TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
GROEP TRANSPORTFYSICA
Herkansingstoets Technische Natuurwetenschappen voor W (3NCB1)
Maandag 13 april 2015, 18.00–21.00 uur.
De toets levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.
Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen en geef daarbij een korte argumentatie. Per
onderdeel is 1 punt te behalen.
(a) Waarom kan het Flettnerschip (zie afbeelding hieronder) niet recht tegen
de wind in varen?
(b) Bepaal het stuwpunt van de stroming met de volgende stroomfunctie,
waarbij v0 en Γ constanten zijn: ψ(x, y) = −v0 x + Γ ln(x2 + y 2).
(c) Voor een windtunneltest wordt een schaalmodel van een auto vervaardigd. De afmetingen van het model zijn een factor 5 kleiner dan de
afmetingen van de werkelijke auto. Wat voor snelheid moet worden
gekozen in de windtunnel om een representatieve luchtstroming om het
model te verkrijgen?
(d) Een voorwerp met volume V en dichtheid ρs drijft in een vloeistof met
dichtheid ρf . Welke fractie van het volume V bevindt zich onder het
vloeistofoppervlak?
(e) Een pomp levert een drukverschil ∆p ten opzichte van de omgevingsdruk p0 . Dit drukverschil drijft een buisstroming door een buis met
diameter d en lengte ℓ. De uitstroomopening van de buis staat in direct contact met de omgeving. Het Reynoldsgetal voor deze stroming
is Re = 500. Wat gebeurt er met het Reynoldsgetal van deze stroming
wanneer de buis in lengte gehalveerd wordt, d.w.z. lengte 21 ℓ?
(f) Een bekerglas met diameter d is tot een hoogte h gevuld met een vloeistof
(dichtheid ρf ). Op de vloeistof drijft een ronde schijf met massa m die
precies in het bekerglas past. Boven de schijf bevindt zich lucht; de
omgevingsdruk is p0 . Wat is de druk in de vloeistof aan de bodem van
het bekerglas?
(g) Capillaire golven zijn golven aan het oppervlak van een vloeistof. De
frequentie f van deze golven wordt bepaald door de golflengte λ, de
dichtheid ρ van de vloeistof en de oppervlaktespanning γ. Leid één
dimensieloze parameter af die gebruikt kan worden om dit verband te
beschrijven. Let op: zwaartekracht speelt geen rol!
(h) Is de volgende stroming onsamendrukbaar? (v0 is een constante)
u = v0 sin(x − y) ,
v = v0 sin(x − y) .
(i) Je staat bij een concert op een bepaalde afstand van een luidspreker. Om
de geluidsbelasting met 20 dB te verlagen, hoeveel verder moet je dan
van de luidspreker (die je als puntbron op mag vatten) af gaan staan?
(j) Oma verhuist naar de maan, en neemt haar koekoeksklok (een slingeruurwerk) mee. Loopt die klok daar voor, achter of op tijd?
Opgave 2 Golven op een snaar.
Een elastiek (massa mk , veerconstante k ∗ , rustlengte L0 ) is strak gespannen
tussen twee muren op onderlinge afstand L. In het midden daarvan hangt
een niet-elastisch stuk touw naar beneden (massa M, lengte H). Je mag er
in de hele opgave van uitgaan dat i ) de spankracht in het elastiek uitsluitend
een gevolg van elastische rek is, en ii ) het touw geen enkele invloed heeft op
golven die over het elastiek lopen.
x=0
x=L
elastiek
x
A
uitwijking
z
touw
tijd
(Je mag dus ook het gewicht van het touw verwaarlozen ten opzichte van de
rekspanning in het elastiek.) De hieronder gevraagde formules moet je zoveel
mogelijk schrijven in termen van de hierboven gegeven parameters van het
probleem.
(1 pnt)
(a) Geef een formule voor de spankracht Fs in het elastiek. Is die constant
of hangt hij af van de positie x?
(1 pnt)
(b) Op t = 0 start vanaf x = 0 een transversale puls die over het elastiek
naar de wand bij x = L loopt. Hij arriveert daar op t = tL . Geef een
uitdrukking voor tL .
(2 pnt)
(c) De puls reflecteert aan de wand bij x = L, en reist terug naar x = 0. De
vorm van de oorspronkelijke puls is geschetst in de figuur (kader; hierin
staat de uitwijking in een punt A langs het elastiek als functie van de
tijd). Geef een schets van de uitwijking in datzelfde punt A als gevolg
van de terugkerende puls, met een korte argumentatie.
