3D030

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE
GROEP TRANSPORTFYSICA
Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op maandag 20 juni 2011,
14.00 - 17.00 uur.
Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1
punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend.
(a) Beschouw een tweedimensionale stroming in het x, y-vlak met snelheidscomponenten u = x2 y en v = −xy 2 . Kan de stroming met een stroomfunctie
worden beschreven?
(b) Is de stroming van (a) rotatievrij?
(c) In de stationaire stroming van onderdeel (a) wordt in het punt (1,1) een klein
tracerdeeltje losgelaten. Is het waar dat dit deeltje een versnelling ondervindt
ter grootte a = (4, −2)?
(d) Is het waar dat het Strouhal-getal de verhouding weergeeft van de instationaire
versnellingsterm en de viskeuze term in de Navier-Stokes-vergelijking?
(e) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Couette-stroming?
(f) Ter beschrijving van de vloeistofstroming door een wand van poreus materiaal
met dikte d hanteert men de zgn. ’wet van Darcy’:
φV =
Akp
∆p ,
µd
waarbij A een oppervlak, kp de permeabiliteit [m2 ] van het materiaal, en µ de
dynamische viscositeit van de vloeistof zijn. Deze uitdrukking geeft dus een
lineair verband tussen de volumeflux φV en de drukval ∆p. Is het waar dat
p
de grootheid Ak
µd de ’stromingsweerstand’ voor de stroming door het poreuze
materiaal weergeeft?
(g) Een Poiseuille-buisstroming heeft het volgende snelheidsprofiel:
vz (r) = −
1 dp 2
(R − r 2 )
4µ dz
dp
de axiale drukgradiënt, r de straal, 2R de buisdiameter, µ de dynamet dz
mische viscositeit, en vz (r) de snelheid in axiale richting. Is het waar dat de
dp
axiale schuifspanning τrz (r) = 12 r 2 dz
?
(h) Beschouw een laminaire stroming in een divergerend kanaal. De stroming
wordt gekarakteriseerd door een groot Reynolds-getal Re >> 1, zodat zich
aan de wanden dunne grenslagen voordoen. Is het waar dat het gevaar voor
loslating van de grenslagen in dit geval groter is dan in een convergerend
kanaal?
1
(i) Is het waar dat men in een Stokes-stroming de vergelijking van Bernoulli mag
toepassen om een verband tussen snelheid V en druk p te bepalen?
(j) Een bolletje (diameter 2 cm) oplosbaar materiaal (stof A) wordt geplaatst in
een waterachtige omgevingsvloeistof (stof B). De diffusiecoëfficiënt van stof A
is DA = 10−8 m2 /s. Een microprobe – geplaatst op een afstand d = 2 mm
van het oppervlak van het bolletje – meet het concentratieverloop CA (t) van
stof A.
Is het waar dat de probe al na ongeveer τ = 25 s iets van de concentratieverhoging meet?
2
Opgave 2 Uit een kraan (diameter 2R1 ) stroomt water laminair in een dunne straal vertikaal
naar beneden. Als gevolg van de zwaartekracht neemt de snelheid van het vallende
water toe en contraheert de straal geleidelijk: de diameter is D(z) = 2R(z), waarbij z de verticale coördinaat is.
De stroming in de straal is ’aangepast’, d.w.z. de druk is gelijk aan de omgevingsdruk pa , terwijl de snelheid V (z) uniform is over de doorsnede. De luchtwrijving
mag worden verwaarloosd, evenals de viscositeit van het water.
(1 pnt)
(a) Leid een uitdrukking af voor de snelheid V (z).
(1 pnt)
(b) Leid een uitdrukking af voor D(z).
(1 pnt)
(c) Bij een voldoende kleine diameter D2 = 10−3 m vertoont de dunne waterstraal
een instabiliteit, welke samenhangt met oppervlaktespanning: de straal breekt
dan op in druppels, zie schets. Als gegeven is dat de kraandiameter D1 =
5 · 10−3 m en V1 = 10 cm/sec, bepaal dan de snelheid V2 en de straallengte L
waarbij de instabiliteit gaat optreden.
