Les 4

Albert Einstein
Leven en werk
Vierde les
Der Herr Gott würfelt nicht
1919-1935
De wereld in 1919
5 Januari Spartacus opstand: demonstraties van socialisten in Berlijn
leiden tot een communistische revolutiepoging.
16 januari Het 18e amendement dat de drooglegging regelt treedt in
werking in de VS.
18 januari Vredesconferentie van Versailles begint.
25 januari Stichting van de Volkerenbond, mede op initiatief van president
Wilson. Duitsland wordt niet uitgenodigd. Amerika doet niet mee.
23 februari Benito Mussolini sticht de fascistische partij in Italië.
2 maart De eerste communistische internationale komt bijeen in Moskou
onder leiding van Lenin.
6 april Volksrepubliek wordt uitgeroepen in München.
14 april De keizer van Oostenrijk gaat in ballingschap in Zwitserland.
29 mei Metingen van Eddington en Crommelin van lichtafbuiging aan een
totale zonsverduistering.
4 juni Het 19e amendement regelt het vrouwenstemrecht in de VS.
14 juni Eerste transatlantische vlucht.
11 augustus de Weimar constitutie wordt bij wet geregeld in Duitsland
September Adolf Hitler wordt het 555e lid van de Deutsche Arbeiter
Partei en ontdekt zijn retorisch talent.
30 november Gezondheidsdeskundigen verklaren dat de Spaanse griep
pandemie voorbij is.
6 november Officiële bekendmaking van het resultaat van de Eddington
expeditie.
28 november Lady Astor wordt als eerste vrouw gekozen tot lid van het
Engelse parlement.
De natuurkunde in 1919
Newtonse mechanica is een limietgeval van de Poincaré-Lorentz-Einstein
speciale relativiteitstheorie voor snelheden veel kleiner dan de
lichtsnelheid en voor zwakke gravitatievelden. De speciale relativiteitstheorie
is een limietgeval van de Einstein algemene relativiteitstheorie voor
zwakke gravitatievelden. Galilei invariantie maakt plaats voor (locale) Lorentz
invariantie voor alle fysische verschijnselen.
De algemene relativiteitstheorie is een veldtheorie van de zwaartekracht. Ze
geeft een verklaring voor de periheliumbeweging van Mercurius en voor de
afbuiging van een lichtstraal in een gravitatieveld. Ze voorspelt
roodverschuiving. Ze heeft een klein aantal overtuigde aanhangers (Lorentz,
de Sitter, Eddington, Weyl, Hilbert, Klein, Schrödinger).
De natuurkunde in 1919
Statistische mechanica en
elektromagnetisme
Het bestaan van atomen is algemeen aanvaard. De statistische
mechanica van Boltzmann geldt als de microscopische grondslag van
de thermodynamica. De kwantum statistische mechanica van straling
(Planck, Einstein) past niet in het klassieke beeld.
De elektromagnetische veldentheorie van Maxwell is onomstreden.
Niet iedereen (Poincaré, Lorentz) is overtuigd van de overbodigheid van
het etherbegrip. Miller (1921) claimt een positief effect van zijn MichelsonMorley experiment. Reactie van Einstein: “Raffiniert ist der Herr Gott,
aber boshaft ist er nicht”, “Die Natur verbirgt ihr Geheimnis durch die
Erhabenheit ihres Wesens, aber nicht durch List”.
De Maxwelltheorie geeft geen verklaring voor de wisselwerking tussen
straling en materie, voor de lijnspectra en loopt vast in tegenstrijdigheden
bij de toepassing op het atoommodel van Rutherford.
De natuurkunde in 1919
Atoommodel
1911 experimenten van Rutherford, Geiger en Marshden met verstrooiing
van α deeltjes aan dunne folies tonen aan dat het atoom bestaat uit een
kleine zware positief geladen kern (verantwoordelijk voor α, β en γ
straling), waar zich elektronen omheen bevinden (verantwoordelijk voor
X, licht e.a. straling). De meeste straling wordt uitgezonden als een
lijnspectrum, b.v. de Balmerreeks van waterstof.
1/λ=RH((1/n2)-(1/m2)) met n=1,2,3,.. en m>n
De natuurkunde in 1919
Kwantumtheorie van het atoom
1913 postulaten van Bohr uitgaande van het Rutherford model:
1. Het atoom kan alleen bestaan in bepaalde stationaire toestanden
(elektronenbanen) met energie E1, E2, …
2. Bij overgang van de ene naar de andere stationaire toestand vindt emissie of
absorptie van elektromagnetische straling plaats, waarvoor geldt: hf=En-Em
Beide postulaten zijn in strijd met de klassieke theorieën:
1. Een versnelde lading straalt: het Rutherford atoom is instabiel (klassieke
levensduur 10-15 s!).
