3 VOORWOORD

VOORWOORD
Waarom een ‘wiskundewijzer’?
Bij het maken van ‘onthoudboekjes’ voor de leerlingen van de lagere school,
groeide het idee om ook een ‘wiskundewijzer’ te maken voor de leerkrachten
en voor iedereen die op een of andere manier te maken heeft met wiskundeonderwijs in de basisschool: logopedisten, studenten lerarenopleiding ...
We hopen dat u deze wiskundewijzer nuttig kunt gebruiken:
- als u iets over de leerstof wiskunde wilt opzoeken;
- als u zich vragen stelt over de leerlijn bij een bepaald wiskundig onderdeel;
- als u tips zoekt bij de aanbreng van een onderdeel;
- als u een overzicht wilt krijgen over de leerstof wiskunde in de lagere school;
- als u gewoon even in een wiskundig werkje wilt ‘neuzen’ …
In deze wiskundewijzer vindt u de belangrijkste leerinhouden wiskunde
van de lagere school op een overzichtelijke manier weergegeven, met een
bijbehorend didactisch luik. Daarbij primeerde altijd de duidelijkheid en de
verstaanbaarheid voor de leerling van de lagere school.
Wat vind je in de wiskundewijzer?
GETALLENKENNIS
- Er zijn 5 grote delen: getallenkennis,
bewerkingen, meten en metend
rekenen, meetkunde en toepassingen.
- Een overzicht van de inhouden
wiskunde die de leerlingen van
de basisschool moeten kennen.
42,487
tweeënveertig gehelen (eenheden) vierhonderdzevenentachtig duizendsten
of kortweg, tweeënveertig komma vierhonderdzevenentachtig
Md
HM
TM
M
HD
TD
D
Vroeger werden deze groepjes van
3 cijfers gescheiden door een punt.
Om verwarring met het decimaal
teken op de rekenmachine te
vermijden, wordt deze notatie niet
langer gebruikt.
H
T
E
,
t
h
d
4
2
,
4
8
7
Om een getal makkelijk
te lezen, maak ik telkens
groepjes van 3 cijfers vanaf de
eenheden. Als ik het anderen
makkelijk wil maken, schrijf ik
een spatie tussen deze
groepjes.
c Getallen afronden
Een getal afronden betekent dat we het getal benaderen door de
dichtstbijzijnde eenheid of het dichtstbijzijnde tiental, honderdtal, duizendtal …
Voorbeelden: Ik rond 825 af tot op een honderdtal.
-> 825 ligt tussen 800 en 900. 825 ligt het dichtst bij 800.
Ik rond 3,615 af tot op een geheel.
-> 3,615
5 ligt tussen 3 en 4. 3,615 ligt het dichtst bij 4.
- Een didactisch luik: tips over
de aanbreng van bepaalde
leerstofonderdelen, fasen in leerlijnen,
mogelijke materialen, veel gemaakte
fouten van leerlingen …
- Voorbeelden van oefeningen, met een
verwijzing naar het leerjaar waarin die
aan bod kunnen komen.
- Weetjes: extra kennis of achtergrondkennis
voor de leerkracht, maar vaak ook
‘wetenswaardigheden’ voor de leerlingen.
3
Ligt een getal juist in het midden tussen twee eenheden, tientallen,
GETALLENKENNIS
honderdtallen, duizendtallen
dtallen …, dan ronden
we het getal volgens de
afrondingsregel af naar
ar het grootste van Voorbeelden
die twee getallen.
Voorbeelden: Ik rond 850 af tot op een honderdtal.
3
drie
-> 850 ligt
igt in het midden tussen
800 en
900.
30
dertig
Dan rond ik af naar boven,
900.
33 dus naardrieëndertig
300
driehonderd
Ik rond 6,5 af tot op een geheel.
333
driehonderddrieëndertig
-> 6,5 ligt
gt in het midden tussen
3 000 6 en 7.drieduizend
In dat
boven af, dus
naar 7. driehonderddertig
at geval rond ik naar
3 330
drieduizend
3 330 333 drie miljoen driehonderddertigduizend driehonderddrieëndertig
d Getallen voluit schrijven
rijjven
We schrijven een getall in één woord, tot en met het woord duizend. Na het
en spatie. De woorden miljoen, miljard, biljoen enz.
woord duizend volgt een
schrijven we los.
DIDACTISCH LUIK
11a Beginnend getalbegrip
Bij jonge kinderen brengen we hoeveelheden en rangordes eerst aan met
behulp van concreet materiaal en concrete verwoordingen. Pas daarna werken
we met natuurlijke getallen en meer abstract wiskundige verwoordingen.
Om inzicht te krijgen in hoeveelheden kun je de leerlingen verschillende
activiteiten laten uitvoeren: hoeveelheden vergelijken, hoeveelheden herkennen
en hoeveelheden vormen.
X
LES
Hoeveelheden vergelijken
We vergelijken twee of meer groepen voorwerpen en gebruiken een passende
verwoording (in opklimmende moeilijkheidsgraad):
1 veel/weinig, evenveel/niet evenveel, te veel/te weinig, over/te kort, meer/
minder, meest/minst
2 is meer dan, is minder dan, is gelijk aan, is niet gelijk aan
3 … meer dan …, … minder dan … bv. 1 meer dan 4, 2 minder dan 5
4 =, ≠ , < , >
bv. 3 ≠ 6; 1 < 5; 4 > 2
Voorbeeld
Vooraan staan 5 kinderen en 3 stoeltjes. De leerlingen tellen beide groepen en
plaatsen het passende getalkaartje bij de groep: 5 en 3 .
Zijn er genoeg stoeltjes voor de kinderen? Een leerling vergelijkt via het leggen
van de 1-1-relatie: hij plaatst op elke stoel 1 kind.
Zijn er genoeg stoeltjes? Neen, er zijn te weinig stoeltjes.
Er zijn dus meer kinderen dan stoeltjes. 5 is meer dan 3; of 5 > 3.
Hoeveel meer? Er zijn 2 kinderen meer dan stoeltjes.
We verwoorden:
We schrijven:
5 is niet evenveel als 3.
5 is meer dan 3.
5 is 2 meer dan 3.
5 ≠ 3 en 5 > 3
12
INHOUDSTAFEL
VOORWOORD
3
GETALLENKENNIS
1
2
3
4
5
6
7
Tiendelige getallen
a De Arabische cijfers komen uit Indië
b Het grondtal 10
c Getallen afronden
d Getallen voluit schrijven
Negatieve getallen
Romeinse cijfers en andere getallensystemen
a Romeinse cijfers
b Additief versus positiesysteem
Breuken
a Breuken benoemen, lezen en noteren
b Gelijkwaardige breuken zoeken
c Breuken gelijknamig maken
d Breuken vergelijken
Bewerkingen met breuken
a Optellen en aftrekken met breuken
b Vermenigvuldigen met breuken
c Delen met breuken
Percenten
a Percentbegrip
b Berekeningswijze
c Relatie breuken, percenten en kommagetallen
Delers en veelvouden
a Begrippen
b Kenmerken van deelbaarheid
c Grootste gemeenschappelijke deler (ggd)
en kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv)
9
9
9
11
11
26
29
29
30
32
32
33
34
34
41
41
41
42
44
44
44
46
48
48
49
49
BEWERKINGEN
1
1.1
1.2
Inleiding op de bewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
a Optellen betekent:
b Aftrekken betekent:
c Vermenigvuldigen betekent:
d Delen betekent:
Gebruikte terminologie
4
53
53
53
53
53
54
55
INHOUDSTAFEL
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
Rekenwijzen
a Hoofdrekenen
b Cijferen
c Schattend rekenen
d Rekenen met de zakrekenmachine
Volgorde van de bewerkingen
Hoofdrekenen
Elementaire rekenfeiten
a Duiding: parate kennis – automatiseren
b Optellingen en aftrekkingen tot 20 (1e en 2e leerjaar)
c Maaltafels en deeltafels tot 10 (2e en 3e leerjaar)
Standaardprocedures
a Optellen
b Aftrekken
c Vermenigvuldigen
d Delen
Flexibel rekenen: methodes
a Optellen en aftrekken
b Vermenigvuldigen en delen
Nog enkele rekenvoordelen
a Delen door 4 / delen door 8
b Vermenigvuldigen met 4 / vermenigvuldigen met 8
c Vermenigvuldigen met 10 / 100 / 1 000
d Delen door 10 / 100 / 1 000
e Vermenigvuldigen met 5 / 50 / 25
f Delen door 5 / 50 / 25
g Verhoudingsdeling
Hoofdrekenen met kommagetallen
a Vermenigvuldigen door minstens één factor
om te zetten in een breuk
b Vermenigvuldigen met 0,1 / 0,01 / 0,001
c Vermenigvuldigen met 0,5 / 0,25
d Delen door 0,1 / 0,01 / 0,001
e Delen door 0,5 / 0,25
Cijferen
Gebruikte terminologie
a Optellen
b Aftrekken
c Vermenigvuldigen
d Delen
5
56
56
57
58
58
58
60
60
60
61
62
63
63
64
64
65
66
66
68
69
69
70
70
70
70
70
70
71
71
72
72
72
72
74
74
74
74
74
75
INHOUDSTAFEL
3.2
3.3
4
5
Cijferalgoritmes
a Optellen
b Aftrekken
c Vermenigvuldigen
d Delen
Controlestrategieën
a Schatten
b Het resultaat toetsen aan de context
c De omgekeerde bewerking uitvoeren
d Het gebruik van een rekenmachine als
controlemechanisme
e De negenproef
Schattend rekenen
a Wanneer ga je schattend rekenen?
