Lesbrief inverse functie

lesbrief
Inverse functie
en
TI-nspire
6/7N5p
©GGHM@EEB2
2012-2013
De inverse functie
De inverse f−1(x) van een functie f(x) doet precies het omgekeerde (inverse) van wat f(x) zelf
doet. Je kunt ook stellen dat een inverse functie de originele functie ‘opheft’.
f ( x) = 2 x + 3
Voorbeeld:
Je berekent de uitkomst van deze functie door de x-waarde eerst met 2 te vermenigvuldigen en
daarna er 3 bij op te tellen. De inverse functie moet precies het omgekeerde doen; er eerst 3
van aftrekken en dan delen door 2.
Met een getal:
·2
+3
x=5
10
y = 13
En weer terug:
:2
−3
x=5
10
y = 13
of in de juiste richting:
−3
:2
y = 13
10
x=5
We noteren functies gewoonlijk met de x als variabele, de inverse functie wordt nu dus
geschreven als:
f −1 ( x) = ( x − 3) : 2
en vereenvoudigd levert dat op:
f −1 ( x) = 12 x − 1 12
Daar hadden we ook makkelijker achter kunnen komen;
y = 2x + 3 ,
de formule bij de functie f(x) was
als we hier de ‘x’ vervangen door een ‘y’ en de ‘y’ door een ‘x’
x = 2y + 3
dan wordt dit:
2y = x −3
en vereenvoudigd:
y = 12 x − 1 12
f −1 ( x) = 12 x − 1 12
dus:
Nog een voorbeeld:
2
gevraagd is de inverse functie.
f ( x) =
x −1
2
eerst ‘x’ en ‘y’ verwisselen: x =
y −1
x( y − 1) = 2
omwerken:
y=
dus
f −1 ( x ) =
2+ x
x
2 x
+
x x
→
→
2
x
2+ x
y=
x
y −1 =
→
y=
2
+1
x
→
Opdracht 1
Bepaal van de volgende functies de inverse functie:
(gebruik de ‘x’ wordt ‘y’ en ‘y’ wordt ‘x’ techniek)
a
b
c
d
e
f
f ( x) = 4 x − 5
f ( x) = 2( x + 3) + 4
1
f ( x) = 3 +
x−2
f ( x) = 1 + 2 x
x−4
f ( x) =
1 − 3x
f ( x) = x 2
In de laatste opdracht heb je gezien dat het niet altijd mogelijk is om de inverse functie te
bepalen. Er bestaat dan geen inverse functie, tenminste niet op het hele domein van de functie.
Soms kun je met een samengestelde de inverse beschrijven door middel van twee of meer
functies. Door het domein van een functie te beperken kan er dan toch een inverse functie
worden bepaald.
Grafiek van de inverse functie
We hebben gezien dat de inverse functie te bepalen is door de x en y in de formule om te
wisselen. Wat betekent dit nu voor de grafiek van de inverse functie?
Opdracht 2
a
Plot en schets de grafiek van f ( x) = e x
b
Bepaal de inverse functie f −1 ( x) van f ( x) .
c
Plot en schets f −1 ( x) .
d
Plot en schets ook de lijn y = x . Wat valt je op?
e
Bepaal D f en B f .
f
Bepaal ook D f −1 en B f −1 .
g
Wat kun je zeggen over D f , B f en D f −1 , B f −1 ?
Opdracht 3
Hiernaast staat de grafiek die hoort bij een
bepaalde functie f ( x) .
Maak een schets van de grafiek van f −1 ( x)
in het assenstelsel hiernaast..
In opdracht 3 heb je kunnen zien dat de grafiek van de inverse functie ontstaat door het
spiegelen van de grafiek van de functie in de lijn y = x. Immers, de x en y waarden worden
omgewisseld, dit komt neer op spiegelen in de lijn y = x.
Verder hebben we gezien dat D f = B f −1 en B f = D f −1
Je moet af en toe goed opletten dat de inverse functie die je gevonden hebt ook daadwerkelijk
op het verwachtte domein en bereik gedefinieerd is.
Opdracht 4
a
Geef minstens twee functies die gelijk zijn aan hun inverse.
b
Leg uit waarom een functie met een extreme waarde geen inverse heeft.
c
De functie y = 2x + b snijdt zijn inverse bij x = 5. Bereken b
Opdracht 5
a
Een functie heeft een verticale asymptoot x = 4.
Wat weet je van de inverse functie?
b
Een functie heeft een nulpunt bij x = −3
Wat weet je van de inverse functie?
De inverse met de rekenmachine
Met de TI-nspire kun je heel makkelijk een inverse functie berekenen. Met hetgeen we
hiervoor gezien hebben zul je de werkwijze ook snel begrijpen.
f ( x) = 0,5 x + 3
We kijken naar de functie
y = 0,5 x + 3
De bijbehorende formule is dus
x = 0,5 y + 3
x en y verwisselen:
Hier staat eigenlijk een vergelijking met de variabelen x en y.
We zoeken de oplossing y = …..
Dat is een klusje voor ‘solve’:
Solve( y = 0,5 x + 3 ,y)
geeft de oplossing:
y = 2·x + 6
Ook met moeilijkere functies gaat dit goed:
x en y verwisselen:
‘solve( x =
y−4
, y )’ geeft:
1− 3y
Er is nog een (kortere) mogelijkheid
op de TI-nspire (zie afbeelding hiernaast):
definieer de functie,
los dan m.b.v. ‘solve’ de
vergelijking f(y) = x op
en je hebt het antwoord!
x−4
1 − 3x
y−4
x=
1− 3y
x+4
y=
3x + 1
f ( x) =
Opdracht 6
Gegeven is f ( x) = 3 + ln(2 x)
a
Welke transformatie(s) is/zijn toegepast op de standaardfunctie om f(x) te krijgen?
b
Geef D f en B f
c
d
Bepaal f −1 ( x) zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine.
Controleer je uitkomst m.b.v. de grafische rekenmachine.
Opdracht 7
Gegeven is de functie f ( x) = 2 + 4 3 x
a
Geef D f en B f
b
c
Bepaal f −1 ( x) zonder grafische rekenmachine.
Controleer je uitkomst met de grafische rekenmachine.
Opdracht 8
Gegeven is de functie f ( x) =3 log( x) + 2
a
Geef D f en B f
b
c
Bepaal f −1 ( x) zonder grafische rekenmachine.
Controleer je uitkomst met de grafische rekenmachine.
Opdracht 9
a
Plot (en schets!) de grafiek van f ( x) = arcsin( x)
b
( arcsin( x ) = sin −1 ( x) )
Bepaal D f en B f .
c
d
Geef f −1 ( x) .
Heb je bij het beantwoorden van vraag c) iets gezegd over D f −1 en/of B f −1 ?
Zo nee, doe dat dan alsnog!
Opdracht 10
2x − 4
x −1
Geef de horizontale en verticale asymptoten van f−1(x).
Gegeven is f ( x ) =
afbeeldingen: