1 meetkunde

INTEGRAAL
www.plantyn.com/integraal
INTEGRAAL
SNEAK PREVIEW
DEEL 3
HOOFDSTUK 1
1 MEETKUNDE
LEERWERKBOEK
Wat vindt u van
deze preview?
Laat het ons weten op
http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal
WISKUNDE VOOR GO!
Integraal cover marketing.indd 1
3/04/14 09:54
INTEGRAAL
• Integraal, wiskunde voor het GO!
• Nu ook beschikbaar als leerwerkboek
• Hedendaagse vormgeving
• Duidelijke, overzichtelijke structuur
• Logische opbouw van de oefeningen
• Bewezen didactiek
• Nu met uitgebreide ondersteuning
via een LerarenKit
– Bordboek
– Oplossingen
– Jaarplan
– Modeltoetsen
– Extra oefeningen
– Rekentrainer
Deel I
Vlakke figuren
Hoofdstuk 1. Vlakke figuren
Hoofdstuk 2. Rechten
Hoofdstuk 3. Lijnstukken
Hoofdstuk 4. Hoeken
Deel II
Spiegelingen
Hoofdstuk 1. Spiegelingen
Deel III
Veelhoeken en cirkels
Hoofdstuk 1. Driehoeken
Hoofdstuk 2. Merkwaardige lijnen in een driehoek
Hoofdstuk 3. Vierhoeken
Hoofdstuk 4. Cirkels en regelmatige veelhoeken
Hoofdstuk 5. Omtrek en oppervlakte
Deel IV
Voorstellen van lichamen
Hoofdstuk 1. Voorstellen van lichamen
Het leerwerkboek Integraal 1 Meetkunde Leerwerkboek (incl. online ICT) is bestemd voor
de leerlingen van het eerste leerjaar A van de eerste graad van het Gemeenschapsonderwijs.
Ontwerp en opmaak cover: The Line
Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group
Tekenwerk: Stefaan Provijn
Technisch tekenwerk: Crius Group
Plantyn
Motstraat 32, 2800 Mechelen
T 015 36 36 36
F 015 36 36 37
[email protected]
www.plantyn.com
Dit boek werd gedrukt op papier
van verantwoorde herkomst.
Illustratieverantwoording: Imageglobe.be, iStockphoto, Wikipedia/Albrecht Dürer,
Wikipedia/Vascer, © Fotolia.com/ patrick
© Plantyn nv, Mechelen, België
Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit
deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar
gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming
van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intellectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren
en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit
materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn.
Deel III
Veelhoeken en cirkels
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
1.
2.
3.
4.
5.
Driehoeken
Merkwaardige lijnen in een driehoek
Vierhoeken
Cirkels en regelmatige veelhoeken
Omtrek en oppervlakte
40
57
79
93
127
1 Driehoeken
Op verkenning!
1
2
Hellende wegen
Toen de ontwikkeling van de auto nog in de kinderschoenen stond, moesten de
bestuurders op hellingen vaak uit hun voertuig stappen en hun wagen verder
duwen.
Bovenstaande foto geeft een auto weer die op een loopplank naar het dak van
een huis rijdt.
De foto verscheen in een magazine als reclame en moest aan de lezers van het
tijdschrift bewijzen dat deze auto over een uitzonderlijke klimkracht beschikte.
De loopplank vormde een hoek van 23° met de grond en een hoek van 67° met
de muur van het huis.
Merk op dat de som van die twee hoeken 90° is, een merkwaardig getal in een
driehoek.
3
4
67°
23°
40
Driehoeken
1.1
Indeling van de driehoeken
• Je kunt de driehoeken indelen volgens de grootte van de hoeken.
Scherphoekige
driehoek
Stomphoekige
driehoek
Rechthoekige
driehoek
1
DEFINITIES
2
•• Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken.
•• Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek.
•• Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek.
• Je kunt de driehoeken indelen volgens het aantal gelijke zijden.
Ongelijkbenige
driehoek
Gelijkbenige
driehoek
Gelijkzijdige
driehoek
3
DEFINITIES
•• Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek met drie zijden van
••
••
verschillende lengte.
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met ten minste twee even lange
zijden.
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden.
1.1 Indeling van de driehoeken
4
41
B
a
c
1
A
b
3
2
1
C
6
4
5
2
7
8
9
3
10
4
42
Driehoeken
1.2Notatie en benamingen
Op de vorige bladzijde zie je 10 driehoeken.