Bij de volgende onderdelen gaan we ervan uit dat er geen druppelvorming optreedt:
de straal heeft een uniforme snelheid V (z) bij een diameter D(z).
We brengen nu een horizontale plaat onder de waterstraal aan: het water stroomt
horizontaal in radiale richting in een dunne laag over de plaat weg. De snelheid
waarmee het water bij de plaat arriveert is V .
De druk is in goede benadering overal gelijk aan de omgevingsdruk pa .
3
(1 pnt)
(d) Bereken de kracht F die men moet leveren om de plaat op haar plaats te
houden. [Hierbij kunnen we het gewicht van de radiaal-wegstromende vloeistof
in de laag boven de plaat verwaarlozen].
4
We vervangen de plaat nu door een ombuiger, waardoor de cilindrische waterstraal
wordt omgebogen: het water stroomt weg met uniforme snelheid V in de vorm van
een cilindrische straal (doorsnede-oppervlak A) welke een hoek α maakt t.o.v. de
horizontale x-as. Het water in de intredende straal (eveneens doorsnede-oppervlak
A) stroomt met een uniforme snelheid V . De in- en uittredende stralen zijn ’aangepast’, d.w.z. de druk in de stralen is gelijk aan de atmosferische omgevingsdruk pa .
(3 pnt)
(e) Leid een uitdrukking af voor de kracht F = (Fx , Fz ) die men moet leveren om
de ombuiger op z’n plaats te houden.
We halen nu de ombuiger weg, en laten de waterstraal in een ruime bak
(gootsteen) lopen. Het water stroomt radiaal weg met een snelheid vr (r) in
een laagje met uniforme dikte h. Op een straal r = Rc doet zich een zgn.
watersprong voor: de laagdikte verspringt naar de grotere waarde H, terwijl
vlak achter de (turbulente) sprong de radiale snelheid beduidend kleiner is
dan vr (r < Rc ).
5
(1 pnt)
(1 pnt)
(1 pnt)
(f) Bepaal (met behulp van massabehoud) de radiale snelheid vr (r) voor
r < Rc .
√
(g) Het Froude-getal F r = vr / gh kan men interpreteren
√ als de verhouding
van de locale stroomsnelheid vr en de snelheid c = gh waarmee golven
(verstoringen) zich voortplanten in een waterlaag met dikte h.
Gegeven zijn de volgende numerieke waarden:
h = 1 mm
g = 10 m/sec2
D = 1 cm
V = 2 m/sec.
Laat zien dat op r = 10 cm de stroming super-kritisch is, d.w.z. F r(r =
10 cm) > 1.
(h) Ter plaatse van de watersprong (op r = Rc ) is de stroming kritisch, d.w.z.
F r(r = Rc ) = 1. Bepaal de positie r = Rc van de watersprong.
6
Opgave 3 We beschouwen twee compartimenten (1 en 2, respectievelijke volumes V1 en V2 )
die worden gescheiden door een semi-permeabel membraan. In compartiment 1
bevindt zich initieel een concentratie c01 van een stofje, zeg X, volledig gemengd in
water. In 2 bevindt zich initieel alleen water. Ook zit X op t = 0 nog niet in het
membraan. Beide compartimenten worden actief gemengd zodat de concentratieverdeling in zowel 1 als 2 uniform is. Het membraan wordt gekarakteriseerd door
1
2
x
x=0 x=H
een diffusieconstante D en heeft een uniforme dikte H. De concentratiesprong over
het membraan kan worden beschreven met een constante partitiecoefficient k waarbij k gelijk is aan de ratio van de concentratie X in het memraan en de concentratie
X net buiten het membraan voor thermodynamisch evenwicht. Vooralsnog gaan
we er van uit dat de concentraties in 1 en 2 niet veranderen in de tijd en dat de
volumes van de afzonderlijke compartimenten oneindig groot zijn.
