berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
In de edities 7 en 8 was er in de slotdelen van VWO B1 ruimte
genomen voor een paragraaf over het berekenen van een zwaartepunt.
In de negende editie is er voor gekozen dit achterwege te laten, de
vrijgekomen ruimte is benut voor extra verdieping over
Riemannsommen.
In de eindtermen komt het berekenen van een zwaartepunt voor als
een toepassing van het integreren. Het gaat hierbij niet om het kennen
van het natuurkundige begrip zwaartepunt, of het opstellen van de
integraal, maar om het kunnen berekenen van een bepaalde integraal.
In de afgelopen jaren is er één keer bij een examen een vraag geweest
over het zwaartepunt ( VWO B1, B12, 2008-II). De betreffende
opdracht staat hieronder.. Ook hier ligt de nadruk niet op het
opstellen van de integraal maar op een (relatief eenvoudige)
berekening.
In de examentrainer van Moderne wiskunde vwo B is er ook aandacht
voor het zwaartepunt. Deze informatie is toegevoegd.
Voor eventuele als extra oefening is er over dit onderwerp materiaal
uit MW8 beschikbaar wat nog iets verder gaat.
Opdracht examen vwo B1, B12, 2008-II
Een zwaartepunt
Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en
straal 1 is het kwart getekend dat in het eerste
kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de
functie f die gegeven is door f ( x) = 1 − x 2 op het
domein [0, 1].
We wentelen het kwart van de cirkelschijf om de x-as.
Het omwentelingslichaam dat dan ontstaat is een halve bol.
Het zwaartepunt van de halve bol ligt op de positieve
x-as. Voor de x-coördinaat z x van dit zwaartepunt
M
geldt: z x =
V
1
met M = π ∫ x ⋅ ( f ( x)) 2 dx
0
en V is de inhoud van de halve bol.
De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan
Bereken z x exact.
Examen vwo B1, B12, 2008-II
4
3
πr 3 .
Moderne wiskunde
Examentrainer
vwo wiskunde B CE 2011 Slim Slagen
Wim Doekes
Hielke Peereboom
Noordhoff Uitgevers 
Examentr. VWO B DEF.indb 1
12-03-2010 14:31:21
De belangrijkste onderwerpen slim uitgelegd Herhalen
123
Voorbeeld
Bereken de lengte van de grafiek van f ( x) = ln x tussen de punten met x = 1 en x = e 2.
Geef het antwoord in één decimaal nauwkeurig.
f ′( x) =
1
⇒L=
x
e2
∫
0
2
1
1 +   dx =
 x
e2
∫
0
1+
1
dx
x2
Benaderen op de rekenmachine:
TI83/84: Y1 = √(1+1/X2), dan CALC, optie 7, lower limit 1, upper limit e2, geeft L ≈ 6, 79.
Casio: Y1 = √(1+1/X2), GSolv, ∫ dx, lower: 1, upper e2, geeft L ≈ 6, 79.
Voorbeeld
 x = 3 cos 2t
Bereken de lengte van de kromme K met 
 y = 2 cos 3t
die hieronder is getekend voor t = 0 tot t = �.
π
L = ∫ (( f ′(t )) 2 + ( g ′( x)) 2 ) dt =
π
∫
0
0
π
((−6 sin 2t ) 2 + (−6 sin 3t ) 2 ) dt = ∫ 36(sin 2 2t + sin 2 3t ) dt
0
Op TI83/84: Y1 = √(36((sin(2X))2+(sin(3X))2), dan CALC, optie 7,
lower limit 0, upper limit π, geeft L ≈ 18, 0.
Op Casio: Y1 = √(36((sin(2X))2+(sin(3X))2), GSolv, ∫ dx, lower: 1, upper e2, geeft L ≈ 18, 0.
y
t=0
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
t=π
Zwaartepunt
Het zwaartepunt van een lichaam kan met integreren worden bepaald,
als het lichaam overal dezelfde dichtheid heeft en de inhoud met een
b
integraal kan worden berekend.
