Masterthesissen in de afdeling algebra

Masterthesissen in de afdeling algebra
Onderzoeksgroep Algebraı̈sche Meetkunde en Getaltheorie
Januari 2011
Hieronder volgt een lijst met mogelijke onderwerpen voor de masterthesis bij promotoren
in de onderzoeksgroep Algebraı̈sche Meetkunde en Getaltheorie. Telkens is er een korte uiteenzetting van het onderwerp. Als een bepaald onderwerp je interesseert is het
aangeraden een afspraak te maken met de promotor. Die zal graag verdere uitleg geven.
1
Onderwerpen bij Prof. R. Cluckers
p-adisch van der Corput Lemma
We bekijken de notie van strikte C 1 functies, die op de reële getallen overeenkomt met
de notie van gewone C 1 functies (continu differentieerbaar), maar die op de p-adische
getallen anders is. Voor zulke strikte C 1 functies op p-adische getallen (en meer algemeen
strikte C k functies) proberen we als finaal doel van deze thesis reële resultaten van Fields
Medaille winnaar C. Fefferman en E. Stein in de p-adische context te bekomen. Recent
zijn deze al bewezen voor p-adisch, analytische functies door Cluckers. Een kennis van de
p-adische getallen, van de basis van harmonische analyse, en van p-adische exponentiële
sommen zal opgebouwd worden. Deze thesis kan een opstap zijn naar eigen onderzoek in
een later doctoraat.
2
Onderwerpen bij Prof. J. Nicaise
De Grothendieckgroep van variëteiten
De Grothendieckgroep K0 (V arF ) van variëteiten over een veld F is een object dat op een
natuurlijke manier verschijnt in de studie van “stuksgewijze meetkunde” van algebraı̈sche
variëteiten. Twee quasi-projectieve F -variëteiten heten stuksgewijs isomorf wanneer ze
opgebroken kunnen worden in disjunctie unies van deelvariëteiten die paarsgewijs isomorf
zijn. Zo is de affiene lijn A1F stuksgewijs isomorf met de affiene vlakke kromme C ↔ {y 2 =
x3 }, omdat C isomorf wordt met A1F \ {0} wanneer we de oorsprong {(0, 0)} verwijderen.
De Grothendieckgroep K0 (V arF ) wordt gedefinieerd als de abelse groep met als generatoren de isomorfismeklassen [X] van quasi-projectieve F -variëteiten X en met de relatie
[X] = [Y ] voor elk paar stuksgewijs isomorfe variëteiten X en Y . Deze relaties heten de
schaarrelaties omdat ze het mogelijk maken om een variëteit in stukken te knippen. Zo
geldt bijvoorbeeld de gelijkheid
[P1F ] = [A1F ] + [{∞}]
1
in K0 (V arF ), omdat P1F stuksgewijs isomorf is met de disjuncte unie van A1F en het punt
{∞}.
We kunnen ons dan de volgende vraag stellen: wanneer hebben twee quasi-projectieve
variëteiten X en Y dezelfde klas in de Grothendieckgroep? Met andere woorden, wat
is de meetkundige betekenis van de gelijkheid [X] = [Y ] in K0 (V arF )? Per definitie
zal [X] = [Y ] wanneer X en Y stuksgewijs isomorf zijn, maar de omgeerde implicatie
is een open probleem, dat bekend staat als het probleem van Larsen en Lunts. Het zou
bijvoorbeeld kunnen gebeuren dat voor twee gesloten deelvariëteiten Y en Z van een
gegeven variëteit X de complementen X \ Y en X \ Z stuksgewijs isomorf zijn, terwijl Y
en Z dat niet zijn. In zo’n geval hebben we nog steeds dat
[Y ] = [X] − [X \ Y ] = [X] − [X \ Z] = [Z].
