2006/005 - GO! Pro

SECUNDAIR ONDERWIJS
Graad:
eerste graad
A-stroom
Jaar:
eerste en tweede leerjaar
BASISVORMING
Vak(ken):
AV wiskunde
Leerplannummer:
2006/005
(vervangt 97169)
Nummer inspectie:
2006 / 5 // 1 / G / BV / 1 / I / / D/
5/4 lt/w
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
1
INHOUD
Beginsituatie ..................................................................................................................................................2
Visie ...............................................................................................................................................................3
Algemene doelstellingen ...............................................................................................................................4
Leerplandoelstellingen/Leerinhouden/Specifieke pedagogisch-didactische wenken ...................................5
Eerste leerjaar A..................................................................................................................................6
Getallenleer...............................................................................................................................6
Meetkunde ..............................................................................................................................15
Tweede leerjaar A .............................................................................................................................28
Getallenleer.............................................................................................................................28
Meetkunde ..............................................................................................................................35
Pedagogisch-didactische wenken ...............................................................................................................41
Vakoverschrijdende eindtermen........................................................................................................42
ICT.....................................................................................................................................................47
Begeleid zelfgestuurd leren...............................................................................................................48
Verdeling van de beschikbare lestijden ............................................................................................50
Minimale materiële vereisten.......................................................................................................................52
Evaluatie ......................................................................................................................................................53
Bibliografie ...................................................................................................................................................57
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
2
BEGINSITUATIE
Leerlingen moeten worden toegelaten tot het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs als zij het
getuigschrift van basisonderwijs behaald hebben. Onder bepaalde voorwaarden kunnen zij echter ook
toegelaten worden zonder dit getuigschrift. Dit betekent dat niet alle leerlingen die het eerste leerjaar
A aanvatten over hetzelfde volume en dezelfde intensiteit voorkennis (beginsituatie) beschikken.
Deze leerlingen:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
kennen en begrijpen het bestaan van natuurlijke getallen, breuken en decimale getallen;
kennen de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en kunnen de eigenschappen van deze
bewerkingen toepassen;
kunnen delers en veelvouden van natuurlijke getallen vinden;
kunnen gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen;
kunnen procentberekeningen maken;
kunnen de vier hoofdbewerkingen toepassen met decimale getallen en kunnen breuken optellen, aftrekken en vermenigvuldigen;
zijn op de hoogte van schatprocedures die in veel omstandigheden toepasbaar zijn;
moeten het resultaat van hun bewerkingen doelmatig kunnen controleren via gebruik van een
rekentoestel;
moeten beschikken over de nodige kennis inzake maateenheden en kunnen de meest functionele meetinstrumenten zelf hanteren;
kennen punten, rechten, hoeken, vlakke figuren en ruimtelichamen en hun belangrijkste eigenschappen;
onderscheiden soorten hoeken en veelhoeken;
weten hoe de omtrek en de oppervlakte kan bepaald worden;
kunnen de inhoud van een balk berekenen;
hebben enige notie van temperatuurmeting, kunnen rekenen met geld en kunnen kloklezen;
hebben leren tekenen met passer en liniaal;
kunnen begrippen als symmetrie, gelijkvormigheid en gelijkheid ontdekken.
Van deze leerlingen wordt verwacht:
•
•
•
dat zij beschikken over een probleemoplossende reflex waardoor zij inzicht hebben in probleemstellingen;
dat zij een probleem kunnen schematiseren en oplossingshypothesen kunnen voorstellen;
dat zij over hun oplossingsproces kunnen reflecteren.
Als gevolg van de eindtermen zijn in dit leerplan de verzamelingen, de bewerkingen met verzamelingen en de relaties niet meer zijn opgenomen.
In dit leerplan wordt het accent gelegd op schatprocedures, op het gebruik van het rekentoestel, op
het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, op het ruimtelijke inzicht en op het ontwikkelen van een kritische houding t.o.v. gegevens en resultaten.
Voor deze vaardigheden wordt in het basisonderwijs een aanzet tot ontwikkeling gegeven. Het is dus
meer dan wenselijk dat de leerkracht wiskunde van het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs
enerzijds kennis neemt van de leerplannen van het basisonderwijs en anderzijds de concrete beginsituatie van de leerlingen vaststelt.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
3
VISIE
Wiskundeonderwijs gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen, maar besteedt
ook aandacht aan abstrahering en structurering.
Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke, systematisch voortschrijdende en steeds herhalende opbouw, ook wel eens spiraalopbouw genoemd. Dit betekent dat niet elk aangevat onderdeel
van de wiskunde meteen wordt afgewerkt. De overstap naar abstrahering moet steeds steunen op
concrete voorbeelden. De leerlingen zullen hierin telkens een steunpunt vinden t.o.v. het abstracte (de
theorie).
Een communicatieve interactie tussen leraar en leerlingen en tussen leerlingen onderling bevordert
inzicht, expliciteert en verfijnt de denkprocessen en noopt de leerling tot reflectie over zijn denkproces.
Daardoor leert de leerling zijn handelen kritisch analyseren, wordt hij minder afhankelijk van anderen
en wordt zijn denken planmatiger en flexibeler.
De leerlingen moeten zinvol en functioneel gebruik maken van het rekentoestel, meer algemeen van
ICT.
Wat het algemeen gebruik van ICT betreft, zal de leraar steeds onderzoeken welke de didactische
meerwaarde t.o.v. andere middelen is. Het feit dat de maatschappij ons overstelpt met informatie
dwingt de leraar ertoe om, enerzijds de leerling kritisch te leren omgaan met dit aanbod, anderzijds de
leerling daarvan functioneel te leren gebruik.
Wat het gebruik van het rekentoestel betreft, zullen de leerlingen -telkens de gelegenheid zich voordoet- de vier hoofdbewerkingen, bewerkingen met haken, het gebruik van de geheugentoetsen en
breukentoets inoefenen met het rekentoestel.
Uiteraard speelt de controle op de betrouwbaarheid van het afgelezen resultaat een belangrijke rol.
Daarom zal een grondig inzicht in de basistechnieken noodzakelijk blijven wil men op een nuttige en
efficiënte manier gebruik maken van het rekentoestel.
Bij de leerlingen zal de motivatie tot oplossen verhogen door de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid van de aangeboden problemen, de aanpassing aan hun bevattingsvermogen en het inspelen
op hun belevingswereld.
Zelfvertrouwen kweekt bij de leerlingen vorsingsdrang naar oplossing van nieuwe en meer complexe
opgaven.
Enige aandacht voor het wiskundeverleden, zoals dit vak zich ontwikkeld heeft doorheen de verschillende culturen, laat de leerling eveneens wiskunde ervaren als een dynamisch vak. Bovendien zal
elke gelegenheid aangegrepen worden om aan te tonen dat basiskennis wiskunde noodzakelijk is in
onze maatschappij. Onze snel evoluerende samenleving noopt bovendien tot soepelheid om snel en
efficiënt problemen op te lossen. In de verdere opleiding en de beroepsloopbaan zijn daarom vakoverschrijdende vaardigheden vereist. In het bijzonder blijft probleemoplossend denken dan ook een
noodzaak. Op deze vaardigheden wordt in de beschrijving van de algemene doelstellingen verder
concreet ingegaan.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
4
ALGEMENE DOELSTELLINGEN
Elk leerplan wiskunde in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doelstellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun concretisering per graad.
Dit betekent voor de eerste graad secundair onderwijs dat de algemene doelstellingen moeten worden
bereikt binnen het kader van de vooropgestelde eindtermen wiskunde.
Deze algemene doelstellingen zijn te verwoorden als volgt:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en combinoratiek,
kansrekening en statistiek kan ontwikkelen;
een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en
te structureren;
cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren;
omgaan met de wiskunde als taal;
vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen;
verbanden leggen tussen wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines;
technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, om berekeningen
uit te voeren of om wiskundige problemen te onderzoeken;
ervaren dat wiskunde een dynamische wetenschap is;
zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen;
inzien dat wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
5
LEERPLANDOELSTELLINGEN/LEERINHOUDEN/SPECIFIEKE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN
Eindterm
Vooraf
Bij de leerplandoelstellingen wordt telkens verwezen naar de eindtermen die hierop van toepassing zijn. Bij leerplandoelstellingen die
niet expliciet maar eerder impliciet zijn af te leiden uit de eindtermen, werden de betreffende eindtermen niet vermeld.
De volgorde in opsomming van de leerplandoelstellingen is niet bindend voor de volgorde van de behandeling ervan.
Leerkrachten zullen erover waken dat bij elke gelegenheid in de les en bij de pedagogisch-didactische verwerking van de leerinhouden, de vakoverschrijdende eindtermen maximaal worden nagestreefd.
*AW44
Om de leerlingen te motiveren tot probleemoplossend denken, wordt hen het besef bijgebracht dat de redenering ten minste even
belangrijk is als het resultaat zelf. Zij worden ook aangezet tot zelfstandig denken en zelfstandig werken.
*AW45
*AW46
*AW47
Bij het oplossen van oefeningen en vraagstukken wordt bij de leerlingen doorzettingsvermogen ontwikkeld en aangemoedigd. Teneinde het vertrouwen en het inzicht in de wiskunde te bevorderen, worden de leerlingen aangezet tot een zo groot mogelijke zelfregulatie waarin planning, zelftoetsing en reflectie sterk aan bod komen. De leerlingen ontwikkelen ook een en kritische houding tegen
over het gebruik allerlei wiskundig materiaal.
De volgende begrippen uit de verzamelingenleer en de logica worden als instrument gebruikt indien ze verhelderend werken:
1
de begrippen verzameling en deelverzameling;
2
de symbolen = , F , ∈,∉ , ⊂ , ⊄ zinvol gebruiken;
3
de doorsnede (symbool =) en de vereniging (symbool >) van twee verzamelingen;
4
het zinvol hanteren van “en”, “of” en “niet” in uitdrukkingen;
5
verbanden tussen verzamelingen voorstellen met behulp van venndiagrammen;
6
de logische symbolen ∀ (voor alle) ∃ (er bestaat) en ⇔ (als ... dan ... en omgekeerd) zinvol gebruiken;
7
in concrete gevallen kunnen werken met koppels, relaties, voorstellingen van relaties en soorten relaties.
Een systematische studie is hier niet op zijn plaats!
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
6
Eerste leerjaar A
Getallenleer
Eindterm
Vooraf
W9
De leerlingen moeten een rekentoestel zinvol en functioneel leren gebruiken.
•
ET
Telkens de gelegenheid zich voordoet, oefenen zij het uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen, alsook van machtsverheffingen
en worteltrekkingen, inclusief bewerkingen met haken.
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
1
De natuurlijke en de gehele getallen
1.1
Basisbegrippen
Pedagogisch-didactische wenken
Het samen behandelen van de natuurlijke en de gehele getallen heeft
vooral tot doel een tijdwinst te realiseren. Tevens worden de leerlingen
veel vroeger geconfronteerd met de bewerkingen met gehele getallen,
zodat deze gedurende een langere periode van het schooljaar kunnen
ingeoefend worden.
De leerlingen
W1 W5
W18
1.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen !,
' , $, *, (,), +, , en kunnen deze verzamelingen lezen
en opschrijven;
kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde en tegengestelde getallen
Voortbouwend op de kennis van de natuurlijke getallen die de leerlingen in de basisschool hebben verworven, moeten hier zeker aan bod
komen:
◊ de notatie in ons tientallig positiestelsel;
W14
1.1.2 kunnen de verzamelingen ! en ' voorstellen op een getallenas
W10
1.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F,<, >,
D en C
W38
1.1.4 kunnen ! x ! en ' x ' afbeelden in het geijkte vlak en kennen
◊ de voorstelling van de gehele getallen op een geijkte rechte; abscis
van een punt.(het is wenselijk de coördinatenmeetkunde niet uit te
stellen tot het einde van het schooljaar, doch dit deel over het gehele
schooljaar te spreiden);
◊ de orde van de gehele getallen: we zullen zeker aandacht schenken
aan een goed begrip van de symbolen < en >, daar deze symbolen
niet voorkomen in de eindtermen van het basisonderwijs;
◊ de voorstelling van koppels gehele getallen in een geijkt vlak: het
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
het begrip coördinaat
7
Pedagogisch-didactische wenken
koppel wordt de coördinaat van het corresponderend punt genoemd,
het eerste getal is de abscis en het tweede getal is de ordinaat;
abscis en ordinaat zijn de coördinaatgetallen van een punt.
In het licht van de vergelijkingen die later aan bod komen en van een
doelstelling op langere termijn, het rekenen met lettervormen, is het belangrijk de leerlingen eveneens vanaf het begin gaandeweg vertrouwd
te maken met het voorstellen van getallen door letters. Het is uiteraard
aangewezen daarbij niet uitsluitend gebruik te maken van de letter x:
later te hanteren formules bevatten immers ook andere letters!
We zullen er ons voor hoeden een systematische behandeling te geven
van de verzamelingenleer! De taal van de verzamelingen blijft echter
als symbolentaal een essentieel hulpmiddel.
1.2
W7 W5
De vier hoofdbewerkingen
1.2.1 kennen de terminologie: optelling, som, termen van een som,
aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van
een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest
De leerlingen moeten voor een opgaande en een niet–opgaande deling
in ! de betrekkingen kunnen opstellen tussen deeltal a, deler b,
quotiënt q en rest r:
a = b . q + r en r < b
W8 W2
1.2.2 kennen en gebruiken rekenregels en tekenregels
De frequent voorkomende uitspraak “min en min is plus” moet in de klas
bestreden worden. Leerlingen moeten een duidelijk onderscheid maken
tussen de tekenregels voor optellen en aftrekken enerzijds en vermenigvuldigen en delen anderzijds.
W3
1.2.3 kunnen een onderzoek instellen naar:
Bij het onderzoek naar eigenschappen bij de vier hoofdbewerkingen is
het belangrijk dat de leerlingen inzien dat één tegenvoorbeeld voldoende is om te concluderen dat de eigenschap niet geldt, doch dat het geven van voorbeelden geen bewijs levert voor de algemene geldigheid.
•
•
•
•
•
het commutatief-zijn;
het “overal gedefinieerd-zijn” in ! en in '';
het associatief-zijn;
de rol van 0 en 1; eventueel het begrip neutraal element;
de som van een getal en zijn tegengestelde; eventueel het
begrip symmetrisch element.
Bij een bewerking in ! of in ' stellen we ons eerst de vraag: “Kunnen
we die bewerking voor elk koppel elementen van de gegeven verzameling uitvoeren?”
Het voorstellen met letters van het commutatief-zijn en het associatiefzijn van de bewerkingen is eveneens een stap in het vertrouwd worden
met lettervormen.
Facultatief kan de leerkracht deze eigenschappen in het eerste leerjaar
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
8
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
Pedagogisch-didactische wenken
al noteren met gebruik van de kwantor. De leerlingen moeten echter
wel al attent gemaakt worden op de inhoud van de termen “voor alle” en
“er bestaat”.
AW41
AW42
1.2.4 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden
De leerkracht kan zich eventueel beperken tot het laten verwoorden van
de rol van 0 en 1, alsook van de som van een geheel getal en zijn tegengestelde, dit dus zonder gebruik te maken van de termen “neutraal
element” en “symmetrisch element”.
Het accent moet in het eerste leerjaar gelegd worden op het correct
kunnen verwoorden en op het kunnen toepassen van deze eigenschappen. We moeten er hier immers op letten dat geen schijnkennis
wordt verworven, doch een inzicht gestoeld op een voldoend aantal
voorbeelden.
W15
1.2.5 kunnen de uitbreiding van ! naar ' verklaren
1.2.6 kennen het verband tussen optellen en aftrekken
W3
1.2.7 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de
vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking
Bij het toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging
t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking dient ook het “andersomaspect” de nodige aandacht te krijgen.