b Schattend optellen en aftrekken
c Schattend vermenigvuldigen en delen
d Schattend rekenen met onvolledige gegevens
e Schatten: een rekenkant en een meetkant
Rekenen met de rekenmachine
75
75
76
77
79
86
86
87
87
87
88
90
90
92
92
93
93
95
METEN EN METEND REKENEN
1
2
3
Grootheden, meten, maatgetallen, maateenheden, maten
a Grootheden en meten
b Maatgetallen, maateenheden en maten
c Directe en indirecte metingen
Standaardeenheden
a Eenheden voor lengte, inhoud, gewicht
b Eenheden voor oppervlakte
c Volume
d Verband tussen inhoudsmaten en volumematen
e Tijd
f Geldwaarden
g Temperatuur
h Hoekgrootte
i Herleidingen tussen maateenheden
Meetinstrumenten
a Voor het meten van lengtes
b Voor het meten van inhouden
c Voor het meten van gewichten
d Voor het meten van een tijd
6
99
99
99
100
109
110
110
111
111
111
113
114
114
115
122
122
124
124
125
INHOUDSTAFEL
4
e Voor het meten van een temperatuur
f Voor het meten van een hoekgrootte
Omtrek, oppervlakte en volume
a Begrippen
b Omtrek bepalen
c Oppervlakte bepalen
d Volume bepalen
132
132
142
142
147
148
156
MEETKUNDE
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2
2.1
2.2
3
3.1
Vormleer
Punten, rechten, lijnen en vlakken
Hoeken
Vlakke figuren
a Veelhoeken en niet-veelhoeken
b Regelmatige veelhoeken
c Diagonalen
d Een cirkel
Driehoeken
a Indeling volgens de hoeken
b Indeling volgens de zijden
c Indeling volgens de hoeken en de zijden
Vierhoeken
a Indeling vierhoeken
b Eigenschappen van de diagonalen van een vierhoek
Ruimtefiguren
Meetkundige relaties
Evenwijdigheid en loodrechte stand
a Begrippen
b Evenwijdigheid en loodrechte stand aan de hand van
de geodriehoek
Spiegelingen, symmetrie, gelijkvormigheid
a Gelijkvormigheid
b Spiegelingen
c Symmetrie
Ruimtelijke oriëntatie
Van ruimtelijke oriëntatie naar ruimtelijk inzicht
a Direct en indirect waarnemen
b (Mentaal) innemen van een standpunt
c Het beschrijven van een object
d Zich een mentaal beeld vormen en ermee handelen
7
161
161
163
165
165
167
169
170
170
170
171
171
174
174
176
179
188
188
188
189
192
192
193
193
197
197
197
198
198
199
INHOUDSTAFEL
3.2
Activiteiten voor ruimtelijke oriëntatie
a Beschrijven van positie en richting
b Innemen van een standpunt
c Omzettingen van dimensies
d Blokkenbouwsels
e Kijklijnen
f Schaduwbeelden
199
200
201
202
203
205
206
TOEPASSINGEN
1
2
3
Wiskundige toepassingen
a Wiskundige toepassingen in verschillende vormen
b Stappenplan
Heuristieken
a Gebruik concreet materiaal
b Maak een tekening
c Maak een schema
d Maak een tabel
e Vertel het probleem met je eigen woorden
f Dramatiseer (speel) het probleem
g Toon de noodzakelijke en/of de overbodige
gegevens
h Gebruik je ervaringskennis
i Zoek de ontbrekende informatie op
j Toon wat gegeven en wat gevraagd is
k Schrap in een vergelijking de gelijke gegevens
l Splits het probleem in deelproblemen
m Probeer verstandig uit
n Zoek een patroon in de gegevens
o Plaats de gegevens in een bepaalde volgorde
p Werk met eenvoudigere getallen
q Houd met een gegeven voorlopig geen rekening
Verschillende types vraagstukken
a Enkelvoudige en samengestelde vraagstukken
b Typevraagstukken
209
209
210
212
213
213
214
214
215
216
DIDACTISCHE MUSTS IN WISKUNDELESSEN
242
INDEX
243
8
216
216
216
217
217
217
218
218
218
219
219
219
219
221
GETALLENKENNIS
1 TIENDELIGE GETALLEN
Om getallen te schrijven, gebruiken we 10 cijfers, nl. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
en 9. Met die 10 cijfers kunnen we een oneindig aantal getallen vormen.
Ons talstelsel is een positiestelsel. Dat betekent dat de waarde van een cijfer
in een getal bepaald wordt door zijn plaats (of positie) in dat getal.
Voorbeeld: In het getal 313 staat 2 keer het cijfer 3. Het cijfer 3 links duidt
3 honderdtallen aan, het cijfer 3 rechts duidt 3 eenheden aan.
a De Arabische cijfers komen uit Indië
Omstreeks de 9e eeuw hadden de Indiërs een getallensysteem dat veel
gemeen heeft met het onze. Het systeem bestond uit 10 symbolen, inclusief
het symbool 0. Toen de Arabieren Indië bezetten, namen ze dat systeem over.
Via handelsreizigers kwam het Indische systeem in Europa terecht.
b Het grondtal 10
Men zegt dat ons getallensysteem grondtal 10 heeft, omdat we altijd per
10 groeperen. We maken eerst groepjes van 10 eenheden, die we daarna
omruilen voor een tiental. Vervolgens maken we groepjes van 10 tientallen,
die we omruilen voor een honderdtal enz. De keuze voor het grondtal 10 lijkt
evident, vanwege ons aantal vingers.
Toch komen bij sommige volkeren andere
grondtallen voor, zoals 12 (tel je vingerkootjes
met de duim) en 20 (vingers en tenen).
Ook bij ons zien we soms andere grondtallen
verschijnen. Zo komen de getallen 12 en 60
voor bij het verdelen van de klok en leven ze
ook verder in bepaalde maateenheden (bv. een
dozijn).
In de loop van de
geschiedenis werden ook
talstelsels gebruikt met als
grondtal 12 en 20.
Een computer werkt met
een getallensysteem met
grondtal 2, het binair
talstelsel.
9
GETALLENKENNIS
naam
symbool
waarde
…
…
…
duizendsten
d
0,001
honderdsten
h
0,01
tienden
t
0,1
eenheden
E
1
tientallen
T
10
honderdtallen
H
100
duizendtallen
D
1 000
tienduizendtallen
TD
10 000
honderdduizendtallen
HD
100 000
miljoentallen
M
1 000 000
tienmiljoentallen
TM
10 000 000
honderdmiljoentallen
HM
100 000 000
miljardtallen
Md
1 000 000 000
…
…
…
• Een miljard in het Engels is a milliard;
in het Amerikaans Engels spreekt men over a billion.
De Nederlandse term biljoen wordt
dan weer gebruikt voor 1 000 miljard!
• 1 googol = 10100 en wordt genoteerd
als een 1 gevolgd door 100 nullen.
Van deze grootheid is de naam
van de internetzoekmachine Google afgeleid.
Om de waarde van elk cijfer in een getal makkelijk te bepalen, noteren we het
getal in een positietabel.
Voorbeelden
Het getal 2 561 bestaat uit 2D, 5H, 6T en 1E, of 2 561 = 2D + 5H + 6T + 1E.
430 806 213
vierhonderddertig miljoen achthonderdenzesduizend tweehonderddertien
Md
HM
TM
M
HD
TD
D
H
T
E
4
3
0
8
0
6
2
1
3
10
,
t
h
d
GETALLENKENNIS
42,487
tweeënveertig gehelen (eenheden) vierhonderdzevenentachtig duizendsten
of kortweg, tweeënveertig komma vierhonderdzevenentachtig
Md
HM
TM
M
HD
TD
D
H
Vroeger werden deze groepjes van
3 cijfers gescheiden door een punt.
Om verwarring met het decimaal
teken op de rekenmachine te
vermijden, wordt deze notatie niet
langer gebruikt.
T
E
,
t
h
d
4
2
,
4
8
7
Om een getal makkelijk
te lezen, maak ik telkens
groepjes van 3 cijfers vanaf de
eenheden. Als ik het anderen
makkelijk wil maken, schrijf ik
een spatie tussen deze
groepjes.
c Getallen afronden
Een getal afronden betekent dat we het getal benaderen door de
dichtstbijzijnde eenheid of het dichtstbijzijnde tiental, honderdtal, duizendtal …
Voorbeelden: Ik rond 825 af tot op een honderdtal.
-> 825 ligt tussen 800 en 900. 825 ligt het dichtst bij 800.
Ik rond 3,615 af tot op een geheel.
-> 3,615 ligt tussen 3 en 4. 3,615 ligt het dichtst bij 4.
Ligt een getal juist in het midden tussen twee eenheden, tientallen,
honderdtallen, duizendtallen …, dan ronden we het getal volgens de
afrondingsregel af naar het grootste van die twee getallen.
Voorbeelden: Ik rond 850 af tot op een honderdtal.
-> 850 ligt in het midden tussen 800 en 900.
Dan rond ik af naar boven, dus naar 900.
Ik rond 6,5 af tot op een geheel.
-> 6,5 ligt in het midden tussen 6 en 7.
In dat geval rond ik naar boven af, dus naar 7.
d Getallen voluit schrijven
We schrijven een getal in één woord, tot en met het woord duizend. Na het
woord duizend volgt een spatie. De woorden miljoen, miljard, biljoen enz.
schrijven we los.
11
GETALLENKENNIS
Voorbeelden
3
drie
30
dertig
33
drieëndertig
300
driehonderd
333
driehonderddrieëndertig
3 000
drieduizend
3 330
drieduizend driehonderddertig
3 330 333 drie miljoen driehonderddertigduizend driehonderddrieëndertig
DIDACTISCH LUIK
a Beginnend getalbegrip
Bij jonge kinderen brengen we hoeveelheden en rangordes eerst aan met
behulp van concreet materiaal en concrete verwoordingen. Pas daarna werken
we met natuurlijke getallen en meer abstract wiskundige verwoordingen.
Om inzicht te krijgen in hoeveelheden kun je de leerlingen verschillende
activiteiten laten uitvoeren: hoeveelheden vergelijken, hoeveelheden herkennen
en hoeveelheden vormen.
X
LES
Hoeveelheden vergelijken
We vergelijken twee of meer groepen voorwerpen en gebruiken een passende
verwoording (in opklimmende moeilijkheidsgraad):
1 veel/weinig, evenveel/niet evenveel, te veel/te weinig, over/te kort, meer/
minder, meest/minst
2 is meer dan, is minder dan, is gelijk aan, is niet gelijk aan
3 … meer dan …, … minder dan … bv. 1 meer dan 4, 2 minder dan 5
4 =, ≠ , < , >
bv. 3 ≠ 6; 1 < 5; 4 > 2
Voorbeeld
Vooraan staan 5 kinderen en 3 stoeltjes. De leerlingen tellen beide groepen en
plaatsen het passende getalkaartje bij de groep: 5 en 3 .
Zijn er genoeg stoeltjes voor de kinderen? Een leerling vergelijkt via het leggen
van de 1-1-relatie: hij plaatst op elke stoel 1 kind.
Zijn er genoeg stoeltjes? Neen, er zijn te weinig stoeltjes.
Er zijn dus meer kinderen dan stoeltjes. 5 is meer dan 3; of 5 > 3.
Hoeveel meer? Er zijn 2 kinderen meer dan stoeltjes.
We verwoorden:
We schrijven:
5
5
5
5
is niet evenveel als 3.
is meer dan 3.
is 2 meer dan 3.
≠ 3 en 5 > 3
12
GETALLENKENNIS
Om de symbolen < en > te introduceren,
kun je gebruik maken van het hapmonster.
Het monster hapt altijd in de richting van het
grootste aantal.
•
•
2
••
•
<
3
Hoeveelheden herkennen
Voorbeeld
Kleur alle klavertjesvier.
Wijs in de klas zaken aan
waarvan er precies 4 zijn:
4 ramen, 4 kinderen met
dezelfde voornaam,
4 prikborden …
Hoeveelheden vormen
Voorbeeld: Leg 7 kastanjes.
Teken 8 blokjes.
Vorm een kring met 4 leerlingen.
Bij het vormen van een hoeveelheid is het belangrijk dat de leerlingen inzien
dat de hoeveelheid niet afhangt van de plaats en de ordening in tijd en ruimte,
bv. 4 blokjes op een rij is evenveel als 4 gestapelde blokjes. Kinderen die
moeite hebben met het ‘conserveren’ kunnen zich hierdoor laten misleiden.
De leerlingen moeten ook inzien dat de hoeveelheid niet afhangt van bepaalde
eigenschappen van de dingen. Zo zijn 4 olifanten dezelfde hoeveelheid als
4 muizen. Ook hier laten kinderen met een gebrekkig conservatie-inzicht zich
vaak vangen.
Rangorde bepalen
We werken eerst met concrete voorwerpen en gebruiken de verwoording
1 naast, voor, na, tussen, eerste, middelste, laatste, vorige, volgende,
voorlaatste, juist voor, juist na …
2 tweede, derde, tiende …
Enkele voorbeelden (in opklimmende moeilijkheidsgraad)
• Een rij met 5 soortgelijke voorwerpen, bijvoorbeeld 5 beertjes:
Toon de eerste beer, de middelste beer, de voorlaatste beer …
• Een rij met 5 diverse voorwerpen, bijvoorbeeld boek, etui, potlood, gum,
slijper:
Toon het tweede voorwerp, het vierde voorwerp, het voorlaatste voorwerp …
Leg het boek op de eerste plaats, het potlood op de laatste plaats, de gum
op de middelste plaats, het etui tussen het potlood en de gum …
• Trek (op een werkblad) een kring rond het eerste kindje, de middelste
slijper, het figuurtje juist na het tweede figuurtje …
13
GETALLENKENNIS
Om natuurlijke getallen te ordenen maken we vaak gebruik van de getallenlijn
(aan het bord). Om deze getallenlijn aan te brengen kunnen we eerst werken
met een levende getallenlijn (met kinderen).
Vijf leerlingen staan vooraan in klas (met hun gezicht naar het raam).
De leerkracht vraagt: Op welke plaats sta je?
- Ik ben de eerste. Ik sta vooraan.
- Ik ben de tweede. Ik sta juist na de eerste.
- Ik sta op de derde plaats. Ik ben de middelste.
- Ik ben de vierde. Ik ben de voorlaatste.
- Ik sta op de vijfde plaats. Ik ben de laatste.
In een volgende stap draaien de leerlingen zich 90°,
zodat ze naast elkaar staan i.p.v. achter elkaar.
Tellen
Bij tellen denken we vaak enkel aan tellen om een aantal te bepalen, zoals
‘er zijn 12 leerlingen in de klas’. Maar om tot deze al vergevorderde stap van
tellen te komen, moeten de leerlingen voorafgaande telvaardigheden onder de
knie hebben. We onderscheiden akoestisch tellen, synchroon tellen, resultatief
tellen, doortellen en terugtellen.
Akoestisch tellen
Telrijtjes correct kunnen opzeggen, zoals een versje.
Synchroon tellen
De één-éénverbinding hanteren: terwijl de leerlingen de telnaam zeggen,
wijzen ze één afzonderlijk voorwerp aan. Het ene element mag niet sneller
verlopen dan het andere. Jonge kinderen maken hiertegen soms nog fouten en
spreken sneller dan ze de voorwerpen aanwijzen.
Resultatief tellen
De telrij gebruiken om een aantal te bepalen:
1, 2, 3, …, 7, 8. Er zitten 8 knikkers in de zak.
Er bestaan gradaties binnen dit resultatief tellen.
• Met manipuleren van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden één
per één verplaatst/gelegd.
Leg 3 blokjes op je bank.
Deel 5 kaarten uit aan je buur.
Stapel 4 schriften.
Geef 10 kaartjes aan je buur.
• Met aanraken van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden niet
verplaatst, maar wel aangeraakt.