In dit project bestuderen we enkele resultaten en open vragen over de Grothendieckgroep. Het belangrijkste hulpmiddel dat we kennen is de Zwakke Factorisatiestelling, die
iets vertelt over de structuur van birationale afbeeldingen tussen niet-singuliere projectieve variëteiten over een veld van karakteristiek nul. Uit dit resultaat kan men de Stelling
van Bittner afleiden, die een alternatieve presentatie van de Grothendieckgroep geeft, en
de Stelling van Larsen en Lunts die een zeker quotiënt van de Grothendieckgroep op
een precieze manier beschrijft. Aan de hand van deze resultaten hebben Liu en Sebag
recent het probleem van Larsen en Lunts opgelost voor krommen en gladde projectieve
oppervlakken over een veld van karakteristiek nul. We nemen ook hun bewijs onder de
loep.
Vereiste voorkennis: De mastercursus Algebraic Geometry.
Literatuur:
• J. Nicaise and J. Sebag, The Grothendieck ring of varieties. To appear in: R. Cluckers, J. Nicaise and J. Sebag (eds.), Motivic Integration and its Interactions with
Model Theory and Non-Archimedean Geometry, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Cambridge University Press.
Available at http://wis.kuleuven.be/algebra/nicaise/
• Q. Liu and J. Sebag, The Grothendieck ring of varieties and piecewise isomorphisms.
Math. Z. 265 (2010), pages 321–342.
Berkovichruimten
In de niet-archimedische analyse probeert men, analoog aan het complexe geval, een
theorie van analytische functies en analytische ruimten te ontwikkelen over velden met
een niet-archimedische absolute waarde, zoals het veld Qp van p-adische getallen. De nietarchimedische eigenschap van de absolute waarde zorgt echter meteen voor merkwaardige
fenomenen. De metrische topologie op Qp is totaal onsamenhangend (de enige niet-lege
samenhangende deelruimten zijn de singeltons), waardoor de gebruikelijke definitie van
een analytische functie (een functie die lokaal geschreven kan worden als een convergente
machtreeks) niet bevredigend is. Zo is volgens deze naı̈eve definitie de karakteristieke
functie f van Zp een analytische functie op Qp , omdat Zp zowel open als gesloten is. Een
dergelijke functie willen we echter niet als een analytische functie beschouwen, omdat
2
het principe van analytische voortzetting voor dergelijke functies duidelijk niet geldt (de
functie f valt samen met de constante functie 1 op de open Zp maar niet op gans Qp ).
Er zijn de afgelopen decennia verschillende theorieën ontwikkeld om dit probleem op
te lossen. De eerste dergelijke theorie was die van rigide meetkunde, ontwikkeld door John
Tate in de jaren ’60. Tate loste het probleem van totale onsamenhangendheid op door een
nieuwe topologie te definiëren op niet-archimedische ruimten, de zogeheten G-topologie.
Vladimir Berkovich ontwikkelde aan het eind van de jaren ’80 een alternatieve benadering:
hij voegde punten toe aan de ruimte om de eigenschappen van de topologie te verbeteren
(net zoals Q totaal onsamenhangend is, maar R samenhangend). Deze punten worden
geconstrueerd door te gaan kijken naar bepaalde valuaties op algebra’s van convergente
machtreeksen.
In dit project bestuderen we Berkovich’ constructie en analyseren we in detail de
structuur van de analytische projectieve lijn over een niet-archimedisch veld (punten,
Berkovich-topologie, analytische functies). We zullen zien dat de projectieve lijn een
boomstructuur heeft die erg nuttig is voor toepassingen op getaltheorie, potentiaaltheorie
en dynamische systemen.
Vereiste voorkennis: De bachelorcursussen Getaltheorie en Topologie. De mastercursus
Algebraic Geometry is aanbevolen.
Literatuur:
• V. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-archimedean fields.
Mathematical Surveys and Monographs 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 1990.
Berkovich’s boek is erg compact geschreven, met weinig details. Een meer toegankelijke inleiding is de volgende:
• M. Baker, An introduction to Berkovich analytic spaces and non-Archimedean potential theory on curves. In: p-adic geometry, pages 123-174, Univ. Lecture Series
45, Americal Mathematical Society, Providence, RI, 2008.