(2 pnt)
(d) De puls blijft heen en weer stuiteren. Stel dat hij door wrijving over de
afstand L steeds 2% van zijn amplitude verliest, en bij iedere reflectie
nog eens 10%. Hoeveel van de oorspronkelijke energie bevat de puls nog
na 3 keer oversteken en reflecteren?
(e) Als de puls uit onderdeel (b) langs het punt komt waar het touw is
vastgeknoopt, kan hij in dat touw ook een transversale puls opwekken.
Hoe lang heeft zo’n puls nodig om onderaan het touw aan te komen?
(2 pnt)
(onderdeel (f) staat op de volgende pagina! )
(2 pnt)
(f) Nu trekt een baviaan het touw een stukje naar beneden, en laat het dan
los. Daardoor ontstaat een staande golf op het elastiek. In het algemeen
is zo’n golf een lineaire combinatie van eigentrillingen van het elastiek.
• Schets de vorm van de door de baviaan opgewekte staande golf.
• Schets ook de vormen van de drie eigentrillingen van het elastiek met
de langste golflengte.
• Welk van deze eigentrillingen levert de grootste bijdrage aan de lineaire
combinatie? Welke de kleinste?
Opgave 3 Een verloopstuk met ingangsdiameter D kan op een kraan worden geschroefd.
Het verloopstuk heeft twee ronde uitgangen met gelijke diameter d0 . De
dichtheid van de vloeistof die uit de kraan door het verloopstuk stroomt
is ρ; de viscositeit is verwaarloosbaar klein. De omgevingsdruk is p0 ; de
zwaartekrachtsversnelling g werkt naar beneden.
D
vi
vu
g
vu
p0
d0
(1 pnt)
d0
(a) De ingangssnelheid van het verloopstuk is vi , terwijl de snelheid in elk
van beide uitgangen gelijk is aan vu . Leid een formule af voor de verhouding vu /vi als functie van de andere gegevens.
We bekijken nu alleen de rechter uittredende straal. De druk in de straal
past zich snel aan zodat deze gelijk wordt aan de omgevingsdruk p0 . De
neergaande snelheid v(h) in de straal neemt toe terwijl de afstand h tot de
uitstroomopening toeneemt; de diameter d(h) van de straal neemt juist af.
(2 pnt)
(b) Leid een formule af voor de snelheid v(h) als functie van de verticale
afstand h tot de uitlaat. Er moet gelden dat v(h = 0) = vu .
Hint: gebruik de diameter d(h) nog niet in deze stap!
(1 pnt)
(c) Bepaal de diameter d(h) van de straal als functie van h.
Op een bepaalde verticale positie is de snelheid in de straal gelijk aan v1
en de diameter d1 . De straal wordt opgevangen in een ombuiger zoals in de
schets weergegeven. De diameter van de straal in de ombuiger verandert niet;
ook de grootte van de snelheid blijft gelijk. De uitgaande straal wijst schuin
naar boven onder een hoek van 45◦ . We willen weten welke kracht F~ op de
ombuiger moet worden uitgeoefend om deze op zijn plaats te houden.
d0
p0
~v1
d0
~v2
45◦
(1 pnt)
(3 pnt)
(d) Schets een geschikte contour voor het bepalen van deze kracht F~ . Teken
hierin ook de benodigde normaalvectoren en snelheidsvectoren. Schrijf
deze vectoren ook uit in componenten.
(e) Bepaal nu de gevraagde kracht F~ .
Het originele verloopstuk van het begin van deze opgave wordt nu gebruikt
voor de stroming van een vloeistof waarvan de viscositeit groter is. Wrijving
is niet langer verwaarloosbaar. Wrijving in de linker uitstroomopening kan
worden beschreven met een wrijvingsfactor Kl ; voor de rechter opening is
deze Kr . De bijbehorende uitstroomsnelheden, links vl en rechts vr , veranderen hierdoor ook.
(2 pnt)
(f) Wat is in deze nieuwe situatie de verhouding vl /vr van de beide uitstroomsnelheden?
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE
VAKGROEP TRANSPORTFYSICA
Uitwerking Herkansingstoets TNW voor W (3NCB1)
Maandag 13 april 2015.
Opgave 1
(1 pnt)
(a) De liftkracht, die de voortstuwende kracht van het Flettnerschip is, staat
altijd loodrecht op de aanstroomrichting. Deze kan dus nooit recht tegen
de wind in gericht zijn.
