TRANSCENDENTE GETALLEN (Begeleider: Jan

TRANSCENDENTE GETALLEN
(Begeleider: Jan-Hendrik Evertse, [email protected])
Een complex getal α heet algebraı̈sch als er een polynoom f ∈ Q[X] \ {0} bestaat zo dat f (α) = 0.
Wanneer α niet algebraı̈sch is heet α transcendent. Het is niet moeilijk te bewijzen dat er hoogstens
aftelbaar veel algebraı̈sche getallen in C zijn; dus er zijn zeker transcendente getallen. Het doel
van het bachelorproject is om de bewijzen van een aantal transcendentieresultaten door te werken
en daar een scriptie over te schrijven.
In 1873 bewees Hermite dat e transcendent is. In 1883 bewees Lindemann onder meer dat voor
elk algebraı̈sch getal α 6= 0, eα transcendent is. Hieruit volgt onder meer dat π transcendent is.
Namelijk als π algebraïsch is dan is πi dat ook. Maar eπi = −1 is algebraı̈sch, tegenspraak. Een
meer algemeen resultaat van Lindemann zegt het volgende: zijn α1 , . . . , αn algebraı̈sche getallen
die lineair onafhankelijk over Z zijn, dat wil zeggen dat er geen niet-triviale lineaire combinatie
van α1 , . . . , αn met coëfficiënten in Q gelijk is aan 0. Dan geldt voor alle algebraı̈sche getallen
β1 , . . . , βn ongelijk aan 0 dat β1 eα1 + · · · + βn eαn 6= 0. Een onderdeel van het project zou kunnen
zijn om het bewijs door te werken dat eα transcendent is voor algebraïsche getallen α 6= 0, of om
het bewijs van de meer algemene stelling van Lindemann door te werken.
P∞
Een machtreeks f (z) = i=0 an z n met coefficienten an ∈ Q heet algebraı̈sch er een polynoom
P (X, Y ) ∈ Q[X, Y ]P
\ {0} bestaat zodat P (z, f (z)) 6≡ 0; anders heet de machtreeks transcendent.
∞
Bijvoorbeeld ez = n=0 z n /n! is transcendent. Een voor de hand liggende (en vaak moeilijke)
vraag is of voor een transcendente machtreeks f (z) en voor algebraï sche getallen α 6= 0 binnen het
convergentiegebied van f geldt dat f (α) transcendent is. Dit geldt
voor f (z) = ez .
P∞ bijvoorbeeld
n!
Liouville bewees (min of meer)
dat dit geldt voor f (z) = n=0 z . Mahler bewees in 1929
P∞ in 1844
n
dat dit geldt voor f (z) = n=0 z d waarbij d een geheel getal ≥ 2 is. Dus de decimale breuk met
enen op de eerste, tiende, honderdste,... plaats en verder nullen is transcendent. Een mogelijkheid
is om de bewijzen van Liouville en Mahler door te werken, en eventueel naar generalisaties van
hun resultaten te kijken.