2. De frequentie van de uitgezonden straling is de frequentie waarmee het
elektron ronddraait. Er is dus 1 elektronbaan bij betrokken.
Ehrenfest aan Lorentz: "Bohr's werk … heeft mij tot wanhoop gedreven. Als
dit de manier is om het doel te bereiken dan moet ik ophouden met
natuurkunde te bedrijven.”
Toepassen van deze kwantumpostulaten met de (klassieke!) wetten van
Newton en Coulomb: F=mea=Ze2/(4πε0r2)er voor Z=1 (waterstof) geeft
En=(2π2me4/h2)(1/n2).
Dus voor de frequentie van het uitgezonden licht geldt:
hf=En-Em= (2π2me4/h2)((1/n2)-(1/m2)) en dus 1/λ= (2π2me4/h3c)((1/n2)-(1/m2)).
Dit is de (algemene) Balmerformule! Eerste triomf van het bohrmodel.
De berekende waarde van 2π2me4/h3c en daarmee de ionisatieenergie van
waterstof komt goed overeen met de gemeten waarde van RH. Tweede
triomf van het bohrmodel.
Overige triomfen van het Bohrmodel:
• Berekening van de straal van de eerste Bohrse baan
a0=4πε0/(mec2)=0,0529 nm. Klopt goed met de schattingen van de
atoomdiameter (o.a. Einstein).
• Verklaring van de afhankelijkheid van de rydbergconstante van het
rangnummer Z voor waterstofachtige atomen zoals He+.
Einstein: “Maar dan is het een grote ontdekking”.
• Verklaring van de fijnsplitsing van spectraallijnen met de
relativiteitstheorie door Sommerfeld.
• Verklaring van het periodiek systeem door Bohr met het
opbouwprincipe. Voorspelling van de eigenschappen van een nog niet
gevonden element: Hafnium.
• Verklaring van het starkeffect: opsplitsing van spectraallijnen in een
elektrisch veld.
Mislukkingen (na eindeloos rekenwerk van Bohr, Kramers,
Sommerfeld, Heisenberg, Pauli e.v.a.)
• Intensiteiten van spectraallijnen.
• Meer dan 1 elektron atomen: bijvoorbeeld He.
• Anormale zeemaneffect: opsplitsing van spectraallijnen in een
magneetveld.
1914 Frank en Hertz experimentele ondersteuning van het bohrmodel.
Inelastische botsingen van elektronen met een gas.
De natuurkunde in 1919
Kosmologie
Het bekende heelal bevat alleen het melkwegstelsel.
Einstein´s algemene relativiteitstheorie is een theorie van gravitatie en
dus toepasbaar op het heelal (kosmologie).
Er zijn veel vragen:
• Bestaan er sterren/stersystemen buiten het melkwegstelsel?
• Is het heelal statisch?
• Hoe groot is het heelal?
• Heeft het heelal een begin?
• Wat is de materiële en energie-inhoud van het heelal?
1920 “The great debate”:
Shapley: Het melkwegstelsel is zeer uitgestrekt en bevat bolstelsels en
nevelstelsels van sterren. De zon bevindt zich aan de rand.
Curtis: Het melkwegstelsel is klein en de zon staat dicht bij het centrum.
Daarbuiten bevinden zich andere stelsels
1920-1924 Hubble: Andromedanevel bevindt zich buiten het
melkwegstelsel en is zelf een soort melkwegstelsel.
1929 Hubble: het heelal zet uit.
Albert Einstein in 1919
•
•
Woont en werkt sinds 1913 als hoogleraar in Berlijn.
Is een in eigen kring hoog gewaardeerd fysicus met een
vooraanstaande positie: directeur van het Kaiser Wilhelm Instituut
für Physik. Het wachten is op de Nobelprijs.
• Gescheiden van Mileva en hertrouwd met Elsa.
• Belijdend pacifist en internationalist.
• Enige tijd ernstig ziek, zonder noemenswaard effect op zijn
wetenschappelijke output.
• Beleeft zijn finest hour: verklaring van de periheliumbeweging van
Mercurius en bevestiging van zijn voorspelling van de lichtafbuiging.
en dan komt 7 november!
