Hoofdstuk 1 : Hoeken

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-1 -
Hoofdstuk 1 : Hoeken
Complementaire hoeken ( boek pag 7)
Twee hoeken zijn complementair als .............................. van hun hoekgrootten .......... is.
Supplementaire hoeken ( boek pag 7)
Twee hoeken noemen we supplementair als .............................. van hun hoekgrootten
............... is.
Nevenhoeken:
Nevenhoeken zijn ....................................................... hoeken met één.......................
gemeenschappelijk.
Stelling van de nevenhoeken:
De bissectrices van twee nevenhoeken staan ......................................... op elkaar
nevenhoeken a b en b c 

x bissectrice van a b
 ⇒ ........................

y bissectrice van b c

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-2 -
Hoeken met benen paargewijs evenwijdig ( boek pag 9-10)
Hoeken waarvan de benen paarsgewijs
evenwijdig zijn in dezelfde zin zijn
.......................................................
Twee hoeken waarvan de benen paarsgewijs
evenwijdig in tegengestelde zin, zijn
..........................................................
Twee hoeken waarvan één paar benen
evenwijdig is in dezelfde zin en één paar
benen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn
elkaars ................................................
Hoeken met benen paargewijs loodrecht ( boek pag 12-13)
Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de benen
paarsgewijs loodrecht op elkaar staan zijn ........................................
Een scherpe hoek en een stompe hoek waarvan de benen
paarsggewijs loodrecht op elkaar staan zijn ....................................
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-3 -
Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn ( boek pag 16)
Bewijs + overzicht : (zie boek pag 16)
Geval 1: overeenkomstige hoeken
Beide benen ........................................ en in
........................................... zin
Geval 2 : Verwisselende binnenhoeken
Geval 3: Verwisselende buitenhoeken
Beide benen ........................................ en in
Beide benen ........................................ en in
........................................... zin
........................................... zin
Geval 4: Binnenhoeken aan eenzelfde
Geval 5: Buitenhoeken aan eenzelfde
kant
kant
Één paar benen ........................................
Één paar benen ........................................
en in ......................................... zin en één
en in ......................................... zin en één
paar benen ................................................
paar benen ................................................
en ................................................... zin
en ................................................... zin
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-4 -
Samenvatting: Middenparrallel van een driehoek
MN ......... BC
MN = ......... BC
[ MN ] is een ................................................ van de driehoek
ABC
Een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is
........................................ met de derde zijde en is .....................................
als die derde zijde.
Omgekeerd:
Een rechte, door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig
met een andere zijde getrokken, gaat door het .........................................van
de derde zijde.
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-5 -
Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek
Som hoekgrootten van een driehoek
Voor ∆ABC geldt: Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o
Buitenhoek van een driehoek (boek pag 38)
Een nevenhoek van een hoek van een driehoek noemen we een buitenhoek van die
driehoek
Stelling van de buitenhoek met symbolen
∆ ABC

 ⇒ Aˆ 1 = Bˆ + Cˆ
Aˆ 1 buitenhoek 
Samenvatting: Som van de hoekgrootten van een convexe veelhoek
Convex : ……………………………………….
Niet-convex : …………………………………..
Som hoekgrootten
Voor ∆ ABC
: …………………………………
Voor een vierhoek ABCD : …………………………………
Voor een n-hoek
: …………………………………
Formule voor de grootte van een hoek van een regelmatige
n-hoek
..............................................................................................
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-6 -
Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras
Samenvatting:
Stelling van Pythagoras:
∆ABC is rechthoekig in Aˆ
⇔ a 2 = ....................................
∆ABC is rechthoekig in Aˆ
⇔ (SCHZ )2 = ..................................
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-7 -
Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting
Rekenen in een rechthoekige driehoek
Stelling van Pythagoras :
∆ABC is rechthoekig in Aˆ
⇔ a2 = b2 + c2
∆ABC is rechthoekig in Aˆ
⇔ (SCHZ ) = (RHZ 1 ) + (RHZ 2 )
2
2
2
Lengte van de overstaande rechthoekzijde
=
Lengte van de aanliggende rechthoekzijde
AC
b
=
c
AB
Goniometrische getallen
tan α =
sin α =
Lengte van de overstaande rechthoekzijde
Lengte van de schuine zijde
cos α =
Lengte van de aanliggende rechthoekzijde
Lengte van de schuine zijde
Let op: 0 ≤ cos α ≤ 1 en 0 ≤ sin α ≤ 1
=
=
AC
b
=
a
BC
AB
c
=
a
BC
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
Eigenschappen van de goniometrische getallen: (boek pag 98)
Eigenschap 1
sin α =
cos (90o -
...........)
cos α =
sin (90o -
...........)
Eigenschap 2:
tan α =
sin α
cos α
Eigenschap 3 – !!! GRONDFORMULE !!!
sin 2 α + cos 2 α = 1
30°
45°
60°
sinus
1
2
2
2
3
2
cosinus
3
2
2
2
1
2
tangens
3
3
1
3
-8 -
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-9 -
Hoofdstuk 5 : De driehoek
Congruente figuren zijn figuren die ………………………………………
Congruentiekenmerken voor driehoeken :
Eerste congruentiekenmerk :
ZZZ
Tweede congruentiekenmerk :
ZHZ
Derde congruentiekenmerk :
HZH
Gevolg: 4e congruentiekenmerk
ZHH
Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek
de ...................................... zijde en één
...........................................................
moeten gelijk zijn.
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-10 -
Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek
Een hoogtelijn van een driehoek is de
………………………….. uit een hoekpunt van de driehoek
op de ............................................ zijde.
De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in
………………… punt : het ……………………........
Een middelloodlijn van een driehoek is een
…………………………………………….. van
die .................................
De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar
in ……………………………
Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice
van een ............................. van die driehoek
De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in
…………………… punt.
Een zwaartelijn is een rechte die door een
……………………… gaat en door het
……………………….. van de
........................................ zijde van die driehoek.
De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden
elkaar in …………………punt : het ……...................
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-11 -
Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek
Bissectricestelling :
Een bissectrice van een hoek van een driehoek
verdeelt de ................................. zijde in
stukken waarvan de lengten ...................... zijn
met de lengten van ...................................
zijden.
∆ ABC
x is bis sec trice van Aˆ
D snijpunt van x en BC


