Breuken, kommagetallen en procenten

Breuken, kommagetallen en
procenten: een lessenreeks voor
toekomstige leerkrachten in het
lager onderwijs.
(Patrick Van Roy, Ilona Hawrijk, Ann
Palmaerts, Nathalie Vermeersch en Fien
Depaepe)
Wie ben ik?
• Patrick Van Roy (26 jaar)
• Lector wiskunde aan de Hogeschool
PXL te Hasselt (BALO)
• Lector pedagogie aan Thomas More
Mechelen (BALOA)
• Eerder (2012-2014): Wetenschappelijk medewerker
aan het CIP&T (Centrum voor Instructiepsychologie en
–technologie) aan de Katholieke Universiteit Leuven
 SoE-project: een nieuwe lessenreeks rond rationale
getallen voor in de lerarenopleiding lager onderwijs.
SoE-project (2012-2014)
• Wat? Het ontwerpen van een nieuwe lessenreeks (7 x
2 uur) rond rationale getallen voor in de
lerarenopleiding lager onderwijs.
• Wie?
- KU Leuven (Fien Depaepe, Lieven Verschaffel,
Wim Van Dooren, Joke Torbeyns, Patrick Van
Roy)
- Vives Brugge (Nathalie Vermeersch)
- Thomas More Mechelen (Ilona Hawrijk)
- Groep T Leuven (Ann Palmaerts)
Interventiestudie: lessenreeks rationale getallen
7 lesblokken
7 lesblokken
Rationale getallen
• Één van de moeilijkste wiskundige domeinen in de
basisschool.
• Vlaanderen:
o “Werken met breuken ervaren veel leerlingen als moeilijk en minder
aangenaam.” (toelichting leerplan wiskunde VSKO p. 21)
o Peilingsproeven BaO (Janssen, De Corte, De Boeck, Verschaffel,
Luyten, Van Nijlen, Daems, & Rymenans, 2002):
 In welke mate hebben de leerlingen de eindtermen wiskunde bereikt in het zesde
leerjaar van het basisonderwijs?
 Ons basisonderwijs scoort goed voor de eindtermen wiskunde, maar er zijn voor
een aantal deeldomeinen minder goede resultaten.
Rationale getallen
• Internationaal (vb. Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Clarke & Roche, 2009; Clarke, Roche, &
Mitchell, 2007; Cramer, Post & delMas, 2002; Vamvakoussi, Christou, Mertens, & Van Dooren, 2011; Zhou, Peverly, &
Xin, 2006)
o Enkele voorbeelden:
 Welk deel is D?
42.7% juist (zesde leerjaar; Clarke et al., 2007)
 Welke breuk is groter,
4
7
of
4
5
?
37.2% juist (zesde leerjaar; Clarke et al., 2007)
 Hoeveel getallen liggen er tussen 7 en 7,001?
Minder dan 1 op 3 juist (derde middelbaar; Vamvakoussi et al., 2011)
Panama-conferentie 16-17/02/2014
Rekenen-wiskunde XL
1) Aandacht voor voorkennis van en
moeilijkheden bij leerlingen
 17 verschillende misvattingen!
 Leerkrachten:
 Leerlingen:
2) Inzetten van het CSA-model en een brede
waaier aan representaties
3) Gericht op het toepassen van vakdidactische
kennis in een concrete klassituatie
Groepswerk (+/- 20 min)
• Cartoons
• Filmpjes
Cartoons
Met welke misvatting krijgen de leerlingen hier te maken?
“Breuken, kommagetallen en procenten kun je niet
samen weergeven op één getallenas.” Elke plaats op de
getallenas kan je echter op verschillende manieren
uitdrukken vb. 0,75 = 3 = 75%
4
Cartoons
Vergelijk beide antwoorden? Wie is correct?
Niemand is correct. Sam (bovenste leerling) heeft nog
geen besef van kommagetallen en Siebe (onderste
leerling) houdt enkel rekening met kommagetallen tot op
één honderdste.