Voorbeeld: 2.a + 2.b = 2.(a + b)
Na het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en
t.o.v. de aftrekking kan facultatief ook het rechts-distributief-zijn van de
deling t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking worden behandeld.
Door het tweemaal na elkaar toepassen van het distributief-zijn van de
vermenigvuldiging t.o.v. de optelling komen we tot de regel voor het
vermenigvuldigen van een som met een som.
Het kan verhelderend werken als de eigenschappen voor bewerkingen
met getallen in verband worden gebracht met een visuele ondersteuning uit de meetkunde.
Voorbeeld: (a + b) . c = a.c + b.c
De oppervlakte van een rechthoek met afmetingen (a + b) en c zien als
de som van de oppervlakten van twee rechthoeken met afmetingen a
en c en met afmetingen b en c.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W8
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
1.2.8 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de
gebruikte eigenschappen te vermelden
W8
1.2.9 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen
W12
1.2.10 kunnen technieken van schatten toepassen
1.3
1.3.1 kennen de schrijfwijze, leeswijze, terminologie: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent, kwadraat
W11
1.3.2 kunnen machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten
1.3.3 kennen het verband tussen het kwadrateren en het berekenen
van de vierkantswortel
W6 W9
Pedagogisch-didactische wenken
Machten
W5
1.4
9
Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: ″
bepaal de gehele getallen x die voldoen aan “x2 = 36″ en ”bereken
36 ”.
Volgorde van de bewerkingen
1.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen
De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen worden
progressief ingevoerd: we wachten dus niet tot alle bewerkingen behandeld zijn.
Bij deze afspraken worden de vermenigvuldigingen en de delingen uitgevoerd van links naar rechts.
Voorbeeld: 18 : 2 . 9 = 9 . 9 = 81
De leerkracht moet er over waken dat de leerlingen het rekentoestel
verantwoord en efficiënt gebruiken, met bijzondere aandacht voor het
gebruik van haakjes.
W23 W18 1.4.2 kunnen de regelmaat ontdekken in eenvoudige patronen en
schema’s en ze beschrijven met formules
Aansluitend bij de “spiraal-opbouw” van het werken met letters, dienen
er tevens problemen aan bod te komen die te maken hebben met het
ontdekken van een regelmaat in getallenrijen (patronen) en waarbij gezocht wordt naar een algemene formule voor het n-de getal in de rij.
Wees in elk geval steeds indachtig dat praktische vraagstukken en toe-
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
W23
1.4.3 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen
2
De rationale getallen
2.1
Basisbegrippen
10
Pedagogisch-didactische wenken
passingen, alsook concrete voorbeelden die aansluiten bij de belevingswereld van de leerlingen de motivatie slechts kunnen verhogen.
De leerlingen:
W4 W18
2.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen -,
0, ., /, 1, 2 en kunnen deze verzamelingen lezen en
opschrijven;
kunnen een getal schrijven in breukvorm, in decimale vorm;
kunnen de decimale benadering van een breuk bepalen;
kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde, tegengestelde getallen en het omgekeerde van
een getal
Breuken ontstonden in de geschiedenis naar aanleiding van verdeling
van oogst, visvangst, stoffen, percelen. Diverse modellen (lijnstuk,
strook, oppervlakte, inhoud, tabellen) bieden een houvast als denkmiddel. Vanuit het basisonderwijs is elke leerling al vertrouwd met decimale
getallen. Deze decimale getallen kunnen gemakkelijk in breukvorm
worden genoteerd.
W14
2.1.2 kunnen de verzameling - voorstellen op een getallenas en
kunnen - x - afbeelden op het geijkte vlak
De plaats van een rationaal getal (zowel in decimale vorm als in breukvorm) op een getallenas moet slechts bij benadering worden bepaald.
Een nauwkeurige constructie is hier niet noodzakelijk.
W10
2.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F ,<,
>, D, C
De leerlingen moeten de gelijkwaardigheid zien tussen de breuk, de
decimale waarde, de verhouding (het verband tussen twee grootheden
uitgedrukt in breukvorm) en het procent (gestandaardiseerde verhouding met noemer 100). Dit leidt tot een geschikte keuze bij berekeningen in functie van gegevens:
◊ 21 % BTW op een bedrag van 80 000 EUR is vlug gevonden met:
2
1
.80 000 EUR +
.80 000 EUR = 16 800 EUR
10
100
◊ voor het berekenen van de jaarlijkse intrest van een kapitaal van
3 500 000 EUR aan 5,375 % zal men eerder grijpen naar het rekentoestel via de bewerking:
3 500 000 EUR . 0,05375 = 188 125 EUR
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
11
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
Pedagogisch-didactische wenken
W4 W13
2.1.4 kunnen met verhouding, schaal, procent en kans werken
Eveneens zal de onderlinge samenhang worden belicht tussen de begrippen:
◊ verhouding;
◊ procent;
◊ schaal (verhouding tussen de maatgetallen van de lengte van gelijkstandige lijnstukken van gelijkvormige figuren);
◊ kans (getal van ten minste 0 en ten hoogste 1 dat de waarschijnlijkheid van het optreden van een gebeurtenis aangeeft).
Merk op dat verhoudingen soms verscholen zijn in uitdrukkingen zoals:
◊ een prijs van 500 EUR/m² i.p.v. 500 EUR/1 m²;
◊ een benzineverbruik van 8,5 liter waarmee bedoeld wordt 8,5
liter/100 km;
◊ een neerslag van 25 l = 25 l/1 m².
W17
2.1.5 kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig
gemiddelde berekenen en hieruit relevante informatie afleiden
Het spreekt vanzelf dat de cijfergegevens uit een reële context (zo mogelijk uit de interessesfeer van de leerlingen) gehaald worden.
Internet is een rijke bron aan cijfermateriaal.
2.2
De vier hoofdbewerkingen
W7 W2
W8
2.2.1 kennen en gebruiken de rekenregels en de tekenregels voor
getallen in breukvorm en in decimale vorm
Zie ook 1.2.2. Om een breuk te vereenvoudigen kan men teller en
noemer schrijven als een product en gemeenschappelijke factoren opsporen.
26 2.13 2
Voorbeeld: 39 = 3.13 = 3
Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk en delen van een
breuk door een breuk zijn niet aangegeven in de eindtermen van het
basisonderwijs. Deze bewerkingen en in het bijzonder de rekenregels
zijn dus voor veel leerlingen nieuwe leerstof.
W3
2.2.2 kunnen een onderzoek instellen naar:
Het onderzoek van de eigenschappen van de bewerkingen in - is een
van de mooie voorbeelden van de spiraalmethode, die in het wiskundeonderwijs gehanteerd wordt.
•
•
het “overal gedefinieerd zijn“ in -;
het commutatief-zijn;
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
•
•
•
AW41
AW42
het associatief-zijn;
de rol van 0 en 1 (eventueel het begrip neutraal element);
de som van een getal en zijn tegengestelde, het product
van een getal en zijn omgekeerde (eventueel het begrip
symmetrisch element).
2.2.3 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden
12
Pedagogisch-didactische wenken
De symbolische voorstelling van de eigenschappen van de hoofdbewerkingen kan op analoge manier als in ! en in ' worden behandeld.
2.2.4 kunnen de uitbreiding van ' naar - verklaren
W15
2.2.5 kennen het verband tussen optellen en aftrekken en tussen
vermenigvuldigen en delen
W3
2.2.6 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de
vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking
W8
2.2.7 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de te
gebruiken eigenschappen te vermelden
W8
2.2.8 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen
W12
2.2.9 kunnen de uitkomst van een bewerking schatten; een resultaat
oordeelkundig afronden; een afgerond resultaat evalueren en
interpreteren in functie van het gestelde probleem
2.3
W5
Machten
2.3.1 kunnen machten berekenen met rationale grondtallen en natuurlijke exponenten
De begrippen werden reeds gesticht in 1.3.
Hier primeert inzicht op rekenwerk!
Wellicht vragen sommige leerlingen zich af of de exponent ook uit een
andere verzameling kan komen.
W5
2.3.2 kennen de vierkantswortel van een rationaal getal en kunnen
hem berekenen
Zie eveneens punt 1.3.3
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
2.4
W6
W18
13
Pedagogisch-didactische wenken
Volgorde van bewerkingen
2.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen
De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen in ! en
' worden overgenomen in -.
2.4.2 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen
3
Vergelijkingen
De leerlingen:
3.1
W21
3.2
kennen de verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen
kunnen eenvoudige vergelijkingen van de eerste graad met één
onbekende oplossen
Gelijkheden zijn als een balans in evenwicht.
We voeren op beide leden een zelfde bewerking uit. (balansmethode).
De leerkracht zal waakzaam toezien op het correct gebruik van gelijktekens.
Vergelijkingen ontstaan uit concrete situaties en vertalen een gelijkheid
die voortkomt uit verbanden tussen wat we moeten zoeken (de onbekende) en wat we weten (het gegeven).
Op dit niveau beschouwen we een vergelijking als een gelijkheid waarin
een letter voorkomt. Deze letter noemen we de onbekende.
Om vergelijkingen op te lossen steunen we dus op de eigenschappen
van gelijkheden. Deze eigenschappen verantwoorden de oplossingstechniek.
Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken (⇔) wordt stellig afgeraden.
Als oplossingsmethode verdient in het eerste leerjaar de balansmethode onze voorkeur. In het tweede leerjaar kan een verkorte schrijfwijze
gebruikt worden, maar het verband met de balansmethode moet duidelijk blijven.
In het eerste leerjaar beperken we ons tot het oplossen van vergelijkingen van de eerste graad zonder breuken in de vergelijking. De oplossing van de vergelijking kan een rationaal getal zijn.
AW45
Geregeld de proef maken is aanbevolen.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W22
AW43
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
3.3 kunnen eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen
van de eerste graad met één onbekende oplossen
14
Pedagogisch-didactische wenken
Bij het oplossen van vraagstukken kunnen we vijf stappen onderscheiden:
1 het vertalen van de opgave in wiskundetaal en het zoeken naar een
gelijkheid en het kiezen van een onbekende;
2 het opstellen van een vergelijking die het vraagstuk weergeeft;
3 het oplossen van de vergelijking en de proef op de vergelijking;
4 het formuleren van een antwoord met aandacht voor de eenheden;
5 de proef op het vraagstuk.
Bij het oplossen van vraagstukken ondervinden leerlingen vaak moeilijkheden bij het opsporen van een gelijkheid en ze missen dikwijls de
handigheid in het vertalen naar wiskundetaal. Dit vertalen in wiskundetaal dient dus heel het schooljaar door ingeoefend te worden
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
15
Meetkunde
Eindterm
Vooraf
De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden.
Een aantal begrippen zoals ruimte, vlak en rechte kunnen leerlingen intuïtief begrijpen omdat zij zich daarvan een voorstelling kunnen maken.
Via een intuïtieve instap, vaak te vinden in een ludieke toepassing, zal het intuïtief aanvoelen, ook bij begrippen die nadien correct
gedefinieerd worden, een ondersteunende rol spelen.
Vanaf het eerste jaar zal zoveel mogelijk aandacht besteed worden aan “zien in de ruimte”.
Het is de bedoeling om het ruimtelijk zien, waarvan de aanzet reeds gegeven werd in de basisschool, verder te ontwikkelen.
Door middel van concrete voorwerpen en ruimtelichamen, die in de klas aanwezig zijn of die er door de leerkracht als model geplaatst zijn, kunnen leerlingen tot begripsvorming komen van o.a. veelvlak, veelhoek, vlak, rechte, evenwijdige rechten, kruisende
rechten ...
W32
Meetkunde biedt bij uitstek de mogelijkheid tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek).
Eigenschappen van vlakke figuren worden geformuleerd na gericht waarnemen.
Bij voorkeur laat de leerkracht in de praktijk alle leerlingen een gepaste (grote) figuur tekenen waarop lijnstukken met dezelfde lengte
en hoeken met dezelfde grootte aangeduid worden, zonder er bijzondere gegevens bij te veronderstellen:
◊ niet elke rechte loopt evenwijdig met een rand van het blad;
◊ niet elke veelhoek (driehoek, vierhoek) heeft een zijde evenwijdig met de rand van het blad;
◊ niet elke vierhoek is een vierkant of een rechthoek;
◊ niet alle snijdende rechten staan loodrecht op elkaar.
Het veralgemenen van eigenschappen van vlakke figuren mag in geen geval gebeuren op basis van een beperkt aantal voorbeelden.
Enkel onderzoek op heel veel voorbeelden laat toe vaststellingen te veralgemenen en een hypothese te formuleren; hierbij kan het
gebruik van ICT een grote rol spelen.
De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Bij deze notatie zijn nauwkeurigheid en volledigheid
noodzakelijk.
W40
Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring/bewijs.
Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn.
De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een
bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld).
Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring / bewijs.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
1
16
Pedagogisch-didactische wenken
De ruimte – een vlak
De leerlingen:
1.1
begrijpen het begrip ruimte
De begrippen ruimte en vlak zijn grondbegrippen die leerlingen intuïtief
begrijpen.
1.2
begrijpen de begrippen vlak en vlakke figuur
Een vlakke figuur wordt aan de hand van voorwerpen in de ruimte gesitueerd en omschreven als deel van een vlak. Dit kan een gelegenheid
zijn om het begrip deelverzameling aan te brengen.
1.3
begrijpen de begrippen rechte, halfrechte en drager van een
halfrechte
De begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze
begrippen intuïtief.
Opmerking: met halfrechte wordt hier de gesloten halfrechte bedoeld.
Het begrip “collineaire punten” kan hier eventueel besproken worden.
1.4
begrijpen de begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk
De begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk zijn begrippen die in de
ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief.
Leerlingen weten intuïtief wat de lengte van een lijnstuk is.
1.5
begrijpen het begrip lengte van een lijnstuk en kunnen de afstand tussen twee punten bepalen
Het is belangrijk een duidelijk onderscheid te maken tussen:
◊ de figuur:
voorbeeld: het lijnstuk [ AB ];
◊ de lengte van het lijnstuk met de nodige aandacht voor de gepaste
eenheid:
voorbeeld: ⏐AB ⏐ = 10 cm.
In deze context wordt ook aandacht besteed aan het onderscheid tussen even lange lijnstukken en gelijke lijnstukken. Lijnstukken zijn verzamelingen van punten en zijn slechts gelijk indien ze dezelfde elementen bevatten. Lijnstukken zijn dus slechts gelijk als ze samenvallen. Met
lijnstuk wordt hier het gesloten lijnstuk bedoeld.
De afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd als de lengte van het
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W26
17
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
Pedagogisch-didactische wenken
lijnstuk dat door die twee punten begrensd wordt.
1.6
kennen de definitie van het midden van een lijnstuk
Leerlingen moeten de definitie van het midden van een lijnstuk kunnen
verwoorden en eventueel noteren met symbolen
1.7
kennen de definitie van een cirkel
kunnen met de begrippen middellijn, middelpunt, diameter, de
straal, boog, middelpuntshoek en koorde werken
Naast de cirkel kan ook de schijf worden gedefinieerd
Aan de hand van een tekening kunnen, via zinvol gebruik van kleuren,
de volgende benamingen duidelijk gemaakt worden: middellijn, middelpunt, middelpuntshoek, boog, koorde.
Deze begrippen worden in de volgende lessen gebruikt bij de verklaring
van constructies.
Opmerkingen:
◊ de straal van een cirkel is de lengte van elk lijnstuk begrensd door
het middelpunt van de cirkel en een punt dat op de cirkel ligt;
◊ de diameter van een cirkel is de lengte van elke koorde die door het
middelpunt gaat.
2
Lichamen in de ruimte – vlakke figuren
De leerlingen:
2.1
begrijpen de begrippen veelvlak en veelhoek
Het begrip veelvlak kan intuïtief begrepen worden als een lichaam dat
geen gebogen grensvlakken heeft.
