dgv ρ, η - Syneratio

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
GROEP TRANSPORTFYSICA
Eindtoets Technische Natuurwetenschappen voor W (3NCB1)
Maandag 19 januari 2015, 9.00–12.00 uur.
De toets levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.
Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen en geef daarbij een korte argumentatie. Per
onderdeel is 1 punt te behalen.
(a) Kunnen stroomlijnen elkaar snijden? Leg je antwoord uit.
(b) Bepaal het stuwpunt van de stroming met de volgende stroomfunctie:
ψ(r, θ) = θ + r cos θ.
(c) Een rond kogeltje met diameter d en dichtheid ρk valt door een vloeistof
met dichtheid ρv en viscositeit η onder invloed van de zwaartekrachtsversnelling g. Gegeven is dat Re ≪ 1. Bereken de constante sedimentatiesnelheid v die het kogeltje bereikt.
(d) Een stroperige vloeistof met dichtheid ρ en viscositeit η stroomt naar
beneden langs een verticale wand onder invloed van de zwaartekracht
met valversnelling g. De vloeistof vormt een film met uniforme dikte d
op de wand; aan het grensvlak tussen de vloeistof en de omgeving wordt
een stroomsnelheid v gevonden.
11
00
d
00
11
00
11
00
11
g
00
11
ρ, η
00
11
00
11
00
11
00
11
v
00
11
00
11
00
11
Geef de relevante fysische parameters en hun dimensies.
Door hoeveel
onafhankelijke kentallen wordt dit probleem beschreven? Je hoeft deze
kentallen niet af te leiden!
(e) Een drukverschil ∆p drijft de stroming van een viskeuze vloeistof door
een ronde buis (straal R) aan. In de buis meten we de stroomsnelheid; de
maximale waarde blijkt v0 te zijn. We vervangen de buis door een even
lang exemplaar, maar nu met straal 21 R. De overige gegevens (drukverschil, viscositeit, etc.) blijven gelijk. Wat zal nu de hoogst gemeten
stroomsnelheid in de buis zijn, vergeleken met v0 ?
(f) Een pitcher in een honkbalwedstrijd wil een curveball werpen die naar
rechts afbuigt. Hoe moet hij de bal laten draaien om dit effect te
bereiken? Licht je antwoord toe.
(g) De golfsnelheid v van golven aan het vloeistofoppervlak van een nietviskeuze vloeistof met dichtheid ρ blijkt uitsluitend af te hangen van de
golflengte λ en de valversnelling g. We meten een golfsnelheid v1 voor
golven met golflengte λ1 . Bepaal de golfsnelheid v2 van golven met een
1
tienmaal kleinere golflengte λ2 = 10
λ1 .
(h) Een hydraulische krik bestaat uit twee cilinders die verbonden zijn en
gevuld met vloeistof. Aan de kant van de smalle cilinder (met doorsnedeoppervlak A1 ) drukt men via een zuiger met een kracht F1 op de vloeistof.
Met welke kracht F2 wordt de zuiger in de brede cilinder (met doorsnedeoppervlak A2 ) omhooggedrukt?
F1
A1
F2
A2
(i) Twee identieke geluidsbronnen S1,2 zenden geluid uit met dezelfde toonhoogte en volume, maar met een instelbaar faseverschil: S1 produceert
A sin ωt, en S2 produceert A sin(ωt + φ). Stel dat je het geluid meet in
een punt P , en dat de afstand van P tot beide bronnen even groot is,
zeg R. Hoe groot moet φ dan zijn om in P zo min mogelijk geluid te
meten?
(j) Een dikke bromvlieg maakt f vleugelslagen per seconde, en veroorzaakt
dus een bromtoon van frequentie f . Het akelige beest zoemt op een
afstand D met snelheid vb rond je hoofd, in cirkelvormige banen. Hoe
groot is de Dopplerverschuiving in de bromtoon die jij waarneemt (er
van uitgaand dat je geduldig genoeg bent om zelf stil te blijven staan)?
