Faculteit Wiskunde en Informatica ANALYSE 1 (2Y140)

Faculteit Wiskunde
en Informatica
Syllabus en opgaven bij het college
ANALYSE 1 (2Y140)
voor 1e jaars N- en WSK-studenten
2000/2001
Inhoudsopgave
3
4
Hoofdstuk 0 Elementaire reële
functies
0.1 Rekenen met getallen
Het begrip reëel getal veronderstellen we intuı̈tief bekend. De verzameling
van alle reële getallen noteren we met R. Een aanschouwelijke voorstelling
van R wordt gevormd door de getallenrechte. Dit is een, naar beide kanten
oneindig uitgestrekte, rechte lijn. Getallen zijn dan voor te stellen door punten op de getallenrechte. Zie figuur.
Speciale typen reële getallen
• De natuurlijke getallen
N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
• De natuurlijke getallen +0
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
• De gehele getallen
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
• De rationale getallen
Q = {. . . , − 32 , − 12 −1, 0, 12 , 32 , 2, 13 , 23 , 43 , 53 , 73 , 83 , 3, 14 , 34 , 54 , 74 , 94 , 10
, 11 , 13 , 14 , 15 , 4, . . .}
4 4 4 4 4
• De positieve reële getallen. We noemen a ∈ R positief als a groter is
dan 0. Notatie: a > 0. Op de getallenrechte zijn dit de getallen rechts
van 0.
• De negatieve reële getallen. We noemen a ∈ R negatief als a kleiner is
dan 0. Notatie: a < 0. Op de getallenrechte zijn dit de getallen links
van 0.
Merk op dat in bovenstaande opsommingen de natuurlijke en de gehele getallen ‘op volgorde’ staan. Bij de opsomming van Q worden in principe alle
breuken met gehele getallen genoemd, maar staan ze niet√op volgorde. De
verzameling R is echt omvangrijker dan Q: Getallen als 2, log 2, π, e, · · ·
5
kunnen niet als breuken van gehele getallen geschreven worden.
Elementaire rekenregels en rekenkundige bewerkingen
Laat a, b, c, d, ∈ R en m, n ∈ N.
• Optellen. Er geldt a + b = b + a en (a + b) + c = a + (b + c).
• Aftrekken. a − b = c − d precies dan als a + d = b + c.
• Vermenigvuldigen. Er geldt ab = ba en (ab)c = a(bc). Ook, in combinatie met optellen, a(b + c) = ab + ac = (b + c)a.
c
a c
ad + bc
a
,
• Delen. = precies dan als ad = bc. Voorts geldt + =
b
d
b d
bd
‘gelijknamig maken’. Tenslotte: DELEN DOOR 0 IS NIET GEDEFINIEERD EN KAN OOK NIET GEDEFINIEERD WORDEN. Immers
a
= c zou betekenen dat a = 0c = 0, dus a kan alleen 0 zijn. Ook
0
voor a = 0 werkt de deling niet want 0 = 0c, ongeacht wat c is. Ieder
antwoord zou dus goed zijn.
• Machtsverheffen. In plaats van aa schrijven we meestal a2 . In plaats
van a · a · · · · · a, m keer met m ∈ N, schrijven we am . Voor m, n ∈ N
m
geldt dan am an = am+n , (am )n = amn , (ab)m = am bm , ( ab )m = abm .
We schrijven ( 1b )m = b−m . Samen met de afspraak a0 = 1 werken de
rekenregels ook voor alle m, n ∈ Z.
• Worteltrekken. Voor ieder positief reëel getal a is er precies eéń positief
√
getal b zo dat b2 = a. Dit is ‘de wortel uit a’. We noteren b = a en
1
√
ook wel b = a 2 . Er geldt dus steeds a > 0. Net zo voeren we de n-de
machtswortel uit a > 0 in voor willekeurige n ∈ N. Dit
√ is het unieke
getal c > 0 dat voldoet aan cn = a. We noteren c = n a en, meestal,
1
c = a n . Met behulp van de rekenregels voor machtsverheffen zijn de
1
1
rekenregels voor worteltrekken dan af te leiden. Er geldt (a n ) m =
1
1
1
1
a mn , a n b n = (ab) n . Reële wortels uit negatieve getallen bestaan niet.
Net zo min bestaan reële even-machtswortels uit negatieve getallen.
Voor oneven-machtswortels ligt dat anders. Zo is er voor
√ elk getal
a ∈ R precies één getal c ∈ R dat voldoet aan c3 = a. Dus 3 a bestaat
voor elk reëel getal a.
• Rationale exponenten. Door combineren van machtsverheffen en worteltrekken komen we tot het volgende: Laat p ∈ Q. Dat wil zeggen p is
te schrijven als p = m
met m ∈ Z en n ∈ Z. Laat a > 0. Dan definiëren
n
6
1
we ap door ap = (am ) n . De volgende rekenregels voor machtsverheffen
met rationale getallen zijn dan eenvoudig na te gaan. Ze zijn uitsluitend gebaseerd op machtsverheffen en worteltrekken met gehele getallen
Laat a, b > 0 en p, q ∈ Q. Dan geldt ap bp = (ab)p , ap aq = ap+q , (ap )q =
1
apq . Speciale gevallen hiervan zijn ( a1 )p = a−p , (ap ) p = a1 = a.
• Merkwaardige producten. Uitschrijven levert ons het volgende lijstje
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
······
De coefficienten in dit lijstje, en het vervolg ervan, zijn gemakkelijk te
onthouden met behulp van de Driehoek van Pascal
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Elke nieuwe regel begint en eindigt met een 1, de overige getallen worden gevonden door beide bovenburen in de voorafgaande regel bij elkaar
op te tellen.
De volgende ‘ntbindingen in factoren’ zijn van levensbelang. Laat
a, b ∈ R, dan is door narekenen te verifiëren:
a1 − b 1 = a − b
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a4 − b4 = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = (a − b)(a + b)(a2 + b2 )
··················
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 ),
n ∈ N.
De laatste formule zegt dat voor n elk natuurlijk getal genomen kan
worden. De ontbrekende termen · · · moeten dan op een ‘ntelligentietestachtige’ manier worden aangevuld. Als we in bovenstaande ontbindingen b door −c vervangen, dan blijft in het linkerlid het -teken gehand7
haafd als n even is. Voor n oneven wordt het een +teken:
a1 + c 1 = a + c
a2 − c2 = (a + c)(a − c)
a3 + c3 = (a + c)(a2 − ac + c2 )
a4 − c4 = (a + c)(a3 − a2 c + ac2 − c3 ) = (a + c)(a − c)(a2 + c2 )
··················
an + cn = (a + c)(an−1 − an−2 c + an−3 c2 + · · · + a2 cn−3 − acn−2 + cn−1 ),
n ∈ N, n oneven.
0.2 Rekenen met ongelijkheden
Dit is van groot belang omdat bij het toepassen van wiskunde (gemeten)
grootheden vaak niet precies bekend zijn. Je moet dan de ‘marges’ in je
berekeningen meenemen. Ook bij wiskundige bewijsvoering en ‘theoretische’
beschouwingen spelen ongelijkheden een cruciale rol.
De onderhavige paragraaf is uitsluitend gebaseerd op het volgende
Uitgangspunt
Als voor α ∈ R, β ∈ R geldt α > 0 en β > 0, dan volgt
−α < 0,
1
α
> 0,
α + β > 0,
αβ > 0.
0.2.1 Definitie Beschouw a ∈ R en b ∈ R. Dan
1. a > b
staat voor
a − b > 0.
2. a < b
staat voor
b > a.
3. a ≤ b
als niet geldt dat a > b.
4. a ≥ b
als niet geldt dat a < b.
Voorbeelden
De volgende beweringen zijn waar: 3 > 1, −3 < −1, 1 ≥ 1, 1 ≤ 1.
0.2.2 Definitie Voor a ∈ R definieren we de absolute waarde (of ook wel modulus)
|a| door
a als a ≥ 0
|a| =
−a als a < 0
0.2.3 Opmerkingen • Op de getallenrechte stelt |a| de ‘afstand’tussen 0 en a
voor.
√
• Omdat wortels positief zijn geldt a2 = |a|.
8
0.2.4 Stelling Gegeven: α, β, a, b, ∈ R, α > 0, β > 0, m, n ∈ N met m ≥ 2 en
n ≥ 2, p, q ∈ Q met p > 0 en q > 0.
Dan zijn de volgende uitspraken waar:
1.
b>a
β>α
β>α
b>a
a
> βb
α
geldt
geldt
geldt
geldt
geldt
precies
precies
precies
precies
precies
dan,
dan,
dan,
dan,
dan,
als −b < −a,
β
als
> 1,
α
1
als
< α1 ,
β
als αb > αa,
als aβ > bα
2. β > α geldt precies dan, als
β n > αn ,
1
1
β > α geldt precies dan, als β n > α n ,
β > α geldt precies dan, als β p > αp .
1
3. Als 0 < α < 1, dan geldt 0 < αm < α en ook α < α m < 1.
1
Als β > 1, dan geldt β n > β en ook 1 < β n < β.
4. De driehoeksongelijkheid
|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|.
Ook geldt
|a| − |b| ≤ a − b ≤ |a| + |b|.
5. |ab| ≤ 12 (a2 + b2 ).
Bewijs.
1. • b > a betekent b − a > 0 en −b < −a betekent −a + b > 0.
Beide komen op hetzelfde neer want b − a = −a + b.
• Omdat β − α > 0 en α1 > 0, hebben β − α en α1 (β − α) = αβ − 1 beide
hetzelfde teken.
1
• Omdat ( α1 − β1 ) = αβ
(β − α) en αβ > 0 hebben α1 − β1 en (β − α)
hetzelfde teken.
• Omdat α > 0 hebben b − a en α(b − a) hetzelfde teken.
2. • Als β > α, dan volgt (wegens β > 0) dat ββ > βα. Ook volgt
(wegens α > 0) dat βα > αα. Samengevat: β 2 > α2 . Vervolgens:
β 3 = ββ 2 > βα2 > αα2 = α3 . Ga zo door tot je bij β n > αn bent.
1
1
1
1
• Veronderstel eens dat β n > α n NIET waar is. Dan zou β n ≤ α n .
Met de voorafgaande • blijft de ongelijkheid intact als we aan beide
kanten de n−e macht nemen. Er zou dan volgen β ≤ α, in strijd met
onze aanname dat juist β > α. Onze veronderstelling leidt dus tot
1
1
onzin en daarom is β n > α n wel waar.
9
• Neem in de laatst genoemde ongelijkheid de m-de macht. Dan volgt
m
m
onder toepassing van de eerste • dat β n > α n , voor willekeurige m
en n.
3. • Door steeds weer met α > 0 te vermenigvuldigen vinden we het
volgende rijtje ware beweringen: α < 1, α2 < α < 1, α3 < α2 < α <
1, . . . , αm < αm−1 < . . . < α2 < α < 1.
1
1
• Veronderstel eens dat α < α m niet waar is. Dan zou α ≥ α m . Neem
hier aan beide kanten de m−macht. Er volgt αm ≥ α. Dit is in strijd
met 0 < α < 1. De bewering is dus wel waar.
• Door steeds weer met β > 0 te vermenigvuldigen vinden we het
volgende rijtje ware beweringen: β > 1, β 2 > β > 1, β 3 > β 2 > β >
1, . . . , β n > β n−1 > . . . > β 2 > β > 1.
4. Er geldt −|ab| ≤ ab ≤ |ab|. Dus ook −2|ab| ≤ 2ab ≤ 2|ab|. Tel hierbij
op a2 + b2 (= |a|2 + |b|2 ). Er komt
|a|2 − 2|a||b| + |b|2 ≤ a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2 .
Hier staat
(|a| − |b|)2 ≤ (a + b)2 ≤ (|a| + |b|)2 .
√
Worteltrekken, met x2 = |x|, levert de driehoeksongelijkheid. De
tweede regel volgt uit de eerste door −b voor b te substitueren.
5. Volgt door uitschrijven van (|a| − |b|)2 ≥ 0.
0.2.5 Definitie Een deelverzameling I van de reële getallen R, notatie: I ⊂ R,
heet een interval als bij a ∈ I, b ∈ I steeds volgt dat alle ‘tussengelegen
punten x’, dat wil zeggen a < x < b, ook tot I behoren. Intervallen kunnen
al dan niet een grootste of een kleinste getal bevatten. We geven een volledige
opsomming van alle typen intervallen.
Laat a < b,
• [a, b] = {x ∈ R a ≤ x ≤ b}. Dit heet gesloten en begrensd interval.
Dit type interval bevat zowel een grootste waarde maximum (= b) als
een kleinste waarde minimum (= a).
• (a, b) = {x ∈ R a < x < b}. Dit heet open en begrensd interval . Dit
type interval bevat noch een maximum noch een minimum.
• (a, b] = {x ∈ R a < x ≤ b}. Dit heet links open, rechts gesloten
interval . Dit type interval bevat wel een maximum (= b), maar geen
minimum.
10
• [a, b) = {x ∈ R a ≤ x < b}. Dit heet links gesloten, rechts open
interval . Dit type interval bevat wel een minimum (= a), maar geen
maximum.
• [a, ∞) = {x ∈ R x ≥ a}. Dit heet onbegrensd, naar onder begrensd,
gesloten interval. Dit type interval bevat wel een minimum (= a), maar
geen maximum.
• (a, ∞) = {x ∈ R x > a}. Dit heet onbegrensd, naar onder begrensd,
open interval. Dit type interval bevat noch een minimum, noch een
maximum.
• (−∞, b] = {x ∈ R x ≤ b}. Dit heet onbegrensd, naar boven begrensd
, gesloten interval . Dit type interval bevat wel een maximum, maar
geen minimum.
• (−∞, b) = {x ∈ R x < b}. Dit heet onbegrensd, naar boven begrensd,
open interval. Dit type interval bevat noch een maximum, noch een
minimum.
• (−∞, ∞) = {x ∈ R − ∞ < x < ∞} = R. Is slechts een alternatieve
notatie voor R. Merk op dat +∞ en −∞ geen getallen beduiden doch
slechts een rol spelen in notaties.
0.2.6 Voorbeeld De deelverzamelingen N, Z en Q van R zijn geen van alle intervallen. Waarom niet?
0.3 Reële functies. In het bijzonder: Rekenkundige functies
Een plat vlak voorzien van een rechthoekig assenkruis, het x − y-vlak , zullen we in het vervolg aanduiden met de notatie R2 . De notatie bedoelt te
suggereren dat we R2 op kunnen vatten als de verzameling van alle geordende 2-tallen van reële getallen, de ‘coördinaten van de punten in het vlak’.
Formeel
R2 = {(x, y) x ∈ R, y ∈ R}.
Hierbij moet de notatie (x, y) niet verward worden met de notatie voor intervallen in R. Uit het verband zal altijd duidelijk zijn wat bedoeld wordt.
0.3.1 Definitie Laat I ⊂ R en J ⊂ R intervallen zijn. Een afbeelding f van I naar
J, notatie f : I → J, is een voorschrift waarmee aan elk getal in I precies
één getal uit J wordt toegevoegd. Als b ∈ J het getal is dat aan a ∈ I wordt
11
toegevoegd, dan schrijven we b = f (a). We noemen b het beeld van a en ook
wel de functiewaarde in a. Bondig samengevat
f : I → J,
a 7→ b = f (a).
(Het symbool ‘7→’ dient te worden gelezen als ‘wordt afgebeeld op’.) Het
interval I heet wel de definitieverzameling of ook domein van f , notatie:
DOM(f ). Het interval J heet wel het codomein van f , notatie CODOM(f ).
In plaats van afbeelding zeggen we meestal functie. In ons geval spreken we
wel van een reële functie omdat steeds f (a) ∈ R.
Bij een functie f : I → J behoort een grafiek ; dit is de volgende deelverzameling van R2 :
grafiek(f ) = {(x, y) ∈ R2 x ∈ I, y = f (x)}.
We vermelden nu een aantal klassen van functies die gebaseerd zijn op
de elementaire rekenoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen
en worteltrekken. Deze functies hebben als bijzonderheid dat je de functiewaarde f (x) voor elke x in het definitiegebied recht-toe-recht-aan kunt
uitrekenen.
0.3.2 Definitie
• Polynomen. Het voorschrift x 7→ p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + aN xN ,
met N ∈ N0 vast gekozen en coëfficiënten a0 , a1 , . . . , aN ∈ R eveneens
vast gekozen, definiëert een functie p : R → R. Als aN 6= 0, dan heet p
een polynoom van de graad N .
• Rationale functies. Beschouw het voorschrift x 7→ r(x) = p(x)
, met
q(x)
2
M
p(x) als boven en q(x) = b0 +b1 x+b2 x +. . .+bM x , een polynoom van
de graad M , met M ∈ N0 , vast gekozen coëfficiënten. Als voor alle x in
een zeker interval I geldt dat q(x) 6= 0, dan definiëert het beschouwde
voorschrift een functie r : I → R. Door M = 0 te nemen zie je dat de
polynomen bij de rationale functies horen.
• Wortelfuncties. Het voorschrift x 7→ w(x) = xµ met µ ∈ Q vast
gekozen definiëert een functie w : (0, ∞) → (0, ∞). Als µ ≥ 0, kan
het voorschrift ook dienen om een functie van [0, ∞) naar [0, ∞) te
definiëren. Er geldt dan w(0) = 0 als µ > 0 en w(0) = 1 als µ =
0. In het speciale geval µ ∈ Z behoort w tot de klasse der rationale
functies. In het nog specialere geval µ ∈ N0 behoort w tot de klasse
der polynomen.
12
• Rekenkundige functies. Dit zijn combinaties van bovenstaande drie
typen, verkregen door optelling, vermenigvuldiging en substitutie. De
definitieverzameling van zo’n functie kan natuurlijk alleen die punten
bevatten waarvoor de formule zinvol is. De beperkingen zijn dat delen door 0 niet kan en dat wortels uit negatieve getallen niet bestaan.
Meestal kiezen we voor het domein van zo’n functie een zo groot mogelijk interval .
0.3.3 Voorbeelden
• Het polynoom f (x) = x wordt wel de identieke afbeelding genoemd.
We hebben hier a 7→ a, ieder getal a wordt op zichzelf afgebeeld.
Het polynoom f (x) = x2 kan, zoals boven gemeld, als een afbeeelding
f : R → R worden opgevat. Het codomein is in dit geval duidelijk veel
groter ‘dan nodig is’ omdat f geen negatieve waarden aanneemt. We
stellen daarom f : R → [0, ∞). Nu geldt f (a) = f (−a) = a2 . Dit
betekent dat de afbeelding f nog steeds niet bijectief , dat wil zeggen
niet een-op-een, is. Daar kunnen we wat aan doen door ook het domein
kleiner te maken: We beschouwen tenslotte f : [0, ∞) → [0, ∞) met
x 7→ f (x) = x2 . Nu hoort bij ieder beeldpunt y precies één origineel,
√
√
namelijk y. Als we g : [0, ∞) → [0, ∞) definiëren door g(x) = x,
dan
voor alle√x ≥ 0 dat f (g(x)) = x en ook g(f (x)) = x, immers
√ volgt
2
( x) = x en ook x2 = x als x ≥ 0. We noemen g de inverse functie
van f . Notatie g = f ← .
1
• De rationale functie f : R → (0, 1] gedefinieerd door x 7→ f (x) = 1+x
2
is surjectief , dat wil zeggen dat q
ieder punt y ∈ (0, 1] als beeld ‘aan de
, dan is f (x) = y. In feite komt
beurt komt’. Immers, als x = ± 1−y
y
dus ieder beeldpunt twee keer aan de beurt. Daar kunnen we wat aan
doen door het definitiegebied ‘kunstmatig’ te beperken. De functies
f1 : [0, ∞) → (0, 1] en f2 : (−∞, 0] → (0, 1], beide gedefiniëerd door de
1
←
toevoeging x 7→ 1+x
2 , hebben als inverse respectievelijk f1 : (0, 1] →
q
1−x
en f2← : (0, 1] → (−∞, 0] met x 7→
[0, ∞) met x 7→ f1← (x) =
x
q
.
f2← (x) = − 1−x
x
De rationale
functie f (x) = x1 heeft als natuurlijk domein R\{0} =
{x ∈ R x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Deze verzameling omvat alle
punten x waarvoor de uitdrukking x1 zinvol is. Deze verzameling is geen
interval! Als we met de formule x 7→ x1 een bijectieve afbeelding tussen
zo groot mogelijke intervallen willen maken kunnen we, bijvoorbeeld,
kiezen voor f : (0, ∞) → (0, ∞). Deze functie is gelijk aan zijn eigen
inverse.
13
• De ‘machtsfunctie met positieve exponent’ w : [0, ∞) → [0, ∞) gegeven door x 7→ w(x) = xµ , met µ ∈ Q, µ > 0, is strict monotoon
stijgend . Dat wil zeggen: Als b > a dan is bµ > aµ . Dit volgt uit
de voorafgaande beschouwingen over ongelijkheden. De inverse functie
1
w← : [0, ∞) → [0, ∞) wordt gegeven door x 7→ w← (x) = x µ . Immers
1
1
(xµ ) µ = x en ook (x µ )µ = x. De inverse functie is eveneens strict
monotoon stijgend omdat ook µ1 > 0.
De ‘machtsfunctie met negatieve exponent’ w : (0, ∞) → (0, ∞) gegeven door x 7→ w(x) = xµ , met µ ∈ Q, µ < 0, is strict monotoon
dalend . Dat wil zeggen: Als b > a dan is bµ < aµ . Dit volgt uit
de voorafgaande beschouwingen over ongelijkheden. De inverse functie
1
w← : (0, ∞) → (0, ∞) wordt gegeven door x 7→ w← (x) = x µ . Immers
1
1
(xµ ) µ = x en ook (x µ )µ = x. De inverse functie is eveneens strict
monotoon dalend omdat ook µ1 < 0.
1
• De rekenkundige functie x 7→ g(x) = √1−x
2 heeft als natuurlijk domein
het interval (−1, 1).
√
De rekenkundige functie x 7→ h(x) = ax2 + bx + c met a, b, c vast
gegeven reële getallen, heeft als natuurlijk domein de hele R precies dan
√
als a > 0 én b2 − 4ac ≤ 0. Dan is namelijk het polynoom onder de
voor alle x niet-negatief. Als daarentegen de discriminant b2 − 4ac > 0,
√
dan heeft het polynoom onder de twee nulpunten, x1 en x2 zeg, met
x1 < x2 . Voor het natuurlijk domein van onze wortelfunctie kunnen we
dan kiezen uit de intervallen (−∞, x1 ] en [x2 , ∞).
Indien a < 0 en b2 − 4ac > 0 (‘bergparabool’) is het natuurlijk domein
het interval (x1 , x2 ). Als, tenslotte, a < 0 en b2 − 4ac < 0, dan ligt
de hele bergparabool onder de x−as, en wordt er door onze worteluitdrukking helemaal geen functie gedefiniëerd.
Geı̈nspireerd door bovenstaande voorbeelden komen we tot de volgende afspraken
0.3.4 Definitie Een functie f : I → J heet




 injectief 
 hoogstens 
surjectief als voor alle y ∈ J er
minstens
één x ∈ I is zo dat f (x) = y.




bijectief
precies
Anders gezegd: De vergelijking
met y ∈ J,
f (x) = y
14
met x als onbekende, heeft dan, respectievelijk, hoogstens één, tenminste
één, precies één oplossing x ∈ I.
0.3.5 Definitie Veronderstel dat de functie f : I → J bijectief is. We definieren
dan de inverse functie
f ← : J → I,
a 7→ b = f ← (a),
door bij a ∈ J voor b de (unieke!) oplossing te nemen van de vergelijking
f (b) = a.
0.3.6 Opmerkingen
• Voor alle x ∈ J geldt f (f ← (x)) = x.
• Voor alle x ∈ I geldt f ← (f (x)) = x.