7 november artikel in de London Times:
“Revolution in science - New theory of the universe - Newtonian ideas
overthrown- Space warped”
9 november persbericht in The New York Times:
“Einstein theory triumphs - Stars not where they seem or were calculated to
be, but nobody need worry”
19 november Lorentz in de Nieuwe Rotterdamse Courant
23 november Born in de Frankfurter Allgemeine Zeitung
28 november Einstein in de London Times:
“It was in accordance with the high and proud tradition of English science
that English scientific men should have given their time and labor […] to test
a theory that had been completed and published in the country of their
enemies in the midst of war. […]
By an application of the theory of relativity to the taste of the readers, today
in Germany I am called a German man of science and in England I am
represented as a Swiss Jew. If I become to be regarded as a bête noire, the
description will be reversed and I shall become a Swiss Jew for the Germans
and a German man of science for the English.”
14 december 1919 cover op de Berliner Illustrierte Zeitung
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Was Einstein de eerste?
Nee, dat was Hilbert.
20 november 1915, 5 dagen voor Einstein, zendt
Hilbert dezelfde vergelijkingen naar de Maatschappij
van Wetenschappen in Göttingen!
Hilbert erkent Einstein’s proriteit.
1704 Newton Optick’s query 1:
“Do not Bodies act upon Light at a distance, and by their action
bend its Rays; and is not this action strongest at the least distance?”
1801 Von Soldner : “Niemand zal er bezwaar tegen hebben, hoop ik, dat ik
een lichtstraal behandel als een zwaar lichaam… Men kan zich geen ding
indenken dat bestaat en inwerkt op onze zintuigen dat niet de eigenschap
van materie heeft.”
Berekent met Newton’s deeltjestheorie van licht afbuiging van een lichtstraal
bij de zon en vindt … 0,84’’. De waarde die E vond in zijn eerste ART versie!
1921 De rabiate antisemiet Lenard (de Lenard!) rakelt von Soldners
resultaat op en beschuldigt Einstein van plagiaat.
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Het zwarte gat
Schwarzschild 1916 – het jaar van zijn dood aan het
oostfront – geeft de eerste oplossing van de
veldvergelijkingen. Deze beschrijft het bolsymmetrische
gravitatieveld buiten een bolvormige, uniforme en niet
roterende massaverdeling M.
Bevat twee afstanden waar de oplossing “niet bestaat” (singulariteiten):
(1) r=0 (de oorsprong). Hier houden ruimte en tijd op te bestaan.
(2) rs=2GM/c2 (de schwarzschildstraal). Hier kunnen we ruimte en tijd
doorheen vervolgen. Betekenis van rs: als alle massa M binnen rs is
samengebald dan kan het licht niet meer ontsnappen: een zwart gat.
Voorbeeld: de rs van de aarde is … 9 mm
Zwarte gaten bestaan! Enkele tot zeer vele
zonmassa’s zwaar. Bijvoorbeeld: het centrum van het
melkwegstelsel bevat een groot zwart gat.
Artistieke impressie
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Big bang
Einstein 1917 er zijn geen massavrije oplossingen (Mach’s principe).
Door de aantrekkende werking van de massa’s stort het heelal in. Hij
voert een extra term in: de kosmologische constante Λ om het heelal
statisch te maken.
De Sitter toont per omgaande aan dat er massavrije oplossingen
bestaan. (“Die man begrijpt zijn eigen theorie niet”.)
Friedman 1922 toont aan dat de oorspronkelijke veldvergelijkingen
expanderende oplossingen toestaan.
Weyl en Eddinton 1923 tonen aan dat in het de Sitter heelal
testdeeltjes zich van elkaar verwijderen. Einstein geeft de
kosmologische constante op (“Mijn grootste blunder”).
Hubble 1929 toont aan dat het heelal expandeert: begin van de big
bang theorie.
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Roodverschuiving
Eerste experimentele aanwijzing: Adams in 1925 aan de spectraallijnen
van de ster Sirius B
Definitieve bevestiging: Pound, Rebka en Snider tussen 1959 en 1965.
Global Positioning System
Twee effecten op de kloktijd: snelheid
(tijddilatatie) en hoogte (roodverschuiving).
Effect van tijddilatatie : -7,2 μs per dag)
Effect van minder gravitatie op een afstand
van 20,2 km: +45,9 μs per dag
Totaal: +38,7 μs per dag, dat is 4,5 op 1010
en dat is niet verwaarloosbaar!
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Gravitatiegolven
Lorentz 1900 gravitatiewerking plant zich voort met lichtsnelheid.