Opgave 2 In het oerwoud hangt een baviaan aan een
liaan aan een boomtak. In de boom nadert
een luipaard, maar de baviaan heeft nog niets
in de gaten. Om aan deze situatie te rekenen
gebruiken we het model rechts in de schets,
met de volgende gegevens: µl en L0 zijn resp.
de lineaire massadichtheid en de lengte van
de onbelaste liaan, die zich gedraagt als een
ideaal elastiek met veerconstante k ∗ ; Ma is de
massa van de aap, Ml die van de luipaard.
½L0+∆L
Ma
½L0
Op het moment dat deze opgave begint hangt de aap (die je als
puntmassa op mag vatten) in evenwicht en in rust aan de liaan,
zoals in de figuur. Je mag in de hele opgave de massa van de liaan
verwaarlozen ten opzichte van de massa van de aap, en ook de rek
als gevolg van het eigen gewicht van de liaan verwaarlozen.
De hieronder gevraagde formules moet je zoveel mogelijk schrijven in termen
van de hierboven gegeven parameters van het probleem.
(1 pnt)
(1 pnt)
(a) Geef een formule voor de afstand z = 21 L0 + ∆L waarop de aap onder de
tak hangt. (Hint: Denk even na over welke veerconstante je hier moet
gebruiken.)
(b) Geef een formule voor de transversale golfsnelheid in het stuk liaan boven
de aap.
(1 pnt)
(c) De luipaard stapt op t = 0 te bruusk op de boomtak, waardoor een
transversale trilling over de liaan naar beneden gaat lopen. Na hoeveel
tijd arriveert die trilling bij de aap?
(2 pnt)
(d) En na hoeveel tijd arriveert de trilling helemaal onderaan de liaan?
(Hint: Check expliciet dat je uitkomst de correcte dimensie heeft.)
(e) De aap schrikt zich de blubbers, en springt naar een liaan in een naburige
boom. De oorspronkelijke liaan gaat daardoor slingeren. Geef een
uitdrukking voor de periode van die slingering. Je mag hier rek verwaarlozen, en de liaan opvatten als een dunne, rechte staaf, waarvoor
1
IZ = 12
ML2 .
(1 pnt)
(3 pnt)
(f) Doordat het uiteinde van de liaan in het water hangt, dempt de slingering
langzaam uit door wrijving. Per slingerperiode neemt de amplitude met
10% af. Schets in één grafiek zowel de amplitude als de totale mechanische energie in de slingering als functie van de tijd, gedurende minstens
3 volledige perioden.
Onderdeel (g) z.o.z.!
(1 pnt)
(g) Op de vrij naar beneden hangende liaan kunnen ook staande transversale
golven ontstaan. Schets de vorm van de twee langst mogelijke golven, en
beargumenteer kort waarom je denkt dat die er zo uit moeten zien als
in je schets.
Opgave 3 Het uiteinde van een vierkant kanaal (hoogte en breedte gelijk aan B) is
voorzien van een Pitotbuis om de stroomsnelheid te kunnen meten. De
Pitotbuis is dun en zal daardoor de stroming niet merkbaar verstoren. Een
vloeistof met dichtheid ρa en verwaarloosbare viscositeit stroomt door het
kanaal. De vloeistof in de U-buis heeft een dichtheid ρb > ρa .
p0
ρa
B
va
y
g
h
x
ρb
(2 pnt)
(a) Leid een formule af voor de snelheid va als functie van de variabelen in
bovenstaande figuur.