• De grafiek y = f ← (x) van de inverse functie wordt gevonden door de grafiek
y = f (x) te spiegelen ten opzichte van de rechte y = x.
0.3.7 Definitie Een functie f : I → J heet



strict
(monotoon)
stijgend












strict
(monotoon)
dalend



niet dalend
als voor alle a, b ∈ I met a < b geldt f (b)






niet stijgend









constant
0.3.8 Definitie Een functie f : I → J heet continu als de grafiek van f ‘samenhangend’ is, dat wil zeggen ‘uit één stuk bestaat’.
0.3.9 Opmerkingen
• Bovenstaande definitie kan ook gelezen worden als tussenwaardeneigenschap: Als x1 , x2 ∈ I dan treden alle getallen tussen f (x1 ) en f (x2 ) ook
minstens een keer op als functiewaarde. Netter geformuleerd: Gegeven een
getal c zodat f (x1 ) < c < f (x2 ) voor zekere x1 , x2 ∈ I, dan is er minstens
één punt x3 ∈ I zo dat c = f (x3 ). De beeldpunten vormen dus met zijn allen
weer een interval. Als x het interval I doorloopt dan maakt f (x) dus nergens
‘sprongen’.
• Continuı̈teit van f betekent eigenlijk: ‘De waarden van f (x), met x 6= a
kun je net zo dicht bij f (a) krijgen als je wil door met x dicht genoeg bij a
te gaan zitten’.
• Voor de rijpere lezer: Onze definitie van ‘continuiteit’ via ’samenhangendheid’ is correct omdat we hebben verondersteld dat het domein I een interval
is.
15
>
<
≥
≤
=











f (a).
De volgende steling is uit aanschouwing duidelijk. Ze kan bewezen worden
door intensief te spelen met de ’tussenwaardestelling’ en het concept ‘bijectiviteit’.
0.3.10 Stelling Veronderstel dat f : I → J continu is. Dan geldt het volgende:
f is bijectief dan en slechts dan als f strict monotoon stijgend (dan wel strict
monotoon dalend) is.
0.3.11 Opmerking De continuı̈teitsconditie in de voorafgaande stelling is wezenlijk. De discontinue functie g : [0, 1] → [0, 1], beschreven door g(0) = 1,
g(1) = 0, g(x) = x als 0 < x < 1, is niet monotoon maar wel bijectief!
De laatste stelling van deze sectie gaat over het combineren van continue
functies. Ook deze stelling moge uit aanschouwing duidelijk zijn.
0.3.12 Stelling Veronderstel dat de functies
f : I → J,
g : I → J,
h : J → R,
alledrie continu zijn. Laat voorts α, β ∈ R willekeurig doch vast gekozen
zijn.
Dan zijn de volgende vier functies continu:
I → J,
x 7→ αf (x) + βg(x),
:
I → J,
x 7→ f (x)g(x),
:
I → J,
:
I → R,
αf + βg :
fg
f
g
h◦f
f (x)
, mits g(x) 6= 0,
g(x)
x 7→ (h ◦ f )(x) = h(f (x)).
x 7→
De, in deze sectie genoemde, algemene (doch hier onbewezen) stellingen over
continue functies leggen onze ‘omgangsvormen’ of ’spelregels’ met continue
functies vast. In sectie 0.6 zal daar de ’insluiteigenschap’ nog aan toegevoegd
worden.
0.4 De logarithmische en exponentiële functies
In deze en in de volgende sectie presenteren we de grafische definities, algebraı̈sche en asympotische eigenschappen van de elementaire transcendente
functies ln, exp, sinh, cosh, tanh, arcsinh, arccosh, arctanh, sin, cos, tan,
arcsin, arccos, arctan. De definities en eigenschappen zullen op een ordelijke
en samenhangende manier gegeven en bij elkaar gezet worden.
Bij onze definities zal het begrip oppervlakte van een gebied in R2 een rol
16
spelen. De oppervlakte van een rechthoek is, zoals bekend, gelijk aan het
basis×hoogte
product van de zijden. De oppervlakte van een driehoek is
, dit
2
is de helft van een geschikte rechthoek. Ook van figuren die uit een eindig
aantal driehoeken zijn opgebouwd is dan eenvoudig de oppervlakte te bepalen. Hiermee houdt het ‘elementair oppervlakte berekenen’ op. Voor figuren
die door kromme lijnen begrensd worden moet een benaderingsprocedure gevolgd worden waar we nu een intuı̈tieve schets van geven: Stel je het gebied
waar we de oppervlakte van willen bepalen voor als een inktvlek op fijnmazig
ruitjespapier. Als we alle ruitjes (rechthoekjes!) tellen die helemaal met inkt
bedekt zijn, vinden we een getal dat kleiner dan of gelijk is aan de oppervlakte van de vlek. Dit getal heet wel een ondergrens voor de oppervlakte.
Als we ook de ruitjes die slechts deels met inkt bevlekt zijn meenemen, dan
vinden we een getal dat groter dan of gelijk is aan de oppervlakte van de
vlek. Dit getal noemen we een bovengrens voor de oppervlakte. De ‘echte
oppervlakte’ van de vlek zal tussen deze beide grenzen in liggen. Als bij het
alsmaar fijnmaziger nemen van het ruitjespapier blijkt dat bovengrens en ondergrens ‘naar elkaar toe kruipen’, dan komen we uiteindelijk bij een getal uit
dat we de oppervlakte van de vlek noemen. Het kan voorkomen dat de vlek zo
grillig is dat ondergrens en bovengrens bij het steeds fijnmaziger nemen van
het ruitjespapier NIET naar elkaar toekruipen. Wiskundigen kunnen zulke
perversiteiten bedenken. Aan zo’n grillige vlek kan dan geen ‘oppervlakte’
toegekend worden. Wij zullen zulke ‘grillige’ gebieden overigens hier niet
tegenkomen.
0.4.1 Lemma In het xy−vlak beschouwen we het gebied begrensd door de x−as
(y=0), de kromme y = x1 en de rechten x = a, x = b met 0 < a < b. Het
getal dat de oppervlakte van dit gebied weergeeft noteren we met
Opp[x 7→ x1 , (a, b)], kortweg Opp[ x1 , (a, b)]. Er geldt het volgende
1.
1
(b
b
− a) ≤ Opp[ x1 , (a, b)] ≤ a1 (b − a).
2. 0 ≤ Opp[ x1 , (a, b)] − 1b (b − a) ≤
0 ≤ a1 (b − a) − Opp[ x1 , (a, b)] ≤
(b−a)2
,
a2
(b−a)2
.
a2
3. Voor α > 0 geldt Opp[ x1 , (αa, αb)] = Opp[ x1 , (a, b)].
Bewijs.
1. Merk op dat de functie x 7→ x1 strict monotoon dalend is.
Constateer dat in het linkerlid van de ongelijkheid de oppervlakte staat
van de grootst mogelijke rechthoek onder de grafiek op het interval [a, b].
In het rechterlid van de ongelijkheid staat de oppervlakte van de kleinst
mogelijke rechthoek op het interval [a, b] waar de grafiek nog in ligt. Het
17
oppervlak onder de grafiek en boven het interval [a, b] ligt tussen deze
twee oppervlaktegetallen in.
2. Trek van de voorafgaande ongelijkheid 1b (b − a) af. Dan volgt
2
2
0 ≤ Opp[ x1 , (a, b)] − 1b (b − a) ≤ ( a1 − 1b )(b − a) = (b−a)
≤ (b−a)
, dit
ab
a2
laatste omdat b > a.
De tweede ongelijkheid gaat analoog.
3. We gaan eerst voor Opp[ x1 , (a, b)] betere onder- en bovengrenzen vinden. Zie ook de figuur. Kies N ∈ N en verdeel [a, b] in N gelijke
stukken: Stel a = a0 , b = aN en ak = a + k (b−a)
voor 1 ≤ k < N .
N
Op het interval [ak , ak+1 ] passen we de ongelijkheden 2. toe. Voor de
eerste levert dat
0 ≤ Opp[ x1 , (ak , ak+1 )] −
1
(ak+1
ak+1
− ak ) ≤
(ak+1 −ak )2
a2k
≤ (b − a)2 a21N 2
De laatste ongelijkheid geldt omdat alle ak ≥ a en (ak+1 − ak ) = b−a
.
N
Per interval kiezen we dus een zo hoog mogelijk blokje. Als ondergrens voor Opp[ x1 , (a, b)] nemen we de som van de oppervlakten van de
blokjes:
SN =
1
(a1
a1
− a0 ) +
1
(a2
a2
− a1 ) + · · · +
1
(aN
aN
− aN −1 ).
Als we de uiterste termen in laatst verkregen ongelijkheid sommeren
voor 0 ≤ k < N komt er
0 ≤ Opp[ x1 , (a, b)] − SN ≤ N (b − a)2 a21N 2 =
1 (b−a)2
N a2
Omdat a en b vast gekozen getallen zijn kunnen we het rechterlid net
zo klein krijgen als we willen door N voldoend groot te kiezen. Dit
betekent dat Opp[ x1 , (a, b)] willekeurig dicht te benaderen is met een
‘blokjessom’. Met de tweede ongelijkheid onder 2. vinden we, op analoge wijze, een bovengrens
TN =
1
(a1
a0
− a0 ) +
1
(a2
a1
− a1 ) + · · · +
1
(aN
aN −1
− aN −1 ),
met de eigenschap
0 ≤ TN − Opp[ x1 , (a, b)] ≤
1 (b−a)2
.
N a2
We komen nu tot het bewijs van de belangrijke identiteit onder 3.
De verdeling van het interval [αa, αb] in N gelijke stukken wordt precies
geleverd door de getallen αak , 0 ≤ k ≤ N , met αk de verdeelpunten
18
van [a, b]. Als we nu, net als boven, de onder- en bovengrenzen opschrijven voor Opp[ x1 , (αa, αb)], dan vinden we daar precies dezelfde
1
getallen voor omdat αa1k−1 (αak − αak−1 ) = ak−1
(ak − ak−1 ). Blijkbaar
zijn alle onder/bovengrenzen voor Opp[ x1 , (αa, αb)], hoe nauw ook, tevens onder/bovengrenzen voor Opp[ x1 , (a, b)]. Dit kan alleen maar als
Opp[ x1 , (αa, αb)] = Opp[ x1 , (a, b)].
0.4.2 Definitie In het voorafgaande hebben we Opp[ x1 , (a, b)], met b > a, gedefiniéerd als een oppervlakte (een positief getal). We spreken het volgende af:
Als b < a stellen we Opp[ x1 , (a, b)] = −Opp[ x1 , (b, a)], als b = a stellen we
Opp[ x1 , (a, a)] = 0.
Als we voor de letter x een andere bestemming hebben schrijven we 1s in
plaats van x1 .
De eerste transcendente functie die we definiëren is de natuurlijke logarithme
ln x. Het functievoorschrift wordt gegeven in termen van een oppervlak onder
de kromme y = x1 . In tegenstelling tot de situatie bij rekenkundige functies
kunnen we slechts van heel weinig getallen de logarithme exact berekenen.
0.4.3 Definitie ln : (0, ∞) → R,
x 7→ ln x = Opp[ 1s , (1, x)].
0.4.4 Eigenschappen
1. Als x > 1 dan ln x > 0 en omgekeerd. Als 0 < x < 1
dan ln x < 0 en omgekeerd. ln 1 = 0.
2. Voor α > 0 en x > 0 geldt ln αx = ln α + ln x. Dus ook ln x1 = − ln x.
1
3. Voor n ∈ Z geldt ln xn = n ln x en ook ln(x n ) =
Voor q ∈ Q geldt ln xq = q ln x.
1
n
ln x.
4. Als b > a > 0 dan is ln b > ln a. De functie x 7→ ln x is een continue
en strict monotoon stijgende functie. De functie ln : (0, ∞) → R is
bijectief.