(1 pnt)
(b) In het stuwpunt geldt dat ~v = (u, v) = (0, 0). De snelheidscomponenten u en v zijn:
u=
∂ψ
2yΓ
= 2
,
∂y
x + y2
v=−
2xΓ
∂ψ
= v0 − 2
.
∂x
x + y2
Uit u = 0 volgt meteen dat y = 0. Uit v = 0 volgt dan dat
2Γ
.
v0
2Γ
Dus we vinden als stuwpunt
,0 .
v0
(c) Om een natuurgetrouwe weergave van de omstroming te bereiken moet
het Reynoldsgetal Re = ρvL/η gelijk zijn in werkelijkheid en model.
Omdat het medium niet verandert (in beide gevallen lucht) blijven dichtheid ρ en viscositeit η gelijk. De afmetingen worden vijfmaal kleiner in
het model: Lm = 15 L. Om dan toch dezelfde Rem te bereiken moet de
snelheid in het modelsysteem vijfmaal groter zijn: vm = 5v.
(d) Evenwicht tussen zwaartekracht en opwaartse kracht:
v0 −
(1 pnt)
(1 pnt)
2xΓ
=0
x2 + 0
Fz = Fb
⇔
⇔
x=
ρs V g = ρf V ′ g
⇔
ρs
V′
=
V
ρf
V ′ /V is de fractie van het volume onder de vloeistofspiegel.
(1 pnt)
(1 pnt)
(e) Omdat Re = 500 betreft het een een laminaire stroming door een ronde
buis. Hiervoor geldt het Poiseuille-snelheidsprofiel, zie formuleblad. Nu
halveert de buislengte terwijl de andere parameters gelijk blijven; de
stroomsnelheid in de buis zal dan verdubbelen, met als gevolg Re = 1000
(Reynoldsgetal voor buisstroming is gebaseerd op de diameter, niet op
lengte van de buis!). Merk op dat ook deze stroming nog steeds laminair
is.
(f) Er zijn drie bijdragen aan de druk op de bodem van het bekerglas: de
omgevingsdruk p0 , de druk ps t.g.v. de schijf en de druk pv t.g.v. de
vloeistof. Er geldt dat
ps =
Fz,schijf
mg
= π 2;
Aschijf
d
4
pv = ρgh .
De totale druk op de bodem is dus
p = p0 + ps + pv = p0 +
(1 pnt)
4mg
+ ρgh .
πd2
(g) De dimensies van de betrokken variabelen zijn:
[λ] = L,
[f ] = 1/T,
[γ] = M/T2 ,
[ρf ] = M/L3 .
Hieruit zien we direct dat, in de dimensieloze parameter Π, dichtheid en
oppervlaktespanning aan verschillende zijden van de deelstreep moeten
komen (dimensie M). De dimensie L−3 van de dichtheid kan alleen worden opgeheven door vermenigvuldiging van ρf met λ3 . Evenzo vervalt
de dimensie T−2 van de oppervlaktespanning als we γ delen door f 2 .
Samenvattend:
Π=
(1 pnt)
ρf λ3 f 2
.
γ
(h) Voor onsamendrukbaarheid moet gelden dat
deze partiële afgeleiden als
∂u
= v0 cos(x − y) ,
∂x
(1 pnt)
(1 pnt)
∂u ∂v
+
= 0. We berekenen
∂x ∂y
∂v
= −v0 cos(x − y) ,
∂y
en zien na optellen dat deze stroming inderdaad onsamendrukbaar is.
(i) 10× verder. (20 dB, dus I moet 100× kleiner worden, en I schaalt met
1/R2 .)
p
(j) Achter, want de slingertijd T = 2π/ω = 2π L/g neemt toe als g
afneemt.
Opgave 2
(1 pnt)
(c) Vaste wand, dus de uitwijking moet in x = L altijd nul blijven. De
gereflecteerde puls moet dus de inkomende opheffen, en dat betekent
een tegengesteld teken.
uitwijking
(2 pnt)
(a) Fs = k ∗ (L − L0 ), en onafhankelijk van x.
p
p
(b) tL = p
L/vg , met vg = Fs /µ en µ = mk /L, dus vg = LFs /mk en
tL = mk L/Fs .
uitwijking
(1 pnt)
tijd
(2 pnt)
(2 pnt)
(d) Per cyclus wordt 2% verloren per trip (98% over) en dan nog 10% per reflectie (88.2% over). Dat 3×, dus 0.8823 = 0.686 over. Dat is amplitude.
