan vergelijk je de
cijfers op de plaats van de honderdsten. Het getal 0,426 is kleiner dan
0,455 en 0,451 (maar groter dan 0,350 dus).
Om de getallen 0,455 en 0,451 te vergelijken moet je naar het cijfer op de
plaats van de duizendsten kijken. Dan zie je dat 0,451 kleiner is dan 0,455.
10
2 getallen vergelijken
Met de getallenlijn:
0,350
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,40
0,41
0,42
0,43
0,451
0,44
0,451
0,450
0,451
0,5
0,45
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,456
0,457
0,458
0,459
0,460
g e ta lle n
0,426
0,801
0,455
0,455
0,452
0,453
0,454
0,455
De getallen op volgorde van klein naar groot: 0,350 · 0,426 · 0,451 · 0,455 ·
0,801.
0,350
0,0
0,1
0,2
0,3
0,426
0,4
0,451
0,801
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,455
Moet je breuken en kommagetallen met elkaar vergelijken? Schrijf dan eerst
alle breuken als kommagetallen. Informatie over rekenen met breuken vind
je in hoofdstuk 2.
Voorbeelden met kommagetallen:
3,45 < 3,56
3,56 > 3,45
45,24 < 45,4
2 getallen vergelijken
11
het midden tussen twee kommagetallen bepalen
voorbeeld
Welk getal ligt precies midden tussen 4,51 en 4,52?
Zet weer in gedachten een extra 0 achter de beide getallen en noteer de
getallen op de getallenlijn. Verdeel het stukje tussen de twee getallen in twee
gelijke delen.
4,515
4,510
4,520
2.3 negatieve getallen vergelijken
Als je negatieve getallen gaat vergelijken (welk getal is kleiner of groter?), kun
je een getallenlijn gebruiken. Hoe verder naar links op de getallenlijn, hoe
kleiner het getal. Het negatieve getal dat het verste van 0 af ligt, is dus het
kleinste getal. Bijvoorbeeld -25 is kleiner dan -9.
De getalllen worden steeds groter.
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
De getallen worden steeds kleiner.
Bij het vergelijken van negatieve getallen kun je ook ongelijkheidstekens
gebruiken:
-25 is kleiner dan -9. Dit kun je zo noteren: -25 < -9
-9 is groter dan -25. Dit kun je zo noteren: -9 > -25
Negatieve getallen vergelijken gaat makkelijker als je een verhaal bedenkt
waarin de getallen echt iets betekenen. Denk bijvoorbeeld aan temperaturen
onder nul. Als het -25 graden is, dan is het kouder dan bij -9 graden.
De temperatuur is dus het laagste bij -25 graden, het kleinste getal is
dan -25.
12
2 getallen vergelijken
50
Voorbeeldsom
●
▶ getallen | les 12
Welk getal ligt precies in het midden?
5,5
?
5,6
•
g e ta lle n
stap 1 wat moet je berekenen?
Welk getal midden tussen 5,5 en 5,6 ligt.
stap 2 welke berekeningen horen daarbij?
•
•
•
•
Denk aan geld. Dus aan € 5,50 en € 5,60.
Tussen € 5,50 en € 5,60 zit 10 cent (€ 0,10).
Tel hoeveel stukjes er tussen 5,5 en 5,6 zijn.
Er zijn 2 stukjes.
Reken uit hoe groot 1 stukje is.
Denk aan geld: 1 stukje is € 0,10 : 2 = € 0,05.
Dus 0,1 : 2 = 0,05
Tel hiermee door.
5,50 - 5,55 - 5,60.
Dus 5,55 ligt midden tussen 5,5 en 5,6.
stap 3 wat is het antwoord?
•
5,55 ligt midden tussen 5,5 en 5,6.
2 getallen vergelijken
13
VERHOUDINGEN
Als je wilt weten hoeveel een jas met 40%
korting kost, of hoeveel kilometer een stukje
van 3 centimeter op een kaart in werkelijkheid
is, dan ben je aan het rekenen met
verhoudingen. Daarover gaat dit hoofdstuk.
Hoe gebruik je een verhoudingstabel, hoe
reken je met breuken, procenten en schaal?
Bij veel rekenopgaven moet je rekenen met
verhoudingen.
