Piramide de bolas_nl_juegos bolas

ALS U HET OVER PIRAMIDES HEBT MET EEN VIERKANT GRONDVLAK SCHIETEN INDRUKWEKKENDE BOUWWERKEN
ALS DIE VAN CHEOPS, CHEFREN EN GIZEH IN GEDACHTEN. HET DOEL VAN DEZE PUZZEL IS EEN TETRAËDER. HIJ
LAAT U KENNIS MAKEN MET DE NUMERIEKE WISKUNDE EN DE MYSTIEK VAN DE REGELMATIGE VEELHOEKEN.
• Een driedimensionale puzzel
De ballenpiramide
Met een beetje
behendigheid past u de zes
puzzelstukken gemakkelijk in
elkaar en vormt u deze
ballenpiramide.
I
In tegenstelling tot de Egyptische piramides die
een vierkante basis hebben, is de ballenpiramide
van onze puzzel een geometrisch object met de
naam tetraëder die bestaat uit vier dezelfde driehoekige vlakken. Kunt u als lezer in gedachten het
aantal ballen berekenen dat deze piramide vormt?
Het antwoord vindt u op de volgende pagina. Als u
een van de vlakken bestudeert, ziet u dat het een
driehoek is, gevormd door een, twee, drie en vier
ballen, uitgaande van de punt. In totaal zijn dat tien
ballen verdeeld in een eigenaardige vorm, zo
eigenaardig dat hij een eigen naam heeft, tetraktis,
en de aanleiding is geweest voor een complete
metafysische theorie van hoog wiskundig gehalte.
 U kunt de piramide van
Cheops beschouwen als een
prachtige puzzel van honderdduizenden stenen blokken die een gigantische piramide vormen met een vierkant grondvlak, doorkruist
door een ingewikkeld gangenstelsel.
de eerste rij, twee op de tweede, drie op de derde en
vier op de vierde. Een perfecte driehoek waarbij de
som van alle elementen van alle rijen de volgende is:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Het getal tien werd daarom een object van verering. Dat was niet om het aantal vingers aan uw
hand, maar puur van geometrische aard.
•De mystiek van de getallen
«Ik zweer het bij wat onze ziel de tetraktis heeft
gegeven, bron en wortel van de eeuwige natuur!
Pythagoras (Gulden Vers 47)
Dit waren de woorden die gesproken werden tijdens
de plechtige inwijdingsceremonie door degene die
wilde worden toegelaten tot de geheime broederschap van de Pythagoreërs. En wat was dan die
tetraktis die in Pythagoras’ eed goddelijke natuur verwierf? Het was de geometrische weergave van het
nummer tien in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Kralen, stenen of welke andere voorwerpen
dan ook in een driehoekige samenstelling met een op
 De tetraktis wordt
beschouwd als de kwintessens van de Pythagoreïsche
mystiek.
1
Driehoeksgetallen, uitgaande van een serie
natuurlijke getallen:
 Weergave van de eerste
vier driehoeks-, kwadraat-,
vijfhoeks- en zeshoeksgetallen.
De 3 kunt u weergeven als een nietfiguratief getal:
**
**
**
Of als figuratief
getal:
**
**
De 4 kunt u weergeven als niet-figuratief getal:
**
**
Of als figuratief
getal:
**
**
Of als veelhoeksgetal (dat natuurlijk
figuratief is):
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, ...
1,
3,
6,
10,
15, ...
Kwadraatgetallen, uitgaande van een reeks oneven getallen:
1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9, ...
1,
4,
9,
16,
25, ...
Vijfhoeksgetallen, uitgaande van de volgende
reeks:
1, 4, 7, 10, 13, ...
1, 1 + 4, 1 + 4 + 7, 1 + 4 + 7 + 10, 1 + 4 + 7 + 10 + 13, ...
1, 5,
12,
22,
35, ...
De zeshoeksgetallen uit de serie:
1, 5, 9, 13, 17, ...
1, 1 + 5, + 1 + 5 + 9, 1 + 5 + 9 + 13, 1 + 5 + 9 + 13 + 17, ...