Cartoons
Herken je deze fouten van leerlingen? Welke oorza(a)k(en)
zou(den) aan de basis kunnen liggen voor het maken van
deze fout?
Bij natuurlijke getallen maakt vermenigvuldigen altijd groter en
delen altijd kleiner. Dat geldt echter niet meer voor de rationale
getallen.
Cartoons
Formuleer de twee misvattingen die duidelijk naar voren
komen in deze cartoon.
1 3 5 6
1) Teller: 1 < 3 < 5 < 6. Noemer: 2 < 4 < 6 < 8, dus < < < 8
2 4 6
5
2) Het verschil tussen teller en noemer bij 1 , 3 en is
6
2 4
steeds gelijk aan 1.Deze breuken zijn dus gelijk.
Cartoons
Is dit een goede vraag die de leerkracht stelt aan zijn
leerlingen? Waarom wel / niet? Geef (eventueel) een
alternatief.
Dit is een slechte vraag, want hiermee insinueert de leerkracht
al dat er zo een getal bestaat terwijl dat niet het geval is. Hij
zet m.a.w. de leerlingen op een dwaalspoor.
Cartoons
De leerkracht maakt hier gebruik van MAB-materiaal. Noteer een
voordeel en een nadeel van dit materiaal door de antwoorden van de
leerlingen te interpreteren.
Voordeel: aanschouwelijk, overzichtelijk, leuk om te werken met
concreet materiaal.
Nadeel: de misvatting “hoe meer materiaal er ligt hoe groter het getal”
kan ontstaan.
Filmpjes
• Opdracht 1
Filmpje 2A
2
“3
2
6
< , want 3 < 6.” Teller en noemer worden
zeer vaak als afzonderlijke delen beschouwd en
met elkaar vergeleken. Je moet ze echter samen
bekijken.
Filmpjes
• Opdracht 2
Filmpje 4A
Beide antwoorden zijn fout. Het eerste groepje
1
gaat aftrekken i.p.v. vermenigvuldigen met 2 (of
delen door 2). Hier is de misvatting “de helft
1
1
nemen van = - “. Het tweede groepje neemt 3
2
2
i.p.v. 3 , maar voert wel de juiste bewerking uit.
1
Toevallig komen zij ook het foutieve antwoord 6
uit.
Filmpjes
• Opdracht 3
Filmpje 6A
De leerlingen zijn er duidelijk van overtuigd dat het geen
optelling of aftrekking is. Ze twijfelen wel tussen
vermenigvuldigen en delen. De leerlingen zijn dit soort
opgaven niet gewend. Ze zijn verward met de opgave “Je
krijgt elke week € 0,20 zakgeld. Hoeveel heb je gespaard
na x aantal weken?” en dan moet je wel vermenigvuldigen.
Door de vraag anders te formuleren (hoeveel keer gaat
0,20 in 2) zullen er al meer leerlingen terecht komen bij het
juiste antwoord (nl. 2 : 0,20).
Oorzaak misvattingen/fouten
• Veel moeilijkheden met rationale getallen ontstaan bij
de overgang van natuurlijke naar rationale getallen.
• Bij het verwerven van inzicht in rationale getallen
moeten er een aantal grote conceptuele sprongen
gemaakt worden (Vosniadou & Verschaffel, 2004;
Lamon, 2005).
• Leerlingen beroepen zich op hun voorkennis over
natuurlijke getallen om betekenis te geven aan en te
werken met rationale getallen (Ni & Zhou, 2005).
• In sommige situaties helpt deze voorkennis leerlingen
in het leerproces (vb. 4 > 3 , want 4 > 3).