Direct na het uittreden past de druk in de straal zich aan zodat deze constant is en gelijk aan de omgevingsdruk p0 . De straal valt op een afbuiger die
de straal halveert; de bovenste helft wordt naar boven afgebogen onder een
willekeurige hoek α, terwijl de onderste helft eerst versmalt tot b = 13 B en
daarna precies verticaal uittreedt. In- en uittredende stralen hebben een uniforme snelheid; afmetingen zijn zoals aangegeven, de afmeting in de richting
het papier in verandert niet. We willen weten welke kracht F~ op de afbuiger
moet worden uitgeoefend om dit op zijn plaats te houden.
y
~v2
p0
x
1
B
2
α
ρa
~v1
1
B
2
1
B
2
b
~v3
(2 pnt)
(3 pnt)
(b) Schets een geschikte contour voor het bepalen van deze kracht F~ met de
benodigde normaalvectoren. Schrijf deze normaalvectoren en de in- en
uitgaande snelheidsvectoren ~v1 , ~v2 en ~v3 op in componenten. Je mag va
gebruiken in deze formuleringen; het antwoord van (a) hoeft niet gesubstitueerd te worden.
(c) Bepaal de gevraagde kracht F~ nodig om het bochtstuk op zijn plaats te
houden. Zwaartekracht mag in dit onderdeel worden verwaarloosd.
(2 pnt)
(d) De opwaarts gerichte uitgaande straal beschrijft een boog. Wat is de
snelheidsvector ~vh op het hoogste punt, uitgeschreven in componenten?
Bepaal ook de hoogte h van het hoogste punt ten opzichte van de afbuiger. Voor welke hoek α is deze hoogte maximaal?
(1 pnt)
(e) We gebruiken nu een andere vloeistof, met dezelfde dichtheid ρa maar
een niet te verwaarlozen viscositeit η. Verliezen door wrijving worden
gedomineerd door de verliezen in het kanaal, waarvoor een wrijvingsfactor K1 geldt, en een bijdrage door de aanwezigheid van de Pitotbuis,
wrijvingsfactor K2 . Wat is het extra drukverschil ∆p dat de aanvoerende
pomp moet leveren zodat de opwaartse straal van onderdeel (d) dezelfde
hoogte bereikt?
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
VAKGROEP TRANSPORTFYSICA
Uitwerking Eindtoets TNW voor W (3NCB1)
Maandag 19 januari 2015.
Opgave 1
(1 pnt)
(1 pnt)
(a) Stroomlijnen kunnen elkaar uitsluitend snijden in een stuwpunt. Stroomlijnen raken overal aan de lokale snelheidsvector. Een snijpunt van
stroomlijnen kan alleen voorkomen op punten waar de stroomrichting
niet gedefinieerd is, ofwel waar de snelheid nul is (stuwpunt).
(b) In het stuwpunt geldt dat ~v = (vr , vθ ) = (0, 0). De snelheidscomponenten vr en vθ zijn:
vr =
1 ∂ψ
1
= − sin θ ,
r ∂θ
r
∂ψ
= − cos θ .
∂r
Uit vθ = 0 volgt meteen dat θ = ± 21 π. Uit vr = 0 volgt dan dat
vθ = −
1
− 1 = 0 (voor θ = + 21 π) ,
r
1
+ 1 = 0 (voor θ = − 21 π) ,
r
waarbij alleen θ = + 21 π een fysisch relevante oplossing r = 1 geeft (denk
eraan dat per definitie r ≥ 0!). Dus we vinden als stuwpunt (r, θ) =
(1, 12 π), overeenkomend met (x, y) = (0, 1).
(1 pnt)
(c) De krachten op de kogel zijn in evenwicht: wrijving, zwaartekracht en
opwaartse kracht.
Fz = Fb + Fw
v=
(1 pnt)
⇔
π 3
d ρk g
6
= π6 d3 ρv g + 3πηdv
(ρk − ρv )gd2
18η
(d) De relevante parameters zijn d [L], ρ [M/L3 ], η [M/(L T)], v [L/T] en
g [L/T2 ]. We hebben 5 relevante parameters met in totaal 3 basisdimensies: er zijn dus 5 − 3 = 2 onafhankelijke kentallen die dit probleem
beschrijven.
(1 pnt)
(e) Voor een laminaire stroming door een ronde buis geldt het Poiseuillesnelheidsprofiel, zie formuleblad. De maximale snelheid v0 is te vinden
in het midden van de buis en bedraagt
v0 =
∆p 2
R .