∫a xA( x) dx
Ten opzichte van een gekozen oorsprong geldt: xZ = b
∫ A( x) dx
a
Voorbeeld
Bereken het zwaartepunt van de halve bol met straal 6.
Op afstand x van de oorsprong geldt r 2 + x 2 = 62 ⇒ r 2 = 36 − x 2 dus
6
6
0
6
0
∫ A( x) dx = π∫ (36 − x ) d x = π[36 x −
2
6
6
1
3
0
0
0
π(648 − 324) = 324π.
324 π 9
Hieruit volgt xZ =
= = 2 14 .
144 π 4
Examentr. VWO B DEF.indb 123
z
6
x 3 ]60 = π (216 − 72) = 144 π
∫ xA( x) dx = π∫ x(36 − x ) dx = π∫ (36 x − x ) d x = π[18 x
2
© Noordhoff Uitgevers bv
waarbij A( x) de oppervlakte is van de doorsnede loodrecht op de x-as.
3
2
− 14 x 4 ]60 =
6
x
y
-6
12-03-2010 14:37:48
JOBNAME: MW8.vwo.b1.deel4 PAGE: 9 SESS: 16 OUTPUT: Mon Dec 18 08:14:08 2006
/een/wolters/301/706/103a3
Hoofdstuk Analyse_ 3
Toegepaste
analyse
Omwentelingslichamen
3_3
Als een gebied, ingesloten door de grafiek van een functie f en de
x-as, om de x-as wordt gewenteld dan ontstaat een ruimtelijke
figuur waarvan alle verticale doorsneden cirkelvormig zijn. Hoe
bereken je de inhoud van deze figuur?
16
a
b
c
d
Gegeven is de functie f 共x兲 ⫽ 1 ⫺ x 2 met domein 关⫺1, 1兴.
Het gebied ingesloten door de grafiek van f en de x-as wordt
om de x-as gewenteld.
Bij x ⫽ 0,4 is in het omwentelingslichaam een cirkel
getekend. Leg uit dat de straal van deze cirkel gelijk is aan
f 共0,4兲.
Leg uit dat bij elke waarde van x de oppervlakte van de
bijbehorende cirkel gelijk is aan ␲共f 共x兲兲2 ⫽ ␲共1 ⫺ x 2兲2
Je kunt de inhoud van het omwentelingslichaam benaderen
met de Riemann-som 兺 ␲共1 ⫺ x 2兲2⌬x
Benader de inhoud voor ⌬x ⫽ 0,2
Leg uit dat de exacte inhoud van de ruimtelijke figuur gelijk
1
y
f
–1
0,4
O
1
x
1
is aan 兰 ␲共1 ⫺ x 2兲2 dx
⫺1
e
T
H
E
O
R
I
E
Bereken de exacte inhoud van het omwentelingslichaam.
–1
Als een gebied, ingesloten door de grafiek van een functie
f, de x-as en de lijnen x ⫽ a en x ⫽ b, om de x-as wordt
gewenteld ontstaat een omwentelingslichaam.
De inhoud van dit lichaam bereken je met de integraal
y
f
b
兰 ␲共f 共x兲兲2 dx
a
Voorbeeld
x
O
a
x
b
Het gebied ingesloten door de grafiek van de functie f met f(x) = √x,
de lijnen x = 1 en x = 4 en de x-as wordt gewenteld om de x-as.
Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
Oplossing
b
4
4
∫π(f(x))2 dx = 1∫π(√x)2 dx = 1∫πx dx =
a
58
1
4
1
1
–π
x2 = 8π – –π
= 7–π
2
2
2
1
oppervlakte cirkel = π(f(x))2
JOBNAME: MW8.vwo.b1.deel4 PAGE: 10 SESS: 13 OUTPUT: Mon Dec 18 08:14:08 2006
/een/wolters/301/706/103a3
Hoofdstuk Analyse_3
Toegepaste
analyse
17
a
b
Gegeven is de functie f 共x兲 ⫽ x ⫺ 13 x 2
Plot de grafiek van f en bereken exact de nulpunten.
Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de x-as wordt
gewenteld om de x-as. Bereken exact de inhoud van het
omwentelingslichaam.
18
Het gebied, ingesloten door de grafiek van de functie g共x兲 ⫽ sin x met
domein 关0, ␲兴 en de x-as, wordt gewenteld om de x-as.
Stel de integraal op waarmee je de inhoud van het omwentelingslichaam
kunt berekenen.
Laat zien dat sin 2 x ⫽ 12 ⫺ 12 cos 2x
Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
a
b
c
19
a
b
c
20
a
b
c
21
Gegeven zijn de functie f 共x兲 ⫽ 3x en de lijnen
x ⫽ 4 en y ⫽ 12.
Als het rode gebied wordt gewenteld om de
y-as ontstaat ook een omwentelingslichaam. Om
de inhoud daarvan te berekenen moet je de
figuur spiegelen in de lijn met vergelijking
y ⫽ x.
Welke functie g hoort bij het spiegelbeeld van
de grafiek van f ?
Leg uit dat het integratie-interval 关0, 12兴 wordt.
Bereken exact de inhoud van het
omwentelingslichaam uit opdracht a.
y
12
10
f
8
y=x
6
4
g
2
O
Een omwentelingslichaam ontstaat door het
x
gebied begrensd door de grafiek van
f 共x兲 ⫽ ln 共x ⫹ 1兲, de y-as en de lijn y ⫽ 2 te
g(x)
wentelen om de y-as. Om de inhoud te
berekenen wordt de tekening gespiegeld in de
lijn y ⫽ x en wordt het nieuwe gebied om de
x-as gewenteld. De functie g hoort bij het
spiegelbeeld van de grafiek van f.
Neem de pijlenkettingen over, vul deze in en stel het
functievoorschrift van g op.
Wat wordt het integratie-interval?
Stel de integraal op voor de inhoud en bereken de inhoud.
1
2
+1
3
4
5
ln
…
6
7
8
9
10
11
12
x
f(x)
…
x
Het gebied ingesloten door de grafiek van de functie
h共x兲 ⫽ 冪x ⫺ 1, de x-as, de y-as en de lijn y ⫽ 2 wordt
gewenteld om de y-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.
59
JOBNAME: MW8.vwo.b1.deel4 PAGE: 11 SESS: 16 OUTPUT: Mon Dec 18 08:14:08 2006
/een/wolters/301/706/103a3
Hoofdstuk Analyse_ 3
Toegepaste
analyse
Zwaartepunt
3_4
In veel natuurkundige berekeningen kun je de massa van een figuur
vervangen door een puntmassa. Wat is de plaats van die
puntmassa?
22
a
b
c
23
Het moment M van een puntmassa ten opzichte van een vast
punt is het product van de kracht die op de massa werkt en
de afstand van de massa tot het vaste punt. In de figuur
hiernaast bevinden zich op de x-as drie puntmassa’s. De
afstanden zijn in meters.
Laat met een berekening zien dat het totale moment M van deze
drie puntmassa’s ten opzichte van de oorsprong 20 Nm is.
Deze drie puntmassa’s kunnen worden vervangen door één
puntmassa waarop een kracht van 9 N werkt. Deze puntmassa
ligt op de x-as op een afstand a van de oorsprong, zodanig
dat deze puntmassa hetzelfde moment M oplevert.
Bereken a.
Toon met een berekening aan dat de plaats van de puntmassa
gelijk blijft als de momenten berekend worden ten opzichte
van het vaste punt 共⫺2, 0兲.
Gegeven zijn de functies f 共x兲 ⫽ x 2 ⫹ 3 en g共x兲 ⫽ ⫺x 2 ⫺ 3
Het gebied V wordt ingesloten door de grafieken van f en g,
de y-as en de lijn x ⫽ 6.