⇒


BD
DC
=
AB
AC
Stelling van het zwaartelijnstuk:
Het zwaartepunt verdeelt elk ..............................
in twee ....................................... waarvan het ene
....................................zo lang is als het andere
AZ zwaartelijn van ∆ ABC
∆ ABC met zwaartelijnstukken [ BN ], [ CP ] 

Z snijpunt BN en CP
 ⇒ AZ = 2 ⋅ ZM

M snijpunt van AZ en BZ
BZ = 2 ⋅ ZN , CZ = 2 ⋅ ZP

Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek
De ........................ van een zwaartelijnstuk naar de
......................... zijde van een rechthoekige driehoek
is de .............................. van de lengte van die
schuine zijde.
∆ ABC met Aˆ = 90 o
M is het midden van [ BC ]

1
 ⇒ AM = ⋅ BC
2

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-12 -
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
De Projectiestelling
Als twee rechten x en y scherpe hoeken met
grootte α maken dan geldt voor een lijnstuk
[AB ] en zijn loodrechte projectie [A' B' ]
op x :
A' B' = AB ⋅ cos α
Opm: De projectie bewaart het midden.
Stelling van Thales:
De projectie op een rechte behoudt de
verhouding van twee op een zelfde rechte
gelegen lijnstukken.
a // b // c // d
snijden y in A, B, C , D
snijden x in A' , B' , C ' , D'


⇒


AB
CD
=
A' B'
C ' D'
Omgekeerde stelling van Thales:
Als een rechte twee zijden van een driehoek in
evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte
evenwijdig met de derde zijde.
∆ ABC met M ∈ [ AB ] en N ∈[ AC ]
AM
MB
=
AN
NC


 ⇒

MN // BC
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-13 -
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken
Twee driehoeken zijn
gelijkvormig als paarsgewijs de
..............................................
evenredig zijn.
∆ ABC , ∆ A' B ' C '
A' B '
AB
=
B' C '
BC
=
C ' A'
CA


 ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C '


b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormige
als paarsgewijs .............................
evenredig zijn en de ..........................
.................................. even groot is.
∆ ABC , ∆ A' B' C '
A' B'
AB
Aˆ
=
C ' A'
CA
= Aˆ '



 ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B' C '



c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken
z
∆ ABC , ∆ A' B ' C '
Aˆ = Aˆ '
Bˆ = Bˆ '



 ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C '



Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
Toepassingen op gelijkvormigheid: schaal
getekende lengte
werkelijke lengte
= schaal
-14 -
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-15 -
Hoofdstuk 8 : De Cirkel
Stellingen over een koorde
De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die
koorde ..........................................
De rechte die het middelpunt verbindt met het midden van
een koorde, ................................... op die koorde.
De middelloodlijn van een koorde gaat ..........................................
Middelpuntshoeken en omtrekshoeken (boek pag 303)
Een middelpuntshoek van een cirkel is hoek waarvan het
hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het
hoekpunt gelegen is op de cirkel
en waarvan de beide benen de cirkel snijden
of waarvan één been de cirkel snijdt en een ander been de
cirkel raakt.
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-16 -
Stelling van de omtrekshoek:
In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde
boog staat.
)
)
Omtrekshoek A en middelpuntshoek O staan beide op boog [ BC ]
⇓
)
1 )
A =
O
2
Stelling: Omtrekshoek van een cirkel op eenzelfde boog
Stelling:
Alle omtrekshoeken van een cirkel die op eenzelfde boog staan zijn even groot.
) ) ) )
A, B, C , P1 zijn omtrekshoeken die op de boog [ MP ] staan
⇓
)
)
)
)
A = B = C = P1
Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent
Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde):
Meetkunde overzicht
-17 -
Omtrekshoek op een halve cirkel:
Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de benen door de grenspunten van een
middellijn gaan, is recht.
Cirkel met middellijn [AB ]
)

o
 ⇒ APB = 90
Omtrekshoek P staat op halve cirkel [ AB ] 
Omgekeerde stelling:
Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de cirkel
met dit lijnstuk als middellijn.