2
**
**
De 6 kunt u weergeven als niet-figuratief getal:
**
**
**
Of als figuratief
getal:
**
**
Of als veelhoeksgetal:
**
kwadraatsgetallen driehoeksgetallen type
VEELHOEKSGETALLEN
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
9
16
25
1
5
12
22
35
1
6
15
28
45
**
Of als veelhoeksgetal (dat natuurlijk
figuratief is):
**
1
vijfhoeksgetallen
Voorbeelden
van figuratieve en veelhoeksgetallen
ORDEN
zeshoeksgetallen
•Veelhoeksgetallen
De tetraktis is een plat driehoeksgetal. Als u de componenten in plaats van op een plat vlak, in drie dimensies
rangschikt, zou de ruimtelijke tetraktis onze ballenpiramide zijn. Maar laten we stap voor stap gaan en eerst de
‘platte’ getallen behandelen. Die kunnen driehoekig,
vierkant of vijfhoekig zijn, enzovoort. Ze heten over het
algemeen veelhoeksgetallen.
De veelhoeksgetallen werden aan het begin van het
Pythagorisme ontdekt. Ze betekenden een mijlpaal in
de conceptie van getal omdat ze, door ze een geometrisch karakter te geven, onafhankelijk werden van de
symbolen die gebruikt werden om ze weer te geven.
Daardoor werden het essentiële karakters die op zichzelf stonden en daarmee werden ze van universele aard.
Dit zorgde ervoor dat aan veelhoeksgetallen bepaalde
mystieke kwaliteiten werden toegekend, en dat er een
complete metafysische theorie omheen werd gecreëerd
(numerologie, Kabbala, enzovoort). Maar de wiskundige eigenschappen die door de geschiedenis heen zijn
afgeleid van de veelhoeksgetallen, hebben wiskundigen van het kaliber van Nicomachus, Diophantus,
Gauss, Legendre en Cauchy bezig gehouden. Zij hebben belangrijke ontdekkingen gedaan over de relaties
tussen deze getallen.
Het concept van de veelhoeksgetallen is tweedimensionaal en hoort bij de vlakke figuren. Maar er bestaan ook
vergelijkbare driedimensionale getallen, de zogeheten
tetraëdrische getallen, waarover u later meer leest wanneer we de ballenpiramide en opvolgende dimensies
bespreken.
Wanneer u een getal weergeeft met punten die u zo
plaatst dat de afstand daartussen steeds dezelfde is, heet
dat een figuratief getal. Als de figuur die gevormd
wordt door deze punten een regelmatige veelhoek is,
spreekt u van een veelhoeksgetal. Altijd uitgaande van
het getal 1 dat door een enkele punt wordt vertegenwoordigd, kunt u achtereenvolgens de volgende veelhoeksgetallen vormen.
**
1, 6,
15,
28,
45, ...
•Formatieregels
De wiskundige formatieregels – de formule dus
– voor veelhoekige getallen zijn al langer bekend.
Dit is een recursieve formule, wat betekent dat u
elk getal kunt verkrijgen in functie van het voorgaande:
Pr(n) = Pr(n - 1) + (r - 2)(n -1) + 1
Hier staat r voor een bepaald type getal. Dat wil
zeggen dat r = 3 wanneer het een driehoeksgetal
betreft, r = 5 als het om een vijfhoeksgetal gaat,
enzovoort. N is het natuurlijk getal waarvan we de
waarde willen weten. Op deze manier kunt u bijvoorbeeld de waarde van de driehoeksgetallen te
weten komen:
P3(1) = 1
P3(2) = P3(2 -1) + (3 - 2)(2 -1) + 1 =
= P3(1) + 1·1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
P3(3) = P3(3 - 1) + (3 - 2)(3 -1) + 1 =
= 3 + 1·2 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6
Deze formule kunt u heel gemakkelijk met de computer te berekenen. In de tabel op de volgende pagina staan de tien beginwaarden van de tien eerste
veelhoeksgetallen. Op de eerste rij staan van laag
naar hoog de natuurlijke getallen, en in de eerste
kolom het type veelhoeksgetal. Dus om het vijfhoeksgetal te vinden dat correspondeert met het
natuurlijke getal 9, wat we symboliseren als P5 (9),
zoekt u in de eerste kolom het nummer 5, dat is de
orde, en dan volgt u deze lijn naar de kolom met het
getal 9, waarmee u het getal vindt dat u wilde
weten: 117. Symbolisch uitgedrukt:
P5(9) = 117
De ballenpiramide
Tabel van de waarden van Pr(n)
De tien beginwaarden van de eerste tien veelhoeksgetallen.
