Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische

Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en
hyperbolische driehoeksmeetkunde
A. Vervuurt, P.F. de Haan, W.J. van Krieken
Begeleider: Prof. dr. J.P. Hogendijk
22 juni 2010
Samenvatting
We trekken een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde. Hiervoor geven we een historisch overzicht van de ontwikkeling van beide
meetkundes. Vervolgens behandelen we de Euclidische axioma’s in relatie tot bolmeetkunde
en hyperbolische meetkunde. We leiden vergelijkingen af die willekeurige driehoeken in beide
meetkundes beschrijven. Daarna trekken we een vergelijking tussen deze driehoeksmeetkundes door een bol met imaginaire straal te beschouwen. We concluderen dat dit slechts een
wiskundig trucje is wat we kunnen verklaren door de krommingen van beide vlakken te
bestuderen.
Dit werkstuk is geschreven voor eerstejaars studenten wiskunde in het kader van het
wiskunde Bachelorvak Caleidoscoop 1, gedoceerd aan de Universiteit Utrecht.
1
Inhoudsopgave
1 Inleiding
2 Niet-Euclidische meetkunde
2.1 De Axioma’s van Euclides .
2.2 Het parallellenaxioma . . .
2.3 Gauss . . . . . . . . . . . .
2.4 Lobachevsky en Bolyai . . .
2.5 Hyperbolische en Elliptische
3
.
.
.
.
.
4
4
6
6
6
7
3 Visualisatie van hyperbolische meetkunde
3.1 Het Beltrami-Klein model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 De schijf van Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
9
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
meetkunde
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Boldriehoeksmeetkunde
4.1 Eigenschappen van een bol en het boloppervlak
4.2 Euclidische axioma’s en het boloppervlak . . .
4.3 Boldriehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Rechthoekige boldriehoeken . . . . . . . . . . .
4.5 Willekeurige boldriehoeken . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
13
15
15
17
5 Hyperbolische meetkunde
5.1 Aannames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Bewijzen van benodigde stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Toepassing van de bewezen stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
21
28
6 Vergelijking: Bol met imaginaire straal
35
7 Conclusie
38
A Bronnenlijst
39
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Inleiding
In dit werkstuk vergelijken wij de bolmeetkunde met de hyperbolische meetkunde. Bolmeetkunde
is de meetkunde op het oppervlak van een bol. De hoeken en zijden van driehoeken verhouden
zich namelijk anders op een bol dan op het platte vlak. Deze wiskunde kent veel toepassingen,
bijvoorbeeld in de lucht- en scheepvaart.
De hyperbolische meetkunde is de meetkunde waarbij het vijfde axioma van Euclides is
aangepast. Euclides stelde vijf axioma’s op die een basis zou moeten leggen voor de meetkunde.
Het vijfde axioma, het paralellenaxioma, bleek echter minder vanzelfsprekend te zijn dan de
rest. Hyperbolische meetkunde is ontwikkeld door o.a. Gauss, Bolyai en Lobachevsky. Ook
deze meetkunde bleek toepassing te krijgen. In de natuurkunde kan hyperbolische meetkunde
gebruikt worden bij relativiteitstheorie en de beschrijving van massavelden.
Bolmeetkunde en hyperbolische meetkunde lijken op het eerste gezicht twee hele verschillende
vormen van meetkunde, maar er zijn toch aanwijzingen dat ze veel van elkaar weg hebben. Zo
lijken de formules die de relaties tussen hoeken en zijden van bol- en hyperbolische driehoeken
beschrijven erg op elkaar. Maar wat zijn deze overeenkomsten precies?
Om deze vraag te kunnen beantwoorden zullen we eerst zowel de bolmeetkunde als de hyperbolische meetkunde uitwerken. We zullen ons hierbij voornamelijk richten op driehoeken. Ook
zullen we kort vertellen over de geschiedenis van de hyperbolische meetkunde. Tenslotte zullen
we de overeenkomsten en verschillen beschouwen.
Hoofdstuk 2 en 3 gaan over de de ontwikkeling van de hyperbolische meetkunde, en geven
daarnaast een uitleg wat hyperbolische meetkunde is. Deze zijn door Wouter geschreven. In
Hoofdstuk 4 werkt Pieter de bolmeetkunde uit, en in Hoofdstuk 5 doet Alexander hetzelfde met
de hyperbolische meetkunde. Tenslotte wordt in Hoofdstuk 6 gekeken naar de verschillen en
overeenkomsten.
Het lezen van dit werkstuk vergt wel wat basiskennis van meetkunde. Bovendien kunnen
de uitwerkingen van de bolmeetkunde en de hyperbolische meetkunde veel vragen van het
voorstellingsvermogen; vooral de hyperbolische meetkunde gaat erg tegen de intuı̈tie in. We
hebben dit werkstuk geschreven voor studenten Wiskunde.
3
2
Niet-Euclidische meetkunde
De hyperbolische meetkunde bestaat nog niet heel lang en is ontwikkeld door veel belangrijke
wiskundigen. De belangrijkste was Euclides, die met het opstellen van meetkundige axioma’s
veel vragen opriep.
2.1
De Axioma’s van Euclides
Euclides was een Grieks wiskundige die leefde in de 3e eeuw voor Christus. Zijn belangrijkste
werk was de Στ oιχια, wat meestal vertaald wordt als “De Elementen”(lett. vertaling: Aan
het begin). Dit werk was een overzicht van kennis van eerdere wiskundigen. In De Elementen
stonden verschillende definities en axioma’s (postulaten). Een axioma is een bewering die niet
bewezen, maar aangenomen wordt. Een axioma wordt dus geaccepteerd als de waarheid. Euclides
bewees met deze definities en axioma’s talloze stellingen. Voor de meetkunde stelde Euclides vijf
axioma’s op.[9][8] Dit zijn de vijf axioma’s in vereenvoudigde vorm:[7][8]
Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen elke twee punten.
Axioma 2. Elk lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken.
Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijke straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend.
Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent.
Axioma 5. Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan één
kant kleiner is dan π, dan snijden deze twee lijnen elkaar aan deze kant van de derde lijn.
De eerste drie axioma’s spreken aardig voor zich. Het vierde axioma vraagt een definitie van
een rechte hoek, en een definitie van congruent.
Definitie 1. Een gestrekte hoek is een hoek waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. De
twee benen kunnen dan samen dus als één lijn gezien worden.
Een rechte hoek is de helft van een gestrekte hoek.
Met congruent wordt bedoeld dat de hoeken even groot zijn als ze over elkaar heen gelegd
worden. Hiervoor moet het dus wel mogelijk zijn om lijnen te draaien en schuiven in de ruimte.
Het laatste axioma lijkt heel anders dan de eerste vier. Daarom zorgde het voor veel verwarring in de jaren na Euclides. Wel was het axioma nodig voor veel bewijzen. Bijvoorbeeld het
bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken. Het axioma
is beter te begrijpen met een plaatje (zie figuur 2.1).[10]
4
Figuur 2.1:
Het axioma zegt dat als de som
van α en β kleiner is dan twee rechte
hoeken, en de twee lijnen oneindig
lang naar rechts doorgetrokken worden, ze elkaar ergens rechts snijden.
Het axioma is niet zo gemakkelijk
te begrijpen als de andere vier axioma’s. Ook doet het beroep op
je verbeelding. Daarom zette vele
wiskundigen vraagtekens bij deze
axioma. [8]
N.B. Hier lijkt geı̈mpliceerd te worden dat uit deze vijf axioma’s de gehele meetkunde volgt.
Dit is absoluut niet waar. Er zijn nog veel meer axioma’s nodig, die we buiten beschouwing laten
(net als Euclides overigens).
5
2.2
Het parallellenaxioma
Het vijfde axioma, ook wel het parallellenaxioma genoemd, lijkt niet echt op de andere axioma’s.
Daarom probeerden vele wiskundigen het af te leiden uit de eerste vier axioma’s. Men wilde
dus aantonen dat het parallellenaxioma volgt uit de andere axioma’s. Een van deze wiskundigen
was Proclus Diadochus, die beweerde in de vijfde eeuw na Christus het vijfde axioma afgeleid te
hebben, maar zijn bewijs bleek incorrect. In de eeuwen erna probeerden vele wiskundigen, o.a.
Wallis, Legendre en Saccheri het vijfde axioma af te leiden, maar slaagden daar niet in. Vaak
dacht iemand een afleiding gemaakt te hebben, maar die bleek dan toch een aanname te bevatten,
waarvoor het parallellenaxioma nodig was. Men is er wel in geslaagd het axioma te herformuleren.
Zo ontstonden er verschillende axioma’s die equivalent zijn aan het paralellenaxioma.[7][2][6]
Voorbeelden:
• Er bestaat een paar rechte lijnen dat overal gelijke afstanden van elkaar heeft.
• Voor elke drie niet op een rechte lijn liggende punten bestaat er een cirkel door die drie
punten.
• Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden.
• Er is geen maximum limiet voor de oppervlakte van een driehoek.
Maar de belangrijkste herformulering is die van Playfair in 1795[6]. Dit is het axioma zoals
de meesten het vandaag kennen:
• Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is er precies één lijn door dat punt parallel
met de oorspronkelijke lijn.
Definitie 2. Twee lijnen zijn parallel (evenwijdig) als ze elkaar niet snijden. Twee lijnsegmenten
zijn parallel als ze elkaar niet snijden, wanneer ze steeds verder verlengd worden.
Het is nu wel te begrijpen waarom het vijfde axioma van Euclides het parallellenaxioma
genoemd wordt.
2.3
Gauss
Gauss ging in 1817 een hele nieuwe weg in. Hij zag in dat het vijfde axioma echt onafhankelijk was
van de eerste vier. Hij begon uit te zoeken wat voor meetkunde ontstond als hij het vijfde axioma
veranderde. Hij stelde dat er meer dan één parallelle lijn te trekken is door een punt buiten een
lijn. Hij publiceerde zijn werk echter niet, uit angst voor boze reacties van de aanhangers van de
Euclidische meetkunde.[2][6]
2.4
Lobachevsky en Bolyai
Lobachevsky en Bolyai werkten de meetkunde zonder het parallellenaxioma verder uit in de 19e
eeuw. Bijzonder is dat ze onafhankelijk van elkaar de nieuwe meetkunde hebben uitgewerkt.
6
2.5
Hyperbolische en Elliptische meetkunde
Gauss, Lobachevsky en Bolyai construeerden dus een heel nieuw soort meetkunde. Merk op
dat het axioma op twee manieren aangepast kan worden. Hierdoor ontstaan er twee nieuwe
meetkundes:[6]
1. Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is er meer dan één lijn door dat punt
parallel met de oorspronkelijke lijn.
2. Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is geen lijn door dat punt parallel met
de oorspronkelijke lijn, dus alle lijnen snijden elkaar.
Meetkunde met de eerste aanpassing noemt men tegenwoordig de hyperbolische meetkunde.
Hiermee hebben Gauss, Lobachevsky en Bolyai zich bezig gehouden. De tweede aanpassing wordt
ook wel de elliptische meetkunde genoemd. Merk op dat de bolmeetkunde hier een voorbeeld
van is.[7][2]
Als men dus aanneemt dat er gegeven een lijn en een punt, meer dan één parallelle lijn door dat
punt gaat, krijg je dus de hyperbolische meetkunde. Hier volgt al heel snel uit dat er oneindig
veel parallelle lijnen door het punt gaan:
Stelling 1. (zie figuur 2.2) Zij l een lijn en P een punt niet op l. Als er twee lijnen door P
gaan die parallel zijn aan l, dan zijn er oneindig veel lijnen door P die parallel aan l zijn.
Bewijs. Zij A de loodrechte projectie van P op l. Stel er bestaan twee lijnen x en y door P die
parallel zijn aan l. Zij θx en θy de hoek tussen AP en lijn x respectievelijk y. Met een hoek
tussen twee lijnen bedoelen we de kleinst mogelijke hoek, dus een van tussen de 0 en 90 graden.
Merk op dat θx of θy kleiner is dan een rechte hoek, omdat anders x en y gelijk zijn. Zij θ groter
dan deze hoek, en kleiner dan een rechte hoek. Een lijn die hoek θ met AP maakt is ook parallel
met l. Er bestaan oneindig veel θ, dus oneindig veel lijnen door P die parallel lopen aan l.
Definitie 3. Een grenshoek θg is de kleinste hoek θ zoals hierboven, opdat de bijbehorende lijn
parallel is aan l. Die bijbehorende lijn heet een grensparallel.
Stelling 2. Er bestaat altijd een grenshoek θg in de hyperbolische meetkunde.
Bewijs. Stel er bestaat geen grenshoek θg . Zij V de verzameling hoeken θ zodat een lijn die hoek
θ maakt met AP parallel is met l. Merk op dat deze in de hyperbolische meetkunde niet leeg is.
Bovendien is V begrensd, V heeft dus een infimum. Zij θi dat infimum. We hebben aangenomen
dat de θg niet bestaat, dus θi is geen element van V. Anders zou θg gelijk zijn aan θi , en dus
bestaan. Zij S het snijpunt van de lijn die hoek θi met AP maakt en l. Kies nu een punt op l,
verder van A dan S. Deze lijn is niet parallel aan l, maar heeft een grotere hoek dan θi . θi is
dus geen infimum van V, tegenspraak. Er bestaat dus een grenshoek θg .
Figuur 2.2:
Het axioma van de hyperbolische meetkunde kan dus
veranderd worden in ‘oneindig veel’ i.p.v. ‘meer dan
één’. De grenshoek kan zowel links als rechts zitten
van AP . Er bestaan dus altijd twee grensparallellen, en
daarnaast oneindig veel parallelle lijnen.
Lobachevsky en Bolyai zijn al in staat geweest om
aan te tonen dat niet-Euclidische meetkunde consistent
is. D.w.z. dat er nooit een tegenspraak gevonden gaat
worden als het vijfde axioma wordt aangepast.
7
3
Visualisatie van hyperbolische meetkunde
Wij kunnen ons de niet-Euclidische meetkunde moeilijk voorstellen. Als men een punt tekent
buiten een lijn, lukt het om maar één lijn door dat punt te trekken die parallel is (alhoewel nog niemand een lijn oneindig lang heeft doorgetrokken). Euclides definieerde zijn meetkunde waarschijnlijk op het platte vlak, maar nergens wordt dat expliciet vermeld. In een drie-dimensionale
ruimte is de hyperbolische- en elliptische meetkunde wel te visualiseren.[6]
Alvorens is het goed om te definiëren wat een rechte lijn is op een gekromd vlak is:
Definitie 1. Een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten.
Kies nu een gele lijn en een wit punt buiten de gele lijn.
Figuur 3.1:
1. Euclidische meetkunde is gewoon voor te stellen op het platte vlak. Er is maar één blauwe
lijn door het punt dat parallel is aan de gele lijn.
2. Elliptische meetkunde treedt bovenop een vlak dat naar binnen gevouwen wordt. Er is geen
parallelle rechte lijn te construeren. Dit is bijvoorbeeld bij een bol aan de hand, er is geen
grootcirkel parallel aan een andere grootcirkel, wat nader wordt behandeld in Hoofdstuk 4.
3. Hyperbolische meetkunde treedt op in een zadelvlak. Nu zijn er oneindig veel blauwe lijnen
die de gele lijn niet snijden. Dit is echter moeilijker voor te stellen dan de vorige twee
situaties. Men kan een zadelvorm beschouwen zoals in het plaatje. Dit model klopt alleen
op een klein stuk oppervlak. Een hyperbolische ruimte blijkt dus moeilijk te visualiseren.
Nog een nadeel van deze modellen is dat het moeilijk is om wiskunde toe te passen op driedimensionale ruimtes. Er zijn echter andere modellen ontwikkeld die gebruikt kunnen worden
voor de niet-Euclidische meetkunde.
8
3.1
Het Beltrami-Klein model
Een simpel model is het Beltrami-Klein model. Het
hyperbolische vlak is het binnenste van een cirkel. Hyperbolische lijnen zijn koorden van de cirkel. Afstanden
zijn dichter bij de rand van de cirkel groter dan in het
midden. Afstanden tussen punten die in de buurt van
de cirkel liggen naderen naar oneindig. Een koorde stelt
dus een oneindig lange lijn voor, en de rand van de cirkel
een soort horizon.
In dit model geldt het vijfde axioma van de hyperbolische meetkunde.
Het is gemakkelijk na te
gaan dat de andere vier axioma’s ook gelden. Een
nadeel is echter dat in dit model de hoeken vervormd
worden.[7][3]
3.2
Figuur 3.2:
De schijf van Poincaré
In 1906 ontwikkelde Henri Poincaré een model voor de
Figuur 3.3:
hyperbolische meetkunde. Men noemt deze de schijf
van Poincaré, en deze heeft net als het Beltrami-Klein
model de vorm van een cirkel. Alle punten zitten binnen die cirkel, waarvan de rand weer optreedt als ‘horizon’. Rechte lijnen zijn in dit model cirkelbogen die
de horizon loodrecht snijden. Hoeken tussen cirkelbogen kunnen gemeten worden zoals dat gedaan wordt in
een Euclidische ruimte. Net als bij het Beltrami-Klein
model, worden afstanden dicht bij de rand van de cirkel
steeds groter. Lijnstukken dichter bij het middelpunt
van de cirkel zijn dus korter dan lijnstukken in de buurt van de horizon. Het mooie aan dit model is dat er
in dit model echt meetkunde bedreven kan worden. Er
kunnen hyperbolische driehoeken getekend worden, en
opgemeten worden. Ook bestaat er een formule voor de lengte van lijnstukken. De schijf van
Poincaré kan dus gebruikt worden voor driehoeksmeting. [7][3]
9
4
Boldriehoeksmeetkunde
Boldriehoeksmeetkunde beslaat simpelweg de meetkunde van driehoeken op het oppervlak van
een bol. Zoals men zou verwachten is het door de kromming van het boloppervlak niet mogelijk
om Euclidische axioma’s op boldriehoeken toe te passen. We beschouwen de axioma’s van de
Euclidische meetkunde in verband met de bolmeetkunde. Hiervoor is het belangrijk dat we eerst
herhalen wat de definitie van een rechte lijn is:
Definitie 1. Een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten.
Nu is de vraag wat een rechte lijn op het boloppervlak precies inhoudt, zonder dit te weten
zijn we niet in staat de Euclidische axioma’s te bekijken in verband met bolmeetkunde. Daarvoor
doen we eerst een intuı̈tieve beschouwing van een bol en het boloppervlak.
Figuur 4.1:
𝑃1
𝜌
𝑅
𝑀
𝑂
𝑃2
4.1
Eigenschappen van een bol en het boloppervlak
Figuur 4.1 geeft een bol met middelpunt O en straal R weer. Door deze bol loopt een as die
door O loopt en het boloppervlak doorkruist in de punten P1 en P2 . Deze punten liggen dus per
definitie diametraal tegenover elkaar. Deze as is de normaal van een verzameling vlakken die het
boloppervlak snijden.
Nu nemen we een willekeurig vlak V uit deze verzameling en noemen de doorsnijding van dit
vlak en de normaal M . Omdat de normaal per definitie niet in het vlak ligt is M een punt. Voor
een willekeurig punt in de doorsnijding van het vlak V en het boloppervlak geldt uiteraard dat
het een afstand R van het middelpunt O ligt. Als we nu de afstand tussen ditzelfde willekeurige
punt en M uitdrukken als ρ, dan kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken om ρ uit te
10
drukken in R en de lengte van het lijnstuk OM , aangezien de normaal per definitie loodrecht
staat op het vlak waarin het willekeurige punt en M liggen.
R2 = (OM )2 + ρ2
p
ρ = R2 − (OM )2
Omdat R en OM constant zijn voor ieder willekeurig punt in de doorsnijding van het vlak V en
het boloppervlak, geldt dat ook ρ constant is voor elk punt in de doorsnijding. De doorsnijding
van V en het boloppervlak is daarom een cirkel met middelpunt M . Dit geldt voor iedere
doorsnijding van een vlak en het boloppervlak.
Er is maar één vlak in de verzameling van vlakken met normaal P1 P2 die ook O snijdt, en de
doorsnijding van dit vlak en het boloppervlak heet een grootcirkel. De doorsnijdingen van alle
overige vlakken en het boloppervlak heten kleincirkels. In figuur 4.1 worden één grootcirkel en
één kleincirkel weergegeven. Grootcirkels onderscheiden zich van kleincirkels door het feit dat ze
een straal R hebben en doordat elk paar diametraal tegenover elkaar liggende punten altijd in
dezelfde grootcirkel liggen.
Figuur 4.2:
Stel er liggen twee willekeurige punten M en N niet diametraal tegenover elkaar op een boloppervlak. Dan bestaat er maar één grootcirkel die allebei de punten doorkruist: de doorsnijding
van het boloppervlak en het vlak waarin O, M en N liggen.
Nu we weten wat een grootcirkel is zijn we in staat om te bepalen wat een rechte lijn op een
boloppervlak inhoudt, door middel van de volgende stelling.
