Het getal van Euler Inleiding Stap 1. De exponentiële

Het getal van Euler
© Wisnet-HBO
update aug. 2013
Inleiding
Het getal van Euler
exp(1) = e = 2.718281828
Dit getal wordt gebruikt als grondtal voor de natuurlijke logaritme
geschreven als
ook wel
.
en als grondtal voor de natuurlijke exponentiële functie
.
ook wel geschreven als
Stap 1. De exponentiële functie met grondtal 2
Teken in één figuur de grafieken van
en
.
Er zijn twee snijpunten van deze grafieken zo te zien, namelijk de punten [0 , 1] en [1 , 2]
.
Stap 2
De lijn
blijft onveranderd.
Stel de snijpunten van
en de lijn
zijn nu [0 , 1] en
Er moet dan voor het snijpunt de volgende vergelijking gelden.
De vergelijking kan opgelost worden met b als onbekende.
Links en rechts tot de macht 5 doen en met de rekenmachine benaderen.
.
Stap 3
Dit systeem zetten we voort zodat de grafiek van
de lijn
in het punt
snijdt.
Met pen en papier en rekenmachine bijvoorbeeld een dergelijke vergelijking oplossen,
zou als volgt gaan:
Links en rechts tot de macht 10 verheffen:
Met de rekenmachine c benaderen:
Stap 4
De grafiek van
snijdt de lijn
in het punt
.
De volgende vergelijking moet opgelost worden.
Links en rechts tot de macht 100 doen en met de rekenmachine benaderen.
Het getal van Euler
Laat nu de snijpunten van de grafiek van
het tweede snijpunt:
Links en rechts tot de macht
Voor
en
elkaar heel dicht naderen en stel
.
verheffen.
krijg je de limietwaarde van het getal e dat de volgende eigenschap heeft:
de grafiek van
raakt de grafiek van de lijn
in het punt (0,1).
Definitie van het getal van Euler
Ga na dat als
dat dan evenhard
naar 0 nadert.
Op dezelfde manier kun je ook de definitie anders stellen:
Hierin zit hetzelfde evenwicht, namelijk:
Als
gaat naar
dan
Oefeningen met limieten
oefening 1
Als
bereken dan
=
antwoord
Het antwoord is
uitleg
Met machten werken:
=
Iets anders geschreven
=
Aanwijzing
Op deze manier zijn
en
met elkaar in evenwicht.
Als i naar 0 gaat, dan gaat
ook naar 0.
De ene gaat net zo hard naar 0 als de ander naar oneindig gaat.
oefening 2
Als
bereken dan
=
antwoord
Het antwoord is
uitleg
Met machten werken:
Iets anders geschreven
Aanwijzing
Op deze manier zijn en
weer met elkaar in evenwicht.
De ene gaat net zo hard naar 0 als de ander naar oneindig.
Oefening 3
Als
bereken dan:
=
Antwoord
Het antwoord is
Aanwijzing
Breng n en
met elkaar in evenwicht door de limiet anders te schrijven:
=
Op deze manier breng je
en
weer met elkaar in evenwicht.
De ene gaat net zo hard naar 0 als de ander naar
.
animatie
Klik op de grafiek en zet de animatie in werking.