Deel I: Modale Logica - Department of Computer Science

Deel I:
Modale Logica
i
Contents
Inleiding
1 Modale logica: basisbegrippen
1.1 basisdefinities . . . . . . . . .
1.2 karakteriseerbaarheid . . . . .
1.3 bisimulaties . . . . . . . . . .
1.4 Opgaven . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
8
10
14
2 Temporele logica
2.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 bijzondere klassen van temporele frames
2.2.1 lineaire vs vertakkende tijd . . .
2.2.2 dichte vs dicrete tijd . . . . . . .
2.2.3 bijzondere structuren . . . . . . .
2.3 alternatieve temporele talen . . . . . . .
2.4 computationele temporele logica . . . .
2.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
19
19
20
21
22
23
27
3 Epistemische logica
3.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 axiomatiek: het systeem K . . . . . . .
3.3 axiomatiek: de systemen T , S4 en S5 .
3.4 semantiek van de epistemische logica . .
3.5 algemene en gemeenschappelijke kennis
3.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
32
35
38
43
47
A Eigenschappen van tweeplaatsige relaties
50
Inleiding / 1
Inleiding
In de jaren twintig van deze eeuw is de symbolische modale logica ontwikkeld binnen de
filosofie, via een uitbreiding van de klassieke (propositionele of predicaatlogische) talen met operatoren ‘2’ en 3’ die verwijzen naar de noodzakelijkheid resp. mogelijkheid van de waarheid
van een formule. Aanvankelijk werd zulke modale talen alleen vanuit een syntactisch perspectief bestudeerd; door Lewis werden bijvoorbeeld verschillende axiomatische systemen
ontwikkeld, waarvan twee nu nog voortleven onder de door hem gegeven namen S4 en S5.
Pas na de introductie door Kripke en anderen van de zogenaamde ‘mogelijke werelden semantiek’ heeft het onderzoek naar de modale logica een grote vlucht genomen. Daarbij is ook
het toepassingsgebied van de modale logica steeds verder verruimd, aanvankelijk nog alleen
binnen de filosofische logica (bijvoorbeeld in Hintikka’s epistemische logica of Prior’s tijdslogica). Tegenwoordig worden modale talen in diverse disciplines toegepast als eenvoudige maar
expressieve formalismes voor het beschrijven van van alles en nog wat. We noemen hier de
volgende voorbeelden:
filosofie: modale logica (in engere zin), deontische logica, epistemische logica
informatica temporele logica, dynamische logica, epistemische logica
taalkunde tijdslogica, attribute value structures
wiskunde bewijsbaarheidslogica, relatie algebra’s
Aangezien de kunstmatige intelligentie nauw verbonden is aan deze disciplines, zal het geen
verbazing wekken dat bijna alle genoemde takken van modale logica ook binnen de AI veel
worden gebruikt.
Overzicht
De eerste paragraaf behandelt de basisdefinities uit de modale logica. Vervolgens bespreken we een vorm van modale logica die zowel binnen de informatica als binnen de kunstmatige intelligentie een belangrijke rol speelt bij het formaliseren van het begrip ‘tijd’,
namelijk de temporele logica. Als tweede voorbeeld gaan we nader in op epistemische logica’s;
dit zijn formalismes die ons kunnen helpen bij het bestuderen van het begrip kennis.
Literatuur
Als u geı̈nteresseerd bent geraakt in de modale logica en wat meer wilt lezen, zijn hier wat
suggesties voor literatuur:
algemeen :
1 D.M. Gabbay and F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, vol II (Nonclassical Logics), Reidel, Dordrecht, 1984.
2 R. Goldblatt, Logics of Time and Computation, CSLI Lecture Notes 7, Stanford,
1987.
3 P. Blackburn, M. de Rijke & Y. Venema, Modal Logic. A Textbook, manuscript, (te
verkrijgen bij de laatste auteur).
Inleiding / 2
temporele logica :
1 J. van Benthem, The Logic of Time, Reidel, Dordrecht, 1983. (2nd edition, 1992).
2 D.M. Gabbay, I. Hodkinson & M. Reynolds, Temporal Logic. Mathematical Foundations and Computational Aspects, Oxford University Press, 1994.
3 Z. Manna & A. Pnueli, The Temporal Logic of Reactive and Concurrent Systems,
Springer-Verlag, 1991.
epistemische logica :
1 J.-J. Ch. Meyer & W. van der Hoek, Epistemic Logic for AI and Computer Science,
te verschijnen bij Cambridge University Press, 1994. (eerdere versies verschenen
als VU-syllabus Toegepaste Logica.
2 R. Fagin, J.Y. Halpern, Y.O. Moses and M.Y. Vardi, Reasoning about knowledge,
MIT Press, 1995.
Modale logica: basisbegrippen/ 3
1
Modale logica: basisbegrippen
In deze paragraaf definiëren we enkele basisbegrippen uit de modale logica:
1. haar syntax en (Kripke-)semantiek
2. het karakteriseren van frame klasses
3. de notie van een bisimulatie tussen twee modellen.
1.1
basisdefinities
Definitie 1.1 [syntax] De basistaal van de modale propositielogica is die van de gewone
propositielogica, uitgebreid met een éénplaatsige operator 3 (‘ruitje’, Engels: ‘diamond’). Met
andere woorden, gegeven een verzameling VAR = {p0 , p1 , . . .} van propositionele variabelen,
wordt de verzameling Mfor van modale formules inductief als volgt gedefinieerd:
1. de propositionele variabelen zijn de atomaire formules,
2. als ϕ0 en ϕ1 modale formules zijn, dan ook ¬ϕ0 en ϕ0 ∧ ϕ1 ,
3. als ϕ een modale formule is, dan ook 3ϕ.
Als afkortingen zullen we ook de boolese connectieven ∨, → en ↔, en de constantes ⊥
en > gebruiken — ϕ ∨ ψ staat voor ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ), ⊥ voor p0 ∧ ¬p0 , enzovoort. Daarnaast
gebruiken we ook de modale operator 2 (‘blokje’, Engels: ‘box’), met de volgende definitie:
2ϕ ≡ ¬3¬ϕ.
Als bindingsconventie spreken we af dat unaire operatoren het sterkst binden, en ∨ en
∧ sterker dan → en ↔. In plaats van ((2p) ∧ q) → (¬p) kunnen we nu korter schrijven:
2p ∧ q → p.
In de loop van dit hoofdstuk zullen we variëren op dit basisformalisme door modale talen
te bestuderen met meerdere ruitjes, en andere operatoren.
Conventie 1.2 Om het verschil met de modale logica aan te geven, zullen we de term
‘klassiek’ gebruiken voor noties uit de gewone propositielogica. We gebruiken bijvoorbeeld de term ‘formule’ voor modale formules (of in de volgende paragraaf, voor temporele formules, enzovoort), en de term ‘klassieke (propositionele) formule voor formules
die opgebouwd zijn met behulp van alleen de boolese connectieven.
De oorspronkelijke betekenis van de operatoren 3 en 2 was:
mogelijk geldt ϕ
voor 3ϕ
noodzakelijk geldt ϕ voor 2ϕ.
De afgelopen dertig jaar echter zijn er vele alternatieve interpretaties ontwikkeld voor modale
talen — in de volgende paragrafen zullen we een tweetal voorbeelden in detail bespreken.
Laten we eerst de semantiek van de modale logica behandelen; de hoofdrol is weggelegd
voor een specifieke klasse van relationele structuren die we frames noemen.
Modale logica: basisbegrippen/ 4
Definitie 1.3 [frames] Een frame is een relationele structuur F = (W, R), waarbij W een
verzameling is en R een tweeplaatsige relatie op W . W heet het domein of het universum
van het frame, en R de toegankelijkheids- of bereikbaarheidsrelatie, of soms gewoon:
de relatie. Elementen van W zullen we toestanden, punten of soms: mogelijke werelden
noemen. Als voor twee punten s en t van een frame geldt dat Rst, dan noemen we t wel een
opvolger van s.
Conventie 1.4 We zullen vaak gebruik maken van tekeningetjes om frames te beschrijven.
Zulke tekeningetjes hebben de vorm van grafen, waarin de toestanden van het frame worden gerepresenteerd door stippen; twee van zulke stippen worden onderling verbonden
door een pijl als het paar van toestanden dat ze representeren in de bereikbaarheidsrelatie staat.
In specifieke toepassingsgebieden fungeren frames als een abstract model van een deel
van de werkelijkheid. In de volgende paragraaf bijvoorbeeld vormen frames een abstracte
representatie van het begrip ‘tijd’; de punten van het domein zijn dan tijdstippen, en de relatie
is de ‘eerder dan’-relatie tussen tijdstippen. In de oorspronkelijke ‘noodzakelijk/mogelijk’interpretatie van modale logica bestaat het universum van een frame uit mogelijke werelden;
als hier voor twee mogelijke werelden s en t geldt dat Rst, dan dient men dat te lezen als: ‘in
wereld s wordt wereld t voor mogelijk gehouden’. In een nog weer andere toepassing kunnen
de punten bijvoorbeeld de metrostations van Londen representeren, en zou R een station s
kunnen verbinden met precies die stations welke je zonder overstappen vanuit s kunt bereiken.
Aan frames alleen hebben we nog niet zoveel: we kunnen onze modale formules nog niet
interpreteren. Om nu de syntax van de modale taal werkelijk een semantiek te geven, kijken
we eerst nog even naar de semantiek van de klassieke propositielogica. Zoals u zich van het
inleidende college logica herinnert, krijgen klassieke propositionele formules als semantische
interpretatie een waarheidswaarde, (1 voor ‘waar’ of 0 voor ‘onwaar’). Deze waarheidswaarde
wordt inductief bepaald door de waardering van de propositionele variabelen: een waardering
is een functie w : VAR → {0, 1}. Als we eenmaal de waardering kennen, dan ligt de waarheidswaarde van elke klassieke formule eens en voor altijd vast — deze semantiek is dus tamelijk
statisch. Merk op dat dit, mutatis mutandi, ook geldt voor de klassieke predicatenlogica.
Het zal duidelijk zijn dat deze vorm van modelleren voor toepassingen in bijvoorbeeld
de informatica een veel te simpele voorstelling van zaken geeft. Bijvoorbeeld, een wezenlijk
kenmerk van een computerprogramma is juist dat het de interpretatie van variabelen, en
daarmee de waarheidswaarde van formules verandert. Logici zijn dan ook geı̈nteresseerd in het
redeneren over veranderingen van waarderingen. Hiermee komen we toe aan het basiskenmerk
van de semantiek van de modale propositielogica:
om formules te interpreteren in een frame F = (W, R) kennen we aan elke toestand
van het universum een eigen waardering toe.
Om dit idee formeel uit te werken, voeren we nu het modale modelbegrip in:
Definitie 1.5 [modellen] Een model is een structuur M = (F, π), waarbij F = (W, R)
een frame is, en π een valuatie, dat wil zeggen, een functie
π : W → (VAR → {0, 1}).
Modale logica: basisbegrippen/ 5
Met andere woorden: door middel van de valuatie π heeft ieder punt s zijn eigen klassieke
waardering π(s). Dat betekent dat we nu de klassieke formules in mogelijke werelden op de
bekende wijze kunnen interpreteren: bijvoorbeeld de formule p ∧ ¬q zal waar zijn in punt s
precies als π(s)(p) = 1 en π(s)(q) = 0. De boolese clausules van de waarheidsdefinitie in de
modale semantiek zijn dus precies hetzelfde als in de klassieke semantiek.
Om de clausule voor de modale operatoren in te leiden, gaan we even uit van de oorspronkelijke interpretatie van 3ϕ als ‘mogelijk geldt ϕ’. Stel dat we in wereld s willen besluiten
of de formule 3ϕ waar is of niet, en dat de werelden s, t1 , t2 en t3 de toegankelijke werelden
zijn vanuit s — als in het volgende plaatje:
t1
q
KAA
A
A
t2
q
6
t3
q
A A q s
De situatie is dus als volgt: hoewel we ons in wereld s bevinden, houden we het nog voor
mogelijk dat we ons in een van de werelden s, t1 , t2 of t3 bevinden. Daarom zal de formule
3ϕ waar zijn in s, als er tenminste één toegankelijke wereld is waarin ϕ zelf waar is.
Analoog geldt, dat de formule 2ϕ waar is in s als ϕ waar is in elke wereld die in s voor
mogelijk wordt gehouden. Dit impliceert dat 2ϕ waar is dan en slechts dan als er geen wereld
toegankelijk is waar ϕ onwaar is: 2ϕ is waar als ¬ϕ niet voor mogelijk wordt gehouden.
Alles tesamen nemende, komen we nu tot de volgende definitie van het waarheidsbegrip:
Definitie 1.6 [waarheid] Laat M = (W, R, π) een model zijn, en ϕ een formule. We
definiëren de waarheid van ϕ in een toestand s van W inductief als volgt:
M, s p
M, s ¬ϕ
M, s ϕ ∧ ψ
M, s 3ϕ
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
π(s)(p) = 1
M, s 6 ϕ
M, s ϕ & M, s ψ
M, t ϕ, voor minstens één punt t zó dat Rst.
Als geldt M, s ϕ dan zeggen we dat (in M) de formule ϕ waar is in toestand s. Als het
duidelijk is welk model we in gedachten hebben, dan schrijven we wel s ϕ in plaats van
M, s ϕ.
Opmerking 1.7 Uit bovenstaand voorbeeld kunnen we onmiddelijk de waarheidsdefinitie afleiden
voor de andere connectieven:
1. Voor de implicatie (→) geldt bijvoorbeeld:
M, s ϕ → ψ ⇐⇒ als M, s ϕ, dan ook M, s ψ.
Stel nu dat u wilt laten zien dat de formule ϕ → ψ waar is in een bepaalde toestand s
van een model M. Het handigste is dan om aan te nemen dat ϕ waar is in s, en op grond
daarvan aan te tonen dat M, s ψ.
Modale logica: basisbegrippen/ 6
2. Voor het blokje 2 hebben we de volgende clausule:
M, s 2ϕ ⇐⇒ M, t ϕ, voor elk punt t zó dat Rst.
In het bijzonder geldt
M, s 2⊥ ⇐⇒ er bestaat geen wereld t zó dat Rst.
(1)
Toestanden zonder opvolgers noemen we wel blinde werelden; (1) stelt dus dat blinde
werelden worden gekarakteriseerd door de formule 2⊥.
Voorbeeld 1.8 Beschouw het volgende model:
qb 0
a0
q
@
@
@
@
Rq
@
c0 p, q
qb 1
qb 2
p
-q
a1
@
@
@
Rq
@
c1 p, q
p
-q
a2
p
-q
a3
Er geldt onder andere:
a0 3(p ∧ q) ∧ 3(p ∧ ¬q)
a2 3(p ∧ 2⊥)
a0 33(p ∧ q ∧ 332⊥)
In veel gevallen zijn we niet alleen geı̈nteresseerd in de waarheid van formules in afzonderlijke toestanden van een model, maar ook in formules die in elke toestand van het model
waar zijn, of zelfs in formules die waar blijven als we de valuatie veranderen.
Voorbeeld 1.9 Beschouw bijvoorbeeld het volgende model M:
p
q?
s1
I
@
@
@
p
?
q
s4
@
@?
q
s0
-?
q
s3
@
@
@
s2 q 6p
@
R?
@
q
s5 p
- q?
s6 p
Het is duidelijk dat de formule 2p → p waar is in het hele model, evenals de formule 23p.