1.8 Optellen en aftrekken met breuken
Optellen en aftrekken met gelijknamige breuken
5
2
Breuken met gelijke (dezelfde) noemers, zoals 8 en 8 , noemen we
gelijknamige breuken. Bij een optelsom met zulke breuken kun je gewoon de
tellers van beide breuken bij elkaar nemen. Bij een aftreksom haal je de ene
teller van de andere teller af.
plus
5
8
is
2
8
+
is
min
5
8
7
8
=
2
8
–
3
8
=
Als antwoord van een optelsom of aftreksom kun je een breuk krijgen
waarvan de teller groter is dan de noemer. Dan is de breuk groter dan 1.
Je kunt dan de helen eruit halen. Soms kun je het antwoord ook nog
vereenvoudigen.
Voorbeelden
1.
2.
14
+
3
4
+
3
4
=
6
4
=
= 1
4
5
+
4
5
=
8
5
= 1
3
5
7
8
+
5
8
=
12
8
= 1
4
8
7
8
–
5
8
=
2
8
=
1 BREUKEN
1
4
1
2
= 1
want
1
2
6
4
=
4
4
+
2
4
=1 +
2
4
= 1 +
1
2
= 1
1
2
Bij het optellen en aftrekken met breuken kun je ook een getallenlijn
gebruiken. Als twee breuken samen meer dan 1 zijn, kun je gemakkelijk eerst
naar 1 springen en daarna verder.
Voorbeelden
4
3
1. 5 + 5 =
4
5
+
1
5
+
2
5
= 1
2
5
+
1
5
+
4
5
2. 2
1
3
– 1
2
3
3
5
+
= 1
1
3
2
3
–
=
1
–1
2
3
2
3
1
3
1
–
1
3
1
1
2
5
2
1
3
2
3
–1
1
3
V ER H O U D ING E N
Je haalt eerst de hele(n)
eraf en daarna het breukdeel
(in één of twee stappen).
–
2
5
Optellen en aftrekken met ongelijknamige breuken
1
1
Als breuken niet gelijke (dezelfde) noemers hebben, zoals 8 en 4 , noemen
we ze ongelijknamig. Om ermee te kunnen optellen of aftrekken, moet je
zulke breuken eerst gelijknamig maken: zorgen dat ze dezelfde noemer
krijgen. Dat kun je doen door ze anders te schrijven. Je zoekt dan het kleinste
getal dat in de tafels van beide noemers voorkomt.
Voorbeelden
1
1
5
1. 4 + 5 = 20 +
4
20
=
9
20
Maak eerst de breuken gelijknamig. 20 is het kleinste getal dat in de tafel
van 4 én in de tafel van 5 voorkomt. Schrijf dus beide breuken als een
breuk met noemer 20. Tel dan de tellers bij elkaar op.
2.
1
3
–
1
4
=
4
12
–
3
12
=
1
12
Maak eerst de breuken gelijknamig. 12 is het kleinste getal dat in de tafel
van 3 én in de tafel van 4 voorkomt. Schrijf dus beide breuken als een
breuk met noemer 12. Trek dan de ene teller van de andere af.
1 BREUKEN
15
Voorbeeldsom
●
▶ VERHOUDINGEN | LES 10
Tom heeft twee blikken verf. Het ene
blik is half vol, het andere blik is
voor driekwart vol.
Hoeveel verf heeft Tom bij elkaar?
1
3
De som die erbij hoort is 2 + 4 =
Stap 1 Wat moet je berekenen?
1
3
Hoeveel een half ( 2 ) blik verf plus driekwart ( 4 ) blik verf samen is.
Stap 2 Welke berekeningen horen daarbij?
•
Zijn de noemers in de breuken gelijk?
Nee. Maak dan eerst de breuken gelijknamig.
1
2
2 = 4
3
4
blijft
3
4
, want de noemer is al 4.
De som wordt dan:
•
+
3
4
=
5
4
Is de teller groter dan de noemer?
Ja. Haal dan de helen eruit.
5
4
1
1
4 = 4 + 4 = 1 4
Stap 3 Wat is het antwoord?
Tom heeft bij elkaar 1
16
2
4
1 BREUKEN
1
4
blik verf.
1.9 Vermenigvuldigen met breuken
Breuk vermenigvuldigen met een heel getal
Voorbeelden
1
1. 2 × 20 betekent
2.
