Herkansing Toegepaste Lineaire Algebra, 13 augustus 2007

Herkansing Toegepaste Lineaire Algebra, 13 augustus 2007, tijdsduur 3 uur. (English
version on other side.) Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan.
Geef bij alle antwoorden een duidelijke toelichting.
1. (20 punten) Gegeven is de matrix


33
5
17


B=
3 −2
2 .
−78 −11 −40
a. Laat zien dat v = [ 1 3 −3 ]⊤ een eigenvector is van B, en bepaal de bijbehorende
eigenwaarde λ.
b. Bepaal de algebraı̈sche en de meetkundige multipliciteit van de eigenwaarde λ.
c. Laat zien dat w = [ 0 7 −2 ]⊤ een gegeneraliseerde eigenvector van B is bij λ en v.
d. Bepaal de Jordanvorm J van B.
2. (18 punten) Gegeven is dat de onderstaande matrices A en C gelijkvormig zijn.
A=
"
0 √α
2
2
#
, C=
"
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
.
a. Bepaal α en ϕ (neem 0 ≤ ϕ < π).
b. Bepaal de eigenwaarden van A en C.
c. Bepaal een matrix S zo dat S −1 AS = C.
3. (20 punten) Beschouw de differentievergelijking zk + 2zk−1 + zk−2 = 0.
a. Transformeer deze differentievergelijking naar een eerste orde vectoriele vergelijking
van de vorm zk = Azk−1 .
b. Druk de vector zk uit in z0 .
c. Geef de algemene oplossing van de inhomoge vergelijking xk + 2xk−1 + xk−2 = (−1)k .
d. Geef een expliciete formule voor xk indien x0 = x1 = 0.
4. (10 punten) Transformeer de kwadratische vorm 34x21 + 24x1 x2 + 41x22 naar een vorm
zonder kruistermen, geef de bijbehorende coördinatentransformatie en bepaal het type
(positief/negatief (semi-)definiet of indefiniet).
5. (8 punten) Een 3 × 3 matrix A heeft eigenwaarden 0, 1 en 2. Schrijf A3 als lineaire
combinatie van A en A2 .
6. (8 punten) Een n × n matrix A voldoet aan A4 + 3A2 + 2I = O. Bewijs dat A geen
reële eigenwaarden heeft. (Hint: Ga na wat het gegeven betekent voor een eigenvector
v met eigenwaarde λ)
7. (8 punten) Gegeven is een 9×9 matrix A = (ai,j ) gedefinieerd door: a1,1 = α en ai,j = 1
in alle andere gevallen. Bepaal de waarde(n) van α waarvoor A totaal unimodulair is.
8. (8 punten) Bepaal de duale convexe kegel C ∗ van de onderstaande deelverzameling C
van IR3 .
C = {x ∈ IR3 | x3 = 0, x2 ≥ |x1 |}.
Resit Applied Linear Algebra, August 13, 2007, time span 3 hours. (Nederlandse versie
aan andere zijde.) It is allowed to use a simple calculator.
All answers must be clearly explained.
1. (20 points) Consider the following matrix


33
5
17


B=
3 −2
2 .
−78 −11 −40
a. Show that v = [ 1 3 −3 ]⊤ is an eigenvector of B, and determine the corresponding
eigenvalue λ.
b. Determine the algebraic and the geometric multiplicity of the eigenvalue λ.
c. Show that w = [ 0 7 −2 ]⊤ is a generalized eigenvector of B corresponding to λ
and v.
d. Determine the Jordan canonical form J of B.
2. (18 points) The matrices A and C below are given to be similar.
A=
"
0 √α
2
2
#
, C=
"
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
.
a. Determine α and ϕ (assume 0 ≤ ϕ < π).
b. Determine the eigenvalues of A and C.
c. Determine a matrix S such that S −1 AS = C.
3. (20 points) Consider the homogeneous difference equation zk + 2zk−1 + zk−2 = 0.
a. Transform this equation into a first order equation of the form zk = Azk−1 .
b. Express the vector zk in z0 .
c. Determine the solution set of the (inhomogeneous) difference equation xk + 2xk−1 +
xk−2 = (−1)k .
d. Present an explicit formula for xk if x0 = x1 = 0.
4. (10 points) Transform the quadratic form 34x21 + 24x1 x2 + 41x22 into a form without
cross terms, give the corresponding coordinate transformation and determine the type
(positive/negative (semi)definite or indefinite).
5. (8 points) A 3×3 matrix A has eigenvalues 0, 1 and 2. Write A3 as a linear combination
of A and A2 .
6. (8 points) An n × n matrix A satisfies A4 + 3A2 + 2I = O. Prove that A has no
real eigenvalues. (Hint: Check what the equation does to an eigenvector v with eigenvalue λ.)
7. (8 points) Given a 9 × 9 matrix A = (ai,j ) defied by: a1,1 = α and ai,j = 1 in all other
cases. Determine the value(s) of α for which A is totally unimodular.
8. (8 points) Determine the dual convex cone C ∗ of the subset C of IR3 , given below.
C = {x ∈ IR3 | x3 = 0, x2 ≥ |x1 |}.