≤ ln x ≤ x − 1. In deze ongelijkheid geldt
5. Voor alle x > 0 geldt x−1
x
het gelijkteken alleen als x = 1. Als we x = 1 + h stellen blijkt: Voor
h
alle h > −1 geldt 1+h
≤ ln(1 + h) ≤ h. Hier geldt het =teken alleen als
h = 0. Zie figuur.
6. Er bestaat een getal e, 2 < e < 3 zodat ln e = 1. In feite geldt voor
iedere n ∈ N dat (1 + n1 )n < e < (1 + n1 )n+1 . Voor n = 1 staat hier
7776
2 < e < 4. Voor n = 5 staat er 2, 48 < 3125
< e < 46656
< 3.
15625
19
7. Kies p ∈ Q, p > 0 en vast (net zo klein als je maar wil). Dan geldt:
Voor alle x > 1 :
0 < ln x < p1 (xp − 1),
dus ook
1
xp
ln x < p1 .
Dit wil zeggen dat, bij aangroeiende x, de functie ln x langzamer aangroeit dan welke (kleine !) macht van x ook.
8. Kies q ∈ Q, q > 0 en vast (net zo klein als je maar wil). Dan geldt:
Voor alle x met 0 < x < 1 :
0 < − ln x < 1q ( x1q −1),
dus ook
|xq ln x| < 1q .
Dit wil zeggen dat, bij naar 0 dalende x de functie − ln x langzamer
naar oneindig groeit dan welke negatieve macht van x ook.
9. Voor alle h ∈ (−1, 1) maar h 6= 0 geldt
ln(1 + h)
1
1
<
<
.
1 + |h|
h
1 − |h|
Bewijs.
1. Volgt direct uit Definitie 0.4.2.
2. Met gebruikmaking van Lemma 0.4.1 volgt
ln αx − ln α = Opp[ 1s , (1, αx)] − Opp[ 1s , (1, α)] = Opp[ 1s , (α, αx)] =
= Opp[ 1s , (1, x)] = ln x.
3. • ln xn = ln xxn−1 = ln x + ln xn−1 = 2 ln x + ln xn−2 = . . . = n ln x.
1
1
1
• ln x = ln(x n )n = n ln x n . Dus ln x n = n1 ln x.
m
met
n
m n1 ln x.
• Stel q =
1
m ln x n =
m
1
m ∈ Z, n ∈ Z. Er volgt ln x n = ln(x n )m =
4. ln b = ln a + Opp[ 1s , (a, b)] > ln a + 1b (b − a). Dus zeker ln b > ln a. Met
toenemende x neemt de oppervlakte Opp[ 1s , (1, x)] monotoon toe.
5. Door een rechthoek met hoogte 1, respectievelijk hoogte x1 , te nemen
< Opp[ 1s , (1, x)] < x − 1.
blijkt voor x > 1 dat x−1
x
Als 0 < x < 1 geldt ln x = −Opp[ 1s , (x, 1)]. De gezochte ongelijkheid volgt dan door (1 − x) < Opp[ 1s , (x, 1)] < (1 − x) x1 met −1 te
vermenigvuldigen.
6. Als x > 2m dan is ln x > m ln 2. Blijkbaar kan ln x willekeurig grote
waarden aannemen. Op grond van de tussenwaardestelling worden
ALLE waarden aangenomen. Ook de waarde 1 dus. Met 5. zien we
20
ln(1 + n1 ) < n1 . Dus n ln(1 + n1 ) = ln(1 + n1 )n < 1. Dus (1 + n1 )n < e.
1
Eveneens met 5. zien we ln(1 + n1 ) > (n+1)
. Dus (n + 1) ln(1 + n1 ) =
ln(1 + n1 )n+1 > 1. Dus (1 + n1 )(n+1) > e. De gevonden ‘onderschatting’
en de ‘overschatting’ van e kruipen voor groot wordende n naar elkaar
toe. Immers (1 + n1 )n+1 − (1 + n1 )n = n1 (1 + n1 )n < n4 .
7. Vervang in 5. het getal x door het getal xp .
8. Uit 5. volgt voor 0 < x < 1 dat 0 < − ln x <
door xq .
1
x
− 1. Vervang hierin x
9. Neem in de ongelijkheid 5. achtereenvolgens x = 1 + h en x = 1 − h.
In beide gevallen met 0 < h < 1.
De logarithme is een strict stijgende continuë functie. Die heeft dus een
inverse. Zie eind sectie 0.3. Deze inverse is zo belangrijk dat hij een speciale
naam draagt: exp, de exponentiële functie.
0.4.5 Definitie exp : R → (0, ∞), x 7→ exp x.
Voor elk getal a ∈ R wordt het getal exp a = b gedefiniëerd als de (unieke!)
oplossing b van de vergelijking ln b = a.
0.4.6 Opmerking
• Voor alle x ∈ R geldt ln(exp x) = x.
• Voor alle x ∈ (0, ∞) geldt exp(ln x) = x.
0.4.7 Eigenschappen
1. Als x > 0 dan exp x > 1 en omgekeerd. Als x < 0
dan 0 < exp x < 1 en omgekeerd. exp 0 = 1, exp 1 = e.
2. Voor β ∈ R en x ∈ R geldt: exp(β + x) = exp β exp x. Dus ook
exp(−x) = exp1 x = (exp x)−1 .
1
3. Voor n ∈ Z geldt: (exp x)n = exp(nx) en ook (exp x) n = exp( nx ).
Voor q ∈ Q geldt: (exp x)q = exp qx.
4. Als b > a dan is exp b > exp a. De functie x 7→ exp x is een continue
en strict monotoon stijgende functie. De functie exp : R → (0, ∞) is
bijectief.
5. Voor alle x ∈ R geldt 1 − (exp −x) ≤ x ≤ (exp x) − 1. In deze ongelijkheid geldt het gelijkteken alleen als x = 0. Ook geldt nog voor alle
x ∈ R en alle p ∈ Q, p > 0, dat x ≤ p1 (exp(px) − 1).
21
6. Voor alle q ∈ Q geldt exp q = eq .
7. Kies α ∈ Q, α > 0 en vast (net zo klein als je maar wil). Kies p ∈ Q,
p > 0 en vast (net zo groot als je maar wil). Dan geldt:
Voor alle x ≥ 0 :
xp < ( αp )p exp(αx).
Dit wil zeggen dat, bij aangroeiende x, de functie exp x sneller aangroeit
dan welke (grote!) macht van x ook.
8. Kies α ∈ Q, α > 0 en vast (net zo klein als je maar wil). Kies p ∈ Q,
p > 0 en vast (net zo groot als je maar wil). Dan geldt:
Voor alle x ≥ 0 :
xp exp(−αx) < ( αp )p .
‘Een polynoom is nooit opgewassen tegen een negatieve e-macht’.
9. Voor alle x 6= 0 geldt
1 − | exp x − 1| <
exp x − 1
< 1 + | exp x − 1|.
x
Bewijs. Merk om te beginnen op dat 0 < a < b precies dan geldt als ln a <
ln b, en ook dat a = b precies dan als ln a = ln b. Deze eigenschappen zullen
we in het bewijs intensief gebruiken.
1. Stel x > 0 en veronderstel dat exp x ≤ 0. Dan zou x = ln exp x ≤ 0. In
strijd met de veronderstelling. Blijkbaar is de veronderstelling exp x ≤
0 fout. Er geldt dus exp x > 0.
2. ln(exp β exp x) = ln exp β + ln exp x = β + x = ln exp(β + x). Dus
exp β exp x = exp(β + x).
3. ln(exp x)q = q ln(exp x) = qx = ln(exp qx).
4. Neem aan a < b en veronderstel eens dat exp b ≤ exp a. Omdat de
ln-functie strict stijgend is, zou hieruit volgen dat ln exp b ≤ ln exp a.
Hier staat b ≤ a, in strijd met ons uitgangspunt a < b.
5. • Vervang in de eerste ongelijkheid in 0.4.4-5 het getal x door het getal
exp x.
• Vervang in x < exp x − 1 het getal x door het getal px.
6. ln exp q = q = q ln e = ln eq . Dus exp q = eq .
22
7. Uit 5. volgt dat voor alle p > 0 en voor alle x ∈ R geldt: x < p1 exp px.
Vervan hierin p door αp . Er komt x < αp exp αp x. Neem nu aan beide
kanten van deze ongelijkheid de p-de macht.
8. Vermenigvuldig het resultaat onder 7. met exp −αx.
9. Vervang in 0.4.4-9 het getal h door het getal exp x − 1. Zet daarna de
breuken op hun kop.
Tot nu toe deden we machtsverheffen alleen met rationale getallen in de
exponent. Dus aq heeft al betekenis voor a ∈ R, a > 0 en q ∈ Q. De
beperking tot q ∈ Q laten we nu vallen.
0.4.8 Definitie Laat a ∈ R, a > 0, en x ∈ R, willekeurig. We definiëren
ax = exp(x ln a)
0.4.9 Opmerking
• In het speciale geval dat x ∈ N, Z of Q strookt dit met de al bekende
eigenschappen voor rationale exponenten.
• De rekenregels voor machtsverheffen met reële getallen zijn dezelfde als
voor rationale getallen. Zie sectie 0.1 onder ‘rationale exponenten’.
• Als we, heel speciaal, a = e nemen, dan staat er:
Voor alle x ∈ R :
ex = exp x.
Zekere combinaties van exponentiële functies komen zo vaak voor dat ze een
speciale naam gekregen hebben. We noemen de sinus hyperbolicus sinh, de
cosinus hyperbolicus cosh en de tangens hyperbolicus tanh.
0.4.10 Definitie
sinh : R → R,
x 7→ sinh x = 12 (ex − e−x ).
cosh : R → R,
x 7→ cosh x = 21 (ex + e−x )
tanh : R → R,
x 7→ tanh x =
sinh x
.
cosh x
23
0.4.11 Eigenschappen
1. Er geldt: sinh 0 = tanh 0 = 0, cosh 0 = 1, −1 < tanh x < 1, cosh x > 1
als x 6= 0.
De functies sinh en tanh zijn oneven. De functie cosh is even. Dit wil
zeggen:
sinh x = − sinh −x,
tanh x = − tanh −x,
cosh x = cosh −x.
2. Voor alle x, y ∈ R geldt:
cosh2 x − sinh2 x = 1,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
tanh(x + y) =
tanh x+tanh y
.
1+tanh x tanh y
3. De functie sinh is continu en strict stijgend. De inverse is
√
arcsinh : R → R, x 7→ arcsinh x = ln(x + x2 + 1).
4. De (beperkte) functie cosh : [0, ∞) → [1, ∞) is continu en strict stijgend. De inverse is
√
arccosh : [1, ∞) → [0, ∞), x 7→ arccosh x = ln(x + x2 − 1).
5. De functie tanh : R → (−1, 1) is continu en strict stijgend. De inverse
is
1+x
arctanh : (−1, 1) → R, x 7→ arctanh x = 21 ln(
)
1−x
Bewijs.
1. Recht toe recht aan uitschrijven. We bewijzen alleen de laatste ongelijkheid: Uit (ex − 1)2 > 0 als x 6= 0, volgt (ex )2 − 2(ex ) + 1 > 0. Deel
dit door ex .
2. Volgt door uitschrijven.
3. Neem h > 0. Dan sinh(x + h) = sinh x cosh h + cosh x sinh h >
sinh x cosh h > sinh x.
x
−x
We lossen de vergelijking sinh x = e −e
= r op. Stel even ex = ξ.
2
√
Dan ξ 2 − 2rξ − 1 = 0, met als oplossingen ξ = r ± r2 + 1. Alleen het
+teken kan een oplossing leveren
omdat ξ = ex > 0. Blijkbaar is de
√
enige oplossing x = ln(r + r2 + 1).
24
4. Met x ≥ 0 en h > 0 geldt: cosh(x + h) = cosh x cosh h + sinh x sinh h >
cosh x cosh h > cosh x. Het vinden van de inverse kan, net als onder 3.,
tot het oplossen van een vierkantsvergelijking herleid worden.
tanh x+tanh h
5. Neem h > 0. We schatten als volgt: tanh(x + h) = 1+tanh
>
x tanh h
2
tanh x+tanh x tanh h
= tanh x. Een en ander omdat tanh h > 0 en 0 <
1+tanh x tanh h
2
tanh x < 1. Het vinden van de inverse kan wederom tot het oplossen
van een vierkantsvergelijking herleid worden.