Er liggen blokjes op de bank. De leerlingen nemen er in één greep een
14
GETALLENKENNIS
aantal uit. Ze tellen hoeveel er zijn door de blokjes één voor één aan te
raken.
De dagen van de weekkalender tellen door de hokjes telkens aan te raken.
• Met aanwijzen van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden niet
verplaatst, maar vanop afstand aangewezen.
Wijs 3 stoelen aan.
Wijs 2 leerlingen aan.
• Tellen met de ogen: de voorwerpen worden enkel nog aangekeken en niet
meer aangeraakt of aangewezen (handen op de rug).
• Tellen door inbeelden of voorstellen: niet-zichtbare personen of
voorwerpen tellen.
Hoeveel leden telt je gezin?
Bij het tellen om een aantal te bepalen kun je zeer verschillende oefeningen
aanbieden.
• Concrete gelijksoortige voorwerpen tellen,
bv. schriften, kastanjes, leerlingen tellen …
• Concrete ongelijksoortige voorwerpen tellen,
bv. dingen uit je schooletui: potloden, balpennen, gummen tellen …
• Getekende concrete voorwerpen op een werkblad tellen
• Gebeurtenissen tellen, bv. aantal tikken, aantal keer dat je een bepaald
woord hoort, de treden van de trap tellen door de trap af te lopen, het
aantal keren tellen dat een leerling touwtjespringt …
• …
Het is belangrijk dat leerlingen beseffen dat objecten, als ze in een bepaalde
structuur liggen, gemakkelijker te tellen zijn dan wanneer ze kriskras door
elkaar liggen.
Doortellen en terugtellen
• Verder tellen vanaf een bepaald begingetal, bv. Tel eens verder vanaf 4.
• De telrij achteruit opzeggen: 10 … 9 … 8 …
• Tellen vanaf 0 met sprongen van 2 (de even getallen opnoemen)
• Tellen vanaf 1 met sprongen van 2 (de oneven getallen opnoemen)
• Terugtellen met sprongen van 2
• …
Getallen kunnen lezen en schrijven
De leerlingen moeten vertrouwd gemaakt worden met het symbool dat gebruikt
wordt om een getal aan te duiden. Dit houdt in dat ze het symbool 9 kunnen
lezen als ‘negen’, maar ook omgekeerd dat ze de klank ‘negen’ kunnen
omzetten in het symbool 9 . Ze moeten dit cijfer ook correct kunnen schrijven.
15
GETALLENKENNIS
b Natuurlijke getallen
• In het Nederlands is de leesvolgorde van getallen kleiner dan 100 de
omgekeerde van de schrijfvolgorde. Zo lezen we 46 als ‘zesenveertig’, maar
schrijven we eerst het cijfer 4. Als ondersteuning kun je de leerlingen het
cijfer dat ze eerst lezen, laten onderlijnen.
In andere talen, zoals
het Frans en het Engels, is dat
niet zo! Zo is zesenveertig
in het Frans quarante-six en
in het Engels forty-six.
• Het gebruik van materiaal om getallen te leggen gaat steeds gepaard met
het verwoorden en het noteren van die getallen.
Voorbeeld: Ik leg 16. Ik schrijf ‘16’. Ik zeg ‘zestien’.
Geleidelijk aan valt de materiële voorstelling weg; de notatie en de
verwoording blijven. Uiteraard is het zinvol de leerlingen nog met de
materiële voorstelling te confronteren.
• Bij het aanbrengen van de getallen tot 100 laten we de leerlingen eerst goed
de tientallen verwoorden vooraleer we verfijnen tot getallen met tientallen
en eenheden. Dat kan bijvoorbeeld door getallenkaartjes te gebruiken met
resp. tientallen en eenheden.
Zo wordt 46 gevormd door 40 en 6.
Je neemt beide kaartjes en legt
het kaartje 6 op het kaartje 40
zodat het de 0 bedekt.
• Getallen komen voor in verschillende verschijningsvormen, afhankelijk van
de context.
getal als hoeveelheid
getal als rangorde
getal als code
getal als verhouding
getal als maatgetal
6 appels, 9 831 inwoners
De wielrenner eindigde als zesde.
Mijn telefoonnummer is 03 111 22 33.
De code van mijn fietsslot is 251.
1 op de 5 boekentassen weegt te veel.
Bij zijn geboorte was Tiebe 53 cm lang.
• Om getallen van 1 tot 10 en getallen als 100 en 1 000 goed te kunnen
voorstellen, kun je ze linken aan concrete zaken:
16
GETALLENKENNIS
1 mond
2 benen
3 wielen van een driewieler
4 poten van een stoel
5 vingers aan elke hand
6 eieren in een doosje
7 dagen in de week
8 poten van een spin
…
een verzameling van 1 000 kroonkurkjes
Natuurlijke getallen voorstellen met concreet materiaal
•
MAB-materiaal (= Multibase Arithmetic Blocks)
1 000
‘groot blok’
duizendtal
100
‘plak’
honderdtal
10
‘staaf’
tiental
1
‘blokje’
eenheid
Een voordeel van MAB-materiaal is dat de onderlinge verhouding tussen de
rangen zichtbaar blijft, bv. een staaf kan 10 keer in een plak.
Om getallen te vormen met MAB-materiaal, leggen we
het bij voorkeur volgens de positietabel: in de volgorde
honderdtallen, tientallen, eenheden.
Voorbeeld: het getal 235 met MAB-materiaal
•
Een (lus)abacus
In een (lus)abacus komt het positiestelsel mooi
tot uiting: een kraal (altijd even groot) heeft een
andere waarde naargelang de staaf waarop
hij zit. Zo kunnen 10 kralen op de staaf van de
eenheden omgeruild worden tegen 1 kraal op
de staaf van de tientallen.
Bevestig
kaartjes aan de abacus
met de naam van
de rangen.
17
GETALLENKENNIS
Natuurlijke getallen schematisch voorstellen
•
•
Getekend MAB-materiaal
100
10
1
honderdtal
tiental
eenheid
Kwadraatbeelden
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Door de groepering per 4 en de vaste schikking krijgen de leerlingen een
vast beeld van de verschillende hoeveelheden zonder die telkens te tellen.
Met deze kwadraatbeelden kun je ook de uitbreiding tot 100 visualiseren.
18
GETALLENKENNIS
• Honderdveld
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Het getal 0 kan eventueel toegevoegd worden boven het vakje 10.
De overgang van het ene vakje naar het andere gaat gepaard met
belangrijke inzichten in de getallen:
• vakje naar links: – 1
• vakje naar rechts: + 1
• vakje naar boven: – 10
• vakje naar onder: + 10
Via het honderdveld kun je de getalstructuur tot 100 inoefenen. Zo kan het
honderdveld een stevige ondersteuning bieden voor het tellen met sprongen
in combinatie met het optellen tot 100, zie bewerkingen (blz. 63-64)
(doorrekenmethode). Ook voor het aanbrengen van de tafels van
vermenigvuldiging kan het honderdveld nuttig zijn.
OEFENING
Tweede leerjaar
Kun je de puzzelstukken volledig maken?
36
…
…
…
47
…
…
…
…
63
…
…
…
…
…
…
…
…
86
19
…
…
14
…
…
…
34
…
…
GETALLENKENNIS
• Getallenlijn
• Getallenas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Een getallenas moet minstens 2 getallen bevatten.
c Kommagetallen
• Als ondersteuning laat je kommagetallen bij voorkeur op de uitgebreide
manier lezen.
0,7 = (0 gehelen) 7 tienden
i.p.v.
0 komma 7
1,62 = 1 geheel 62 honderdsten
i.p.v.
1 komma 62
• Na de komma mogen we na het laatste cijfer steeds nullen toevoegen.
Dat is interessant voor toepassingen waarbij we
- getallen vergelijken
1,4 en 1,05
1,40 > 1,05
- rekenen met kommagetallen
14,7 – 3,251 14,700 – 3,251
• Opgelet voor enkele veel voorkomende fouten:
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
1,10
Eén tiende meer dan 1,9 geeft 2!
0,7 < 0,12 want 7 < 12
0,70 > 0,12 want 70 > 12!
Kommagetallen voorstellen met concreet materiaal
•
MAB-materiaal (= Multibase Arithmetic Blocks)
1
eenheid
1/10
tiende
1/100
honderdste
1/1 000
duizendste
Deze voorstelling kan voor sommige leerlingen verwarrend zijn: de grote kubus
die vroeger gebruikt werd om 1 000 voor te stellen, heeft nu plots de waarde 1.
