Bepaling van de massa van Jupiter

Bepaling van de massa van Jupiter
Aarnoud Dommisse
Jullie hebben vast wei eens in een boek een tabel
gezien met allerlei getallen over de planeten.
Vaak staat er dan hoe lang de planeet doet om
een "rondje Zon" te doen of hoe vee I de planeet
weegt. Dat is natuurlijk best leuk, maar hoe
komen ze nou in hemelsnaam aan die getallen?
Een rondje om de Zon valt door goed te kijken
waar de planeet staat nog wei te bepalen, maar
je kunt natuurlijk niet even naar een planeet
toegaan om die eventjes te wegen. In dit artikel
wordt jullie een manier verteld om de massa (het
gewicht) van Jupiter te bepalen.
Als je dingen wilt berekenen over Jupiter, dan zul
je een aantal dingen nodig hebben . Allereerst
natuurlijk foto's van de planeet. Belangrijk is, dat
de vier grote manen allemaal op de foto staan.
Deze foto's kun je uit een boek halen, maar
beter (en uiteraard ook veel leuker!!) is het om
de foto's zelf te maken. Je hebt een redelijk
aantal foto's nodig, zodat je kunt zien hoe de
maantjes zich verplaatsen. Verder heb je een
goede rekenmachine (of een computer) en
ruitjespapier nodig. Een voorbeeld van een
goede foto staat in figuur 1. Ook mogelijk is het
om een kaartje uit de Sterrengids (te bestellen bij
Stichting De Koepel) te nemen (zie figuur 3). Het
computerprogramma SkyMap kan ook een
"foto" maken van Jupiter en zijn maantjes.
..
-.
..
.
Fiauur 1 Jupiter en zijn manen
Van de eerste foto kies je een maantje uit. Met
deze maan gaan we nu verder rekenen. Let dus
goed op dat je op elke foto dezelfde maan
gebruikt! Mocht je de Sterrengids gebruiken,
dan is dit allemaal al voor je gedaan.
Eerst moet je op de foto's met een liniaal de
afstand van het midden van Jupiter tot het
midden van de maan opmeten. Als de maan
rechts van Jupiter staat, moet je een minteken
voor de afstand zetten. Hoe preciezer je de
afstand opmeet, hoe nauwkeuriger je straks de
massa van Jupiter hebt.
UniVersum 1 - 1998
Als je dit bij aile foto's gedaan hebt, dan moet je
de getallen in een grafiek zetten. Op de X-as
(horizontale as) zet je nu de tijd in dagen neer.
De eerste foto is bijvoorbeeld dag 0, als de
tweede foto twee dagen later is genomen,
wordt dat dag 2 enzovoort. Op de Y-as (verticale
as) zet je bij elke dag wat de afstand tot Jupiter
was op die dag. Nu moet je (of evt. de
computer) zo goed mogelijk proberen om een
lijn als een zogenaamde sinus door de punten te
tekenen. Wat een sinus precies is, is niet zo
belangrijk, maar in figuur 2 kun je zien hoe de
grafiek eruit zou moeten zien. Hoe meer foto's
je hebt, hoe beter de sinus te maken is.
Figuur 2 Een sinus
c
15,00
..a e
10,00
III C
III I'll
III I'll
"Oc
:; ::-
5,00
llc
I'll III
0,00
C ...
-5,00
_N
III.!!
-.III
E
Q.
::J
111-'
CI
periodetijd
-10,00
-15,00
tijd
In deze grafiek die zo ontstaan is, moeten we nu
het hoogste punt bepalen. Dit kun je eenvoudig
in de grafiek zien. Uit dit hoogste punt kun je
namelijk de afstand van de maan tot Jupiter
berekenen. Behalve deze afstand in de grafiek
heb je nog twee getallen nodig.
De schaal van de foto.
In een boek is deze eventueel gegeven. Anders
moet je deze zelf uitrekenen. Dit kan door de
echte diameter van Jupiter (in boogseconden) te
delen door de diameter op de foto (in
millimeter) (Als Jupiter in oppositie is (dus dicht
bij de aarde staat, in oktober '99) is de planeet
ongeveer 0,75 boogminuut groot. Een half jaar
eerder een halve boogminuut. Tussen deze
waarden zal dus het aantal boogseconden
liggen.)
De afstand tussen Jupiter en de aarde op het
moment dat de foto's gemaakt werden .
_ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __
_ _ _"'c.,. '".. c..c."''"''.
~
__"'
.
~
(In Astronom ische Eenheden) In
oppositie is deze afstand ongeveer 3
AE, als Jupiter juist achter de zon
staat, is deze afstand 2 AE meer, dus
zo'n 5 AE .
In SkyMap zlJn beide gegevens
overigens op te zoeken op elk
willekeurig tijdstip .
Je moet nu de afstand van het
hoogste punt van de grafiek
vermenigvuldigen van de schaal van
de foto's en daarna met de afsta'nd
van de aarde tot Jupiter. De uitkomst
hiervan deel je door 206265.
Ais het goed is heb je nu de afstand
van Jupiter tot de maan
Wat je nu moet doen, is de
periodetijd bepalen van de maan . De
periodetijd is de tijd die de maan
nodig heeft om een keer om Jupiter
heen te bewegen. In de grafiek is dit
eenvoudig af te lezen. In figuur 1 kun
je zien wat de periodetijd precies is. De
periodetijd moet je echter opgeven in
jaren. Dus als de periode 6.3 dagen is
(zoals in figuur 1), dan is dat
6.3 / 365 = 0.017 jaar.
Nu de afstand van de maan tot Jupiter
en de periodetijd bekend is, kun je de
massa van Jupiter berekenen . Het is de
afstand van de maan tot Jupiter in de
derde macht gedeeld door de
periodetijd in het kwadraat. Ais we de
periodetijd P noemen en de afstand A
dan moet je in je rekenmachine
intoetsen :
Dit wordt de derde wet van Kepler
genoemd. Het getal dat je nu hebt, is
de massa van Jupiter. Dat het zo'n
klein getal is, komt omdat dit de
massa in Zonsmassa's is (en de Zon is
natuurlijk veel zwaarder) Ais je de
massa van Jupiter in kilogram wilt
weten , dat moet je het getal dat je
hebt gekregen nog vermenigvuldigen
met 1,989 * 10 30 (Dat is 1989 met
nog 27 nullen, zo zwaar is de Zon
dus!) .
Ais het goed is, heb je nu een getal
gekregen dat in de buurt van de
1,90 * 10 27 kilogram ligt. Je ziet, dat
de zon nog iets van 1000 keer
zwaarder is dan onze zwaarste
planeet...
Om een wat nauwkeurigere uitkomst
te krijgen, kun je deze berekeningen
het beste voor aile vier de maantjes
doen en dan het gemiddelde nemen
van je uitkomsten .
Zoals je ziet, heb je behalve een paar
goede foto's nog wat andere
gegevens nodig om de massa an een
planeet te bepalen . Je kunt je
voorstellen dat dat vroeger enorm veel
tijd kostte. Maar gelukkig is het nu
wat eenvoudiger. Hopelijk lukt het je
om een keertje in de buurt te komen
van de "echte" waarde. Succes!
figuur 3
(P x P x P)/(A x A)
I
,"
UniVersum 1 - 1998