Er geldt echter dat de waarheid van de eerste formule als het ware stabieler is dan die van de
tweede. Immers, stel dat we de valuatie π iets veranderen, bijvoorbeeld tot π 0 , gegeven door
1 als x ∈ {s0 , s6 }
π 0 (x)(p) =
0 als x ∈ {s1 , s2 , s3 , s4 , s5 }
Modale logica: basisbegrippen/ 7
Dan geldt (W, R, π 0 ), s0 6 23p, omdat (W, R, π 0 ), s3 6 3p.
De formule 2p → p zal echter waar zijn in elke toestand van elk model dat gebaseerd is op
het bovenstaande frame. Stel namelijk dat we voor een valuatie τ onderzoeken of (W, R, τ ), x 2p → p voor een willekeurige wereld x. Als voorbeeld nemen we eerst x = s3 . We nemen dus aan
dat (W, R, τ ), s3 2p, en proberen aan te tonen dat (W, R, τ ), s3 p. Uit (W, R, τ ), s3 2p
volgt dat p waar is in elke opvolger van s3 , dus ook in s3 zelf! De crux van deze redenering
zit hem dus in het feit dat s3 reflexief is: s3 is een opvolger van zichzelf. Op dezelfde manier
kunnen we voor ieder ander punt si laten zien dat (W, R, τ ), si 2p → p.
Het bovenstaande voorbeeld leidt tot de volgende definities:
Definitie 1.10 [waarheid en geldigheid] Laat F = (W, R) een frame zijn, en M = (F, π)
een model (dat gebaseerd is op F). We zeggen dat een modale formule ϕ waar is in M,
notatie: M ϕ, als ϕ waar is in elk punt van M.
We zeggen dat ϕ geldig is in F, notatie: F |= ϕ, als ϕ waar is in elk model dat gebaseerd
is op F. Anders geformuleerd:
F |= ϕ ⇐⇒ (F, τ ) ϕ voor elke valuatie τ .
In een slogan kunnen we dus zeggen:
geldigheid is een stabiele vorm van waarheid.
Voorbeeld 1.11 Beschouw het frame F = (E, G) waarbij E de verzameling landen van de Europese Unie is (in 1995), en Gst geldt als s grenst aan t.
De intuı̈tieve betekenis van
s 3ϕ
in een model op dit frame is dan:
s grenst aan een land waar ϕ waar is.
(Wat is de intuı̈tieve betekenis van s 2ϕ?)
Beschouw nu de valuatie π gegeven door
1 als s een romaanse taal als officiële taal heeft
π(s)(p) =
0 anders
1 als s een germaanse taal als officiële taal heeft
π(s)(q) =
0 anders
Dan geldt M σ, waarbij deze laatste formule gegeven wordt door
(σ)
(p ∧ q) → 3(p ∧ ¬q) ∧ 3(¬p ∧ q).
Immers, beschouw een willekeurig land s. Om te laten zien dat σ waar is in s, nemen we aan dat
p∧q waar is in s. De enige landen die in aanmerking komen zijn België en Luxemburg. Omdat in
Frankrijk een romaanse taal en geen germaanse taal de officiële taal is, geldt Frankrijk p ∧ ¬q,
en omdat België grenst aan Frankrijk, vinden we dat Belgie 3(p ∧ ¬q). Evenzo impliceert
Nederland ¬p ∧ q dat Belgie 3(¬p ∧ q). Op analoge wijze vinden we dat Luxemburg 3(p ∧ ¬q) ∧ 3(¬p ∧ q). (Waarom is dit voldoende om te laten zien dat M σ?)
Modale logica: basisbegrippen/ 8
Echter, σ is niet geldig in het frame F. Bekijk bijvoorbeeld de valuatie π 0 die p waar maakt
in precies de landen die aan zee liggen, en q in landen met een republikeinse staatsvorm. Dan
geldt bijvoorbeeld dat
Frankrijk p ∧ q,
Frankrijk 6 3(¬p ∧ q).
Immers het enige land dat (aan Frankrijk grenst en) niet aan zee ligt, is Luxemburg, en Luxemburg is een groothertogdom, geen republiek. Er geldt dus dat
(F, π 0 ), Frankrijk 6 σ,
zodat
(F, π 0 ) 6 σ.
Daarmee hebben we aangetoond dat
F 6|= σ.
Een voorbeeld van een formule die wel geldig is in F, is 32p → p. We tonen aan dat
F |= 32p → p.
(2)
Stel dus dat we een model M = (F, τ ) voor ons hebben. We moeten laten zien dat 32p → p
in elk land waar is. Laat s dus een willekeurig land zijn. We nemen aan dat M, s 32p, en
tonen aan dat M, s p.
Uit M, s 32p volgt dat s grenst aan een land t waarvoor geldt: t 2p. Met andere woorden:
in elk land dat aan t grenst, is p waar. Maar als s grenst aan t, dan grenst t ook aan s. Dus is
p waar in s. Dit bewijst (2).
Merk op dat we in de cruciale stap van het bovenstaande bewijsje gebruiken dat de relatie
‘grenzen aan’ symmetrisch is.
Opmerking 1.12 De hier gebruikte terminologie en notatie is niet helemaal standaard: in plaats
van ‘waarheid’ in een model (M ϕ) wordt ook wel gesproken van ‘geldigheid’ in een model;
daarbij wordt dan de notatie ‘M |= ϕ’ gebruikt. De dubbele turnstyle ‘|=’ wordt ook wel gebruikt
om het locale waarheidsbegrip weer te geven; men schrijft dan ‘M, s |= ϕ’ voor ‘M, s ϕ’.
Opmerking 1.13 Ten slotte nog een waarschuwing: waarheid in een model en geldigheid in een
frame gedragen zich niet altijd op de voor u misschien voor de hand liggende wijze. Er geldt
bijvoorbeeld niet dat als een formule niet waar is in een model, dat dan zijn tegendeel waar is.
Het kan immers best zijn dat er toestanden zijn waar ϕ waar is, en toestanden waar ¬ϕ waar
is.
1.2
karakteriseerbaarheid
We hebben nu twee voorbeelden gezien waarin de geldigheid van een formule in een frame
wordt afgedwongen door een bepaalde eigenschap van de toegankelijkheidsrelatie van dat
frame. Dat inspireert de volgende definitie:
Definitie 1.14 [geldigheid in een klasse] Een modale formule ϕ is geldig in een klasse
C van frames, notatie: C |= ϕ, als ϕ geldig is in elk frame in C. Een formule ϕ is universeel
geldig, of gewoon: geldig, notatie: |= ϕ, als ϕ geldig is in (de klasse van) alle frames.
Modale logica: basisbegrippen/ 9
Voorbeeld 1.15 De formule 2p → p is geldig in de klasse van reflexieve frames (dwz: frames
met een reflexieve toegankelijkheidsrelatie); De formule 32p → p is geldig in de klasse van
symmetrische frames. De formule 2(p → q) → (2p → 2q) is universeel geldig.
Voor beide formules geldt zelfs nog iets sterkers. Van de formule 2p → p weten we niet
alleen dat zij geldig is in elk reflexief frame, we kunnen ook aantonen dat 2p → p in geen
enkel frame geldig is als de toegankelijkheidsrelatie van dat frame niet reflexief is! We kunnen
dus het volgende bewijzen:
voor elk frame F = (W, R) geldt: F |= 2p → p =⇒ F |= ∀x Rxx.
(3)
Stel immers dat F = (W, R) een frame is dat niet reflexief is: F 6|= ∀x Rxx. We moeten een
valuatie π definiëren zodanig dat (F, π) 6 2p → p. Naast de valuatie moeten we dus ook
tenminste één punt vinden waar (F, π), s 6 2p → p.
Omdat R niet reflexief is, bestaat er tenminste één punt s in W waarvoor geldt dat
(s, s) 6∈ R. Laten we nu eens proberen om de formule 2p → p onwaar te maken in s. We
moeten dan twee dingen bewerkstelligen:
1. 2p moet waar zijn in s
2. p moet onwaar zijn in s.
Om 2p waar te maken in s, moet p waar zijn in alle opvolgers van s. Stel nu dat we een
valuatie kiezen die p alleen waar maakt in alle opvolgers van s. Met andere woorden, we
definiëren:
1 als Rsx
π(x)(p) =
0 anders
Omdat s zelf geen opvolger is van s, geldt dus: (F, π), s 6 p. We hebben dus een valuatie π
gevonden, die niet alleen aan voorwaarde 1, maar ook aan voorwaarde 2 voldoet!
Om het verhaal af te maken: er geldt nu (F, π), s 6 2p → p. De formule 2p → p is dus
niet overal waar in het model (F, π). Maar dan is de formule dus ook niet geldig in het frame
F. Dit bewijst 3.
Op een analoge manier kunnen we laten zien dat de formule 32p → p niet geldig is in een
frame als dat frame niet symmetrisch is. Deze voorbeelden leiden tot de volgende definitie:
Definitie 1.16 [karakteriseerbaarheid] Een formule ϕ karakteriseert een klasse K van
frames als
voor elk frame F geldt: F |= ϕ ⇐⇒ F behoort tot K.
Een eigenschap van frames heet modaal karakteriseerbaar als er een modale formule is
die de klasse van frames karakteriseert welke deze eigenschap hebben.
Anders geformuleerd: ϕ karakteriseert K als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
• ϕ is geldig in K
• ϕ is geldig in geen enkel frame buiten K.
Voorbeeld 1.17 De formule 2p → p karakteriseert de (klasse van) reflexieve frames; symmetrie
wordt gekarakteriseerd door de formule 32p → p.
Modale logica: basisbegrippen/ 10
We geven nu nog een ander voorbeeld van een karakterisering:
Propositie 1.18 De formule 33p → 3p karakteriseert de frames met een transitieve toegankelijkheidsrelatie.
Bewijs.
We bewijzen alleen de ‘moeilijke’ kant van de bewering, namelijk dat de formule 33p → 3p
niet geldig is op een frame als de relatie van het frame niet transitief is.
Stel dat F = (W, R) een willekeurig frame zó dat F 6|= ∀xyz ((Rxy ∧ Ryz) → Rxz). Dan
is er dus een drietal punten s, t en u in W dat een tegenvoorbeeld vormt voor de transitiviteit
van R:
tq
*H
HH
H
HH
s q
j
- qu
NB Het domein W kan heel goed nog andere punten bevatten, en de relatie R nog andere
paren (bijvoorbeeld (u, s)); u dient het plaatje te zien als een soort venster op F.
Om te laten zien dat de formule 33p → 3p niet geldig is moeten we een valuatie zoeken,
en een punt in W zodat de formule niet waar is in dat punt. Het ligt voor de hand om ons te
concentreren op het punt s. We moeten twee dingen bewerkstelligen:
1. 33p moet waar zijn in s
2. 3p moet onwaar zijn in s.
Om 33p waar te maken in s, kunnen we p bijvoorbeeld waar maken in u. Stel nu dat we p
alleen in u waar maken, door de volgende valuatie te definiëren:
1 als x = u
π(x)(p) =
0 anders
Dan geldt u p, zodat t 3p en s 33p. Aan de andere kant is p onwaar in alle opvolgers
van s (immers als x een opvolger is van s, dan geldt x 6= u). Hieruit volgt dus dat s 6 3p.
Maar dan geldt dus (F, π) 6 33p → 3p, zodat 33p → 3p niet geldig is in F.
2
Opmerking 1.19 Om aan te tonen dat een formule ϕ niet geldig is in een bepaald frame F, moet
je een valuatie zoeken zó dat ϕ onwaar is in een of ander punt van F. Hierbij kun je alleen
voor de propositionele variabelen kiezen waar ze waar of onwaar zullen zijn. In het bewijs van
Propositie 1.18 heb je dus niet de vrijheid om te zeggen: kies een valuatie π zó dat 33p ∧ ¬3p
waar is in punt s. In dit specifieke geval moet je een π zo kiezen, dat de propositionele variabele
p waar is in u en onwaar in alle opvolgers van s. Het effect van deze keuze is dan, dat de formule
33p ∧ ¬3p inderdaad waar is in s.
1.3
bisimulaties
Aan het einde van deze inleidende paragraaf bespreken we een begrip, dat een belangrijk
hulpmiddel is bij het vergelijken van twee modellen, namelijk de notie van een bisimulatie
tussen twee modellen.
Modale logica: basisbegrippen/ 11
Definitie 1.20 Gegeven zijn twee modellen M = (W, R, π) en M0 = (W 0 , R0 , π 0 ). Een nietlege relatie Z ⊆ W × W 0 heet een bisimulatie tussen de modellen M en M0 als Z aan
de volgende drie voorwaarden voldoet (voor een bisimulatie gebruiken we vaak infixnotatie):
1. als wZw0 , dan geldt voor elke p ∈ V AR dat π(w)(p) = π 0 (w0 )(p),
2. als wZw0 en Rwv, dan is er een v 0 ∈ W 0 zó dat vZv 0 en R0 w0 v 0 ,
3. als wZw0 en R0 w0 v 0 , dan is er een v ∈ W zó dat vZv 0 en Rwv.
Om aan te geven dat er tussen de modellen M en M0 een bisimulatie bestaat die de punten
w en w0 met elkaar verbindt, gebruiken we de notatie: M, w ↔ M0 , w0 ; informeel zeggen we
in dit geval dat de punten w en w0 (met elkaar) bisimuleren.
Een relatie Z ⊆ W × W 0 heet een bisimulatie tussen de frames (W, R) en (W 0 , R0 ) als
Z voldoet aan de voorwaarden 2 en 3 hierboven.
Intuı̈tief gesproken, betekent het bestaan van een bisimulatie Z tussen de modellen M en
waarbij wZw0 , dat M en M0 erg op elkaar lijken, gezien vanuit de werelden w resp. w0 .
De clausules zeggen namelijk het volgende:
M0
1. als w en w0 bisimuleren, dan moeten ze in ieder geval de zelfde propositionele variabelen
waar maken.
2. als w en w0 bisimuleren, en je kunt in model M vanuit w een stap zetten naar een
toestand v, dan moet je ook in model M0 vanuit w0 een stap kunnen zetten naar een
toestand v 0 die weer bisimuleert met v. Beschouw het volgende plaatje:
vq
0
Z
qv
6
Z
q
6
w
q
w0
M0
M
3. deze clausule is natuurlijk het spiegelbeeld van clausule 2.
Voorbeeld 1.21 Beschouw de volgende modellen M = (W, R, π) en M0 = (W 0 , R0 , π 0 ):
W
Rmn
π(n)(p)
=
⇐⇒
=
N
n
= m + 1
1 als n even is
0 als n oneven is
W0
R0
= {e, o}
= {(e,
o), (o, e)}
1 als x = e
π(x)(p) =
0 als x = o
Laat vervolgens Z ⊆ W × W 0 de volgende relatie zijn:
Z = {(n, e) | n is even } ∪ {(n, o) | n is oneven }.
Waarschijnlijk maakt het volgende plaatje duidelijker wat er bedoeld wordt:
Modale logica: basisbegrippen/ 12
'
0q
$
- 1q
- 2q
- 3q
AA
Q
Q
@
@
&
Q
Q
@
@
@
@
- 4q
- 5q
AA
Q
Q
@
@'
@
R?
@
q
e
&
...
%
AA
Q
Q
-
...
AA
$
Q
s AAU Q
-q
o
%
De claim is dat Z een bisimulatie is tussen M en M0 . Het is niet erg moeilijk om te laten zien
dat aan clausule 1 is voldaan.
Voor clausule 2 beschouwen we een paar (n, s) ∈ Z, en een opvolger m van n in M. Er zijn twee
mogelijkheden: óf n is even en s = e, óf n is oneven en s = o. We behandelen alleen de eerste
mogelijkheid, en stellen dus dat n even is. Per definitie geldt dan dat m, de opvolger van n,
oneven moet zijn: m is immers gelijk aan n + 1. Maar dan geldt mZo, en omdat o een opvolger
is van e in M0 , zijn we klaar.