1
2
1
2
deel van 20 en dat is 20 : 2 = 10, dus
1
4
1
4
× 20 betekent
3
5
× 120 betekent hetzelfde als
deel van 20 en dat is 20 : 4 = 5, dus
3
5
1
4
× 20 = 10.
× 20 = 5.
deel van 120.
120
V ER H O U D ING E N
3 × 24 = 72
Je rekent eerst uit hoeveel
1
5
1
5
× 120 is:
1
5
× 120 betekent
deel van 120 en dat is 120 : 5 = 24,
1
dus 5 × 120 = 24.
3
5
1
5
=3×
Dus
3
5
, dus
3
5
× 120 is 3 ×
1
5
deel van 120.
× 120 = 3 × 24 = 72.
Je kunt het ook zo schrijven en uitrekenen:
3
5 × 120 = 120 : 5 × 3 = 72.
Een andere manier is om 120 als breuk te schrijven:
120
1
.
Als je twee breuken met elkaar wilt vermenigvuldigen, kun je de tellers
en de noemers met elkaar vermenigvuldigen:
teller × teller
noemer × noemer
Hier wordt de berekening dan:
3
5
×
120
1
=
3 × 120
5 × 1
=
360
5
= 72
1 BREUKEN
17
METEN EN MEETKUNDE
De onderwerpen meten en meetkunde staan bij
elkaar in één hoofdstuk. Ze hebben allebei te
maken met de ruimte om ons heen.
Bij meten gaat het vooral om het bepalen van
de grootte van die ruimte. Wat is de lengte, de
oppervlakte of de inhoud?
Bij meetkunde kijken we meer naar de ruimte
zelf. Hoe ziet die eruit? Welke vormen zijn er?
Hoe kun je bepalen waar je bent?
9
Inhoud
9.1 Belangrijke inhoudsmaten
Bij het meten van de inhoud kunnen we kiezen uit twee verschillende
maatstelsels. Bij vloeistoffen gebruiken we meestal de liter
(afkorting: l) als standaardmaat. Bij vaste stoffen gebruiken we als
standaardmaat liever de kubieke meter (afkorting: m 3). Een kubus
met zijden met een lengte van 1 m heeft een inhoud van 1 m 3.
1 m3
1m
referentiematen
Rekenen gaat makkelijker als je je iets kunt voorstellen bij de maten.
Bijvoorbeeld een pak melk of vla heeft een inhoud van 1 liter = 1 kubieke
decimeter. Een suikerklontje heeft een inhoud van ongeveer 1 kubieke
centimeter = 1 milliliter. Een emmer heeft een inhoud van ongeveer 10 liter.
9.2 Samenhang tussen inhoudsmaten
kl
hl
dal
l
dl
cl
meten en meetkunde
Als je liter als standaardmaat gebruikt, dan kun je dezelfde voorvoegsels
gebruiken als je gewend bent. De deciliter is 1 (een tiende) liter en de
10
centiliter is 1 (een honderdste) liter.
100
1 liter is dus 10 deciliter maar ook 100 centiliter en ook 1.000 milliliter.
ml
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1.000
Wat betekenen de afkortingen?
kl is kiloliter
hl is hectoliter
dal is decaliter
l is liter
dl is deciliter
cl is centiliter
ml is milliliter
9 inhoud
45
Gebruik je de kubieke meter als
standaardmaat? In 1 kubieke meter (1 m 3)
gaan 1.000 blokjes van 1 kubieke decimeter
(1 dm 3). Kijk maar in de kubus hiernaast.
Er passen 10 kleine blokjes naast elkaar op
een rij. Er kunnen 10 rijen achter elkaar
liggen. In één zo’n laagje gaan dus al 100
kleine blokjes. Er kunnen 10 lagen op elkaar
gestapeld worden, in totaal heb je dan 1.000
blokjes van 1 dm 3 nodig om een kubus van
1 m 3 te vullen. Dus 1 m 3 = 1.000 dm 3.
10
10
10
Op dezelfde manier kunnen we laten zien dat 1 dm 3 = 1.000 cm 3.
m3
× 1.000
: 1.000
dm3
× 1.000
: 1.000
cm3
1 liter = 1 dm 3
1 liter is evenveel als 1 kubieke decimeter. Als je dat goed onthoudt, is het
niet moeilijk maten uit het ene maatstelsel om te rekenen naar het andere.
1 kl = 1.000 l = 1.000 dm 3 = 1 m 3
1.000 ml = 1 l = 1 dm 3 = 1.000 cm 3
1l
cm 3.