(2 pnt)
(a) We mogen het probleem beschouwen als een 1-dimensionaal probleem. Stel
de vergelijking op die het transport van X door het membraan beschrijft en
geef een schatting van de tijd die het minimaal duurt voordat het concentratie
profiel stationair is.
(2 pnt)
(b) We gaan er van uit dat er voldoende tijd is verstreken om een stationair concentratie profiel te verkrijgen in het membraan. Reduceer de 1-dimensionale
vergelijking en geef de twee randvoorwaarden die nodig zijn om deze op te
lossen in het membraan.
(2 pnt)
(c) Uiteraard is er dan deze vraag om hem op te lossen.
(1 pnt)
(d) Bereken de concentratieflux in het membraan.
(3 pnt)
(e) We gaan er nu van uit dat de volumes V1 en V2 eindig zijn en gelijk aan elkaar
(V1 = V2 = V ). Het oppervlak van het membraan is nu gelijk aan A en de
concentratie in 1 en 2 zal dus veranderen in de tijd. We gaan er van uit dat
het gedrag in het membraan quasi-stationair is d.w.z. dat concentratieveranderingen in het membraan alleen worden veroorzaakt door veranderingen
in 1 en 2. Wanneer het volume van het membraan verwaarloosd wordt geldt
c1 (t) + c2 (t) = c01 . Stel de behoudswet op die de verandering in de tijd van
de hoeveelheid X in V1 relateerd aan de uitstroom uit 1 en laat zien dat voor
c1 (t) geldt
2DAk −
t
c01 1 + e HV
c1 (t) =
2
7
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
GROEP TRANSPORTFYSICA
Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie (3D030) van 20 juni 2011.
Opgave 1 (a) Ja, immers elke 2D-stroming waarvoor ∇ · v = 0 kan met een stroomfunctie
∂v
beschreven worden. Aangezien ∂u
∂x = 2xy en ∂y = −2xy is ∇ · v = 0.
(b) Nee, want ω =
∂v
∂x
−
∂u
∂y
= −y 2 − x2 6= 0 in het hele stromingsveld.
(c) Nee. De versnelling van een deeltje wordt gegeven door de materiële afgeleide
van de snelheid v:
Dv
∂v
=
+ (v · △)v.
Dt
∂t
Voor de x- en y-componenten vindt men voor elk willekeurig tijdstip t:
∂u
∂u
∂u
Du
=
+u
+v
= 0 + 2x3 y 2 − x2 y 3
Dt
∂t
∂x
∂y
Dv
∂v
∂v
∂v
=
+u
+v
= 0 − x2 y 3 + 2x3 y 2 ,
Dt
∂t
∂x
∂y
dus in het punt (1, 1) is de versnelling a = (1, 1).
(d) Nee. Het Strouhal-getal beschrijft de verhouding tussen instationaire en convectieve versnellingstermen in de Navier-Stokes-vergelijking.
(e) Nee. Een Couette-stroming is volledig gedomineerd door viskeuze krachten.
De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming.
(f) Nee. In analogie met de ‘wet van Ohm’ V = IR beschrijft in de ‘wet van
µd
φv niet de grootheid (µd/Akp )−1 maar (µd/Akp ) de stroDarcy’ ∆p = Ak
p
mingsweerstand.
(g) Nee. De schuifspanningscomponent τrz (zie formuleblad) is
τrz (r) = µ
∂vr
∂vz
1 dp
+
.
= r
∂z
∂r
2 dz
(h) Ja. In een divergerend kanaal neemt de snelheid in stromingsrichting af (volgt
direct uit massabehoud): dV
dx < 0. Volgens Bernoulli is dan in de hoofdstrodp
ming dx > 0, d.w.z. de druk neemt in stromingsrichting toe. Derhalve kunnen
de grenslagen mogelijk loslaten.