Aan de zijden en hoeken van driehoek 1 werd een naam gegeven.
Notatie∆ABC
Benamingen
de hoekpunten A, B en C
^  of C​ A​
^ B ; ​ 
^  of B​ C​
^ A
^  of A​ B​
^ C ; ​ 
de hoeken​ A​ B​ C​ de lengten van de zijden
a = ​| BC |​
b = ​| CA |​
c = ​| AB |​
1
Oefeningen
1
Vul de nummers van de getekende driehoeken in.
De scherphoekige driehoeken zijn: De stomphoekige driehoeken zijn: De rechthoekige driehoeken zijn: De ongelijkbenige driehoeken zijn: De gelijkbenige driehoeken zijn: De gelijkzijdige driehoeken zijn: 2
De gelijkbenige, rechthoekige driehoeken zijn: 2 Vul in.
3
Meet de zijden en de hoeken van driehoek 9.
Zijden: Hoeken: Wat is de meest passende naam voor driehoek 9? Wat stel je vast? Meet de zijden en de hoeken van driehoek 8.
Zijden: Hoeken: Wat is de meest passende naam voor driehoek 8? Wat stel je vast? Meet de zijden en de hoeken van driehoek 4.
Zijden: 4
Hoeken: Wat is de meest passende naam voor driehoek 4? Wat stel je vast? 1.2 Notatie en benamingen
43
3 Teken volgende driehoeken.
a∆ABC met volgende zijden:
3 cm; 3,5 cm en 4 cm
b∆DEF met volgende zijden en hoek:
4cm; 4,5 cm en 60°
c∆GHK met volgende zijde en hoeken:
3,5 cm; 120° en 50°
d∆LMN met volgende zijden en hoek:
4 cm; 4 cm en 90°
e∆PQR met volgende zijde en hoeken:
3,7 cm; 65° en 65°
f∆STU met volgende hoeken:
60° en 60°
1
2
3
4
44
Driehoeken
1.3Eigenschappen van zijden en hoeken
Opdracht
Meet de zijden en de hoeken van driehoeken 10 en 6.
Rangschik de zijden en hoeken volgens grootte.
​| BC |​ = |​ C​ 
​  ^ |​ = |​ A​ 
​  ^ |​ = ​| CA |​ = ^ |​ = |​ ​ B​ 
​| AB |​ = B
1
Rangschik je de zijden en de hoeken volgens
grootte, dan is
10
C
A
| | > | | > | |
2
| | > | | > | |
D
6
E
|​ DE |​ = |​ F​ ​ ^ |​ = |​ EF |​ = |​ D​ 
​  ^  |​ = |​ ​ E​ ^ |​ = |​ FD |​ = Rangschik je de zijden en de hoeken volgens
grootte, dan is
3
| | > | | = | |
F
| | > | | = | |
Meet je de zijden en hoeken in driehoeken, dan kun je de volgende eigenschap
vaststellen.
EIGENSCHAP
•• In een driehoek
•• ligt tegenover de grootste hoek de langste zijde en tegenover de kleinste
••
4
hoek de kortste zijde (en omgekeerd);
liggen tegenover even grote hoeken even lange zijden (en omgekeerd).
1.3 Eigenschappen van zijden en hoeken
45
1.4
Omtrek van een driehoek
3,5 cm
2 cm
3 cm
3 cm
4
1
1
4 cm
3,5 cm
3
2 cm
3,5 cm
4 cm
3,5 cm
2 cm
2
4 cm
2,5 cm
5
2,5 cm
4,5 cm
De driehoeken 1, 2 en 3 zijn congruente driehoeken.
Als je ze zou uitknippen, kunnen ze elkaar volledig bedekken.
De driehoeken 4 en 5 zijn niet congruent.
Ze zijn ook niet congruent met de driehoeken 1, 2 en 3.
2
Opdracht
Teken de lengte van de omtrek van deze driehoeken op de halfrechten.
Begin steeds in de oorsprong.
1
3
2
3
4
5
Wat stel je vast? EIGENSCHAP
•• Als driehoeken congruent zijn, dan hebben ze dezelfde omtrek.
4
Het omgekeerde geldt hier niet!
Als driehoeken dezelfde omtrek hebben, dan zijn het niet noodzakelijk congruente
driehoeken.