Dus 1 ml is hetzelfde als 1
Dat is
ongeveer de inhoud van een suikerklontje.
kl
m3
46
9 inhoud
hl
dal
× 1.000
: 1.000
l
dm3
dl
cl
× 1.000
: 1.000
ml
cm3
1 dm 3
0,5 l
9.3 rekenen met inhoudsmaten
Moet je inhouden die met verschillende maten zijn aangegeven met elkaar
vergelijken, bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken? Dan is het handig om
eerst alles om te rekenen naar dezelfde maat.
1,75 l – 1.500 ml = 1.750 ml – 1.500 ml = 250 ml
9.4 inhoud berekenen
inhoud van een balk
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
40 cm
2 dm
3 dm
3 dm
20 cm
10 cm
De inhoud van de doos is 3 dm × 3 dm × 2 dm = 18 dm 3.
meten en meetkunde
Wat is de inhoud van het aquarium in liter? Reken eerst de maten om naar
decimeter, en bereken dan de inhoud in kubieke decimeter. Daarna kun je
gemakkelijk omrekenen naar liter.
40 cm × 10 cm × 20 cm = 4 dm × 1 dm × 2 dm = 8 dm 3 = 8 liter
Als je in een weerbericht hoort dat er 1 mm regen is gevallen, dan betekent
dat dat er op een oppervlakte van 1 m 2 een laagje water van 1 mm hoog
is terechtgekomen. Op 1 m 2 is dus 0,01 dm × 100 dm 2 = 1 dm 3 = 1 liter
regenwater gevallen (bedenk dat 1 m 2 = 100 dm 2).
9 inhoud
47
inhoud van een cilinder
inhoud cilinder = oppervlakte × hoogte (diepte)
Dan gebruik je voor oppervlakte de formule voor het berekenen van de
oppervlakte van een cirkel. De oppervlakte van het deksel (of de bodem) van
deze vuilnisbak is 19,625 dm 2, want π ≈ r 2 is 3,14 × 2,5 2 = 19,625.
De inhoud van de vuilnisbak is dan 19,625 dm 2 × 8 dm = 157 dm 3 = 157 liter.
d = 5 dm
8 dm
48
9 inhoud
Voorbeeldsom
●
▶ Meten en Meetkunde | Les 6
Eva gaat koken voor 6 personen.
Ze heeft per persoon 300 ml melk nodig.
In de koelkast staan 2 pakken melk van 1,5 liter.
Is dat genoeg? Hoeveel is dat te veel of te weinig?
Stap 1 Wat moet je berekenen?
Het verschil tussen hoeveel melk er nodig is en hoeveel melk er is.
•
•
•
meten en meetkunde
Stap 2 Welke berekeningen horen daarbij?
Reken uit hoeveel melk er nodig is.
Er zijn 6 personen en er is 300 ml per persoon nodig.
6 × 300 ml = 1.800 ml
Reken om naar liter:
1.800 ml = 1,8 l
Reken uit hoeveel melk er is.
2 × 1,5 l = 3,0 l
Bereken het verschil.
3,0 l − 1,8 l = 1,2 l
Er is dus 1,2 liter melk te veel.
Stap 3 Wat is het antwoord?
Er is melk genoeg.
Er is 1,2 liter te veel.
9 inhoud
49
VERBANDEN
Wordt het de komende dagen kouder? Hoe
warm was het de afgelopen maand? Je ziet
het snel als je een grafiek gebruikt. Informatie
over prijzen, tijden, gewichten of andere
grootheden wordt vaak gepresenteerd in
tabellen, diagrammen of formules. Wat kost 3
uur parkeren in deze garage? In dit hoofdstuk
laten we zien hoe je formules en tabellen kunt
gebruiken om iets uit te rekenen.
1
Tabellen
Een tabel is handig om veel gegevens op een overzichtelijke manier bij elkaar
te zetten. Een rooster of een prijslijst is vaak een tabel. Je kunt er snel iets in
opzoeken als je weet hoe je de tabel moet gebruiken.
1.1 een tabel aflezen
Bij het aflezen van een tabel combineer je gegevens uit een rij en een kolom.
In de bovenste rij staat wat de
getallen in de kolom betekenen.
In de eerste kolom staan getallen
die bij lichaamsgewicht horen.
lichaamsgewicht
Dit is een rij.