Stelling 1. Op het boloppervlak is een rechte lijn gelijk aan een grootcirkelboog waar voor de
hoek θ van de boog geldt 0 < θ ≤ π.
Vanuit Definitie 1 volgt dat om Stelling 1 te bewijzen we moeten aantonen dat voor twee
willekeurige punten M en N op het boloppervlak geldt dat de kortste lijn tussen deze twee punten een grootcirkelboog is zoals beschreven in de stelling.
Bewijs. We nemen twee willekeurige punten M en N op het boloppervlak, die niet diametraal tegenover elkaar liggen, en tekenen het koord M N . Nu voegen we een punt Q toe op dit
koord zodat M Q en N Q even lang zijn, zoals weergegeven in figuur 4.2.
11
Figuur 4.3:
We kijken nu naar de grootcirkel die de doorsnijding bedraagt
van het boloppervlak en het vlak waar Q in ligt met lijnstuk
M N als normaal. Dit is een grootcirkel omdat we vanuit symmetrieoverwegingen kunnen zien dat het lijnstuk vanuit het middelpunt van de bol O naar Q loodrecht staat op M N .
We zoeken nu een punt P in de grootcirkel zodat de lengtes
van de koorden M P en N P bij elkaar minimaal zijn. Hier geldt
nu dat P Q loodrecht staat op M N en M Q = N Q = 12 M N , en
hieruit volgt;
p
p
M P + N P = (P Q)2 + (M Q)2 + (P Q)2 + (N Q)2
p
= (2P Q)2 + (M N )2
Omdat M N constant is moeten we P zo kiezen dat P Q minimaal is. Dan moet gelden dat P in het verlengde ligt van het
lijnstuk OQ. Door middel van figuur 4.3 tonen we aan dat dan
voor elk ander punt P 0 op het boloppervlak vanuit de driehoeksongelijkheid (deze is strikt omdat Q niet op het lijnstuk P 0 O ligt)
geldt;
P 0 Q > OP 0 − OQ = OP − OQ = P Q
Hieruit volgt dat P in hetzelfde vlak ligt als M , N en O, en daarom in de grootcirkelboog
tussen M en N ligt. Vanuit symmetrieoverwegingen volgt dat P halverwege de grootcirkelboog
ligt.
Dit proces gaat op voor elke twee punten op het boloppervlak en kan daarom ook uitgevoerd
worden op M en P en ook op N en P . We kunnen dit blijven herhalen zodat we na n iteraties
een constructie hebben die uit 2n stuks koorden van gelijke lengte bestaat die M en N verbindt
via 2n − 1 aantal punten die zo gekozen zijn dat de totale lengte van deze koorden minimaal is.
Elk van deze punten ligt op de grootcirkelboog tussen M en N .
Nu tonen we aan dat deze constructie in de limiet na oneindig veel iteraties naar de grootcirkelboog tussen M en N convergeert. Dit doen we door te bewijzen dat de totale lengte van
alle koorden convergeert naar de lengte van de grootcirkelboog, die we vanaf nu met c aanduiden.
Figuur 4.4:
12
We definiëren de rij (ln )n∈N waar ln de totale lengte is van alle koorden die na n iteraties
gevormd zijn. De grootte van ln is te berekenen, dit doen we aan de hand van figuur 4.4. We
zien dat l0 en l1 bedragen;
c l0 = M N = 2R sin
c 2R
l1 = 2 · 2R sin
2 · 2R
Hieruit is het niet moeilijk in te zien dat de formule voor ln bedraagt;
c ln = 2n+1 R sin n+1
2
R
Nu willen we aantonen dat (ln )n∈N convergeert. Daarvoor passen we de volgende standaardlimieten toe.
1
sin (cx) = c
x
1
=0
lim
n→∞ 2n+1 R
lim
x→0
Dan volgt vanuit de substitutiestelling dat limn→∞ ln = c. Wat we ons hierbij kunnen voorstellen
is dat de constructie van oneindig veel kleine koordjes van gelijke lengte met de kortste totale
lengte tussen M en N dezelfde lengte heeft als de grootcirkelboog, en dat de oneindig veel punten
die deze constructie opspannen allemaal in de grootcirkelboog liggen. Deze constructie is dus
equivalent aan de grootcirkelboog.
Nu is het ook makkelijk in te zien dat voor de hoek θ van deze grootcirkelboog geldt 0 < θ < π,
omdat deze hoek gelijk is aan de hoek ∠M ON uit figuur 4.2.
Aan de hand van dit bewijs zien we in dat grootcirkelbogen moeten worden beschouwd als
rechte lijnen op het boloppervlak. Afstanden tussen twee punten op het boloppervlak worden
dan ook gegeven als hoek van de kortste grootcirkelboog die de twee punten verbindt.
4.2
Euclidische axioma’s en het boloppervlak
We weten nu wat een rechte lijn op een boldriehoek precies inhoudt, en met dit zijn we in staat
om stuk voor stuk elk van de Euclidische axioma’s zoals genoemd in paragraaf 2.1 te beschouwen
in verband met het boloppervlak.
Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen twee punten.
We hebben aangetoond dat als twee punten A en B niet diametraal tegen over elkaar liggen,
dat er dan één unieke grootcirkelboog is die de twee punten verbindt. Tot hier is het axioma
geldig. Als nu geldt dat A en B wel diametraal tegenover elkaar liggen, dan bestaan er oneindig
veel grootcirkelbogen die de twee punten verbinden, de punten liggen immers altijd in dezelfde
grootcirkels. Ofwel tenzij we een nieuwe definitie voor punten op een boloppervlak opstellen, is
axioma 1 niet geldig voor het boloppervlak.
Axioma 2. Elk recht lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken.
Vanuit stelling 1 zien we al dat ook axioma 2 niet geldig is voor het boloppervlak. Een
recht lijnsegment, ofwel een grootcirkelboog, kan maximaal doorgetrokken worden totdat de
hoek hiervan π bedraagt, een grootcirkelboog met een hoek groter dan π is immers geen recht
lijnsegment meer.
13
Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijk straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend.
Hiervoor moeten we eerst goed naar de definitie van een cirkel kijken, en deze toepassen op
een boloppervlak.
Definitie 2. Een cirkel is de verzameling van alle punten met afstand r (de straal) tot een
middelpunt M.
Alweer zien we vanuit stelling 1 dat ook axioma 3 niet geldig is voor het boloppervlak, omdat
er een bovengrens is voor de mogelijke straal. Er bestaan immers geen punten op het boloppervlak
waartussen de onderlinge afstand groter is dan πR. Los hiervan is het wel interessant om te
bekijken welke cirkels wel getekend kunnen worden, en hoe deze eruit zien.
We beschouwen een cirkel met middelpunt M en straal 0 < r < πR; ofwel elk willekeurig
punt P in de cirkel kan worden verbonden door een grootcirkelboog met hoek θ waarvoor geldt
0 < θ < π. Nu geldt ook r = θR. Figuur 4.5 weergeeft dat er een punt N bestaat dat op dezelfde
as ligt als M en O zodat geldt dat M N loodrecht staat op N P . Dan geldt ook P N = R sin θ.
Vanuit symmetrieoverwegingen geldt dit voor elke willekeurige P in de cirkel, ofwel de cirkel
beslaat een kleincirkel rond het punt N met straal R sin θ. In het bijzondere geval dat r = π2 R
volgt de cirkel een grootcirkel, omdat zijn straal gelijk is aan R en ook geldt N = O.
Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent.
Vanuit de symmetrische eigenschappen van een bol
zien we dat een hoek behouden zal blijven onder translatie. Dat wil zeggen dat een hoek na een verplaatsing naar een ander punt op het boloppervlak niet van
grootte zal veranderen, dit geldt in het bijzonder voor
rechte hoeken. Hieruit volgt dat axioma 4 opgaat.
Axioma 5. Als twee lijnen een derde lijn zó snijden
dat de som van de binnenhoeken aan één kant kleiner is
dan π, dan snijden deze twee lijnen elkaar aan die kant
van de derde lijn.
Figuur 4.5:
𝑀
𝑟 = 𝜃𝑅
𝜃𝑂
𝑃
𝑁
Het is niet moeilijk om in te zien dat axioma 5 opgaat voor het boloppervlak. Ter illustratie kiezen we
twee niet diametraal tegenover elkaar liggende punten
A en B. Nu beschouwen we twee willekeurige grootcirkels CA en CB , met als enige voorwaarden
dat A in CA maar niet in CB ligt en dat B niet in CA en wel in CB ligt. Dit voorkomt dat de
grootcirkels het verlengde vormen van het lijnstuk AB. Hiervanuit volgt dat de twee grootcirkels
twee snijpunten S1 en S2 hebben die diametraal tegen over elkaar liggen. Omdat A en B tussen
S1 en S2 liggen op CA en CB , geldt dat de grootcirkelbogen van elk A en B naar S1 en S2 allemaal
kleiner zijn dan π. Hieruit concluderen we dat in verwijzing naar axioma 5 het niet uitmaakt hoe
twee lijnen een derde lijn snijden, ze zullen elkaar snijden aan ieder zijde van de lijn. Ook zijn
de implicaties van axioma 5 anders voor het boloppervlak dan voor het Euclidische vlak omdat
axioma’s 1, 2 en 3 niet opgaan — er bestaat namelijk geen parallele lijn op het boloppervlak.
We zien dus dat het grootste deel van de Euclidische axioma’s niet opgaat voor bolmeetkunde.
Hiervanuit concluderen dat Euclidische meetkunde niet toepasbaar is voor het boloppervlak, en
dat wij daarom het boloppervlak op een andere manier moeten beschouwen.
14
4.3
Boldriehoeken
Logischerwijs bestaat de mogelijkheid om drie willekeurige punten A, B en C op het boloppervlak
(uiteraard niet diametraal tegenover elkaar geplaatst) onderling te verbinden door de kortste
grootcirkelbogen, zoals afgebeeld in figuur 4.6. Deze constructie heet een boldriehoek. In de
boldriehoeksmeetkunde is het de conventie om de overstaande zijde van de punten A, B en C
respectievelijk a, b en c te noemen. De aanliggende hoeken tussen de grootcirkelbogen worden
bij de punten A, B en C repectievelijk α, β en γ genoemd. Dit staat ook afgebeeld in figuur 4.6.
Ook geldt voor de zijden dat 0 < a, b, c < π en voor de hoeken dat 0 < α, β, γ < π. Net als in
de Euclidische meetkunde geldt voor boldriehoeken dat als drie van de elementen a, b, c, α, β en
γ gedefiniëerd zijn dat dan de andere elementen bepaald zijn. Er gelden dus bepaalde afhankelijkheden tussen deze elementen en het is mogelijk om deze afhankelijkheden af te leiden. Dit doen
we in de komende paragrafen volgens de methode die wordt weergegeven in [1] van Hogendijk
(vermoedelijk door hem geplagieerd).