5
5
• In andere situaties strookt de theorie over natuurlijke
getallen niet met de eigenschappen van rationale
getallen
3 1
3 1
(vb. 4 + 5 ≠ 4  5 )
• Wanneer leerlingen opgaven met rationale getallen
systematisch fout oplossen ten gevolge van het
generaliseren van hun voorkennis van natuurlijke
getallen naar situaties waar deze niet van toepassing
is, spreekt men van “de natural number bias”
(Vamvakoussi, Christou, Mertens & Van Dooren, 2011;
Vamvakoussi, Van Dooren & Verschaffel, 2012)
De natural number bias
1. Verschillen in (aantal) representaties (cartoon 2)
16
4
Vb.1: leerlingen denken dat , 4,00 en 400% niet
hetzelfde getal voorstellen. Voor de introductie van
rationale getallen werden de leerlingen slechts met één
unieke representatie van een natuurlijk getal (4)
geconfronteerd.
De natural number bias
2. Verschillen in vergelijken en ordenen (cartoon 10)
5
Vb.1: Leerlingen denken vaak onterecht dat 9 groter is
5
dan
7
omdat 9 groter is dan 7.
Vb.2: 0,425 > 0,5 omdat 425 > 5
De natural number bias
3. Discreet versus dicht. (cartoon 4 en 14)
Vb.1: leerlingen denken dat er maar één breuk ligt tussen
4
6
en .
7
7
Vb.2: leerlingen denken dat na 0,5 het getal 0,6 komt.
De natural number bias
4. Verschillen in bewerkingen (cartoon 6)
De natural number bias
2 3 5
Vb.1: leerlingen denken dat + = omdat 2 + 3 = 5
5 4 9
en 5 + 4 = 9.
Vb.2: leerlingen denken dat 0,9 : 0,1 = 0,09.
Strategieën om misvattingen/fouten aan te
pakken
1) Aandacht voor voorkennis van en moeilijkheden bij
leerlingen.
 bvb. concept cartoons (Keogh & Naylor, 1999)
2) Verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen
expliciet benadrukken.
 zie Depaepe, Torbeyns, Verschaffel & Van Dooren
(2012)
3) Inzetten van het CSA-model en een brede waaier
aan representaties.
Aandacht voor voorkennis van en
moeilijkheden bij leerlingen
• Concept cartoons
• Authentieke antwoorden van leerlingen weergeven:
Verschillen tussen natuurlijke en rationale
getallen expliciet benadrukken
• Depaepe, Torbeyns, Verschaffel & Van Dooren (2012)
- Door expliciet te verwijzen naar verschillen tussen
natuurlijke en rationale getallen kan de natural number
bias vermeden worden (Vosniadou & Verschaffel,
2004)
- “In hoeverre vinden we in handleidingen instructies om
mogelijke uitingen van de natural number bias bij
leerlingen te voorkomen, te remediëren of te
versterken en in welke mate zijn deze instructies
geëxpliciteerd?”
- Analyse van de drie meest gebruikte handleidingen
(Kompas, Zo gezegd zo gerekend en Nieuwe Tal-rijk)
- Gelijkenissen en verschillen tussen natuurlijke en
rationale getallen blijven hoofdzakelijk impliciet.
- Slechts één expliciet verschil tussen natuurlijke en
rationale getallen.
- Expliciete gelijkenissen tussen natuurlijke en rationale
getallen zijn het meest terug te vinden binnen het
domein bewerkingen.
Filmpje
• Filmpje 2B
- De leerkracht verkiest om eerst te werken met een
breukentafel en daarna met een getallenas. Wat vind
je van deze aanpak?
- Wat doet de leerkracht goed? Wat zou je eventueel
anders gedaan hebben?
- Op welke andere manier zou je eventueel nog
duidelijk kunnen maken aan leerlingen uit de lagere
2 2
school dat > ?