46
Driehoeken
Oefeningen
4 Teken drie niet-congruente driehoeken die elk een omtrek van 12 cm hebben.
1
2
5 Verdeel onderstaande gelijkzijdige driehoeken in
4 congruente driehoeken.
3
9 congruente driehoeken.
4
1.4 Omtrek van een driehoek
47
1.5
Som van de hoeken van een driehoek(*)
B
1
A
C
Als je deze driehoek tekent op een blad papier, kun je de hoeken A​
​ ^  en C​
​  ^  gemakkelijk
^  leggen, zoals hieronder is aangegeven.
afscheuren en ze naast de hoek ​ B​
2
A
B
C
3
^ , ​ B​
^  en C​
Je merkt dus dat de hoeken ​ A​
​  ^  samen een gestrekte hoek vormen.
De som van de grootte van die hoeken is 180°.
EIGENSCHAP
•• De som van de hoeken van een driehoek is 180°.(*)
4
* We bedoelen hier natuurlijk de som van de grootte van de hoeken van een driehoek.
48
Driehoeken
Oefeningen
6
Bepaal van volgende veelhoeken de som van de grootte van de hoeken.
Tip: verdeel elke veelhoek in driehoeken die hetzelfde hoekpunt hebben.
B
1
R
E
S
I
T
F
A
W
K
V
C
G
D
7
Q
Naam veelhoek
Naam veelhoek
Naam veelhoek
Aantal driehoeken
Aantal driehoeken
Aantal driehoeken
Som van de hoeken
Som van de hoeken
Som van de hoeken
2
Noteer bij de driehoek ABC de grootte van de hoeken A​
​ ^ , B​
​ ^,  ^
​C ​,  A​​
​​ ^ 1​ en D​​
​​ ^ 1​.
C
B
30°
3
B
35°
33°
1
D
1
75°
A
C
B
50°
A
1
A
50°
1.5 Som van de hoeken van een driehoek
C
4
49
1.6Driehoeksongelijkheid
Zelfs als de lengten van de drie zijden van een driehoek gegeven zijn, is het toch niet
altijd mogelijk om een driehoek te tekenen.
1
Opdracht
Construeer een driehoek waarvan de zijden bekend zijn.
Gebruik onderstaande afmetingen.
a
b
c
2
Constructie
3
Je kunt deze driehoek niet construeren omdat je geen snijpunt krijgt!
De twee cirkelbogen snijden elkaar niet omdat a > b + c.
De voorwaarde waaraan de zijden van een driehoek moeten voldoen, noem je de
driehoeksongelijkheid.
eIGENSCHAP
•• In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten
van de twee andere zijden.
In de ∆ABC is
C
4
a
b
B
A
50
Driehoeken
c
a<b+c
b<c+a
c<a+b
Oefening
8
Kun je een driehoek vormen?
Zes leerlingen moeten met telkens
drie latjes proberen om een driehoek
te vormen. De lengten van de latjes
staan in de tabel.
Welke leerlingen kunnen met hun
latjes geen driehoek vormen?
Antwoord:
lengte van de latjes in cm naam leerling
6
2
6
Elke
7
5
4
Kim
2
6
11
Vera
7
7
7
Joris
8
9
2
Inge
4
3
1
Tine
1
1.7
Bespreking van de rechthoekige driehoeken
2
We onderzoeken de eigenschappen van de rechthoekige driehoeken.
Rechthoekige
ongelijkbenige driehoek
Rechthoekige
gelijkbenige driehoek
B
B
C
A
A
Benamingen ^ 
de rechte hoek​ A​
de schuine zijde​[ BC ]​
de rechthoekszijden​[ AB ]​ en ​
[ AC ]​
Eigenschap ^ |​+ |​ C​ 
​  ^ |​+ |​ ​ B​ 
​  ^ |​= 180°
de som van de hoeken​| A​ 
3
C
| A​ 
en​
​  ^ |​= 90°
^ |​+ |​ C​ 
en dus is​| ​ B​ 
​  ^ |​= 90°
4
EIGENSCHAP
•• In een rechthoekige driehoek is de som van de scherpe hoeken 90°.
1.7 Bespreking van de rechthoekige driehoeken
51
1.8
Bespreking van de gelijkbenige driehoeken
We onderzoeken de eigenschappen van de gelijkbenige driehoeken.