Een rij is een serie
gegevens naast
elkaar (horizontaal),
op één regel.
dames
49 kg en minder
140 cm
135 cm
50 tot en met 56 kg
145 cm
140 cm
57 tot en met 62 kg
150 cm
145 cm
63 tot en met 68 kg
155 cm
148 cm
69 tot en met 75 kg
160 cm
152 cm
76 tot en met 81 kg
165 cm
156 cm
82 kg en meer
170 cm
163 cm
Dit is een kolom. Een kolom is
een serie gegevens onder elkaar
(verticaal).
4
1 Tabellen
skilengte
heren
In de tweede en derde kolom
zie je welke skilengte er nodig
is. Vrouwen hebben een andere
lengte nodig dan mannen.
voorbeelden
1. Nico weegt 80 kg. Welke skilengte moet hij hebben?
lichaamsgewicht
skilengte
heren
dames
49 kg en minder
140 cm
135 cm
50 tot en met 56 kg
145 cm
140 cm
57 tot en met 62 kg
150 cm
145 cm
63 tot en met 68 kg
155 cm
148 cm
69 tot en met 75 kg
160 cm
152 cm
76 tot en met 81 kg
165 cm
156 cm
82 kg en meer
170 cm
163 cm
In de eerste kolom zoek je de rij die past bij het gewicht. 80 kg zit in de
klasse (groep) van 76 kg tot en met 81 kg. Daarna kijk je bij de getallen
die erachter staan welke skilengte nodig is. Je moet kijken in de tweede
kolom (voor heren), en daar vind je 165 cm.
2. De tafelkaart is ook een tabel. Hoeveel is 9 × 5?
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
2
2
4
6
8
10
12
14
3
3
6
9
12
15
18
21
4
4
8
12
16
20
24
28
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
7
7
14
21
28
35
8
8
16
24
32
40
9
9
18
27
36
10
10
20
30
40
8
9
10
8
9
10
16
18
20
24
27
30
32
36
40
35
40
45
50
42
48
54
60
42
49
56
63
70
48
56
64
72
80
45
54
63
72
81
90
50
60
70
80
90
100
v e r ba nd e n
×
Zoek 9 in de meest linkse kolom en kijk daarna in de rij erachter in de
kolom waar 5 boven staat. Dan vind je het antwoord 45.
Bedenk dat 9 × 5 = 5 × 9. Daarom kun je bij dit voorbeeld ook in de rij bij 5
kijken en dan in de kolom onder 9.
1 Tabellen
5
2
Diagrammen
Diagrammen zijn plaatjes waarin je gegevens kunt aflezen. Hoeveelheden met
elkaar vergelijken gaat met een diagram vaak makkelijker dan met een tabel.
2.1 Staafdiagram
Bezoekers attracties in Blokstede
2.500
aantal bezoekers

2.000
1.500
mei
juni
1.000
500
0
Treinmuseum
Op de verticale as
zie je het aantal
bezoekers.
Slot Steyn
Heidetuin
attracties
Glasmuseum
Op de horizontale
as zie je de namen
van de attracties.
Dit is de hoogste staaf. Slot Steyn ontving
het hoogste aantal bezoekers en dat was in
juni. Het waren 2.000 bezoekers.
voorbeeld
Hoeveel bezoekers waren er in mei in het Treinmuseum?
Zoek de staven die bij deze attractie horen. Kies de juiste maand. Kijk naar de
top van de staaf. Lees links op de verticale as welk getal daarbij hoort.
Er zijn in de maand mei 1.100 bezoekers in het Treinmuseum geweest.
18
2 diagrammen
‘liegen’ met een diagram
In een diagram zie je snel of er sprake was van een belangrijke toename
of afname van iets (diagram 1). Je kunt die toename of afname veel groter
laten lijken dan die in werkelijkheid is. Dat doe je door een as of beide assen
niet bij 0 te laten beginnen maar bij een ander getal. Op die manier kun je
mensen misleiden. Meestal staat er dan aan het begin van de as wel een klein
zigzaglijntje (diagram 3), maar in kranten en andere media wordt zo’n lijntje
wel eens weggelaten (diagram 2). De verschillen lijken zo veel groter dan ze in
werkelijkheid zijn. Diagram 2 of 3 doet het immers veel beter dan diagram 1
bij de kop ‘Dramatische afname in aantal aanmeldingen’!