Type
Orde
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
4
1 4
9 16 25 36
49
64
5
1 5 12 22 35 51
70
92 117 145
6
1 6 13 28 45 66
91 120 153 190
7
1 7 18 34 55 81 112 148 189 235
8
1 8 21 40 65 96 133 176 225 280
9
1 9 24 46 75 111 154 204 261 325
10
1 10 27 52 85 136 175 232 297 370
81 100
•Het Getal van het Beest
Als u de tabel van de veelhoeksgetallen bekijkt,
ziet u dat sommige daarvan uit twee keer hetzelfde cijfer bestaan, bijvoorbeeld: P5 (4) = 22, P12
(3) = 33, P3 (10) = 55. Daarvan is er een die een
bijzondere mystieke connotatie heeft gekregen, het
driehoeksgetal van 36:
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
Mu
Nu
Xi
Omicron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ípsilon
Fi
Ji
Psi
Omega
1
2
3
4
5
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
100
200
300
400
500
600
700
800
P3(36) = 666
Dit is het getal dat u krijgt door de constructie van
een driehoek gevormd door een punt in de eerste
rij, twee in de tweede, drie in de derde, enzovoort.
In De Openbaring van Johannes wordt verteld
over het Beest met ramshorens dat op aarde komt.
Het brulde als een draak en moest worden aanbeden door iedereen die niet meedogenloos wilde
worden weggevaagd. Niemand, rijk of arm, vrij of
slaaf, zou nog kunnen kopen of verkopen, tenzij ze
op hun rechterhand of op hun voorhoofd het teken
van het Beest droegen. Dit merkteken was de
naam van het Beest, of beter gezegd, het getal van
zijn naam: ‘Wie inzicht heeft, berekent het getal
van het Beest want het is een menselijk getal. En
zijn getal is zeshonderdzesenzestig’ (Openbaring
van Johannes: XIII, 18).
Als u letters als numerieke getallen bekijkt, is de
uitdaging waarvoor u zich gesteld ziet het vinden
van een naam die in cijfers 666 bedraagt. De eerste oplossing die gevonden werd, betrof de naam
van ‘Keizer Nero’. Maar hoewel zijn wandaden
behoorlijk waren, waren die toch nog lang niet van
apocalyptische proporties. Een merkwaardig feit:
de Griekse letters van de naam Jezus zijn bij elkaar
opgeteld 888, een getal dat volgens kabbalisten de
overwinning van de oneindigheid betekent.
•De gematria
De gematria, erg populair tijdens de eerste eeuw
van onze jaartelling en in de middeleeuwen, is het
toewijzen van een getal aan een letter van het alfabet. Zo werden bijvoorbeeld aan de letters van het
Griekse alfabet, nummers toegewezen zoals in de
tabel aan de linkerkant. Het woord ‘amen’ (Alpha,
Mu, Eta, Nu) is de som van 1 + 40 + 8 + 50 = 99.
Daarom is dit nummer vaak te vinden onderaan
veel religieuze manuscripten.
