TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
GROEP TRANSPORTFYSICA
Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op maandag 19 maart 2007, 14.00-17.00 uur.
Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is
aangegeven.
1. Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte
argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men
per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt
toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een
1
punt toegekend.
2
(a) Een stationaire twee-dimensionale stroming v = (u, v) in het x, y-vlak
wordt beschreven door u = ax, v = −ay, met a een positieve constante.
Is deze stroming incompressibel?
(b) Is de stroming van onderdeel (a) rotatievrij?
(c) Is het waar dat een materieel deeltje dat zich op t = 0 op (x, y) = (1, 0)
in het stromingsveld van onderdeel (a) bevindt alleen een versnelling in
Du
de x-richting ondervindt ter grootte van
= a2 x?
Dt
(d) Beschouw nogmaals het stromingsveld van onderdeel (a); het betreft de
stroming van een Newtons medium in afwezigheid van externe krachten.
Is het waar dat de drukgradiënt ∇p in het stromingsveld gegeven wordt
door
∇p = −ρa2 (xi + yj) ,
met i en j de eenheidsvectoren in de x, y-richtingen?
(e) Een plaat voert een harmonische beweging uit in zijn eigen vlak, en wekt
daarmee een oscillerende stroming op in het aangrenzende viskeuze medium. Deze oscillerende stroming is merkbaar tot op een afstand δ (de
’indringdiepte’) van de plaat. Dit probleem wordt beschreven door de
parameters δ, ν (de kinematische viscositeit), ω (de frequentie) en U0
(de snelheidsamplitude).
Met behulp van dimensie-analyse kan men aantonen dat er twee onafhankelijke kentallen zijn waarmee de stroming kan worden gekarakteriseerd,
bijvoorbeeld
δ
U0
en
.
1/2
(ν/ω)
(νω)1/2
1
Is deze laatste uitspraak correct?
(f) In een gekanaliseerd deel van een bergbeekje stroomt water met een
uniforme snelheid V = 1 m/s. Ter plekke bezit de beek een diepte H en
een breedte B = 1, 5 m. De totale volumeflux bedraagt QV = 0, 3 m3 /s.
Is het waar dat de stroming superkritisch is?
(g) Op een windstille dag fietst een wielrenner op een horizontaal traject met
constante snelheid V = 36 km/h, en ervaart een lucht-weerstandskracht
D. De weerstandscoëfficiënt CD is gedefinieerd als
D
CD = 1 2
,
ρV · Af
2
waarbij ρ = 1 kg/m3 de luchtdichtheid, en Af = 0.4 m2 het frontaal
aanstroomoppervlak van wielrenner + fiets is. In goede benadering is
CD = 0.8.
Is het waar dat de wielrenner voor het fietsen met deze snelheid een
vermogen moet leveren van tenminste
P = 160 N m/s = 160 J/s ?
(h) De snelheid in de grenslaag langs een vlakke wand wordt benaderd door
µ ¶2
y
V , 0≤y≤δ
u(x, y) =
δ
waarbij δ(x) de locale grenslaagdikte, en V de snelheid van de uniforme
buitenstroming. Is het waar dat de verdringings-(of verplaatsings-)dikte
δ ∗ gelijk is aan δ ∗ = 12 δ?
(i) Beschouw een volledig ontwikkelde turbulente twee-dimensionale kanaalstroming. Is de turbulente viscositeit νt op de kanaalwanden gelijk aan
nul?
(j) Is het waar dat in het centrum van een volledig ontwikkelde turbulente
kanaalstroming de tijdsgemiddelde druk p lager is dan aan de kanaalwanden?
2
2. Beschouw de stationaire stroming van een Newtonse vloeistof (dichtheid ρ,
kinematische viscositeit ν) door een cilindrische buis met diameter 2R0 een
lengte L. Ter beschrijving van deze stroming hanteren we een cilindrisch
(r, θ, x)-coördinatenstelsel.
De beweging van de vloeistof is zuiver axiaal. Bij de intrede (x = 0) heerst
een uniforme snelheid V1 , waarna op 0 < x < L de stroming door viskeuze
effecten een overgang vertoont naar een ontwikkelde Poiseuille-stroming op
x = L. De snelheidsverdeling van deze Poiseuille-stroming wordt gegeven
door:
Ã
x≥L:
r2
v(r) = v̂ 1 − 2
R0
!
.
Voorts is gegeven dat de drukken op x = 0 en x = L gelijk zijn aan p(x =
0) = p1 , en p(x = L) = p2 (< p1 ).
(1 pnt)
(1 pnt)
(3 pnt)
(a) Toon aan dat v̂ = 2V1 .
