Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 23 januari 2009, tijdsduur

Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 23 januari 2009, tijdsduur 3 uur. (English version on other side.) Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan.
Geef bij alle antwoorden een duidelijke toelichting.
1. (15 punten) Gegeven is de matrix
A=
"
−2 α
1 2
#
.
i. Bepaal α zo dat A niet diagonaliseerbaar is.
ii. Bepaal (bij de gevonden waarde(n) van α) de Jordanvorm J van A.
iii. Bepaal een matrix S zo dat S −1 AS = J.
2. (15 punten) Gegeven is de matrix
B=
"
3 8
−2 3
#
.
i. Bepaal de eigenwaarden van B met bijbehorende eigenvectoren.
ii. Geef de meetkundige interpretatie van de door B bepaalde lineaire afbeelding.
3. (10 punten) Een reële 6 × 6 matrix E heeft een eigenwaarde 3 met meetkundige multipliciteit 2 en algebraische multipliciteit 4. Verder is gegeven dat 2 + i een (complexe)
eigenwaarde is van E. Bepaal alle mogelijke Jordanvormen voor E.
4. (20 punten) Beschouw de (inhomogene) lineaire differentievergelijking (dv)
xt+3 + 4xt+2 − xt+1 − 4xt = 6.
i. Vertaal de bijbehorende homogene dv naar een dv van de vorm zt+1 = Azt , en los
die op.
ii. Bepaal de algemene oplossing van de gegeven dv.
5. (15 punten) Beschouw de volgende (symmetrische) matrix


3
2
1


N = 2
0 −2  .
1 −2
5
Bepaal een orthogonale matrix S en een diagonaalmatrix Λ, zo dat S ⊤N S = Λ.
6. (15 punten)
i. De machtsmethode wordt toegepast op een positieve symmetrische matrix M met
startvector x0 > 0. Verklaar waarom dit proces convergeert.
ii. De matrix U is positief definiet en totaal unimodulair. Bewijs dat U = I. (Hint:
bewijs eerst dat alle diagonaalelementen gelijk zijn aan 1).
7. (10 punten) Teken de onderstaande deelverzameling C van IR2 . Verklaar waarom C
een convexe kegel is en bepaal de duale kegel C ∗ van C.
C = {x ∈ IR2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ x1 }
Exam Applied Linear Algebra, January 23, 2009, time span 3 hours. (Nederlandse versie
aan andere zijde.) It is allowed to use a simple calculator.
All answers must be clearly explained.
1. (15 points) Consider the matrix
A=
"
−2 α
1 2
#
.
i. Determine α such that A is not diagonalizable.
ii. Determine (with the value(s) of α found in i) the Jordan canonical form J of A.
iii. Determine a matrix S such that S −1 AS = J.
2. (15 points) Consider the matrix
B=
"
3 8
−2 3
#
.
i. Determine the eigenvalues of B, and the corresponding eigenvectors.
ii. Give the geometric interpretation of the linear map determined by B.
3. (10 points) A real 6 × 6 matrix E has an eigenvalue 3 with geometric multiplicity 2 and
algebraic multiplicity 4. In addition, it is known that 2 + i is a (complex) eigenvalue of
E. Determine all possible Jordan canonical forms for E.
4. (20 points) Consider the following (inhomogeneous) linear difference equation (de)
xt+3 + 4xt+2 − xt+1 − 4xt = 6.
i. Transform the corresponding homogeneous de into one of the type zt+1 = Azt , and
solve it.
ii. Determine the general solution of the given de.
5. (15 points) Consider the following (symmetric) matrix


3
2
1


N = 2
0 −2  .
1 −2
5
Determine an orthogonal matrix S, and a diagonal matrix Λ, such that S ⊤N S = Λ.
6. (15 points)
i. The power method is applied to a positive symmetric matrix M . The initial vector
is x0 > 0. Explain why the process converges.
ii. The matrix U is positive definite and totaly unimodular. Prove that U = I. (Hint:
first prove that all diagonal entries are equal to 1).
7. (10 points) Draw the subset C of IR2 given below. Explain why C is a convex cone,
and determine the dual cone C ∗ van C.
C = {x ∈ IR2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ x1 }