Figuur 4.6:
𝛼
𝑏
𝑐
𝛽
𝛾
𝑎
4.4
Rechthoekige boldriehoeken
Een rechthoekige boldriehoek is gewoonweg een boldriehoek die een rechte hoek heeft, oftewel een
hoek van grootte π2 . We beginnen met een rechthoekige boldriehoek waar γ = π2 en 0 < a, b, c < π2
zoals weergegeven in figuur 4.7. De afbeelding toont ook een lijn vanuit het middelpunt van de
bol O naar elk hoekpunt. Op het lijnstuk OC is het punt C 0 gekozen zodat het lijnstuk BC 0
loodrecht staat op OC. Op lijnstuk OA is op dezelfde manier het punt A0 toegevoegd. Het is
15
belangrijk om in te zien dat omdat het fiet γ = π2 er toe leidt dat BC 0 loodrecht op het vlak
staat waarin A, C en O liggen en hierdoor ook A0 C 0 loodrecht op BC 0 staat. Het is ook van
belang om op te merken dat A0 C 0 loodrecht staat op OA, wat valt af te leiden uit het feit dat
OA de normaal is op het vlak waarin A0 , B en C 0 liggen (A0 B staat per definitie loodrecht op
OA) en uit het feit dat BC 0 de normaal is van het vlak waarin A, C en O liggen. Dit heeft als
consequentie dat ∠BA0 C 0 gelijk is aan α.
Figuur 4.7:
𝐶
𝛾
𝑎
𝐶′
𝑏
𝐴′
𝑂
𝛼
𝛽
𝐵
𝐴
𝛼
𝑐
Het toevoegen van de punten A0 en C 0 heeft als nut dat de vier rechthoekige driehoeken
4OA0 B, 4OA0 C 0 , 4OBC 0 en 4A0 BC 0 , gevormd worden. Deze rechthoekige driehoeken staan
ons nu toe om iets te zeggen over sinus en cosinus van de hoeken a, b, c en α. Als we naar de
verhoudingen tussen lijnstukken in figuur 4.7 kijken zijn we in staat om daarmee de volgende
afhankelijkheden af te leiden voor de rechthoekige boldriehoek:
OA0
OC 0 OA0
=
= cos a cos b
OB
OB OC 0
cos c = cos a cos b
cos c =
Door middel van de rechthoekige driehoeken geldt ook het volgende:
sin α =
BC 0
=
A0 B
BC 0
sin a
OB
=
A0 B
sin c
OB
A0 C 0
tan b
OA0
=
A0 B
tan
c
OA0
A0 C 0
=
A0 B
sin α
sin a tan c
tan a
tan α =
=
=
cos α
sin c tan b
sin b
cos α =
16
Vanuit symmetrieoverwegingen zijn we in staat om aan te nemen dat in het geval van deze
rechthoekige driehoek er een equivalentie is tussen de punten A en B, dus elke relatie die geldt
voor a en α is toepasbaar op b en β en andersom.
sin β =
sin b
sin c
cos β =
tan a
tan c
tan β =
tan b
sin a
Met deze vergelijkingen is het mogelijk om voor elke rechthoekige driehoek vanuit twee bekende
elementen uit a, b, c, α en β de overige drie te berekenen.
4.5
Willekeurige boldriehoeken
In figuur 4.8 hebben we een willekeurige boldriehoek 4ABC waarvoor geldt 0 < α, β < π2 . We
tekenen nu een punt M op zijde c zodat het lijnstuk CM , wat we voortaan hc noemen, loodrecht staat op c. We hebben nu de oorspronkelijke boldriehoek opgesplitst in twee rechthoekige
driehoeken. Zijde c bestaat nu ook uit twee kortere zijdes m en n, zodat m + n = c, en de hoek
γ uit twee kleinere hoeken µ en ν, zodat µ + ν = γ. Nu rekenen we cos c uit met behulp van de
identiteiten voor de twee rechthoekige driehoeken.
cos c = cos (m + n) = cos m cos n − sin m sin n
cos a cos b
− sin a sin b sin µ sin ν
=
cos2 hc
= cos a cos b 1 + tan2 hc − sin a sin b sin µ sin ν
= cos a cos b (1 + (tan a cos µ) (tan b cos ν)) − sin a sin b sin µ sin ν
= cos a cos b + sin a sin b (cos µ cos ν − sin µ sin ν)
Hieruit volgt de zijde-cosinusregel, een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
(1)
Figuur 4.8:
𝐶
𝜇
𝜈
𝑏
𝑎
ℎ𝑐
𝛼
𝐵
𝛽
𝑛
𝑚
𝑀
17
𝐴
Vanuit de zijde-cosinusregel leiden we vervolgens weer af:
cos c − cos a cos b
sin a sin b
− cos2 hc cos m cos n + cos2 hc + sin2 hc cos c
=
sin a sin b
− cos2 hc (cos m cos n − cos c) + sin2 hc cos c
=
sin
a sin b
cos hc sin n
sin hc
sin hc
cos hc sin m
+
cos c
=−
sin a
sin b
sin a
sin b
cos γ =
Dit geeft uiteindelijk de hoek-cosinusregel, ook een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde:
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c
(2)
Figuur 4.9:
𝛼
𝛼
𝛽
𝛽
𝛾 𝛾
𝛾 𝛾
𝛽
𝛽
𝛼
𝛼
Vanuit de rechthoekige driehoeken kunnen we ook nog het volgende afleiden.
sin α sin b = sinhc = sin β sin a
Hieruit volgt:
sin a
sin b
=
sin α
sin β
Aangezien in een willekeurige boldriehoek alle hoeken en zijden equivalent behandeld worden,
zijn we in staat om vanuit symmetrieoverwegingen te zeggen dat deze verhouding ook geldt voor
18
c en γ zoals voor a, b, α en β. Dit staat bekend als de sinusregel en deze bedraagt:
sin a
sin b
sin c
=
=
sin α
sin β
sin γ
(3)
Vanuit de rechthoekige driehoeken kunnen we ook nog het volgende afleiden.
tan α sin n = tan hc = tan β sin m
Hieruit volgt:
sin n
sin (c − m)
sin c cos m − sin m cos c
tan α
=
=
=
tan β
sin m
sin m
sin m
sin c cos α
sin α
=
− cos c cos α
tan β
tan m
Dit geeft uiteindelijk de tangensregel, ook een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde:
sin α
sin c
=
− cos c cos α
tan β
tan b
(4)
Ondanks dat we de sinus-, cosinus- en tangensregels net hebben afgeleid door middel van een
boldriehoek waarvoor geldt 0 < α, β < π2 , zijn deze regels toepasbaar op alle boldriehoeken.
De oppervlakte van een boldriehoek (4) kan worden afgeleid door de zijdes van de boldriehoek
door te trekken tot volledige grootcirkels. Hierdoor onstaan boltweehoeken, waarvan de hoekpunten diametraal tegen over elkaar liggen. De oppervlakte van een boltweehoek met hoek α is gelijk
α
α
aan 2π
de oppervlakte van de bol en wordt zo gegeven door 2π
· 4πR2 = α · 2R2 .
In figuur 4.9 zien we dat de zes boltweehoeken met hoeken α, β en γ die de grootcirkels
vormen het hele boloppervlak vullen terwijl ze overlappen in de oorspronkelijke boldriehoek en
een congruente boldriehoek diametraal tegenover de oorspronkelijke. Hierdoor zijn we in staat de
volgende vergelijking op te stellen en daaruit een formule voor het oppervlak van de boldriehoek
af te leiden.
4πR2 = 2 α · 2R2 + β · 2R2 + γ · 2R2 − 24
4πR2 = 4R2 (α + β + γ) − 44
Opmerkelijk genoeg zien we dus dat het oppervlak van een boldriehoek afhankelijk is van de som
van zijn hoeken:
4 = (α + β + γ − π) R2
(5)
Aan de hand van vergelijkingen 1 tot en met 5 is het mogelijk om elke willekeurige boldriehoek
te beschrijven. Daarmee bedoelen we dat als we drie willekeurge elementen uit de verzameling
{α, β, γ, a, b, c} bekend zijn, dat we dan door middel van het toepassen van vergelijkingen 1-5 we
de overige drie elementen kunnen bepalen.
19
5
Hyperbolische meetkunde
In dit hoofdstuk volgen we de methode van Bolyai om relevante stellingen in de hyperbolische meetkunde en de bijbehorende driehoeksmeetkunde af te leiden.[4][5] Zoals eerder duidelijk
gemaakt is (zie paragraaf 2.1), vermelden wij niet alle veertien axioma’s die hierbij in feite worden
aangenomen. Dit is analoog aan het originele werk van Bolyai [5], die zich van deze stilzwijgende
aannames waarschijnlijk niet bewust was. Deze axioma’s zijn wel te vinden in [3].
5.1
Aannames
Om relevante stellingen te kunnen bewijzen, bespreken we eerst welke axioma’s we aannemen en
geven we een definitie van speciale parallelle lijnen in de hyperbolische meetkunde. We nemen
de axioma’s van de neutrale meetkunde aan (d.w.z. de axioma’s van de Euclidische meetkunde
zonder parallellenaxioma):
Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen elke twee punten.
Axioma 2. Elk recht lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken.
Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijke straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend.
Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent.
Hier voegen wij nu het volgende axioma aan toe:
Axioma 5. Gegeven een willekeurige lijn l en een willekeurig punt P niet op l, dan bestaan er
minstens twee verschillende lijnen l1 en l2 door P die l niet snijden.
We geven de definitie van parallelle lijnen, die geldig is in alle soorten meetkunde.
Definitie 1. Twee lijnen AB en CD in hetzelfde vlak heten parallel als er geen punt E bestaat
zó dat E op zowel AB als CD ligt. Als we de voorwaarde dat deze lijnen in hetzelfde vlak liggen
weghalen, dan zeggen we dat AB en CD elkaar kruisen als ze elkaar niet snijden.
We hebben in paragraaf 2.5 al een aantal interessante eigenschappen van de hyperbolische
meetkunde bewezen. Voordat we beginnen met het bewijzen van de benodigde stellingen, bewijzen we een belangrijke eigenschap van parallelle lijnen in de hyperbolische meetkunde.
Eigenschap 1. Gegeven een lijn l en een punt P niet op l. Er bestaan twee lijnen door P
parallel aan l, met de eigenschap dat als ze rond P weg van de normaal op l door P worden
geroteerd over een willekeurige hoek φ > 0, ze de lijn l snijden.