0.5 De goniometrische en cyclometrische functies
Het uitgangspunt voor deze sectie is een plat vlak voorzien van een rechthoekig assenkruis. Dit is het x − y-vlak, ook wel afgekort door R2 . De volgende
deelverzamelingen van R2 zullen in het vervolg een belangrijke rol spelen.
0.5.1 Definitie
• De eenheidsschijf
D2 = {x = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 < 1}
De oorsprong 0 = (0, 0), ook wel de nulvector van R2 genaamd, heet
het middelpunt van D2 . Het getal Opp[D2 ], dat de oppervlakte van D2
aanduidt, noteren we kortweg met π.
• De eenheidscirkel
S1 = {x = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 = 1}.
Punten op S1 zijn, bijvoorbeeld, e1 = (1, 0) en e2 = (0, 1).
• Een cirkelsector
Laat a = (a1 , a2 ) ∈ S1 en b ∈ S1 , twee punten op de eenheidscirkel dus.
Trek rechte verbindingslijnen (vectoren) van 0 naar a ook van 0 naar
b. Het deel (taartpunt) van de eenheidsschijf D2 ingesloten door beide
vectoren, gaande van a naar b, tegen de wijzers van de klok in, heet

een cirkelsector. Notatie a0b.
• Hoek
De hoek tussen de vectoren a en b definieren we door het getal

∠a0b = 2 × Opp[ a0b].
25
• Hoek met x-as
Laat a ∈ S1 . We definieren de hoek α van de vector a met de x-as door
het getal
α = ∠e1 0a.
0.5.2 Opmerkingen
• Door respectievelijk de oppervlakte te nemen van het
grootst mogelijke vierkant dat in D2 past en het kleinst mogelijke vierkant dat om D2 past, vinden we 2 < π < 4. Door respectievelijk de
oppervlakte te nemen van het grootst mogelijke regelmatige 12-hoek
die in D2 past en de kleinst mogelijke
regelmatige 12-hoek die om D2
√
past, vinden we 3 < π < 24(1 − 12 3) < 3, 2153.
• Omdat een sector een deel is van S1 geldt 0 ≤ ∠a0b ≤ 2π.
• De booglengte langs S1 tussen a en b ‘is gelijk aan’ ∠a0b. De juistheid
hiervan is intuitief in te zien door de sector te verdelen in een groot
aantal ‘erg scherphoekige’ sectortjes die sprekend op driehoekjes lijken.
Wij zullen het begrip booglengte hier verder niet gebruiken.
• ∠e1 0e2 = π2 . ∠e1 0(−e1 ) = π.
• Gerekend vanaf de x-as hoort bij ieder getal α met 0 ≤ α ≤ 2π precies
één punt a op S1 .
• Bij ieder getal α ∈ R hoort precies één punt a op de eenheidscirkel
op de volgende manier: Bij gegeven α is er precies één geheel getal
m ∈ Z zodat α + 2πm ∈ [0, 2π). En bij deze ‘hoek’ hoort, volgens het
voorafgaande, een punt a op S1 . Het zal duidelijk zijn dat, bijvoorbeeld,
α + 142π op dezelfde a wordt afgebeeld.
We kunnen nu de goniometrische functies definiëren. hierbij gebruiken we
de notatie van de voorafgaande opmerkingen: In het bijzonder de toevoeging
α 7→ a = (a1 , a2 ).
0.5.3 Definitie
1. De cosinusfunctie wordt gedefinieerd door
cos : R → R,
α 7→ a1 .
Dus:
cos α = a1 .
Dus:
sin α = a2 .
2. De sinusfunctie wordt gedefinieerd door
sin : R → R,
α 7→ a2 .
26
3. De tangensfunctie wordt gedefinieerd op alle intervallen (− π2 + mπ, π2 +
mπ) met m ∈ Z door
π
π
a2
tan : (− +mπ, +mπ) → R, α 7→ .
2
2
a1
Dus: tan α =
a2
sin α
=
.
a1
cos α
0.5.4 Eigenschappen
1. cos 0 = 1, cos π6 =
1
2
√
3, cos π4 =
1
2
√
2, cos π3 = 12 ,
cos π2 = 0,
√
sin 0 = 0, sin π6 = 12 ,
sin π4 = 2 2, sin π3 = 12 3, sin π2 = 1,
√
√
tan 0 = 0, tan π6 = 13 3, tan π4 = 1,
tan π3 = 3.
√
1
Voor alle m ∈ Z geldt:
sin mπ = cos(m + 21 )π = 0 en cos mπ = sin(m + 12 )π = (−1)m .
Tenslotte, alledrie de genoemde functies zijn continu op de intervallen
waarop ze gedefiniëerd zijn en in al hun nulpunten wisselen ze van
teken.
2. Voor alle α ∈ R geldt: sin2 α + cos2 α = 1.
3. Voor alle α ∈ R geldt:
cos(−α) = cos α.
Dus cos is een even functie.
sin(−α) = − sin α.
Dus sin is een oneven functie.
Voor alle α ∈ R, maar α 6=
tan(−α) = − tan α.
π
2
+ mπ, m ∈ Z, geldt:
Dus tan is een oneven functie.
4. Voor alle α ∈ R en alle m ∈ Z geldt:
cos(α + 2mπ) = cos α.
Dus cos is 2π-periodiek.
sin(α + 2mπ) = sin α.
Dus sin is 2π-periodiek.
tan(α + mπ) = tan α.
Dus tan is π-periodiek.
De laatste uitdrukking voor zover α 6=
π
2
+ nπ, voor n ∈ Z.
5. Voor alle α ∈ R en alle m ∈ Z geldt:
cos(α + π2 ) = − sin α, cos(α + π) = − cos α, cos(α + mπ) = (−1)m cos α,
sin(α + π2 ) = cos α,
sin(α + π) = − sin α, sin(α + mπ) = (−1)m sin α,
−1
tan(α + π2 ) =
, tan(α + π) = tan α,
tan(α + mπ) = tan α.
tan α
De laatste uitdrukking voor zover α 6= π2 + nπ, voor n ∈ Z.
27
6. Voor alle α ∈ R en alle β ∈ R geldt:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin 2α = 2 sin α cos α,
tan α + tan β
2 tan α
,
tan 2α =
.
1 − tan α tan β
1 − tan2 α
De laatste regel voor zover α, β 6= π2 + nπ, voor n ∈ Z, én β 6=
respectievelijk α 6= π4 + nπ2 voor n ∈ Z.
tan(α + β) =
π
2
− α,
7. Voor alle p ∈ R en alle q ∈ R geldt:
sin p + sin q = 2 sin 21 (p + q) cos 12 (p − q), cos p + cos q = 2 cos 12 (p + q) cos 12 (p − q),
sin p − sin q = 2 cos 12 (p + q) sin 12 (p − q), cos p − cos q = −2 sin 12 (p + q) sin 12 (p − q).
8. sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] is continu en strict stijgend.
cos : [0, π] → [−1, 1] is continu en strict dalend.
tan : (− π2 , π2 ) → R is continu en strict stijgend.
9. Als 0 < x <
π
2
Als − π2 < x <
Bewijs.
, dan geldt: 0 < sin x cos x < sin x < x < tan x.
π
2
, maar x 6= 0, dan geldt: cos x <
sin x
< 1.
x
1. Oefening elementaire meetkunde op de eenheidscirkelschijf.
2. De vector a = (a1 , a2 ) = (cos α, sin α) ligt op S1 en heeft dus lengte 1.
3.4.5. Volgen door spiegeling ten opzichte van de x-as en achtereenvolgens
drie keer draaien over een hoek π2 :
Als α 7→ a = (a1 , a2 ) = (cos α, sin α), dan
−α
α+
7→ (a1 , −a2 ) = (cos α, − sin α)
π
2
α + pi
α+
3π
2
7→ (−a2 , a1 ) = (− sin α, cos α)
7→ (−a1 , −a2 ) = (− cos α, − sin α)
7→ (a2 , −a1 ) = (sin α, − cos α)
α + 2π 7→ (a1 , a2 ) = (cos α, sin α)
Hier lees je, bijvoorbeeld, uit af: (cos(α+ π2 ), sin(α+ π2 )) = (− sin α, cos α).
6. Ook het bewijs hiervan berust op symmetriebeschouwingen.
Neem γ ∈ R. Laat γ 7→ c = (c1 , c2 ). We berekenen het kwadraat
van de afstand tussen c en e1 . Dat is het kwadraat van de lengte van
28
de vector c − e1 = (cos γ − 1, sin γ). De gezochte kwadraatlengte is:
(cos γ − 1)2 + sin2 γ = 2(1 − cos γ).
Laat vervolgens α 7→ a en β 7→ b. We berekenen de kwadraatlengte van de vector b − a = (cos β − cos α, sin β − sin α). Dat levert
2(1 − cos α cos β − sin α sin β)

We draaien nu de sector a0b zodanig rond dat a samenvalt met
e1 . Dan ligt b ter plekke (cos(β − α), sin(β − α)) = c, zeg. Schrijf
β − α = γ. Lengten veranderen niet onder draaiing (!). Dus 2(1 −
cos α cos β − sin α sin β) = 2(1 − cos(β − α)). Hieruit volgt cos(β − α) =
cos α cos β + sin α sin β. Met de eerder behandelde eigenschappen kunnen de gewenste formules nu verkregen worden. Vervang, bijvoorbeeld,
α door −α. Tel er π2 bij op, etc.
7. Stel α + β = p en α − β = q en combineer de onder 6. verkregen
formules.
8. Met de onder 7. verkregen formules volgt:
• sin(x + h) − sin x = 2 cos(x + 12 h) sin 12 h > 0,
als h > 0, x ∈ [− π2 , π2 ), en x + h ∈ [− π2 , π2 ).
• cos(x + h) − cos x = −2 sin(x + 12 h) sin 12 h < 0,
als h > 0, x ∈ [0, π), en x + h ∈ [0, π).
sin h
• tan(x + h) − tan x =
> 0,
cos x cos(x + h)
als h > 0, x ∈ (− π2 , π2 ), en x + h ∈ (− π2 , π2 ).
9.
• Als we in de te bewijzen ongelijkheid, voor even, x vervangen door
α, dan staat de 2e term in de ongelijkheid voor 2Opp[40(a1 e1 )a].
De 3e term in de ongelijkheid staat voor 2Opp[40e1 a]. De 4e term

staat voor 2Opp[ 0e1 a]. De 5e term staat voor 2Opp[40e1 aa1 ].
Uit de figuur is duidelijk dat deze oppervlakten strict toenemen.
1
1
1
• Voor 0 < x < π2 volgt uit sin x < x < tan x dat
< <
.
tan x
x
sin x
Vermenigvuldiging van deze ris ongelijkheden met sin x levert de
gewenste ongelijkheid. Voor − π2 < x < 0 volgt analoog tan x <
1
1
1
x < sin x en
< <
.
sin x
x
tan x
Uit punt 8. in het bovenstaande lijstje eigenschappen blijkt dat de functies sin, cos en tan, op geschikt gekozen intervallen, continu en strict monotoon zijn. Ze hebben dus aldaar een inverse. Zie eind sectie 0.3. Deze inversen
29
komen zo vaak voor dat ze een speciale naam dragen: arcsin, arccos, arctan,
de cyclometrische functies.
0.5.5 Definitie
1. arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ], x 7→ arcsin x.
Voor elk getal a ∈ [−1, 1] wordt het getal arcsin a = b gedefiniëerd als
de (unieke!) oplossing b van de vergelijking sin b = a.
2. arccos : [−1, 1] → [0, π], x 7→ arccos x.
Voor elk getal a ∈ [−1, 1] wordt het getal arccos a = b gedefiniëerd als
de (unieke!) oplossing b van de vergelijking cos b = a.
3. arctan : R → (− π2 , π2 ), x 7→ arctan x.