Leerlingen zien dat een veelvlak begrensd wordt door vlakke figuren die
uitsluitend door lijnstukken begrensd worden.
Bij de omschrijving van een veelhoek, wordt de nodige aandacht besteed aan het feit dat er slechts een veelhoek ontstaat op voorwaarde
dat een vlakke figuur door tenminste drie verschillende lijnstukken ingesloten wordt.
De begrippen veelhoek en regelmatige veelhoek worden zo correct
mogelijk omschreven.
W27
2.2
kennen de onderlinge ligging van twee rechten:
•
•
•
snijdende rechten;
strikt evenwijdige en kruisende rechten;
evenwijdige rechten.
De onderlinge ligging van twee rechten wordt in de ruimte gesitueerd.
Boetseerklei, een blok piepschuim, een kartonnen doos en enkele breinaalden, houten stokjes, gespannen touwen of ICT kunnen gebruikt
worden om de situaties aanschouwelijk te maken.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
18
Pedagogisch-didactische wenken
De begrippen snijdende rechten, strikt evenwijdige rechten, kruisende
rechten en evenwijdige rechten worden zo correct mogelijk omschreven.
◊ Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in een vlak liggen en geen
enkel gemeenschappelijk punt hebben.
◊ Evenwijdige rechten zijn rechten die ofwel strikt evenwijdig zijn ofwel
samenvallen.
◊ Kruisende rechten zijn rechten die niet in een zelfde vlak liggen en
geen enkel gemeenschappelijk punt hebben.
◊ Snijdende rechten zijn rechten die precies één gemeenschappelijk
punt hebben.
Leerlingen tekenen in dit stadium evenwijdige rechten met behulp van
een geodriehoek.
2.3
kennen een hoek en een rechte hoek
Het begrip hoek wordt gedefinieerd als een deel van een vlak begrensd
door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt.
Door middel van plooien kan men viermaal een rechte hoek tonen.
Leerlingen begrijpen intuïtief de betekenis van het begrip rechte hoek.
W27
2.4
kunnen rechten die loodrecht op elkaar staan tekenen en de
loodrechte stand controleren
Leerlingen gebruiken de geodriehoek als instrument om loodlijnen te
tekenen of om de loodrechte stand te controleren.
2.5
kunnen de afstand bepalen:
Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand van een punt tot een
rechte moet gemeten worden op de loodlijn die vanuit dat punt op die
rechte neergelaten is.
•
•
van een punt tot een rechte;
tussen twee strikt evenwijdige rechten.
Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten moet gemeten worden op een rechte die loodrecht staat
op de evenwijdige rechten.
Als toepassing kunnen in een vlak eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid
en loodrechte stand ontdekt worden zoals:
als a ⊥ b en b ⊥c dan a // c;
als a // b en b ⊥ c dan a ⊥ c.
2.6
kennen de indeling van hoeken en kunnen ze gebruiken
De begrippen scherpe hoek, stompe hoek, gestrekte hoek, nulhoek,
volle hoek en inspringende hoek kunnen door middel van tekeningen
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
19
Pedagogisch-didactische wenken
uitgelegd worden.
Het begrip hoekgrootte wordt niet gedefinieerd.
W32
2.7
kunnen hoeken meten
Net als bij lijnstukken is het ook bij hoeken belangrijk een onderscheid
te maken tussen:
◊ de figuur:
voorbeeld: de hoek  of BÂC;
◊ de grootte van de hoek:
voorbeeld: ⏐Â⏐= 30° of ⏐BÂC⏐=30°.
Leerlingen gebruiken de geodriehoek of graadboog als instrument om
hoeken te meten of om hoeken met gegeven grootte te tekenen
W32
2.8
kunnen een hoek tekenen die even groot is als een gegeven
hoek (zonder meten)
De leerkracht moet de aandacht van de leerlingen trekken op het feit
dat de constructie met passer en liniaal omwille van de nauwkeurigheid
soms te verkiezen is boven het gebruik van de geodriehoek.
W26
2.9
kunnen overstaande hoeken, aanliggende hoeken, nevenhoeken herkennen en tekenen
Als toepassing op 2.8 kunnen opdrachten gegeven worden waaruit aanliggende hoeken of nevenhoeken of overstaande hoeken ontstaan.
W32 W26 2.10 kunnen de vlakke voorstelling van een lichaam maken
Na de observatie van lichamen in de ruimte ervaren leerlingen de
noodzaak van vlakke voorstellingen van die lichamen.
De vlakke voorstelling van ruimtelijke lichamen kan fungeren als een
concrete wiskundige situatie voor het inoefenen van technieken zoals:
◊ de passer gebruiken als hulpmiddel om lijnstukken met dezelfde
lengte te tekenen;
◊ tekenen van loodlijnen en evenwijdigen;
en voor het herkennen en toepassen van eigenschappen i.v.m.
◊ evenwijdigheid;
◊ loodrechte stand.
In het eerste leerjaar zal men zich beperken tot vlakke voorstellingen
van lichamen die opgebouwd zijn met kubussen en balken. Kubus en
balk zijn lichamen die reeds gekend zijn vanuit de basisschool.
De perspectieftekening van een lichaam wordt eerst op ware grootte op
papier afgebeeld. Hierbij worden de principes van kavalierperspectief
aangetoond, eerst met een kubus, dan met een balk en daarna met een
lichaam gebouwd uit kubussen en balken.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W36
W36
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
2.11 kunnen een perspectieftekening herkennen en kunnen deze
van eenvoudige lichamen maken
2.12 kunnen de uitslag van lichamen herkennen en tekenen
20
Pedagogisch-didactische wenken
Bij kavalierperspectief gelden de volgende afspraken:
1
houd één vlak van het lichaam evenwijdig met het vlak van de tekening;
2
evenwijdige rechten in de ruimte worden voorgesteld door evenwijdige rechten in het vlak van de tekening;
3
lijnstukken evenwijdig aan het vlak van de tekening worden op ware grootte getekend;
4
lijnstukken die loodrecht staan op het vlak van de tekening worden
getekend op halve grootte;
5
rechten die loodrecht op het vlak van de tekening staan, bepalen
een hoek van 45° ten opzichte van rechten die evenwijdig met het
vlak van de tekening lopen.
Nadat de principes van kavalierperspectief werden toegepast bij het
afbeelden van lichamen op ware grootte, kunnen eenvoudige voorbeelden van een tekening op schaal worden gemaakt.
Voor het tekenen van de uitslag van een lichaam zal men zich in het
eerste jaar beperken tot lichamen opgebouwd met kubussen en balken.
Facultatief kan een technische tekening worden gemaakt.
Ook voor de technische tekening zal men zich in het eerste jaar beperken tot kubus, balk en eenvoudige lichamen opgebouwd met kubussen
en balken.
Zoals voor de perspectieftekening zal eerst gewerkt worden met lichamen die op ware grootte in het schrift worden getekend; daarna met
grotere lichamen getekend op schaal.
2.13 kunnen afstanden bepalen uitgaande van een vlakke voorstel- Nadat de leerlingen vlakke voorstellingen getekend hebben van lichaling van een ruimtelijke figuur
men, zal men ook andersom te werk gaan. Uitgaande van de vlakke
voorstelling herkennen de leerlingen een lichaam in de ruimte en bepalen zij afstanden op het lichaam in de ruimte, eventueel door gebruik te
maken van het begrip schaal.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
3
21
Symmetrie
De leerlingen:
3.1
kunnen een punt spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak
Vermits leerlingen gewoon zijn om te zien en te denken in de ruimte,
moet hier enige aandacht besteed worden aan correcte verwoording.
Het is niet de bedoeling om leerlingen te laten spiegelen in de ruimte.
Via een intuïtieve instap kunnen de nodige vaststellingen gedaan worden die de correcte constructie van het beeld van een punt door spiegeling t.o.v. een rechte toelaten.
W35
3.2
kunnen een figuur spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak
Voorbeelden:
◊ teken een figuur op een blad papier. Plooi het papier en prik met een
speld gaatjes op de punten van de figuur. Als we daarna het blad
openvouwen dan zien we de gegeven figuur en haar spiegelbeeld
t.o.v. de “vouwlijn”;
◊ plaats een doorschijnende plaat (in glas of plastiek) loodrecht op het
vlak van de tekening. Kijk door de doorschijnende plaat en bepaal
de plaats van het beeld van een gegeven punt.
Nadat de leerlingen enkele figuren, begrensd door lijnstukken, gespiegeld hebben t.o.v. een rechte in een vlak, kunnen ze vaststellen dat de
gelijkstandige zijden even lang en de gelijkstandige hoeken even groot
zijn.
Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld
congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. Het begrip
“congruente figuren” is gekend uit de basisschool en kan in het eerste
jaar omschreven worden als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken.
W26 W35 3.3
kennen de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk in een
vlak en kunnen deze tekenen
Zonder de leerlingen overdreven te belasten, moet hier de nodige aandacht besteed worden aan de verwoording.
Na de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk, ontdekken de
leerlingen de kenmerkende eigenschap van punten die op de middelloodlijn van een lijnstuk liggen. Dit kenmerk zal gebruikt worden bij de
verklaring van de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk met
passer en liniaal. De leerkracht zal de noodzaak van een dergelijke
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
22
constructie aantonen.
De middelloodlijn van een lijnstuk is een symmetrieas van dit lijnstuk.
W35
3.4
kennen de definitie van symmetrieas van een vlakke figuur en
kunnen deze tekenen
Het begrip symmetrieas van een figuur kan intuïtief begrepen worden
als vouwlijn die de figuur in twee delen verdeelt die elkaar volkomen
bedekken.
De leerlingen definiëren daarna het begrip symmetrieas van een vlakke
figuur.
W26
3.5
kennen de definitie van een bissectrice van een hoek en kunnen deze tekenen
De leerlingen definiëren het begrip bissectrice van een hoek als de
rechte die de hoek verdeelt in twee hoeken met dezelfde grootte. Daarna ontdekken ze de eigenschappen:
◊ als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt dat punt
even ver van de dragers van de benen van de hoek (geen
kenmerkende eigenschap);
◊ de bissectrice van een hoek is een symmetrieas van die hoek.
De bissectrice van een hoek wordt geconstrueerd met passer en liniaal.
Ook hier wordt de noodzaak van de constructie aangetoond. De constructie van de bissectrice van een hoek kan verklaard worden met behulp van de symmetrieassen van een ruit.
W35
3.6
W35
3.7
W35
3.8
kunnen spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. de assen van een
orthonormaal assenstelsel
Nadat in vorige lessen, in de getallenleer bijvoorbeeld, enige aandacht
werd besteed aan het feit dat de assen van het assenstelsel niet noodzakelijk loodrecht op elkaar moeten staan, kan hier gewerkt worden in
een loodrecht assenstelsel en kan gebruik gemaakt worden van de
vierkantjes in het schrift van de leerlingen.
De bedoeling is een verband aan te tonen tussen meetkunde en getallenleer en concreet het verband te ontdekken tussen:
◊ spiegelen t.o.v. de x-as en het tegengestelde nemen van elke
ordinaat;
◊ spiegelen t.o.v. de y-as en het tegengestelde nemen van elke
abscis.
kunnen spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. het snijpunt van de Door het tegengestelde te nemen van elke abscis en van elke ordinaat
assen van een orthonormaal assenstelsel
kunnen leerlingen spiegelen t.o.v. het snijpunt van de assen x en y en
de nodige vaststellingen doen om te kunnen spiegelen t.o.v. een punt in
een vlak.
kunnen een punt spiegelen t.o.v. een punt in een vlak
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
W35
3.9
kunnen een figuur spiegelen t.o.v. een punt in een vlak
23
Zoals bij de loodrechte spiegeling wordt het beeld bepaald van figuren
door lijnstukken begrensd.
Zo kunnen leerlingen vaststellen dat gelijkstandige zijden even lang en
gelijkstandige hoeken even groot zijn. Ze kunnen eveneens vaststellen
dat de gegeven figuur en haar beeld congruent zijn en dus dezelfde
oppervlakte hebben.
3.10 kunnen het symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur bepalen
De leerlingen definiëren het begrip symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur.
In volgende lessen zal bij elke figuur gezocht worden naar symmetrieassen en symmetriemiddelpunten, zodat het leren herkennen van
symmetrieassen en symmetriemiddelpunten geen eenmalige gebeurtenis is.
Het is niet de bedoeling om in het eerste jaar de loodrechte spiegeling,
noch de puntspiegeling als transformatie te behandelen.
4
Eigenschappen van driehoeken
De leerlingen:
W37
4.1
kunnen driehoeken indelen volgens grootte van de hoeken
Er wordt gestart met het construeren van een aantal driehoeken, wat de
tekenvaardigheid van de leerlingen ten goede komt. De verschillende
gevallen van lengten van zijden en grootten van hoeken moeten voorhanden zijn. De leerkracht voorziet een uitgebreide verzameling van
duidelijke en nauwkeurig uitgevoerde tekeningen van driehoeken.
Door de hoeken van elke driehoek te vergelijken met een rechte hoek
wordt de rubricering in scherphoekige, stomphoekige en rechthoekige
driehoeken opgefrist.
W31
4.2
kunnen de som van de (grootten van de) hoeken van een driehoek bepalen
De correcte verwoording en notatie van deze eigenschap kan visueel
ondersteund worden door de som van de (grootten van de) hoeken van
een driehoek voor te stellen als (de grootte van) een gestrekte hoek.
Het gebruik van ICT kan veel verduidelijken.
W31
4.3
kennen de eigenschappen m.b.t. zijden en hoeken in een driehoek
Met behulp van een verzameling driehoeken wordt door vergelijken (afpassen of meten) afgeleid dat tegenover de grootste hoek de grootste
zijde ligt, dat tegenover de kleinste hoek de kleinste zijde ligt, en tegenover even grote hoeken even grote zijden liggen.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
W31
24
4.4
kennen de driehoeksongelijkheid
Het gebruik van ICT om de driehoeksongelijkheid visueel voor te stellen
wordt hier sterk aanbevolen.
4.5
kennen de definitie van ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek
Met behulp van een verzameling tekeningen van driehoeken wordt de
rubricering in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken
opgefrist.
Een ongelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben.
Een gelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek met ten
minste twee even lange zijden en een gelijkzijdige driehoek als een
driehoek waarvan alle zijden even lang zijn.
Aan de hand van tekeningen worden, via zinvol gebruik van kleuren, de
benamingen duidelijk gemaakt: tophoek, basis, basishoeken, opstaande zijden.
Als een eigenschap en haar omgekeerde geldt, dan noemt men dit een
kenmerkende eigenschap of kenmerk.
Door constructies worden de eigenschappen afgeleid:
◊ als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot;
◊ als van een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die
driehoek gelijkzijdig.
W34
4.6
kunnen de omtrek van een driehoek berekenen
Van een aantal goed gekozen congruente en niet-congruente driehoeken met dezelfde en met verschillende omtrek, kan door afpassen op
een rechte de omtrek als de som van de lengten van de zijden visueel
worden voorgesteld.
Met ICT kan men visueel aantonen dat driehoeken met gelijke omtrek
niet noodzakelijk congruent zijn.
5
Merkwaardige lijnen in een driehoek
De leerlingen:
W26
5.1
kennen en gebruiken de begrippen hoogtelijn, hoogtelijnstuk,
hoogte in een driehoek;
kunnen hoogtelijnen en hoogtelijnstukken construeren
Hoogtelijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies:
de hoogtelijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
25
Het onderscheid tussen de hoogtelijn en het hoogtelijnstuk wordt voor
de leerlingen verduidelijkt.
Onder hoogte verstaan we de lengte van het hoogtelijnstuk.
W26 W35 5.2
kennen en gebruiken het begrip middelloodlijn in een driehoek;
kunnen de middelloodlijnen in een driehoek construeren
Middelloodlijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de middelloodlijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de
driehoek.