20
GETALLENKENNIS
• Vierkantjes en strookjes
Gebruik een vierkant van bijvoorbeeld 1 dm² als eenheid. Laat de leerlingen
die in 10 gelijke stroken verdelen: elke strook stelt 1 tiende voor. Verdelen
we zo’n strook nog eens in 10 gelijke deeltjes, dan krijgen we vierkantjes
van 1 cm² die elk 1 honderdste voorstellen.
•
Twee abaci
Rechts van de al bekende abacus plaatsen we een tweede abacus.
Daarop kunnen we de rangen van de tienden, honderdsten en duizendsten
aanduiden.
OEFENINGEN
Vierde leerjaar
Getallendictee
Getallen lezen
Lees deze getallen
voor aan elkaar.
Zet een kruisje bij
de getallen die juist
waren.
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
Ik lees, mijn buur controleert.
4 765
2 008
21
GETALLENKENNIS
Vul aan.
9 876
………
…T
…D
6T
3E
…H
…E
0D
2H
Tel je mee? Het gaat per 1.
996
………
………
………
………
………
1 002
………
………
………
………
En nu met sprongen van 10!
970
980
………
Rangschik de getallen.
4 253 - 2 453 - 3 542
…………… < …………… < ……………
2 332 - 3 232 - 3 223
…………… > …………… > ……………
Getallenquiz
Ik ben 1 meer dan 999.
…………………………
Ik besta uit 2D en 2H.
…………………………
Ik ben 10 keer 100.
…………………………
Ik kom net voor 5 000.
…………………………
22
GETALLENKENNIS
Noteer de cijfers in de tabel zoals in het voorbeeld.
D
H
T
E
,
t
h
6
9
5
,
4
6
695,46
0,7
1 honderste (h)
1
=
100
= 0,01
5H 6T 9E 1t 3h
vijf honderdsten
Vul aan. Let goed op de richting van de pijl!
5 570 ……… 5 580 ……… ……… ……… ……… ……… ………
……… ……… ……… ……… ……… ……… 6 800 ……… 6 600
Wat is de waarde van het rode cijfer? Noteer het telkens op 2 manieren.
25,36
2T of 20
132,01 ……… of ………
11,01
……… of ………
0,7
……… of ………
Verbind wat evenveel is.
0,75
75/100
70/100
1,75
1t minder dan 2
0,7
7h 5t
0,25
25/100
1,90
1h meer dan
57/100
23
GETALLENKENNIS
Gehele getallen
Positieve gehele getallen
(= natuurlijke getallen)
0, 1, 2, 3, 4 …
Negatieve gehele getallen
0, –1, –2, –3, –4 …
Rationale getallen
Niet-gehele getallen
Gehele getallen
1 5 11
; ; ;
2 4 7
0,65; 3,11; -
5
6
…
Een synoniem voor rationale getallen is breuken. De term verwijst naar ratio,
wat verhouding betekent. Elke breuk kun je ook als kommagetal schrijven,
maar het omgekeerde geldt niet!
Schrijf je een breuk als kommagetal, dan krijg je een bepaalde soort
kommagetallen, met name
• afbrekende kommagetallen:
kommagetallen die je volledig kunt opschrijven
1
41
= 0,5
= 0,41
2
100
• repeterende kommagetallen:
kommagetallen die ‘nooit eindigen’, maar waarvan je wel weet hoe de
ellenlange staart eruitziet
1
7
2
= 0,3333…
= 1,16666…
= 0,020202…
3
6
99
En dan zijn er nog de irrationale getallen: kommagetallen die niet eindigen,
maar waarvan je niet
kunt voorspellen hoe de
staart eruitziet. Irrationale
getallen kun je nooit als
een breuk schrijven.
Enkele voorbeelden
π = 3,141592653589…
√
⎯2 = 1,41421356237…
24
GETALLENKENNIS
Reële getallen
Rationale getallen
3
5
4; 7 ; 6,75; 2 ; –8 …
Irrationale getallen
π, √
⎯2 …
Samenvatting:
Reële getallen
Rationale getallen
Gehele getallen
Positieve gehele getallen
(= natuurlijke getallen)
Irrationale getallen
Niet-gehele getallen
Negatieve gehele getallen
Kommagetallen zijn ‘ontstaan’
in de 16e eeuw. Het was
de Bruggeling Simon Stevin
die in zijn werk ‘De thiende’
voorstelde om met tiendelige
breuken te werken. Stevin zelf
gebruikte nog niet de notatie
met een komma.
Simon Stevin is trouwens ook de bedenker
van de Nederlandse benaming wiskunde, of
wisconst zoals het in zijn tijd klonk. Daarmee
wijkt het Nederlands af van andere talen die
zich voor de benaming van het vak wiskunde
steeds baseren op dezelfde stam, bv.
mathematica, mathématiques, mathematics.
Ook de termen meetkunde, evenwijdigheid
en evenredigheid hebben we aan Simon
Stevin te danken.
25
GETALLENKENNIS
2 NEGATIEVE GETALLEN
Negatieve getallen zijn getallen met een minteken voor: –4; –1,5 …
Ze worden vooral gebruikt bij:
• temperatuur: Het vriest, het is –5 °C.
• liften: Parkeer je auto in de ondergrondse garage, op niveau –3.
• een negatief saldo op een rekening: Jans rekening staat op –500 euro.
Je kunt negatieve getallen ook voorstellen op een getallenas.
Volgens afspraak is 0 zowel een positief als een negatief getal.
DIDACTISCH LUIK
Betekenisvolle situaties
Behandel negatieve getallen alleen in betekenisvolle situaties, wanneer ze
bijvoorbeeld betrekking hebben op temperatuur, lift, saldo rekening, niveau
onder de zeespiegel … Opdrachten waarbij leerlingen het verschil tussen
deze getallen bepalen of negatieve getallen ordenen, kleed je altijd in een
betekenisvolle situatie in.
Voorbeeld: Gisteren was het –2 °C, vandaag is het 2 °C.
Hoeveel is de temperatuur gestegen?
Dergelijke opdrachten kun je het best visualiseren. Gebruik bijvoorbeeld een
thermometer op het bord. Ook een getekende lift waarbij je met een magneet
de plaats van een persoon aanduidt, is een goed hulpmiddel.
OEFENING
Derde leerjaar
Dit flatgebouw heeft vreemde bewoners …
Kruis de juiste vakjes aan en beantwoord de vragen.
26
GETALLENKENNIS
Ik vertrek bij Helga de Huismuis en stijg
4 verdiepingen.
Ik kom bij …
het gezin Zottebende.
Sofietje Snotneus.
Piet Precies.
Ik ben bij Pietje Belhamel en
wil naar de garage. Hoeveel
verdiepingen moet ik dalen?
……..........……………………………
•
Verwoording
–2 °C: min 2 graden Celsius of 2 graden onder 0
verdieping –2 of de 2e verdieping onder de grond
•
Verschil bepalen
Om het verschil tussen een positief en een negatief
getal te bepalen, laat je de tussenstap via 0 maken.
Werk niet via een bewerking.
Voorbeeld: het verschil tussen 2 °C en –3 °C
OEFENING
Derde leerjaar
Wat is het temperatuurverschil?
20
20
10
10
0
0
–10
–10
–20
–20
buiten
binnen
°C
…… °C
temperatuurverschil: ……… °C
……
•
Ordenen
Sommige leerlingen zullen moeite hebben met ‘–3 is minder dan –1’
(3 is immers meer dan 1 …). Leg het verband met de vloeistofkolom in de
thermometer, waar –3 °C duidelijk minder is dan –1 °C.
• Getallenas
Om de getallenas voor de leerlingen concreter te maken, leg je de
thermometer horizontaal en teken je daarbij de getallenas.
27
GETALLENKENNIS
• Het absolute nulpunt (de laagste temperatuur die
gerealiseerd kan worden) is –273 °C.
• De vloeistof in een thermometer is alcohol (vriespunt:
–114,4 °C) of kwik (vriespunt: –38,9 °C)
• De temperatuur in een diepvriezer is minimum –18 °C.
• De laagste temperatuur ooit in België gemeten,
is –30,1 °C (de hoogste: 38,8 °C).
• Met een minimum-maximumthermometer wordt tijdens
een periode zowel de laagste temperatuur als de
hoogste temperatuur geregistreerd. Op basis daarvan
kan het temperatuurverschil gemeten worden.
• Blaise Pascal durfde negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat
zij des duivels zouden zijn. Als je je per ongeluk in zijn
bijzijn zoiets liet ontvallen als –7, dan legde hij zijn hand
op je mond, keek schichtig vanuit zijn ooghoeken en
siste: “Je bedoelt het getal waarbij je zeven op moet
tellen om 0 te krijgen.”