(b) Bepaal de volumeflux QV op x = L.
(c) Bepaal (met gebruikmaking van de integrale impulsbalans) de totale
weerstandskracht W die de vloeistof op de buiswand uitoefent.
3
De vloeistof stroomt met dit snelheidsprofiel v(r) uit in de vrije atmosfeer.
De straal vertoont daar een contractie: door viskeuze effecten ontstaat er
ter plaatse (3) een ’aangepaste’ straal met uniforme snelheid V3 en een diameter 2R3 . De druk in de straal mag overal gelijk worden genomen aan de
atmosferische druk pa , dus ook p2 = pa ; effecten van oppervlakte-spanning
en zwaartekracht worden verwaarloosd.
(2 pnt)
(d) Leid uitdrukkingen af voor de snelheid V3 en de diameterverhouding
R3 /R0 in termen van de andere (bekende) grootheden.
Vervolgens richt men de straal op een verticale plaat, zie schets. De stroming
wordt nu als niet-viskeus beschouwd. Ter plaatse van het stuwpunt S bevindt
zich in de plaat een klein gaatje, dat met één been van een U -buis-manometer
verbonden is. Deze manometer is gevuld met een vloeistof met dichtheid ρ∗ .
(1 pnt)
(e) Leid een uitdrukking af voor het niveau-verschil h in de manometer als
functie van de stromingsgrootheden.
4
Vervolgens richt men de waterstraal tegen een plaatje dat de uitstroomopening van een groot vat bedekt, zie schets. Dit vat is gevuld met een
vloeistof met dezelfde dichtheid ρ, met het waterniveau H t.o.v. de (kleine) uitstroomopening. Het doorsnede-oppervlak van de uitstroomopening is
A = πR32 .
(2 pnt)
(f) Bepaal de maximale waterhoogte H (als functie van de stromingsgrootheden) waarbij het afdekplaatje door de straal nog juist tegen de opening
wordt gedrukt.
5
3. Beschouw
√ twee ’oneindig lange’ coaxiale cilinders met straal R1 = R en
R2 = 2R. De cilinder-assen zijn parallel met de z-as. Tussen beide cilinders bevindt zich een Newtonse vloeistof met dynamische viscositeit µ. De
dichtheid van de vloeistof is ρ. De binnenste cilinder roteert met een hoeksnelheid Ω1 , en de buitenste met een hoeksnelheid Ω2 . De stroming tussen de
cilinders mag als stationair en incompressibel beschouwd worden. Neem aan
dat de zwaartekracht verwaarloosd mag worden. In poolcoördinaten geformuleerd luiden de r en θ-component van de Navier-Stokes-vergelijking, met
v(r, θ) = (u(r, θ), v(r, θ)):
Ã
∂u
∂u v ∂u v 2
1 ∂p
u
2 ∂v
+u
+
−
=−
+ ν ∇2 u − 2 − 2
∂t
∂r r ∂θ
r
ρ ∂r
r
r ∂θ
Ã
!
∂v
∂v v ∂v uv
1 ∂p
v
2 ∂u
+u
+
+
=−
+ ν ∇2 v − 2 + 2
∂t
∂r r ∂θ
r
ρr ∂θ
r
r ∂θ
met:
∇2 f =
∂ 2f
1 ∂f
1 ∂2f
+
+
,
∂r2
r ∂r r2 ∂θ2
en ν = µ/ρ
Incompressibiliteit geeft:
∇·v =
∂u u 1 ∂v
+ +
=0.
∂r
r r ∂θ
6
,
!
,
(1 pnt)
(a) Beargumenteer waarom de vloeistofsneldheid v en de druk p niet afhangen van de azimutale coördinaat θ, dus dat geldt: v = (u(r), v(r)).
(2 pnt)
(b) Stel de benodigde randvoorwaarden voor u en v op.
(c) Toon aan dat v = (0, v(r)), ofwel dat er alleen een azimutale snelheidscomponent is.
(1 pnt)
(2 pnt)
(d) Leid de gereduceerde Navier-Stokes vergelijking af en geef argumenten
voor de vereenvoudigingen.
(2 pnt)
(e) Toon aan dat de snelheidsverdeling is gegeven door v(r) = Ar + B/r.
Bepaal de constanten A en B. Controleer uw antwoord voor v(r) aan de
hand van de volgende twee speciale gevallen:
(1) Ω1 = Ω2 = Ω, dan v(r) = Ωr .
(2) Ω1 = 2Ω2 = Ω, dan v(r) = ΩR2 /r .