(i) Nee. De vergelijking van Bernoulli mag alleen worden toegepast in een nietviskeuze stroming. Een Stokes-stroming is juist viskeus-gedomineerd.
(j) Ja.
√ De diffusie-indringdiepte wordt in goede benadering gegeven door δ(t) =
4 DA t. De micro-probe neemt op t = τ een concentratie-verandering waar,
met andere woorden
p
δ(τ ) = 4 DA τ = d ,
8
dus
τ=
d2
4 · 10−6
=
= 25s.
16DA
16 · 10−8
9
Opgave 2 (a) In de waterstraal mag de vergelijking van Bernoulli worden toegepast:
1
1
p + ρV 2 + ρgz = constant = p1 + ρV12 + ρgz1 .
2
2
Met p = p1 = pa en z1 = 0 vinden we dan:
V (z) = (V12 − 2gz)1/2 .
(1)
NB: in de straal is z < 0.
(b) Uit massabehoud volgt:
QV1 = QV2 = QV → A1 V1 = A2 V2 = AV ,
(2)
π 2
π 2
π 2
waarbij A1 = 4 D1 , A2 = 4 D2 en A = 4 D . Dus:
V1 1/2
D1 ,
D(z) =
V (z)
met V (z) zoals bij (a) bepaald.
(c) Uit het vorige blijkt:
V1 D12 = V2 D22
→
V2 =
D1
D2
2
V1 = 25V1 = 2.5 m/sec .
en met (1) volgt dan
V2 = V (z = −L) = (V12 + 2gL)1/2 →
V 2 − V12
624V12
→ L= 2
=
= 31 · 10−2 m = 31 cm .
2g
2g
(d) Voor deze stationaire stroming neemt de integrale impulsbalans de volgendeZgereduceerde
vorm aan:
Z
Z Z
S
ρv(v · n)dS = −
pndS + F .
S
We leggen een cilindrisch contrôle-volume aan dat de plaat volledig omsluit:
De druk is overal gelijk aan pa , zodat er geen netto druk-bijdrage is. De
axiale component van de impulsbalans wordt dan:
2 π
ρV · D2 = Fz ,
4
waarbij Fz de kracht is die de plaat op de vloeistof uitoefent.
(e) Voor deze stationaire stroming schrijven we de x- en z-componenten van
de integraleZimpulsbalans
als: Z Z
Z
x:
S
z:
ZZ
S
ρu(v · n)dS = −
pnx dS + Fx
S
ρw(v · n)dS = −
ZZ
S
10
pnz dS + Fz
We leggen een rechthoekige contour C (oppervlak S) aan zoals in de figuur
geschetst. Bij de intredende (1) en uittredende (2) straal is:
n1 = (0, 1), v 1 = (0, V ) → (v 1 · n1 ) = −V
n2 = (1, 0), v 2 = (V cos α, V sin α) → (v 2 · n2 ) = V cos α.
NB De uittredende straal (2) doorsnijdt het contrôle oppervlak in een
oppervlak ter grootte A/ cos α.
Aangezien de stralen ’aangepast’ zijn, is de druk overal langs de contour
gelijk aan pa . Derhalve is de drukbijdrage in de impulsbalans gelijk aan
nul.
De x-component
wordt dan:
ZZ
0+
en met
RRS2
ρV cos α · V cos α · dS = Fx ,
dS = A/ cos α vinden we
S2
2
Fx = ρV A cos α.
De z−component
van de impulsbalans
wordt:
ZZ
ZZ
ρ · −V · −V dS +
S1
en met
S2
RR
ρV sin α · V cos αdS = Fz
dS = A/ cos α krijgen we
S2
2
2
ρV A + ρV A sin α = Fz .
Met de massaflux φm ≡ ρV A in de straal kunnen we de krachtcomponenten schrijven als
Fx = φm V cos α
Fz = φm V (1 + sin α).