Nu onderzoeken we clausule 3: we nemen een willekeurig bisimulerend paar (n, s) waarbij s een
opvolger t heeft. We worden weer geconfronteerd met de zelfde mogelijkheden als eerder. Nu
kijken we alleen naar het geval waarin n oneven is, en s dus het punt o. Per definitie van R0
geldt dus dat t het punt e moet zijn. Maar als n oneven is, dan is n + 1 even. Er geldt dus
zowel R(n, n + 1) (per definitie van R) als (n + 1)Ze (per definitie van Z). Maar dat is precies
wat we zochten.
Een van de belangrijkste resultaten over bisimulaties is dat bisimulerende punten dezelfde
modale formules waar maken — de modale taal is als het ware blind voor de verschillen tussen
modellen waartussen een bisimulatie bestaat. De volgende stelling heeft zeer veel toepassingen
binnen de modale logica:
Stelling 1.22 [Preservatie van waarheid onder bisimulaties]
Als M, w ↔ M0 , w0 , dan geldt voor alle modale formules ϕ:
M, w ϕ ⇐⇒ M0 , w0 ϕ.
Bewijs.
Neem aan dat Z een bisimulatie is tussen de modellen M = (W, R, π) en M0 = (W 0 , R0 , π 0 ).
We bewijzen met formule-inductie dat iedere modale formule ϕ voldoet aan de volgende
bewering:
voor alle w, w0 met wZw0 geldt: M, w ϕ ⇐⇒ M0 , w0 ϕ.
In de basisstap van dit bewijs nemen we aan dat ϕ een atomaire formule is, zeg p. Als w
en w0 nu punten zijn met wZw0 , dan geldt
M, w p
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
π(w, p) = 1
π 0 (w0 , p) = 1
M0 , w0 p.
Hier wordt de tweede (en cruciale) equivalentie gerechtvaardigd door de eerste clausule van
de definitie van een bisimulatie.
Modale logica: basisbegrippen/ 13
Van de inductiestap van het bewijs slaan we de boolese stappen over (vgl. Opgave 1.7);
we behandelen alleen het geval, waarin ϕ van de vorm 3ψ is. De inductiehypothese luidt dan
als volgt:
voor alle w, w0 met wZw0 geldt: M, w ψ ⇐⇒ M0 , w0 ψ.
(IH)
Stel nu dat we punten s ∈ W , s0 ∈ W 0 gegeven hebben die bisimuleren volgens Z. We moeten
laten zien dat
M, s 3ψ ⇐⇒ M0 , s0 3ψ.
(4)
We bewijzen slecht één kant van deze equivalentie — de andere kant verloopt volledig analoog.
Neem aan dat 3ψ waar is in s. Volgens de waarheidsdefinitie is er dan een opvolger t van s
waar ψ waar is. Uit Rst en sZs0 volgt dan, met behulp van clausule 2 van de definitie van
een bisimulatie, dat er een punt t0 ∈ W 0 bestaat dat bisimuleert met t én een opvolger is van
s0 . Nu gebruiken we de inductiehypothese: uit tZt0 en M, t ψ volgt M0 , t0 ψ. Maar dan
volgt onmiddelijk dat M0 , s0 3ψ, omdat t0 een opvolger is van s0 . We hebben nu inderdaad
één helft van (4) bewezen.
2
Modale logica: basisbegrippen/ 14
1.4
Opgaven
Opgave 1.1 Beschouw het model M = (W, R, π) als gegeven in het onderstaande plaatje.
p, q
q
a2
p
-q
a5@
@
q
-q
a3
p
q
a1
@
@
@
@
@
@
@
@
@
R q a4
@
R
@
-q
a6 q
q
@
Rqp
@
a7
(a) Laat zien dat
1. M, a1 22(p ∨ q)
2. M, a2 3q → 33q
3. M, a3 3p → 2(q → 2(p → 2p))
(b) Laat zien dat
1. M 6 p → 3p
2. M 222¬q
3. M 6 q → (3q → 2(q → 3q))
(c) Verander de valuatie zodanig dat in het ontstane model M0 geldt: M0 2p → p.
Opgave 1.2 De binaire boom is het volgende frame B = (W, R). Het domein W is de verzameling
van strings (rijtjes) over het alfabet {a, b}, oftewel:
W = {, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, . . .}.
De relatie R wordt gegeven door
Rst ⇐⇒ t = sa of t = sb.
(a) Maak een plaatje van de binaire boom.
(b) Beschouw de valuatie π die p waar maakt op strings die een even lengte hebben. Laat zien
dat (B, π) 23p → 32p.
(c) Gegeven is de valuatie π1 die de variabele p waar maakt in strings die met een a beginnen,
en de variabele q in strings die met een b beginnen. Laat met behulp van deze valuatie zien dat
de formule λ:
(3p ∧ 3q) → [3(p ∧ 3q) ∨ 3(p ∧ q) ∨ 3(3p ∧ q)]
(λ)
niet geldig is in de binaire boom.
(d) Laat zien dat de formule 33p → 3p niet geldig is in B.
Modale logica: basisbegrippen/ 15
Opgave 1.3 Bewijs of weerleg dat de volgende formules geldig zijn in alle frames:
(a) 2(p → q) → (3p → 3q)
(b) 2(p ∧ q) → (3p ∧ 3q)
(c) 2(p ∧ q) → (2p ∧ 2q)
(d) 2p → 3p
(e) 3p → 2p
(f ) 3(p → q) → (2p → 3q)
(g)∗ 2(2p → p) → 2p
Opgave 1.4 Gegeven is een frame F = (W, R).
(a) Laat zien dat de volgende implicaties gelden:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
R
R
R
R
is
is
is
is
voortzettend
transitief
partieel functioneel
functioneel
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
F
F
F
F
|= 3>
|= 2p → 22p.
|= 3p → 2p.
|= 2p ↔ 3p.
(b)∗ Laat zien dat de formules in (a) de corresponderende eigenschap karakteriseren.
Opgave 1.5 Laat F het frame (N, S) zijn van de natuurlijke getallen met de opvolgerrelatie S
gegeven door Smn ⇐⇒ n = m + 1.
(a) Definieer een valuatie τ op F waarvoor geldt
(B, π), ↔ (F, τ ), 0,
waarbij (B, π) het model is gedefinieerd in onderdeel (b) van Opgave 1.2. Bewijs dat dit de enige
mogelijkheid is voor τ .
(b) Laat zien dat er geen valuatie τ1 op F bestaat zó dat (B, π1 ), ↔ (F, τ1 ), 0, waarbij (B, π1 )
het model is op de binaire boom dat gedefinieerd is in onderdeel (c) van Opgave 1.2.
Opgave 1.6 Beschouw de volgende twee frames F en F 0 :
sa
. . .
F
s a0
~
Z
Z
Z
~
Z
Z
. . .
~
Z
Z
~.
Z
.
F
0
..
.
(Uitleg: F heeft oneindig veel paden van eindige lengte 1,2,3,. . . ; F 0 heeft daarnaast ook een
oneindig pad.)
Beredeneer dat er geen bisimulatie Z bestaat tussen F en F 0 zó dat aZa0 .
Modale logica: basisbegrippen/ 16
Opgave 1.7 Vul de ontbrekende stappen aan in het bewijs van Stelling 1.22.
Opgave 1.8
(a) Geef een voorbeeld van een formule ϕ en een model M zó dat noch ϕ, noch ¬ϕ waar zijn in
M.
(b) Geef een voorbeeld van een formule ϕ en een frame F zó dat er twee modellen M = (F, R)
en M0 = (F, R0 ) bestaan waarvoor geldt dat M ϕ en M0 ¬ϕ.
Opgave 1.9 Beschouw het model M van Voorbeeld 1.21, en de volgende verzameling
W 00 = {1̄, 2̄} ∪ {3n | n ∈ N}.
Ga na, of er een relatie R00 op W 00 en een bisimulatie tussen de frames (W, R) en (W 00 , R00 )
bestaan, waarvoor geldt:
{(3n, 3n) | n ∈ N} ⊆ Z
{(3n + 1, 1̄) | n ∈ N} ⊆ Z
{(3n + 2, 2̄) | n ∈ N} ⊆ Z.
Temporele logica/ 17
2
2.1
Temporele logica
inleiding
In vele gebieden binnen de informatica en de kunstmatige intelligentie zijn formele representaties van het begrip tijd nodig, evenals formele talen om over die representaties te kunnen
redeneren. Denkt u bij de informatica bijvoorbeeld aan real-time systemen of databases, en
voor de A.I. aan planning. Daarnaast heeft het redeneren over programma’s ook bijna altijd
temporele aspecten. In deze paragraaf bespreken we enkele zeer eenvoudige benaderingen
vanuit de modale logica.
Bij het opzetten van een (logisch) formalisme voor het modelleren van het begrip ‘tijd’
moeten er op de volgende vlakken keuzes gemaakt worden:
ontologie Hierbij gaat het om de kwestie, welke mathematische structuren we kiezen als
modellen voor de intuı̈tieve notie ‘tijd’. Vragen die dan een rol spelen zijn bijvoorbeeld: Representeren de objecten in het domein tijdstippen, intervallen of zogenaamde
‘events’ ? Wat voor relaties bestaan er tussen deze entiteiten? Wat voor condities
moeten we opleggen aan onze structuren opdat zij ‘echte’ tijdsstructuren zijn?
taal Ten tweede is er het probleem welke objecttaal we zullen gebruiken om uitspraken te
doen over de gekozen temporele structuren. In hoofdlijnen kunnen we kiezen voor bijvoorbeeld de predicatenlogica, modale formalismes, algebraı̈sche formalismes, of voor
hybride talen. In tweede instantie, als we bijvoorbeeld hebben geopteerd voor de predicatenlogica, moeten we dan nog kiezen welke predicaten we nodig hebben.
semantiek Ten slotte moeten we dan nog besluiten hoe we de gekozen taal zullen interpreteren in de gekozen structuren. In de modale aanpak kunnen we bijvoorbeeld
bepaalde constraints opleggen aan de valuaties, zoals de eis dat propositionele variabelen waar zijn in een uniek punt.
De uitkomst van dergelijke overwegingen zal afhangen van een aantal factoren. De keuze
voor een bepaalde ontologie zal voor een groot deel worden beı̈nvloed door de intuı̈ties die men
binnen het beoogde toepassingsgebied heeft over de notie ‘tijd’. Zo verloopt de tijd binnen
het bankwezen heel anders dan voor een ontwerper van micro-processoren, en heeft men voor
common sense redeneringen weer heel andere intuı̈ties dan voor de kwantummechanica. Bij
het kiezen van een geschikte taal om over tijd te redeneren spelen daarnaast ook computationele overwegingen een rol: in het algemeen zal hier een afweging gemaakt moeten worden
tussen expressiviteit en complexiteit.
De bovengenoemde vragen zullen in dit college slechts gedeeltelijk aan de orde komen.
We kiezen hier voor een benadering, waarin tijd wordt gerepresenteerd als een verzameling
tijdstippen die (partieel) geordend worden door de ‘eerder dan’-relatie; waarin we een modale
taal kiezen om over deze structuren te spreken; en waarin de semantiek de gewone modale
semantiek is zoals die in de vorige paragraaf is ontwikkeld. We hebben dan nog keuzemogelijkheden in de precieze aard van de partiële ordening, en in de verzameling modale operatoren
van onze taal.
Definitie 2.1 [tijdsstructuren] Een temporeel frame of tijdsstructuur is een frame
T = (T, <) waarbij T een verzameling tijdstippen is en < een temporele ordening op T , dat
Temporele logica/ 18
wil zeggen, een irreflexieve, transitieve relatie op T . Als s < t, dan zeggen we dat s eerder
is dan t.
Als conventie hanteren we dat zodra een temporeel frame T gegeven is, de verzameling
tijdstippen genoteerd wordt als T .
Opmerking 2.2 Wij hebben hier gekozen voor een opzet waarin de temporele ordening irreflexief
is. In veel gevallen (waaronder een eerdere versie van deze syllabus!) wordt tijd juist gemodellerd
als een partiële ordening, dat wil zeggen een reflexieve, antisymmetrische, transitieve binaire
relatie. Merk op dat de frames in de Opgaves 1.2, 1.5 en 2.6 volgens onze definitie geen temporele
frames zijn.
Conventie 2.3 In plaatjes van temporele frames zullen we niet altijd de pijlen tekenen
tussen alle tijdstippen waarvoor de ‘eerder dan’ relatie geldt. Omdat temporele frames
per definitie altijd transitief zijn, kunt u wel altijd gemakkelijk de werkelijke gedaante
van de ‘eerder dan’ relatie afleiden.
Daarnaast zullen we tijdsstructuren ook vaak weergeven met behulp van lijnen. In een
dergelijke plaatje ‘loopt’ de tijd van links naar rechts, of van beneden naar boven.
Definitie 2.4 [temporeel model] Een temporeel model is een paar M = (T , π) waarbij
T een tijdsstructuur is en π een valuatie. (Dat wil zeggen, net als in de gewone modale logica
is π een functie: T → (VAR → {0, 1}).)
De intuı̈tieve betekenis van de operatoren 3 en 2 in zulke modellen is nu:
3ϕ ≡
2ϕ ≡
ooit (in de toekomst) zal ϕ waar zijn
voortaan (altijd vanaf nu) zal ϕ waar zijn,
in een plaatje:
ϕ ϕ ϕ ϕ
XXX ϕ
XXX ϕ
r
2ϕ
XX ϕ
X
X
XX
XXrX
r
3ϕ
ϕ XXX
XX
Voorbeeld 2.5 We kunnen nu heel eenvoudige voorbeeldjes geven van het formaliseren van uitspraken met een temporeel aspect, bijvoorbeeld
‘voortaan zal het licht afwisselend aan en uit zijn’
door
2(3aan ∧ 3¬aan).
Voorbeeld 2.6 Stel dat we (een heel eenvoudig deel) van de salarisadministratie van een bedrijf
willen formaliseren in de taal van de temporele logica. Voor elke werknemer x introduceren we
de volgende propositionele variabelen en hun intuı̈tieve betekenis:
dx
sx
px
†x
x
x
x
x
is in dienst bij het bedrijf
ontvangt een salaris van het bedrijf
ontvangt een pensioen van het bedrijf
overlijdt
Dan kunnen we de volgende uitspraken in deze taal uitdrukken:
Temporele logica/ 19
1. x zal nooit zowel een salaris als een pensioen ontvangen door
2¬(sx ∧ px )
2. als x nu in dienst is bij het bedrijf, dan zal zij tot aan haar dood van het bedrijf een salaris
of een pensioen ontvangen door
dx → 2(3†x → (sx ∨ px ))
3. als x overleden is, ontvangt zij geen pensioen en geen salaris door
2(†x → 2(¬sx ∧ ¬px )).
2.2
bijzondere klassen van temporele frames
In de inleiding van deze paragraaf waarin we een aantal verschillende terreinen tegenkwamen
waarop men een keuze dient te maken bij het formaliseren van het begrip ‘tijd’, werden ook
‘condities’ op tijdsstructuren genoemd. We bespreken nu twee belangrijke keuzemogelijkheden.