Poincaré 1905 voert het begrip gravitatiegolf in.
Einstein 1916 toont aan dat zijn veldvergelijkingen golfoplossingen
toestaan. Gevolg: het klassieke bohratoom is dubbel instabiel: e-m straling
(fotonen) en g straling (gravitonen)! We hebben kwantumgravitatie nodig.
Sterke bronnen van g straling: dubbelsterren met een
pulsar: zeer snel roterende neutronensterren (restanten
van supernova explosies, straal ~10 km, dichtheid ~
4.1017 kg/m3 – ca kerndichtheid) die gebundelde straling
uitzenden. Geeft vuurtoreneffect op aarde.
Hulse en Taylor 1976: de pulsarfrequentie van PSR
B1913+16 (59.02999792988 ms) neemt af met 0.0765
ms/jaar en de halve lange as van de ellipsbeweging
neemt af met 3,5 m/jaar. Dit is in overeenstemming met
het berekende energieverlies door g straling. Over 300
miljoen jaar storten de sterren op elkaar.
Effect van zo’n gravitatiegolf op aarde: trillingen met een amplitude van
10-20 m ≈ 10-10 atoomdiameter. Waarneembaar?
Huidige detectoren in gebruik:
Weber detector: extreem gekoelde staaf of bol met kwantum
devices voor trillingsdetectie.
Bijvoorbeeld Kamerling Onnes Lab Leiden: MiniGRAIL
68 cm diameter bol van CuAl(6%) 1400 kg, gekoeld tot 20 mK.
Interferometers:
LIGO: Laser Interferometer Gravitational Wave
Observatory.
LISA: Laser Interferometer Space Antenna.
Een nieuw venster op het heelal:
• Directe waarneming van zwarte gaten.
• Straling van vlak na de big bang. Tot 400000 jaar na de big bang
bevat het heelal geen vrije fotonen - donkere eeuwen.
Gevolgen van de veldvergelijkingen
Gravitatielenzen
Door lichtafbuiging in een gravitatieveld ontstaat lenswerking:
een enkel object wordt waargenomen als een ring van objecten.
Einsteinkruis.
Einstein’s vervolg
1916 (Mede op aandringen van Lorentz) samenvatting van de theorie.
Populaire weergave in: Über die spezielle und die allgemeine
Relativitätstheorie, gemeinverständlich. 22 keer herdrukt. Nederlandse
vertaling: Mijn Theorie, ca 10 Euro.
1916-1919 Verdere uitwerkingen. Einsteinheelal: voldoet aan het
principe van Mach, is statisch en eindig maar onbegrensd. Invoering
van de kosmologische constante. Voorspelling van gravitatiegolven.
1917-1955 Geünificeerde veldentheorie.
De Kwantummechanica:
„Der Herr Gott würfelt nicht“
1900 Planck introduceert het kwant
statistisch-mechanisch ter verklaring van
de waargenomen stralingsdichtheid u van
een zwart lichaam. Hypothese:
uitwisseling van energie tussen
elektromagnetische straling en materie
gaat in kwanten hf.
1905 Einstein geeft het kwant een
zelfstandige status op basis van de
statistisch-mechanische vergelijking
met een gas. Voorspelling van de wet
van het foto-elektrisch effect.
1907 Einstein verklaart het niet-klassieke
gedrag van de soortelijke warmte met de
Planckse kwantentheorie.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Golf of deeltje?
Einstein 1904 De statistische mechanica voorspelt dat
thermodynamische grootheden niet constant zijn, maar fluctueren rond
een gemiddelde waarde. Bijvoorbeeld voor de energiefluctuaties geldt:
 E
 2  kT 2
T
Toepassen van de fluctuatiestelling 1909 op straling met stralingsdichtheid
u uitgezonden in volumen V tussen f en f+df:
2
Vdf
 kT 2
u
T
c3 2
Rayleigh-Jeans lage f limiet: 
u
2
8 f
Wien hoge f limiet:  hfu

c3 2 
Planck voor alle f :   hfu 
u 
2
8 f


“De huidige theorie van straling [de golftheorie] is in strijd met dit [Planckse]
resultaat” (want die zou alleen de tweede, Rayleigh Jeans bijdrage hebben
gegeven) … Als alleen deze [de eerste, Wien bijdrage] aanwezig zou zijn,
dan zou die fluctuaties geven alsof de straling bestaat uit onafhankelijk
bewegende puntachtige kwanta met energie hf ... het gezichtspunt van de
Newtonse emissietheorie. [...]
