Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Een differentiaalvergelijking is een
wiskundige vergelijking voor een functie
waarin, naast eventueel de functie zelf, een
of meer van de afgeleiden van die functie
voorkomen.
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 1.
De hoeveelheid van een radioactief materiaal op tijdstip t geven
we aan met y(t)
Waarneming leert, dat de gemiddelde afname van het
radioactieve materiaal evenredig is met de op het begintijdstip
aanwezige hoeveelheid radioactieve materiaal.
y (t h) y (t )
k y (t )
In wiskunde taal :
h
Laten we h 0, dan y ' (t ) k y (t )
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 2.
De valsnelheid neemt toe naarmate de valafstand groter is.
Stel de valweg (in meters) is y en de valtijd (in seconden) is t
Eerste gedachte van Galileï was :
de valsnelheid is evenredig met de valafstand
In wiskunde taal :
dy
k y oftewel
dt
y ' (t ) k y (t )
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Bepaal de helling van de functie f ( x) x
2
in het punt x = a
Neem het interval [a, a+h] en bereken het differentiequotiënt
y
f ( a h) f ( a ) ( a h) 2 ( a ) 2
2a h
x
h
h
Lim 2a h 2a
h 0
dus : Lim
h 0
f ( x h) f ( x) df
f ' ( x)
h
dx
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
f ( x) 2 x
f ' ( x) ??
Bepaal het differenti e quotient op het interval [ x, x h]
y
f ( x h) f ( x )
x
h
h
y 2 x h 2 x 2 x 2 h 2 x 2 x (2 h 1)
x ( 2 1)
2
x
h
h
h
h
2h 1
Lim 2
2 x 0,693147.....
h 0
h
x
f ( x) 2 x
f ' ( x) 2 x 0,693147...
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
f ( x) 3 x
f ' ( x) ??
Bepaal het differenti e quotient op het interval [ x, x h]
y
f ( x h) f ( x )
x
h
h
y 3x h 3x 3x 3h 3x 3x (3h 1)
x (3 1)
3
x
h
h
h
h
3h 1
Lim 3
3x 1,098612.....
h 0
h
x
f ( x) 3 x
f ' ( x) 3x 1,0986122...
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Dus :
f ( x) 2 x
f ( x) a x
f ' ( x) 2 x 0,693147... 2 x ln( 2)
f ' ( x) a x 1 a x
f ( x) 2,718281x f ' ( x) 2,718281x ln( 2,718281) 2,718281x
f ( x) 3 x
f ' ( x) 3x 1,0986122... 3x ln( 3)
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Leonhard Euler (1707-1783)
e = 2,718281 …….
f ( x) e
x
f ' ( x) e
x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Oefening 1.
a.
Differentieer de volgende functies :
f ( x) 2 3 e x
b. g ( x) e 2 x 2
c. h( x ) 2 e 3 x e 2
d.
j ( x ) 4 e
x2 x
e. k ( x ) x e x
f . l ( x) (3 x 1) e x
g . m( x ) x 3 e 4 x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Antwoorden:
a.
f ' ( x) 3 e x
b. g ' ( x) e 2 x 2 2 2 e 2 x 2
c. h' ( x) e 3 x 3 3 e 3 x
d.
j ' ( x ) 4 e
x2 x
(2 x 1) (4 8 x) e
x2 x
e. k ' ( x) 1 e x x e x (1 x) e x
f . l ' ( x) 3 e x (3 x 1) e x (3 x 2) e x
g . m' ( x) 3 x 2 e 4 x x 3 e 4 x 4 (3 x 2 4 x 3 ) e 4 x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Oefening 2.
a.
Integreer de volgende functies :
f ( x) 3 e x
b. g ( x ) e 2 x 2
c. h( x ) 2 e 3 x 5
d.
j ( x ) e 2 x (1 e 2 x )
Tip : werk de haakjes weg
e. k ( x ) 13 e 2 x 13 e 2 x
f . l ( x ) 2e 0 , 5 x
g . m( x ) e x e
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Antwoorden :
a. F ( x) 3 e x C
b. G ( x) 12 e 2 x 2 C
c. H ( x) 2 x 13 e 3 x 5 C
d . J ( x) 12 e 2 x x C
e. K ( x) 16 e 2 x 16 e 2 x C
f . L( x) 4e 0,5 x C
g. M ( x) e x ex
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Probeer nu een oplossingsfunctie te vinden van de volgende differentiaalvergelijkingen:
a.
b.
c.
d.
e.
dy
2y
dt
dy
3 y
dt
dy
5 y
dt
dy
4 y met y(0) 10
dt
dy
ky met y(0) 20
dt
a. y C e 2t
b. y C e -3t
c. y C e
1t
5
d . y 10 e 4t
e. y 20 e k t
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