3
6
Evaluatie van de effecten van de lessenreeks
• Vergelijking van de leerwinst voor en na de lessenreeks in
de interventiegroep met een controlegroep, voor
o
o
vakinhoudelijke kennis
vakdidactische kennis
Toets vakinhoudelijke kennis (CK) en
vakdidactische kennis (PCK)
CK
Breuken
Kommagetallen
Representaties
4
2
2
Optellen
2
1
1
Aftrekken
2
1
1
Vermenigvuldigen
2
1
1
Delen
2
1
1
4
2
2
Optellen
2
1
1
Aftrekken
2
1
1
Vermenigvuldigen
2
1
1
Delen
2
1
1
24
12
12
Concept
Procedures
Totaal
Misvatting
Concept
Procedures
PCK
Toets – voorbeelden
• Vakinhoudelijke kennis (CK)
• Vakdidactische kennis (PCK)
Toets – voorbeelden
• Vakinhoudelijke kennis (CK)
• Vakdidactische kennis (PCK)
Resultaten
• Vóór de lessenreeks
o
Geen significant verschil tussen controlegroep en interventiegroep
CK (F=0.01; p=.94; η²=.00); PCK (F=1.51; p=.22; η²=.01)
o
Gemiddelde score van 70% voor CK en 49% voor PCK
o
Wel een invloed van bepaalde student-kenmerken
1CK
1PCK
B
SE
B
SE
Conditie
.02
.14
-.17
.14
Geslacht
.42**
.20
.14
.20
Uren wiskunde in SO
.24**
.07
.21**
.07
Wiskundig zelfconcept
** = p < .01
.26**
.07
.21**
.07
Resultaten
• Illustraties van fouten: CK
Resultaten
• Illustraties van fouten: PCK
Resultaten
• Effect van de lessenreeks
Resultaten
• Effect van de lessenreeks
o
Interventiegroep scoort significant beter dan
controlegroep voor PCK, maar nog sterker voor CK
2CK
2PCK
B
SE
1CK
.63**
.04
Conditie
.58**
.09
** = p < .01
B
SE
1PCK
.67**
.04
Conditie
.47**
.09
Referenties
• Clarke. D, Roche. A & Mitchell. A (2007). Year six fraction
•
•
•
•
understanding: A part of the whole story. Mathematics
Education Research Group Australia, 1, 207-216.
Depaepe, F., Torbeyns, J., Verschaffel, L., Van Dooren, W.
(2012). Wat is er dan zo rationeel aan rationale getallen? Of
hoe voorkennis niet (altijd) helpt. School- en Klaspraktijk,
53 (mrt-apr-mei), 2-16.
Janssen, R., De Corte, E., Daems, F., De Boeck, P.,
Verschaffel, L., Rymenans, R., Luyten, B. & Van Nijlen, D.
(2003). Eerste peiling wiskunde en lezen in het
basisonderwijs. Leuven: Katholieke Universiteit Leuven.
Keogh, B. & Naylor, S. (1999). Concept cartoon, teaching
and learning in science: an evaluation. International Journal
of Science Education, 21, 431-446.
Lamon, S. (2005). Teaching fractions and ratios for
understanding. New York: Routledge.
• Ni, Y. & Zhou, Y-D. (2005). Teaching and learning fraction
•
•
•
•
and rational numbers. The origins and implications of whole
number bias. Educational Psychologist, 40, 27-52.
Vamvakoussi, X., Christou, K. P., Mertens, L., & Van
Dooren, W. (2011) What fills the gap between discrete and
dense? Greek and Flemish students’ understanding of
density. Learning and Instruction, 21(5), 676–685.
Vamvakoussi, X., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2012).
Naturally biased? In search for reaction time evidence for a
natural number bias in adults. The Journal of Mathematical
Behavior, 31(3), 344-355.
Van Roy, P., Hawrijk, I., Vermeersch, N., Palmaerts, A.,
Depaepe, F. (2014). Breuken, kommagetallen en
procenten. Een didactiek voor het basisonderwijs. Leuven:
Acco uitgeverij.
Vosniadou, S. & Verschaffel, L.(2004). Extending the
conceptual change approach to mathematics learning and
teaching. Learning and Instruction, 14, 445-451.
Contact
Patrick Van Roy
Lector wiskunde
Hogeschool PXL
PXL-education (BALO)
Vildersstraat 5
3500 Hasselt
[email protected]
Lector pedagogie
Thomas More Mechelen
BALOA
Lange Ridderstraat 44
2800 Mechelen
[email protected]