Bewijs. Zij ϑ de hoek die een lijn m door P maakt met de normaal aan l die door P gaat. Als
we deze hoek laten toenemen vanaf π2 , zal voor bepaalde hoeken gelden dat de lijn m niet meer
parallel is aan l en dus een snijpunt Q heeft met l. Zij A de verzameling hoeken waarvoor geldt
dat m en l niet snijden, met inf A = ϑ0 .1 Stel ϑ0 ∈
/ A; dan geldt als ϑ = ϑ0 , dat er een snijpunt
Q van m met l bestaat. Verschuiven we dit snijpunt over l weg van de normaal, dan neemt ϑ
toe, terwijl nog steeds geldt dat m en l elkaar snijden. Dus ϑ0 6= inf A. Tegenspraak.
Dus ϑ0 ∈ A en er volgt ϑ0 = min A. Zodoende bestaan er twee lijnen parallel aan l met de
speciale eigenschap dat als de hoek die ze met de normaal op l door P maken toeneemt met
φ > 0, er geldt dat deze lijnen l snijden.
Definitie 2. Een lijn met bovenstaande eigenschap 1 noemen we grensparallel.
1 Met
inf A bedoelen we het infimum van A; d.w.z. de grootste ondergrens van A. Deze bestaat, want A 6= ∅.
20
5.2
Bewijzen van benodigde stellingen
Ons doel in deze paragraaf is om verbanden te vinden tussen de hoeken en zijden van een
hyperbolische driehoek — dit valt te vergelijken met de goniometrische regels die we hebben
opgesteld voor boldriehoeken. We gebruiken hierbij de methode van Janos Bolyai. [5]
Hiervoor voeren we allereerst wat notatie in: de symbolen ./ en →.
Definitie 1. Zij AB en CD twee halve lijnen (zie figuur 5.1) en
∠CAB = ∠ACD. Dan schrijven we: AB ./ CD.
Figuur 5.1:
Definitie 2. Met x → a bedoelen we “x gaat naar de limiet a”.
Daarnaast herhalen we wat het symbool ∼
= betekent.
Definitie 3. Het symbool ∼
= staat voor congruentie tussen twee objecten. Dus als 4ABC ∼
= 4EDF , dan zijn de twee driehoeken 4ABC
en 4EDF congruent. Dit betekent dat de ene driehoek d.m.v. beweging precies op de andere kan komen te vallen.
We gebruiken hier uiteraard de definitie uit de voorgaande paragraaf van parallelle lijnen (zie definitie 1 uit paragraaf 5.1) en grensparallelle lijnen (zie eigenschap 1 en definitie 2 op de vorige pagina).
Definitie 4. Als een lijn BN grensparallel is aan AM schrijven we
BN k AM .
Als voor twee lijnen GH en KL zowel geldt dat GH ./ KL en GH k KL, dan zullen we
noteren: GH | ./ |KL. Verder definiëren we een halve lijn als volgt: de halve lijn AB begint in
het punt A en wordt willekeurig lang in de richting van B voortgezet.
Figuur 5.2:
We gaan een aantal bewijzen opstellen, waarmee we uiteindelijk
verbanden tussen de hoeken en zijden van een hyperbolische driehoek
zullen afleiden.
Stelling 1. (zie figuur 5.2) Als BN k AM , dan bestaat er op de rechte
AM precies één punt F zó dat F M ./ BN .
Bewijs. Kies punten E en C op AM zó dat ∠BCM > ∠CBN en
∠BEM < ∠EBN . Laat punt P over EC van E naar C bewegen; dan
geldt eerst ∠BP M < ∠P BN en later ∠BP M > ∠P BN . We zien
dat ∠BP M continu toeneemt van ∠BEM naar ∠BCM . Deze hoek
zal dus ook één punt passeren waarop geldt ∠BP M = ∠P BN .2 Er
is daarom precies één punt F op EC zó dat ∠BF M = ∠F BN en dus
F M ./ BN .
Met behulp van stelling 1 kunnen we nu een definitie geven van
Υ-vormen en L-lijnen.
Definitie 5. (zie figuur 5.3) Gegeven het punt A en de halve lijn AM . Beschouw alle punten
B waarvoor geldt dat er een punt N bestaat zó dat geldt zowel BN k AM als BN ./ AM . We
noemen dit de Υ-vorm van AM . De doorsnijding van Υ met een vlak bevattende lijnstuk AM
noemen we de L-lijn van AM ; we noemen AM de as van L.
2 In
deze uitspraak zit een continuı̈teitsaxioma verstopt; intuı̈tief is het bestaan van een dergelijk punt duidelijk.
21
Stelling 2. (zie figuur 5.4) Twee L-lijnen AP en BD in dezelfde Υ-vorm, snijdende met een
derde L-lijn AB, snijden als ∠BAP + ∠ABD < π.
Bewijs. Stel AM en BN zijn assen van dezelfde Υ. Er geldt dat de vlakken M AP en N BD
snijden; met definitie 5 volgt daarnaast dat Υ deze intersectie bevat. We concluderen dat AP en
BD snijden.
Het moge duidelijk zijn dat de Υ-vorm van AM precies één punt
gemeenschappelijk heeft met een willekeurige lijn parallel aan AM ;
zie stelling 1. Dit toont aan dat L door de halve lijn AM in twee
congruente stukken wordt verdeeld. Ook valt in te zien dat als we L
om zijn as AM te roteren, de Υ van AM wordt verkregen.
Uit bovenstaande stelling 2 volgt dat de Euclidische axioma’s en
eigenschappen van rechte lijnen even goed gelden voor L-lijnen in de
hyperbolische ruimte. Dit is analoog aan het Poincaré schijfmodel (zie
paragraaf 3.2), waarin binnen cirkelbogen de axioma’s van de hyperbolische meetkunde gelden. We mogen dus ook alle stellingen die binnen de Euclidische meetkunde gelden (zoals de sinusregel) toepassen
op objecten in de hyperbolische ruimte bestaande uit L-lijnen. Dit zal
van groot belang zijn — zie stelling 9 en paragraaf 5.3.
Tenslotte merken we op dat we de L-vorm kunnen interpreteren
als de limietfiguur van een hyperbolische ‘bol met oneindige straal’;
d.w.z. als we een cirkel hebben met straal R en we laten R → ∞,
dan wordt deze cirkel een L-lijn. Grensparallelle lijnen snijden elkaar
immers ‘in het oneindige’ (ze zijn een limietgeval) en een grensparallel
staat loodrecht op de bijbehorende L-lijn.
Figuur 5.3:
Stelling 3. (zie figuur 5.5) Als BN |./| CP en AM ⊥ BC, dan BN k AM .
Bewijs. Als BN de halve lijn AM zou snijden, dan zou CP AM op hetzelfde punt snijden;
want M ABN ∼
= M ACP . Dan zouden BN en CP elkaar dus ook snijden, terwijl BN k CP ;
tegenspraak. Dus AM en BN snijden elkaar niet, waaruit volgt dat AM k BN .
Figuur 5.4:
22
Figuur 5.5:
Uit de zojuist bewezen stelling 3 kunnen we iets concluderen dat
erg bruikbaar zal blijken bij volgende bewijzen.
Stelling 4. Als B ligt op de L van de halve lijn AM en BN |./| AM ,
dan is de L van AM ook de L van BN .
Bewijs. Stel L0 de L van BN . Laat het punt C ergens op L0 liggen,
en een halve lijn CP bestaan beginnend in C, zó dat CP |./| BN (dit
kan volgens definitie 5). Aangezien BN | ./ |AM volgt uit stelling 5
dat ook CP |./|AM . Dus C valt ook op L. C is hier willekeurig op L0
gekozen, dus volgt dat L en L0 hetzelfde zijn.
Stelling 5. (zie figuur 5.5) Als zowel BN | ./ | AM als CP | ./ | AM ,
dan ook BN |./| CP .
Bewijs. We kunnen de lijnen AB en AC trekken; uit stelling 1 volgt
dan dat het lijnstuk BC een segment van één L is, namelijk die van
AM . Er volgt nu met stelling 4 dat BN |./| CP .
Stelling 6. (zie figuur 5.6) Laat AB de L van de halve lijn AM zijn en C op AM . Als ∠CAB
over AB wordt bewogen dan zal het pad dat C beschrijft de L van CM zijn.
Bewijs. Kies D op BN zó dat C op D terechtkomt na de translatie van ∠CAB over AB — de
lijn CD noemen we L0 . Dan DN k CM en B het snijpunt tussen de L-lijn van AM en DN .
Omdat BN ./ AM en |AC| = |BD| (de lengte |AC| blijft onveranderd onder translatie), volgt
dat DN |./|CM , en dus ligt D op de L-lijn van CM . Echter, dit geldt voor alle translaties van
∠CAB over AB met |AB| willekeurig; voor elk punt D op BN met bovenstaande eigenschap
geldt dan steeds dat D op de L-lijn van CM ligt. Hieruit volgt dat L0 , bestaande uit al deze
punten D, de L-lijn van CM is.
Figuur 5.6:
Een dergelijke relatie tussen twee L-vormen zullen we
vanaf nu als volgt noteren: L|||L0 . Een meetkundig interessante grootheid is de verhouding tussen de lengtes AB en
CD; we geven deze verhouding een naam.
Definitie 6. De verhouding AB : CD (zie figuur 5.6) geven
we weer met een hoofdletter (zoals X) corresponderend met
de kleine letter (zoals x) waarmee we het lijnstuk AC bedoelen.
Het moge duidelijk zijn dat X onafhankelijk is van de
lengte van AB, en compleet wordt vastgelegd door AC; het
gaat immers om de verhouding tussen AB en CD. (Wederom
geldt dat hier een stilzwijgende aanname achter zit; het begrip ‘afstand’ is nog niet gedefinieerd in de hyperbolische
ruimte en wordt in Bolyai’s methode intuı̈tief gebruikt.)
23
y
Stelling 7. Voor alle x, y ∈ Q geldt dat Y = X x (zie definitie 6).
Bewijs. Óf één van de grootheden x en y is een geheel veelvoud van de ander, of dit is niet het
geval. We beschouwen beide gevallen:
I. Als één van de grootheden x en y een geheel veelvoud van de andere is, dan kunnen we
schrijven y = nx voor zekere n ∈ N. Gebruikende figuur 5.6, stel x = AC = CG = GH
enzovoorts, totdat geldt voor een zeker punt J ∈ AM dat AJ = y. Stel verder ook dat S
het snijpunt tussen lijn BN en de L van JM is; dan CD|||GK|||HL||| . . . |||JS.
Volgens definitie 6 geldt nu dat X = AB : CD = CD : GK = GK : HL; er volgt dus dat
n
AB CD GK
AB
AB
=
··· =
JS
CD GK HL
CD
y
oftewel: Y = X n = X x .