4ηL
Nu halveert de straal R terwijl de andere parameters gelijk blijven; de
grootste snelheid in de buis zal dan viermaal kleiner zijn.
(1 pnt)
(f) Een bal werpen met snelheid v door stilstaande lucht is equivalent met
de omstroming van een bal door een luchtstroom met tegengestelde uniforme snelheid v. Zie de schets hieronder. Dit is de situatie waarvoor de
formule voor de liftkracht Fy = −ρvΓ is afgeleid. Als de luchtstroming
in de +x-richting is gericht, hebben we een positieve liftkracht Fy nodig,
en dus een negatieve circulatie Γ: de bal moet rechtsom draaien.
(1 pnt)
(g) De variabelen [λ]=L, [v]=L/T en [g]=L/T2 geven één dimensieloze parameter (3 variabelen in 2 dimensies; dichtheid ρ doet niet mee omdat
de dimensie M verder niet voorkomt), bijvoorbeeld
Π=
v2
.
gl
v2
v12
= 2 , waarmee we
gλ1
gλ2 √
met λ2 = λ1 /10 meteen zien dat v22 = v12 /10, ofwel v2 = v1 / 10.
(h) We oefenen via F1 een druk uit op de vloeistof gelijk aan p1 = F1 /A1 .
Volgens de Wet van Pascal werkt deze druk overal in de vloeistof, dus
ook bij de tweede zuiger. Dus p2 = p1 , waarmee gevonden wordt dat
F2 = p2 A2 = F1 A2 /A1 .
Voor de beschreven golven moet gelden dat
(1 pnt)
(1 pnt)
(1 pnt)
(i) Het faseverschil φ moet gelijk zijn aan π of −π, of algemener (2n + 1)π
met n ∈ Z.
(j) De Dopplerverschuiving is 0, want de snelheid staat altijd loodrecht op
de verbindingslijn.
Opgave 2
(1 pnt)
(1 pnt)
(1 pnt)
(2 pnt)
(a) Massa liaan mag verwaarloosd worden. De veerconstante van de halve
liaan is 2k ∗ ! In evenwicht moet Ma g = 2k ∗ ∆L, dus z = ( 12 L0 + ∆L) =
1
L + Ma g/(2k ∗ ).
2 0
1
p
L
2 0
(b) vg = Fs /µ met Fs = Ma g en µ = µl 1
.
L + ∆L
2 0
q
1
(c) δt = ( 2 L0 + ∆L)/vg = 12 L0 ( 21 L0 + ∆L)µl /(Ma g) .
(d) Dat kost een extra tijd ∆t. De golfsnelheid in het onderste stuk liaan
wordt bepaald door het eigen gewicht daarvan, en is dus niet constant.
De massa van de liaan mag hier dus niet verwaarloosd worden. Kies y =
0 bij de aap en y = 21 L0 onderaan, dan is de lokale spankracht Fs (y) =
q
p
( 12 L0 − y)µl g, dus de lokale snelheid is vg = Fs /µl = ( 12 L0 − y)g, en
1
1
∆t =
Z2 L0
0
(1 pnt)
(3 pnt)
(1 pnt)
dy
=
vg
Z2 L0
0
dy
q
=
( 21 L0 − y)g
s
2L0
g
1
(e) Gebruik Steiner, met IZ = 12
(µl L0 )L20 en d = 21 L0 , dan is I = 13 µl L30 ,
p
p
p
dus ω = Mgd/I = 3g/2L0 en T = 2π/ω = 2π 2L0 /3g.
(f) Grafiek zie volgende pagina. Belangrijk: amplitude neemt met 10% per
periode af, dus na 3 perioden is nog 73% over (geen 70%). Energie neemt
geleidelijk af (dus geen oscillaties!) met 19% per periode, vooral als de
snelheid groot is, dus de amplitude klein; uiteindelijk nog 53% over.