Voor elk getal a ∈ R wordt het getal arctan a = b gedefiniëerd als de
(unieke!) oplossing b van de vergelijking tan b = a.
0.5.6 Eigenschappen
1. Als x ∈ [−1, 1] dan: arcsin(−x) = − arcsin x.
Als x ∈ [−1, 1] dan: sin(arcsin x) = x.
Als α ∈ [− π2 , π2 ] en m ∈ Z dan: arcsin(sin(α + mπ)) = (−1)m α.
√
Als x ∈ [−1, 1] dan: cos(arcsin x) = 1 − x2 .
2. Als x ∈ [−1, 1] dan: arccos x + arccos(−x) = π.
Als x ∈ [−1, 1] dan: arccos x + arcsin x = π2 .
Als x ∈ [−1, 1] dan: cos(arccos x) = x.
Als α ∈ [− π2 , π2 ] en m ∈ Z dan:
m
arccos(cos(α+mπ)) = arccos((−1) cos α)) =
Als x ∈ [−1, 1] dan: sin(arccos x) =
√
α
als m even
.
π − α als m oneven
1 − x2 .
3. Als x ∈ R dan: arctan(−x) = − arctan x.
Als x ∈ R dan: tan(arctan x) = x.
Als α ∈ (− π2 , π2 ) en m ∈ Z dan: arctan(tan(α + mπ)) = α.
30
0.6 Differentiëren
Van de afgeleide van een functie f : I → R in een punt a ∈ I hoor je vaak
zeggen dat die gelijk is aan de tangens van de hellingshoek van de raaklijn
aan de grafiek van f in a. Als vervolgens gevraagd wordt naar die tangens
van die hellingshoek dan blijkt er gedifferentiëerd te moeten worden. Zo loop
je in een kringetje rond. Er zit niet veel anders op dan de begrippen afgeleide
en raaklijn in één klap te definiëren.
Wij zullen het hier uitsluitend over continue functies hebben. Zie voor
intuı̈tieve eigenschappen van continuı̈teit het slot van sectie 0.3. Een voor de
hand liggende, maar voor ons doel cruciale eigenschap van continue functies
is de volgende insluiteigenschap
0.6.1 Eigenschap Beschouw op het open interval I de continue functies f1 : I → R
en f2 : I → R. Veronderstel dat voor alle x ∈ I geldt f1 (x) ≤ f2 (x) en dat in
het punt a ∈ I geldt f1 (a) = f2 (a).
Voer nu een derde functie g ten tonele die, in eerste instantie, alleen voor
x 6= a gedefinieerd is, aldaar continu is, en ‘ingeklemd’ is tussen f1 en f2 .
Dat wil zeggen: Voor alle x ∈ I maar x 6= a geldt f1 (x) ≤ g(x) ≤ f2 (x).
Dan geldt: g is op precies één manier uit te breiden tot een continue functie
g op heel I door in x = a aan g de waarde g(a) = f1 (a) = f2 (a) toe te
kennen.
In geleerde boeken wordt dit geformuleerd als lim g(x) = f1 (a) = f2 (a).
x→a
0.6.2 Opmerking Een belangrijk bijzonder geval heb je als op heel I geldt f1 (x) =
f2 (x) = f (x). Dan geldt: Als f en g dezelfde functiewaarden hebben voor
x 6= a, dan lim g(x) = f (a).
x→a
Een wat onnozel voorbeeld is de functie g(x) = xx . Is niet gedefinieerd in
x = 0. Is voorts continu en gelijk aan 1 voor x 6= 0. Het zal duidelijk zijn
dat g tot een continue functie op héél R uitgebreid kan worden door g(0) = 1
te stellen.
0.6.3 Voorbeeld Voor vast gekozen getallen a ∈ R en n ∈ N is de uitdrukking
(a + x)n − an
− n an−1
x
zinvol voor x 6= 0. Uitwerken met de resultaten uit sectie 0.1 levert voor
x 6= 0
(a + x)n−1 − an−1 + a (a + x)n−2 − an−2 + a2 (a + x)n−3 − an−3 + . . .
. . . + an−3 (a + x)2 − a2 + an−2 (a + x) − a .
31
(a + x)n − an
=
x→a
x
Dit polynoom heeft in x = 0 de waarde 0. Blijkbaar lim
nan−1 .
0.6.4 Voorbeelden De volgende ‘ingeklemde’ functies zijn niet gedefinieerd in
x = 0. Door ze in x = 0 de waarde 0 toe te kennen worden ze continue
functies op de aangegeven intervallen. Het gevolg is dat de lim van deze
x→0
ingeklemde functies alle bestaan en gelijk zijn aan 0.
−|x|
ln(1 + x)
|x|
<
−1<
,
1 + |x|
x
1 + |x|
exp x − 1
• −|1 − exp x| <
< |1 − exp x|,
x
sin x
• cos x − 1 <
− 1 < 0,
x
1 − cos x
• − 12 |x| <
< 12 |x|,
x
•
x ∈ (−1, ∞),
zie 0.4.4-9
x ∈ R,
zie 0.4.7-9
x ∈ R,
zie 0.5.4-9
x ∈ R,
via 0.5.4-6
De hier te presenteren opzet van theorie en practijk van differentiëren
is uitsluitend gebaseerd op de bovenvermelde eigenschappen betreffende ‘inverteren’ (0.3.10), ‘combineren’ (0.3.12) en ‘insluiten’ (0.6.1) van continue
functies. Zoals uit de nu volgende definitie blijkt betekent ’f is differentieerbaar in x = a’ niets meer of minder dan ‘f is in de buurt van x = a goed
te benaderen met een lineaire functie’. Een beetje anders geformuleerd ‘de
grafiek van f is in de buurt van x = a goed te benaderen met een rechte lijn’.
En wat ‘goed’ in dit verband betekent, dat wordt in de definitie nauwgezet
beschreven. De genoemde rechte lijn heet , in de volksmond, raaklijn.
0.6.5 Definitie Beschouw een continue functie f op een open interval I, dus
f : I → R. We zeggen: f is differentieerbaar in een punt a ∈ I als:
Er bestaat een getal A ∈ R en een bijbehorende continue functie ρ : I →
R met ρ(a) = 0, zodanig dat voor alle x ∈ I
f (x) = f (a) + A(x − a) + (x − a) ρ(x).
Als we x = a + h schrijven, met h zodanig dat (natuurlijk!) (a + h) ∈ I,
staat er
f (a + h) = f (a) + Ah + hρ(a + h).
Het getal A heet de afgeleide van f in a en zal in het vervolg genoteerd
worden met f 0 (a).
32
0.6.6 Opmerkingen
1. Merk op dat de ‘restterm’ (x−a)ρ(x) sneller dan lineair
naar 0 gaat als x → a. Immers ρ(x) gaat in zijn eentje al naar 0 als
x → a en wordt dan bovendien nog eens vermenigvuldigd met x − a.
Deze laatste factor gaat lineair naar 0 als x → a.
2. Het getal A, de afgeleide f 0 (a) dus, hoeft niet te bestaan. Denk aan
het voorbeeld f (x) = |x| in x = a = 0. Een continue functie kan dus
in zekere punten niet differentieerbaar zijn.
3. Er bestaat hóógstens één getal A. Veronderstel eens dat ook zou gelden
f (a + h) = f (a) + Bh + hρ1 (a + h) voor continue ρ1 met ρ1 (a) = 0.
Neem het verschil van de twee uitdrukkingen. Dat levert (B − A)h =
h(ρ(a + h) − ρ1 (a + h)). Deel door h 6= 0. Voor h 6= 0 staat er dan
(B − A) = (ρ(a + h) − ρ1 (a + h)). Op grond van Eigenschap 0.6.1 moet
deze gelijkheid ook gelden voor h = 0. Gevolg B = A.
4. Voor x 6= a geldt blijkbaar
f (x) − f (a)
= A + ρ(x).
x−a
In het rechterlid staat een continue functie op heel I die in x = a gelijk
is aan A. In het linkerlid staat een functie die alleen buiten x = a
gedefinieerd is omdat delen door 0 geen zinvolle bezigheid is. Deze
functie kan blijkbaar tóch tot een continue functie op heel I uitgebreid
worden door haar in x = a botweg gelijk te stellen aan A. In geleerde
boeken wordt dit feit weergegeven met de formule
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
= A.
x→a
h→0
x−a
h
lim
0.6.7 Voorbeelden De ρ(a + h) in onderstaande uitdrukkingen naderen naar 0
als h → 0. De factor f 0 (a) in de lineaire correctie h f 0 (a) stelt dus inderdaad
de afgeleide voor.
33
•
f (a + h)
= f (a) +
h f 0 (a)
+
•
(a + h)n
=
an
+
h nan−1
+
•
ln(a + h)
=
ln a
+
h
1
a
hρ(a + h)
h{
+
(a + h)n − an
− n an−1 }
h
ln(1 + ha )
− 1}
h a1 {
h
a
eh − 1
• exp(a + h) = exp a + h exp a +
h ea {
− 1}
h
cos h − 1 sin h
• sin(a + h) = sin a +
h cos a
+ h{
− 1 cos a + sin a
}
h
h
cos h − 1 sin h • cos(a + h) = cos a + h (− sin a) + h{ 1 −
sin a + cos a
}
h
h
De volgende stelling stelt ons in staat om de afgeleide te berekenen van
diverse combinaties (sommen, producten, quotiënten, samenstellingen) van
functies als we de afgeleiden van de constituenten al weten. De nummers
1.-3. worden, bijeengenomen, wel de regels van Leinbiz genoemd. Nummer
4. heet de kettingregel.
0.6.8 Stelling Beschouw continue functies f : I → J, g : I → J, F : J → R. Laat
a ∈ I. Zij b = f (a) ∈ J. Veronderstel dat de afgeleiden f 0 (a), g 0 (a) en
F 0 (b) alledrie bestaan. Laat voorts α ∈ R en β ∈ R willekeurige, doch vast
gekozen, getallen zijn. Er geldt:
In a bestaan de afgeleiden van de functies: x 7→ αf (x)+βg(x), x 7→ f (x)g(x),
f (x)
x 7→
en x 7→ (F ◦ f )(x) = F (f (x)). Ze worden als volgt berekend:
g(x)
1. (αf + βg)0 (a) = αf 0 (a) + βf 0 (a),
2. (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a),
3.
f 0
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
(a) =
, mits g(a) 6= 0,
g
(g(a))2
4. (F ◦ f )0 (a) = F 0 (b)f 0 (a) = F 0 (f (a))f 0 (a).
Bewijs. Omdat de ingrediëntfuncties f, g, F differentieerbaar zijn in de
punten, respectievelijk a, a, b kunnen ze geschreven worden in de vorm, respectievelijk, f (a + h) = f (a) + h f 0 (a) + hρ1 (a + h), g(a + h) = g(a) + h g 0 (a) +
hρ2 (a + h), F (b + k) = F (b) + k F 0 (b) + kρ3 (b + k). De functies ρ1 , ρ2 , ρ3
zijn continu en ρ1 (a) = ρ2 (a) = ρ3 (b) = 0. We ’lineariseren’ nu onze functiecombinaties nabij a als volgt:
34
1. (αf + βg)(a + h) =(αf + βg)(a) + h{αf 0 (a) + βg 0 (a)} +
+ h{αρ1 (a + h) + βρ2 (a + h)},
2. (f g)(a + h) =(f g)(a) + h{f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)} +
+ h{f (a)ρ2 (a + h) + g(a)ρ
1 (a + h)} +
+ h2 { f 0 (a) + ρ1 (a + h) g 0 (a) + ρ2 (a + h) },
1
−g 0 (a)
1
( )(a + h) =( )(a) + h{
}+
3.
g
g
(g(a))2
−ρ2 (a + h) h g 0 (a) + ρ2 (a + h) +h
+
,
(g(a))2
(g(a))2 g(a + h)
4. Door b = f (a) en k = h f 0 (a) + hρ1 (a + h) in te vullen in F (b + k)
vinden
we+ h) =(F ◦ f )(a) + h{F 0 (f (a))f 0 (a)}+
(F ◦ f )(a
+ h ρ1 (a + h)F 0 (f (a)) + f 0 (a) + ρ1 (a + h) ρ3 (f (a + h)) .