Uiteraard zijn we geı̈nteresseerd in de wrijvingskracht die op de cilinders
wordt uitgeoefend. De componenten van de spanningstensor in poolcoördinaten
hebben de volgende vorm:
∂u
σrr = −p + 2µ
;
∂r
Ã
σrθ
Ã
σθθ
1 ∂v u
= −p + 2µ
+
r ∂θ r
!
;
!
1 ∂u ∂v v
.
=µ
+
−
r ∂θ ∂r r
(1 pnt)
(f) Bepaal met de relevante componenten (en vereenvoudig deze) de schuifspanning τ aan het oppervlak op de binnenste cilinder.
(1 pnt)
(g) Bepaal het totale krachtmoment per eenheid van lengte op de binnenste
cilinder en het benodigd vermogen om de cilinders draaiend te houden.
7
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
VAKGROEP TRANSPORTFYSICA
Uitwerking Tentamen FTV voor W (3B470) van maandag 19 maart
2007.
1. (a) Ja, immers
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= a − a = 0.
(b) Ja, want
Ã
∂v ∂u
∂ 2ψ ∂ 2ψ
ωz ≡
−
=−
+ 2
∂x ∂y
∂x2
∂y
!
=0.
(c) Ja. Op de x-as (y = 0) is v = 0, dus daar is de versnelling
de x-richting is de versnelling op y = 0:
Dv
Dt
= 0. In
Du
∂u
∂u
=
+u
= 0 + ax · a = a2 x .
Dt
∂t
∂x
(d) Ja. De x, y-componenten van de Navier-Stokes-vergelijking geven:
∂u
∂u
1 ∂p
1 ∂p
+v
=−
→ −
= a2 x
∂x
∂y
ρ ∂x
ρ ∂x
∂v
1 ∂p
1 ∂p
∂v
+v
=−
→ −
= a2 y
y: u
∂x
∂y
ρ ∂y
ρ ∂y
x: u
waarmee volgt:
∇p = −ρa2 (xi + yj) .
(e) Ja. Er zijn m = 4 parameters: δ[m], ν[m2 /s], ω[s−1 ], U0 [m/s] met in
totaal n = 2 basisdimensies. Volgens het Buckingham-Π-theorema is
het aantal onafhankelijk te kiezen kentallen dan m − n = 2. Schrijf
P = δ a1 · ν a2 · ω a3 · Uoa4 .
[m]: 0 = a1 + 2a2 + a4
[s]: 0 = −a2 − a3 − a4
)
Bij de keuze a4 = 0 en a1 = 1 vindt men a2 = − 21 en a3 = 21 , dus
P1 =
δ
.
(ν/ω)1/2
Bij de keuze a4 = 1 en a4 = 0 vindt men a2 = − 12 en a3 = − 12 , dus
U0
P2 =
.
(νω)1/2
8
(f) Nee. Met QV = HBV = 0, 3m3 /s, B = 1, 5 m en V = 1 m/s volgt
H = 0, 2 m. Het Froude-getal van de stroming is
Fr =
V2
1
=
<1.
gH
10 · 0, 2
De stroming is dus subkritisch.
(g) Ja. De weerstandskracht t.g.v. de stroming is: D = CD 21 ρV 2 Af ' 16N .
Het benodigd vermogen is dan P = V D = 160N m/s. Aangezien er ook
nog mechanische wrijving optreedt (wielen, ketting, etc.) is het totaal
benodigd vermogen dus groter dan 160N m/s.
(h) Nee. De verdringingsdikte δ ∗ is:
∗
δ (x) =
Z δµ
0
µ ¶2 #
"
¶
Z δ
u
y
1−
dy =
1−
V
δ
0
1
2
dy = δ − δ = δ(x) .
3
3
(i) Ja. Op de kanaalwanden zijn de turbulente fluctuaties gelijk aan nul:
∂u
u0 = 0, v 0 = 0, en dus u0 v 0 = 0. Ondanks het feit dat daar ∂n
6= 0 is aan
de wanden dus νt = 0.
(j) Ja. Voor de tijdsgemiddelde druk geldt p/ρ + (u0 )2 = p0 /ρ.
In het centrum is (u0 )2 > 0, terwijl aan de wanden (u0 )2 = 0. De druk
in het centrum is dus lager dan aan de kanaalwanden.
2. (a) Massabehoud:
Z R0
1
v(r)2πrdr = πR02 v̂ → v̂ = 2V1
2
0
(b) Volumeflux: QV = πR02 V1 (zie boven).