Available at http://people.math.gatech.edu/ mbaker/papers.html
3
Onderwerpen bij Prof. W. Veys
Algemene situering.
Algebraı̈sche meetkunde en singulariteitentheorie,
in wisselwerking met getaltheorie.
De studie-objecten in algebraı̈sche meetkunde zijn de algebraı̈sche variëteiten; namelijk
de oplossingsverzamelingen van één of meerdere veeltermvergelijkingen over R of C, of
over eindige of nog andere velden. Men bestudeert hun meetkundige eigenschappen met
behulp van algebraı̈sche technieken.
Singulariteitentheorie behandelt vooral de singuliere (niet-gladde) punten van algebraı̈sche of ook nog reëel- of complex-analytische variëteiten. Dit is een zeer breed domein
waar meetkunde, algebra, analyse en topologie aan bod komen. Bijvoorbeeld in onze afdeling bestuderen en gebruiken we o.a. intensief resolutie van singulariteiten; een klassieke
3
manier om een singuliere variëteit te bestuderen via een nauw verwante variëteit zonder
singuliere punten.
Een topic binnen getaltheorie die ook uitvoerig bestudeerd wordt in de afdeling is
Igusa-zetafuncties. Hier bestudeert men de aantallen oplossingen van congruenties modulo
een macht van een priemgetal p. Hoe varieert dit aantal in functie van de exponent
van p? Algebraı̈sche meetkunde, en in het bijzonder resolutie van singulariteiten, is een
belangrijke techniek om dit probleem aan te pakken.
Meer concreet.
Een concreet onderwerp bij W. Veys wordt vastgelegd in samenspraak met de student.
Ook de ‘uitwerking’ kan variëren. Heb je graag een combinatie van wiskundige disciplines
of juist niet? Ben je al dan niet een ‘theorie-vreter’ ? Kom je graag in aanraking met
hedendaags onderzoek? Heb je eventueel interesse om later te doctoreren? ... Dit wordt
op voorhand besproken.
Enkele suggesties :
• Studie van recente onderzoeksartikels over Igusa-zetafuncties of de meer meetkundige/
topologische varianten topologische zetafuncties. Bijvoorbeeld [Veys and Zuniga-Galindo,
Zeta functions for polynomial mappings, log-principalization of ideals, and Newton polyhedra, Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 2205-2227] bestudeert dergelijke zetafuncties geassocieerd aan meerdere veeltermen i.p.v. (klassiek) aan één veelterm. Hierin komt
meetkunde, getaltheorie en combinatoriek aan bod.
• Singuliere punten van vlakke krommen vormen een enorm rijke interdisciplinaire topic:
meetkunde, analyse, algebra, topologie en combinatoriek komen hierbij aan bod. Het
boek Singular points of plane curves, London mathematical society student texts 63,
Cambridge University press (2004) van C.T.C. Wall beschrijft deze wisselwerking. Een
aantal aspecten hiervan kunnen een mooi thesisonderwerp zijn, al dan niet samen met de
studie van een onderzoeksartikel over singulariteiten van vlakke krommen.
• Eventueel kan een thesis gemaakt worden in hoofdzakelijk commutatieve algebra; dit
is essentieel de theorie van commutatieve ringen en modulen hierover, en is precies de
algebra die optreedt in algebraı̈sche meetkunde en algebraı̈sche getaltheorie.
• Een eigen voorstel is ook altijd welkom.
4
Onderwerpen bij Dr. W. Castryck
Cohen-Lenstra-heuristieken voor klassengroepen van getallenvelden
Vooruitblikkende ‘herhaling’:
de klassengroep en het klassengetal.
Het onderstaande wordt uitgebreid behandeld in de cursussen ‘Getaltheorie’ en ‘Algebraı̈sche
getaltheorie’.