II. Als x en y veelvouden van een bepaald getal t ∈ Q zijn — dus x = mi en y = ni voor zekere
m, n ∈ Q — dan volgt uit het voorgaande dat X = T m en Y = T n , oftewel:
n
y
Y = Xm = Xx.
Hetzelfde is waar voor alle x, y ∈ R.3 Daarnaast kunnen we het volgende bewijzen:
Stelling 8. Als q = y − x, dan Q = Y : X.
Bewijs. Dit volgt direct met uitschrijven. Er geldt namelijk in geval I. (zie het bewijs van stelling
7) dat q = (n − 1)x en dus Q = X n−1 = X n : X = Y : X. In geval II. geldt dat q = (n − m)t
en dus Q = T n−m = T n : T m = Y : X.
Figuur 5.7:
3 Ook
In de Euclidische meetkunde zal natuurlijk altijd gelden dat X = 1; als er geldt voor twee lijnen
AB en CD dat AB | ./ |CD, dan geldt ook gelijk
dat ∠CAB = ∠ACD = π2 . In de hyperbolische
meetkunde is dit echter niet in het algemeen waar.
We gaan nu bewijzen opstellen die betrekking
hebben tot hyperbolische driehoeken; driehoeken die
zijn opgebouwd uit normale lijnen (géén L-lijnen)
en zich begeven in een hyperbolische ruimte die is
vastgelegd door de vijf axioma’s gegeven in paragraaf 5.1.
Voordat we hiermee aan de slag gaan, merken
we op dat tussen elke twee punten op een Υ-vorm
één unieke L-lijn kan worden getrokken. Aangezien
ook geldt dat deze L-lijn loodrecht staat op een as
van deze L, volgt dat de hoek tussen twee L-lijnen in
Υ gelijk is aan de hoek tussen de vlakken waarin de
betreffende L-lijnen bevat zijn, getekend loodrecht
op de Υ-vorm.
achter deze aanname zit een continuı̈teitsaxioma schuil.
24
Stelling 9. (zie figuur 5.7) In elke rechthoekige driehoek 4ABC met ∠ABC =
sin ∠BAC = BC
AC .
π
2
geldt dat
Bewijs. Zij AM ⊥ ABC, BN k AM en CP k AM . Dan CAB ⊥ ABN M . Stel de Υ-vorm
van CP snijdt de lijnen AM en BN respectievelijk in de punten E en D. Dan zijn ED, DC
en CE L-lijnen. Met bovenstaande opmerking volgt nu dat ∠CDE = ∠ABC = π2 ; evenzo
∠CED = ∠CAB. Zoals opgemerkt na stelling 2 gelden binnen objecten bestaande uit L-lijnen
de axioma’s van de Euclidische meetkunde, en dus ook de bekende relaties tussen de zijden en
hoeken van een driehoek; er volgt dat in de (uit L-lijnen opgebouwde) 4CDE geldt:
sin ∠CED =
DC
= sin ∠CAB.
EC
Ook geldt voor de oppervlaktes van cirkels in de Υ-vorm van CP dat4
πBC 2
DC
πDC 2
=
.
=
2
EC
πEC
πAC 2
Zo volgt dat geldt
sin ∠CAB =
BC
.
AC
Deze stelling gebruiken we voor de volgende belangrijke relatie tussen hoeken en zijden.
Figuur 5.8:
4 We
schrijven πEC 2 om te benadrukken dat we het hebben over de oppervlaktes van cirkels.
25
Stelling 10. (zie figuur 5.8) Als AC ⊥ AB en BD ⊥ AB, dan zal onder translatie van ∠CAB
over AB, waar CD staat voor het pad van C, gelden dat CD : AB = sin u : sin v, waarbij u en
v de hoeken aangegeven in figuur 5.8 zijn.
Bewijs. Stel DE ⊥ AC; volgens stelling 9 geldt dat ED : AD : AB = sin u : 1 : sin v. Als
we BACD om AC heen roteren, dan beschrijft B de cirkel met straal AB en D beschrijft de
cirkel met straal ED. Er is ook een polygoon BF G . . . die de cirkel met straal AB van binnen
omschrijft en een polygoon DHK . . . die de cirkel met straal ED omschrijft.
Omdat alle lijnstukken CD, DH en KH in één vlak liggen, en hetzelfde geldt voor de
lijnstukken AB, BF en F G, kunnen we beredeneren (evenals in definitie 6) dat CD : AB =
DH : BF = HK : F G enzovoorts; en dus (DH + HK + . . .) : (BF + F G . . .) = CD : AB.
Als we steeds meer en steeds kleinere stukjes DH, KH etc. van de polygoon DHK . . . binnen
de cirkel met straal ED nemen, en hetzelfde doen met de polygoon BF G . . . binnen de cirkel
met straal AB, dan geldt dat in de limiet geldt:
DH + HK + . . . → 2πED
BF + F G + . . . → 2πAB.
Hieruit volgt:
2πED
2πAB
=
CD 5
AB .
Maar we hadden al
ED
AB
=
sin u
sin v ,
en dus volgt:
sin u
CD
=
.
AB
sin v
We kunnen stelling 10 nu heel mooi gebruiken om de
in definitie 6 gedefinieerde verhouding X uit te drukken
in sinussen van hoeken binnen de linkerfiguur. Let wel:
in stelling 11 zijn BN en AM ‘gewone’ lijnen, d.w.z.
géén L-lijnen.
Figuur 5.9:
Stelling 11. (zie figuur 5.9) Als BN | ./ | AM , C op
AM en AC = x, dan geldt X = sin u : sin v.
Bewijs. Kies D en E op BN zó dat CD ⊥ BN en
AE ⊥ BN . Kies verder F op AM zó dat BF ⊥ AM ;
dan geldt volgens stelling 10 dat 2πBF : 2πCD =
sin u : sin v. Maar ook geldt BF = AE en dus
AE : CD = sin u : sin v. Echter, volgens definitie 6
geldt dat X = AB : CG. Voor de L-lijnen van AM
en CM (AB en CG respectievelijk) volgt uit stelling 10
dat 2πAE : 2πCD = AB : CG = X; hieruit volgt dat
ook geldt X = sin u : sin v.
Nu we stelling 11 hebben bewezen, kunnen we verschillende verhoudingen Z, V , Y uitdrukken in (goniometrische functies van) hoeken, waarmee we later
verbanden tussen de zijden en hoeken van een hyperbolische driehoek zullen opstellen (zie paragraaf 5.3).
5 We schrijven het wellicht ongebruikelijk ogende
de cirkels hebben.
2πED
2πAB
26
=
CD
AB
omdat we het uitdrukkelijk over de omtrek van
Stelling 12. (zie figuur 5.10) Als ∠BAM =
Y = cot u2 .
π
2,
∠QBN = u, |AB| = y en BN k AM , dan geldt
Bewijs. Stel |AB| = |AC| en CP k AM . Dan ∠BCP = u en volgt met stelling 5 dat BN |./| CP .
Kies D op ST zó dat ∠P CD = ∠QCD. Dan volgt dat DS ⊥ CD, zodat DS k CP . Stel verder
BE ⊥ DS. Dan volgt, aangezien ook DS k CP en CP k BN , dat DS k BN . Hieruit volgt weer
BN k ES en BQ k ET , en dus ∠EBN = ∠EBQ.
Figuur 5.10:
Stel BCF een L-lijn van BN , en F M , DH, CK en EL L-vormen van F T , DT , CQ en ET
respectievelijk. Dan volgt uit stelling 6 dat HG = DF = DK = HC, en dus: CG = 2CH = 2v.
Evenzo zien we in dat BG = 2BL = 2z.
Uit stelling 11 volgt dat
Z = 1 : sin
en V = 1 : sin
u
2
π u
−
,
2
2
Maar ook BC = BG − CG; ofwel y = z − v, en dus volgt uit stelling 8 dat Y = Z : V . Hieruit
concluderen we dat6
Y =Z:V
π u
u
= sin
−
: sin
2
2
2
u
u
= cos : sin
2
2
u
= cot .
2
6 De
uitdrukking “cot” staat voor de cotangens; deze is gedefinieerd als cot x =
27
1
.
tan x
5.3
Toepassing van de bewezen stellingen
We hebben in stelling 9 een relatie afgeleid tussen de zijden van een rechthoekige hyperbolische
driehoek en bepaalde hoeken u en v. Deze kennis gaan we in deze paragraaf toepassen.
We gebruiken figuur 5.11 om een aantal verbanden af te leiden. Stel AB ⊥ AC, CM ⊥ AC
en C 0 M 0 ⊥ AC, en B ergens op AB. Dan geldt volgens stelling 10 dat sin u : sin v = 2πp : 2πy
en sin u0 : sin v 0 = 2πp : 2πy 0 , waaruit volgt
sin u0
sin u
2πy 0 .
2πy =
sin v
sin v 0
Uit stelling 10 volgt echter ook dat sin v : sin v 0 = cos u : cos u0 ; we kunnen dus stellen
2πy
tan u0
tan w
=
.
=
2πy 0
tan u
tan w0
Figuur 5.11:
28
Stel nu CN k AB en C 0 N 0 k AB, en stel CD en C 0 D0 L-lijnen loodrecht op AB; dan zal ook
2πy
r
gelden (volgens stelling 2) dat 2πy
0 = r 0 , en dus:
tan w
r
=
.
r0
tan w0
Laat nu p, beginnend in A, over AB weg van A bewegen. In de limiet geldt dan dat w → z en
w0 → z 0 ; en dus ook r : r0 = tan z : tan z 0 .
We stellen nu t = tanr z , dus t is een constante. Dan geldt, als y → 0, dat
t tan z
r
=
→t
y
y
en dus
y
tan z
→ t. Uit stelling 12 volgde dat tan z = 21 (Y − Y −1 ), want
1
u
1
u
cot − tan
(Y − Y −1 ) =
2
2
2
2 sin u2
1 cos u2
=
−
2 sin u2
cos u2
!
1 cos2 u2 − sin2 u2
=
2
sin u2 cos u2
1 cos u
=
2 12 sin u
π
= cot u = cot
−z
2
= tan z.
Hieruit volgt dat
y
2y
=
→ t.
tan z
Y − Y −1
Gebruikende stelling 7 kunnen we ook schrijven y = nt en Y = T n , waaruit dan volgt dat
2y
2y
= y
t
Y − Y −1
t
T −Ty
y
2y T t
= 2y
→ t.