πR02 V1 =
(1)
(c) Integrale impulsbalans in x-richting:
ρ
RR
S1
u1 (v1 · n1 )dS + ρ
RR
S2
u2 (v2 · n2 )dS =
= (p1 − p2 )πR02 + Fx ,
waarbij Fx = kracht in x-richting die de wand uitoefent op de vloeistof.
Met (v1 · n1 ) = −u1 = −V1 en (v2 · n2 ) = +u2 = v(r) volgt:
−ρV12 πR02 + ρ
Z R0
0
v 2 (r)2πrdr = (p1 − p2 )πR02 + Fx .
R
Nu is 0R0 v 2 (r)2πrdr = 13 πR02 v̂ 2 , zodat
·
→ Fx = (p2 −
p1 )πR02
+
ρπR02
¸
1 2
v̂ − V12 .
3
(2)
De gevraagde kracht is dan
·
¸
1
W = −Fx = − (p2 − p1 ) + ρV12 πR02 .
3
9
(3)
(d) Massabehoud:
Z R0
1
v(r)2πrdr = πR02 v̂ = πR02 V1 .
2
0
Integrale impulsbalans in x-richting:
πR32 V3
ρ
=
RR
=
S2
P
u2 (v2 · n2 )dS + ρ
RR
S3
(4)
u3 (v3 · n3 )dS =
krachtenx = 0 .
De som van de krachten die in x-richting op de vloeistof werken is gelijk
aan nul, omdat de druk overal gelijk is aan pa , en oppervlaktespanningsen zwaartekrachtseffecten verwaarloosbaar zijn.
Met (v2 · n2 ) = −u2 = −v(r) en (v3 · n3 ) = u3 = V3 krijgen we
−ρ
Z R0
0
v 2 (r)2πrdr + ρπR32 V32 = 0
1 3 2
πR v̂ = πR32 V32 ,
3 0
(5)
4
ofwel V32 R32 = V12 R02 .
3
Uit (4) leiden we af:
µ
V3 = V1
R0
R3
¶2
.
(6)
Substitutie hiervan in (5) levert:
R3
1√
=
3
R0
2
4
en dan geeft (6): V3 = V1 .
3
(e) Bernoulli in de waterstraal:
1
pa + ρV32 = pS .
2
(7)
(8)
10
Hydrostatische drukverdeling in de manometer:
ρV32
pS = pa + ρ∗ gh
→h=
.
2ρ∗ g
(f) Druk aan rechterzijde van het plaatje:
(9)
prechts = pa + ρgH → Frechts = (pa + ρgH)πR32 .
(10)
Uit de integrale impulsbalans volgt de kracht die de waterstraal (aan de
linker zijde) op de plaat uitoefent:
Flinks = (ρV32 + pa )πR32 .
De voorwaarde |Flinks | ≥ |Frechts | leidt dan tot H ≤
V32
.
g
3. (a) Het probleem is rotatiesymmetrisch, en kan dus niet van de hoek θ afhangen.
√
(b)
u(R) = 0 , u( 2R) = 0 .
√
√
v(R) = Ω1 R , v( 2R) = 2Ω2 R .
∂
(c) Incompressibiliteit leidt tot (met gebruik van a): ∂u
+ ur = 1r ∂r
(ru) = 0,
∂r
dus u(r) = C/r. Gebruik van de randvoorwaarden leidt tot: u(r) = 0.
(d) Vergelijkingen zijn onafhankelijk van θ, de radiële snelheidscomponent u
is nul, en de stroming is stationair. Dus:
v2
1 ∂p
v
d2 v 1 dv
v
2
=
, ∇ v− 2 = 2 +
− 2 =0.
r
ρ ∂r
r
dr
r dr r
(e) Stel: v(r) = Arn . Substitutie in de differentiaalvergelijking ∇2 v− rv2 = 0
levert: n(n − 1)Arn−2 + nArn−2 − Arn−2 = 0 ofwel n2 = 1, dus n =
± 1. De algemene oplossing is v(r) = Ar + B/r, en gebruik van de
randvoorwaarden levert:
v(r) = (2Ω2 − Ω1 )r + 2(Ω1 − Ω2 )R2 /r .
(f)
Ã
σrr = −p ; σθθ = −p ; σrθ
Ã
τ (r = R) = σrθ |r=R
∂v v
=µ
−
∂r r
!
!
.
∂v v
−
|r=R = −4µ(Ω1 − Ω2 ) .
=µ
∂r r
(g) Krachtmoment per lengte-eenheid:
M1 = R2πRτ (R) = −8πµ(Ω1 − Ω2 )R2 .
Benodigd vermogen:
P = |M1 Ω1 | = 8πµΩ1 (Ω1 − Ω2 )R2 .
11