Hier kan het begrip omcirkel ingevoerd worden.
W26 W35 5.3
kennen en gebruiken het begrip bissectrice in een driehoek;
kunnen de bissectrices in een driehoek construeren
Bissectrices zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies:
de bissectrices worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek.
Hier kan het begrip incirkel ingevoerd worden.
facultatief
5.4
kennen en gebruiken het begrip zwaartelijn in een driehoek;
kunnen de zwaartelijnen in een driehoek construeren
Zwaartelijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies:
de zwaartelijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek.
W35
5.5
kunnen symmetrieassen en het symmetriemiddelpunt in een
driehoek bepalen
Symmetrieassen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de symmetrieassen worden doorgetrokken buiten de zijden van de
driehoek.
De mogelijke symmetrieassen in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken kunnen met behulp van ICT geïllustreerd worden. Op
dezelfde wijze kan men aantonen dat een driehoek geen symmetriemiddelpunt heeft.
6
Eigenschappen i.v.m. zijden en hoeken van een vierhoek
De leerlingen:
W31
6.1
kunnen de som van de (grootten van de) hoeken in vierhoeken
bepalen
Dat de som van de grootten van de hoeken van een vierhoek een volle
hoek is kan aangetoond door een vierhoek te verdelen in twee driehoeken of door gebruik te maken van ICT.
W31 W37 6.2
kennen de definities en eigenschappen van bijzondere vierhoeken zoals:
Laat de leerlingen zelf de kenmerken van bijzondere vierhoeken ontdekken. Aandacht gaat naar:
◊ lengten van zijden;
◊ grootten van hoeken;
◊ onderlinge stand van zijden.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
•
Trapezium
26
De leerlingen herkennen en definiëren een trapezium als een vierhoek
met ten minste één paar evenwijdige zijden.
Via zinvol gebruik van kleuren worden basissen en opstaande zijden
verduidelijkt.
Het rechthoekig en gelijkbenig trapezium worden gedefinieerd.
Eigenschappen i. v. m. de hoeken van een trapezium worden onderzocht.
•
Parallellogram
De leerlingen herkennen en definiëren een parallellogram als een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
De eigenschappen i.v.m. lengte van zijden en grootte van hoeken worden onderzocht.
Als toepassing volgt:
◊ de constructie van een parallellogram als twee opeenvolgende
zijden reeds getekend zijn;
◊ de constructie van een rechte evenwijdig met een gegeven rechte.
•
Ruit
De leerlingen herkennen en definiëren een ruit als een vierhoek met
vier even lange zijden.
•
Rechthoek
De leerlingen herkennen en definiëren rechthoek als een vierhoek met
vier even grote hoeken.
•
Vierkant
De leerlingen herkennen en definiëren een vierkant als een vierhoek
met vier even lange zijden en vier even grote hoeken.
Het onderlinge verband tussen de vierhoeken kan het best geïllustreerd
worden aan de hand van een classificatie.
7
Merkwaardige lijnen in een vierhoek
De leerlingen:
W26
7.1
kennen de definitie en de eigenschappen van diagonalen in een
vierhoek
Met behulp van ICT kunnen de eigenschappen van de diagonalen opgespoord en op hun omkeerbaarheid getoetst worden.
W35
7.2
kunnen de symmetrieassen en het symmetriemiddelpunt in
vierhoeken bepalen
Met behulp van ICT wordt binnen de vierhoeken gezocht naar mogelijke
symmetrieassen en symmetriemiddelpunten.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
8
27
Omtrek en oppervlakte van driehoek, vierhoek en cirkel
De leerlingen:
Alle behandelde formules kunnen worden genoteerd op een speciaal
daartoe bestemde fiche, die eventueel kan dienen als geheugensteun
bij de berekeningen.
W32
8.1
kunnen de gepaste eenheden gebruiken bij het berekenen van
omtrek en oppervlakte
Al van in de basisschool zijn de leerlingen vertrouwd met het gepaste
gebruik van eenheden bij het berekenen van omtrek en oppervlakte.
We blijven de nodige aandacht besteden aan het kiezen van geschikte
eenheden.
W34
8.2
kunnen de omtrek van een driehoek en een vierhoek berekenen
De leerlingen berekenen de omtrek van driehoeken en vierhoeken als
de som van de lengten van de zijden.
De vastgestelde regelmaat bij de bijzondere vierhoeken kan leiden tot
formules.
W34
8.3
kunnen de oppervlakte van een driehoek en een vierhoek berekenen
De formules voor het berekenen van de oppervlakte kunnen met behulp
van ICT worden gevisualiseerd.
De leerlingen moeten tevens inzicht verwerven in het verband tussen
de gangbare oppervlakteformules en de basisformule b(asis) maal
h(oogte). De leerlingen moeten inzien dat meerdere zijden als basis
kunnen beschouwd worden zijn.
Zij gebruiken de gepaste formule voor de berekening van de oppervlakte van een vierkant, een rechthoek, een parallellogram, een ruit, een
trapezium en een driehoek.
W34
8.4
kunnen de omtrek en oppervlakte van een cirkel berekenen
Het getal π kan in een historische context worden geplaatst.
Met behulp van ICT kan aangetoond worden dat voor elke cirkel de verhouding van de omtrek tot de diameter een constant getal is, namelijk
π.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
28
Tweede leerjaar A
Getallenleer
Eindterm
Vooraf
De begrippen en technieken aangeleerd in het eerste leerjaar, worden opgefrist, uitgediept en aangevuld. Dit gebeurt bij voorkeur aan
de hand van concrete voorbeelden.
W9
Telkens de gelegenheid zich voordoet, leren de leerlingen een rekentoestel zinvol en functioneel gebruiken. Zij leren eveneens de
geheugentoetsen gebruiken.
W12
De gewoonte om het resultaat vooraf te schatten en terug te blikken op de gevonden oplossing wordt volgehouden.
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
1
Pedagogisch-didactische wenken
Verhoudingen en evenredigheden
De leerlingen:
1.1
kennen het begrip evenredigheid en de hoofdeigenschap ervan
a
In het eerste leerjaar hebben wij b , met a ∈ ' en b ∈ *, niet alleen
geïnterpreteerd als een breuk of een quotiënt, maar ook als een verhouding.
Wij kunnen hierbij verwijzen naar de betekenis van de stam “ratio” in
rationale getallen.
In het tweede jaar gebruiken wij ook eenvoudige (niet-gehele), decimale
getallen.
a
Hierbij moeten leerlingen inzien dat b = a : b = a . b-1 (b ≠ 0)
Een evenredigheid wordt gedefinieerd als de gelijkheid van twee verhoudingen.
Aan de hand van voorbeelden wordt de hoofdeigenschap geïllustreerd.
a c
b = d ⇔ a.d = b.c
(b ≠ 0 , d ≠ 0)
De hoofdeigenschap kan vrij eenvoudig worden aangetoond door gebruik te maken van de eigenschappen van gelijkheden en van de ver-
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
29
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
Pedagogisch-didactische wenken
menigvuldiging.
W33
1.2
kunnen evenredigheden toepassen op het gebruik van schalen
Leerlingen zien in dat werken met schalen eigenlijk neerkomt op rekenen met evenredigheden.
kunnen recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden
herkennen
De leerlingen herkennen het recht evenredig-zijn en het omgekeerd
evenredig-zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijkse leven.
Zij kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden uitdrukken met
formules.
Zij stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor.
W16 W24 1.3
W39
De toepassingen sluiten aan
◊ bij het dagelijkse leven (illustraties in dag-, week- en vakbladen ...);
◊ bij andere vakken: biologie, aardrijkskunde, technologische
opvoeding ...
Besteed de nodige aandacht aan de realiteit: twee grootheden zijn niet
steeds recht of omgekeerd evenredig. In het dagelijkse leven wordt de
evenredigheid dikwijls verbroken: % korting bij grote hoeveelheden, 3
kopen en 1 gratis, posttarieven ...
1.4
kunnen eenvoudige vraagstukken i.v.m. evenredigheden oplossen
2
Initiatie in beschrijvende statistiek
Vraagstukken oplossen met de "regel van drieën" betekent het zoeken
van één term van een evenredigheid als de drie andere gekend zijn.
De leerlingen:
De nadruk ligt hier niet op het rekenwerk maar op het interpreteren van
gegevens. Het gebruik van ICT is hier evident.
W17
2.1
kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig
gemiddelde en de mediaan (voor niet-gegroepeerde gegevens)
berekenen en hieruit relevante informatie afleiden
Het begrip rekenkundig gemiddelde kennen de leerlingen uit het eerste
jaar (cf. 1e leerjaar 2.1.5.) en ook uit het dagelijkse leven (gemiddelde
temperatuur, klassengemiddelde ...).
Met goedgekozen voorbeelden wordt aangetoond dat het gemiddelde
sterk beïnvloed wordt door de uitersten, zodat een ander vergelijkingspunt zich opdringt: de mediaan.
W25
AW46
2.2
kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema’s,
figuren, tabellen en diagrammen
Leerlingen moeten informatie kunnen terugvinden.
Hier is de coördinatie met andere vakken van groot belang. De leerlingen maken in andere vakken (aardrijkskunde, fysica, biologie, weten-
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
30
Pedagogisch-didactische wenken
schappelijk werk, handel, voeding ...) al gebruik van
◊ schema’s,
◊ figuren,
◊ grafieken,
◊ diagrammen.
Bij de leerlingen wordt een kritische houding ontwikkeld tegenover het
gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische
voorstellingen. De leerkrachten laten niet na aan te tonen dat bepaalde
gegevens misleidend kunnen worden voorgesteld bijv. door het wijzigen
van de ijk op één van de assen van een grafiek.
Het gebruik van ICT zal hier enorm verhelderd werken.
3
Machtsverheffingen - vierkantswortels
De leerlingen:
W5 W8
3.1
kunnen machten met rationale grondtallen en gehele exponenten berekenen en kunnen de rekenregels toepassen
Er dient ondermeer aandacht besteed te worden aan de rekenregels
voor:
◊ het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal;
◊ het verheffen van een macht tot een macht;
◊ het delen van machten met hetzelfde grondtal;
◊ het verheffen van een product tot een macht;
(denk ook aan het omgekeerde: bijv. 23. 53 = 103);
◊ het verheffen van een quotiënt tot een macht
(denk ook aan het omgekeerde: bijv. 1253 : 253 = 53).
Om de leerlingen toe te laten op een rekentoestel getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze af te lezen of in te voeren, dient deze schrijfwijze hier aan bod te komen.
Onder wetenschappelijke schrijfwijze van een getal wordt verstaan:
◊ het product van een decimaal getal en een macht van 10;
◊ het geheel gedeelte van het decimaal getal is verschillend van nul
en bevat slechts één cijfer.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W5
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
3.2 kunnen vierkantswortels bepalen
31
Pedagogisch-didactische wenken
Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: “bepaal de rationale getallen x die voldoen aan x² = 0,49” en “bereken
49 ”.
Eventueel is hier een uitbreiding mogelijk naar de derdemachtswortels
of in het algemeen naar de ndemachtswortels. Hier kan tevens het bestaan van irrationale getallen ingeleid worden.
Maak oordeelkundig gebruik van een rekentoestel.
4
Onderzoek naar eigenschappen van bewerkingen (+ ,
- , x , :) in !, ', -
De leerlingen
W3 AW41 4.1
AW42
kunnen een onderzoek instellen naar volgende eigenschappen
van bewerkingen:
•
•
•
•
•
•
•
5
het "overal gedefinieerd"-zijn;
het commutatief-zijn;
het associatief-zijn;
het bestaan van een neutraal element;
het bestaan van symmetrische elementen;
het bestaan van een opslorpend element;
het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de
optelling en de aftrekking.
Zie ook de methodologische wenken voor het eerste leerjaar (cf. 1e
leerjaar Getallenleer 1.2.3).
Voor zover dit nog niet gebeurd is in het eerste jaar, kunnen de eigenschappen genoteerd worden met gebruik van de kwantoren en correct
verwoord
Enige aandacht dient besteed aan het onderlinge verband tussen een
element, zijn symmetrisch element en het neutraal element bij een bewerking in een verzameling.
Wij schenken ook aandacht aan het onderscheid tussen het tegengestelde en het omgekeerde van een element.
De afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen en gebruik van de
haakjes worden herhaald.
Bij het behandelen van het distributief-zijn moet ook het “andersom aspect” benadrukt worden: dit zal zijn nut bewijzen bij het ontbinden in
factoren.
Facultatief kunnen we hier onderzoeken of de deling distributief is t.o.v.
de optelling en de aftrekking. Maak een onderscheid tussen linksdistributief en rechtsdistributief.
Vergelijkingen
De leerlingen:
W21
5.1
kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende
Zie ook 1e leerjaar Getallenleer 3.2.
In het tweede leerjaar lossen we vergelijkingen op in -, met breuken in
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
oplossen
32
Pedagogisch-didactische wenken
de vergelijking.
Ook hier behouden wij onze voorkeur voor de “balansmethode“. Bij een
eventuele verkorte schrijfwijze hiervan moet het verband met de balansmethode duidelijk blijven.
Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken (⇔) wordt ook hier stellig
afgeraden.
Om de noemers te verdrijven, vermenigvuldigen we beide leden met
een zelfde geschikt getal.
De methode van het gelijknamig maken van de breuken is vaak de oorzaak van fouten in de hogere jaren: leerlingen interpreteren deze methode nogal eens als “gelijke noemers mogen we weglaten”.
Bij vergelijkingen met een tweeterm in de teller (lange breukstreep) vestigen we de aandacht op de “niet-geschreven haakjes” en de rol van het
teken voor de breukstreep.
Het geregeld maken van de proef op de vergelijking mag niet uit het
oog verloren worden. Het is een gelegenheid om de rekentechnieken
nog eens te oefenen. Het rekentoestel kan hier een welgekomen hulp
bieden.
W22
AW43
AW47
5.2
kunnen eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen
van de eerste graad met één onbekende oplossen
Zie ook 1e leerjaar Getallenleer 3.3.
De letters in een basisformule worden best vervangen door de gegevens van het vraagstuk. Dit levert een zeer eenvoudige vergelijking met
één onbekende op.
Leerlingen ondervinden moeilijkheden bij vraagstukken omdat ze de
gelijkheid niet ontdekken en/of omdat ze een gebrek aan vaardigheid
hebben in het vertalen naar wiskundetaal.
Een goede analyse, met symbolische voorstelling van de gegevens, is
een handig hulpmiddel om een vergelijking te vinden. Soms kan een
vergelijking bekomen worden door het op twee verschillende manieren
uitdrukken van een zelfde grootheid.
Dit is een geschikt moment om probleemoplossende vaardigheden te
ontwikkelen zoals:
◊ het herformuleren van de opgave;
◊ het maken van een goede schets of een aangepast schema;
◊ het invoeren van geschikte notaties;
◊ het kiezen van de onbekende (de leerkracht vestigt de aandacht van
de leerlingen op de reductie van de mogelijke onbekenden tot de
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
6
33
Pedagogisch-didactische wenken
gekozen onbekende);
◊ het analyseren van eenvoudige voorbeelden.
Door het maken van de proef op het vraagstuk ontwikkelen zij de gewoonte om terug te blikken op hun redenering en resultaat.
Veeltermen in één onbepaalde met numerieke coëfficiënten
De leerlingen:
W18
6.1
kunnen een veelterm herkennen
kunnen volgende benamingen gebruiken:
• eenterm, tweeterm, drieterm ...;
• coëfficiënt;
• lettergedeelte;
• onbepaalde (in een veelterm heeft de onbepaalde enkel
natuurlijke exponenten);
• graad.
Instappen kan o.m. via de formules ontstaan uit getalpatronen (cf. eerste jaar Getallenleer 1.4.2.) en via de omtreks-, oppervlakte- en inhoudsformules. De lettervormen die zo ontstaan zijn voorbeelden van
veeltermen.