T t −1
We berekenen nu de limiet van deze uitdrukking — we laten zien dat
lim
y→0
2yT
T
2y
t
y
t
−1
=
1
1
log T t
=
1
t
t
1
=
log T
log T
1
t
Eerst maken we de substitutie T = P . We gebruiken vervolgens de regel van l’Hôpital om de
limiet te vinden voor y → 0. We kunnen deze regel toepassen wanneer de limieten van zowel
de teller als de noemer 0 zijn; dit is hier het geval. We nemen de afgeleides van de teller en de
noemer;
d
(2yP y ) = 2P y (1 + y log P )
dy
d
P 2y − 1 = 2 log P P 2y
dy
29
Deze gebruiken we vervolgens voor het berekenen van de limiet:
2yP y
2P y (1 + y log P )
=
lim
y→0 P 2y − 1
y→0
2 log P P 2y
1 + y log P
1
y
= lim
= lim
+ lim y
y→0 log P P y
y→0 log P P y
y→0 P
1
=
log P
lim
In ons geval is dit dus:
lim
y→0
2yT
T
2y
t
y
t
−1
=
1
log T
1
t
=
t
log T
Hieruit concluderen we dat logt T = t en dus T = e met e het grondtal van de natuurlijke
logaritme.
We weten ook dat r → y naarmate p toeneemt; we hebben nu dus gevonden dat
−y
1 y
1
y = t tan z = t (Y − Y −1 ) = t e t − e t .
2
2
We noemen
y
t
nu κ; dan geldt:
κ=
eκ − e−κ
= sinh κ.
2
(6)
Figuur 5.12:
Aangezien y een willekeurige lengte op een lijn is, en t simpelweg een getal, geldt regel 6 voor
alle lengtes op een lijn; en dus ook voor de zijden van een hyperbolische driehoek.
30
We gaan regel 6 eerst toepassen op rechthoekige hyperbolische driehoeken — zie figuur 5.12.
Deze driehoeken bestaan uit gewone lijnen. Uit de regels die hieruit voortvloeien kunnen we
later allerlei algemene regels vinden voor willekeurige hyperbolische driehoeken.
Uit stelling 9 en het voorgaande volgt dat in 4ABC geldt
sin α =
a
a
sinh a
=
c
sinh c
aangezien voor zowel a als c geldt dat a = e −e
2
veelvoud van een getal t.
Uit stelling 10 volgt (als BM k CN ) dat
−a
als c =
ec −e−c
;
2
beiden zijn te schrijven als een
cos α
1
=
,
sin β
sin u
maar uit stelling 12 volgt ook
1
1
= (A + A−1 ),
sin u
2
dus:
1
cos α
= (A + A−1 ) = cosh a.
sin β
2
Dit kan worden herschreven als
cos α = cosh a sin β.
Tenslotte voegen we nog punten A0 , B 0 en C 0 toe, zó dat AA0 ⊥ ABC (met ABC bedoelen
we hier uiteraard het vlak ABC), BB 0 k AA0 en CC 0 k AA0 en A0 B 0 C 0 ⊥ AA0 . Dan volgt uit
stelling 10:
BB 0
1
1
=
= (A + A−1 )
CC 0
sin u
2
1
CC 0
= (B + B −1 )
AA0
2
BB 0
1
= (C + C −1 ),
0
AA
2
waaruit volgt dat
BB 0
BB 0 CC 0
1
1
1
=
= (A + A−1 ) (B + B −1 ) = (C + C −1 ),
0
0
0
AA
CC AA
2
2
2
ofwel:
ec + e−c
eb + e−b eb + e−b
=
2
2
2
cosh c = cosh a cosh b.
We leiden met behulp van de eerste twee regels ook af dat
tan α =
sinh a
sin α
tanh a
tanh a
sinh c
=
=
=
cos α
cosh a sin β
sinh c sin β
sinh b
31
en
cos α = cosh a sin β =
cosh c sinh b
tanh b
=
.
cosh b sinh c
tanh c
Door nu binnen een willekeurige (hyperbolische) driehoek een lijn uit een punt naar de overstaande zijde te trekken, zó dat deze lijn loodrecht staat op die zijde, kunnen wij regels afleiden
voor alle hyperbolische driehoeken. Dit gaat dus op gelijke wijze als met de boldriehoeken (zie
ook paragraaf 4.5).
We bewijzen eerst een aantal verdubbelingsformules voor de functies sinh en cosh.
ex + e−x ey − e−y
ex − e−x ey + e−y
+
2
2
2
2
ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y
ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y
=
+
4
4
2ex+y − 2e−x−y
ex+y − e−x−y
=
=
4
2
= sinh (x + y).
sinh x cosh y + cosh x sinh y =
Evenzo geldt:
ex − e−x ey − e−y
ex + e−x ey + e−y
+
2
2
2
2
ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y
ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y
+
=
4
4
2ex+y + 2e−x−y
ex+y + e−x−y
=
=
4
2
= cosh (x + y).
cosh x cosh y + sinh x sinh y =
Verder kunnen we ook aantonen dat cosh2 x − sinh2 x = 1;
2 x
2
ex + e−x
e − e−x
−
2
2
2x
−2x
2x
e +e
+ 2 e + e−2x − 2
=
−
4
4
= 1.
cosh2 x − sinh2 x =
Dit kunnen we nu gebruiken om regels te vinden die algemeen gelden in hyperbolische
driehoeken. Met behulp van voorgaande afleidingen zien we dat in 4ABC (zie figuur 5.13)
geldt:
cosh c = cosh (m + n) = cosh m cosh n + sinh m sinh n
cosh a cosh b
=
+ sinh a sinh b sin µ sin ν
cosh2 hc
= cosh a cosh b (1 − tanh2 hc ) + sinh a sinh b sin µ sin ν
= cosh a cosh b (1 − (cos µ tanh b)(cos ν tanh a))) + sinh a sinh b sin µ sin ν
= cosh a cosh b − sinh a sinh b (cos µ cos ν − sin µ sin ν)
= cosh a cosh b − sinh a sinh b cos γ
32
Figuur 5.13:
Hier staat een regel die sterk lijkt op de zijde-cosinusregel van een willekeurige boldriehoek
(zie ook paragraaf 4.5). Hier zullen we later op ingaan — zie Hoofdstuk 6.
Vanuit de zojuist bewezen regel leiden we af dat:
cosh a cosh b − cosh c
sinh a sinh b
cosh2 hc cosh n cosh m − cosh2 hc − sinh2 hc cosh c
=
sinh a sinh b
cosh2 hc (cosh n cosh m − cosh c) + sinh2 hc cosh c
=
sinh a sinh b
2
cosh hc (cosh n cosh m − (cosh n cosh m + sinh n sinh m))
=
sinh a sinh b
sinh hc
sinh hc
+
cosh c
sinh a
sinh b
cos γ =
cosh2 hc (sinh n sinh m)
+ (sin β) (sin α) cosh c
sinh a sinh b sinh m
sinh n
= − cosh hc
cosh hc
+ sin α sin β cosh c
sinh b
sinh a
=−
= − cos α cos β + sin α sin β cosh c.
Deze regel is bijna identiek aan de hoek-cosinusregel uit de boldriehoeksmeetkunde.
Verder volgt dat
sin hc = sin α sinh b = sin β sinh a,
en zo krijgen we:
sin α
sin β
=
.
sinh a
sinh b
33
We praten hier echter over een willekeurige hyperbolische driehoek; er is dus helemaal niets
‘speciaals’ aan a en α of b en β. Uit de symmetrie van de driehoek volgt dus dat
sin α
sin β
sin γ
=
=
sinh a
sinh b
sinh c
wat sterk lijkt op de sinusregel in de boldriehoeksmeetkunde.
Tenslotte zullen we nog een regel afleiden met daarin de tangens-functie. We zien immers dat
in figuur 5.13 geldt:
tanh hc = tan α sinh m = tan β sinh n.
Dit levert:
sinh n
sinh (c − m)
tan α
=
=
tan β
sinh m
sinh m
sinh c cosh m − cosh c sinh m
=
sinh m
en
sin α
tan α
= cos α
tan β
tan β
sinh c cos α
=
− cosh c cos α.
tanh m
Als we dit omschrijven vinden we
sin α
sinh c
=
− cosh c cos α
tan β
tanh b
wat erg lijkt op de tangens-regel die geldt voor boldriehoeken.
34
6
Vergelijking: Bol met imaginaire straal
Als we kijken naar de formules die we in dit werkstuk hebben bewezen voor de twee nietEuclidische meetkundes, dan zien wij grote overeenkomsten daartussen. Er is voor bijna elke formule in de boldriehoeksmeetkunde wel een analoog te vinden in de hyperbolische driehoeksmeetkunde, waarbij dan vaak sinussen zijn vervangen door sinussen hyperbolicus (iets dergelijks geldt
ook voor cosinussen), of een plusteken in een minteken is overgegaan. Tabel 1 illustreert de gelijkenis tussen de sinus-, cosinus- en tangensregels en de oppervlakte formule voor boldriehoeken
en hyperbolische driehoeken.
Formule
Sinusregel
Zijde-cosinusregel
Hoek-cosinusregel
Tangensregel
Oppervlakte
Boldriehoeksmeetkunde
sin a
sin b
sin c
=
=
sin α
sin β
sin γ
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c
sin α
sin c
=
− cos c cos α
tan β
tan b
4 = (α + β + γ − π) R2
Hyperbolische driehoeksmeetkunde
sinh a
sinh b
sinh c
=
=
sin α
sin β
sin γ
cosh c = cosh a cosh b − sinh a sinh b cos γ
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cosh c
sin α
sinh c
=
− cosh c cos α
tan β
tanh b
4 = (π − α − β − γ) R2
Tabel 1: Overzicht van alle eerder afgeleide formules voor boldriehoeken en hyperbolische
driehoeken.
Er bestaat ook daadwerkelijk een erg mooi verband tussen de formules in deze twee meetkundes. Als we namelijk de sinusregels en dergelijke afleiden voor een zogenaamde bol met imaginaire
straal, oftewel we substitueren R overal met iR, dan vinden we de formules die we hadden afgeleid
voor de hyperbolische meetkunde. Dit illustreren we met de belangrijkste formules in dit werkstuk.
Daarvoor moeten
we wel eerst bewijzen dat cos ix = cosh x en sin ix = i sinh x voor alle x ∈ R,
√
en waar i = −1. Hiervoor maken we gebruik van e-machten, en we halen daarvoor de definitie
van cosinus- en sinus-hyperbolicus aan:
cosh x =
ex + e−x
2
sinh x =
ex − e−x
2
Er bestaan, met de kennis dat eix = cos x + i sin x, voor cosinus en sinus ook zulke e-macht
definities:
eix + e−ix
eix − e−ix
cos x =
sin x =
2
2i
Nu vullen we in x = iy voor beide sinus en cosinus.
ei(iy) + e−i(iy)
e−(−y) + e(−y)
ey + e−y
=
=
= cosh (y)
2
2
2
e−(−y) − e(−y)
ey − e−y
ei(iy) − e−i(iy)
sin (iy) =
=−
=i
= i sinh (y)
2i
2i
2
cos (iy) =
Zo bewijzen we de gezochten formules:
cos (iy) = cosh y.
