Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Een differentiaalvergelijking is een
wiskundige vergelijking voor een functie
waarin, naast eventueel de functie zelf, een
of meer van de afgeleiden van die functie
voorkomen.
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 1.
De hoeveelheid van een radioactief materiaal op tijdstip t geven
we aan met y(t)
Waarneming leert, dat de gemiddelde afname van het
radioactieve materiaal evenredig is met de op het begintijdstip
aanwezige hoeveelheid radioactieve materiaal.
y (t  h)  y (t )
 k  y (t )
In wiskunde taal : 
h
Laten we h  0, dan y ' (t )  k  y (t )
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 2.
De valsnelheid neemt toe naarmate de valafstand groter is.
Stel de valweg (in meters) is y en de valtijd (in seconden) is t
Eerste gedachte van Galileï was :
de valsnelheid is evenredig met de valafstand
In wiskunde taal :
dy
 k  y oftewel
dt
y ' (t )  k  y (t )
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Bepaal de helling van de functie f ( x)  x
2
in het punt x = a
Neem het interval [a, a+h] en bereken het differentiequotiënt
y
f ( a  h)  f ( a ) ( a  h) 2  ( a ) 2


 2a  h
x
h
h
Lim 2a  h  2a
h 0
dus : Lim
h 0
f ( x  h)  f ( x) df

 f ' ( x)
h
dx
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
f ( x)  2 x
f ' ( x)  ??
Bepaal het differenti e quotient op het interval [ x, x  h]
y
f ( x  h)  f ( x )

x
h
h
y 2 x  h  2 x 2 x  2 h  2 x 2 x  (2 h  1)
x ( 2  1)



2 
x
h
h
h
h
2h  1
Lim 2 
 2 x  0,693147.....
h 0
h
x
f ( x)  2 x
f ' ( x)  2 x  0,693147...
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
f ( x)  3 x
f ' ( x)  ??
Bepaal het differenti e quotient op het interval [ x, x  h]
y
f ( x  h)  f ( x )

x
h
h
y 3x  h  3x 3x  3h  3x 3x  (3h  1)
x (3  1)



3 
x
h
h
h
h
3h  1
Lim 3 
 3x 1,098612.....
h 0
h
x
f ( x)  3 x
f ' ( x)  3x 1,0986122...
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Dus :
f ( x)  2 x
f ( x)  a x
f ' ( x)  2 x  0,693147...  2 x  ln( 2)
f ' ( x)  a x 1  a x
f ( x)  2,718281x f ' ( x)  2,718281x  ln( 2,718281)  2,718281x
f ( x)  3 x
f ' ( x)  3x 1,0986122...  3x  ln( 3)
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Leonhard Euler (1707-1783)
e = 2,718281 …….
f ( x)  e
x
f ' ( x)  e
x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Oefening 1.
a.
Differentieer de volgende functies :
f ( x)  2  3  e x
b. g ( x)  e 2 x  2
c. h( x )  2  e 3 x  e 2
d.
j ( x )  4  e
x2  x
e. k ( x )  x  e x
f . l ( x)  (3 x  1)  e x
g . m( x )  x 3  e 4 x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Antwoorden:
a.
f ' ( x)  3  e x
b. g ' ( x)  e 2 x  2  2  2  e 2 x  2
c. h' ( x)  e 3 x  3  3  e 3 x
d.
j ' ( x )  4  e
x2  x
 (2 x  1)  (4  8 x)  e
x2  x
e. k ' ( x)  1  e x  x  e x  (1  x)  e x
f . l ' ( x)  3  e x  (3 x  1)  e x  (3 x  2)  e x
g . m' ( x)  3 x 2  e 4 x  x 3  e 4 x  4  (3 x 2  4 x 3 )  e 4 x
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Oefening 2.
a.
Integreer de volgende functies :
f ( x)  3  e x
b. g ( x )  e 2 x  2
c. h( x )  2  e 3 x  5
d.
j ( x )  e 2 x (1  e  2 x )
Tip : werk de haakjes weg
e. k ( x )  13 e 2 x  13 e  2 x
f . l ( x )  2e 0 , 5 x
g . m( x )  e  x  e
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Antwoorden :
a. F ( x)  3  e x  C
b. G ( x)  12 e 2 x  2  C
c. H ( x)  2 x  13 e 3 x 5  C
d . J ( x)  12 e 2 x  x  C
e. K ( x)  16 e 2 x  16 e  2 x  C
f . L( x)  4e 0,5 x  C
g. M ( x)  e  x  ex
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
Probeer nu een oplossingsfunctie te vinden van de volgende differentiaalvergelijkingen:
a.
b.
c.
d.
e.
dy
 2y
dt
dy
 3 y
dt
dy
5  y
dt
dy
 4  y met y(0)  10
dt
dy
 ky met y(0)  20
dt
a. y  C  e 2t
b. y  C  e -3t
c. y  C  e
1t
5
d . y  10  e 4t
e. y  20  e k t
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010