Het is mijn mening dat de volgende fase in de ontwikkeling van de
theoretische natuurkunde ons een theorie van licht zal brengen die
geïnterpreteerd kan worden als een soort fusie tussen de golf en de
emissietheorie … golfstructuur en kwantumstructuur … moeten niet als
wederzijds incompatibel worden beschouwd.”
Maar … hij maakt niet de beslissende stap naar de moderne
kwantummechanica. Deze stap maakt De Broglie in 1923, na het vastlopen
van de oude Bohr-Sommerfeld kwantumtheorie. In 1926 leidt Schrödinger
de golfvergelijking af.
Waarom maakt Einstein die stap niet?
Hij raakt het spoor bijster: “Ik kom geen stap verder met de vraag hoe licht is
samengesteld.” en stort zich tot 1916 op de algemene relativiteitstheorie.
J. Stark 1909 geeft het lichtkwant behalve energie hf ook impuls hf/c. Dat
maakt het lichtkwant een lichtdeeltje. Geboorte van de golf-deeltje dualiteit.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Spontane en gestimuleerde emissie
1917 Zur Quantentheorie der Strahlung von A. Einstein
Neem een gas van deeltjes met discrete energietoestanden Ei in interactie
met elektromagnetische straling met stralingsdichtheid u. Door
wisselwerking met de e.m. straling zijn tussen twee energietoestanden E1 en
E2 drie processen mogelijk:
1. geïnduceerde absorptie
2. spontane emissie
f
Aantal overgangen in tijd dt:
dW12=N1u B12dt
f
Aantal overgangen in tijd dt:
dW21spontaan =N2u B21dt
f
Aantal overgangen in tijd dt:
dW21gestimuleerd =N2A21dt
f
3. (nieuw!)geïnduceerde
(gestimuleerde) emissie
A en B zijn factoren die de waarschijnlijkheid van het proces bepalen
(einsteincoëfficiënten).
Er geldt:
• De bezettingsgraad van toestand E in evenwicht is e-E/kT
(Boltzmannfactor).
• dW12=dW21spontaan+dW21gestimuleerd
• In de limiet van grote T is u de Rayleigh-Jeans stralingsdichtheid.
• Wien’s verplaatsingswet.
Dan volgt:
• u is de Planckse stralingsdichtheid.
• E2-E1=constante(=h) x f - Bohrs postulaat!
• Lichtkwanta hebben een impuls hf/c
De overgang gaat gepaard met de emissie/absorptie van een enkel
stralingskwant met energie hf en impuls hf/c. Het bestaan van discrete
energietoestanden en gestimuleerde emissie is hiervoor noodzakelijk.
Dit maakt “light amplification by stimulated emission of radiation” mogelijk.
1: versterkingsmedium
2: pompenergie: geeft een bezettingsinversie
waardoor meer gestimuleerd licht ontstaat dan er
geabsorbeerd wordt
3, 4: reflectoren: in resonantie ontstaat een
oplopende intensiteit
5: laserbundel uit deels transparante reflector 4
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Eerste “Unbehagen”
1917 aan Besso: “Damit sind die Lichtquanten so gut wie gesichert”.
Maar … het toevalsaspect doet zijn intrede. Het moment van spontane
emissie en de terugstootrichting van het deeltje kunnen niet voorspeld
worden. Net zoals bij het radioactief verval!
“Het is een zwakte van de theorie … dat hij tijd en richting van
elementaire processen aan het toeval overlaat.”
De klassieke wet van oorzaak en gevolg (causaliteit) lijkt niet te gelden.
Aan Besso:
“Ik denk dat de eeuwige uitvinder van raadselen ons een streek heeft
geleverd die we absoluut nog niet begrijpen.”
“Dat gedoe met causaliteit geeft mij een hoop last. Kan de
kwantumabsorptie en emissie van licht ooit begrepen worden in de zin
van complete causaliteit, of blijft er een rest van waarschijnlijkheid? Ik
moet toegeven dat ik de moed van een overtuiging mis. Maar ik zou erg
ongelukkig zijn als ik volledige causaliteit moet opgeven.”
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Golf-deeltje dualiteit van licht aanvaard
In 1905 vindt Einstein het lichtkwant (nog niet het lichtdeeltje) uit (“sehr
revolutionär”). Niemand gelooft hem.
In 1917 is hij overtuigd van het bestaan van een lichtdeeltje, maar hij
staat nog steeds vrijwel alleen.