• Een tijdsband is ook een getallenas, maar het jaar 0
bestaat niet …
• + en – op batterijen en in bloedgroepen hebben niets
met negatieve getallen te maken!
Een negatief doelpuntensaldo
Op de wereldbeker voetbal zal men het doelpuntensaldo bekijken wanneer
teams op het einde van de eerste ronde evenveel punten tellen. Voor
sommige ploegen is dit saldo negatief, zoals je op het onderstaande
tabelletje van de wereldbeker van 2006 kunt zien.
Land
Wed
Win
Gel
Ver
DV
DT
+/-
Pnt
Duitsland
3
3
0
0
8
2
6
9
Ecuador
3
2
0
1
5
3
2
6
Polen
3
1
0
2
2
4
–2
3
Costa Rica
3
0
0
3
3
9
–6
0
kolom
kolom
kolom
kolom
kolom
1:
2:
3:
4:
5:
naam van het land uit groep A
aantal gespeelde wedstrijden in de eerste ronde
aantal gewonnen wedstrijden
aantal wedstrijden die eindigden op een gelijkspel
aantal verloren wedstrijden
28
GETALLENKENNIS
kolom
kolom
kolom
kolom
6:
7:
8:
9:
aantal doelpunten dat het team zelf heeft gemaakt
aantal doelpunten dat het team tegen kreeg
het doelpuntensaldo (= kolom 6 min kolom 7)
het aantal behaalde punten binnen het driepuntensysteem
Deze tabel kwam tot stand op basis van de volgende wedstrijden:
9 juni 2006
15 juni 2006
Duitsland
4 – 2 Costa Rica Ecuador
Polen
0 – 2 Ecuador
14 juni 2006
Duitsland
3 – 0 Costa Rica
20 juni 2006
1 – 0 Polen
Ecuador
0 – 3 Duitsland
Costa Rica 1 – 2 Polen
3 ROMEINSE CIJFERS EN ANDERE GETALLENSYSTEMEN
a Romeinse cijfers
De symbolen
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1 000
De cartoon helpt je de 'volgorde' te onthouden van de waarde van de
Romeinse cijfers, van klein naar groot.
Regels voor getallen in Romeinse cijfers
• De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor.
• De symbolen V, L en D worden niet herhaald.
• Komt een symbool met een hogere waarde vóór een symbool met een
lagere waarde, dan worden de waarden van de symbolen opgeteld.
• Komt een symbool met een lagere waarde vóór een symbool met een
hogere waarde, dan worden de waarden van de symbolen afgetrokken.
• Bij het aftrekken kunnen slechts bepaalde combinaties voorkomen, nl.
IV, IX, XL, XC, CD en CM.
29
GETALLENKENNIS
• Opgelet: de notatie IIX is niet toegelaten! Van een symbool mag immers
slechts één symbool worden afgetrokken.
Werkwijze voor het omzetten
• Van Romeinse cijfers naar Arabische cijfers:
Zoek de combinaties, ‘vertaal’ en tel op.
MCMLXXVI = M
CM
L
XX VI = 1 976
1 000 900
50 20 6
• Van Arabische cijfers naar Romeinse cijfers:
Splits het getal in rangen, ‘vertaal’ elke rang
afzonderlijk en noteer achtereenvolgens.
3 497 = 3 000 + 400 + 90 + 7 = MMMCDXCVII
MMM CD XC VII
IV of IIII?
De Romeinen zelf schreven het getal
4 niet als IV, aangezien die notatie
een symbolische verwijzing naar de
god Jupiter (IVPITER) was. Het is de
katholieke kerk die deze notatie later
invoerde. Het getal 4 werd door de
Romeinen geschreven als IIII, een
notatie die je nog op veel kerkklokken
aantreft.
Getallen groter dan 3 999 …
Om grotere getallen voor te stellen, geldt de volgende afspraak: een
horizontale streep boven een getal wil zeggen dat dit getal met 1 000
vermenigvuldigd moet worden.
Voorbeeld: VII CX = 7 110
b Additief versus positiesysteem
Hier zie je hoe getallen in het
oude Egypte voorgesteld werden.
30
GETALLENKENNIS
Vertaling van het gesprek tussen farao en bouwheer:
Farao: ‘Prachtig, mijn piramide zal met zijn 147 m* de hoogste van het land
zijn.’ Bouwheer: ‘Voor de eerste fase van de bouw zullen 526 kamelen en
123 500 slaven nodig zijn.’
* De aandachtige lezer merkt het anachronisme in deze figuur:
ten tijde van de Egyptenaren werd lengte (hoogte) nog niet uitgedrukt in meter. Een
gebruikte maateenheid toen was de ‘koninklijke cubit’, die zou overeenkomen met
een lengte van 52,2 cm.
Dat is een voorbeeld van een additief getallensysteem: een getal wordt
voorgesteld door een opeenvolging van symbolen en de som van de waarde
van deze symbolen geeft dan het getal. De plaats van de symbolen speelt
geen rol.
Het Romeins talstelsel is in wezen een additief systeem, maar op sommige
momenten is de plaats van een symbool wel degelijk belangrijk: de getallen
VI en IV bestaan uit dezelfde symbolen, maar ze verschillen toch in waarde.
Ons getallensysteem is een positiesysteem. Het cijfer 2 heeft afhankelijk van
zijn plaats in het getal de waarde 2, 20, 200, 2 000 … De waarde van een
symbool is dus afhankelijk van zijn plaats (positie) in het getal.
Eén – twee – veel
In Australië woont een volk dat als volgt telt:
1 = urapon
2 = ukusar
4 = ukusar-ukusar
5 = ukusar-ukusar-urapon
3 = ukusar-urapon
6 = ukusar-ukusar-ukusar
Hoeveelheden groter dan 6 worden met 'veel' aangeduid. Dit is dus ook een
voorbeeld van een additief systeem.
31
GETALLENKENNIS
X LESwiskundig voorwerp
Oudste
Het Ishango-beentje wordt beschouwd als het oudste
wiskundig voorwerp dat tot nu toe gevonden is. Het
object, een 10 cm lang beentje met kerven, werd
gevonden in Ishango (Congo) en is vermoedelijk
20 000 jaar oud. De betekenis van de kerven blijft
tot op heden raadselachtig. Het beentje is te bezichtigen in het Koninklijk
Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen in Brussel.
4 BREUKEN
a Breuken benoemen, lezen en noteren
Ik lees de breuk
3
4
als 3 van de 4 gelijke
De teller zegt hoeveel
delen je moet nemen.
3
de breukstreep
delen van het geheel.
4
De noemer zegt in hoeveel
gelijke delen het geheel
verdeeld is.
• Breuken worden genoteerd met een horizontale breukstreep of met een
a
schuine breukstreep:
= a/b. De voorkeur gaat naar de notatie met
b
horizontale breukstreep.
• Een stambreuk is een breuk met teller 1,
1
1
1
1
bv. 2 (= de helft), 3 , 4 (= een kwart), 5 …
• Een tiendelige breuk is een breuk met noemer 10, 100, 1 000 …
1
• Een gemengd getal bestaat uit een geheel gedeelte en een breuk, bv. 4 2 .
Je kunt de notatie als gemengd getal op twee manieren vermijden:
1
1
- door en of plus te gebruiken: 4 en 2 of 4 + 2
9
- door met een onechte breuk te werken: 2 .
In het leerplan VVKBaO kiest men ervoor om geen gemengde getallen te
gebruiken. Als argument hiervoor geeft men dat deze notatie verwarring
kan opleveren in het secundair onderwijs met de puntnotatie van de
1
1
vermenigvuldiging (4 x 2 = 4 . 2 ).
In het leerplan OVSG kiest men wel voor de notatie met gemengde
getallen, omdat deze notatie veel bevattelijker is voor leerlingen. Wanneer
1
je bv. het getal 5 4 ziet, weet je onmiddellijk dat dat zich situeert tussen 5
21
en 6. Wanneer je de breuk 4 ziet, is dat minder voor de hand liggend.
32
GETALLENKENNIS
OEFENING
Vierde leerjaar
Schrijf het anders.
Ik wil
een hele pizza!
…
…
…
= 3 = 4 =
2
…
…
= 6 enzovoort.
5
1
7
6
=
van een pizza of
...
van een pizza
...
……
pizza en
……
pizza's en
of
…
…
…
…
van een pizza
van een pizza
• Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer, bv.
2
5
• Gelijkwaardige breuken zijn breuken met dezelfde waarde, bv.
b Gelijkwaardige breuken zoeken
• Een breuk verandert niet van waarde als je teller en noemer
vermenigvuldigt met eenzelfde getal (≠ 0).
We gebruiken deze techniek om breuken gelijknamig te maken.
• Een breuk verandert niet van waarde als je teller en noemer
deelt door eenzelfde getal (≠ 0).
Dat noemen we breuken vereenvoudigen.
Een breuk is onvereenvoudigbaar als je de teller en
de noemer niet meer kunt delen door eenzelfde getal (> 1).
Om bewerkingen uit te voeren met breuken, vereenvoudigen
we ze meestal vooraf.
OEFENING
Vierde leerjaar
Schrijf de breuk anders. Bekijk de figuren goed.
1
3
=
…
…
3
6
33
=
…
…
3
en 5 .
2
3
4
en 6 .
x 10
2
10
=
20
100
x 10
:2
2
10
=
:2
1
5
GETALLENKENNIS
c Breuken gelijknamig maken
We maken breuken gelijknamig om:
• ze bij elkaar op te tellen;
• ze van elkaar af te trekken;
• ze te vergelijken of te ordenen.
1
3
Voorbeeld: Maak 6 en 8 gelijknamig.
Algemene werkwijze:
Stap 1: Zoek de gemeenschappelijke noemer. Deze noemer is het
kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) van beide noemers.
kgv van 6 en 8 is 24; de gemeenschappelijke noemer is dus 24.
Stap 2: Zoek bij elke breuk de gelijkwaardige breuk met deze
gemeenschappelijke noemer.
1
3
Herleid 6 en 8 naar breuken met noemer 24.
1
6
=
4
24
en
3
8
9
4
;
24 24
=
en
4
24
zijn gelijknamige breuken.
d Breuken vergelijken
• Ongelijknamige breuken die niet dezelfde teller hebben, maak je eerst
gelijknamig om ze te kunnen vergelijken of te ordenen.
Voorbeeld:
2
3
en
10
15
>
3
5
2
3
;
9
15
=
; dus
2
3
10
15
>
en
3
5
=
9
15
;
3
5
In bijzondere gevallen is dat soms niet nodig. Zo kunnen we besluiten:
5
6
>
3
4
want
3
4
is
1
4
minder dan 1 en
5
6
is slechts
1
6
minder dan 1.
• Voor breuken met dezelfde noemer geldt:
hoe groter de teller, hoe groter de breuk, bv.
2
5
3
< 5.
• Voor breuken met dezelfde teller geldt:
hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk, bv.
1
9
<
1
7
;
5
9
5
< 7.
In de lagere school worden eerst breuken met dezelfde noemer of teller
vergeleken, en pas later ongelijknamige breuken die niet dezelfde teller
hebben.
OEFENING
Vierde leerjaar
Wat kan op de plaats van de vlek staan?
1
8
<
1
9
2
5
>
1
9
3
9
<
3
8
34
GETALLENKENNIS
DIDACTISCH LUIK
a Verschijningsvormen van breuken
We onderscheiden drie totaal verschillende situaties waarin breuken
voorkomen. In stijgende volgorde van abstractie:
De breuk als operator
3
Antonio eet 4 van een pizza.
In dit geval houdt de breuk een verdeelopdracht in: Antonio snijdt de pizza in
4 gelijke delen en eet er 3 van op.
Merk op: deze breuk kan ook ontstaan door 3 pizza’s te verdelen over 4 personen.
3
Elke persoon krijgt dan 4 pizza.
OEFENING
Derde leerjaar
Welk deel is weg? Welk deel blijft over?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
De breuk als verhouding
1
3
van de leerlingen is van allochtone afkomst.
Een kans van 1 op 2.
Zie ook blz. 223 e.v.
OEFENINGEN
Vierde leerjaar
Fietscontrole!
Na de fietscontrole schreef een politieagent in zijn verslag:
“1 op de 3 fietsen vertoont gebreken aan de remmen.”
Aan de school van Ineke werden 24 fietsen gecontroleerd.
Ongeveer hoeveel daarvan zullen niet in orde geweest zijn?
35
.....................................
GETALLENKENNIS
Aan de school van Patrick werden 18 fietsen gecontroleerd.
Ongeveer hoeveel daarvan zullen niet in orde geweest zijn? ....................................
niet in orde
........................
........................
........................
totaal aantal
........................
........................
........................
Vijfde leerjaar
We spelen darts …
Als je pijl in een zwart gedeelte belandt, scoor je.
Bij welke schijf heb je de meeste kans om te scoren?
Kans: ...
...
Kans: ...
...
De breuk als getal
Kans: ...
...
3
De breuk wordt hier beschouwd als het resultaat van een deling, nl. 4 = 3 : 4.
De breukstreep stelt dus het deelteken voor, zoals dat het geval is bij de
zakrekenmachine en een elektronisch rekenblad.
Hier wordt de eenheid als geheel beschouwd. De breuken worden opgevat
als gewone getallen die je kunt ordenen, op een getallenas plaatsen, optellen,
vermenigvuldigen …
b Aanbreng breukbegrip
Om het breukbegrip in te oefenen, geven we gevarieerde opgaven die
aansluiten bij de verschijningsvorm ‘de breuk als operator’, bv.
• een deel van het geheel benoemen met een breuk;
• als de breuk gegeven is, het bijbehorend deel van het geheel aanduiden.
OEFENING
Derde leerjaar
Vul aan. Kijk goed wat gevraagd wordt.
36
GETALLENKENNIS
UIT
IN
100
1
...
UIT
IN
UIT
IN
1
...
UIT
IN
...
1
2
10
1
7
4
Bij het werken met breuken is het aspect verwoording heel belangrijk. Laat
kinderen de breuk voldoende voluit lezen, bv. 3 van de 4 gelijke delen van het
geheel. Ook de bijbehorende begrippen moeten voldoende door de leerlingen
verwoord worden.
Bv. Wat vertelt de teller? Wat zegt de noemer? Toon hier eens het geheel.
Een goed inzicht in het breukbegrip geeft een stevige basis bij o.a. het
1
1
vergelijken van breuken. Het inzicht bv. dat 9 kleiner is dan 7 , omdat een
verdeling van het geheel in 9 gelijke delen kleinere delen geeft dan een
verdeling van datzelfde geheel in 7 gelijke delen.
c Breuken voorstellen
Het veelvuldig gebruik van materiaal is noodzakelijk bij breuken. Al te vaak
wordt snel overgeschakeld naar het abstracte niveau. Ook als het breukbegrip
al goed verworven is, kan het gebruik van materiaal om de concrete betekenis
van de breuk niet uit het oog te verliezen, nuttig zijn.
Er bestaan enkele didactische hulpmiddelen om breuken voor te stellen:
• Breukenschijven
Het geheel wordt voorgesteld door een volle schijf. Verder is er een schijf
die in 2 gelijke delen verdeeld is, een schijf die in 3 gelijke delen verdeeld is
…
37
GETALLENKENNIS
TIP: een breukenschijf maken met het programma Excel
• Maak een reeks aan van x dezelfde getallen.
Plaats bv. in 4 vakjes onder elkaar een 1.
• Selecteer deze reeks en voeg een cirkelgrafiek in.
Op het scherm krijg je een breukenschijf die in 4 gelijke delen verdeeld
is. Pas de kleuren aan als je dat wenst.
• Breukenladder
TIP: gebruik voor breukenfamilies
dezelfde of verwante kleuren als je ze
weergeeft met de breukenschijven en de
breukenladder.
• Breukstokken (= breekstokken)
Bovenstaand didactisch materiaal helpt om
verbanden tussen de breukenfamilies op te sporen,
1
2
3
2
zoals 3 = 6 en om breuken te vergelijken, bv. 4 > 3 .
Een te grote klemtoon op het concrete materiaal
leidt tot het aflezen van deze relaties. Om dat te
vermijden, moeten de leerlingen de relaties altijd
kunnen onderbouwen met een redenering.
Stel breuken ook voor met allerlei alledaags materiaal
en motiveer kinderen om breuken in werkelijkheid te zien.
2
5
3
4
5
8
1
4
2
3
4
4
Enkele tips bij het gebruik van materiaal
• Varieer het materiaal. Gebruik dus zowel breukenschijven als
alledaags materiaal.
Verdeel ook eens lengtes, inhouden, gewichten …
• Laat leerlingen steeds aanduiden wat het geheel is: de helft van
een grote appel is verschillend van de helft van een kleine appel.