Het gebied V wordt opgedeeld in rechthoekjes met breedte
⌬x. De oppervlakte van zo’n rechthoekje is bij benadering
gelijk aan 2 . f 共x兲 . ⌬x. Vat elk rechthoekje van het gebied op
als een puntmassa op de x-as waarop een kracht werkt die
even groot is als de oppervlakte van het rechthoekje.
Het moment ten opzichte van de oorsprong is 2x . f 共x兲 . ⌬x
6
De totale kracht K is dan 兰 2 . f 共x兲 . dx. Het totale moment
y
1
2
O
3
3N
5N
y
f
O
1
2
3
4
5
0
M van het gebied ten opzichte van de oorsprong is dan
6
兰 2x . f 共x兲 . dx
0
a
b
60
Bereken exact K en M.
Het gebied kan vervangen worden door één puntmassa op de
x-as waarop kracht K werkt en met moment M. De plaats van
dat punt op de x-as heet het zwaartepunt. Bereken de plaats
van het zwaartepunt.
x
1N
g
6
x
JOBNAME: MW8.vwo.b1.deel4 PAGE: 12 SESS: 16 OUTPUT: Mon Dec 18 08:14:08 2006
/een/wolters/301/706/103a3
Hoofdstuk Analyse_3
Toegepaste
analyse
24
De piramide hiernaast heeft een vierkant grondvlak met zijde 4,
de hoogte is 8. Het zwaartepunt ligt op de symmetrieas TN.
Neem aan dat een eenheidskubus een kracht van 1 N
uitoefent naar rechts. Deel de piramide op in plakjes met
dikte ⌬x. Op hoogte x geldt voor de oppervlakte O, de
inhoud I en het moment M van zo’n plakje achtereenvolgens:
O ⫽ 共4 ⫺ 12 x兲2, I ⫽ 共4 ⫺ 12 x兲2 . ⌬x en M ⫽ x . 共4 ⫺ 12 x兲2 . ⌬x
T
x
8
De totale kracht is K ⫽ 兰 共4 ⫺ 12 x兲2 dx
0
a
b
T
H
E
O
R
I
E
25
a
b
8
Het totale moment is M ⫽ 兰 x共4 ⫺ 12 x兲2 dx
0
Bereken K en M.
De piramide kan vervangen worden door één puntmassa op
de as TN waarop kracht K werkt en met moment M. Deze
plaats op de as TN is het zwaartepunt. Bereken de plaats van
het zwaartepunt.
D
C
4
N
4
A
B
Ruimtelijke figuren met een symmetrieas kun je opdelen in stukjes
waarvan het zwaartepunt op een symmetrieas ligt. In zo’n geval kun je het
totale moment M ten opzichte van een vast punt berekenen met een
integraal.
De figuur kan dan vervangen worden door een puntmassa waarop dezelfde
totale kracht K werkt. Het zwaartepunt ligt zodanig dat het moment van de
puntmassa gelijk is aan het totale moment M van de figuur. Als het
zwaartepunt op een afstand d van de oorsprong ligt geldt: d ⫽ M
K
Een kegel heeft een grondcirkel met straal 4, de hoogte is 12.
Neem aan dat een eenheidskubus een kracht van 1 N
uitoefent naar rechts.
Bereken de plaats van het zwaartepunt.
Controleer dat het zwaartepunt op 14 deel van de hoogte ligt.
12
4
26
a
b
c
27
De grafieken van f 共x兲 ⫽ 冪x, g共x兲 ⫽ ⫺冪x en de lijn x ⫽ a met
a ⬎ 0 sluiten een gebied V in.
Neem a ⫽ 5 en bereken de plaats van het zwaartepunt van V.
Voor welke waarde van a ligt het zwaartepunt van V op
afstand 4 van de oorsprong?
De afstand van het zwaartepunt tot de oorsprong is d.
Druk d uit in a.
Het gebied uit de opdracht 23 wordt om de x-as gewenteld.