6.2
kunnen de getalwaarde van een veelterm berekenen
6.3
kunnen veeltermen herleiden
De coëfficiënten van de veeltermen behoren tot ! of ' en eventueel tot
-, maar worden zo gekozen dat de leerlingen niet verdrinken in het rekenwerk!
Leerlingen herleiden veeltermen: de eentermen met hetzelfde lettergedeelte worden opgeteld.
Zij rangschikken een veelterm en bepalen de graad ervan. De nulveelterm heeft geen graad.
Het begrip hoogstegraadsterm kan hier worden gehanteerd.
W19
6.4
kunnen eenvoudige veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, machten van eentermen met natuurlijke exponenten berekenen
De technieken om te rekenen met veeltermen moeten steeds primeren
op cijferwerk.
Een proef op de bewerkingen met veeltermen kan gebeuren door over
te stappen op de getalwaarde. Let wel: zoals de negenproef voor een
bewerking geeft ook deze techniek geen absolute garantie.
W20
6.5
kunnen de merkwaardige producten (A + B)² en (A + B)(A - B)
formuleren, verantwoorden en toepassen
A en B stellen eentermen voor.
Het kan verhelderend werken als de merkwaardige producten visueel
ondersteund worden.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
W20
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
6.6 kunnen eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren
34
Pedagogisch-didactische wenken
Het ontbinden gebeurt door het toepassen van:
◊ het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling;
◊ merkwaardige producten.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
35
Meetkunde
Eindterm
Vooraf
W32
De in het eerste leerjaar aangeleerde begrippen en technieken worden opgefrist en soms aangevuld. De leerstof meetkunde zal niet
door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. De begrippen worden via een intuïtieve benadering omschreven.
Meetkunde biedt hier nog meer mogelijkheden tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek).
Eigenschappen worden geformuleerd na gericht waarnemen.
Bij het verwoorden van eigenschappen zal de voorkeur uitgaan naar de “als ... dan ...” vorm.
Lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte worden aangeduid.
De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd.
Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring / bewijs.
Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn.
De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een
bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld).
Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring (bewijs).
W40
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
1
Pedagogisch-didactische wenken
Lichamen in de ruimte
De leerlingen:
W29 W30 1.1
W36
kunnen volgende lichamen herkennen:
•
•
•
•
•
recht prisma,
piramide,
cilinder,
kegel,
bol.
Aan kubus en balk werd in het eerste jaar de nodige aandacht besteed.
Aan de hand van voorwerpen, van verpakkingen van allerlei producten,
van gebouwen, eventueel foto’s hiervan, kan een tabel worden opgesteld.
De nodige aandacht wordt besteed aan het opsporen van gemeenschappelijke herkenningselementen. De leerlingen komen zo tot het
herkennen (zonder een strikte definitie te geven), tot indelen en tot gebruiken van de juiste benamingen van ruimtelichamen.
Leerlingen leren zich oriënteren in de ruimte door het interpreteren van
driedimensionale situaties aan de hand van tweedimensionale afbeeldingen. Zij weten ook dat in deze voorstelling informatie is verloren gegaan.
Voor het oefenen van deze vaardigheid kan via ICT zinvol gebruik gemaakt worden van bestaande computerprogramma’s.
Coördineren met vakken als plastische opvoeding en technologische
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
W32 W39 1.2
kunnen de oppervlakte en het volume berekenen van:
•
•
•
•
kubus,
balk,
recht prisma,
cilinder.
36
Pedagogisch-didactische wenken
opvoeding is hier aangewezen.
Bij het opstellen van de oppervlakteformule kan zinvol gebruik worden
gemaakt van de uitslag van een ruimtelichaam.
De leerlingen kunnen de gepaste formules gebruiken voor het berekenen van de oppervlakte en het volume van ruimtelichamen.
Deze formules kunnen worden genoteerd op een speciaal daartoe bestemde fiche, samen met formules van omtrek en oppervlakte van vlakke figuren (cf. eerste jaar).
Ook hier besteden wij de nodige aandacht aan het kiezen van geschikte
eenheden.
Het komt het inzicht zeker ten goede als bij vraagstukken i.v.m. omtrek
en oppervlakte een realistische (ruimtelijke) situatie aanschouwelijk
wordt voorgesteld. Een vraagstuk, aangeboden met een ludieke tekening, wekt vaak de interesse op en motiveert om de oplossing te vinden.
Hier doet zich de gelegenheid voor om leerstof uit de getallenleer praktisch te gebruiken.
Enkele voorbeelden:
◊ Vergelijkingen oplossen:
als het volume en twee afmetingen van een balk gekend zijn, dan de
derde afmeting berekenen.
V=l.b.h
◊ Vierkantswortels berekenen:
als de oppervlakte van een kubus gegeven is, dan de ribbe
berekenen.
S = 6.z2
als het volume van een cilinder en de hoogte gekend zijn, dan de
straal van het grondvlak berekenen.
V = π . r2. h
◊ Derdemachtswortel berekenen (facultatief):
als het volume van een kubus gekend is, dan de ribbe berekenen.
V = z3
◊ Zinvol gebruik van het rekentoestel.
◊ Technieken van schatten en afronden (π) krijgen hier een concrete
invulling.
Vakoverschrijdend kan worden gecoördineerd met fysica o.m. voor het
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
2
37
Pedagogisch-didactische wenken
berekenen van het volume van een onregelmatig voorwerp.
Bij het berekenen van oppervlakte en inhoud moet aandacht besteed
worden aan het uitdrukken van de grootheden in corresponderende
eenheden.
Transformaties van een vlak:
- herkennen van het beeld
- constructie van het beeld
De leerlingen:
W28 W35 2.1
kunnen een spiegeling en puntspiegeling zien als transformatie
In het eerste jaar hebben de leerlingen, via manipuleren en construeren, kennis gemaakt met spiegelen en puntspiegelen. Leerlingen herkennen dus figuren die bekomen zijn door spiegelen of puntspiegelen
van een gegeven figuur en kunnen het beeld bepalen van een eenvoudige meetkundige figuur door spiegelen en puntspiegelen.
De spiegeling en puntspiegeling zijn echter nog niet behandeld als
transformatie van een vlak.
Herhaling van kennis en vaardigheden uit het eerste jaar laten toe om
uit concrete voorbeelden het begrip “transformatie van een vlak” te beschrijven.
Dit kan als volgt:
◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een spiegeling
(puntspiegeling) volledig bepaald is door een koppel waarvan beginen eindpunt niet samenvallen;
◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat elk punt van
het vlak precies één beeld heeft door spiegelen (puntspiegelen);
◊ de leerlingen onthouden dat bij een transformatie van een vlak elk
punt precies één beeldpunt heeft.
De spiegeling en de puntspiegeling zijn voorbeelden van transformaties
van een vlak.
W28 W35 2.2
kunnen een verschuiving zien als transformatie
Op een fries of op behangpapier zijn vaak verschuivingen te herkennen.
De verschuiving kan ook benaderd worden vanuit coördinatenmeetkunde. De verschuiving bepaald door het punt T in een geijkt vlak kan gevonden worden door bij de coördinaat van elk punt van dat geijkte vlak,
de coördinaat van T op te tellen. Na het trekken van de pijlen tussen
corresponderende punten kunnen de leerlingen zien dat:
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
38
Pedagogisch-didactische wenken
◊ de dragers van de pijlen evenwijdig zijn;
◊ de pijlen dezelfde zin hebben;
◊ alle lijnstukken bepaald door de grenspunten van de pijlen even lang
zijn.
Deze vaststellingen laten de leerlingen toe om:
◊ te ontdekken dat een verschuiving in een vlak volledig bepaald is als
één koppel van de verschuiving gekend is;
◊ het beeld te bepalen van een punt door een verschuiving in een vlak
dat niet geijkt is.
De leerlingen moeten een verschuiving in een vlak kunnen herkennen
en hun werkwijze bij de constructie kunnen toelichten.
Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren en/of
via concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken de leerlingen dat
elke verschuiving de lengte van lijnstukken, de grootte van hoeken en
de evenwijdigheid van rechten behoudt.
Zij kunnen vaststellen dat:
◊ het beeld van een rechte een rechte is die evenwijdig is met de
gegeven rechte;
◊ de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus
dezelfde oppervlakte hebben.
De verschuiving is een voorbeeld van een transformatie van een vlak.
W28 W35 2.3
kunnen een draaiing zien als transformatie
Via een kermismolen of de wijzers van een uurwerk kunnen de leerlingen intuïtief begrijpen wat een georiënteerde hoek is (+ of tegenwijzerzin, - of wijzerzin).
Uit deze concrete voorbeelden kunnen de leerlingen begrijpen hoe het
beeld van een punt in een vlak door een draaiing bepaald wordt.
De leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een draaiing niet
volledig bepaald is als één koppel van de draaiing gekend is.
De leerlingen moeten een draaiing kunnen herkennen.
De leerlingen moeten op voorbeelden uit hun leefwereld het centrum en
de draaiingshoek (grootte en zin) van een draaiing kunnen bepalen.
De leerlingen kunnen op concrete voorbeelden ontdekken dat een puntspiegeling ook een draaiing is.
Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren door
een draaiing en op concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken
de leerlingen dat elke draaiing de lengte van lijnstukken, de grootte van
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
3
39
Pedagogisch-didactische wenken
hoeken en de evenwijdigheid van rechten behoudt.
Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld
congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben.
De draaiing is een voorbeeld van een transformatie van een vlak.
Congruentie
De leerlingen:
W27
3.1
kunnen nagaan of figuren congruent zijn
In het eerste jaar hebben de leerlingen congruente figuren beschreven
als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken.
Via construeren en manipuleren van vlakke figuren kunnen de leerlingen ontdekken dat, door het na elkaar uitvoeren van transformaties die
de lengte van lijnstukken behouden, figuren ontstaan die congruent zijn
met de gegeven figuur.
Om te onderzoeken of twee figuren congruent zijn, kan één van de figuren worden overgetekend en uitgeknipt. Manipuleren (verschuiven,
draaien, spiegelen) helpt de leerlingen een gepaste (samenstelling van)
transformatie(s) te vinden die de ene figuur op de andere afbeeldt.
Wij noteren “is congruent met” als “H“.
W27
3.2
kennen de congruentiegevallen bij driehoeken
“Hoe kunnen we met een minimum aantal gegevens toch besluiten dat
twee driehoeken congruent zijn?”
De leerkracht kan als opdracht verschillende paren driehoeken laten
tekenen en uitknippen om de drie congruentiekenmerken van driehoeken te laten ontdekken.
De leerlingen onthouden dat:
◊ om te kunnen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, het
voldoende is dat drie goed gekozen elementen van de ene driehoek
even groot zijn als de gelijkstandige elementen van de andere
driehoek;
◊ het opsporen van congruente driehoeken een middel is om aan te
tonen dat lijnstukken even lang en hoeken even groot zijn
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
ET
Inhoudelijke leerplandoelstellingen
4
40
Pedagogisch-didactische wenken
Gelijkvormige figuren
De leerlingen:
W27
4.1
kunnen nagaan of figuren gelijkvormige zijn
Mogelijke uitgangspunten zijn: retroprojector, diaprojector, camera obscura, tekening op schaal, vergroting, een landkaart ...
De leerlingen stellen aan de hand van concrete voorbeelden vast dat:
◊ evenwijdige stand van rechten behouden blijft;
◊ grootte van de hoeken behouden blijft;
◊ de lengten van de gelijkstandige lijnstukken een vaste verhouding
hebben: de gelijkvormigheidsfactor.
◊ er een verband bestaat tussen de gelijkvormigheidsfactor en de
verhouding van de oppervlakte van de gelijkvormige figuren.
Wij noteren “is gelijkvormig met” als “I“.
Gelijkvormige figuren kunnen ook benaderd worden vanuit de coördinatenmeetkunde (facultatief). In een geijkt vlak met oorsprong O kan het
beeld van een punt gevonden worden door de coördinaat van elk punt
P van dat geijkte vlak met r (r ∈ -) te vermenigvuldigen. De leerlingen
kunnen op deze voorbeelden vaststellen oorsprong, punt en beeld op
één rechte liggen (collineair). Door een gepaste keuze van de ijk op de
rechte OP wordt het verband ontdekt tussen de abscis van P’ en de
gelijkvormigheidsfactor.
W33
4.2
kunnen het begrip schaal gebruiken om afstanden in meetkundige figuren te berekenen
In de lessen biologie, fysica en aardrijkskunde kunnen we talrijke voorbeelden vinden om:
◊ uit een vergroting of een verkleining de werkelijke grootte te bepalen
als de schaal gegeven is;
◊ uit een vergroting of een verkleining en de werkelijke grootte, de
schaal van de tekening te bepalen.
Bij een vergroting is het voor de leerlingen verrassend dat bij de notatie
van de schaal de teller groter is dan de noemer!
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
41
PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN
Rekening houdend met de spiraalopbouw steunt het wiskundeonderwijs, meer nog in het eerste dan
in het tweede leerjaar van het secundair onderwijs, op de aangeleerde kennis uit het basisonderwijs.
In belangrijke mate is het ook een verlengstuk ervan. Wat in het basisonderwijs is verworven, wordt
verder uitgediept en aangevuld met nieuwe inhouden.
Hoewel wiskunde voor de eerste graad van het secundair onderwijs kan onderverdeeld worden in
getallenleer, algebra en meetkunde bevat dit leervak inhoudelijk toch drie grote componenten: het
numeriek en algebraïsch karakter van de getallenleer, het meetkundig inzicht en tenslotte de onderlinge samenhang tussen de getallenverzamelingen en tussen getallenleer en meetkunde.
Nochtans zal elk onderdeel aandacht schenken aan het verwerven van feitenkennis en begripsvorming, aan de procedures die op feiten en begrippen worden toegepast en aan de samenhang tussen
de begrippen. Zo is het, bijvoorbeeld bij het kennen van de tekenregel, noodzakelijk dat men hoofdbewerkingen kan uitvoeren, anders heeft deze feitenkennis geen doel.
Maar even noodzakelijk is het te weten welk verband er bestaat tussen bewerkingen als optellen en
aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit weten kweekt inzicht bij het uitvoeren van deze hoofdbewerkingen.
Zoals bij de leerinhouden uitdrukkelijk wordt herhaald, zullen een aantal begrippen uit de verzamelingenleer en de logica als instrument gebruikt worden ten behoeve van het verhelderend effect. Een
systematische studie van de verzamelingenleer en de logica is verboden: deze begrippen zijn
slechts een middel, geen doel.
In het eerste leerjaar worden binnen de getallenleer de uit het basisonderwijs gekende natuurlijke
getallen en breuken ook voorzien van een minteken, waardoor men tot de verzamelingen van de
gehele en rationale getallen komt. In elk van deze getallenverzamelingen worden, naast aandacht
voor enkele basisbegrippen, de vier hoofdbewerkingen en de machten bestudeerd. Hierbij wordt
telkens aandacht besteed aan de volgorde van bewerkingen. Het is wel de bedoeling dat natuurlijke
en gehele getallen samen worden behandeld.
De overstap op letters laat toe enerzijds bewerkingen en eigenschappen meer algemeen te schrijven
en anderzijds te komen tot algebraïsch rekenen en oplossen van vergelijkingen.
Teneinde de leerlingen te leren omgaan met cijfermateriaal wordt in het tweede leerjaar ook bijzondere aandacht besteed aan initiatie in beschrijvende statistiek. In het tweede leerjaar komen ook
verhoudingen en evenredigheden sterk aan bod naast aandacht voor machten en vierkantswortels
met rationale grondtallen.
In de verzamelingen natuurlijke, gehele en rationale getallen worden de eigenschappen van de
hoofdbewerkingen meer algemeen benaderd.