38
GETALLENKENNIS
OEFENING
Derde leerjaar
Kleur tot waar de aapjes klommen.
d Soorten opgaven
Het type oefening dat het meest voorkomt (en het
gemakkelijkst is) bij breuken van een hoeveelheid, is:
3
van 20 is ……
Het deel is gevraagd.
5
Als uitbreiding worden soms ook oefeningen van de
volgende types aangeboden:
3
Het geheel is gevraagd.
12 is 5 van ……
De breuk is gevraagd.
…… van 20 is 12.
e De breukvragen
Geef leerlingen houvast als ze een breuk van een geheel of een hoeveelheid
(getal) nemen, door ze systematisch de volgende vragen te (laten) stellen.
3
5
van 20 = ……
• Wat is het geheel? Hoe groot is het geheel? (20)
• In hoeveel gelijke delen wordt het geheel verdeeld? (5)
• Hoe groot is één deel? (20 : 5 = 4)
• Hoeveel delen moeten we nemen? (3)
• Hoeveel is dat samen? (3 x 4 = 12)
3
Dus 5 van 20 is 12.
Gebruik deze vragen ook bij het manipuleren met materiaal.
f Het concrete, schematische en abstracte niveau
Bij het aanbrengen van breuken is het evident om dit principe toe te passen.
Voorbeeld:
3
4
van 20
Concreet niveau: leerlingen krijgen 20 flippo’s
en krijgen de opdracht
3
4
van dit aantal te nemen.
Schematisch niveau:
Vang
3
4
van de snoepjes in een kring.
Abstract niveau: 34 van 20 is ……
39
GETALLENKENNIS
OEFENINGEN
Derde leerjaar
Vul aan.
Er zijn 40 noten te verdelen.
1
De hamster krijgt 10 van de
noten, dus ...... noten.
6
De eekhoorn krijgt 10 van de
noten, dus ...... noten.
3
Ik hou 10 van de noten,
dus ...... noten, voor mezelf.
Er zijn 36 druiven te verdelen.
1
De mus krijgt 9 van de
druiven, dus ...... druiven.
3
De vink krijgt 9 van de
druiven, dus ...... druiven.
5
Ik ben gek op druiven. Ik hou 9 van de
druiven, dus ...... druiven, voor mezelf.
Zesde leerjaar
Welke koffie is het sterkst?
Reken uit. Orden van slap naar sterk en schrijf er een breuk bij.
apparaat 1
apparaat 2
Reken uit!
de slapste koffie
...
apparaat …
...
de op één na slapste koffie
...
apparaat …
...
de sterkste koffie
...
apparaat …
...
40
apparaat 3
GETALLENKENNIS
5 BEWERKINGEN MET BREUKEN
a Optellen en aftrekken met breuken
• Om gelijknamige breuken op te tellen, maak je de som van de tellers en
3
5
8
behoud je de noemer.
+4=4=2
4
• Om gelijknamige breuken af te trekken, maak je het verschil van de tellers
7
2
5
en behoud je de noemer.
–9=9
9
• Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken, maak je de breuken
3
2
9
8
17
eerst gelijknamig.
+ 3 = 12 + 12 = 12
4
b Vermenigvuldigen met breuken
Natuurlijk getal x breuk
Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je
de teller van de breuk met het natuurlijk getal en behoud je de noemer.
1
3
3x5=5
Breuk x natuurlijk getal of breuk x breuk
Een breuk nemen van een breuk of een getal, komt neer op het
vermenigvuldigen van beide.
1
1
2
1
2
1
van 30 = 2 x 30
van 2 = 3 x 2
2
3
Voorbeeld
Bewerking
Werkwijze
1
Oom Dagobert wint de lotto. Hij deelt 3 van dit geld uit aan
1
familie. Daarvan is 2 voor Donald. Welk deel van het geld krijgt
Donald?
1
2
van
1
3
=
1
2
x
1
3
We stellen de breuken voor via het rechthoekmodel.
1
1
1
Uit dit schema is duidelijk dat 2 van 3 = 6 .
Rechthoekmodel
Het geheel:
de lottowinst
1
3
van het geheel: de winst
voor de familie
41
1
2
1
van 3 van het geheel:
de winst voor Donald
GETALLENKENNIS
Op een analoge manier bepalen we het product van 2 willekeurige breuken,
3
2
bv. 4 van 5 .
We merken:
3
4
van
2
5
is
6
.
20
DIDACTISCH LUIK
Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de volgende regels
achtereenvolgens uit het rechthoekmodel afleiden:
• om twee stambreuken te vermenigvuldigen, volstaat het om de noemers te
vermenigvuldigen;
• om twee willekeurige breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de
tellers en vermenigvuldigen we de noemers.
Merk op: volgens de leerplannen hoeven de kinderen deze rekenregels niet
paraat te kennen.
c Delen met breuken
Breuk : natuurlijk getal
Voorbeeld De smurfen kopen een diepvriespizza die vooraf verdeeld is
in drie gelijke stukken. Elk stuk verdelen ze nog eens in 4.
Welk deel van de pizza is 1 klein stukje?
Bewerking
Werkwijze
1
3
:4=…
We stellen de verdelingen voor op het rechthoekmodel.
1
1
Uit dit schema is duidelijk dat 3 : 4 = 12.
Rechthoekmodel
Stap 1: verdeling in 3
Stap 2: elk deel verdeeld
in 4 delen
DIDACTISCH LUIK
Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de algemene regel uit het
rechthoekmodel afleiden: om een breuk te delen door een natuurlijk getal,
volstaat het de teller te behouden en de noemer te vermenigvuldigen met
dat getal.
42
GETALLENKENNIS
Natuurlijk getal: stambreuk
Voorbeeld
Koksmurf maakt pudding voor smurfendorp. Om een smurf te
1
bedienen, heeft hij 3 liter melk nodig. Hoeveel porties kan hij
maken met 4 liter melk?
Bewerking
Hoeveel keer gaat
Werkwijze
1
3
1
3
1
3
1
in 4 of hoeveel is 4 : 3 ?
gaat 3 keer in 1
x4
x4
gaat 12 keer in 4, dus 4 :
1
3
= 12
DIDACTISCH LUIK
Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de algemene regel afleiden:
om een natuurlijk getal te delen door een stambreuk, moet je dat getal
vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.
Merk op dat, wanneer de deler een breuk is, we in concrete situaties de
verhoudingsdeling
gebruiken. Bij het delen
door een breuk zien
de leerlingen dat het
quotiënt groter kan zijn
dan het deeltal!
OEFENING
Vierde leerjaar
Een toemaatje voor de echte breukenkampioenen!
leeftijd
0 - 19 jaar
20 - 39 jaar
40 - 59 jaar
60 - 79 jaar
80 of ouder
Welk deel van de bevolking is 40 jaar of ouder?
deel van
Schrijf de breuk zo eenvoudig mogelijk.
de Belgische
…… van de bevolking is 40 jaar of ouder.
bevolking
4
20
6
20
5
20
4
20
1
20
Welk deel is jonger dan 80 jaar?
van de bevolking is jonger dan 80 jaar.
……
Waar of niet waar? Meer dan de helft van de
bevolking is 60 jaar of ouder.
waar
niet waar
43
GETALLENKENNIS
- Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk,
vermenigvuldig je de tellers met elkaar
en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.
2
3
2x3
6
3
Voorbeeld: 5 x 4 = 5 x 4 = 20 = 10
- Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je
de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
2 3
2
4
2x4
8
Voorbeeld: 5 : 4 = 5 x 3 = 5 x 3 = 15
6 PERCENTEN
a Percentbegrip
Percent of procent betekent letterlijk ‘op honderd’ en wordt aangeduid met het
symbool %. In het woord percent herken je het Franse ‘cent’.
• In deze school heeft 12 % van de leerlingen leerachterstand.
12
Betekenis: 100 van de leerlingen, 12 leerlingen op 100 leerlingen
hebben leerachterstand.
• Op dit fototoestel betaal je 21 % btw.
21
Betekenis: Neem de prijs zonder btw en tel er 100 van de prijs bij om de
werkelijke prijs te kennen. Of nog: als het fototoestel 100 euro
zou kosten, zou je daarop 12 euro moeten bijbetalen, en betaal
je dus in totaal 112 euro.
b Berekeningswijze
Percent van een getal
Bv. Saïd verdiende deze vakantie 120 euro. Hij besteedt 15 % daarvan aan
een verjaardagscadeau voor zijn oom. Hoeveel kost het cadeau?
• Via een verhoudingstabel
:5
Cadeau (deel)
Totaal zakgeld (geheel)
15
3
18
100
20
120
• Via een pijlenvoorstelling
100
:5
15
:5
:5
20
3
x6
x6
120
x6
18
44
x6