Onderzoek met berekeningen of de plaats van het zwaartepunt gelijk is aan
de plaats van het zwaartepunt in opdracht 23b.
61
Uitwerkingen bij
3_3 Omwentelingslichamen
16
a De straal van de cirkel is gelijk aan de verticale afstand van de x-as tot het
punt op de grafiek van f met x = 0, 4 . Deze afstand is gelijk aan f(0, 4) , dus de
straal van de cirkel is f(0, 4)
b opp. cirkel = π ⋅ r2 met r = f(x) = 1 − x2 . Dan is opp. cirkel = π ⋅ (1 − x2 )2
c Neem x van -1 tot en met 1 met stapgrootte 0,2.
Dan is de Riemann-som gelijk aan
π ⋅ (1 − ( −1)2 )2 ⋅ 0,2 + π ⋅ (1 − ( −0,8)2 )2 ⋅ 0,2 + π ⋅ (1 − ( −0,6)2 )2 ⋅ 0,2 + … + π ⋅ (1 − (1)2 )2 ⋅ 0,2
Dit levert op:
π ⋅ (0 ⋅ 0,2 + 0,1296 ⋅ 0,2 + 0, 4096 ⋅ 0,2 + … + 0 ⋅ 0,2) = π ⋅ 1, 06656 ≈ 3,35
d Het omwentelingslichaam bevat alle cilindertjes met dikte dx die tussen x = −1
en x = 1 vallen. Elk van deze cilindertjes heeft inhoud π ⋅ (1 − x2 )2 ⋅ dx
e Eerst: (1 − x2 )2 = (1 − x2 )(1 − x2 ) = 1 − 2x2 + x 4
1
Dan is
∫ π ⋅ (1 − x
) dx =
2 2
−1
Dit geeft π ⋅
17
8
15
1
∫ π ⋅ (1 − 2x
−1
−π⋅−
8
15
=
16
15
1
+ x 4 ) dx =  π ⋅ (x − 23 x3 + 51 x5 ) 
−1
π
a
nulpunten: x − 31 x2 = 0
3
b
∫ π ⋅ (f(x))
2
0
x(1 − 31 x) = 0
3
a
x=0
x =3
3
dx = ∫ π ⋅ (x − 31 x2 )2 dx = ∫ π ⋅ (x2 − 23 x3 + 91 x 4 ) dx
0
0
Dit geeft  π ⋅ ( 31 x3 − 61 x 4 +
18
2
π
π
0
0
1
45
3
x5 )  = π ⋅ 109 − π ⋅ 0 =
0
9
10
π
2
2
∫ π ⋅ (f(x)) dx = ∫ π ⋅ (sin x) dx
b Met behulp van de verdubbelingsformule voor cos2x:
cos2x = 1 − 2 ⋅ (sin x)2 2 ⋅ (sin x)2 = 1 − cos2x (sin x)2 = 21 − 21 cos2x
c
π
π
0
0
π
2
∫ π ⋅ (sin x) dx = ∫ π ⋅ ( 21 − 21 cos2x) dx = π ⋅ ( 21 x − 41 sin2x)  0
Dan is de inhoud π ⋅ ( 21 π − 0) − π ⋅ (0 − 0) = 21 π2
vwo B1 deel 4 — Analyse_3 — Toegepaste analyse
19
a Omdat y = 3x geldt x = 31 y . De functie g is dan g(x) = 31 x
b x loopt van 0 tot 4. Omdat x = 31 y loopt y dan van 0 tot 12.