Energie gaat met het kwadraat van de amplitude, dus 0.6862 ≡ 47.8%
over aan energie.
(e) Spankracht in het touw is variabel. Ieder punt z (ik kies z = 0 bovenaan,
positief naar beneden) wordt belast door het gewicht van het touw dat
eronder hangt, met massa
p M(H−z)/H, dus Fs ≡ Fs (z)p= Mg(H−z)/H.
Golfsnelheid is vg = Fs /µ met µ = M/H, dus vg = g(H − z), en de
gevraagde tijd is
t=
Z
dt =
ZH
0
p
dz
= 2 H/g .
vg (z)
(f) De eerste harmonische (langste golf) draagt veel bij, want lijkt veel op
de echte golf (helemaal links in de figuur). De tweede draagt helemaal
niet bij, want verkeerde symmetrie.
1.0
0.5
uitwijking
(2 pnt)
tijd
0.0
-0.5
-1.0
0
1
2
3
x (units of L; arbitrary offset)
4
5
6
Opgave 3
(1 pnt)
(a) Pas massabehoud toe:
vin Ain = vuit Auit
⇔
vi · π4 D 2 = vu · 2 · π4 d20 .
De verhouding vu /vi is dus
D2
vu
= 2.
vi
2d0
(2 pnt)
(b) Pas Bernoulli toe tussen uitgang van verloopstuk (positie 1) en positie
in de straal op afstand h onder de uitgang (positie 2):
p1 + ρgy1 + 21 ρv12 = p2 + ρgy2 + 21 ρv22 ,
met de voorwaarden p1 = p2 = p0 (druk in straal past zich aan aan de
omgeving), y1 − y2 = h (Let op: voor gebruik van Bernoulli neemt y
naar boven toe! Anders gaat het teken mis.), v1 = vu en v2 = v(h). Er
volgt:
(1 pnt)
ρg(y1 − y2 ) + 12 ρvu2 = 21 ρv(h)2 ,
p
v(h) = vu2 + 2gh .
(c) Pas massabehoud toe:
v1 A1 = v2 A2 ⇔ vu · π4 d20 = v(h) · π4 d(y)2 ,
1/4
r
vu2
vu
.
d(h) = d0
= d0
v(h)
vu2 + 2gh
(1 pnt)
(d) Een geschikte contour C is hieronder geschetst. De vectoren zijn:
~v1 = (0, −v1 ), ~n1 = (0, 1),
√
√
√ √
~v2 = ( 12 2v1 , 21 2v1 ), ~n2 = ( 12 2, 12 2).
d1
p0
~n1
~n2
~v1
d1
~v2
F~
C
(3 pnt)
(e) Pas impulsbehoud toe op contour C:
X
X
XZ
p~ndA +
F~ .
I~ = −
De druk op contour C is overal gelijk aan p0 , dus de drukterm levert
geen netto bijdrage voor de krachtenbalans. Er is slechts één kracht F~ ,
dit is de gevraagde kracht. De impulsfluxen zijn:
v1⊥ = ~v1 · ~n1 = −v1 ,
v2⊥ = ~v2 · ~n2 = v1 ,
Er blijft over:
I~1 = ρv1⊥ A1~v1 = (0, π4 d21 ρv12 ) .
√
√
I~2 = ρv2⊥ A2~v2 = ( 12 2 · π4 d21 ρv12 , 12 2 · π4 d21 ρv12 ) .
√
√
F~ = I~1 + I~2 = π4 d21 ρv12 ( 12 2, 1 + 12 2) .
(wegens onduidelijkheid schets en opgave: d0 of d1 gebruikt is beide
goed).
(2 pnt)
(f) Pas tweemaal Bernoulli gemodificeerd toe: van de inlaat tot het uiteinde
van de linker uitlaat en van de inlaat tot het uiteinde van de rechter
uitlaat. Dit levert twee vergelijkingen op:
pin + 21 ρvi2 + ρgyin = p0 + ρgyuit + 21 ρvl2 (1 + Kl ) ,
pin + 12 ρvi2 + ρgyin = p0 + ρgyuit + 21 ρvr2 (1 + Kr ) .
De linkerleden zijn identiek dus we mogen de rechterleden aan elkaar
gelijkstellen:
r
vl
1 + Kr
2
2
1
1
ρv
(1
+
K
)
=
ρv
(1
+
K
)
⇔
=
.
l
r
l
r
2
2
vr
1 + Kl