In 1922 krijgt hij de Nobelprijs niet voor het idee zelf, maar voor een
gevolg van het idee: verklaring van het foto-elektrisch effect.
In 1923 doet Compton metingen van de
verstrooiing van γ straling aan materie.
Hij en (onafhankelijk) Debije verklaren
de metingen als de botsing van
Einstein’s lichtdeeltje met een elektron.
18 jaar na zijn uitvinding door Einstein
wordt het lichtdeeltje (sinds 1926 foton)
algemeen geaccepteerd.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Golf-deeltje dualiteit van materie
Louis de Broglie 1929, Nobelprijstoespraak:
“Determination of the stable motion of electrons in the atom introduces
integers, and up to this point the only phenomena involving integers in
physics were those of interference and of normal modes of vibration. This
fact suggested to me the idea that electrons too could not be considered
simply as particles, but that frequency (wave properties) must be
assigned to them also.”
De Broglie 1923 veronderstelt dat het elektron in zijn gesloten baan in het
atoom (v<c, β=v/c <1) wordt vergezeld van een fictieve draaggolf met
snelheid c/β > c. Hij past de relativiteitstheorie en een resonantievoorwaarde
toe, opdat de golf niet uitdooft.
“Il est presque nécessaire de supposer que la trajectoire de l'électron n'est
stable qui si l'onde fictive passant en O’ retrouve l'électron en phase avec
elle : l'onde de fréquence ν et de vitesse c/β doit être en résonance sur la
longueur de la trajectoire. Ceci conduit à la condition γ2mv2Tr=nh, n étant
entier. ”
Voor v<<c dus γ≈1 is dit het Bohrse kwantumpostulaat! En dus volgt de
Balmerreeks enz.
Kop moet passen bij staart,
anders dooft de golf zichzelf
uit door interferentie.
Gevolg: deeltjes, in het bijzonder elektronen, moeten kunnen interfereren.
Lakmoesproef: dubbelspleetexperiment van Young, nu met elektronen.
Davisson en Germer 1927
Het kristalrooster functioneert als een veelspletensysteem (tralie).
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Iedere golf zijn golfvergelijking
Einstein reageert positief op het idee van de Broglie. “Er hat eine Ecke des
großen Schleiers gelüftet.“ Hij en de Broglie geloven dat het echte materie
is die golft. Het elektron is uitgesmeerd.
Schrödinger geeft in Zürich op verzoek van Debije een colloquium over de
De Broglie golven en krijgt de vraag (van Debije?): wat is de bijbehorende
golfvergelijking? Een maand later komt Schrödinger met een antwoord.
2

 2
i

 U
2
t
2m x
Niet-relativistische 1
dimensionale tijdafhankelijke
schrödingervergelijking
De golf Ψ is niet reëel maar imaginair (complex) en onttrekt zich
daarmee aan de waarneming!
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Interpretatie van Ψ
Born-Bohr 1926 interpretatie: |Ψ|2= Ψ Ψ* (dit is een reëel getal!) is de
waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje te vinden op tijdstip t op
plaats x. Er golft dus geen materie, alleen waarschijnlijkheid!
Als U niet van t afhangt kunnen we de vergelijking splitsen in een
tijdafhankelijk en een plaatsafhankelijk deel.
Voor het plaatsafhankelijke deel ψ(x) geldt:
Niet-relativistische 1

2
d
2
2m dx
2
 U  E
dimensionale
tijdonafhankelijke
schrödingervergelijking.
Eigenwaardenvergelijking voor
de energietoestanden E.
ψ is reëel en |ψ|2 = |Ψ|2
Schrödinger toont aan: als je voor U de coulombpotentiaal (3-D) voor een
elektron invult dan volgen de Bohrse energietoestanden, dus de Balmerreeks
enz. En ψ geeft je de waarschijnlijkheidsverdeling bij meting van de positie.
Er zijn geen banen in Bohrse zin! De problemen van de oude
kwantumtheorie (intensiteiten, meer elektron systemen, anormale
zeemaneffect, …) blijken oplosbaar met de schrödingervergelijking.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Onzekerheidsrelaties
1927 Heisenberg onzekerheidsrelaties: de nieuwe kwantummechanica
staat niet toe dat positie x en impuls p=mv van een deeltje gelijktijdig exact
worden bepaald: ΔxΔp≥h/2π.
Past in het golf-deeltje dualisme: p=h/λ
Om p exact te kennen moet λ exact bekend zijn. Dat kan alleen als
de golftrein oneindig lang is. Maar dan is de positie x onbepaald!