c
12
12
12
0
0
0
12
2
2
2
3
∫ π ⋅ (f(x)) dx = ∫ π ⋅ ( 31 x) dx = ∫ π ⋅ ( 91 x ) dx = π ⋅ 271 x  0
De inhoud is dan π ⋅ 64 − π ⋅ 0 = 64π
20
a
x
→
→
+1
−1
g(x) ←
→ f(x)
ln
e
←
← x
g(x) = e x − 1
b Van x = 0 tot x = 2 dus [ 0,2]
2
c
2
0
0
Dan  π ⋅ ( e
1
2
21
2
x
2
2x
x
2
∫ π ⋅ (g(x)) dx = ∫ π ⋅ (e − 1) dx =∫ π ⋅ (e − 2e + 1) dx
2x
0
2
− 2e + x)  = π ⋅ ( e 4 − 2e2 + 2) − π ⋅ ( 21 − 2 + 0) = π ⋅ ( 21 e 4 − 2e2 + 3 21 )
Er geldt: y = x − 1
x
1
2
0
y2 = x − 1
x = y2 + 1
Spiegel de grafiek van f in de lijn y = x , dan krijg je dus de grafiek van
g(x) = x2 + 1 . De grenzen zijn x = 0 en x = 2 .
Dan:
2
2
0
0
2
2
2
2
4
2
∫ π ⋅ (g(x)) dx = ∫ π ⋅ (x + 1) dx = ∫ π ⋅ (x + 2x + 1) dx
0
2
11
11
) − π ⋅ (0) = 13 15
π
De inhoud is dan  π ⋅ ( x + x + x)  = π ⋅ (13 15
0
1
5
5
2
3
3
vwo B1 deel 4 — Analyse_3 — Toegepaste analyse
Uitwerkingen bij
3_4 Zwaartepunt
22
a
M1 = 3 N ⋅ 1 m = 3 Nm , M2 = 1 N ⋅ 2 m = 2 Nm en M3 = 5 N ⋅ 3 m = 15 Nm
Dan is het totale moment M = 20 Nm
b 9 = 20 ⋅ a
a=
20
9
m = 2 29 m
c Dan is M1 = 3 N ⋅ 3 m = 9 Nm , M2 = 1 N ⋅ 4 m = 4 Nm en M3 = 5 N ⋅ 5 m = 25 Nm
Dan is M = 38 Nm en a =
38
9
m = 4 29 m .
Omdat dit ten opzichte van het punt (–2, 0) is, blijft de plaats dezelfde,
namelijk 2 29 m rechts van de oorsprong O.
6
23
6
6
a K = ∫ 2 ⋅ f(x) dx = ∫ 2 ⋅ (x2 + 3) dx = ∫ (2x2 + 6) dx
0
0
0
6
Dit geeft  23 x + 6x  = 180 − 0 = 180
0
3
6
6
6
M = ∫ 2x ⋅ f(x) dx = ∫ 2x ⋅ (x2 + 3) dx = ∫ (2x3 + 6x) dx
0
0
0
6
Dit geeft  x + 3x  = 756 − 0 = 756
0
1
2
b M = d ⋅K
4
2
756 = d ⋅ 180
d=
756
180
= 4 51
Het punt (4 51 , 0) is het zwaartepunt.
24
a Eerst: (4 − 21 x)2 = (4 − 21 x)(4 − 21 x) = 16 − 4x + 41 x2
8
8
0
0
Dan: K = ∫ (4 − 21 x)2 dx = ∫ (16 − 4x + 41 x2 ) dx
en dan volgt K = 16x − 2x2 +
1
12
8
x3  = 42 23 − 0 = 42 23
0
Vervolgens: x(4 − 21 x)2 = x(16 − 4x + 41 x2 ) = 16x − 4x2 + 41 x3 dus
8
M = ∫ (16x − 4x2 + 41 x3 ) dx = 8x2 − 34 x3 +
0
b M = d ⋅K
85 = d ⋅ 42
1
3
2
3
a
8
x 4  = 85 31 − 0 = 85 31
0
d=2
TN = 8 dus het zwaartepunt ligt op
25
1
16
2
8
=
1
4
van de hoogte van de piramide.
opp. bodem = π ⋅ r2 = π ⋅ 42 = 16π
Dan is K = I = 31 ⋅ G ⋅ h = 31 ⋅ 16π ⋅ 12 = 64 π
Als h = 0 is r = 4 en als h = 12 is r = 0 . Dus als h met 12 toeneemt, neemt r
met 4 af. Ofwel: als h met 1 toeneemt, neemt r met 124 = 31 af. Dan is r = 4 − 31 h .