(f) Massabehoud (toegepast over een cilindrisch volume met straal r en hoogte > h) levert:
π 2
D2 V
D V = 2πrhvr (r) → vr (r) =
.
4
8h r
11
(g) De stroomsnelheid op r = 10 cm is:
(10−2 )2 · 2
vr (r = 10 cm) =
= 0.25 m/sec ,
8 · 10−3 · 10−1
terwijl de golfsnelheid gelijk is aan:
p
c = gh = (10 · 10−3 )1/2 = 0.1 m/sec .
Het Froude-getal heeft op die radiale positie dus de waarde
0.25
Fr (r = 10 cm) =
= 2.5 > 1 .
0.1
√
(h) De conditie Fr (r = Rc ) = vr (r = Rc )/ gh = 1 impliceert:
D2 V
Rc = √
.
8h gh
Na invullen van de numerieke waarden vinden we: Rc = 0.25 m.
Doe dit experiment eens thuis in de keuken!
12
Opgave 3 (a) De concentratie (c) van stofje X in het membraan wordt beschreven door
de diffusievergelijking
∂c
= D∇2 c .
∂t
Wanneer er geen concentratiegradienten in de y en z richting zijn, geldt
∂2c
∂c
=D 2.
∂t
∂x
Orde grootte afschatting van deze 1-dimensionale diffusievergelijking levert
!
∂c
∂2c
Dc0
c01
O
en
O D 2 = 21 ,
=
∂t
τ
∂x
H
met c01 een karakteristieke concetratiewaarde. Dus een eerste schatting
voor de benodigde tijd is
H2
τ≈
.
D
(b) Wanneer een stationair concetratieprofiel bereikt is, geldt
∂c
=0
∂t
en dus
d2 c
=0
dx2
Om dit op te lossen binnen het membraan zijn de volgende randvoorwaarden nodig
c(x = 0) = kc1
c(x = H) = kc2
Er is gegeven dat zowel c1 als c2 (nog) niet in de tijd veranderen dus de
gevraagde randvoorwaarden zijn
c(x = 0) = kc01
c(x = H) = kc02 = 0
(c) Twee maal integreren van
d2 c
=0
dx2
naar x levert
c(x) = Ex + F
waarbij E en F gevonden worden m.b.v. de randvoorwaarden. Er volgt
nu
F = kc01
en
kc0
E=− 1
H
En dus
x
c(x) = kc01 1 −
H
13
(d) De 1-dimensionale diffusieflux in het membraan wordt gegeven door
dc
J = −D
dx
Dus
dc
Dkc01
J = −D
= −DE =
dx
H
(e) De behoudswet voor c1 (t) kan worden opgesteld door, in woorden: verandering van de totale hoeveelheid X in V1 = - uitstroom door diffusie door
het membraan. Of korter,
dc1
= −AJ
V1
dt
met J de nog onbekende 1-dimensionale diffusieflux door het membraan.
Er is gegeven dat we het probleem door het membraan als quasii-statisch
mogen beschouwen. De benodigde randvoowraarden zijn nu
c(x = 0) = kc1 (t)
c(x = H) = kc2 (t)
Oplossen van
d2 c
=0
dx2
naar x in het membraan geeft
c(x) = Ex + F
met
F = kc1 (t)
en
k
E = − (c2 (t) − c1 (t))
H
Voor de flux in het membraan geldt
dc
Dk
J = −D
= −DE = −
(c2 (t) − c1 (t))
dx
H
en omdat c2 (t) = c01 − c1 (t)
Dk 0
J =−
(c − 2c1 (t))
H 1
Herschrijven en substitueren in de gevonden behoudswet levert de differentiaalvergelijking die het gedrag van c1 (t) beschrijft
2DAk
DAk 0
dc1
+
c1 =
c
dt
HV
HV 1
die met de beginvoorwaarde c1 (t = 0) = c01 het gevraagde atwoord oplevert
14