Wiskunde - atGreijdanus.nl

WISKUNDE
Havo 5 stof samenvatting, 2012-2013
WISKUNDE
ALGEMEEN
MACHTSFUNCTIES
Functies van de vorm f(x) = xa, met a een willekeurig getal heten machtsfuncties. Het hangt van de
waarde van a af welke vorm de bijbehorende grafiek heeft. Je kunt de volgende gevallen
onderscheiden:
 A is een positief geheel getal. Voor het bereik van de functie maakt het uit of a een even of
oneven getal is.
 A is een negatief geheel getal. Je spreekt dan van een gebroken functie.
1
Gebroken functies zoals f(x) = 𝑥𝑛, met n een positief geheel getal, kun je schrijven als f(x) = x-n. De
grafieken hebben de x-as en de y-as als asymptoot.
 A is een gebroken getal. Je spreekt dan van een wortelfunctie. Wortelfuncties zoals f(x) = √𝑥 ,
met n een positief geheel getal, kun se schrijven als f(x) = x1/n. voor het domein en bereik van
deze functies maakt het uit of n een even of oneven getal is. De grafieken van deze functies
hebben in (0,0) een verticale raaklijn.
𝑛
REKENREGELS & VAARDIGHEDEN
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 – 2ab – b2
(a + b)(a - b) = a2 – b2
q = alog(x) x=aq
𝐴
𝐴
= 𝐶,
𝐴 = 𝐵 ∗ 𝐶 𝑒𝑛
= 𝐵 𝑚𝑒𝑡 𝐵 ≠ 0 𝑒𝑛 𝐶 ≠ 0
𝐵
𝐶
1
g0 = 1
g-a =
a
b
g *G =G
a+b
𝑔𝑎
𝑔𝑏
𝑔
= 𝑔𝑎−𝑏
(g * h)a = ga * ha
(ga)b = ga * b
g1/2 = √𝑔
gq/p = √𝑔𝑝
𝑞
Het bereik is de verzameling van alle mogelijke invoerwaarden, dus X
Het domein de verzameling van alle mogelijke uitvoerwaarden, dus Y
2
Breuken kun je bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken door de noemers gelijknamig te maken.
Breuken kun je met elkaar vermenigvuldigen door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en de
noemers met elkaar te vermenigvuldigen. Breuken kun je vereenvoudigen door de teller en de noemer
met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of door hetzelfde getal te delen.
Het aantal oplossingen van een vergelijking kun je niet altijd direct met behulp van een plot zien. Door
redeneren met eigenschappen van grafieken zo als domein, bereik en de mate van stijging en daling
kun je soms het aantal oplossingen van vergelijkingen vaststellen.
De grafieken van de periodieke functies f(t) =sin(t) en g(t) = cos(t) vertonen symmetrie. Deze symmetrie
kun je gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen.
In plaats van (sin(x))2 en (cos(x))2 wordt vaak geschreven sin2(x) en cos2(x).
3
GRAFIEK
FAMILIE VAN FUNCTIES, PARAMETER, BUNDEL GRAFIEKEN
Met behulp van een parameter kun je een familie van functies noteren. Als je voor verschillende
waarden van de parameter grafieken tekent, krijg je een bundel grafieken.
GELIJKWAARDIG, EQUIVALENT, UITDRUKKEN IN, UITZETTEN
TEGEN
Formules heten gelijkwaardig of equivalent als je ze uitelkaar kunt afleiden. Soms moeten variabelen
aan voorwaarden voldoen. Zo zijn de formules a = √𝑡 en t = a2 gelijkwaardig, onder de voorwaarde
dat t en a groter of gelijk zijn aan 0.
TRANSFORMATIES
bewerkingen van grafieken, zoals verschuiven, uitrekken, krimpen, worden transformaties genoemd.
Bij elke transformatie van een grafiek kun je je afvragen hoe de bijbehorende formule verandert.
TRANSALATIE
Een translatie is een horizontale of een verticale verschuiving van een grafiek.
TOENEMENDE STIJGING, AFNEMENDE DALING EN
BUIGPUNTEN
Als een grafiek van toenemende stijging overgaat in afnemende stijging of andersom dan heeft de
grafiek een buigpunt. Dit geldt ook bij de overgang van toenemende daling naar afnemende daling of
andersom. In een buigpunt is de waarde van de afgeleide maximaal of minimaal.
JE KUNT DE VERGELIJKING VAN EEN RAAKLIJN OPSTELLEN
Met behulp van de afgeleide functie vind je de helling a van een raaklijn. Invullen van de coördinaten
van het raakpunt in y= ax+b geeft b
4
AFGELEIDE BEPALEN
KETTINGFUNCTIE
Worden twee of meer functies na elkaar toegepast dan is er sprake van een kettingfunctie of
samengestelde functie. De afzonderlijke functies vormen de schakels.
DE KETTINGREGEL
Je vindt de afgeleiden van een kettingfunctie door de afgeleiden van de afzonderlijke schakels met
elkaar te vermenigvuldigen.
𝑑𝑦
In de formulevorm: 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑢
Deze formule om de afgeleide te vinden heet de kettingregel.
DE SOMREGEL VOOR HET DIFFERENTIËREN
Als s(x) = f(x) + g(x) dan is s’(x) = f’(x) + g’(x).
Als v(x) = f(x) - g(x) dan is v’(x) = f’(x) - g’(x).
MAXIMA EN MINIMA
De grafiek van een functie f heeft een horizontale raaklijn voor de waarden van x waarvoor de afgeleide
gelijk is aan 0. Als de grafiek stijgt, horizontaal loopt en vervolgens daalt dan heeft de functie een
maximum. Als de grafiek daalt, horizontaal loopt en vervolgens weer stijgt dan heeft de functie een
minimum. De maximale en minimale functiewaarden heten uiterste waarden. Voor de afgeleide van
cosinus & sinus geldt:
f(x) = Sin(x)
g(x) = Cos(x)
f’(x) = Cos(x)
g’(x) = -Sin(x)
5
SINUS EN COSINUS
HARMONISCHE BEWEGING EN FREQUENTIE
Als een punt met vaste snelheid een cirkel doorloopt, doorloopt de projectie van dat punt bijvoorbeeld
de verticale as een harmonische beweging of harmonische trilling. Bij trillingen wordt meestal niet
gesproken over de periode van de trilling, maar over de frequentie, het aantal trillingen per seconde
FASEVERSCHIL
Bij sinusoïden met dezelfde periode is het faseverschil het gedeelte van één periode waarover de ene
grafiek et opzichte van de andere grafiek is verschoven. Het faseverschil is een getal tussen 0 en 1
GEMEENSCHAPPELIJKE PERIODE
Als je twee sinusoïden in één assenstelsel tekent, krijg je soms een periodiek patroon. Deze periode
van dit patroon heet de gemeenschappelijke periode van de twee sinusoïden. Het is het kleinste getal
waar de perioden van beide sinusoïden een geheel aantal keren in passen.
SCHOMMELING EN TRED
Bij sommige verschijnselen vindt een periodieke schommeling plaats, gecombineerd met een stijgende
of dalende trend. Als de functie T de trend beschrijft en S de schommeling, dan past bij de grafiek van
het gehele verschijnsel de functie G(t) = T(t) + S(t).
6