Transfer functions

Inleiding Meten
8E020
De Meetcyclus
Control
en/of
Feedback
Object
Signaal
Meting
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
Analyse
Informatie
De Meetcyclus
Control
en/of
Feedback
Object
Signaal
Meting
Analyse
Informatie
Transfer function
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
3
Transfer functions - overview
• In colleges 3 en 4 lag de focus op het
beschrijven van een signaal in termen van
sinussen en cosinussen met verschillende
frequenties en fasen
• Het gedrag van een elektrisch circuit
(meetsysteem) kan worden beschreven met
een transfer function (overdrachtsfunctie)
• Transfer function is frequentie afhankelijk!
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
4
Transfer fuctions - overview
• Inleiding complexe getallen
• Transfer functies van schakelingen met alleen
weerstanden zijn onafhankelijk van de frequentie
• Transfer functies van schakelingen met
condensatoren en/of spoelen zijn frequentieafhankelijk
• Definitie: complex impedance
• Frequentie-afhankelijke transfer functie wordt
beschreven m.b.v. complexe getallen
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
5
Complex Numbers
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
6
Complex numbers
j 2  1 ofwel j  1
c  a  j b
Re(c)  a
Im(c)  b
j
c

b
a
c  a 2  b 2 is de afstand tot de oorsprong
b
  arctan   is de hoek van de vector met positieve x-as
a
c  c  cos   j  sin  
1
j
j
j

 2 
j
j j j j
1
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
7
Complex numbers
• Uit de gegeven definities volgt
c1 a  bj
| c1 |
c 
| c |
and
en c  c1  c2
c2 d  ej
| c2 |
c  c1  c2  (a  bj )(c  dj ) | c || c1 |  | c2 | and
en c  c1  c2
Cardiovascular
Research Institute8E020
Maastricht
College 6
Inleiding(CARIM)
Meten
8
Complex numbers
c
c1 a  bj
|c |

| c | 1
c2 d  ej
| c2 |
a  bj a  bj d  ej (a  bj )  (d  ej ) ad  aej  bdj  be (ad  be)  (bd  ae) j
c





2
2
d  ej d  ej d  ej (d  ej )  (d  ej )
d e
d 2  e2
(ad  be) (bd  ae)
 2 2  2 2 j
d e
d e
2 2
2 2
2 2
2 2
(
ad

be
)
(
bd

ae
)
a
d

b
e

2
abde

b
d

a
e  2abde
2
2
2
| c |  { 2 2 } { 2 2 } 
d e
d e
(c 2  d 2 ) 2
a 2 d 2  b 2e2  b 2 d 2  a 2e2 a 2 (d 2  e2 )  b 2 (d 2  e 2 ) (a 2  b 2 )(d 2  e 2 )



2
2 2
2
2 2
(d  e )
(d  e )
(d 2  e 2 ) 2
(a 2  b2 ) | c1 |2
 2 2  2 Q.E.D.
Cardiovascular
Institute Maastricht (CARIM)
(d  e ) Research
| c2 |
Complex numbers
c1 a  bj
c 
 c  c1  c2
c2 d  ej
(bd  ae)
2
2
(ad  be) (bd  ae)
(bd  ae)
d

e
c
 2
j  tan c 

2
2
2
(ad  be) (ad  be)
d e
d e
d 2  e2
If c  c1  c2 dan
then tan c  tan(c1  c2 )
Als
in general tan(c1  c2 ) 
InSince
het algemeen:
tan c1  tan c2
1  tan c1 tan c2
b e

(bd  ae)
wemoeten
thus have
to bewijzen:
proof that
 a d
We
dus
(ad  be) 1  b e
ad
Bewijs:
zelfResearch
doen Institute
Cardiovascular
(CARIM)
This undoubtedly
you canMaastricht
do for yourself
10
Transfer Functions
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
11
Transfer functions
• Electrisch domein:
– effort = voltage U
– flow = current I
• Wet van Ohm:
– U = I × R, met R de impedance
• Vaak wordt ook admittance gebruikt:
–G = 1 / R
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
12
Transfer functions
• Voorbeeld: Spanningsverschil U1 (uitgang)
over R2 kan worden beschreven in termen
van spanningsverschil U0 (ingang) en
weerstanden R1 en R2
R1
+
U0
R2
U1
-
U0
U 0 R2
R2
I
en U1  I  R2 