Om x exact te kennen moet een golfpakket worden samengesteld
dat tot 1 positie is beperkt. Dan heb je oneindig veel golflengtes
nodig. Maar dan is de impuls p onbepaald!
Sinusgolf met 1 golflengte
heeft geen vaste positie
Gelocaliseerd golfpakket
samengesteld uit meer dan 1
golflengte heeft geen vaste impuls
Om de positie van een deeltje te kunnen bepalen heb je “licht” nodig.
Hoe kleiner het deeltje, hoe kleiner de golflengte van dat licht moet zijn
om het deeltje te kunnen zien (denk aan een strandpaal in de golven –
werpt geen schaduw). Als dat licht zeer kortgolvig is heeft het
lichtdeeltje een grote impuls (p=h/λ). De botsing van dit lichtdeeltje met
het te onderzoeken deeltje heeft een oncorrigeerbare invloed op de
positie.
Er zijn meer onzekerheidsrelaties: bijvoorbeeld tussen vrijkomende
energie en tijdstip van vrijkomen: ΔEΔt≥h/2π.
Waarneembaar bij emissie van straling: Einstein’s “Unbehagen”.
Het meetproces is volgens de kopenhageninterpretatie essentieel: het
verstoort onomkeerbaar de causale ontwikkeling van de golffunctie. De
meetuitkomst is statistisch bepaald. Niet alle grootheden kunnen
tegelijkertijd exact gemeten worden.
Zolang we niet meten bestaat de meetuitkomst niet (of: ze bestaan
allemaal met zekere waarschijnlijkheid).
Einstein: “Ik zou het een prettig idee vinden dat de maan er is, ook als ik
niet kijk [en op de plaats waar ik hem verwacht].”
Schrödinger: “Als ik dat geweten had, dan had ik die vergelijking liever
niet gevonden.”
Schrödinger’s kat
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Bose-Enstein statistiek
1924 brief van Bose (onbekende Indiër) aan Einstein (wereldfaam) na
verwerping van zijn artikel door de Philosophical Magazine:
“Respected Sir, I have ventured to send you the accompanying article for
your perusal. I am anxious to know what you think of it. You will see that I
have ventured tot deduce the coefficient 8πν2/c3 in Planck’s law
independent of the classical electrodynamics …”
Einstein vertaalt het artikel in het Duits en zendt het in naar het Zeitschrift
für Physik met als voetnoot:
“Naar mijn mening betekent Bose’s afleiding van de Planck formule een
belangrijke vooruitgang. De methode hier gebruikt geeft ook de
kwantumtheorie van het ideale gas, zoals ik elders in meer detail zal
behandelen.”
De factor 8πν2/c3 in Planck’s wet komt uit de golftheorie: tellen van
golflengtes die passen in een holte. Bose laat zien hoe je de factor kunt
afleiden in termen van deeltjes: tellen van impulsen. Dit komt op hetzelfde
neer omdat p=hc/λ. Belangrijke stap: in zijn telprocedure geeft hij de
(Boltzmann) onderscheidbaarheid van deeltjes op. Planck had dat
(impliciet) gedaan voor zijn energiekwanta.
Kwantumdeeltjes zijn geen biljartballen.
Einstein aan Ehrenfest 1924: “Beneden een zekere temperatuur
condenseren de moleculen zonder dat er aantrekkende krachten zijn, dat
wil zeggen zij accumuleren bij snelheid 0. Het is een leuke theorie, maar
zit er ook iets van waarheid in?”
Bose-Einstein condensatie Cornell en Wieman 1995
De snelheidsdistributie van een wolk van
rubidiumatomen bij 400nK, 200nK en
50nK. De piek wordt veroorzaakt door
deeltjes die zich in de grondtoestand
bevinden.
Einstein 1925: Quantentheorie des einigatomigen idealen Gases net zoals in
de energiefluctuaties van elektromagnetische straling (“fotongas”) kun je
in de energiefluctuaties van een kwantum deeltjesgas twee bijdragen
onderscheiden: een deeltjesbijdrage en een golfbijdrage.
De golfbijdrage noemt hij in navolging van De Broglie een
“Gespensterfeld”. Een moleculaire bundel zal daarom
diffractieverschijnselen kunnen vertonen.
Dat wordt in 1927 door Davisson en Germer experimenteel aangetoond.
Schrödinger publiceert eind 1925 een artikel over het Einstein
kwantumgas. “Dat betekent niets anders dan dat we de de Broglie- Einstein
golftheorie van bewegende deeltjes serieus moeten nemen.”