Een getallenveld is per definitie een eindige velduitbreiding van Q. Aan elk getallenveld
K kan men een ring van algebraı̈sche gehelen OK associëren. Deze ring vertoont heel wat
interessante gelijkenissen met Z, maar heeft in het algemeen één kwalijke tekortkoming:
4
het is niet altijd een UFD, terwijl unieke factorisatie in Z zowat de kapstok is waar alle
niet-triviale
resultaten uit√de getaltheorie aan ophangen. Beschouw bijvoorbeeld
√
√K =
√
Q( −5). Dan is OK = Z[ −5]. In deze ring blijkt dat 6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5)
twee schrijfwijzen heeft als product van irreducibele elementen. Echter, op het niveau van
idealen kunnen we dieper ontbinden:
√
√
√
√
h6i = h2i · h3i = h2, 1 + −5i · h2, 1 − −5i · h3, 1 + −5i · h3, 1 − −5i.
Op deze manier wordt de schrijfwijze wel uniek. Dit is een algemeen fenomeen: voor
elk getallenveld K is elk niet-nul-ideaal van OK op een unieke manier te schrijven als
een product van priemidealen. Hier ligt meteen de etymologische verklaring van de term
‘ideaal’: met betrekking tot unieke factorisatie zijn idealen van OK te bekijken als ‘ideale’
versies van de gewone getallen.
Zoals je uit het vorige voorbeeld misschien aanvoelt hangt het falen van de UFDeigenschap nauw samen met het feit dat OK niet altijd een HID is. Men kan inderdaad
aantonen dat de begrippen UFD en HID in deze context equivalent zijn. Een cruciaal
begrip dat meet in hoeverre OK van een HID afwijkt is de (ideaal)klassengroep Cl(OK ),
gevormd door idealen te beschouwen ‘op hoofdidealen na’. Men kan aantonen dat de
klassengroep altijd eindig is. Het aantal elementen #Cl(OK ) wordt het klassengetal van
K genoemd. Het klassengetal is 1 als en slechts als OK een HID (dus een UFD) is.
Culturele noot: Veel van de bovenstaande theorie werd ontwikkeld door Kummer in de 19de
eeuw, met als betrachting de Laatste Stelling van Fermat te bewijzen. Het was voldoende dit
te doen voor priemgetallen p in de exponent (xp + y p = z p ). Kummer slaagde hierin voor alle p
die geen deler zijn van het klassengetal van Q(ζp ), waarbij ζp een primitieve pde eenheidswortel is.
Dit voorstel: de Cohen-Lenstra-heuristieken.
Het klassengetal is tegelijk één van de belangrijkste en één van de meest mysterieuze invarianten in de getaltheorie. Een beroemd voorbeeld van de vele open problemen omtrent
het klassengetal is of er oneindig veel getallenvelden bestaan met klassengetal 1, een vraag
die teruggaat tot 1801 (Gauss).
In 1983 formuleerden Henri Cohen en Hendrik Lenstra een fascinerende conjectuur [2]
met bijzonder verstrekkende gevolgen, die een positief antwoord op bovenstaande vraag
bijna tot een voetnoot reduceren. Ruwweg stelt de conjectuur dat voor elke eindige commutatieve groep G, de kans dat de klassengroep van een willekeurig gekozen getallenveld
isomorf is met G omgekeerd evenredig is met het aantal automorfismen van G. Men dient
de mouwen op te stropen om deze bewering precies te maken, maar om wat voeling te
krijgen geven we een voorbeeld: beschouw de rij van kwadratische velduitbreidingen
√ Q( d) ,
d
waarbij d de kwadraatvrije natuurlijke getallen doorloopt. Wat is het percentage velden
uit deze rij waarvan het klassengetal deelbaar is door 3? Iets preciezer: wat is de limiet
√
#{kwadraatvrije d ≤ D | klassengetal van Q( d) deelbaar door 3}
lim
D→∞
#{kwadraatvrije d ≤ D}
5
(zo die bestaat)? Elke eindige commutatieve groep G kan geschreven worden als G3 ⊕ G0
met G3 een 3-groep (i.e. #G3 een macht van 3) en 3 - #G0 . Zij G3 de verzameling van
alle isomorfismeklassen van commutatieve 3-groepen. Wanneer we elk element [G] ∈ G3
van een gewicht w([G]) = 1/(#Aut G) voorzien,Qdan kan men bewijzen dat het totale
∞
−i −1
gewicht van G3 eindig
√ is en gelijk aan w(G3 ) = i=1 (1 − 3 ) ≈ 1.785. Zij G(d) de
klassengroep van Q( d). Volgens de Cohen-Lenstra-filosofie is de kans dat 3 - #G(d), of
met andere woorden de kans dat G(d)3 triviaal is, gelijk aan 1/w(G3 ) ≈ 0.560. De kans
dat het klassengetal wel deelbaar is door 3 zou dan ongeveer 0.440 moeten zijn. Dit is een
zeer sterke uitspraak (momenteel kan men niet eens bewijzen dat deze kans strikt positief
is [1]) die uitvoerig wordt bevestigd door experimentele data.