U0
R1  R2
R1  R2 R1  R2
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
13
Transfer functions
• Transfer functie H wordt gedefinieerd door:
U1
H
U0
• H is dus een uitdrukking voor de ratio
uitgang U1 / ingang U0
• In dit voorbeeld:
R1
+
R2
H
R1  R2
U0
R2
U1
-
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
14
Transfer functions
Voor dit voorbeeld geldt:
1. H is makkelijk te berekenen
2. H is een constante, onafhankelijk van de
frequentie van ingang U0
Ad 1: Transfer functies voor schakelingen met
veel weerstanden zijn moeilijker
Ad 2: Transfer functies voor schakelingen met
condensatoren en spoelen zijn wèl
afhankelijk van de frequentie van U0
Cardiovascular
Research Institute8E020
Maastricht
College 6
Inleiding(CARIM)
Meten
15
Transfer functions
• Voorbeeld:
R2
R1
R4
R5
U0
R3
U1
R6
• Transfer functie H = U1/U0 is moeilijker te
bepalen, maar het is niet onmogelijk
(probeer dit zelf)
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
16
Transfer functions
• Transfer functies voor schakelingen met
condensatoren en spoelen zijn wèl
afhankelijk van de frequentie van U0
• Condensatoren en spoelen zijn “buffers”:
– Condensator (capaciteit) C:
“buffer of displacement”
– Spoel (inductie) L:
“buffer of impulse”
• Transfer functies van schakelingen zonder
buffers zijn frequentie-onafhankelijk en
kunnen niet fungeren als “filter”
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
17
Transfer functions - frequency dependent
• Voorbeeld met condensator:
R1
U0
R2
C
U1
• Gedrag van een condensator (en een spoel)
is afhankelijk van de frequentie
• Transfer functie H = U1/U0 is frequentieafhankelijk
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
18
Transfer functions - frequency dependent
• Stel stroom I(t) door condensator is gegeven door:
iC  t   A cos t 
• Bereken de spanning U(t) over de condensator:
duC
iC  t   C

dt
t
1
uC  t  
iC  t 

C 0
dt  uC (0) 
A
uC  t  
sin t   uC (0) 
 C
A



Cardiovascular
uC  t  Research Institute
cosMaastricht
 t  (CARIM)
  uC (0)
 C
2

19
Transfer functions - frequency dependent
• Als de stroom amplitude A heeft, dan
heeft de spanning amplitude A/(ωC)
• Als de stroom een cosinus is, dan is
de spanning een sinus
• Dus de spanning loopt ½π achter,
ofwel de condensator introduceert een
faseverschil van −½π tussen spanning
en stroom
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
20
Transfer functions - frequency dependent
• Omdat een condensator eigenlijk een integrator
voor stroom is: blokgolf IC(t) levert zaagtand UC(t)
Blok: iC en uC, of uL en iL
uC of iL
4
Zaagtand UC(t)
2
0
-2
0
Blokgolf IC(t)
iC of uL
200
400
600
800
1000
Sinus: iC en uC, of uL en iL
4
2
Sinus UC(t)
0
Sinus IC(t)
Cardiovascular -2
Research Institute8E020
Maastricht
(CARIM)
Inleiding
0
200
400
600 Meten
800
Tijd
tijd
1000
21
Complex Impedance
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
22
Complex impedance
• Om dit gedrag met één formule te
beschrijven introduceren we de term
impedance
• Deze definitie is equivalent met de definitie
van impedance Z voor een pure dissipator
(weerstand R):
• Z = effort / flow (R = U / I)
• G = flow / effort (de admittance = 1/Z)
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
23
Complex impedance
De ratio effort / flow moet echter
twee aspecten beschrijven:
1. Verandering in amplitude
geϊntroduceerd door de condensator
2. Verandering in fase geϊntroduceerd door
de condensator
Impedance Z beschrijft beide
aspecten m.b.v. een complex getal
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
24
Complex impedance
Impedance Z is dus een complex getal:
Z = a + bj
zodanig dat
|Z| = |effort| / |flow|
arg(Z) = phase shift effort vs flow
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
25
Complex impedance
Voor een condensator wordt de
impedance gegeven door:
ZC = 1 / jωC
De admittance van een condensator
wordt gegeven door:
GC = jωC
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
26
Complex impedance
• Controle van de definitie van een impedance voor
een condensator m.b.v. een complex getal:
1
j
1
1
| ZC ||
|| 2
|| 
j |
jC
j C
C
C
• Hieruit volgt: |effort| / |flow| = 1/ωC, dus
| flow |
| effort |
C
komt overeen met sheet 20
• Phase shift Δφ is gegeven door Δφ = arg(ZC)
1
1
arg( Z c )  arg(
)  arg( 
j)
jC
C
1
1