Uiteraard wordt de aandacht voor vergelijkingen gaande gehouden en wordt de confrontatie van de
leerlingen met lettervormen nu uitgebreid tot veeltermen. Ook nemen de merkwaardige producten
hier een bijzondere plaats in.
Meetkundige begrippen worden zo veel mogelijk benaderd vanuit concrete situaties. De overstap
van de ruimte naar het vlak maakt ook de band duidelijk tussen lichamen in de ruimte en vlakke
figuren.
Via de studie van symmetrie worden in het eerste leerjaar begrippen gesticht, die een verder onderzoek van eigenschappen van merkwaardige lijnen in driehoeken en vierhoeken vergemakkelijken.
In het basisonderwijs werd een aanzet gegeven tot het berekenen van omtrek en oppervlakte. Het
berekenen wordt nu uitgebreid tot driehoeken, vierhoeken en schijven.
In het tweede leerjaar wordt meer expliciet aandacht besteed aan de lichamen in de ruimte, aan de
transformaties van een vlak, aan congruentie en gelijkvormigheid.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
42
Vakoverschrijdende eindtermen
Wat?
Vakoverschrijdende eindtermen (VOET) zijn minimumdoelstellingen, die - in tegenstelling tot de vakgebonden eindtermen - niet gekoppeld zijn aan een specifiek vak, maar door meer vakken of onderwijsprojecten worden nagestreefd.
De VOET worden volgens een aantal vakoverschrijdende thema's geordend: leren leren, sociale
vaardigheden, opvoeden tot burgerzin, gezondheidseducatie, milieueducatie.
De school heeft de maatschappelijke opdracht om de VOET volgens een eigen visie en stappenplan
bij de leerlingen na te streven (inspanningsverplichting).
Waarom?
Het nastreven van VOET vertrekt vanuit een bredere opvatting van leren op school en beoogt een
accentverschuiving van een eerder vakgerichte ordening naar meer totaliteitsonderwijs. Door het aanbieden van realistische, levensnabije en concreet toepasbare aanknopingspunten, worden leerlingen
sterker gemotiveerd en wordt een betere basis voor permanent leren gelegd.
VOET vervullen een belangrijke rol bij het bereiken van een voldoende brede en harmonische vorming
en behandelen waardevolle leerinhouden, die niet of onvoldoende in de vakken aan bod komen. Een
belangrijk aspect is het realiseren van meer samenhang en evenwicht in het onderwijsaanbod. In dit
opzicht stimuleren VOET scholen om als een organisatie samen te werken.
De VOET verstevigen de band tussen onderwijs en samenleving, omdat ze tegemoetkomen aan belangrijk geachte maatschappelijke verwachtingen en een antwoord proberen te formuleren op actuele
maatschappelijke vragen.
Hoe te realiseren?
Het nastreven van VOET is een opdracht voor de hele school, maar individuele leraren kunnen op
verschillende wijzen een bijdrage leveren om de VOET te realiseren. Enerzijds door binnen hun eigen
vakken verbanden te leggen tussen de vakgebonden doelstellingen en de VOET, anderzijds door
thematisch onderwijs (teamgericht benaderen van vakoverschrijdende thema's), door projectmatig
werken (klas- of schoolprojecten, intra en extra muros), door bijdragen van externen (voordrachten,
uitstappen).
Het is een opdracht van de school om via een planmatige en gediversifieerde aanpak de VOET na te
streven. Ondersteuning kan gevonden worden in pedagogische studiedagen en nascholingsinititiatieven, in de vakgroepwerking, via voorbeelden van goede school- en klaspraktijk en binnen het aanbod
van organisaties en educatieve instellingen
Vakoverschrijdende eindtermen in het wiskundeonderwijs
Voorbeschouwingen
Het is al te simplistisch een of andere vakoverschrijdende eindterm te willen vastpinnen op een of
meerdere vakinhoudelijke doelstellingen. Het is de totaliteit van de vakinhoudelijke doelstellingen die tot
een bepaalde vakoverschrijdende eindterm bijdraagt.
Het is eveneens al te simplistisch een bepaalde vakoverschrijdende eindterm kost wat kost via één of
meerdere vakinhoudelijke doelstellingen gestalte te willen geven. Het zou niet enkel volslagen kunstmatig
overkomen, maar tevens een nulrendement opleveren.
Vanuit dit standpunt benaderd zijn de vakoverschrijdende eindtermen geen doelstellingen van neven- of
ondergeschikt belang, maar zijn ze veeleer "lichtbakens" die de vakinhoudelijke doelstellingen helpen
oriënteren.
In het verlengde daarvan is het dan wel zo dat iedere afzonderlijke vakinhoudelijke doelstelling een
dubbele functie heeft. Enerzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de
wiskunde, anderzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de betrokken
vakoverschrijdende eindterm.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
43
Dergelijke tweesporige benadering, “wiskunde om de wiskunde” langs de ene kant, “wiskunde als
vakoverschrijdende hefboom” langs de andere kant, verleent hoe dan ook een meerwaarde aan de
interpretatie, aan de draagwijdte, kortom aan de verwerking van het leerplan.
Bij de aanvang van het schooljaar maakt de leraar een oordeelkundige keuze van de leerinhouden
waarmee hij de vakgebonden en vakoverschrijdende doelstellingen wil realiseren (bij voorkeur na
overleg met de vakgroep) en stelt een jaar(vorderings)plan op waarin hij de leerstof op een evenwichtige wijze verdeelt over het beschikbare aantal lestijden.
A
LEREN LEREN
1
Opvattingen over leren
Elk leerplan hoort, al was het maar vanuit het oogpunt van zijn coherentie, de aaneenschakeling te
zijn van het stockeren, het ordenen, het (her)structureren en het extrapoleren van een, voor een goed
vervolg, onontbeerlijke parate kennis.
De diverse leerplannen wiskunde spelen hier stellig op in, niet enkel extern bekeken over de leerjaren
heen (verticale dimensie), maar ook intern gefocust op één leerjaar (horizontale dimensie).
Die evolutie, niet enkel in aanpak maar ook in moeilijkheidsgraad, die achtereenvolgens geheugen,
inzicht, abstractievermogen en oplossingsvaardigheid stimuleert, gaat uiteraard gepaard met een parallelle evolutie in leeropvattingen en leermotieven, kortom in leerstijl, bij de leerlingen.
2
Informatie verwerven en verwerken
Informatie op een efficiënte manier verwerven impliceert vooreerst een inzichtelijke kennis van alle
beschikbare informatiebronnen, niet te vergeten, en allicht in eerste instantie van het eigen geheugen.
Informatiebronnen op een kritische manier kiezen heeft veeleer uitstaans met het positioneren van het
betrokken probleem binnen de juiste context van de leerstof.
Informatie op een efficiënte manier verwerken stoelt in hoofdzaak op de vaardigheid om vlot, en dit
naargelang van het betrokken probleem, van formele naar informele taal of andersom te kunnen
overstappen. Het steunt kortom op de taal-, respectievelijk mathematiseringvaardigheid van de leerling.
Informatie kritisch verwerken doet dan meer beroep op het analytisch, respectievelijk het synthetisch
vermogen.
Hoe dan ook is het efficiënt en kritisch verwerven en verwerken van informatie geslaagd in de mate dat ze
bijdragen tot het probleemoplossend denken bij de leerling en tot een verantwoorde evaluatie van de
gevonden oplossingen.
Van alle hoger geciteerde aspecten rond verwerken en verwerven van informatie zijn de leerplannen
wiskunde doordrongen.
3
Regulering van het leerproces
(Zelf)regulering is een groeiproces dat, zoals elke attitude, vele watertjes moet doorzwemmen alvorens
bereikt te worden.
Een realistische werk- en tijdsplanning vergt, naast grondig inzicht in de taak waarvoor men geplaatst
staat, vooral een wikken en wegen van eigen sterkte- en zwaktepunten.
Het leerproces beoordelen op doelgerichtheid vergt een open oog voor het onderscheid tussen essentie
en details, het weten van het bestaan van diverse oplossingsmethodes en het maken van de meest
efficiënte keuze hieruit.
Het trekken van toekomstgerichte constructieve conclusies uit leerervaringen is uiteraard pas mogelijk en
zinvol na het lukken, maar eerder nog na het mislukken van vergelijkbare opdrachten.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
44
Tenslotte is het indijken van het gevoel, dat mislukken veelal aan subjectieve oorzaken is toe te schrijven,
enkel te bereiken via een in toenemende moeilijkheidsgraad goed gedoseerde oefeningencyclus die de
leerling herhaaldelijk succeservaringen heeft opgeleverd.
Uit al wat voorafgaat moet blijken dat de rode draad op de weg naar (zelf)regulering in eerste instantie
neerkomt op het aanbod van uitvoerig oefenmateriaal, bij voorkeur homogeen gespreid zowel in tijd als in
moeilijkheidsgraad.
Het ligt in de aard van het vak zelf dat wiskundeleerplannen daar alle ruimte en gelegenheid toe bieden.
4
Keuzebekwaamheid
De wiskunde in het leerplan van de tweede graad wordt opgedeeld in ondermeer: getallenleer, algebra, meetkunde en goniometrie. Dwars door die tussenschotten heen worden accenten afwisselend
gelegd op:
• de reken- en tekenvaardigheid,
• het inzicht- en abstraheringvermogen,
• de taal- en de mathematiseringvaardigheid,
• het analytische en het synthetische vermogen,
• de theoretische en de praktische aspecten.
Dit alles laat de leerling op ieder moment toe zich t.o.v. elk van die fragmentaire deelaspecten te positioneren, eigen interesses en capaciteiten te taxeren, kortom een zelfbeeld te vormen op basis van
betrouwbare gegevens.
Levert bovenstaande een antwoord op de vraag naar zelfconceptverheldering, dan dient diezelfde
opsomming van fragmentaire deelaspecten als leidraad voor horizonverruiming, in die zin dat een al dan
niet positieve invulling ervan de leerling het besef bijbrengt van zijn studie- en beroepsmogelijkheden.
Uiteindelijk brengt die onbevooroordeelde houding ten aanzien van studieloopbanen en beroepen de
leerling bij dat een keuzestrategie neerkomt op het opmaken van een balans waarbij diverse
deelaspecten tegen elkaar worden afgewogen.
B
SOCIALE VAARDIGHEDEN
1
Interactief competenter worden
Wiskunde is één van die vakken die het op elk moment mogelijk maakt om de leerling interactief bij het
leerproces te betrekken.
Dit gebeurt dan via opdrachten die, qua moeilijkheidsgraad, variëren van "routinevragen" die omzeggens
louter het geheugen aftasten, over "verstandsvragen" die naar inzicht en abstraheringvermogen peilen, tot
"uitdagingen" die het analytisch en synthetisch vermogen op de proef stellen.
Die evolutie in de opdrachten, niet enkel bekeken per les (microniveau), maar ook per leerjaar
(mesoniveau) en per graad tot zelfs de volledige secundaire cyclus toe (macroniveau), leidt tot een
interactiviteit die meteen het ideale forum is dat de leerling moet toelaten, naargelang van
succeservaringen of mislukkingen:
• waardering uit te drukken voor anderen,
• zich dienstvaardig op te stellen,
• verantwoordelijkheid te nemen,
• kritiek te uiten,
•
discreet en terughoudend te zijn,
•
zijn ongelijk toe te geven.
Het biedt de leerling ook de kans om te taxeren in welke van hoger vermelde en aanverwante relatievormen hij meer of minder sterk scoort. Dit is meteen ook een aanzet tot zelfwaardegevoel en bewustwording van de gewenste, eventueel ongewenste effecten in een interactie.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
2
45
Communicatieve vlotheid verwerven
Enkel datgene wat men degelijk beheerst, laat zich klaar en duidelijk uitleggen. Dit is alleszins een motto
waartoe de wiskunde meer dan haar steentje bijdraagt.
Wordt tijdens de fase van het stockeren van parate kennis nog vrede genomen met een tekstueel
nazeggen van definities en eigenschappen, dan wordt tijdens de opeenvolgende fasen van het ordenen
en het (her)structureren van diezelfde parate kennis van de leerling verwacht dat hij zich met eigen
woorden en even correct van alle verworven terminologie kan bedienen, om uiteindelijk, tijdens de fase
van het extrapoleren, de gekozen oplossingsmethodes en de daaraan voorafgaande redeneringen
voldoende vlot te kunnen verwoorden.
Succes bij dit cascadesysteem wordt in de hand gewerkt door een actief luisteren bij de start, het
beslissen over mogelijke eigen inbreng bij het vervolg en het zich helder kunnen uitdrukken naar het
einde toe.
Aan de basis ligt echter het erkennen van het belang van een goede communicatie, niet in het minst de
bereidheid om de inbreng van de gesprekspartner (niet enkel die van de leerkracht) ernstig te nemen.
3
Zorg dragen voor relaties
Naarmate de wiskunde voortschrijdt, wordt het voor de leerling meer en meer duidelijk dat wiskunde zich
sterker en sterker manifesteert als een hecht en coherent geheel dat o.m. gestoeld is op:
•
•
•
•
afspraken (bijv. axioma's, definities);
regels (bijv. eigenschappen, stellingen);
machtsverhoudingen (bijv. volgorde der bewerkingen);
gelijkwaardigheid (bijv. bij vergelijkingen).
Mutatis mutandis kan de leerling worden duidelijk gemaakt dat diezelfde aspecten stuk voor stuk in
overweging dienen genomen bij het afwegen van een menselijke relatie. We denken hierbij meer in
het bijzonder aan samenlevingspatronen zoals de school (macroniveau) en de klas (mesoniveau).
Het leren accepteren van verschillen binnen die relatie, het zich leren weerbaar opstellen tegenover
mogelijke conflicten, het bewaken van een persoonlijke autonomie en het hechten van belang aan
wederzijds respect zijn dan enkele van de vele persoonlijkheidskenmerken die binnen dergelijke
levenswereld volop kunnen openbloeien.
4
In groep probleemoplossend samenwerken
In het verlengde van het “zorg dragen voor relaties” kunnen, ditmaal op microniveau, groepsopdrachten,
gecentreerd rond ietwat complexere wiskundeopgaven, die "link" met bovenvermelde relatieaspecten nog
verder verstevigen. Alvast in overleg gemaakte afspraken en gelijkwaardige taakverdelingen zijn hier
volop aan de orde.
De bereidheid om samen te argumenteren, het voortbouwen op andermans inbreng, het gezamenlijk
zoeken naar een oplossing, het meewerken aan het proces van besluitvorming, het evalueren van niet
enkel de bekomen oplossing maar ook van de samenwerking zelf, zijn evenveel attitudes inherent aan
dergelijke opdrachten verbonden.
C
OVERIGE VAKOVERSCHRIJDENDE RUBRIEKEN
Het uitgebreid focussen op de vakoverschrijdende eindtermen rond LEREN LEREN enerzijds, SOCIALE
VAARDIGHEDEN anderzijds, wil geenszins zeggen dat wiskunde zich van de overige vakoverschrijdende
rubrieken compleet distantieert.
Het betekent wel dat haar aanpak op die andere terreinen eerder onrechtstreeks gebeurt en alleszins
veeleer op occasionele leest is geschoeid.
Zo kan niet worden ontkend dat de zorg besteed aan het in groep probleemoplossend samenwerken
nauwelijks anders kan dan positief inwerken op het inoefenen van inspraak en participatie, het
onderscheiden van meerderheids- en minderheidsstandpunten, het erkennen van rechten en plichten, het
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
46
respecteren van de argumenten van anderen, kortom het opwaarderen van een serie aspecten uit
OPVOEDEN TOT BURGERZIN.