In deze thesis zouden we in de eerste plaats moeten komen tot een precieze formulering
en een goed begrip van de Cohen-Lenstra-heuristieken, alsook een bespreking van enkele
belangrijke gevolgen. Daarna kunnen we, naargelang de tijd en voorkeur van de student,
enkele bijkomende aspecten nader bestuderen.
• We kunnen het interessante verband tussen de Cohen-Lenstra-distributie, de theorie
van partities van gehele getallen, en de theorie van random matrices over eindige
velden in nader detail bestuderen [3].
• Zoals bij veel getaltheoretische uitspraken het geval is (met de Riemann-hypothese
als beroemdste voorbeeld) blijkt de conjectuur zich door te zetten wanneer we overstappen van getallenvelden naar functievelden over eindige velden. In deze wereld
kunnen bepaalde speciale gevallen van de conjectuur worden bewezen. We kunnen
een tip van deze sluier oplichten.
• We kunnen de conjectuur experimenteel aan enkele tests onderwerpen.
• ...
Nuttige literatuur (terug te vinden op het internet):
[1] D. Heath-Brown, Quadratic class numbers divisible by 3, Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici 37(1) (2007), pp. 203-211.
[2] H. Cohen, H.W. Lenstra, Heuristics on class groups of number fields, Number theory,
Noordwijkerhout 1983, Lecture Notes in Mathematics 1068 (1984), pp. 33-62
[3] J. Lengler, The Cohen-Lenstra heuristic for finite abelian groups, doctoraatsthesis,
Universität des Saarlandes (2009)
5
Onderwerpen bij Dr. F. Cools
Tropische meetkunde
Bij tropische meetkunde worden problemen in algebraı̈sche meetkunde omgezet naar problemen van combinatorische aard, in de hoop dat deze makkelijker zijn om op te lossen.
We kunnen tropische meetkunde zien als een vorm van algebraı̈sche meetkunde waarbij
we voor de onderliggende algebra de min-plus-semiring kiezen, m.a.w. elke optelling
veranderen we in het minimum van de getallen en elke vermenigvuldiging veranderen we
in de optelling van de getallen. De tegenhanger van een algebraı̈sche variëteit blijkt een
6
gebalanceerde stukgewijs-lineair celcomplex te zijn. In het bijzonder komen algebraı̈sche
krommen overeen met metrische grafen waarbij oneindige bogen toegelaten zijn. Tropische
meetkunde is een recent onderzoeksgebied, en het specifieke topic voor de thesis kan in
samenspraak worden gekozen.
Algebraı̈sche statistiek
Het onderzoeksdomein “algebraı̈sche” statistiek pleit voor het gebruik van algebraı̈sche
meetkunde, commutatieve algebra en combinatoriek om statistische problemen op te
lossen. Het startpunt voor dit verband is de observatie dat veel statistische modellen
voor discrete stochastische variabelen in feite algebraı̈sche variëteiten zijn. Sommige hiervan zijn heel klassiek (zoals Segrevariëteiten en torische variëteiten), anderen zijn nieuw
en meer ingewikkeld. Voor een thesis kan de nadruk worden gelegd op de studie van
de algebraı̈sche variëteiten of op de toepassingen binnen fylogenetica (d.i. de studie van
stambomen).