(7)
sin (iy) = i sinh y.
(8)
en
35
Uit vergelijkingen 7 en 8 kunnen we ook eenvoudig een soortgelijke vergelijking voor tanh y en
sin x
sinh x
tan (iy) vinden. We weten namelijk dat tan x =
en tanh x =
. Dit werken we uit:
cos x
cosh x
tan (iy) =
sin (iy)
i sinh y
=
= i tanh y,
cos (iy)
cosh y
en dus:
tan (iy) = i tanh y.
(9)
Met behulp van vergelijkingen 7, 8 en 9 zijn we nu klaar om de formules voor boldriehoeksmeetkunde
en hyperbolische driehoeksmeetkunde te vergelijken door te kijken naar een bol met imaginaire
straal. Om te zien hoe een straal iR de afstanden en hoeken, oftewel de elementen a, b, c, α,
β en γ, beı̈nvloedt, kijken we terug naar hoe deze elementen in het begin gedefiniëerd zijn. De
hoeken α, β en γ zijn geörienteerd naar het boloppervlak en worden dus niet beı̈nvloedt door de
straal. In contrast zijn a, b en c wel afhankelijk van de straal van de bol. Als we terug gaan naar
de willekeurige boldriehoek ABC, en de afstand tussen de punten B en C over het boloppervlak
d
als d aanduiden, dan bepaalde we a door a = . Dit betekent dus dat a, b en c nooit echt
R
afstanden hebben aangegeven, maar eerder de afstanden tussen de hoekpunten gedeeld door een
factor R. Dit is echter geen probleem, we moeten alleen daarmee rekening houden nu we een
transitie maken naar een bol met imaginaire straal. We noemen nu a0 de ‘afstand’ tussen de twee
hoekpunten B en C op een bol met een straal iR.
a0 =
d
d
= −i = −ia
iR
R
We zien dus dat als ‘afstanden’ willen aangeven op een bol met imaginaire straal, dat we deze
behandelen als een ‘afstand’ op een bol met reële straal vermenigvuldigt met een factor −i.
Laten we eerst kijken naar rechthoekige driehoeken, waar γ =
(zie ook paragraaf 4.4 en figuur 4) gelden de volgende regels:
cos a cos b = cos c
sin α =
sin a
sin c
cos α =
π
2.
Voor rechthoekige boldriehoeken
tan b
tan c
tan α =
tan a
sin b
We doen voor de eerste twee voor hoe de hyperbolische analoog van de regel volgt bij het
implementeren van de consequenties van een imaginaire straal. Voor de andere twee regels gaat
dit op bijna identieke wijze. We vervangen a met −ia, b met −ib en c met −ic; dan vinden we:
cos(−ia) cos(−ib) = cos(−ic)
cos(ia) cos(ib) = cos(ic)
cosh a cosh b = cosh c
en
sin α =
sin(−ia)
− sin(ia)
i sinh a
=
=
sin(−ib)
− sin(ib)
i sinh b
sinh a
sin α =
sinh b
36
Dit zijn exact de regels die we gevonden hadden voor rechthoekige hyperbolische driehoeken.
Verder gelden de sinusregel, cosinusregels en tangensregel voor alle boldriehoeken. Deze kunnen
we ook evalueren voor een bol met imaginaire straal. Eerst de sinusregel:
sin(−ia)
sin α
− sin(ia)
sin α
i sinh a
sin α
sinh a
sin α
sin(−ib)
sin(−ic)
=
sin β
sin γ
− sin(ib)
− sin(ic)
=
=
sin β
sin γ
i sinh b
i sinh c
=
=
sin β
sin γ
sinh b
sinh c
=
=
sin β
sin γ
=
We zien dus dat dit weer exact een identiteit uit de hyperbolische driehoeksmeetkunde voortbrengt. Nu evalueren we de zijde-cosinusregel.
cos(−ic) = cos(−ia) cos(−ib) + sin(−ia) sin(−ib) cos γ
cos(ic) = cos(ia) cos(ib) + sin(ia) sin(ib) cos γ
cosh c = cosh a cosh b + i2 sinh a sinh b cos γ
cosh c = cosh a cosh b − sinh a sinh b cos γ
En de hoek-cosinusregel.
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos(−ic)
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos(ic)
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cosh c
De tangensregel.
sin α
tan β
sin α
tan β
sin α
tan β
sin α
tan β
sin(−ic)
− cos(−ic) cos α
tan(−ib)
− sin(ic)
=
− cos(ic) cos α
− tan(ib)
i sinh c
=
− cosh c cos α
i tanh b
sinh c
=
− cosh c cos α
tanh b
=
We zien dus dat voor een bol met straal iR alle identiteiten uit de boldriehoeksmeetkunde
equivalent zijn aan die uit de hyperbolische driehoeksmeetkunde. Het meest merkwaardige is
dat dit ook geldt voor de formule voor het oppervlak.
4 = (α + β + γ − π) (iR)2
4 = − (α + β + γ − π) R2
4 = (π − α − β − γ) R2
In principe hebben we nu aangetoond dat het boloppervlak van een zogenaamde bol met imaginaire straal equivalent is aan een hyperbolisch vlak. Door deze aanname te maken hebben we in
ieder geval wel de gelijkenis tussen alle formules in tabel 1 verklaard.
37
7
Conclusie
Het is nu de vraag waarom de vergelijking tussen het boloppervlak van een zogenaamde bol
met imaginaire straal en een hyperbolisch vlak zo doeltreffend is. Het feit is namelijk dat er in
onze belevingsruimte helemaal niets zoals een bol met imaginaire straal bestaat, het is alleen
een makkelijke benoeming voor het trekken van een vergelijking tussen de bolmeetkunde en de
hyperbolische meetkunde. Het enige wat we in Hoofdstuk 6 werkelijk hebben gedaan is het
vervangen van R met iR, en dit vervolgens doorwerken in alle formules voor boldriehoeken. Hoe
we dit moeten interpreteren is een interessante vraag.
Na verdere verdieping in dit onderwerp blijkt dat we deze vraag kunnen beantwoorden door
te kijken naar de ‘kromming’ van een oppervlak, een begrip uit de differentiaalmeetkunde die
we voortaan aangeven met K. Aangezien dit op zichzelf al een groot en complex onderwerp is,
zullen we alleen een korte en intuı̈tieve toelichting doen op het begrip, en waarom dit het verband
tussen de hyperbolische meetkunde en bolmeetkunde veroorzaakt.
Kromming, of specifieker Gaussische kromming, is als het ware een grootheid die aangeeft
hoe erg een oppervlak afwijkt van een plat vlak, en de kromming kan variëren voor elk punt
afhankelijk van welk vlak je beschouwt. [11] Een bijzonder geval is het boloppervlak, deze heeft
namelijk een uniforme kromming van grootte K = R12 , waar R natuurlijk de straal van de bol
bedraagt. Het valt op dat de kromming van een boloppervlak positief is. Zoals al eerder is
opgevallen in Hoofdstuk 4 is de kromming van het boloppervlak er ook voor verantwoordelijk
dat rechte lijnen naar elkaar toe krommen.
Als we nu terugkijken naar de hyperbolische meetkunde, weten we dat het vijfde axioma stelt
dat er voor elke lijn meer dan één parallele lijn bestaat door een bepaald punt. We kunnen dit
interpreteren door te zeggen dat rechte lijnen van elkaar weg krommen, en dat dit veroorzaakt
wordt door een bepaalde eigenschap van het hyperbolisch vlak. Deze eigenschap is dat het
hyperbolisch vlak een uniforme negatieve kromming heeft, ter grootte van K = − R12 , waar R
staat voor de ‘straal’ van het hyperbolisch vlak.7 Hier zien we al waar de analogie tussen het
hyperbolisch vlak en een bol met imaginaire straal vandaan komt. We berekenen de kromming
voor een bol met imaginaire straal;
K=
1
1
=− 2
2
(iR)
R
Dit is gelijk aan de kromming van het hyperbolisch vlak. Kort gezegd betekent dit dat de
analogie tussen het hyperbolisch vlak en een bol met imaginaire straal eigenlijk alleen een simpel
wiskundig trucje is waardoor de krommingen van de vlakken overeen komen, met als consequentie
dat alle formules voor de imaginaire boldriehoeken en de hyperbolische driehoeken ook gelijk aan
elkaar zijn.
7 De ‘straal’ van het hyperbolisch vlak is niet behandeld in Hoofdstuk 5, aangezien dit niet relevant is in de
context van dit werkstuk.
38
A
Bronnenlijst
Referenties
[1] Concrete Meetkunde Hoofdstuk 5: Bolmeetkunde, Goddijn, A. en Hogendijk, J.
Dit is een diktaat bij de cursus Concrete Meetkunde, gegeven aan de Universiteit Utrecht.
http://www.jphogendijk.nl/projects/cm/site/dictaat.php
[2] Vakidioot (studievereniging UU). Cornelis, G. (2006). Meetkunde, meetkundes en groepen.
http://www.math.uu.nl/people/cornelis/publications/meetkunde.pdf
[3] Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to geometry. USA: John Wiley.
[4] Bonola, R. (1912) La Geometria non-Euclidea.
We gebruiken een vertaling: Carslaw, H. S. (1955) Non-Euclidean Geometry.
[5] Bolyai, J. The Science Of Absolute Space.
[6] Pythagoras, Het vijfde postulaat, Hart, K. P. (1997).
www.kennislink.nl/publicaties/het-vijfde-postulaat
[7] Mulder, J & Wissink, P (2006) De Geometria non-Euclides liber.
Werkstuk door studenten, voor studenten.
[8] www.pandd.demon.nl/elementen.htm, geraadpleegd juni 2010.
www.pandd.demon.nl is een website van Dick Klingens.
[9] www.euronet.nl/users/warnar/demostatistiek/meth/euclides.htm
Geraadpleegd mei 2010.
[10] nl.wikipedia.org/wiki/Bestand:Parallel_postulate_en.svg
Een afbeelding van Wikipedia, geraadpleegd mei 2010.
[11] Roobol, S (2007/2008) Numerieke bepaling van Gaussische kromming op een getrianguleerd
oppervlak.
http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/Roobol.pdf
Bachelor project aan de Universiteit Leiden, geraadpleegd juni 2010.
39