2.2.1
lineaire vs vertakkende tijd
Het plaatje dat de meeste (westerse) mensen van het begrip tijd hebben is dat van een lijn, dat
wil zeggen: een totale ordening van tijdstippen. Er bestaan echter ook opvattingen, bijvoorbeeld binnen de literatuur of virtual reality-spelletjes, waarin de tijd zich kan vertakken. Men
kan dan nog onderscheid maken tussen tijd die naar het verleden danwel naar de toekomst
vertakt — al zal men het verleden eerder éénduidig willen vastliggen dan de toekomst. Het
aardige is dat we in onze modale taal de temporele structuren kunnen karakteriseren waarin
de tijd niet vertakt naar de toekomst:
Propositie 2.7 De formule
(λ)
(3p ∧ 3q) → [3(p ∧ 3q) ∨ 3(p ∧ q) ∨ 3(3p ∧ q)]
karakteriseert de rechts-lineaire temporele frames.
Bewijs.
Zie Opgave 2.2
2
Aan de andere kant is het niet mogelijk om een formule te vinden die de vertakkende
tijdsstructuren karakteriseert:
Propositie 2.8 Er bestaat geen temporele formule die de temporele frames karakteriseert
waarin de tijd zich naar rechts vertakt.
Bewijs.
We bewijzen deze Propositie uit het ongerijmde. Stel dus dat er wel een formule ϕ bestaat
die de klasse van tijdsstructuren karakteriseert welke voldoen aan de formule
(TAK )
∃xyz (x < y ∧ x < z ∧ y 6= z ∧ ¬(y < z) ∧ ¬(z < y))
Dan is ϕ niet geldig in het volgende frame T :
Temporele logica/ 20
q
a
-q
b
Er bestaat dus een valuatie π en een tijdstip t zó dat (T , π), t ¬ϕ. (We weten dat t één
van de punten a of b is, maar we weten niet welke van de twee). Beschouw nu het volgende
frame T 0 :
:q 0
b0
qX
a0 XXXXX
XXX
zq
X
b01
We gaan een valuatie π 0 definiëren op T 0 en een punt x0 opscharrelen in T 0 zó dat
(T , π), x ↔ (T 0 , π 0 ), x0 .
(5)
De valuatie π 0 wordt als volgt gekozen:
π 0 (a0 )(p) = π(a)(p)
π 0 (b00 )(p) = π(b)(p)
π 0 (b01 )(p) = π(b)(p)
We laten het aan de lezer om te laten zien dat nu de relatie Z gegeven door
Z := {(a, a0 ), (b, b00 ), (b, b01 )}
een bisimulatie is (denk hierbij wel even aan Conventie 2.3). Ten slotte ligt dan ook de keuze
van x0 voor de hand: als x = a dan kiezen we x0 = a0 en als x = b dan kiezen we x0 = b00 (of
x0 = b00 ). Dit bewijst (5).
We kunnen nu vrijwel onmiddelijk de gevraagde tegenstelling afleiden. Met behulp van
Stelling 1.22 volgt uit (5) namelijk dat (T 0 , π 0 ), x0 ¬ϕ. Dat betekent dat ϕ niet geldig is
in T . Omdat we hadden aangenomen dat ϕ de frames karakteriseert die voldoen aan TAK ,
moeten we de conclusie trekken dat T 6|= TAK . Dit geeft een overduidelijke contradictie. 2
2.2.2
dichte vs dicrete tijd
Een ander fundamenteel onderscheid is dat tussen een benadering waarin de tijd in afzonderlijke stapjes verloopt en een optiek waarin de tijd continu van aard is. De tweede visie
heeft u zich waarschijnlijk eigen gemaakt bij het vak natuurkunde op de middelbare school;
de eerste visie is gebruikelijk binnen de economie (rente wordt per dag berekend) en de informatica. Als we deze beide benaderingen van het tijdsbegrip formaliseren tot condities op
partiële ordeningen, dan komen we tot de volgende definities:
Definitie 2.9 Een tijdsstructuur T = (T, <) heet discreet als zij voldoet aan
T |= ∀xy (x < y → ∃z (x < z ∧ (z ≤ y) ∧ ¬∃u (x < u ∧ u < z))),
Temporele logica/ 21
en dicht als zij voldoet aan
T |= ∀xy (x < y → ∃z (x < z < y)).
Hierbij is x ≤ y een afkorting voor x < y ∨ x = y.
In woorden: een temporele ordening heet dicht als er tussen elk tweetal tijdsstippen waarvan
de één eerder is dan de ander, altijd een derde punt ligt. Wat betreft discrete tijdsstructuren
zullen we alleen lineaire ordeningen beschouwen; een lineaire ordening is discreet als elk punt
x een onmiddellijke opvolger u heeft, (als x tenminste niet het laatste punt van de lijn is —
dit wordt aangegeven door het antecedent ‘x < y’).
Er bestaan zowel formules die de dichte frames als die de discrete frames karakteriseren.
De formule voor de discrete frames is een beetje ingewikkeld, tenminste als we ons tot de
simpele taal willen beperken; later komen we een eenvoudige karakterizering tegen die de
until-operator gebruikt. De formule voor dichtheid geven we in de volgende propositie.
Propositie 2.10 De formule 3p → 33p karakteriseert de temporele frames met een dichte
ordening.
Bewijs.
Zie Opgave 2.4.
2.2.3
2
bijzondere structuren
In veel gevallen heeft men een heel specifieke interpretatie van het begrip ‘tijd’ in gedachten.
Als men bijvoorbeeld de salarisadministratie van een bedrijf wil formaliseren, dan zal de
onderliggende tijdsstructuur waarschijnlijk de gedaante aannemen van de natuurlijke getallen,
waarbij elk getal een maand weergeeft (met bijvoorbeeld als nulpunt de eerste maand waarin
het systeem in werking treedt, of de stichtingsdatum van het bedrijf). Omdat in commonsense redeneringen de tijd meestal wordt voorgesteld als een niet-vertakkende, dichte ordening,
kan men hier kiezen voor de ordening van bijvoorbeeld de rationale of de reële getallen. Voor
sommige doeleinden (bijvoorbeeld in de quantummechanica) kan men ingewikkelder temporele
ordeningen nodig hebben.
Definitie 2.11 We definiëren de volgende tijdsstructuren:
N
= (N, <)
Z = (Z, <)
Q = (Q, <)
R = (R, <),
waarin N, Z, Q en R de verzamelingen zijn van respectievelijk de natuurlijke, de gehele, de
rationale en de reële getallen, en , de gewone ‘kleiner dan’ relatie.
Temporele logica/ 22
2.3
alternatieve temporele talen
De modale taal met alleen de operator 3 is natuurlijk niet erg expressief. In de context van
temporele logica is het met name een beetje merkwaardig dat de taal wel de mogelijkheid heeft
om over de toekomst, maar niet om over het verleden te spreken. In bijna alle toepassingen
bevat de taal van de temporele logica dan ook tenminste twee ruitjes in plaats van maar één.
Definitie 2.12 De taal van de temporele propositielogica is die van de gewone klassieke
propositielogica, uitgebreid met twee éénplaatsige operatoren 3F en 3P . Als afkortingen voor
de duale operatoren gebruiken we 2F en 2P . De semantiek van deze operatoren wordt gegeven
door de volgende waarheidsdefinitie (in temporele modellen):
M, s 3F ϕ
M, s 3P ϕ
⇐⇒
⇐⇒
M, t ϕ, voor minstens één punt t zó dat s < t
M, t ϕ, voor minstens één punt t zó dat t < s.
Met andere woorden: 3F is onze oude ‘toekomst-operator’ (de ‘F ’ staat voor ‘future’), terwijl
3P naar het verleden kijkt (de ‘P ’ staat voor ‘past’), vergelijk:
r
r
3F ϕ
r
ϕ
r
ψ
3P ψ
In deze taal kunnen we meer uitdrukken; bijvoorbeeld
3P q → 3F q
≡ wat vroeger heeft plaatsgevonden, zal ooit weer gebeuren,
3P q → 2F 3P q ≡ wat vandaag verleden tijd is, blijft verleden tijd.
We kunnen zelfs bewijzen dat het toevoegen van de 3P -operator de uitdrukkingskracht van
de taal vergroot. Daartoe voegen we eerste de volgende definitie in.
Definitie 2.13 Twee formules ϕ en ψ heten equivalent als de formule ϕ ↔ ψ universeel
geldig is.
Propositie 2.14 Er is geen formule in de modale basistaal (dat wil zeggen de taal zonder de
3P -operator) die equivalent is met de formule 3P q.
Bewijs.
Stel dat er wel zo’n formule was. Bekijk de volgende modellen M en M0 :
q
r
s
-r
t
-r
u
r
-r
t0
u0
M0
M
We laten het over aan de lezer om te laten zien dat de relatie Z, gedefinieerd door
Z := {(t, t0 ), (u, u0 )}
een bisimulatie is tussen M en M0 . Volgens stelling 1.22 geldt dan voor alle formules ϕ in de
modale basistaal:
M, t ϕ ⇐⇒ M0 , t0 ϕ.
(6)
Temporele logica/ 23
Maar voor de formule 3P q geldt juist:
M, t 3P q, M0 , t0 6 3P q.
(7)
Dat betekent dat de formule 3P q nooit equivalent kan zijn met een formule in de modale
basistaal.
Want stel dat de basisformule ϕ equivalent zou zijn met 3P q. Wegens (7) geldt dan dat
M, t ϕ, zodat uit (6) volgt dat M0 , t0 ϕ. Dan geeft de equivalentie van ϕ en 3P q, dat
M0 , t0 3P q, maar dat is in tegenspraak met (7).
2
Verderop in deze paragraaf zullen we nog een uitbreiding van de temporele taal tegenkomen.
Opmerking 2.15 De hier gebruikte notatie is zeker niet de enige; de standaard is wellicht die,
waarin F wordt gebruikt voor 3F , P voor 3P , G voor 2F en H voor 2P . De notatie van
deze syllabus heeft als voordeel dat je meteen aan het symbool kunt zien of het een universele
(blokje) dan wel een existentiële (ruitje) operator is.
2.4
computationele temporele logica
We concentreren ons nu op een toepassing van temporele logica binnen de informatica,
namelijk het redeneren over (parallel) programmeren. Het doel is hierbij niet zozeer om
daadwerkelijk bijvoorbeeld correctheidsbewijzen van programma’s te geven (daartoe hebben
we aan de modale propositielogica ook niet voldoende), als wel om u een indruk te geven hoe
je vanuit een modaal perspectief naar programma’s zou kunnen kijken.
We bekijken eerst alleen één heel simpel frame, namelijk N = (N, <) (het temporele frame
bestaande uit de verzameling van de natuurlijke getallen, met daarop de gewone ‘kleiner dan’ordening <). De connectie met programma’s ligt in de observatie dat we dit frame kunnen
zien als een mogelijke ‘run’ van een berekeningsproces. De overgang van een tijdstip n naar
een tijdstip n + 1 komt dan overeen met het uitvoeren van een atomaire programmastap.
Een valuatie geeft dan aan in welke toestand het systeem zich op elk moment bevindt —
een toestand zou bijvoorbeeld een paar kunnen zijn bestaande uit de programcounter en een
lijst met de inhoud van de diverse geheugencellen1 . In deze modellering speelt het tijdstip 0
als beginpunt van de tijdsstructuur een bijzonder rol: als men een vertaling maakt van een
informele specificatie naar de formele modale taal, gaat men er wel vanuit dat de formules
geı̈nterpreteerd worden in het punt 0. Merk op dat dit geen verlies van algemeenheid hoeft
te betekenen; er geldt immers voor elke valuatie π op het frame N :
(N , π) ϕ ⇐⇒ (N , π), 0 ϕ ∧ 2ϕ.
We gebruiken in deze paragraaf de volgende afkortingen:
ϕ ≡ ϕ ∧ 2ϕ
3̇ϕ ≡ ϕ ∨ 3ϕ
In dit framework kunnen we al uitspraken formuleren over de correctheid van programma’s.
Stel dat een programma een entry label m0 en een exit label me heeft. We kunnen nu dergelijke
1
Voor een realistischer modellering moeten we ons dus tot de predicatenlogica wenden; dan kunnen we aan
ieder tijdstip een bedeling toekennen van getallen aan variabelen van het type integer, waarheidswaarden aan
variabelen van het type boolean, enzovoort.
Temporele logica/ 24
labels tot atomaire formules maken door er ‘at’ voor te zetten; de propositionele variabele
at(m0 ) is dan bijvoorbeeld waar in tijdstip n als na de n-de executiestap van het programma,
de program-counter zich bij het label m0 bevindt.
Een uitspraak over de partial correctness van een programma is van de vorm: als bij de
start van het programma de formule ϕ waar is, dan is bij terminatie de formule ψ waar. We
kunnen dit nu formaliseren tot:
at(m0 ) ∧ ϕ →
(at(me ) → ψ).
Total correctness houdt tevens in, dat het programma termineert:
at(m0 ) ∧ ϕ → 3̇(at(me ) ∧ ψ).
Ook (eenvoudige) eigenschappen van parallelle programma’s kunnen worden uitgedrukt in
ons formalisme. Stel dat k verschillende processen parallel opereren en een geheugenomgeving
delen; neem aan dat het kritische gedeelte van elk programma gemarkeerd wordt door het label
mc (de formule at i (mc ) geeft aan dat processor i in de kritische sectie van zijn programma zit).
Mutual exclusion is de eigenschap dat er nooit twee verschillende programma’s tegelijkertijd
in hun kritische gedeelte verkeren. Deze conditie kan eenvoudig worden uitgedrukt door de
formule
^
¬(at i (mc ) ∧ at j (mc )).
i,j≤k,i6=j
Nog weer een ander voorbeeld komt uit de wereld van operating systems. Stelt u zich voor
dat een operating system verzoeken (ri ) krijgt van verschillende processen, aan welke het kan
aangeven dat zo’n verzoek wordt gehonoreeerd (gi ). De formule
^
(ri → 3gi )
i≤k
geeft dan weer dat elke processor ooit de aandacht krijgt waar het om heeft verzocht: responsiveness van het systeem. Een iets zwakkere voorwaarde is fairness: het operating system
gaat in ieder geval in op een verzoek als het herhaaldelijk wordt gedaan:
^
(23ri → 3̇gi )
i≤k
In het algemeen kan men dergelijke voorwaarden aan programmatuur in verschillende categorieën verdelen. Zogenaamde liveness condities (‘something good will eventually happen’)
zijn van de vorm
ϕ → 3̇ψ,
terwijl safety condities (‘something bad will never happen’) geformuleerd kunnen worden in
het schema
ϕ → ψ.
Er zijn echter ook condities die je niet met behulp van alleen de 3-operator (of de 3F en de 3P -operator) kunt uitdrukken. Beschouw nog eens het voorbeeld van het operating
system. Hoe kunnen we formuleren dat een proces i niet aan de beurt komt voordat het zelf
daarom heeft verzocht (absence of unsollicited response)?
Temporele logica/ 25
Definitie 2.16 [until-operator] We kunnen de modale basistaal uitbreiden met een tweeplaatsig temporeel connectief U , waarvan de semantiek wordt gegeven door de volgende waarheidsdefinitie:
M, s ϕU ψ ⇐⇒
er is een punt u met s < u en M, u ψ
en voor alle punten t met s < t < u geldt M, t ϕ.
In een plaatje ziet het er als volgt uit:
ϕX
XX
ϕ X
ϕ
rψ X
ϕU ψ ϕ XXX
r
XX
Met behulp van de until-operator kunnen we nu inderdaad absence of unsollicited response
weergeven:
(3gi → (¬gi )U ri ) ∧ [(gi ∧ 3gi ) → (¬gi )U ri )].
Het aardige is, dat we met behulp van de until-operator, de gewone toekomst-operator
kunnen uitdrukken:
Propositie 2.17 Voor iedere formule ϕ geldt, in elk temporeel model M en in elk tijdstip t
M, t 3ϕ ⇐⇒ M, t >U ϕ.
Bewijs.