C
tan  Research
Institute
  Maastricht

Cardiovascular
(CARIM)
komt overeen met sheet 20
27
0
2
Complex impedance
• Bij hoge frequentie, ω∞, gaat de
impedance van een condensator naar nul.
Bij hoge frequentie is de condensator dus
een shortcut
• Hoogfrequente stroom door een condensator
leidt dus niet tot een spanningsverschil
• Voor ω=0 geldt dat de impedance van een
condensator oneindig is. Dus voor ω=0 zal
er geen stroom lopen door de condensator
(het circuit is “open” bij de condensator)
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
28
Complex impedance
• Voor een spoel geldt:
– Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de
spanning amplitude AωL
– Als de stroom een cosinus is, dan loopt de
spanning ½π voor, ofwel de spoel introduceert
een faseverschil van +½π
I (t )  A cos t 
dI (t )
U (t )  L
 U (t )   L A sin t  L A sin( t )
dt
1
1
  L A cos(t   )  L A cos(t   )
2
2
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
29
Complex impedance
Voor een spoel wordt de impedance
gegeven door:
ZL = jωL
De admittance voor een spoel wordt
gegeven door:
GL = 1 / jωL
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
30
Complex impedance
• Voor ω0 gaat de impedance van een
spoel naar nul. Bij ω=0 is de spoel dus een
shortcut
• Laagfrequente stroom door een spoel leidt
dus niet tot een spanningsverschil
• Bij hoge frequentie, ω∞, geldt dat de
impedance van een spoel oneindig is. Bij
hoge frequentie zal er geen stroom lopen
door de spoel (het circuit is “open” bij de
spoel)
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
31
Complex impedance
Voor een dissipator (weerstand) wordt
de impedance gegeven door:
ZR = R
De admittance voor een weerstand
wordt gegeven door:
GR = 1 / R
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
32
Complex impedance
• De impedance voor een weerstand is
dus onafhankelijk van de frequentie
• Het gedrag van de weerstand is gelijk
voor iedere frequentie
Cardiovascular
Research Institute8E020
Maastricht
College 6
Inleiding(CARIM)
Meten
33
Working with complex impedances
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
34
Working with complex impedances
•
Notatie op basis van complexe getallen
voor impedance heeft twee voordelen:
1. Men kan rekenen met impedanties met de
rekenregels voor complexe getallen
2. Men kan rekenen met impedanties in
electrische schakelingen zoals men kan
rekenen met echte weerstanden
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
35
Working with complex impedances
• Voor N impedanties in serie geschakeld
geldt:
N
Z tot   Z k
k 1
• Voor N impedanties parallel geschakeld
geldt:
N
Gtot   Gk
k 1
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
36
Working with complex impedances
• De electrische schakeling van sheet 18
wordt nu:
Z1= R1
Zc=1/jC
U0
Z2= R2
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
U1
37
Frequency-dependent transfer
functions
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
38
Frequency-dependent transfer functions
• Beschouw Z2 en ZC als 2 parallel
geschakelde impedanties
• Z2 en ZC kunnen worden vervangen door ZV:
jCR2 1  jCR2
1
1
1
1
1



 jC 


Z v Z 2 Z c R2
R2
R2
R2
R2
Zv 
1  jCR2
• Deze schakeling is equivalent met de
schakeling op sheet 13 waarbij R1 vervangen
is door Z1 en R2 door ZV
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
39
Frequency-dependent transfer functions
• Voor deze schakeling gelden dus ook
equivalente formules (zie sheet 13):
U0
U 0 Zv
Zv
I
en U1  I  Z v 

U0
Z1  Z v
Z1  Z v Z1  Z v
Z1
+
U0
Zv
U1
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
40
Frequency-dependent transfer functions
• De transfer functie H(jω) wordt gevonden door Z1
en ZV in te vullen in de formule:
Z1  R1
R2
Zv 
1  jCR2
R2
R2
U1
1  jCR2
1  jCR2
R2
H ( j ) 



R2
R1 (1  jCR2 )  R2 R1  R2  jCR1 R2
U0 R 
1
1  jCR2
1  jCR2
• Interpretatie van frequentie-afhankelijke transfer
functies zal worden besproken in volgende colleges
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
41
Frequency-dependent transfer functions
• Merk op dat H(jω) het quotiënt is van twee
complexe getallen:
R2
C1 met
H ( j ) 

with
R1  R2  jCR1 R2 C2
C1  R2  0 j
C2  ( R1  R2 )  (CR1 R2 ) j
• Voor H(jω) gelden dezelfde rekenregels als voor
complexe getallen (zie sheets 6-10)
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
42
Frequency-dependent transfer functions
• Voor H(jω) gelden dus ook de regels van sheet 8:
a  bj H1 ( j )
H ( j ) 


c  dj H 2 ( j )
| H1 ( j ) |
| H ( j ) |
and
en  H   H1   H 2
| H 2 ( j ) |
H ( j )  (a  bj )  (c  dj )  H1 ( j )  H 2 ( j ) 
| H ( j ) || H1 ( j ) |  | H 2 ( j ) | and
en  H   H1   H 2
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
43
Frequency-dependent transfer functions
• In het algemeen wordt de transfer functie
van een electrische schakeling weergegeven
met complexe getallen
• In het volgende college worden verschillende
klassen van transfer functies besproken:
– low pass
– high pass
– band pass
• Ook wordt dan een grafische weergave voor
transfer functies besproken: bode diagrams
Cardiovascular Research Institute8E020
Maastricht
Inleiding(CARIM)
Meten
44