Gelijkbenige
rechthoekige driehoek
1
Gelijkbenige
scherphoekige driehoek
A
B
C
A
2
3
Gelijkbenige
stomphoekige driehoek
B
B
C
A
Benamingen ^ 
de tophoek​ A​
de basis ​[ BC ]​
de opstaande zijden​[ AB ]​ en ​
[ AC ]​
^ 
^  en ​ C​
de basishoeken​ B​ Eigenschap zijden en hoekenIn een driehoek liggen tegenover
even lange zijden even grote hoeken
en omgekeerd.
twee even lange zijden​| AB |​= |​ AC |​
↕ ↕
^ |​
| ​ B​ 
en dus is ​| C​ 
​  ^ |​ = ​
vaststelling De basishoeken zijn even groot.
EIGENSCHAP
•• Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn minstens twee hoeken even groot.
en omgekeerd
•• Als in een driehoek minstens twee hoeken even groot zijn, dan is die
4
driehoek gelijkbenig.
52
Driehoeken
C
1.9
Bespreking van de gelijkzijdige driehoeken
We onderzoeken de eigenschappen van de gelijkzijdige driehoeken.
Gelijkzijdige driehoek
1
B
A
C
Benamingen ^ , ​ B​ ^ 
^  en ​ C​
de hoeken​ A​
de zijden ​[ AB ]​, [​  BC ]​ en ​
[ CA ]​
Eigenschap ^ |​+ |​ C​ 
​  ^ |​+ |​ ​ B​ 
​  ^ |​= 180°
som van de hoeken​| A​ 
zijden en hoekenIn een driehoek liggen tegenover
even lange zijden even grote hoeken
en omgekeerd.
drie even lange zijden​| AB |​= |​ BC |​= |​ CA |​
2
↕↕↕
^ |​ = 60°
en dus is​| C​ 
​  ^ |​ =​| A​ 
​  ^ |​ =​| ​ B​ 
3
EIGENSCHAP
•• Als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn de drie hoeken even groot.
en omgekeerd
•• Als in een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die driehoek
gelijkzijdig.
4
1.9 Bespreking van de gelijkzijdige driehoeken
53
Oefeningen
9 Vul de grootte van de derde hoek van de driehoek ABC in.
Noteer telkens ook de benaming van de driehoek.
1
|​ A​ 
​  ^ |​
​| B​ 
​  ^ |​
37°
42°
90°
54°
Benaming volgens de
hoeken
Benaming volgens de
zijden
40°
30°
30°
79°
53°
60°
2
^ |​
​| ​ C​ 
60°
72°
45°
90°
10 Vul in de figuren de grootte van de onbekende hoek(en) in.
3
50°
40°
4
54
Driehoeken
^ ​.
11 Bereken de hoeken van de driehoeken. Bereken ook de grootte van hoek ​​ A​​
1
30°
45°
35°
A
1
1
A
45°
1
65°
12 Hoe groot zijn de scherpe hoeken van je geodriehoek? Waarom? 2
13 Bereken de grootte van de hoeken in de volgende figuren.
|​ C​ 
​  ^ |​ = ​| D​​
​​  ^ 1​  |​ = ​| D​​
​​  ^  ​  |​ = C
2
^  ​  |​ = ​| ​​ B​​
1
^  ​  |​ = ​| ​​ B​​
2
B
1
A
35°
1
^  ​  |​ = |​ ​​ B​​
1
2
3
D
A
|​ ​​ B​​^ 2​  |​ = ​| D​​
​​  ^ 1​  |​ = ​| D​​
​​  ^  ​  |​ = 85°
3
2
1
​​  ^ 3​  |​ = |​ D​​
​| M​​
​​  ^  ​  |​ = 1
^  ​  |​ = ​| ​​ M​​
2
2
B
1
2
1
2
D
2
48°
4
C
M
1.9 Bespreking van de gelijkzijdige driehoeken
55
14 Teken de gelijkbenige driehoek DEF
met basis |​ FE |​= 7 cm en een basishoek van 50°.
15
Teken een gelijkzijdige driehoek
met een zijde van 5 cm.
16 Teken een gelijkbenige driehoek
waarvan de tophoek 40° is en de
basis 6 cm.
17
Teken een gelijkbenige driehoek
waarvan een opstaande zijde 5 cm
en de basis 4 cm is.
1
2
3
4
56
Driehoeken
18 Teken een driehoek ABC waarvan
|​ AB |​= 7 cm, ​| AC |​= 6 cm en
​| BC |​= 5 cm.