Dit volgt onmiddelijk uit de definities.
2
Aan de andere kant is de until-operator niet uitdrukbaar in de modale basistaal:
Propositie 2.18 Er is geen formule in de modale basistaal die equivalent is met de formule
pU q.
Bewijs.
Beschouw de volgende twee modellen M = (W, <, π) en M0 = (W 0 , <0 , π 0 )
Temporele logica/ 26
q
rv0
KA
A
A
A
A
q
rv1
AK
A
A
A
A
A
A A
A
Ar
rt 0
p ru
t1
KA
A
K
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A A A r
A r
s0
s1
q
rv 0
AKA
A
p ru 0
Ar
t0
KAA
A
A
A
A
A A r 0
M0
M
A
A
A
A
s
We laten het aan de lezer om aan te tonen dat de volgende relatie Z ⊂ W ×W 0 een bisimulatie
is:
Z := {(s0 , s0 ), (s1 , s0 ), (t0 , t0 ), (t1 , t0 ), (u, u0 ), (v0 , v 0 ), v1 , v 0 )}.
Hieruit volgt dat voor elke formule ϕ uit het basisformalisme geldt:
M, s0 ϕ ⇐⇒ M0 , s0 ϕ.
Maar voor de formule pU q geldt juist:
M, s0 pU q, M0 , s0 6 pU q.
Dat betekent dat er dus geen enkele formule ϕ in de modale basistaal equivalent kan zijn met
pU q.
2
Temporele logica/ 27
2.5
Opgaven
Opgave 2.1 Bewijs of weerleg dat de volgende formules geldig zijn op de temporele structuur
N = (N, <) van de natuurlijke getallen met de gewone ordening:
(a) 32p → 23p
(b) 23p → 32p
(c) 3F 2F ⊥
(d) 3P > → 3P 2P ⊥
(e) 3P 3F q → (3P q ∨ q ∨ 3F q)
Opgave 2.2 Bewijs Propositie 2.7.
Opgave 2.3
(a) Geef een ordening die zowel dicht als discreet is.
(b) Geef een ordening die noch dicht, noch discreet is.
Opgave 2.4 Bewijs Propositie 2.10.
Opgave 2.5 Gegeven zijn de formules
(τ )
(3F 2F p ∧ 3F ¬p) → 3F (¬p ∧ 2F p)
en
(γ)
(3F 2F p ∧ 3F ¬p) → 3F (2F p ∧ 2P 3F ¬p)
(a) Laat zien dat τ geldig is in het temporele frame Z = (Z, <).
(b) Laat zien dat τ niet geldig is in het temporele frame Q = (Q, <).
(c) Laat zien dat γ niet geldig is in het temporele frame Q = (Q, <).
(d) Is γ geldig in het temporele frame R = (R, <)?
Opgave 2.6 Niet in alle gevallen verlangen we transitiviteit van de toegankelijkheidsrelatie in een
frame dat het begrip ‘tijd’ modelleert. Beschouw bijvoorbeeld het het frame D = (W, R), waarbij
W = {ma, di, . . . , zo} de verzameling dagen van de week is, en Rxy geldt als y hoogstens drie
dagen na x komt.
We maken hier ook gebruik van de ‘morgen’-operator ⊗, die in modellen op D de volgende
waarheidsdefinitie heeft:
M, ma ⊗ϕ
M, di ⊗ϕ
etc.
als
als
M, di ϕ
M, wo ϕ
Temporele logica/ 28
(a) Laat zien dat de formule 3F 3F p → 3F p niet geldig is in dit frame.
(b) Laat zien dat de formule ⊗q → 3P 3P q geldig is in D.
(c) Stel nu dat we het werkrooster van een continu draaiende fabriek willen modelleren met
behulp van deze structuur. Neem aan dat we de volgende proposities gebruiken:
week
ox
mx
nx
fl x
fl +
x
≡
≡
≡
≡
≡
≡
het is een ‘gewone’ werkdag
werknemer x heeft ochtenddienst
werknemer x heeft middagdienst
werknemer x heeft nachtdienst
werknemer x verdient gewoon
werknemer x verdient extra
Hoe kan men nu de volgende uitspraken weergeven in een modale formule?
1. als x nacht- of weekend dienst draait, krijgt hij extra geld
2. als x vrij heeft, verdient hij niet
3. de dag na een nachtdienst mag x geen ochtenddienst draaien
4. x mag niet zeven dagen achter elkaar werken
5. x heeft altijd vrij op zondag
Moeten er nog bijzondere voorwaarden gelden voor de interpretatie van de propositionele variabele week?
Opgave 2.7 Gegeven is de zogenaamde next-time operator ⊗ met de volgende waarheidsdefinitie
op het frame N :
(N , π), n ⊗ϕ ⇐⇒ (N , π), n + 1 ϕ.
(a) Laat zien dat deze operator definieerbaar is met behulp van de until-operator.
(b) Stelt u zich voor dat u een regel- en meetsysteem formaliseert, waarbij u gebruik maakt van
de volgende propositionele variabelen:
pd
pt
≡ de druk wordt gemeten
≡ de temperatuur wordt gemeten
Hoe kunt u nu weergeven dat de druk en de temperatuur om de beurt worden gemeten? Geef
hierbij aan of sprake is van waarheid in een wereld, (en zo ja, welke,) waarheid in een model, of
geldigheid in het frame N ?
(c) Beschouw het model M = (N , π) waarbij π wordt gedefineerd door:
1 als n een drievoud is
π(n)(p) =
0 anders
Laat zien dat voor alle formules ϕ in de gewone modale taal geldt
voor alle n ∈ N: M, n ϕ ⇐⇒ M, n + 3 ϕ.
Laat zien dat hier uit volgt dat voor alle gewone modale formules ϕ geldt:
M, 1 ϕ ⇐⇒ M, 2 ϕ.
Temporele logica/ 29
(d) Laat zien dat de next-time operator niet kan worden gedefinieerd in de gewone modale taal.
Opgave 2.8 Laat zien dat de formule >U > → ⊥U > de klasse van discrete frames karakteriseert
binnen de klasse van alle totale temporele frames.
Opgave 2.9 Pas de definitie van een bisimulatie zodanig aan dat voor alle formules ϕ in de temporele taal (dat wil zeggen, met de operatoren 3F en 3P ) het equivalent van Stelling 1.22
geldt.
Opgave 2.10 Beschouw de frames Z = (Z, <) en G = (W, R), waarbij < de (irreflexieve) ordening
is van de gehele getallen, en W en R gegeven worden door:
W
R
= {a}
= {(a, a)}.
(a) Gegeven is een valuatie τ op G. Definieer een valuatie π op F zó dat (F, π), 0 ↔ (G, τ ), a.
(b) Leid af uit (a) dat er geen modale formule bestaat die de klasse van irreflexieve frames
karakteriseert.
(c) Is er wel een temporele formule die de klasse van irreflexieve frarmes karakteriseert?
Epistemische logica/ 30
3
Epistemische logica
3.1
inleiding
In veel gebieden van de informatica, en natuurlijk met name binnen de kunstmatige intelligentie, is men geı̈nteresseerd in het beschrijven en representeren van de kennis van een agent,
of de informatie die een agent tot zijn beschikking heeft. De epistemische logica is de tak van
modale logica die zich, op een formele en abstracte wijze, bezighoudt met het redeneren over
de notie ‘kennis’ en haar eigenschappen. Laten we eerst een voorbeeld geven van het soort
problemen dat de kennislogica probeert te analyseren:
Voorbeeld 3.1 Het volgende voorbeeld speelt, in verschillende gedaantes en onder verschillende
namen2 , een belangrijke rol binnen de informatica in de discussie over de relatie tussen kennis,
actie en communicatie. Wij citeren uit Y. Moses, D. Dolev & J.Y. Halpern, Cheating
husbands and other stories: a case study of knowledge, action and communication3 :
The queens of the matriarchal city-state of Mamajorca, on the continent of Atlantis, have a long record of opposing and actively fighting the male infidelity problem. Ever since the technologically-primitive days of queen Henrietta I, women in
Mamajorca have been required to be in perfect health and pass an extensive logic
and puzzle-solving exam before being allowed to take a husband. The queens of
Mamajorca, however, were not required to show such competence.
It has always been common knowledge among the women of Mamajorca that
their queens are truthful and that the women are obedient to the queens. It was also
common knowledge that all women hear every shot fired in Mamajorca. Queen Henrietta I awoke one morning with a firm resolution to do away with the male infidelity
problem in Mamajorca. She summoned all of the women heads-of-households to the
town square and read them the following statement:
There are (one or more) unfaithful husbands in our community. Although none of you knew before this gathering whether your own husband
was faithful, each of you knows which of the other husbands are unfaithful.
I forbid you to discuss the matter of your husband’s fidelity with anyone.
However, should you discover that your husband is unfaithful, you must
shoot him on the midnight of the day that you find out about it.
Thirty nine silent nights went by, and on the fortieth night, shots were heard.
In dit hoofdstuk werken we toe naar een formeel systeem, waarin we dit soort puzzeltjes
kunnen beschrijven en zo mogelijk oplossen.
We definiëren nu eerst de syntax van de epistemische logica:
Definitie 3.2 We definiëren de taal van de epistemische logica met n kenners (n is een
positief natuurlijk getal). Het alfabet van deze taal is het alfabet van de klassieke propositionele
logica, uitgebreid met n éénplaatsige operatoren K1 , K2 , . . . , Kn . De verzameling formules
in deze taal wordt op de gebruikelijke manier gedefinieerd.
De operatoren K1 , K2 , . . . , Kn zijn kennis-operatoren; met de volgende geı̈ntendeerde
betekenis
Ki ϕ ≡ kenner i weet dat ϕ,
2
3
Een isomorf puzzeltje is bekend onder de naam ‘muddy children problem’.
IBM Research Report RJ 4756 (50524) 6/27/85.
Epistemische logica/ 31
of, in een toepassing van gedistribueerde systemen:
Ki ϕ ≡ processor i bezit de informatie ϕ.
Conventie 3.3 We zullen in het algemeen vrij slordig zijn in het aangeven van het aantal
kenners. Als we over systemen met slechts één kenner spreken, gebruiken we meestal
de notatie K in plaats van K1 .
We zijn in eerste instantie geı̈nteresseerd in formele afleidingssystemen voor epistemische
logica’s; daarna zullen we ook een semantiek voor epistemische talen ontwikkelen.
Voorbeeld 3.4 Ter inleiding proberen we om een gedeelte van de oplossing van het ‘cheating
husbands’ raadsel te formaliseren. Laten we eens uitgaan van de situatie waarin er drie vrouwen
aanwezig zijn op het plein: mevrouw 1, 2 en 3. Neem verder aan dat alleen de echtgenoot van
mevrouw 1 ontrouw is.
De uitspraak van de koningin bevat nieuws voor mevrouw 1: ze wist immers alleen dat mevrouw
2 en mevrouw 3 niet worden bedrogen. Als de koningin nu vertelt dat er overspel wordt gepleegd
door één van de mannen 1, 2 of 3, dan moet dat wel haar eigen man zijn. Op de avond van de
eerste dag zal zij dus haar man neerschieten.
Om deze redenering nu formeel te maken, gebruiken we de propositionele variabelen z1 , z2 en
z3 , waarvoor we de volgende betekenis in gedachten hebben in dit voorbeeld (voor i ∈ {1, 2, 3}):
zi ≡ mevrouw i wordt bedrogen.
Het doel is nu om een formeel systeem te ontwikkelen waarmee we de volgende afleiding kunnen
maken:
{K1 (z1 ∨ z2 ∨ z3 ), K1 ¬z2 , K1 ¬z3 } ` K1 z1
We zullen deze afleiding presenteren in een soort natuurlijk-deductie formaat. Daarbij zullen
we een aantal keren een stelling nodig hebben die niet met behulp van de klassieke logica kan
worden afgeleid. Het werkelijke doel van dit hoofdstuk over epistemische logica is dan om een
afleidingssysteem te ontwikkelen, waarin deze ‘K-stellingen’ kunnen worden afgeleid.
De eerste stap van onze afleiding is het nieuwtje dat mevrouw 1 oppikt uit de uitspraak van de
koningin, namelijk dat ze weet dat er overspel wordt gepleegd in het dorp:
(1)
K1 (z1 ∨ z2 ∨ z3 ).
Vervolgens hebben we nodig, dat als mevrouw 1 op de hoogte is van het overspel, dat ze dan
beseft dat het haar eigen man betreft, omdat ze ook weet dat de echtgenoten 2 en 3 trouw zijn.
De formule (2) hieronder is dus de eerste nog af te leiden ‘K-stelling’:
(2)
K1 (z1 ∨ z2 ∨ z3 ) → (K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ) → K1 z1 ).
Uit deze gegevens kunnen we het volgende afleiden met de gebruiksregel voor de implicatie:
(3)
K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ) → K1 z1 .
We moeten nu dus laten zien dat mevrouw 1 kennis heeft van de conjunctie ¬z2 ∧ ¬z3 . Nu heeft
ze al weet van de afzonderlijke conjuncten:
(4)
K1 ¬z2
en
(5)
K1 ¬z3 ,
Epistemische logica/ 32
zodat we met behulp van een introductieregel voor ∧ kunnen concluderen tot:
K1 ¬z2 ∧ K1 ¬z3 .
(6)
We hebben nu weer een K-stelling nodig:
(7)
K1 ¬z2 ∧ K1 ¬z3 → K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ).
Vanaf dit moment is de afleiding bijzonder eenvoudig: uit (6) en (7) leiden we af (met de
gebruiksregel voor →):
K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ),
(8)
en dan zijn we klaar: uit (8) en (3) volgt, weer met G →:
(9)
K 1 z1 .
In de volgende paragraaf zullen we een zogenaamd Hilbert-stijl of axiomatisch afleidingssysteem definiëren waarin we de formules (2) en (7) als stellingen kunnen afleiden. Met
nadruk dient hier al vast vermeld te worden dat de afleiding die we in Voorbeeld 3.4 hebben
gegeven, niet een correcte afleiding is in zo’n axiomatisch systeem.
3.2
axiomatiek: het systeem K
In deze paragraaf ontwikkelen we een tamelijk simpel axiomatisch systeem voor de kennislogische taal uit de inleiding. We zullen laten zien dat we in dit systeem al in staat zijn om
de ‘openstaande’ kennis-stellingen uit Voorbeeld 3.4 af te leiden.
Definitie 3.5 Hilbert-stijl of axiomatische afleidingssystemen bestaan uit axioma’s en
afleidingsregels. Een afleiding in een Hilbert-stijl afleidingssysteem H is een rijtje ϕ1 , . . . ,
ϕn van formules, zó dat elke ϕi óf een axioma is, of met behulp van de afleidingsregels kan
worden verkregen uit formules ϕj1 , . . . , ϕjm die eerder in het rijtje voorkomen. Een formule
heet afleidbaar in H, notatie: `H ϕ, als er een H-afleiding bestaat waarvan ϕ het laatste
element vormt.
Om ons eerste afleidingssysteem te kunnen geven, moeten we het begrip ‘substitutie’
invoeren:
Definitie 3.6 Een (simultane) substitutie is een functie van propositionele variabelen
naar epistemische formules. Zo’n functie σ kun je als volgt uitbreiden naar een totale functie
σ̄ van formules naar formules:
σ̄(p) = σ(p)
σ̄(¬ϕ) = ¬σ̄(ϕ)
σ̄(ϕ ∧ ψ) = σ̄(ϕ) ∧ σ̄(ψ)
σ̄(Ki ϕ) = Ki σ̄(ϕ).
In de praktijk schrijven we altijd σ in plaats van σ̄.