6
Onderwerpen bij Dr. A. Perucca
Elliptic Divisibility Sequences
Elliptic Divisibility Sequences (EDS) are sequences of integer numbers that are closely
related to the arithmetic of elliptic curves. They are a topic of current research: several
papers, Ph.D and Master thesis of the last ten years analyze different aspects and generalizations of EDS. They have been studied since the fourties, the first appearance being
in works by Morgan Ward. Current top-mathematicians working on them are Joseph
Silverman and Noam Elkies. Several young researchers are actively contributing to the
topic, for example: Katherine Stange, Patrick Ingram, Marco Streng, Johnatan Reynolds.
The basic feature of EDS is that they satisfy a recursion formula, so that only the
first four elements of the sequence are sufficient to determine it. Such a sequence is called
divisible because the n-th term divides the m-th term whenever n divides m. What makes
EDS special, in between recursive sequences, is that (up to a sign) they are associated to
points on elliptic curves over Q. Let
E:
y 2 = x3 + ax + b
define an elliptic curve over the field Q (in particular, a and b are rational numbers).
A rational point P on the curve is given by a pair of rational numbers (xP , yP ) which
satisfy the above equation. In fact, there is a point at infinity as well because an elliptic
curve is projective. Since elliptic curves have an addition law, there is a nice definition of
‘multiple’ of a point. For every n ≥ 1, the point nP is a rational point of the curve, say
with coordinates (xnP , ynP ). For most applications, it suffices to consider the x-coordinate.
So let’s write xnP , which is a rational number, as αn /βn (where αn and βn have no common
factor and βn is positive). It can be shown that βn is a square: write βn = Dn2 . With an
appropriate choice of signs, {Dn }n≥1 is an elliptic divisibility sequence.
It should also be noticed that EDS are relevant and have an application to elliptic
curve cryptography, and to the (still open) Hilbert’s Tenth Problem over Q.
The aim of this master project is collecting and understanding the many references of
the literature concerning EDS. Then, according to the student’s preference, some of the
7
results can be exposed in full details. For example we could analyze the growth of the
sequences, or the appearences of prime numbers in the sequences, or the applications to
cryptography. At the end of this thesis, the student will have a good understanding of the
arithmetic of elliptic curves and will be prepared for making a Ph.D. in this area. How
advanced the thesis will be also depends on the student, for example on whether or not
he/she is already familiar with number theory and elliptic curves. I foresee the possibility
of making original remarks and new examples.
7
Onderwerpen bij Dr. J. Schepers
Multiplier ideals
Dit onderwerp behoort tot de algebraı̈sche meetkunde. Zij f ∈ C[x, y] een polynoom
in twee variabelen, zodat de nulpuntsverzameling Z(f ) van f in het complexe vlak een
singulier punt heeft in de oorsprong. De ‘multiplier ideals’ J (f, c) geassocieerd aan f en
een positief reëel getal c vormen een dalende keten van idealen in C[x, y] die meten hoe erg
de singulariteit in de oorsprong is. Een belangrijke stelling zegt dat als J(f, c) 6= J(f, c−)
voor alle > 0, dan is c een rationaal getal. Zo’n c noemt men een ‘jumping number ’ van
f.
De bedoeling van deze thesis is om de (meestal vrij abstracte) literatuur over multiplier
ideals te interpreteren in het concrete geval van een polynoom in twee variabelen, en te
illustreren met interessante voorbeelden. Daarna kan ingegaan worden op de verschillende
toepassingen van multiplier ideals. Een mogelijkheid zou zijn om het verband tussen
jumping numbers en de topologische zetafunctie, of meer ambitieus met de BernsteinSato-polynoom, te onderzoeken.
De cursussen ‘Algebraı̈sche meetkunde’ en ‘Modulen en homologische algebra’ zijn
belangrijk als voorkennis.