Let dus altijd goed op de getallen bij de assen.
aanmeldingen
diagram 1
aantal
50
40
30
20
10
0
dec
jan
feb
mrt
aanmeldingen
diagram 2
aantal
50
40
30
dec
jan
feb
mrt
v e r ba nd e n
aanmeldingen
diagram 3
aantal
50
40
0
dec
jan
feb
mrt
Dit zigzaglijntje heet
een scheurlijntje of
zaagtand. Je geeft
ermee aan dat er een
stuk van het diagram
ontbreekt.
2 diagrammen
19
Voorbeeldsom
●
▶ verbanden | Les 1
Elk jaar gaan veel mensen op wintersport. Daarvoor hebben ze speciale kleding
en materialen nodig. In de grafiek zie je hoeveel er verkocht is van twee soorten
wintersportartikelen:
• wintersportkleding
• ski’s en snowboards.
Van welk artikel is de verkoop het meest gegroeid tussen jaar 1 en jaar 2:
wintersportkleding of ski’s plus snowboards?
340
wintersportkleding
ski’s en snowboards
250
300
260
200
220
180
150
140
100
jaar 1
jaar 2
jaar 3
jaar 4
100
Om de groei te kunnen bepalen, moet je de verkoopaantallen van
verschillende jaren met elkaar vergelijken.
28
2 diagrammen
 aantal stuks ski’s en snowboards
aantal stuks wintersportkleding 
Verkoop wintersportkleding en ski’s plus snowboards
380
Stap 1 Wat moet je berekenen?
Van welk artikel (wintersportkleding of ski’s plus snowboards) tussen jaar 1 en 2
de verkoop het meest is gegroeid.
Stap 2 Welke berekeningen horen daarbij?
•
•
•
•
Eerst: Bekijk de grafiek goed en zoek uit wat het betekent.
Let op de verticale assen.
De ene grafiek is blauw (de staven). Daar hoort de blauwe as bij (links).
De andere grafiek is rood (de lijn). Daar hoort de rode as bij (rechts).
De linkeras hoort bij de hoeveelheid verkochte wintersportkleding.
Let op de stapgrootte tussen twee streepjes. Die is hier 40.
Kijk ook naar het getal waarmee de as begint bij de horizontale as.
Dat is hier 100.
De rechteras hoort bij de hoeveelheid verkochte ski’s en snowboards.
Let op de stapgrootte tussen twee streepjes. Die is hier 25.
Kijk ook naar het getal waarmee de as begint bij de horizontale as.
Dat is hier 100.
De horizontale as onderaan geeft verkoopjaren aan: jaar 1 t/m jaar 4.
Daarna: Bekijk de aantallen verkochte wintersportkleding.
Gebruik de linkeras en de staven.
Jaar 1
180 stuks
Jaar 2
260 stuks
De toename is 260 – 180 = 80
Daarna: Bekijk de aantallen verkochte ski’s en snowboards.
Gebruik de rechteras en de punten op de lijn.
150 stuks
Jaar 2
175 stuks
Jaar 1
De toename is 175 – 150 = 25
Tot slot: Vergelijk de aantallen 80 en 25.
De grootste toename zie je bij wintersportkleding (80 stuks).
Stap 3 Wat is het antwoord?
2 diagrammen
v e r ba nd e n
Tussen jaar 1 en 2 is de verkoop van wintersportkleding het meest gegroeid.
29
Auteur:
Anneke van Gool
Dit boek is bedoeld voor iedereen die zelf wil
leren rekenen of anderen daarbij wil helpen.
Alle onderwerpen uit het Referentiekader Rekenen
worden behandeld.
In dit theorieboek is per domein alles gemakkelijk terug
te vinden. Oplossingsstrategieën worden stap voor
stap uitgelegd met duidelijke voorbeelden. Het boek
bevat uitgewerkte voorbeeldsommen uit alle domeinen
op zowel niveau 1F, 2F als 3F: het biedt daarmee een
belangrijke ondersteuning voor iedereen die wil oefenen
voor rekentoetsen.
Het theorieboek sluit naadloos aan op de methode
Rekenblokken, maar is ook bij andere methoden
te gebruiken. Deze handzame gids biedt een
overzichtelijke samenvatting van de belangrijkste
theorie en oplossingsstrategieën bij het rekenen.