Epistemische logica/ 33
Substituties doen dus niets anders dan simultaan alle voorkomens van een propositionele
variabele in een formule op uniforme wijze te vervangen door een (andere) formule. Een
voorbeeld: beschouw de substitutie σ waarvoor geldt
σ(p) = q ∨ Ki r
σ(q) = ¬s,
dan geldt
σ(¬(p ∨ r) ∧ Ki q) = ¬((q ∨ Ki r) ∨ r) ∧ Ki ¬s.
NB: We hoeven dus alleen de voorkomens van q in de oorspronkelijke formule te vervangen.)
We kunnen nu ons eerste afleidingssysteem geven:
Definitie 3.7 Het axiomatische afleidingssysteem K n heeft de volgende axioma’s:
klassieke tautologieën
ϕ
(CT )
Ki (p → q) → (Ki p → Ki q)
(DB)
voor elke klassieke tautologie ϕ.
distributie
voor alle operatoren Ki (1 ≤ i ≤ n).
De afleidingsregels zijn:
universele generalisatie
ϕ
Ki ϕ
(U G)
voor alle operatoren Ki (1 ≤ i ≤ n).
modus ponens
ϕ→ψ
ψ
substitutie
ϕ
ϕ
σ(ϕ)
(M P )
(SU B)
voor alle substituties σ.
Om weer te geven dat de formule ϕ afleidbaar is in het systeem Kn , gebruiken we de
notatie: `K ϕ.
Opmerking 3.8 Het feit, dat zowel de kennis-operatoren als het Hilbert-stijl systeem met een ‘K’
worden weergegeven, berust op een hier wat ongelukkig uitgevallen toeval.
Met nadruk dient te worden gezegd, dat (U G), (M P ) en (SU B) de enige afleidingsregels
zijn van het systeem K. Regels die u kent uit natuurlijke deductie-systemen zijn dus niet
toegestaan in K-afleidingen (met uitzondering van de gebruiksregel voor de implicatie —
dit is immers precies de regel Modus Ponens).
Epistemische logica/ 34
Voorbeeld 3.9 Het is misschien nog belangrijker om een voorbeeld te geven van een rijtje formules
die niet een afleiding in K vormen, dan voorbeelden van wat wel afleidingen zijn.
Het volgende rijtje is geen correcte afleiding in het systeem K:
(1)
(2)
(3)
(4)
p
K1 p
p → K1 p
ϕ → K1 ϕ
(aanname)
(U G, 1)
(I →, 1, 2)
(SU B, 3)
Immers, ten eerste mag je in het systeem K geen aannames gebruiken, en ten tweede behoort
I → niet tot de regels van het systeem.
Het zou ook heel vreemd zijn als we alle formules ϕ → K1 ϕ zouden kunnen afleiden; waarom
zou uit een bewering ϕ volgen dat deze bekend is aan mevrouw 1?
Voorbeeld 3.10 In de formalisering van het voorbeeld van de ‘cheating husbands’ hadden we de
volgende formule nodig als een stelling:
K1 (z1 ∨ z2 ∨ z3 ) → (K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ) → K1 z1 ).
Om ruimte te besparen, gebruiken we de volgende afkortingen:
ϕ := z1 ∨ z2 ∨ z3
ψ := ¬z2 ∧ ¬z3
χ := z1
Het volgende rijtje epistemische formules vormt nu inderdaad een afleiding voor de gevraagde
stelling:
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(10)
(z1 ∨ z2 ∨ z3 ) → ((¬z2 ∧ ¬z3 ) → z1 )
(CT )
ϕ → (ψ → χ)
(afspraak)
K1 (ϕ → (ψ → χ))
(U G, 1)
K1 (p → q) → (K1 p → K1 q)
(DB)
K1 (ϕ → (ψ → χ)) → (K1 ϕ → K1 (ψ → χ))
(SUB , 3)
K1 ϕ → K1 (ψ → χ)
(MP , 2, 4)
K1 (ψ → χ) → (K1 ψ → K1 χ)
(SUB , 3)
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
(CT )
(K1 ϕ → K1 (ψ → χ)) →
((K1 (ψ → χ) → (K1 ψ → K1 χ)) → (K1 ϕ → (K1 ψ → K1 χ)))
(SUB , 7)
(K1 (ψ → χ) → (K1 ψ → K1 χ)) → (K1 ϕ → (K1 ψ → K1 χ))
(MP , 5, 8)
K1 ϕ → (K1 ψ → K1 χ)
(MP , 6, 9)
K1 (z1 ∨ z2 ∨ z3 ) → (K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ) → K1 z1 )
(afspraak)
Het zal duidelijk zijn dat het in het algemeen veel lastiger is om afleidingen te geven in
axiomatische systemen dan met behulp van natuurlijke deductie (de naam ‘natuurlijk’ is niet
voor niets gekozen). Merk bijvoorbeeld op hoe ingewikkeld het is in Voorbeeld 3.10 om van
(5) en (6) naar (10) te komen. In veel gevallen, zoals het onderhavige, worden daarom verkorte
regels geı̈ntroduceerd. Zulke verkorte regels mogen natuurlijk alleen worden toegepast als ze
geen extra stellingen aan het systeem toevoegen:
Propositie 3.11 De volgende regel is een afgeleide regel van Kn :
ϕ→ψ ψ→χ
ϕ→χ
(†)
Epistemische logica/ 35
Bewijs.
Stel dat we afleidingen α1 , . . . , αm van ϕ → ψ en β1 , . . . , βk van ψ → χ hebben. (Merk op
dat dit betekent dat αm de formule ϕ → ψ is, en βk de formule ψ → χ). Dan is het volgende
rijtje formules een afleiding van ϕ → χ:
(1)
(2)
..
.
α1
α2
(ax)
(. . .)
...
(m)
(m + 1)
(m + 2)
..
.
ϕ→ψ
β1
β2
(m + k)
(m + k + 1)
(m + k + 2)
(m + k + 3)
(m + k + 3)
ψ→χ
(. . .)
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
(CT )
(ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))
(SU B, m + k + 1)
(ψ → χ) → (ϕ → χ)
(M P, m, m + k + 2)
ϕ→χ
(M P, m + k, m + k + 3)
(. . .)
(ax)
(. . .)
...
2
Als bewezen is dat een nieuwe regel afleidbaar is in het oude systeem, mag hij ook worden
toegepast. De regel (†) wordt bijvoorbeeld gebruikt in het volgende voorbeeld:
Voorbeeld 3.12 We geven nu een afleiding van de tweede formule die nog een open eindje vormde
in onze formalisering van het ‘cheating husband problem’:
(K1 ¬z2 ∧ K1 ¬z3) → K1 (¬z2 ∧ ¬z3 )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
3.3
p → (q → (p ∧ q))
(CT )
K1 (p → (q → (p ∧ q)))
(U G, 1)
K1 (p → (q → (p ∧ q))) → (K1 p → K1 (q → (p ∧ q))) (SU B, DB)
K1 p → K1 (q → (p ∧ q))
(M P, 2, 3)
K1 (q → (p ∧ q))) → (K1 q → K1 (p ∧ q))
(SU B, DB)
K1 p → (K1 q → K1 (p ∧ q))
(†, 4, 5)
K1 ¬z2 → (K1 ¬z3 → K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ))
(SU B, 6)
(p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r)
(CT )
(7) → ((K1 ¬z2 ∧ K1 ¬z3) → K1 (¬z2 ∧ ¬z3 ))
(SU B, 8)
(K1 ¬z2 ∧ K1 ¬z3) → K1 (¬z2 ∧ ¬z3 )
(M P, 7, 9)
axiomatiek: de systemen T , S4 en S5
Het systeem K is maar heel beperkt als formalisering van het begrip ‘kennis’. Merk bijvoorbeeld op dat de K-stellingen die we konden afleiden ten behoeve van de ‘natuurlijke deductie’afleiding in Voorbeeld 3.4, geen melding maken van de relatie tussen kennis en waarheid, of
van redeneringen over kennis. In deze paragraaf definiëren we een aantal Hilbert-stijl afleidingssystemen die een wat realistischer benadering vormen van het begrip kennis.
Epistemische logica/ 36
Definitie 3.13 Beschouw de volgende formules:
(A1) Ki p → p
(A2) Ki p → Ki Ki p
(A3) ¬Ki p → Ki ¬Ki p
We definiëren nu de volgende Hilbert-stijl afleidingssystemen:
T n is het systeem K n uitgebreid met het axioma A1,
S4n is het systeem K n uitgebreid met de axioma’s A1 en A2,
S5n is het systeem K n uitgebreid met de axioma’s A1, A2 en A3.
Definitie 3.14 Laat H een Hilbert-stijl afleidingssysteem zijn. De door H gegenereerde
logica ΛH wordt gedefinieerd als de verzameling stellingen van H:
ΛH = {ϕ | `H ϕ}.
Logica’s, die door uitbreidingen van het basissysteem K worden gegenereerd, heten wel normale modale logica’s.
Conventie 3.15 In de praktijk zullen we afleidingssystemen en de logica’s die ze genereren
vaak identificeren. We spreken bijvoorbeeld over de ‘logica’s’ K, T , S4 of S5.
Een motivatie van deze axioma’s: A1 is het waarheidsaxioma, dat stelt dat je alleen dingen
kunt weten die waar zijn. A2 en A3 zijn de zogenaamde introspectie-axioma’s: A2 stelt dat
agens i weet dat hij iets weet (positieve introspectie), en volgens A3 weet hij dat hij iets
niet weet (negatieve introspectie). Het zal duidelijk zijn dat de redelijkheid van deze nieuwe
axioma’s een punt van discussie kan zijn. Het eerste axioma zal door vrijwel iedereen worden
geaccepteerd — in het geval van een onware bewering p zullen we niet zeggen dat iemand p
weet, maar bijvoorbeeld dat hij p denkt te weten. Het positieve introspectie-axioma is al wat
controversiëler, en het derde kennis-axioma is zelfs tamelijk dubieus: stelt u zich voor dat
iemand niet weet dat Marie de moeder is van Kees, omdat hij van het bestaan van Marie of
Kees niet eens op de hoogte is. Dan ligt het niet voor de hand om aan te nemen dat onze
kenner weet dat hij niet weet dat Marie de moeder van Kees is . . . Desalniettemin wordt het
systeem S5n meestal gebruikt als ‘de’ kennislogica. De reden hiervoor is gedeeltelijk technisch:
het systeem S5n heeft een aantal prettige logische eigenschappen, en gedeeltelijk gegeven door
toepassingen van kennislogica bij het redeneren over gedistribueerde en sommige kunstmatig
intelligente systemen.
Eén van de prettige eigenschappen van het systeem S51 is dat we nestingen van Koperatoren en negatie-tekens kunnen ‘platslaan’: de formule K¬¬K¬KKp is bijvoorbeeld
S5-bewijsbaar equivalent met de formule ¬Kp. Meer in het algemeen kunnen we de volgende
propositie bewijzen:
Propositie 3.16 Laat X een string zijn over het alfabet {¬, K}. Dan geldt voor alle formules
ϕ:
`S5 XKϕ ↔ Kϕ
als X een even aantal voorkomens van ¬ bevat
(?)
`S5 XKϕ ↔ ¬Kϕ als X een oneven aantal voorkomens van ¬ bevat
Bewijs.
Het bewijs verloopt met inductie naar de lengte |X| van X. Laat n(X) het aantal voorkomens
zijn in X van het negatie-teken.
Epistemische logica/ 37
basisstap |X| = 0.
In dit geval is X het lege rijtje; n(X) = 0, dus het aantal voorkomens van het negatie-teken
is even. (?) geldt vanwege de volgende afleiding:
(1)
p↔p
(CT )
(2)
Kϕ ↔ Kϕ (SUB , 1)
inductiestap |X| > 0.
Onderscheid de volgende twee gevallen:
1. X is van de vorm ¬Y . Volgens de inductiehypothese geldt (?) voor Y . Merk op dat
geldt: n(X) = n(Y ) + 1. Er zijn twee mogelijkheden:
In het eerste geval is n(X) even, en n(Y ) dus oneven. Wegens de inductiehypothese
geldt dan dat de formule Y Kϕ ↔ ¬Kϕ afleidbaar is in S5. Met behulp van de volgende
afleiding:
(1)
(2)
(3)
(4)
(p ↔ ¬q) → (¬p ↔ q)
(CT )
(Y Kϕ ↔ ¬Kϕ) → (¬Y Kϕ ↔ Kϕ) (SUB , 1)
(Y Kϕ ↔ ¬Kϕ)
(IH )
(¬Y Kϕ ↔ Kϕ)
(MP , 2, 3)
is dan de formule XKϕ ↔ Kϕ afleidbaar.
Het tweede geval, waarin n(X) oneven is, verloopt analoog.
2. X is van de vorm KY . Volgens de inductiehypothese geldt (?) voor Y . Merk op dat
nu geldt: n(X) = n(Y ). Er zijn weer twee mogelijkheden: n(X) is even of oneven. We
behandelen alleen het geval waarin n(X) even is.
In dit geval heeft ook Y een even aantal voorkomens van ¬, zodat volgens (?) geldt:
`S5 Y Kϕ ↔ Kϕ. Bekijk nu de volgende afleiding:
(1)
(2)
(3)
Y Kϕ ↔ Kϕ
(p ↔ q) → (p → q)
(Y Kϕ ↔ Kϕ) → (Y Kϕ → Kϕ)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(Y Kϕ → Kϕ)
(MP , 1, 3)
K(Y Kϕ → Kϕ)
(UG, 4)
K(p → q) → (Kp → Kq)
(DB )
K(Y Kϕ → Kϕ) → (KY Kϕ → KKϕ) (SUB , 6)
KY Kϕ → KKϕ
(MP , 5, 7)
Kr → r
(A1)
KKϕ → Kϕ
(SUB , 9)
KY Kϕ → Kϕ
(†, 8, 10)
(IH )
(CT )
(SUB , 2)
Epistemische logica/ 38
(12)
(13)
(p ↔ q) → (q → p)
(Y Kϕ ↔ Kϕ) → (Kϕ → Y Kϕ)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(Kϕ → Y Kϕ)
K(Kϕ → Y Kϕ)
K(Kϕ → Y Kϕ) → (KKϕ → KY Kϕ)
KKϕ → KY Kϕ
Kr → KKr
Kϕ → KKϕ
Kϕ → KY Kϕ
(21)
(22)
(23)
(r → s) → ((s → r) → (r ↔ s))
(CT )
(KY Kϕ → Kϕ) → ((Kϕ → KY Kϕ) → (KY Kϕ ↔ Kϕ))
(SUB , 21)
(Kϕ → KY Kϕ) → (KY Kϕ ↔ Kϕ)
(MP , 11, 22)
(24)
KY Kϕ ↔ Kϕ
Deze afleiding getuigt van de afleidbaarheid van XKϕ ↔ Kϕ.
3.4
(CT )
(SUB , 12)
(MP , 1, 13)
(UG, 14)
(SUB , 6)
(MP , 15, 16)
(A2)
(SUB , 18)
(†, 17, 19)
(MP , 20, 23)
2
semantiek van de epistemische logica
Hoeveel trucjes (in de vorm van afgeleide regels, of handige zoekstrategieën) u ook introduceert
voor de axiomatische kennis-systemen, het vinden van een afleiding voor een stelling blijft
een moeilijke opgave. Daarnaast is er ook nog het probleem, hoe je kunt laten zien dat
een bepaalde formule niet een stelling is van de logica. Daarom is het vaak handig, om een
bepaalde semantiek te ontwikkelen bij een gegeven logica4 . We behandelen hier de modale
semantiek voor de epistemische logica.