Resolutie van singulariteiten van torische variëteiten
Torische variëteiten zijn algebraı̈sche variëteiten met een groepsactie van een torus. Een
eenvoudig voorbeeld is de projectieve ruimte. Het bestaan van zo’n groepsactie zorgt voor
een verrassend verband tussen torische variëteiten en bepaalde combinatorische structuren. Het gaat hier over ‘waaiers van kegels’. Torische variëteiten kunnen singulariteiten
hebben. Een diep resultaat van Hironaka zegt dat er voor elke algebraı̈sche variëteit
(gedefinieerd over een algebraı̈sch gesloten veld van karakteristiek 0) een resolutie van
singulariteiten bestaat en bovendien zegt de stelling dat deze kan bekomen worden als
samenstelling van opblazingen. In het geval van torische variëteiten komen zulke opblazingen overeen met onderverdelingen van de kegels.
De bedoeling van de thesis is om de concrete interpretatie van de resolutie van singulariteiten als onderverdelingen van kegels uit te werken, in eerste instantie voor oppervlakken. Er is in dat geval ook een interessant verband met kettingbreuken.
Dit onderwerp bevindt zich op het raakvlak van algebraı̈sche meetkunde en combinatoriek. De cursus ‘Algebraı̈sche meetkunde’ is dan ook nuttig als voorkennis.
8
8
Onderwerpen bij Dr. D. Segers
Algebraı̈sche krommen
De theorie van algebraı̈sche krommen is zeer uitgebreid, met boeiende resultaten en tal
van open problemen. Om je hiervoor warm te maken geef ik enkele mogelijke onderwerpen
waarrond gewerkt kan worden.
1. Gegeven zijn drie homogene veeltermen F , G en H in drie veranderlijken over de
complexe getallen. Deze veeltermen bepalen 3 krommen in het projectieve vlak.
Kunnen we op een meetkundige manier bepalen wanneer H behoort tot het ideaal
voortgebracht door F en G? De stelling van Max Noether (Wikipedia: AF + BG
theorem) beantwoordt dit probleem. Er zijn zeer interessante toepassingen van dit
resultaat, zoals de stelling van Pascal (Wikipedia: Pascal’s theorem) en die van het
negende punt (Wikipedia: CayleyBacharach theorem).
2. Bestaat er een niet-singuliere projectieve kromme die birationaal equivalent is met
een gegeven projectieve kromme? Zo ja, kunnen we deze niet-singuliere kromme
construeren?
3. Het is een interessant probleem om vlakke projectieve krommen over C te klassificeren tot op projectieve transformaties na. De klassificatie van krommen van graad
één (rechten) is evident. Je weet ook dat alle niet-ontaarde kegelsneden projectief
equivalent zijn. Maar hoe zit het met krommen van graad 3? Om dit te bestuderen
heb je buigpunten nodig.
En hoe zit het met de klassificatie van krommen tot op birationale transformaties
na?
4. Een niet-singuliere projectieve kromme over C is een georiënteerd compact reëel oppervlak. Het aantal gaten in dit oppervlak is het geslacht van de kromme. Waarom
is dit geslacht gelijk aan de dimensie van de vectorruimte van de reguliere differentiaalvormen op de kromme? Bestaat er een eenvoudige formule voor het geslacht
van een vlakke projectieve kromme?
5. De stelling van Riemann-Roch legt een verband tussen dimensies van bepaalde vectorruimten van rationale functies op een kromme. Ze kan gebruikt worden om te
bewijzen dat elke niet-singuliere projectieve kromme van geslacht één isomorf is met
een vlakke kromme van graad 3.
6. De stelling van Hurwitz legt onder andere beperkingen op de geslachten van krommen waartussen er een niet-constant morfisme bestaat en is een veralgemening van
Lüroth. Hurwitz kan gebruikt worden om de formule van Plücker (Wikipedia:
Plucker formula) over de graad van de duale van een kromme (Wikipedia: Dual
curve) te bewijzen.
7. Het is ook mogelijk om te werken rond Igusa-zetafuncties van krommen. Voor
een veelterm f (x, y) ∈ Z[x, y] en een priemgetal p bestuderen we hier het aantal
oplossingen van de congruentie f (x, y) ≡ 0 mod pi in (Z/pi Z)2 voor elke i.
9