Het gewicht van wiskunde binnen het curriculum - niet enkel het aantal wekelijkse lesuren, maar vooral
het decisieve karakter bij de keuze van verdere studierichtingen spelen hier een hoofdrol - brengt met zich
mee dat de leerkracht wiskunde, zij het dan wel latent en ten dele onbewust, voortdurend de leerling leert
omgaan met taakbelasting en examenstress, alleszins één van de belangrijkste aspecten uit het
uitgebreide gamma van de GEZONDHEIDSEDUCATIE.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
47
ICT
1
Wat?
Onder ICT verstaan we het geheel van computers, netwerken, internetverbindingen, software, simulatoren, etc. Telefoon, video, televisie en overhead worden in deze context niet expliciet meegenomen.
2
Waarom?
De recente toevloed van informatie maakt levenslang leren een noodzaak voor iedereen die bij wil
blijven. Maatschappelijke en onderwijskundige ontwikkelingen wijzen op het belang van het verwerven
van ICT. Enerzijds speelt het in op de vertrouwdheid met de beeldcultuur en de leefwereld van jongeren. Anderzijds moeten jongeren niet alleen in staat zijn om nieuwe media efficiënt te gebruiken, maar
is ICT ook een hulpmiddel bij uitstek om de nieuwe onderwijsdoelen te realiseren. Het nastreven van
die competentie veronderstelt onderwijsvernieuwing en aangepaste onderwijsleersituaties. Er wordt
immers meer en meer belang gehecht aan probleemoplossend denken, het zelfstandig of in groep
leren werken, het kunnen omgaan met enorme hoeveelheden aan informatie ...
In bepaalde gevallen maakt ICT deel uit van de vakinhoud en is ze gericht op actieve beheersing van
bijvoorbeeld een softwarepakket binnen de lessen informatica. In de meeste andere vakken of bij het
nastreven van vakoverschrijdende eindtermen vervult ICT een ondersteunende rol. Door de integratie
van ICT kunnen leerlingen immers:
−
−
−
3
het leerproces zelf in eigen handen nemen;
zelfstandig en actief leren omgaan met les- en informatiemateriaal;
op eigen tempo werken en een eigen parcours kiezen (differentiatie en individualisatie).
Hoe te realiseren?
In de eerste graad van het SO kunnen leerlingen adequaat of onder begeleiding elektronische informatiebronnen raadplegen. In de tweede en nog meer in de derde graad kunnen de leerlingen “spontaan” gegevens opzoeken, ordenen, selecteren en raadplegen uit diverse informatiebronnen en –
kanalen met het oog op de te bereiken doelen.
Er bestaan verschillende mogelijkheden om ICT te integreren in het leerproces.
Bepaalde programma’s kunnen het inzicht verhogen d.m.v. visualisatie, grafische voorstellingen, simulatie, het opbouwen van schema’s, stilstaande en bewegende beelden, demo ...
Sommige cd-roms bieden allerlei informatie interactief aan, echter niet op een lineaire manier. De
leerling komt via bepaalde zoekopdrachten en verwerkingstaken zo tot zijn eigen “gestructureerde
leerstof”.
Databanken en het internet kunnen gebruikt worden om informatie op te zoeken. Wegens het grote
aanbod aan informatie is het belangrijk dat de leerlingen op een efficiënte en een kritische wijze leren
omgaan met deze informatie. Extra begeleiding in de vorm van studiewijzers of instructiekaarten is
een must. Om tot een kwaliteitsvol eindresultaat te komen, kunnen leerlingen de auteur (persoon,
organisatie ...), de context, andere bronnen die de inhoud bevestigen en de onderzoeksmethode toevoegen. Dit zal het voor de leraar gemakkelijker maken om het resultaat en het leerproces te beoordelen.
De resultaten van individuele of groepsopdrachten kunnen gekoppeld worden aan een mondelinge
presentatie. Een presentatieprogramma kan hier ondersteunend werken.
Men kan resultaten en/of informatie uitwisselen via e-mail, e-forum, chatten, nieuwsgroepen, discussiefora ... ICT maakt immers allerlei nieuwe vormen van directe en indirecte communicatie mogelijk.
Dit is zeker een meerwaarde omdat ICT zo de mogelijkheid biedt om niet alleen interscolaire projecten
op te zetten, maar ook om de communicatie tussen leraar en leerling (uitwisselen van cursusmateriaal, planningsdocumenten, toets- en examenvragen ...) en leraren onderling (uitwisseling lesmateriaal) te bevorderen.
Sommige programma’s laten toe op graduele niveaus te werken. Ze geven de leerling de nodige feedback en remediëring gedurende het leerproces (= zelfreflectie en -evaluatie).
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
48
Begeleid zelfgestuurd leren
1
Wat?
Met begeleid zelfgestuurd leren bedoelen we het geleidelijk opbouwen van een competentie naar het
einde van het secundair onderwijs, waarbij leerlingen meer en meer het leerproces zelf in handen
gaan nemen. Zij zullen meer en meer zelfstandig beslissingen leren nemen in verband met leerdoelen, leeractiviteiten en zelfbeoordeling.
Dit houdt onder meer in dat:
−
de opdrachten meer open worden;
−
er meerdere antwoorden of oplossingen mogelijk zijn;
−
de leerlingen zelf keuzes leren maken en die verantwoorden;
−
de leerlingen zelf leren plannen;
−
er feedback is op proces en product;
−
er gereflecteerd wordt op leerproces en leerproduct.
De leraar is ook coach, begeleider.
De impact van de leerlingen op de inhoud, de volgorde, de tijd en de aanpak wordt groter.
2
Waarom?
Begeleid zelfgestuurd leren sluit aan bij enkele pijlers van ons PPGO, o.m.
−
leerlingen zelfstandig leren denken over hun handelen en hierbij verantwoorde keuzes leren
maken;
−
leerlingen voorbereiden op levenslang leren;
−
het aanleren van onderzoeksmethodes en van technieken om de verworven kennis adequaat
te kunnen toepassen.
Vanaf het kleuteronderwijs worden werkvormen gebruikt die de zelfstandigheid van kinderen stimuleren, zoals het gedifferentieerd werken in groepen en het contractwerk.
Ook in het voortgezet onderwijs wordt meer en meer de nadruk gelegd op de zelfsturing van het leerproces in welke vorm dan ook.
Binnen de vakoverschrijdende eindtermen, meer bepaald “Leren leren”, vinden we aanknopingspunten als:
−
−
−
keuzebekwaamheid;
regulering van het leerproces;
attitudes, leerhoudingen, opvattingen over leren.
In onze (informatie)maatschappij wint het opzoeken en beheren van kennis voortdurend aan belang.
3
Hoe te realiseren?
Het is belangrijk dat bij het werken aan de competentie de verschillende actoren hun rol opnemen:
−
−
−
de leraar als coach, begeleider;
de leerling gemotiveerd en aangesproken op zijn “leer”kracht;
de school als stimulator van uitdagende en creatieve onderwijsleersituaties.
De eerste stappen in begeleid zelfgestuurd leren zullen afhangen van de doelgroep en van het moment in de leerlijn “Leren leren”, maar eerder dan begeleid zelfgestuurd leren op schoolniveau op te
starten is “klein beginnen” aan te raden. Vanaf het ogenblik dat de leraar zijn leerlingen op min of
meer zelfstandige manier laat
−
−
−
doelen voorop stellen;
strategieën kiezen en ontwikkelen;
oplossingen voorstellen en uitwerken;
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
−
−
−
−
−
stappenplannen of tijdsplannen uitzetten;
resultaten bespreken en beoordelen;
reflecteren over contexten, over proces en product, over houdingen en handelingen;
verantwoorde conclusies trekken;
keuzes maken en die verantwoorden
is hij al met een of ander aspect van zelfgestuurd leren bezig.
49
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
50
Verdeling van de beschikbare lestijden
Eerste leerjaar
In het eerste leerjaar A wordt wiskunde onderwezen à rato van 5 lestijden per week. Het is aangewezen deze 5 wekelijkse lestijden op te splitsen in 3 lestijden voor getallenleer en 2 lestijden voor meetkunde.
De voorgestelde timing voor behandeling van de leerstof is enkel indicatief en houdt zeker geen verplichting in.
Getallen
Meetkunde
richtlijn voor het
aantal lestijden
1
De natuurlijke getallen
richtlijn voor het
aantal lestijden
1
De ruimte - een vlak
6
2
Lichamen in de ruimte -vlakke figuren
24
3
Symmetrie
6
1.3 Machten
4
4
Eigenschappen van driehoeken
5
1.4 Volgorde van de bewerkingen
3
5
Merkwaardige lijnen in een driehoek
4
6
Eigenschappen i.v.m. zijden en hoeken
van een vierhoek
7
7
Merkwaardige lijnen in een vierhoek
4
8
Omtrek en oppervlakte van een driehoek en een vierhoek
Lengte en oppervlakte van een cirkel
6
1.1 Basisbegrippen
1.2 De vier hoofdbewerkingen
2
De rationale getallen
2.1 Basisbegrippen
2.2 De vier hoofdbewerkingen
9
2
2.4 Volgorde van de bewerkingen
2
3
9
Totaal
13
15
2.3 Machten
Vergelijkingen
5
75
Totaal
Bij deze planning is uitgegaan van 25 lesweken. De vrije tijdruimte wordt door de leerkracht zelf ingevuld. De leerkracht gebruikt deze tijdruimte nuttig om aandacht te besteden aan eigen accenten.
50
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
51
Tweede leerjaar
In het tweede leerjaar van de eerste graad is, zoals in het eerste leerjaar A, de aanbevolen timing
enkel indicatief en houdt geen verplichting in.
In het tweede leerjaar van de eerste graad beschikt de leerkracht wiskunde over 4 lestijden per week.
Het is aan te bevelen deze 4 wekelijkse lestijden te verdelen over 2 lestijden getallenleer en 2 lestijden
meetkunde.
De leerstof als volgt worden gespreid:
Getallen
Meetkunde
richtlijn voor het
aantal lestijden
richtlijn voor het
aantal lestijden
1
Verhoudingen en evenredigheden
8
1
Lichamen in de ruimte
10
2
Initiatie in de beschrijvende statistiek
8
2
Transformaties van het vlak
20
3
Machtsverheffingen
kantswortels
vier-
7
3
Congruentie
10
4
Onderzoek naar de eigenschappen van de bewerkingen
6
4
Gelijkvormigheid
10
5
Vergelijkingen
9
6
Veeltermen in één onbekende
met numerieke coëfficiënten
Totaal
en
12
50
Totaal
Zoals in het eerste leerjaar A worden in de planning niet alle lestijden gebruikt. De vrije tijdruimte
wordt ook hier door de leerkracht zelf ingevuld. De leerkracht gebruikt deze tijdruimte nuttig om aandacht te besteden aan eigen accenten.
50
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
52
MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN
Het is aangewezen dat de leerkracht en de leerlingen kunnen beschikken over een minimaal instrumentarium om de opdrachten van dit leerplan te realiseren. Liniaal, geodriehoek, passer (of een vervanghulpmiddel) en rekentoestel behoren tot de minimale materiële vereisten om het bereiken van de
leerplandoelstellingen te ondersteunen. Bij voorkeur beschikken ze over hetzelfde rekentoestel.
Integratie van ICT
Het is wenselijk dat het vakgebied wiskunde over minstens één lokaal (eventueel in samenspraak met
andere vakgebieden) kan beschikken dat voor ICT is uitgerust en dat door de leerkrachten en de leerlingen voor de lessen wiskunde kan worden gebruikt.
De school zorgt er alleszins voor dat elke wiskundeleraar gebruik kan maken van minstens één computer met degelijk projectiesysteem of van een rekentoestel dat op een didactische manier kan worden ingeschakeld in de les. Aangezien dit leerplan voorziet dat de leerkracht op een didactische manier ICT integreert in de les moet de aanwezige apparatuur van die aard zijn dat dit op een flexibele
manier kan gebeuren.
Selectie van materiële uitrusting
De vakgroep wiskunde zal zich onder andere regelmatig beraden over:
•
de keuze en het gebruik van handboeken;
•
het type rekentoestel waarover de leerlingen moeten beschikken;
•
de keuze voor de software;
•
de invoering van ICT in de wiskundeles;
•
de abonnementen op vaktijdschriften wiskunde;
•
de eenvormigheid in informatie.
Veiligheidsvoorschriften
Inzake veiligheid is de volgende wetgeving van toepassing:
•
Codex ;
•
ARAB ;
•
AREI ;
•
Vlarem.
Deze wetgeving bevat de technische voorschriften die in acht moeten genomen worden m.b.t.:
•
de uitrusting en inrichting van de lokalen;
•
de aankoop en het gebruik van toestellen, materiaal en materieel.
Zij schrijven voor dat:
•
duidelijke Nederlandstalige handleidingen en een technisch dossier aanwezig moeten zijn;
•
alle gebruikers de werkinstructies en onderhoudsvoorschriften dienen te kennen en correct kunnen toepassen;
•
de collectieve veiligheidsvoorschriften nooit mogen worden gemanipuleerd;
•
de persoonlijke beschermingsmiddelen aanwezig moeten zijn en gedragen worden, daar waar de
wetgeving het vereist.
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
53
EVALUATIE
1
Doelstelling
Evaluatie wordt beschouwd als de waardering van het werk waarmee leraar en leerlingen samen bezig zijn. Het is de bedoeling dat niet alleen de leerling er wat uit leert (bereik ik de vooropgestelde
doelstellingen?), maar ook de leraar (is mijn didactisch handelen efficiënt?). Daarenboven is het een
uiting van wederzijdse betrokkenheid waarbij kwaliteitszorg wordt nagestreefd.
Bij elke evaluatie wil men dan ook informatie verzamelen waarop men kan steunen om besluiten te
trekken. Deze kunnen tot doel hebben de efficiëntie van het leerproces te vergroten, de doelmatigheid
van de studiemethode te verhogen of tot sanctionering te komen.
De leraar leidt eruit af in welke mate hij met de gevolgde methode de vooropgezette doelstellingen
heeft bereikt. De ontleding van de behaalde resultaten geeft de nodige aanwijzingen voor eventuele
bijsturing van de didactische aanpak.
De leerling en zijn ouders vinden in de evaluatie (score, commentaar, remediëring) bruikbare informatie over de doelmatigheid van de gevolgde studiemethode.
Omdat evaluatie naar de leerlingen toe enige eenvormigheid moet vertonen over de vakken en de
leerjaren heen, is het logisch dat de school via de vakgroepwerking hierover haar visie ontwikkelt. De
betrokken leerkrachten concretiseren deze visie voor hun vak.
2
Evalueren
Behalve kennis (definities, eigenschappen …) en vaardigheden (rekenvaardigheid, wiskundige taalvaardigheid, tekenvaardigheid, redeneervaardigheid, abstraheervermogen ...) moeten ook attitudes
(kritische geest, doorzettingsvermogen ...) geëvalueerd worden.
De te bereiken doelstellingen i.v.m. kennis en vaardigheden vinden we in dit leerplan.
De na te streven attitudinale doelstellingen, specifiek voor wiskunde, vinden we ook in dit leerplan.
Naast de vakspecifieke doelstellingen vinden we ook na te streven vaardigheden en attitudes in de
vakoverschrijdende eindtermen. Ook de school kan bijkomende doelen vastleggen.
Het is af te raden om de vakevaluatie te vermengen met de evaluatie van de door de school bepaalde
doelstellingen.
2.1
Evaluatievormen
De leerkracht beschikt voor het evalueren van kennis over de volgende middelen:
•
•
•
•
•
mondelinge overhoringen;
korte beurten, schriftelijke lesoverhoring;
herhalingsbeurten (deeltoetsen);
(huis)taken;
examens.
Vaardigheden kunnen geëvalueerd worden aan de hand van observatie.
Attitudes worden geobserveerd aan de hand van gedragingen.
Het is noodzakelijk dat de vakgroep zich uitspreekt over de vorm en de regelmaat van de evaluatievormen, conform het evaluatiebeleid van de school. Het is wenselijk dat het evaluatiebeleid aandacht
heeft voor leerstoornissen (dyslexie, dyscalculie ...).