Definitie 3.17 (semantiek) Gegeven is een positief getal n. Een epistemisch (n-)frame
is een structuur F = (W, R1 , . . . , Rn ) waarbij elke Ri een tweeplaatsige relatie is tussen toestanden in W . Een epistemisch (n-)model is een structuur M = (F, π) waarbij F een
epistemisch frame is en π een valuatie. Waarheid van een formule in een wereld wordt weer
inductief gedefinieerd; hierbij geldt als clausule voor de kennisoperator Ki :
M, s Ki ϕ ⇐⇒ M, t ϕ voor alle t zó dat Ri st.
Met andere woorden: de kennisoperatoren zijn blokjes. We kunnen deze semantiek als volgt
intuı̈tief maken: als twee toestanden s en t in de relatie Ri staan, dan zeggen we dat kenner i,
vanuit s gezien, de toestand t nog voor mogelijk houdt. Zo gezien, moet inderdaad de formule
Ki ϕ (‘i weet dat ϕ’) waar zijn in een toestand u precies als ϕ waar is in elke toestand die i
voor mogelijk houdt in u: als i de formule ¬ϕ niet meer voor mogelijk houdt, dan weet hij ϕ.
De vraag is nu, hoe ‘goed’ deze semantiek is voor de gegeven logica’s, bijvoorbeeld voor
het systeem K. Deze vraag kan worden gesplitst in twee delen:
correctheid Om te beginnen willen we natuurlijk dat alle formules die we als stellingen
kunnen afleiden in het systeem K, ook geldig zijn in de semantiek. Als dit het geval
4
Deze motivatie keert de gebruikelijke volgorde om: meestal gaat men juist uit van een bepaalde semantiek
voor een (modale) taal, en probeert men daarbij een geschikt (vgl. Definitie 3.18) bewijssysteem te vinden.
Epistemische logica/ 39
is, dan kunnen we immers bewijzen dat een formule ϕ geen stelling is van K, namelijk
door te laten zien dat ϕ niet algemeen geldig is in elk frame.
volledigheid Aan de andere kant kan men zich afvragen hoe adekwaat K het concept
‘modale geldigheid’ beschrijft. Hierbij gaat het om de kwestie, of er in K een afleiding bestaat voor elke geldige formule.
In het algemeen definiëren we:
Definitie 3.18 Laat H een bepaalde logica zijn, en C een bepaalde klasse van frames. We
zeggen dat H correct is met betrekking tot C, als elke H-stelling geldig is in C, oftewel, als
geldt5 :
`H ϕ =⇒ C |= ϕ.
Omgekeerd, als elke formule die geldig is in C afleidbaar is in H;
C |= ϕ =⇒ `H ϕ,
dan zeggen we dat H volledig is voor C.
Conventie 3.19 Het is gebruikelijk, maar erg onhandig, dat de term ‘volledigheid’ ook
wordt gebruikt voor de conjunctie van ‘volledigheid’ en ‘correctheid’. Dat is bijvoorbeeld
het geval in de volgende stelling.
In het geval van K kunnen we inderdaad correctheid en volledigheid bewijzen:
Stelling 3.20 (Volledigheid voor K) Voor alle epistemische formules ϕ geldt:
`K ϕ ⇐⇒ |= ϕ.
Bewijs.
We bewijzen alleen maar één kant van deze bewering, namelijk correctheid (de richting
volledigheid is op dit moment te moeilijk). We moeten dus laten zien dat voor alle epistemische
formules geldt:
`K ϕ =⇒ |= ϕ.
(8)
Het bewijs van (8) verloopt met inductie naar de lengte k van het bewijs van ϕ.
basisstap: k = 1
In dit geval is ϕ dus een axioma; dat betekent dat ϕ óf een propositionele tautologie is (en
dus zeker geldig) óf het distributieaxioma
Ki (p → q) → (Ki p → Ki q).
Van deze formule is de geldigheid eenvoudig aan te tonen.
inductiestap: k > 1
In dit geval bestaat er een afleiding ϕ1 , . . . , ϕk voor ϕ. (Merk op dat ϕk , de laatste formule
van het rijtje, gelijk is aan ϕ.) Volgens de inductiehypothese mogen we aannemen dat elke
formule ϕi geldig is, als i kleiner is dan k. Onderscheid nu de volgende gevallen, al naar
gelang de afleidingsregel die we hebben toegepast in de laatste stap:
5
Voor de notatie ‘C |= ϕ’ verwijzen we naar Definitie 1.14.
Epistemische logica/ 40
UG In dit geval is ϕk van de vorm Ki ϕj voor zekere kennisoperator Ki en zekere j met
1 ≤ j < k. We laten nu zien dat Ki ϕj een geldige formule is.
Beschouw dus een willekeurig frame F, een willekeurige valuatie π op F, en een willekeurige
toestand s in F. We moeten laten zien dat (F, π), s Ki ϕj . Stel dus dat t een
willekeurige Ri -opvolger is van s. Volgens de inductiehypothese geldt dat ϕj een geldige
formule is. Dat betekent dat (F, π), t ϕj . Volgens de waarheidsdefinitie van Ki geldt
dan inderdaad dat (F, π), s Ki ϕj .
SUB Nu is ϕk van de vorm σϕj voor de één of andere ϕj die eerder in het rijtje voorkomt.
Volgens de inductiehypothese weten we dat ϕj geldig is. Het feit dat σϕj geldig is volgt
uit Propositie 3.21 hieronder.
MP Dit geval wordt overgelaten aan de lezer.
2
De volgende Propositie dicht het laatste open gaatje van het bovenstaande bewijs:
Propositie 3.21 Laat ϕ een epistemische formule zijn, C een klasse van epistemische frames,
en σ een substitutie. Dan geldt:
C |= ϕ =⇒ C |= σϕ.
Bewijs.
We bewijzen de propositie met contrapositie. Stel dus dat de formule σϕ niet geldig is in C.
Dan is er dus (per definitie) een frame F in C zó dat F 6|= σϕ. We zullen laten zien dat dan
ook de formule ϕ niet geldig is in F.
We weten dat er een valuatie π op F en een toestand s in F bestaan zodanig dat (F, π), s 6
σϕ. Definieer nu de volgende valuatie π 0 :
1 als (F, π), x σ(p),
π 0 (x)(p) :=
0 anders
Vervolgens laten we zien dat voor alle formules ψ geldt:
(F, π 0 ), t ψ ⇐⇒ (F, π), t σψ.
Hieruit volgt onmiddelijk dat (F, π 0 ), s 6 ϕ, waardoor ϕ niet geldig kan zijn in F.
Het bewijs van (?) verloopt met formule-inductie:
basisstap: ψ is een propositionele variabele.
Dan geldt (?) per definitie van π 0 .
inductiestap: ψ is een complexe formule.
Onderscheid de volgende gevallen:
1. ψ is van de vorm ¬ψ1 . Dan geldt:
(F, π 0 ), t ¬ψ1
⇐⇒
(F, π 0 ), t 6 ψ1
⇐⇒
(F, π), t 6 σ(ψ1 )
⇐⇒
(F, π), t ¬σ(ψ1 )
⇐⇒
(F, π), t σ(¬ψ1 ).
(?)
Epistemische logica/ 41
2. ψ is van de vorm ψ1 ∧ ψ2 . Dit geval wordt aan de lezer overgelaten.
3. ψ is van de vorm Ki ψ1 . Dan geldt:
(F, π 0 ), t Ki ψ1
⇐⇒
(F, π 0 ), u ψ1 voor alle u zdd Ri tu
⇐⇒
(F, π), u σ(ψ1 ) voor alle u zdd Ri tu
⇐⇒
(F, π), t Ki σ(ψ1 )
⇐⇒
(F, π), t σ(Ki ψ1 ).
2
Voorbeeld 3.22 Op grond van de Correctheidsstelling voor K kunnen we nu laten zien dat bijvoorbeeld het axioma A1 niet afleidbaar is in K. Beschouw het model F = (W, R) waarbij
W = {a, b}, R = {(a, b)} en π is zódanig dat p alleen waar is in b. Dan geldt (F, π), a 6 Kp → p.
Het axioma A1 is dus niet algemeen geldig, en wegens de Correctheidsstelling voor K dan ook
niet afleidbaar in K.
De vraag is dan, of we ook voor de systemen T , S4 en S5 volledigheidsresultaten kunnen
bewijzen. Laten we eerst eens naar het systeem T kijken. Het zal uit Voorbeeld 3.22 duidelijk
zijn dat we, om correctheid te behouden, de frameklasse voor T moeten inperken. Merk op
dat we in paragraaf 1 hebben laten zien dat het axioma A1 (of zoals we het daar schreven:
2p → p) de klasse van reflexieve frames karakteriseert. Het ligt daarom voor de hand om
te proberen een volledigheidsresultaat te bewijzen voor T met betrekking tot de klasse van
reflexieve frames. Op dezelfde manier is het een goede suggestie om te bewijzen dat S4
correct en volledig is met betrekking to de klasse van reflexieve en transitieve frames. Voor
S5 liggen de zaken net iets ingewikkelder, al is er wel een frame conditie die met het axioma
A3 correspondeert:
Propositie 3.23 Het axioma A3 karakteriseert de klasse van frames waarin elke relatie Ri
euclidisch is.
Bewijs.
Dit bewijs laten we als een oefening aan de lezer.
2
In eerste instantie kunnen we bewijzen dat het axiomasysteem S5n volledig is met betrekking tot de klasse van frames waarin alle relaties reflexief, transitief en euclidisch zijn. In
Opgave 3.3 wordt echter bewezen dat dit precies die frames zijn waar alle relaties equivalentierelaties zijn.
Definitie 3.24 Gegeven is een natuurlijk getal n. We definiëren de volgende klassen van
epistemische frames:
Cnr de klasse van n-frames, waarin elke Ri reflexief is
Cnrt de klasse van n-frames, waarin elke Ri reflexief en transitief is
Cneq de klasse van n-frames, waarin elke Ri een equivalentierelatie is
Stelling
(i)
(ii)
(iii)
3.25 (Volledigheid voor T , S4 en S5) Voor alle epistemische n-formules ϕ geldt:
`T n ϕ
⇐⇒ Cnr |= ϕ.
`S4n ϕ ⇐⇒ Cnrt |= ϕ.
`S5n ϕ ⇐⇒ Cneq |= ϕ.
Epistemische logica/ 42
Bewijs.
Het bewijs voor de richting ‘volledigheid’ slaan we over; in opgave 3.7 wordt u gevraagd zelf
het correctheidsbewijs te geven.
2
Opmerking 3.26 De axioma’s A1, A2 en A3 gedragen zich erg ‘netjes’ in de zin dat ze aan de
volgende condities voldoen (geformuleerd voor een afzonderlijk axioma, maar het gaat ook op
voor willekeurige combinaties van axioma’s uit de verzameling {A1, A2, A3}):
1. de formule A karakteriseert een klasse C van frames
2. de logica KA die we verkrijgen door de formule A als axioma aan het basissysteem K toe
te voegen is niet alleen correct, maar ook volledig met betrekking tot deze klasse C.
Met grote nadruk vermelden we, dat zulke ‘nette’ formules uitzonderingen op de regel zijn. Het
is wel zo, dat de logica KA altijd correct is met betrekking tot de klasse van frames die door de
formule A wordt gekarakteriseerd (waarom?). Er zijn echter legio voorbeelden van formules A
waarvoor geldt dat de logica KA niet volledig is voor de klasse van frames die door A worden
gekarakteriseerd. Jammer genoeg zijn deze voorbeelden te ingewikkeld om hier te behandelen.
We kunnen deze stelling nu weer toepassen om te laten zien dat bepaalde formules niet
afleidbaar zijn in de systemen T , S4 of S5:
Voorbeeld 3.27 We kunnen nu laten zien dat bijvoorbeeld de formule p → Kp niet afleidbaar is
in S5. Beschouw het frame F = (W, W × W ), waarbij W = {a, b}. Stel dat de valuatie π de
variabele p alleen waar maakt in a. Dan geldt (F, π), a 6 p → Kp, zodat p → Kp niet geldig
is in de klasse Ceq . Wegens de Correctheidsstelling 3.25.(iii) voor S5 is deze formule dan niet
afleidbaar in S5.
Aan de andere kant kunnen we ook laten zien dat een formule juist wel afleidbaar is in
één van onze logica’s, zonder daarvoor een afleiding te hoeven geven:
Voorbeeld 3.28 Beschouw de formule α ≡ ¬K¬Kp → p. We laten zien dat Ceq |= α. Laat
F = (W, ∼) een frame zijn zó dat ∼ een equivalentierelatie is op W . Laat vervolgens π een
willekeurige valuatie zijn, en s een willekeurige toestand in W . We nemen aan dat s ¬K¬Kp,
en laten zien dat s p.
Uit s ¬K¬Kp volgt dat niet voor elke x in de equivalentieklasse van s geldt dat x ¬Kp.
Er is dus een t met s ∼ t zó dat t 6 ¬Kp, oftewel: t Kp. Maar dan geldt s p, omdat s in
de equivalentieklasse zit van t.
Maar als α geldig is in de klasse Ceq , dan geldt wegens de Volledigheidsstelling voor S5 dat
`S5 α.
We besluiten deze paragraaf met een voorbeeld waarin een mogelijke toepassing van epistemische logica aan de orde komt.
Voorbeeld 3.29 Beschouw een gedistribueerd systeem met processoren 1, . . . , n die met elkaar
zijn verbonden via een communicatienetwerk. We nemen aan dat elke processor i steeds in een
bepaalde locale toestand si verkeert. De globale toestand van het systeem wordt nu gedefinieerd
als het n-tupel (s1 , . . . , sn ) bestaande uit de n verschillende locale toestanden.
De epistemische relaties Ri worden als volgt gedefinieerd. We nemen aan dat de processor i
‘weet’ in welke toestand hij zelf verkeert, maar dat hij niets weet van de toestand van de andere
processoren. Hij beschouwt dus alle globale toestanden als mogelijk, als de i-de coördinaat van
deze globale toestand overeenkomt met zijn huidige locale toestand.
Epistemische logica/ 43
Preciezer geformuleerd: we definiëren een gedistribueerd epistemisch frame als volgt:
F
S
Ri
= (S, Ri )1≤i≤n ,
= {(s1 , . . . , sn ) | elke si is een locale toestand van processor i}
= {(s̄, t̄ ) | si = ti }.
Merk op dat in deze frames de relaties Ri inderdaad equivalentierelaties zijn. Hieruit volgt dat
de logica S5 geldig is in zulke frames.
3.5
algemene en gemeenschappelijke kennis
Laten we nu eens onderzoeken of we al voldoende formeel materiaal hebben ontwikkeld om
de ‘cheating husbands’ puzzel te analyzeren.
Voorbeeld 3.30 Stelt u zich nu voor dat zich vijf vrouwen op het marktplein hebben verzameld,
waarvan er twee, zeg mevrouw 1 en mevrouw 2 worden bedrogen. We redeneren nu vanuit de
positie van mevrouw 1: op het eerste gezicht bevat de boodschap van de koningin niets nieuws
voor haar: zij weet immers al dat mijnheer 2 ontrouw is. Ze hoopt natuurlijk dat haar eigen
man trouw is, en wacht in spanning de eerste nacht af. Als haar echtgenoot haar immers niet
bedriegt, dan heeft mevrouw 2 uit de boodschap van de koningin de conclusie getrokken dat háár
man ontrouw is, en zal het geweerschot van mevrouw 2 weerklinken. Omdat dit niet gebeurt
(mevrouw 2 redeneert hetzelfde als mevrouw 1), moet mevrouw 1 wel tot de slotsom komen dat
ook zij wordt bedrogen, en aldus klinken in de tweede nacht twee schoten.