Grafiek begint niet op t = 0, maar iets later, en de slingering begint met
amplitude nul.
(g) Schetsen zie volgende pagina. Randvoorwaarden: een vast uiteinde
(bovenaan, knoop) en een vrij uiteinde (onderaan, buik). Bij de langst
mogelijke golven past 41 λ of 34 λ op L0 .
50%
0
Opgave 3
(2 pnt)
(a) Pas Bernoulli toe tussen de twee uiteinden van de dunne buis:
p1 + ρa gy1 + 12 ρa v12 = p2 + ρa gy2 + 21 ρa v22 ,
waarbij we zien dat y1 = y2 , v1 = va , v2 = 0 (stuwpunt vlak vóór de
mond van de Pitotbuis) en p2 − p1 = gh(ρb − ρa ) (aflezen in de U-buis).
Er blijft over:
1
ρ v2
2 a a
= gh(ρb − ρa ) ,
en dus volgt dat
r
ρb − ρa
va = 2gh
.
ρa
(2 pnt)
(b) Een geschikte contour C is hieronder geschetst. Voor vector ~v3 geldt dat
de grootte v3 verkregen wordt met behoud van massa:
v1 A1 = v3 A3 ⇔ va · 21 B 2 = v3 bB = v3 · 13 B 2 ,
ofwel v3 = |~v3 | = 23 va . De vectoren zijn:
~v1 = (va , 0), ~n1 = (−1, 0),
Genormaliseerde totale energie
100%
~v2 = (va cos α, va sin α), ~n2 = (cos α, sin α),
~v3 = (0, − 32 va ), ~n3 = (0, −1).
y
~v2
C
x
~n2
~v1
~n1
~n3
(3 pnt)
~v3
(c) Pas impulsbehoud toe op contour C:
X
X
XZ
~
p~ndA +
F~ .
I =−
De druk op contour C is overal gelijk aan p0 , dus de drukterm levert
geen netto bijdrage voor de krachtenbalans. Er is slechts één kracht F~ ,
dit is de gevraagde kracht. De impulsfluxen zijn:
v1⊥ = ~v1 · ~n1 = −va ,
I~1 = ρa v1⊥ A1~v1 = (−B 2 ρa va2 , 0) .
v2⊥ = ~v2 · ~n2 = va (cos2 α + sin2 α) = va ,
I~2 = ρa v2⊥ A2~v2 = 12 B 2 ρa va2 (cos α, sin α) .
v3⊥ = ~v3 · ~n3 = 23 va ,
Er blijft over:
I~3 = ρa v3⊥ A3~v3 = (0, − 43 B 2 ρa va2 ) .
F~ = I~1 + I~2 + I~3 = B 2 ρa va2 ( 21 cos α − 1, 12 sin α − 43 ) .
(2 pnt)
(d) Bovenaan is de y-component van de snelheid tot nul gereduceerd terwijl
de x-component niet verandert, dus ~vh = (va cos α, 0). We zien dat |~vh | =
va cos α en weten dat voor de uittredende straal van de ombuiger geldt
dat |~v2 | = va . Pas Bernoulli toe tussen punt A aan de ombuiger en punt
B, het hoogste punt dat de straal bereikt:
pA + ρa gyA + 21 ρa vA2 = pB + ρa gyB + 12 ρa vB2 ,
met pA = pB = p0 en yB − yA = h. Er blijft over:
ρa gh = 21 ρa (va2 − (va cos α)2 ) ,
ofwel
h=
(1 pnt)
va2
(1 − cos2 α) .
2g
Hiermee valt meteen te zien dat de maximale hoogte wordt bereikt
voor α = 90◦ .
(e) Het drukverlies t.g.v. viscositeit volgt uit de gemodificeerde vergelijking van Bernoulli: omdat beide wrijvingsfactoren betrekking hebben op
dezelfde snelheid v̄ = va vinden we ∆p = (K1 + K2 ) · 21 ρa va2 .