Merk op dat er na de tweede term in de rechterleden steeds een uitdrukking
staat van de vorm h × een continue functie die 0 is in h = 0. Dus staat er
in de tweede term steeds h × de afgeleide in x = a. In 3. hebben we de
linearisatie gepleegd voor het speciale geval f = 1. Door 2. toe te passen op
1
f (x)(
) komen we op het algemene geval.
g(x)
De volgende stelling is een belangrijk hulpmiddel bij het berekenen van afgeleiden van inverse functies.
0.6.9 Stelling Beschouw een bijectieve continue functie f : I → J. Noteer de
(continue!) inverse met g : J → I. Veronderstel f differentieerbaar in a ∈ I
en veronderstel f 0 (a) 6= 0. Noteer f (a) = b. Er geldt:
1
g is differentieerbaar in b ∈ J
en
g 0 (b) =
.
f (g(b))
Bewijs. Beschouw k ∈ R met b + k ∈ J. Definieer h ∈ R door h = g(b +
k) − g(b). Merk op dat h continu van k afhangt en dat k = 0 precies dan als
h = 0. Met gebruikmaking van ρ1 uit de vorige stelling volgt de linearisatie
h
1
=k 0
=
f (a + h) − f (a)
f (a) + ρ1 (a + h)
1
−ρ1 (a + h)
.
=k 0
+k 0 0
f (a)
f (a) f (a) + ρ1 (a + h)
g(b + k) − g(b) = k
De tweede factor van de tweede term in het rechterlid is een continue functie
die de waarde 0 aanneemt als k = 0. Dan is immers h = 0 en we weten dat
ρ1 (a + h) = 0 als h = 0.
35
Het zal de leerling niet ontgaan zijn dat het begrip ‘afgeleide’ per afzonderlijk punt (a) gedefinieerd is. Het betreft immers de best mogelijke lineaire
benadering van de functie nabij het punt a. In de practijk kan voor a ieder
willekeurig punt uit het definitieinterval I genomen worden. Als een functie
f : I → R in ieder punt a ∈ I differentieerbaar is, dan levert de toevoeging
a 7→ f 0 (a), of beter x 7→ f 0 (x), een nieuw functievoorschrift f 0 : I → R. Deze
functie f 0 heet de afgeleide (functie). Als die, op haar beurt, ook differentieeerbaar is in ieder punt x ∈ I, dan is er sprake van de 2e afgeleide f 00 ,
2
enzovoort. In plaats van f 0 (x) schrijven we wel ddx f (x), f 00 (x) = ddx2 f (x),
n
. . ., f (n) (x) = ddxn f (x).
Met behulp van de twee voorafgaande stelingen kunnen we ons arsenaal van
afgeleiden geweldig uitbreiden.
0.6.10 Voorbeelden
1. Uit Stelling 0.6.7 vinden we als ‘startresultaten’:
d n
x =
dx
d
sin x
dx
nxn−1 , n ∈ N0 ,
= cos x,
d
dx
d
dx
ln x = x1 ,
d
dx
exp x = exp x,
cos x = − sin x.
2. Hieruit volgt met 0.6.8-1
d
dx
d
dx
sinh x = cosh x,
cosh x = sinh x.
3. Met 0.6.8-3 komen we op
d 1
d x xm
1
= −m xm+1
, m ∈ N,
d
dx
tan x =
1
,
cos2 x
d
dx
tanh x =
1
.
cosh2 x
4. Via 0.6.8-4
d
F (α + x) = F 0 (α +
dx
d α
x = ddx exp(α ln x)
dx
d
f (x)g(x)
dx
=
d
dx
x), α ∈ R,
= αxα−1 , α ∈ R,
d
F (βx) = βF 0 (βx), β ∈ R,
dx
d x
x = ddx exp(x ln x) = (1 +
dx
exp(g(x) ln f (x)) = (g(x) ln f (x))0 f (x)g(x) .
5. Uit 0.6.9 weten we dat inversen van differentieerbare functies met afgeleide 6= 0 eveneens differentieerbaar zijn. Uit de identiteit f (g(x)) = x
vinden we dan door aan beide kanten te differentierën, onder toepassing
van 0.6.8-4, dat f 0 (g(x)) g 0 (x) = 1. Dus
g 0 (x) =
36
1
f 0 (g(x))
.
ln x)xx ,
Toepassing van dit resultaat op sin(arcsin x) = x, enzovoort, leidt tot
1
1
1
=√
=√
,
2
1−sin (arcsin x)
cos(arcsin x)
1 − x2
−1
−1
d
arccos x =
=√
,
dx
sin(arccos x)
1 − x2
1
d
,
arctan x = cos2 (arctan x) =
dx
1 + x2
√
1
1
d
arcsinh x = ddx ln(x + x2 + 1) =
=√
,
dx
cosh(arcsinh x)
x2 + 1
√
1
1
d
d
=√
arccosh
x
=
ln(x
+
x2 − 1) =
,
dx
dx
2
sinh(arccosh x)
x −1
1+x
1
1
d
arctanh x = ddx 12 ln(
)=
=
.
2
dx
1−x
1 − x2
cosh (arctanh x)
d
dx
arcsin x =
0.7 Primitiveren. Integreren
Een bepaalde integraal zullen we definiëren als de oppervlakte onder de grafiek
van een functie boven een zeker interval. Het zal blijken dat we daarbij, bij
een gegeven functie f , een functie F moeten zien te vinden zodat F 0 = f .
De omgekeerde bewerking van differentiëren dus. Deze bezigheid, die we
primitiveren noemen, zullen we eerst afzonderlijk bespreken.
0.7.1 Definitie Beschouw een continue functie f : I → J. We noemen de functie
F : I → J een primitieve van f als geldt ddx F (x) = f (x) voor alle x
R ∈ I.
Voor de primitieve F van f gebruiken we vaak de notatie F (x) = f (x) dx.
0.7.2 Opmerkingen
1. Als je bij gegeven f één primitieve F hebt gevonden,
dan heb je er meteen oneindig veel omdat F +C met C een willekeurige
constante (functie) er ook een is.
2. Voor iedere functie ϕ met de eigenschap ddx ϕ(x) = 0 geldt ddx (F (x) +
ϕ(x)) = f (x). Dus F +ϕ is een primitieve van f . De opwindende vraag
doet zich voor of er, buiten de reeds genoemde constante functies ϕ = C
er, in een uithoek van de wereld, niet-constante functies ϕ te vinden zijn
met de eigenschap ϕ0 = 0. Welnu: DAT IS NIET HET GEVAL! Helaas
beschikken wij hier niet over voldoende diepgang om dat te bewijzen.
Daar is de ‘middelwaardestelling’ voor nodig.
R
3. Een primitieve f (x) dx heet ook wel de onbepaalde integraal van f .
Uit de voorafgaande paragraaf kunnen we zo het volgende lijstje van primitieven copiëren.
37
0.7.3 Voorbeelden
R
f (x) dx = F (x),
R n
1
x dx =
xn+1 + C, n ∈ N0 ,
n+1
R 1
1
1
dx
=
−
+ C, m = 1, 2, . . . ,
m − 1 xm−1
R xm
cos x dx = sin x + C,
R 1
dx = tan x + C,
R cos2 x
sinh x dx = cosh x + C,
R
1
√
dx = arcsin x + C,
1 − x2
√
R
1
√
dx = ln(x + x2 + 1) + C,
x2 + 1
R
1
1+x
dx = 12 ln
+C
2
1−x
1−x
f 0 (x) dx = f (x) + C,
R 1
dx = ln x + C,
x
R
exp x dx = exp x + C,
R
sin x dx = − cos x + C,
R 1
cos x
dx = −
+ C,
2
sin x
R sin x
cosh x dx = sinh x + C,
R
1
dx = arctan x + C,
1 + x2
√
R
1
√
dx = ln(x + x2 − 1) + C,
x2 − 1
...
R
Om boekhoudkundige
en omRmakkelijk te kunnen rekenen schrijven
R 0
Rredenen
d
we vaak f (x) dx = d x f (x) dx = d f (x) = f (x) + C. Alhoewel formules wijzer zijn dan mensen schuilt hier toch niks diepzinnigs achter. Door
de regels van Leibniz en de kettingregel achterstevoren te lezen vinden we,
respectievelijk, de volgende algemene regels voor primitiveren:
0.7.4 Stelling (Rekenregels voor primitiveren)
Z
Z
Z
1. {αf (x) + βg(x)} dx = α f (x) dx + β g(x) dx, α ∈ R, β ∈ R.
2. ‘Partiëel integreren’
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx.
In wat suggestievere ’differentiaalnotatie’:
Z
Z
f (x) dg(x) = f (x)g(x) − g(x) df (x).
3. ‘De subsitutieregel’
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx = f (g(x)) dg(x) = F (g(x)) + C
Z
= f (y) dy, met y = g(x).
Hier en hierna is F 0 = f verondersteld.
38
4. ‘Bijzondere gevallen substitutieregel’
R
R
• f (x + α) dx = F (x + α),
f (βx) dx = β1 F (βx).
0.7.5 Voorbeelden
1. Partiëel integreren.
R
R
R
• xex dx = x d(ex ) = xex − ex dx = xex − ex + C.
R
R
R
• x2 ex dx = x2 d(ex ) = x2 ex − 2 xex dx = x2 ex − 2xex + 2ex + C.
R
R
R
• ln x dx = x ln x − x d(ln x) = x ln x − 1 dx = x ln x − x + C.
2. De substitutieregel.
R
R
R
• e5x dx = 15 e5x (5x)0 dx = 15 e5x d(5x) = 15 e5x + C.
Z
Z
x
d(1 + x2 )
1
•
dx = 2
= 12 ln(1 + x2 ) + C.
2
2
1+x
1+x
Z
Z
2
2
2
•
xex dx = 12 ex d(x2 ) = 12 ex + C.
0.7.6 Opmerking Een afgeleide van (een samenstelling van) functies zoals we die
in secties 0.3, 0.4, 0.5 hebben ingevoerd is altijd weer uit te drukken in functies van die soort.
R −xVoor
Rprimitieven
Ris xdat niet het geval. Bijvoorbeeld,
2
1
primitieven als e
dx, sin( x ) dx, x dx zijn niet in ’elementaire functies’ uit te drukken.
0.7.7 Definitie Beschouw een begrensde continue functie f : (a, b) → R.
Schrijf f (x) = f+ (x) − f− (x), met
|f (x)|, als f (x) ≥ 0
0,
als f (x) ≥ 0
en f− (x) =
f+ (x) =
0,
als f (x) < 0
|f (x)|, als f (x) < 0
We definiëren nu het getal
Zb
f (x) dx = Opp[f+ (x), (a, b)] − Opp[f− (x), (a, b)].
a
Dit getal heet de bepaalde integraal van f over het interval (a, b). Het getal
Rb
f (x) dx stelt, eenvoudig gezegd, het oppervlak tussen de grafiek van f en
a
de x-as voor. Met dien verstande echter, dat dit oppervlak positief geteld
wordt voor zover het zich boven de x-as bevindt en negatief geteld wordt
voor zover het zich onder de x-as bevindt!
39
De volgende stelling is intuı̈tief duidelijk. Zie figuur.
0.7.8 Stelling Als f : (a, b) → R continu en begrensd is, dan is er een getal ξ ∈
Rb
(a, b) zodanig dat f (x) dx = (b − a)f (ξ).
a
Toelichting. Schrijf
Rb
f (x) dx = A. Kijk eerst naar het bijzondere geval dat
a
A = 0. Bijdragen aan de oppervlakte die boven de x-as liggen moeten dan
gecompenseerd worden door bijdragen onder de x-as. De grafiek van f (x) zal
dus in tenminste één punt van het interval (a, b) door 0 moeten gaan. Geef
Rb
een zo’n nulpunt de naam ξ. Dan staat er dus f (x) dx = 0 = f (ξ). Nu het
a
A
algemene geval. De integrand f (x) − b−a
is blijkbaar een continue functie
met integraal 0. Uit het voorafgaande bijzondere geval volgt dan dat er een
A
punt ξ is waar de integrand gelijk 0 is. Dus: f (ξ) − b−a
= 0. Blijkbaar geldt
A = (b − a)f (ξ).