Examens beogen de evaluatie van de nagestreefde leerstofdoelstellingen tijdens een trimester/semester. Uiteraard zullen de examenvragen een verantwoord evenwicht vertonen tussen reproduceervragen (theorie en herkenbare oefeningen) en differentieervragen (redeneer- en inzichtvragen).
Bij het vastleggen van dit evenwicht is men zeker de slaagkansen van de middelmatig begaafde, hard
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
54
werkende leerling indachtig.
Men kan eventueel aanvaarden dat voor het examen die leerstofonderdelen worden weggelaten die
voor het volgend leerjaar niet rechtstreeks nodig zijn of die in het volgend leerjaar grondiger behandeld worden, maar dan dienen deze onderdelen expliciet aan bod te komen in een herhalingsbeurt.
De ervaring leert dat het zinvol is - om latere discussies en betwistingen te vermijden - ervoor te zorgen dat de leerlingen kunnen beschikken over:
• een schriftelijk overzicht van de te kennen leerstof;
• een geschreven mededeling waarin staat over welk materieel de leerling mag beschikken op
het examen (passer, tekendriehoek, rekentoestel ...).
2.2
Rapporteren
De geregelde rapportering heeft tot doel de leerling en zijn ouders tussentijds in te lichten over het
bereiken van de doelstellingen.
De school bepaalt de vorm van rapporteren. Alleszins moet het rapport duidelijke informatie verschaffen aan leerling en ouders i.v.m. het bereiken van de verscheidene doelstellingen (kennis, vaardigheden, attitudes).
De rapportering moet ook aandacht schenken aan concrete en het functioneel remediëren.
3
Bewaren van documenten
De kopijen van de herhalingsbeurten en van de examens worden overeenkomstig de wettelijke voorschriften bewaard. Vermits de korte schriftelijke beurten ook invloed hebben op de algemene beoordeling van de leerling, worden deze eveneens bewaard tot minstens na de definitieve eindbeslissing.
Hierbij wordt rekening gehouden met de termijnen van mogelijke beroepsprocedures.
Bewaar bij de kopijen (van de examens en de herhalingsbeurten):
• een overzicht van de gestelde vragen met puntenverdeling;
• een correctiemodel.
4
ICT-hulpmiddelen
De leerstofitems, waarbij tijdens de instructie voor ontwikkeling of voor verwerking gebruik werd gemaakt van deze technologische instrumenten (ICT), zullen met de ondersteuning van dezelfde hulpmiddelen moeten worden geëvalueerd. Hierbij dient wel te worden opgemerkt dat ICT een middel is
om aan wiskundeonderwijs te doen en geen doel op zich. Ook dit is een belangrijk aandachtspunt bij
de evaluatie.
Dit vergt aandacht en aanpassing van de leerkracht bij het opstellen van de vragen, de tijdinvestering
en de evaluatie. De werkwijze met het toestel kan een te meten doel zijn.
De school zal ook een inspanning moeten leveren om de leerlingen, die thuis niet over de vereiste
hulpmiddelen beschikken, ook op school de mogelijkheid te bieden om zich te bekwamen in het gebruik van ICT-middelen.
Hoe dan ook moet de leerling duidelijk weten wat er van hem verwacht wordt en welke invloed het
gebruik van ICT heeft op zijn evaluatie.
Uiteraard is de vakgroep het meest aangewezen orgaan om over deze geëvolueerde evaluatiesituatie
te overleggen.
5
Jaarplan
Een jaarplan geeft aan welke leerinhouden voor de vakonderdelen per aangeduide periode (maximaal
per maand) beoogd worden.
Het jaarplan:
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
•
•
•
55
helpt de leerkracht gedurende het hele schooljaar een verantwoorde tijdsindeling te respecteren;
heeft een richtinggevende en ondersteunende functie bij vervanging van de titularis;
laat de niet-wiskundig gevormde directeur toe om de betrokken leerkracht te verwijzen naar
deze planning.
Een jaarplan dat ook gebruikt wordt voor de aanduiding van de behandelde leerstof veroorzaakt geen
supplementair werk. Door in het jaarplan periodiek te onderstrepen tot waar men in deze periode is
geraakt en dit te bevestigen met vermelding van datum en een paraaf wordt het jaarplan een jaarvorderingsplan en voldoet men aan de verplichting om de behandelde leerstof regelmatig te noteren.
Een jaarplan mag gedurende het jaar bijgestuurd worden en het wordt elk jaar op zijn haalbaarheid
getoetst en zo nodig aangepast.
Het is niet de bedoeling een bepaald model van jaarplan op te leggen. Behalve de identificatiegegevens (zie model) geeft het jaarplan aan volgens welke timing de leerstof wordt behandeld. Liefst wordt
er per leerstofitem aangeduid hoeveel lestijden hieraan zullen worden besteed. Het is aangewezen
ruimte te voorzien om gegevens te noteren die de reële tijdbesteding hebben beïnvloed (ziekte, uitstap, studiedag ...). Deze notities laten toe om de betrouwbaarheid van de timing te evalueren en zo
nodig deze timing aan te passen.
Hierna volgt een voorbeeld van een mogelijke schikking.
SCHOOL:
..............................................................................
SCHOOLJAAR:
.......................................
LEERKRACHT: .......................................................................
GRAAD: ……
..............................................
LEERPLANNUMMER: … ................................
LEERJAAR: …..
UREN/WEEK:
......................................
STUDIERICHTING:
..................................
VAK: WISKUNDE
.........................................
Gerealiseerde leerstof
Voorziene leerstof
1 lestijd
1 lestijd
1 lestijd
SEPTEMBER
GETALLENLEER
MEETKUNDE
Noteer hier welke onderwerpen van getallenleer u in deze Noteer hier welke onderwerpen van meetkunde u in deze
maand denkt te behandelen.
maand denkt te behandelen.
Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...)
Noteer het vervolg van de leerstof getallenleer
Noteer het vervolg van de leerstof meetkunde
OKTOBER
Opmerking
1 lestijd
Opmerking
15 oktober
Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...)
...
Noteer hier welke onderwerpen van meetkunde u in deze
maand denkt te behandelen.
XXXX
Noteer het vervolg van de leerstof getallenleer
Opmerking
Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...)
15 XXX
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
57
BIBLIOGRAFIE
Onderstaande lijst kan bij het opstellen van lessen een welgekomen hulp zijn. De lijst is niet limitatief.
Leerboeken
Argument
Daems F.P. en Jennekens E., De Boeck nv, Antwerpen.
Integraal
Apers G en Platteaux P., Novum, Deurne.
Pienter
Foets K., Gijbels G., Loones P., Maes W., Matthijs P. en Michiels F.,Van In, Wommelgem.
Van basis tot limiet
De Feyter M., Geeurickx F., Thoelen J. en Van Nieuwenhuyze R., Die Keure, Brugge
Naslagwerken
AARSSEN, C. en anderen, Netwerk (reeks), Wolters-Noordhoff, Groningen
ANTON, H., Calcules (A new Horizon), Drexel university, ISBN 0-471-15307-9
ATKINSON, K. E., An introduction to numerical analysis, ISBN 0-471-02985-8
BERS, L., Calculus, Holt-Rinehart and Winston Inc., ISBN 03-065240-5
BERWAERTS, V. J. en STANDAERD, K., Welkom bij SI-VEC - SI-eenhedenstelsel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen
BERRESFORD, G. C., Calculus, with applications to the management, social, behavorial, and biomedical sciences, Prentice-Hall Inc, ISBN 0-13-110628-7
BONNEFROID, G. en DAVIAUD, D. en REVRANCHE, B., Mathématiques Pythagore (reeks), Didier
Hatier, Paris
BRUALDI, R.A., Introductory combinatorics, ISBN 0-7204-8610-6
BRUM, J. V., Experiencing geometry, Wadworth Publishing Company, Belmont (California),
ISBN 0-534-00422-9
BURTON, D. M., The history of mathematics, London, Allyn and Bacon, ISBN 0205080952
CANGELOSI, J. S., Teaching Mathematics in Secondary and Middle School: An Interactive Approach,
Prentice Hall, ISBN 0134392337
CLARKE, G. M. en COOKE, D., A basic course in statistics, London, Arnold, ISBN 0-7131-2672-8
DEMANA, F., WAITS, B.K., CLEMENS, S.R. en GREENE, M., Intermediate algebra: a graphing approach, Addison-Wesley Publicing Company, ISBN 0-201-65001-0
DOXIADIS, A., Oom Petros en het vermoeden van Goldbach, De Bezige Bij
DUREN, W. L., Jr, Calculus and analytic geometry, Xerox College Publishing, Toronto,
ISBN 0-536-00869-8
ENZENSBERGER, H.M., De telduivel, De Bezige Bij, ISBN 90-234-8149-6
FINNEY, R.L., THOMAS, G.B., DEMANA, F. en WAITS, B.K., Calculus: grafical, numerical, algebraic,
Addison-Wesley Publicing Company,ISBN 0-201-56901-9
FREUDENTHAL, H., Mathematics as an educational task, Reidel Publishing Company, Dordrecht,
ISBN 90-277-0322-1
GARDNER, M., Het mathematische carnaval, uitgeverij Contact, ISBN 90-254-6695-8
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
58
GARNIER, R. en TAYLOR, J., 100 % Mathematical proof, ISBN 0-471-96198-1
GONICK, L. en SMITH, W., Het stripverhaal van de statistiek, Epsilon-uitgaven, ISBN 90-504-1037-5
GRIMALDI, R. P., Discrete and combinatorial mathematics (fourth edition), uitg. ADDISON-WESLEY
A'dam, ISBN 0-201-19912-2
GROSJEAN, C. C., VANHELLEPUTTE, C. V. en VANMASSENHOVE, F. R., Reinaert Systematische
Encyclopedie, Wiskunde (deel 14 (wiskunde 1A), deel 15 (wiskunde 1B), deel 20 (wiskunde 2)), Reinaert uitgaven, Brussel
GUEDJ, D., De stelling van de papegaai, Ambo, ISBN 90-263-1604-6
HERWEYERS, G. en STULENS, K., Statistiek met een grafisch rekentoestel, ACCO, Leuven, ISBN
90-334-4597-2
HEUGL, H. en KUTZLER, B. en anderen, DERIVE in education, opportunities and strategies (Proceedings of the 2nd Krems Conference on Mathematics Education), Chartwell-Bratt Ltd, ISBN 086238-351-X
HOFSTADTER, D. R., Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band, Contact
HUFF, D., How to lie with statistics, Penguin Books, ISBN 0-14-021300-7
JACOBS, R. J., Geometry, W. H. Freeman, San Francisco, ISBN 0-7167-0456-0
JACOBS, H. R., Mathematics a human endeavor: a book for those who think they don’t like the subject, San Francisco, Freeman, ISBN 0-7167-0439-0
JORGENSEN, D., De rekenmeester, Bzztôh, ‘s Gravenhage, ISBN 90-5501-722-1
KAMMINGA-VAN HULSEN, M. en GONDRIE, P. en VAN ALST, G., Toegepaste wiskunde met computeralgebra, Academic Service, Schoonhoven, ISBN 90 6233 956 5
MANKIEWICZ, R., Het verhaal van de wiskunde, Uniepers, ISBN 90-682-5259-3
MASON, J., Thinking mathematically, Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-10238-2
MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Theorieboek, Academic Service, Den Haag, ISBN
90 395 1420 8
MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Opgavenboek, Academic Service, Den Haag, ISBN
90 395 1421 6
PAULOS, J.A., Er was eens een getal, Bert Bakker, ISBN 90-351-2059-0
PAULOS, J.A., Ongecijferdheid, Bert Bakker, ISBN 90-351-0789-6
PAULOS, J.A., De gecijferde mens, Bert Bakker, ISBN 90-351-1119-2
PETSINIS, T., De Franse wiskundige, Cargo, ISBN 90-234-5374-3
POLYA, G., How to solve it, Penguin Books, ISBN 0-14-012499-3
POSAMENTIER, A.S. en SALKIND, C.T., Challenging problems in geometry, Dale Seymour Publications, ISBN 0-86651-428-7
PROTTER, H. P. en MORREY Ch. B., Jr, Calculus with analytic geometry; a first course, AddisonWesley, London.
RADE, L. en WESTERGEN, B., BETA / Mathematics Handbook, ISBN 0-86238-140-1
SCHUH, F., The master book of mathematical recreations, Dover Books, ISBN 0-486-22134-2
SINGH, S., Het laatste raadsel van Fermat, De Arbeiderspers, ISBN 90-295-3728-0
SPIEGEL, M. R., College algebra, Schaum’s outline series, ISBN 07-060226-3
STEEN, L. A., Mathematics tomorrow, Springer Verlag, Berlin, ISBN 0-387-90564-2
STEWART, I., Flatterland. Like Flatland, only more so, McMillan, Londen, ISBN 0-333-78312-3
STEWART,I., Magisch labyrint, NIEUWEZIJDS, ISBN 90-571-2036-4
STEWART,I., Over sneeuwkristallen en zebrastrepen, Davidsfonds, Leuven, ISBN 90-5826-159-X
Eerste graad A-stroom – Basisvorming
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)
59
STEWART, I., Waar zijn de getallen?, Contact, ISBN 90-254-1021-9
STICHTING CENTRUM VOOR WISKUNDE EN INFORMATICA , Vakantiecursus 2001 - Experimentele wiskunde, Amsterdam, ISBN 90-6196-505-5
STRUIK, D. J. , Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, ISBN 90-274-2210-9
SWANN, H. en JOHNSON, J., Prof. E. Mc Squared’s Calculus Primer, ISBN 0-939765-12-8
TELLER, O., Vademecum van de wiskunde, Prisma, ISBN 90-274-4119-7
THAELS, K., EGGERMONT, H. en JANSSENS D., Van ruimtelijk inzicht naar ruimtemeetkunde, Cahiers voor didactiek, Wolters Plantyn, ISBN 90-301-7185-5
THOMAS, G.B. jr en FINNEY R. L., Calculus and analytic geometry, ISBN 0-201-53174-7
VAN DORMOLEN, J., Didactiek van de wiskunde, Utrecht, Bohn-Scheltema-Holkema, ISBN
9031300675
WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige kwesties, Bert Bakker, ISBN 90-351-2154-6
WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige puzzels, Bert Bakker, ISBN 90-351-1403-5
WELLS, D., Woordenboek
ISBN 90-351-0527-3
van
eigenaardige
en
merkwaardige
getallen,
Bert
Bakker,
WERKGROEP WISKUNDE, Vademecum wiskunde, Plantijn, ISBN 90-301-5867-0
WOOTON, W., BECKENBACH, E. F. en FLEMING F. J., Modern analytic geometry, Houghton Mifflin
Company, Boston, ISBN 0-295-03743-3
ZEBRA-reeks, Epsilon Uitgaven, Utrecht
Internet
Verwijzingen naar URL’s op het gebied van wiskunde zijn te vinden op
http://wiskunde.gemeenschapsonderwijs.net
Software
Zie o.a. de uitgeverijen van bovenvermelde leerboeken en bovenvermelde URL.
Tijdschriften
Euclides, p.a. Nederlandse vereniging van Wiskundeleraars, De Schalm 19, NL8251 LB Dronten
Mathématique et pedagogie, Société belge des Professeurs de mathématique, p.a. SBPM, reu de
Trazegnies 87, 6320 Pont-à-Celles
Uitwiskeling, p.a. Celestijnenlaan 220B, 3001 Heverlee
Pythagoras, p.a. Drukkerij Giethoorn Ten Brink, Postbus 41 NL-7490 AA Meppel,www.science.uva.nl/misc/pythagoras
Wiskunde en onderwijs, p.a. Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars, C. Huysmanslaan 60 bus 4,
2020 Antwerpen 2