•In drie dimensies
Op dezelfde manier als we het gehad hebben
over veelhoeksgetallen, kunt u het hebben over
stervormige, veelzijdige of afgeknotte veelhoeksgetallen, enzovoorts. Eigenlijk krijgt u altijd interessante wiskundige resultaten door het stapelen
van ballen (of dodecaëders, wat handiger is omdat
ze dan niet wegrollen) om regelmatige veelvlakken te vormen. Een reeks tetraëdrische getallen
zou bijvoorbeeld voor de volgende stapels zorgen:
1
1+3=4
1 +3+ 6 = 10
1 +3+ 6 + 10 = 20
Om achter het tetraëdrische getal te komen van een
natuurlijk getal n zonder de bijbehorende 3d uitvoering bij de hand te hebben, kunt u de volgende
formule toepassen:
n(n+1)(n+2)
Tetn =
6
Het tetraëdrische getal van 4, ofwel een ballenpiramide met vier ballen in alle ribben, is:
Tet4 =
4(4+1)(4+2)
4·5·6
=
= 20
6
6
Op deze manier lost u de vraag op die we aan het
begin stelden over het aantal ballen in onze pira-
 Het driehoeksgetal 666,
bekend als het 'Getal van het
Beest' uit de Openbaring van
Johannes.
3
mide. Omdat het een algemene formule is zoals
het een goede wiskundige regel betaamt, kunt u
hem in alle gevallen toepassen. Als u een goede
rekenaar bent, kunt u bogen op een bijzondere
ruimtelijke visie en raden naar (hoewel u het exacte antwoord zou moeten berekenen) het aantal ballen dat u nodig hebt om willekeurig welke tetraëdrische piramide te bouwen. Om dat te doen, hoeft
u alleen het aantal ballen in de ribben van de piramide te tellen en de formule toe te passen. Stelt u
zich bijvoorbeeld een piramide voor met een rib
van vijf ballen, dan neemt u hier als uitgangspunt
het cijfer 5. Omdat het altijd gaat om het resultaat
van drie opeenvolgende getallen gedeeld door 6,
maakt u hier de vermenigvuldiging 5 x 6 x 7, waarop het antwoord 210 is. Dit resultaat gedeeld door
6 is 35, het totale aantal ballen van de piramide. Zo
heeft een eenvoudige piramide met drie ballen in
de rib 3 x 4 x 5 = 60 gedeeld door 6, dus 10 ballen.
De vraag die nu rijst is deze: kunt u altijd een ballenpiramide bouwen, ongeacht het aantal ballen in
de rib? Als iemand u zou vragen hoeveel ballen
nodig zijn voor een bepaalde piramide, en uit de
berekeningen is het getal als 34.5 gekomen. Dan
moet u antwoorden dat het onmogelijk is om deze
piramide te bouwen, omdat een piramide met
halve bal absurd zou zijn. Kunt u in sommige
gevallen dan wel een cijfer achter de komma als
resultaat krijgen? Anders gezegd: is het resultaat
van drie opvolgende getallen altijd deelbaar door
zes? Het antwoord is ja. Gegeven het feit dat het
om drie opeenvolgende getallen a, b en c gaat, is
het zeker dat er minstens een veelvoud van twee
tussen zit (ofwel een even getal). Anders gezien,
als u de complete getallenreeks uitschrijft:
Oplossing
De ballenpiramide bestaat uit zes stukken: twee van vier ballen en vier
van drie. In totaal twintig ballen. Daarmee probeert u een tetraëder te
maken. Om dit op te lossen, zet u de stukken gewoon neer zoals aangegeven in de volgende afbeeldingen:
1. Plaats het eerste driehoekige groepje ballen.
2. Zet de groep in een
L-vorm.
3. Zet de groep van vier in
deze positie en laat het
midden vrij.
4. Zet de ‘gedraaide’ verticale
groep in het midden.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...
Het is gemakkelijk te constateren dat een
van de drie opeenvolgende getallen altijd
een veelvoud van 3 is. Daarom is het resultaat van a, b en c minstens een veelvoud
van twee en van drie, dus een veelvoud van
2 x 3 = 6.
5. Zet het rijtje van
drie erbij.
6. Maak de puzzel af
met de overgebleven
driehoekige groep.
Er bestaan verschillende moleculaire structuren die
worden weergegeven als ball-and-stick-modellen. In dit
geval symboliseren de witte bollen waterstofatomen, de
zwarte bol het koolstofatoom en de staafjes de onderlinge bindingen. Zo ziet de tetraëdervormige structuur van
een methaanmolecuul eruit.
4