In werkelijkheid bevat de mededeling van de koningin dus wel nieuws: waar het feit dat er
overspel in het dorp voorkwam voorheen algemene kennis was (iedereen wist het), is het nu
gemeenschappelijke kennis geworden: iedereen weet het, maar ook weet iedereen dat iedereen
het weet, en dat weet weer iedereen6 , enzovoort.
We hebben dus in de taal van de epistemische logica ook nog de operatoren E en C nodig,
met de volgende betekenis:
Eϕ ∼ iedereen weet dat ϕ,
Cϕ ∼ ϕ is gemeenschappelijke kennis.
(Deze letter E staat voor ‘everybody knows’, de C voor ‘common knowledge’.) We zouden
deze operatoren graag introduceren als afkortingen, bijvoorbeeld als volgt:
Eϕ ≡ K1 ϕ ∧ K2 ϕ ∧ . . . ∧ Kn ϕ
Cϕ ≡ Eϕ ∧ EEϕ ∧ EEEϕ ∧ . . .
Voor de algemene kennis-operator is dit een keurige definitie, maar voor C niet — de epistemische taal heeft immers geen oneindige conjuncties. Daarom worden deze operatoren
toegevoegd aan de gewone epistemische taal:
Definitie 3.31 Gegeven een aantal n > 0 van kenners, definiëren we de uitgebreide epistemische taal als volgt. Het alfabet is dat van de gewone epistemische taal, uitgebreid met
twee éénplaatsige operatoren E en C. De verzameling formules van deze taal wordt weer
gedefinieerd als gebruikelijk.
6
Voor het geval van twee overspelige echtgenoten (k = 2) is het voldoende dat iedereen weet dat iedereen
het weet. Ga na dat in het geval k = 3 drie ‘kennis-nestingen’ nodig zijn, enzovoort. In het algemene geval,
waarbij we niet weten hoeveel mannen er ontrouw zijn, hebben we aan eindige nestingen niet voldoende. Dit
verschil wordt in Opgave 3.8 duidelijker uitgewerkt.
Epistemische logica/ 44
Voor de semantiek van de nieuwe operatoren hoeven we geen nieuwe frames en modellen
te creëren. De toegankelijkheidsrelatie van de common knowledge operator C wordt namelijk
gedefinieerd als de transitieve afsluiting van die van RE , en deze relatie wordt weer gedefinieerd
als de vereniging van alle ‘gewone’ relaties Ri .
Definitie 3.32 Van een tweeplaatsige relatie R wordt de transitieve afsluiting R+ gedefinieerd
als de kleinste transitieve relatie die R bevat. Equivalent hiermee is de volgende definitie: R+
bestaat uit die paren (s, t) zó dat er een R-pad loopt van s naar t.
Deze laatste notie wordt als volgt gedefinieerd: er loopt een R-pad tussen s en t als
als er punten u0 , . . . , un zijn (n > 0), waarvoor geldt
s = u0 , t = un en u0 Ru1 R . . . Run .
In een plaatje:
q
s = u0
R-q R-q Ru1
u2
...
q
un−1
R-q
un = t
Definitie 3.33 Laat F = (W, R1 , . . . , Rn ) een epistemisch frame zijn. We definiëren de
volgende relaties:
RE = R1 ∪ . . . ∪ Rn
RC
= (RE )+
Laat nu π een valuatie zijn op F. We interpreteren de uitgebreide epistemische taal in het
epistemische model M = (F, π) als volgt:
M, s Eϕ
M, s Cϕ
⇐⇒
⇐⇒
M, t ϕ, voor alle punten t zó dat RE st.
M, t ϕ, voor alle punten t zó dat RC st.
De interpretatie van de algemene kennis-operator E door middel van de de vereniging van
de relaties Ri in plaats van de doorsnede zal u wellicht verbazen; de formule Eϕ is toch juist
bedoeld als de conjunctie van de formules K1 ϕ, . . . , Kn ϕ? Deze paradox wordt als volgt
opgeklaard. Eϕ staat voor: iedereen weet ϕ. Wil nu de formule Eϕ waar zijn in een toestand
s, dan moeten we voor iedere i nagaan of Ki ϕ waar is. Dat wil zeggen: voor iedere i moeten
we in iedere toestand die Ri -bereikbaar is vanuit s, checken of ϕ er waar is. Dat houdt in,
dat we ieder punt van de vereniging
{t ∈ W | R1 st} ∪ . . . ∪ {t ∈ W | Rn st}
moeten inspecteren. Maar dat betekent dat inderdaad RE = R1 ∪ . . . Rn .
Ook de waarheidsdefinitie van de C-operator is de enige juiste: in Opgave 3.12 wordt u
gevraagd de volgende Propositie te bewijzen:
Propositie 3.34 In elke toestand s van elke epistemisch model M geldt:
M, s Cp ⇐⇒ voor alle n > 0 geldt: M, s E n p.
(Hierbij definiëren we E n ϕ inductief als volgt: E 0 p ≡ p, E n+1 p ≡ EE n p.)
Epistemische logica/ 45
Voor de volledigheid vermelden we nog dat we ook voor de uitgebreide epistemische taal
een axiomatiek kunnen ontwikkelen:
Definitie 3.35 Laat H een van de logica’s K n , T n , S4n of S5n zijn. We definiëren het
systeem H + als de uitbreiding van H met de volgende axioma’s:
(AE)
Ep ↔ K1 p ∧ . . . ∧ Kn p
(DBC ) C(p → q) → (Cp → Cq)
(C1)
Cp → Ep
(C2)
Cp → ECp
+
(C )
C(p → Ep) → (Ep → Cp)
en de universele generalisatie regel voor C:
ϕ
Cϕ
(U GC )
We verklaren alleen het axioma C + , het zogenaamde inductie-axioma. Om precies te zijn,
we laten zien dat C + geldig is in elk frame:
Propositie 3.36 C + is geldig in elk epistemisch frame.
Bewijs.
Laat F een willekeurig epistemisch frame zijn, π een willekeurige valuatie op F, en s een
willekeurige toestand in F. We gaan aantonen dat s C(p → Ep) → (Ep → Cp). Stel dus
dat
s C(p → Ep)
en
s Ep,
dan moeten we laten zien dat
s Cp.
Bekijk nu een willekeurige toestand t in F waarnaar een RE -pad loopt vanuit s. Er zijn
dus punten x0 , . . . , xn waarvoor geldt: x0 = s, xn = t en xi RE xi+1 , in een plaatje:
RE - q RE - q RE s = x0
x1
x2
q
...
RE - q
xn−1 xn = t
q
We bewijzen nu met inductie naar i dat
voor alle i ≥ 1 geldt: xi p.
(9)
basisstap: i = 1.
Volgens één van onze aannames gold s Ep. Omdat sRE x1 , volgt dat x1 p.
inductiestap: i = j + 1 (j ≥ 1).
Merk om te beginnen op, dat er een RE -pad loopt van s naar xj . Omdat s C(p → Ep), is
de formule p → Ep dus waar in xj . Maar volgens de inductiehypothese is p waar in xj . De
conclusie is dat xj Ep, zodat xi p: het punt xi = xj+1 is immers een RE -opvolger van
xj .
Uit (9) volgt dat t p, immers t = xn . Maar omdat t willekeurig was, betekent dit dat
s Cp.
2
Epistemische logica/ 46
Stelling 3.37 (Volledigheid voor common knowledge) Laat ϕ een formule zijn in de
uitgebreide epistemische taal. Dan geldt:
(i)
`T n+ ϕ
⇐⇒ Cnr |= ϕ.
(ii) `S4n+ ϕ ⇐⇒ Cnrt |= ϕ.
(iii) `S5n+ ϕ ⇐⇒ Cneq |= ϕ.
Epistemische logica/ 47
3.6
Opgaven
Opgave 3.1
(a) Geef een afleiding voor `K K(p ∧ q) → (Kp ∧ Kq).
(b) Geef een afleiding voor `K (Kp ∨ Kq) → K(p ∨ q).
(c) Laat zien dat de volgende regel een afgeleide regel is van het systeem K:
ϕ→ψ
Kϕ → Kψ
(D)
(d) Geef een afleiding voor `K (¬K¬p ∧ K(p → q)) → ¬K¬q.
Opgave 3.2 Bewijs de volgende beweringen door het geven van afleidingen:
(a) `T p → ¬K¬p.
(b) `T Kp → ¬K¬p.
(c) `T ¬K¬p → ¬KK¬p.
(d) `T ¬K(p ∧ ¬Kp).
(Hint: laat zien dat `T K(p ∧ ¬Kp) → ⊥.
(e) `T ¬K(KKp ∧ ¬Kp).
Opgave 3.3 Gegeven is een tweeplaatsige relatie R. Bewijs de volgende beweringen:
(a) Als R reflexief, transitief en euclidisch is, dan is R een equivalentierelatie.
(b) Als R een equivalentierelatie is, dan is R euclidisch.
(c) Als R reflexief en euclidisch is, dan is R transitief.
Opgave 3.4 In deze opgave laten we zien dat de axiomatizering van S5 niet de zuinigste is die we
hadden kunnen kiezen. U wordt gevraagd om axioma A2 af te leiden uit de logica Q die wordt
gedefinieerd als het afleidingssysteem K met daaraan toegevoegd alleen de axioma’s A1 en A3.
(a) Geef een afleiding voor `Q Kp → ¬K¬Kp.
(b) Geef een afleiding voor `Q ¬K¬Kp → K¬K¬Kp.
(c) Geef een afleiding voor `Q K¬K¬Kp → KKp.
(d) Laat nu zien dat inderdaad `Q A2.
(e) Denkt u dat er ook een semantisch bewijs is voor onderdeel (d)?
Opgave 3.5 Gegeven is de formule α ≡ ¬K¬Kp → p.
Epistemische logica/ 48
(a) Geef een afleiding voor `S5 α.
(b) Toon aan dat 6`S4 α.
(c) Vindt u het verdedigbaar dat α een wet van een kennislogica is?
Opgave 3.6 Laat zien dat S52 6` K1 K2 p → K2 K1 p.
Opgave 3.7 Bewijs de Correctheidsstelling voor T , S4 en S5.
Opgave 3.8 Leg aan de hand van het zogenaamde Byzantijnse leger-probleem uit dat (in het geval
van twee kenners), de common-knowledge operator C door geen enkel rijtje van operatoren Eϕ,
EEϕ, EEEϕ kan worden vervangen:
Twee geallieerde legers hebben hun tenten opgeslagen op twee aangrenzende
heuvels. In de vallei tussen deze heuvels is de vijand gelegerd. De krachtsverhoudingen tussen deze drie legers is zó dat de geallieerden de vijand kunnen verslaan, maar
alleen als ze samen de strijd inzetten, en op het zelfde moment aanvallen. Daarom is
het van het grootste belang dat de gezamenlijke aanval goed wordt gepland. Op een
zekere avond bedenkt generaal 1 (van het ene geallieerde leger) dat ze de ochtend
daarop maar eens de strijd moesten aangaan. Hij stuurt daartoe een boodschapper
naar generaal 2, met het bericht
(p)
het plan is om morgenochtend om zes uur aan te vallen.
Hij vraagt echter nog een bevestiging van ontvangst, om te vermijden dat hij morgen
in zijn eentje de vijand aan gaat vallen. Stel dat de koerier, die dwars door het
vijandelijke gebied moet sluipen, het legerkamp van generaal 2 bereikt; deze schrijft
een briefje dat zij met het plan akkoord gaat, en stuurt de koerier weer terug naar
generaal 1. Generaal 2 wil echter zeker zijn dat haar antwoord aan is gekomen, in
haar plaats ook om aan de smadelijke nederlaag te ontkomen die haar boven het hoofd
hangt als generaal 1 niet te weten komt dat zij akkoord gaat met de aanval. Daarom
vraagt zij generaal 1 om de boodschapper weer terug te sturen met het bericht dat hij
haar ontvangstbevestiging inderdaad ontvangen heeft. Als nu generaal 1 dit briefje
ontvangt, . . .
Opgave 3.9 Laat zien dat in de frames zoals die beschreven worden in Voorbeeld 3.29, de volgende
formule geldig is:
Cp ↔ EEp.
Opgave 3.10 Laat zien dat het axioma C2 geldig is in elk epistemisch frame.
Opgave 3.11 Gegeven is een epistemisch model waar de formule p → Ep waar is. Laat zien dat
dan ook de formule p → Cp waar is.
Epistemische logica/ 49
Opgave 3.12 Bewijs Propositie 3.34
Opgave 3.13 Gegeven zijn twee epistemische modellen M en M0 met daarin twee toestanden s,
resp. s0 zó dat geldt:
M, s ↔ M0 , s0 .
(Hierbij hanteren we de voor de hand liggende definitie: een bisimulatie tussen twee epistemische
modellen moet aan de ‘heen-en-weer’-conditie voldoen voor elke relatie Ri .)
(a) Laat zien dat als we de gewone epistemische taal uitbreiden met de algemene kennis-operator
E, nog steeds voor iedere formule ϕ geldt:
M, s ϕ ⇐⇒ M0 , s0 ϕ.
(b) Laat nu zien dat ook in de uitgebreide epistemische taal (Definitie 3.31) voor iedere formule
ϕ geldt:
M, s ϕ ⇐⇒ M0 , s0 ϕ.
(c) Volgt uit onderdeel (a) dat de E-operator definieerbaar is in de gewone epistemische taal?
(d) Volgt uit onderdeel (b) dat de C-operator definieerbaar is in de gewone epistemische taal?
Eigenschappen van relaties/ 50
A
Eigenschappen van tweeplaatsige relaties
Een tweeplaatsige relatie R heet:
als R voldoet aan
transitief
reflexief
irreflexief
symmetrisch
antisymmetrisch
asymmetrisch
euclidisch
partieel functioneel
serieel (of voortzettend)
confluent
rechts voortzettend
links voortzettend
functioneel
een partiële ordening
een temporele ordening
een equivalentierelatie
∀xyz ((Rxy ∧ Ryz) → Rxz)
∀x Rxx
∀x ¬Rxx
∀xy (Rxy → Ryx)
∀xy ((Rxy ∧ Ryx) → x = y)
∀xy (Rxy → ¬Ryx)
∀xyz ((Rxy ∧ Rxz) → Ryz)
∀xyz ((Rxy ∧ Rxz) → y = z)
∀x∃y Rxy
∀yy 0 (∃x (Rxy ∧ Rxy 0 ) → ∃u (Ryu ∧ Ry 0 u))
∀x∃y Rxy
∀x∃y Ryx
partiële functionaliteit & serialiteit
reflexiviteit, transitiviteit & antisymmetrie
reflexiviteit & transitiviteit
reflexiviteit, transitiviteit & symmetrie
Een temporele ordening < heet:
als < voldoet aan
vertakkend
rechts-lineair
links-lineair
lineair
totaal
dicht
discreet:
∃xyz (x < y ∧ x < z ∧ y 6= z ∧ ¬y ≤ z ∧ ¬z ≤ y)
∀xyz ((x < y ∧ x < z) → (y < z ∨ y = z ∨ z < y))
∀xyz ((y < x ∧ z < x) → (y < z ∨ y = z ∨ z < y))
rechts-lineariteit & links-lineariteit
∀xy (x < y ∨ x = y ∨ y < x)
∀xy (x < y → ∃z (x < z ∧ z < y))
∀xy (x < y →
∃z (x < z ∧ z ≤ y ∧ ¬∃u (x < u ∧ u < z)))
Hierbij is ≤ de ‘reflexieve versie’ van ≤, dat wil zeggen, we gebruiken het symbool als afkorting:
x ≤ y ≡ (x < y ∨ x = y).