De volgende stelling is een aanloop naar de hoofdstelling van de integraalrekening.
0.7.9 Stelling Laat weer f : (a, b) → R begrensd en continu zijn. Dan geldt:
Rx
F : (a, b) → R, x 7→ F (x) = f (t) dt is differentieerbaar in elk punt c ∈ (a, b)
en F 0 (c) = f (c).
a
Toelichting. Kies een (vaste) c ∈ (a, b). Voor h ∈ R zodanig dat c + h ∈
(a, b) schrijven we F (c + h) − F (c) = h f (c) + h ρ(c + h). We hopen dat de
hier optredende functie ρ continu is en dat ρ(c) = 0. Welnu, voor h 6= 0 geldt
1
ρ(c + h) =
h
Zc+h
f (t) dt − f (c).
c
Met de voorafgaande stelling herschrijven we het rechterlid als f (ξ) − f (c) =
f (c + θh) − f (c). Het punt ξ dat tussen c en c + h ligt herschrijven we dus
handig als c + θh met 0 < θ < 1. Het zal duidelijk zijn dat ρ(c + h) =
f (c + θh) − f (c) → 0 als h → 0 want f is immers continu verondersteld.
0.7.10 Stelling (Hoofdstelling van de integraalrekening)
Veronderstel f : (a, b) → R continu en begrensd. Veronderstel ϕ : [a, b] →
40
R continu. Veronderstel tenslotte dat ϕ differentieerbaar is op (a, b) met
ϕ0 (x) = f (x) als a < x < b. Dan geldt
Zb
x=b
f (x) dx = ϕ(b) − ϕ(a) = ϕ(x) .
x=a
a
Bewijs. We definieren de functie F : [a, b] → R door F (x) =
Rx
f (t) dt, dan
a
is
Zb
0
F = f, F (a) = 0, F (b) =
f (t) dt.
a
De functies ϕ en F hebben dezelfde afgeleide op (a, b), dus F − ϕ is constant
op (a, b). Omdat F en ϕ continu zijn op [a, b], is F − ϕ ook constant op [a, b].
Hieruit volgt:
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a) = ϕ(b) − ϕ(a).
a
0.7.11 Opmerking We kunnen nu, na de hoofdstelling, Stelling 0.7.8 herformuleren
als F (b) − F (a) = (b − a)f (ξ) = (b − a)F 0 (ξ). Oftewel, voor een functie F
met een continue afgeleide F 0 geldt voor zekere ξ, met a < ξ < b,
F 0 (ξ) =
F (b) − F (a)
.
b−a
Dit lijkt typografisch op de beroemde Middelwaardestelling.
0.7.12 Stelling (Eigenschappen van de integraal) Laat a < c < b. Beschouw
f : (a, b) → R en g : (a, b) → R beide begrensd en continu. Laat λ ∈ R. Er
geldt:
1.
Rb
a
2.
Rb
f (x) dx =
Rc
f (x) dx +
a
Rb
a
f (x) dx.
c
( f (x) + g(x) ) dx =
a
3.
Rb
Rb
f (x) dx +
a
λ f (x) dx = λ
Rb
Rb
a
f (x) dx.
a
41
g(x) dx.
4. Als bovendien f (x) ≥ g(x) voor alle x ∈ (a, b),
Rb
Rb
dan is ook
f (x) dx ≥ g(x) dx.
a
a
Rb
Rb 5. f (x) dx ≤ f (x) dx.
a
a
Een functie op een open interval hoeft niet overal continu te zijn om geintegreerd te kunnen worden. We spreken het volgende af:
0.7.13 Definitie (Integreren van stuksgewijs continue functies) Laat a < c < b.
Beschouw f : (a, b) → R. Veronderstel dat f continue en begrensd is op de
Rb
deelintervallen (a, c) en (c, b). Dan definieren we f (x) dx door
a
Zb
Zc
f (x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx.
c
0.7.14 Opmerkingen
1. Als er meerdere discontinuiteitspunten van f zijn op
(a, b), zeg a < c1 < c2 < . . . < cN < b, dan wordt bovenstaande
definitie op voor de hand liggende wijze uitgebreid door
Zc1
Zb
f (x) dx =
a
Zc2
f (x) dx +
a
Zb
f (x) dx + . . . +
c1
f (x) dx.
cN
2. Alle, in de voorafgaande stelling genoemde, eigenschappen van integralen gelden ook als de (begrensde) functies f en g een eindig aantal
discontinuiteiten vertonen.
Bij onze afspraken over integralen is tot hier toe steeds aangenomen dat
het integratieinterval (a, b) een begrensd interval is en de te integreren functie
f een begrensde functie is, dat wil zeggen dat alle waarden die de functie
aanneemt in een begensd interval liggen. We gaan nu het integraalbegrip
uitbreiden in twee richtingen. Er is dan niet meer aan beide eisen voldaan.
We spreken dan van oneigenlijke integralen.
0.7.15 Definitie Laat (a, b) een begrensd interval zijn. Beschouw een continue
functie f : (a, b) → R met de eigenschap dat voor alle c met a < c < b de
functie f begrensd is op het interval (c, b).
42
We zeggen dat de oneigenlijke integraal
Rb
f (x) dx convergent is als er een
a
continue functie F : [a, b] → R bestaat met de eigenschap
Zb
voor alle c ∈ (a, b).
f (x) dx = F (c),
c
We definieren dan
Zb
f (x) dx = F (a).
a
Vaak zie je dit weergegeven door
Zb
Zb
f (x) dx = lim
f (x) dx = lim F (c).
c↓a
a
c↓a
c
Als er niet zo’n continu functie F op het gesloten interval [a, b] bestaat, dan
Rb
zeggen we dat de integraal f (x) dx divergent, dat wil zeggen betekenisloos
a
is. ”De lim bestaat dan niet”.
c↓a
0.7.16 Opmerkingen
Rb
1.
f (x) dx convergent wil zeggen dat de oppervlakte
a
onder de grafiek eindig is, ondanks het feit dat het oppervlak onder de
grafiek onbegrensd is. Intuitief betekent dit dat de functie f niet té
hard naar ∞ gaat als x nadert naar a.
2. De genoemde F is een primitieve van f op (a, b).
3. Als de integrand f niet uit de hand loopt nabij a, maar nabij c dan kan
een analoge procedure gevolgd worden.
0.7.17 Voorbeelden
1.
R1
0
1
x
dx is divergent want een primitieve van f (x) =
ln x en die is niet continu uit te breiden tot [0, 1]. Anders gezegd
Z1
1
dx = lim ln c
c↓0
x
0
43
bestaat niet.
1
x
is
2. Laat α 6= 1.
Z1
1
dx = lim
δ↓0
xα
0
Z1
1 1
1
1−α dx
=
lim
x
=
δ↓0 1 − α
xα
δ
δ
1
= lim
(1 − δ 1−α ) =
δ↓0 1 − α
1
1−α
als α < 1,
divergent als α > 1.
0.7.18 Definitie Beschouw het onbegrensde interval (a, ∞) met a > 0. Beschouw
een continue functie g : (a, ∞) → R met de eigenschap dat voor alle c met
a < c < ∞ de functie g begrensd is op het begrensde interval (a, c).
R∞
We zeggen dat de oneigenlijke integraal g(x) dx convergent is als er een
a
continue functie G : [0, a1 ] → R bestaat met de eigenschap
Zc
1
g(x) dx = G( ),
c
voor alle c ∈ (a, ∞).
a
We definieren dan
Z∞
g(x) dx = G(0).
a
Vaak zie je dit weergegeven door
Z∞
Zc
g(x) dx = lim
c→∞
a
a
1
1
g(x) dx = lim G( ) = 1lim G( ) = lim G(z).
z→0
c→∞
c
c
→0
c
Als er niet zo’n continu functie G op het gesloten interval [0, a1 ] bestaat, dan
R∞
zeggen we dat de integraal g(x) dx divergent, dat wil zeggen betekenisloos
a
is. ”De lim bestaat dan niet”.
c→∞
0.7.19 Opmerkingen
1.
R∞
g(x) dx convergent wil zeggen dat de oppervlakte on-
a
der de grafiek eindig is, ondanks het feit dat het oppervlak onder de
grafiek zich tot het oneindige uitstrekt. Intuitief betekent dit dat de
functie g ’gemiddeld’ voldoende snel naar 0 gaat als x naar ∞ groeit.
2. De functie z 7→ G( z1 ) is een primitieve van g op (a, ∞).
44
3. Op een interval van het type (−∞, b) kan een analoge procedure gevolgd
worden.
0.7.20 Voorbeelden
1.
R∞ 1
1
x
dx is divergent want een primitieve van f (x) =
1
x
is ln x en de functie x 7→ ln x1 is niet continu uit te breiden tot [0, 1].
Anders gezegd
Z∞
1
dx = lim
A→∞
x
ZA
1
dx = lim ln A,
A→∞
x
bestaat niet.
1
1
2. Laat α 6= 1.
Z∞
1
dx = lim
A→∞
xα
1
= lim
A→∞
ZA
A 1
1
1−α dx
=
lim
x
=
A→∞ 1 − α
xα
1
1
1
(Aa1−α − 1) =
1−α
45
1
α−1
als α > 1,
divergent als α < 1.
46
Hoofdstuk 1 Rijen
1.1 Enige begrippen
1.1.1 Definitie Een oneindige rij reële getallen (kortweg: rij ) is een afbeelding
van N naarR. Notatie f : N → R, n 7→ f (n).
1.1.2 Laat f : N → R een rij zijn; stel f (1) = a1 , f (2) = a2 , ..., f (n) = an , ... .
We kunnen de afbeelding f dan vastleggen door haar beelden a1 , a2 , a3 , ...
te geven. Vaak noteren we een rij daarom met a1 , a2 , a3 , ...; afkortingen met
dezelfde betekenis zijn (an )n∈N , (an )∞
n=1 en (an ). De getallen ai heten de elementen van de rij.
In de praktijk denken we bij een rij in de regel niet direct aan een afbeelding
f van N naar R, maar aan de beelden ervan, dus aan een genummerde serie
punten an op de reële getallenrechte.
1.1.3 Voorbeelden
• De rij n 7→ n1 wordt kortweg genoteerd met ( n1 )n∈N en zowel gangbaar als
slordig met 1, 21 , 13 , 14 , ... . Hier: an = n1 .
n
• Net zo staat ((−1)n )∞
n=1 voor n 7→ ((−1) ). In slordige notatie dus
−1, +1, −1, +1, −1, +1, ... ; Hier: an = (−1)n .
1
• Analoog ( n12 ), dus 1, 14 , 19 , 16
, ... suggereert n 7→ n12 . Hier an = n12 .
• Soms breiden we de notatie iets uit: (an )∞
n=3 is de rij a3 , a4 , a5 , ... , dus
∞
in feite de rij (an+2 )n=1 , netjes opgeschreven wordt de nieuwe rij beschreven
door n 7→ an+2 . Analoog kan n 7→ an−1 worden genoteerd met (an )∞
n=0 en ook,
∞
slordigweg, met a0 , a1 , a2 , ... . Ook mag (an−1 )n=1 . Voorts stelt (an )n even
de rij a2 , a4 , a6 , ... voor. Dit is dus de rij (a2n )n∈N , die op haar beurt weer
staat voor n 7→ a2n .
1.1.4 Bij iedere rij kan men de verzameling beschouwen van de elementen die tot
1
die rij behoren. Bij de rij (n + 1)∞
n=1 behoort zo N\{1}, bij ( n )n∈N behoort
{1, 12 , 13 , ...}, bij ((−1)n )n∈N behoort {1, −1}. Merk op dat bij een (oneindige)
rij a1 , a2 , ... best een eindige verzameling {a1 , a2 , ...} kan behoren, omdat de
elementen van een rij niet noodzakelijk verschillend zijn.
47