Vervolgens:
vwo B1 deel 4 — Analyse_3 — Toegepaste analyse
M=
12
2
∫ h ⋅ π ⋅ (4 − 31 h) dh =
12
2
∫ π ⋅ h ⋅ (4 − 31 h) dh =
0
M=
0
12
∫ π ⋅ (16h −
8
3
12
∫ π ⋅ h ⋅ (16 −
8
3
h + 91 h2 ) dh
0
h2 + 91 h3 ) dh =  π ⋅ (8h2 − 98 h3 +
1
36
h4 ) 
0
12
0
= 192π − 0 = 192π
192π
= 3 dus het zwaartepunt ligt op hoogte 3.
64 π
De hoogte van de kegel is 12, dus het zwaartepunt ligt inderdaad op 123 = 41 deel
b M = d ⋅K
192π = d ⋅ 64 π
d=
van de hoogte.
a
26
x = x 0,5 en opp. V = 2 ⋅ ∫ f(x) dx
a Om te beginnen:
0
5
5
5
Dan: K = 2 ⋅ ∫ f(x) dx = 2 ⋅ ∫ x 0,5 dx = 2 ⋅  23 x1,5  ≈ 2 ⋅ (7, 45 − 0) ≈ 14, 9
0
0
0
5
5
0
0
5
M = 2 ⋅ ∫ x ⋅ f(x) dx = 2 ⋅ ∫ x1,5 dx = 2 ⋅  25 x2,5  ≈ 2 ⋅ (22, 36 − 0) ≈ 44, 7
Dan is d =
0
44, 7
= 3 , het zwaartepunt ligt op afstand 3 van de oorsprong.
14, 9
a
a
a
b K = 2 ⋅ ∫ f(x) dx = 2 ⋅ ∫ x 0,5 dx = 2 ⋅  23 x1,5  = 2 ⋅ 23 ⋅ a1,5 =
0
0
0
a
a
0
0
4
3
a1,5
M = 2 ⋅ ∫ x ⋅ f(x) dx = 2 ⋅ ∫ x1,5 dx = 2 ⋅  25 x2,5  a = 2 ⋅ 25 ⋅ a2,5 =
a2,5
4
5
M
= 4 M = 4 ⋅K
K
= 4 ⋅ 34 a1,5 Deel links en rechts door a1,5 dan volgt
Als d = 4 geldt
Dan is
4
5
4
5
a2,5
a = 4 ⋅ 34
c K=
4
3
4
5
a=
a1,5 en M =
4
5
6
27
a=
16
3
20
3
= 6 23
a2,5 (zie onderdeel b). Dan is d =
6
M
=
K
4
5
a2,5
4
3
1,5
a
=
4
5
4
3
⋅
a2,5 3
= 5a
a1,5
6
K = ∫ π ⋅ (f(x))2 dx = ∫ π ⋅ (x2 + 3)2 dx = ∫ π ⋅ (x 4 + 6x2 + 9) dx
0
0
0
6
Dit geeft  π ⋅ ( x + 2x + 9x  = 2041, 2π − 0 = 2041, 2π
0
1
5
5
6
3
6
6
M = ∫ x ⋅ π ⋅ (f(x))2 dx = ∫ π ⋅ x ⋅ (x2 + 3)2 dx = ∫ π ⋅ (x5 + 6x3 + 9x) dx
0
0
0
6
Dit geeft  π ⋅ ( 61 x + 1, 5x + 4, 5x  = 9882π − 0 = 9882π
0
9882π
Nu is d =
≈ 4, 84 . De plaats van het zwaartepunt is nu anders.
2041, 2π
6
4
2
vwo B1 deel 4 — Analyse_3 — Toegepaste analyse