In zijn aansluitende artikel over de golfvergelijking begin 1926 merkt hij op:
“Ik heb onlangs aangetoond dat de Einstein gas theorie gefundeerd kan
worden op de beschouwing van staande golven [gebruikmakend van een
idee van Debije uit 1910, zonder gebruikmaking van Bose-Einstein
statistiek] die de dispersie wet van de Broglie volgen…De bovenstaande
overwegingen over het atoom [leidend tot de golfvergelijking] zouden
gepresenteerd kunnen worden als een veralgemenisering van deze
beschouwingen.”
Einstein is een van de godfathers van de golfmechanica – die hij afwijst.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Het Einstein-Bohr debat
Solvay congressen 1927 en 1930
Einstein komt met gedachte-experimenten die moeten aantonen dat de
onzekerheidsrelaties en de statistische interpretatie van de
kwantummechanica niet deugen.Bohr vindt iedere keer een tegenwerping.
Einstein geeft toe dat de kwantummechanica intern consistent is – en
succesvol!
Einstein Solvay congres 1930:
Aan een veer hangt een doos met fotonen.
Op tijdstip t opent de sluiter en ontsnapt een foton.
De fotonbox beweegt omhoog.
Met behulp van een massa m brengen we de wijzer
terug in de nulstand. Dit geeft ons E (=mc2)
Dus E en t zijn beiden exact bepaald.
Onzekerheidsrelatie ongeldig.
Tekening van Bohr 1946
Bohr (na slapeloze nacht):
Einstein vergeet dat er een onzekerheid is in t
ten gevolge van de roodverschuiving (E’s
algemene relativiteitstheorie!).
Onzekerheidsrelatie geldig.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
Objectieve werkelijkheid
Einstein geeft toe dat de kwantummechanica consistent is en in
overeenstemming met de waarneming.Maar hij weigert te aanvaarden dat
het de ultieme theorie is, vanwege het gebrek aan causaliteit en lokaliteit.
Hij gaat op zoek naar een nieuwe theorie.
“Ik geloof niet dat de kwantummechanica het startpunt is voor deze
basis, net zoals je de grondslagen van de mechanica niet kunt afleiden
uit de thermodynamica of de statistische mechanica.”
Zijn hoop is gevestigd op een veldentheorie, startend vanuit nieuwe
principes, zoals de constantheid van de lichtsnelheid of de equivalentie
van zware en trage massa. Daaraan besteedt hij 35 jaar van zijn leven
1920-1955. Tevergeefs.
1935 Einstein, Rosen, Podolski
Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Considered
Complete?
...
“If without in any way disturbing the system we can predict with certainty
[…] the value of a physical quantity, then there exist an element of physical
reality corresponding tot this physical quantity.”
…
[Gedachte-experiment aan twee wisselwerkende deeltjes toont aan:
Metingen van x en p aan deeltje 1 geven ons waarden van x en p van
deeltje 2. Die waarden bevatten daarom “elements of reality”.
Maar de kwantummechanica verbiedt het gelijktijdig bepalen van x en p.]
…
We are thus forced to conclude that the quantum-mechanical description of
physical reality given by wave functions is not complete.”
Bohr e.a. zien hierin geen aanleiding om de interpretatie van de
kwantummechanica te herzien. Het blijft een filosofische discussie.
1964 Bell
On the Einstein-Podolski-Rosen paradox
…
“In a theory in which parameters are added to quantum mechanics to
determine the results of individual measurements […] there must be a
mechanism whereby the setting of one measuring device can influence the
reading of another instrument, however remote. Moreover, the signal
involved must propagate instantaneously, so that such a theory could not
be Lorentz invariant .”
Het toevoegen van verborgen variabelen om de kwantummechanica
causaal te maken leidt tot tegenspraak met de eindigheid van de
signaalsnelheid (lokaliteit).
Bell ongelijkheden maken het mogelijk de veronderstelling te experimenteel
te testen.
Experimenten van Aspect e.a.: de natuur gedraagt
zich conform de voorspellingen van de
kwantummechanica niet causaal en niet lokaal.
Verstrengelde toestanden (entanglement):
kwantuminformatie, kwantumteleportatie,
kwantumcomputers.
„Der Herr Gott würfelt nicht“
50 Jahre Grübelei
Einstein aan Besso 1951 : “Die ganzen 50 Jahre bewusster Grübelei haben
mich der Antwort der Frage “Was sind Lichtquanten” nicht näher gebracht.”