19
Teken een driehoek KLM waarvan
de zijden 8 cm en 5 cm zijn.
De ingesloten hoek K​
​ ^ is 30°.
1
2
20 Teken een driehoek RST waarvan
|​ R​ ​ ^ |​= 110°, ​| ^​S ​  |​= 25° en ​
| RS |​ = 7 cm.
21
Teken een rechthoekige driehoek
DEF met een hoek ^
​F ​ van 40°,
^
|​ DF |​= 4 cm en |​ D​ ​   |​= 90°.
3
4
1.9 Bespreking van de gelijkzijdige driehoeken
57
22 Waar of onwaar?
1
Elke gelijkbenige driehoek is rechthoekig.
Er bestaat een gelijkzijdige driehoek met een hoek van 50°.
Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig.
Er bestaat een driehoek met hoeken van 34°, 42° en 104°.
Elke gelijkbenige driehoek is gelijkzijdig.
Elke rechthoekige driehoek is scherphoekig.
Er bestaat een gelijkbenige driehoek met een basishoek van 90°. 2
Elke gelijkzijdige driehoek is scherphoekig.
Elke gelijkbenige driehoek is scherphoekig.
Een rechthoekige driehoek kan gelijkbenig zijn.
Een stomphoekige driehoek is nooit gelijkbenig.
Als de drie hoeken van een driehoek gelijk zijn, is de driehoek gelijkbenig.
Er bestaat een rechthoekige driehoek met een hoek van 100°.
Er bestaat een driehoek met een hoek van 179°.
23 Teken een driehoek KLM.
m is de middelloodlijn van [​ KL ]​en k is de middelloodlijn van [​ KM ]​.
•K
3
k
4
58
Driehoeken
m
24 Hoe hoog is de boom?
Aangezien een geodriehoek een gelijkbenige driehoek is, kun je hem gebruiken
als hulpmiddel om de hoogte van gebouwen, bomen … te bepalen.
Dat doe je zo: ga op een plaats staan waar je de top van de boom kunt zien in het
verlengde van de schuine zijde van de geodriehoek (zie tekening).
Stel dat jouw lengte (h) 1,70 meter is en dat je op 10 meter van de boom staat.
Hoe hoog is de boom dan?
1
2
h
3
25 Teken de volgende driehoek over zonder te meten met je lat.
4
1.9 Bespreking van de gelijkzijdige driehoeken
59
SAMENVATTING
Som van de hoeken in een driehoek
B
1
a
c
A
Eigenschap
C
b
De som van de hoeken van een driehoek is 180°.
^ |​+ |​ C​ 
|​ A​ 
​  ^ |​+ |​ ​ B​ 
​  ^ |​= 180°
Driehoeksongelijkheid
Eigenschap
In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan
de som van de lengten van de twee andere zijden.
2
a < b + c b < c + a c < a + b
Gelijkbenige driehoek
A
Definitie
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met ten
minste twee even lange zijden.
3
B
C
|​ AB |​= |​ AC |​
Eigenschap
In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even
groot.
^ |​= |​ C​ 
|​ ​ B​ 
​  ^ |​
4
60
Driehoeken
Gelijkzijdige driehoek
B
60°
60°
Definitie
60°
C
A
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie
even lange zijden.
1
​| AB |​= |​ BC |​= |​ CA |​
Eigenschap
In een gelijkzijdige driehoek zijn de hoeken even
groot.
^ |​= |​ C​ 
|​ A​ 
​  ^ |​= |​ ​ B​ 
​  ^ |​= 60°
2
Rechthoekige driehoek
B
Definitie
A
C
Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één
rechte hoek.
|​ A​ 
​  ^ |​= 90°
3
Eigenschap
In een rechthoekige driehoek is de som van de scherpe
hoeken 90°.
^ |​+ |​ C​ 
|​ ​ B​ 
​  ^ |​= 90°
4
Samenvatting
61
Notities
1
2
3
4
62
Driehoeken
Notities
1
2
3
4
Notities
63
Notities
1
2
3
4
64
Driehoeken
INTEGRAAL
www.plantyn.com/integraal
INTEGRAAL
SNEAK PREVIEW
DEEL 3
HOOFDSTUK 1
1 MEETKUNDE
LEERWERKBOEK
Wat vindt u van
deze preview?
Laat het ons weten op
http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal
WISKUNDE VOOR GO!
Integraal cover marketing.indd 1
3/04/14 09:54