Oefententamen Kern- Atoom

Tentamen Groepentheorie in de fysica (3VN60)
27 oktober 2010 9:00 – 12:00
Voorlopige normering (Σ = 100 pnt):
1a 7 pnt
1b 7 pnt
1c 7 pnt
2a 6 pnt
2b 6 pnt
2c 6 pnt
3a 8 pnt
3b 9 pnt
3c 10 pnt
4a 7 pnt
4b 7 pnt
4c 8 pnt
5a 6 pnt
5b 6 pnt
Opgave 1.
De groepsvermenigvuldigingstabel van de
permutatiegroep P(3) is hiernaast afgebeeld:
a) Bepaal de elementen die samen met het element
D in één klasse zitten.
b) Bepaal de orde van de elementen in de klasse
waarin het element D zit.
c) Laat zien dat de subgroep (E,D,F) zelfgeconjugeerd is.
Opgave 2.
Het molecuul methaan heeft een geometrie die in
de nevenstaande figuren is geschetst. De weergave
in de kubus bevat het koolstof atoom in de oorsprong
van het coördinatensysteem en de vier waterstofatomen
zijn weergegeven met de cijfers 1 t/m 4.
a) Geef de symmetrieoperatoren die het molecuul op zichzelf afbeelden.
b) Identificeer de puntgroep waartoe deze operatoren behoren. Gebruik hiervoor de
“groupfinder” flowchart aan het einde van het tentamen.
c) Welke orde heeft de groep en hoeveel klassen bevat de groep
Opgave 3
De sferisch harmonische functies zijn de basisfuncties van de
volledige rotatiegroep Cφ.
1
 2 + 1 ( − m )!  2 m
imφ
Ym (θ, φ) = 
 P (cos θ) e
 4π ( + m )! 
De basisfuncties hebben voor iedere waarde van ℓ een
ontaarding van 2ℓ+1 die de dimensie van een irreducibele
representatie weergeeft. Het karakter corresponderend met een
draaiing om de z-as over een hoek α gelijk is aan:
χ  (α ) =
sin[(  + 21 )α]
sin( 21 α )
a) Een overgangsmetaalion met valentie
electronen in toestanden met ℓ = 2 wordt
in een kubisch rooster geplaatst zoals
afgebeeld in nevenstaande figuur. Het
kristalveld heeft de symmetrie
eigenschappen van de puntgroep O.
De ontaarding van de niveau’s behorende
bij ℓ = 2 wordt opgeheven in het kubische
kristalveld.
Bepaal de karakters van de reduceerbare
representatie voor de toestanden met ℓ = 2
in het kubische kristalveld.
b) Geef de lineaire combinatie van irreducibele representaties van de groep O waarin de
reduceerbare representatie voor de ℓ = 2 niveaus kan worden ontbonden en schets de
opsplitsing van de niveau’s wanneer negatieve ionen geplaatst zijn op de hoekpunten van het
rooster.
c) Het rooster wordt onder spanning gezet wat leidt tot deformatie van de kubische symmetrie
van het kristalveld. Het rooster wordt uitgerekt in de z-richting waardoor de symmetrie van
de eenheidscel wordt gekarakteriseerd door de puntgroep D4. De karaktertabel van D4 is
hieronder weergegeven:
Een energieniveau dat gekarakteriseerd wordt met de irreducibele representatie T2 in de
octaëdrische symmetrie splitst op ten gevolge van de vervorming. Welke IR’s uit de D4
groep karakteriseren de opgesplitste niveau’s? Wat is hun ontaarding?
Opgave 4
Het molecuul transdifluoretheen: C2H2 F2 heeft een configuratie waarbij alle atomen in één vlak
liggen. De configuratie is geschetst in de onderstaande figuur.
a) Wat is symmetriegroep van het molecuul?
b) Bepaal het aantal normal modes of vibration en geef hun symmetrie.
c) De moleculen worden aangestraald met licht. Welke modes zijn Raman actief? Welke modes
zijn infrarood actief voor licht met een polarisatierichting langs de z-as? De richting van de
z-as is gedefinieerd langs de C-C as.
Opgave 5
Het molecuul NH3 heeft de symmetrie van de puntgroep C3v .
De binding tussen het stikstof atoom en de waterstof atomen is een voorbeeld van “directed
valence”. Het stikstof atoom heeft 7 electronen. De karaktertabel van de groep C3v is hieronder
afgebeeld.
a) Bepaal de karakters van de equivalentie transformatie van NH3 en ontbind deze in de IR’s
die de eigenschappen van de LCAO’s bepalen.
b) Geef de orbitalen van het stikstof atoom die participeren in de “directed valence”.
Groupfinder: