Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse
§1. Netwerkanalyse
situering
analyseren van het netwerk
= achterhalen van werking, gegeven de opbouw
2 methoden
manuele methode
= reductie tot Thévenin- of Norton-circuit
zeer handig, toont werking
<-> niet altijd toe te passen
systematische methode
= opstellen van n vergelijkingen met n onbekenden
altijd toe te passen
doel
netwerkgrootheden bepalen
gegeven: gekende netwerkelementen en hun parameters
gegeven: structuur (interconnecties)
-> stromen in alle takken bepalen
-> potentiaal op alle knopen bepalen (t.o.v. referentie)
vereenvoudiging: lineaire netwerken
geven lineair verband tussen netwerkgrootheden en bronwaarden
<-> niet-lineaire netwerken
ingewikkelder, meerdere oplossingen, …
meestal werken rond werkpunt (schatting)
+ klein interval als lineair beschouwen
= ‘incrementele analyse’
1
Tim De Backer 2009-2010
H3
§2. Manuele methode
principe
generiek analyseprobleem
gegeven lineair weerstandsnetwerk
selecteer willekeurig netwerkelement
bepaal stroom erdoor en spanning erover (t.o.v. referentie)
voor alle takken in netwerk
=> volledige analyse
<-> meestal maar voor enkele gevraagd
systeem
knip de weerstand eruit + vervangen door 2 klemmen
vereenvoudig netwerk tot Norton- of Thévenin-equivalent (steeds mogelijk)
sluit beschouwde weerstand terug aan
-> grootheden meteen af te lezen (vb. stroomdeler/spanningsdeler)
methode
1. knip de te beschouwen weerstand uit
= vervang door twee klemmen
2. bepaal inwendige weerstand v/h resterend netwerk
= alle bronnen op 0 + serie/parallel/driehoek-ster
3. bepaal openklemspanning van elke bron erin
= alle bronnen behalve 1 op 0 zetten
+ reduceren
4. tel die openklemspanningen op (superpositie)
dus stap 3 voor elke bron + optellen
5. combineer vergelijkingen
= bepaal snijpunt
2
Tim De Backer 2009-2010
H3
bepalen inwendige weerstand
systeem
1. zet alle bronnen op 0
-> spanningsbron 0V = kortsluiten
-> stroombron 0A
= openknippen
gevolg: enkel nog weerstanden
2. vereenvoudig netwerk
serieschakelingen
parallelschakelingen
ster-driehoektransformatie
serieschakeling
met
want wetten van Kirchoff moeten blijven gelden
->
constant houden
parallelschakeling
met
van
want wetten van Kirchoff moeten blijven gelden
->
constant houden
3
Tim De Backer 2009-2010
H3
ster-driehoektransformatie
beschouwd 3 weerstanden tegelijk
equivalente netwerken als geldt:
(= weerstanden tussen klemmenparen gelijk)
uitwerking stelsel naar
uitwerking stelsel naar
voorbeeld
4
Tim De Backer 2009-2010
H3
openklemspanning of kortsluitstroom bepalen
netwerken met meerdere bronnen
superpositiebeginsel
‘openklemspanning die volgt uit aanwezigheid van alle bronnen is de som
van de openklemspanningen die resulteren uit alle bronnen afzonderlijk,
dus met alle andere bronnen op nul’
praktisch
beschouw methode netwerken met 1 bron voor alle bronnen afzonderlijk
tel de openklemspanningen op
netwerken met afhankelijke bronnen
praktisch
doe analyse alsof bronnen onafhankelijk zijn
systeem netwerken met meerdere bronnen
(voor elke bron apart + superpositie)
elimineer afhankelijke bronnen in bekomen vergelijking
= in superpositie van analyses
vervangen door afhankelijkheidsvergelijking
netwerken met één bron
vereenvoudig opnieuw netwerk
analoog bepaling interne weerstand
op einde extra regels nodig
verwaarloosbare weerstanden
spanningsdeler en stroomdeler
verwaarloosbare weerstanden
spanningsbron +
parallelle weerstand
stroombron +
serieweerstand
spanningsdeler
inwendige weerstand:
(stel bron op 0V = kortsluiten)
openklemspanning:
(
en spanningsdeler)
5
Tim De Backer 2009-2010
H3
stroomdeler
inwendige weerstand:
(stel bron op 0A = openknippen)
kortsluitstroom:
(
en stroomdeler)
nonsensnetwerken
zinloze netwerken (analyse geen zin)
twee verschillende spanningsbronnen in parallel
twee verschillende stroombronnen in serie
onbepaalde netwerken (antwoord onbepaald)
kortsluitstroom ideale spanningsbron
openklemspanning ideale stroombron
voorbeeld
6
Tim De Backer 2009-2010
H3
§3. Systematische methode
principe
generiek analyseprobleem
gegeven netwerk (lineair of niet-lineair, statisch of dynamisch)
bepaal stroom door en spanning over alle netwerkelementen
dus onbekenden
stelsel van vergelijkingen opstellen
numeriek laten uitwerken
=> waarden
symbolische analyse
=> informatie over gedrag netwerk
vergelijkingen opstellen
vele methoden
vb. knooppuntenmethode (universeel toepasbaar)
knooppuntenmethode
1. kies referentieknoop (potentiaal 0)
2. groepeer knopen verbonden met ideale spanningsbron in ‘superknopen’
kies 1 knoop als hoofdknoop
andere knopen in superknoop verschillen met gekende constante
steeds meteen elimineren in vergelijkingen
= vervangen door ‘hoofdknoop + constante’
3. kies potentialen
op de onbekende (super)knopen als onbekenden
4. stel voor elke (super)knoop met onbekende potentiaal vergelijking op:
* voor elke tak aan knoop toekomende stroom berekenen
stroom in functie
onbekende potentialen
parameters netwerkelementen
opm.: bij tak met stroombron waarde van stroombron nemen
* som van alle toekomende stromen aan knoop is nul
wegens knooppuntwet van Kirchoff
5. los stelsel van de verkregen vergelijkingen op
=> potentialen bekend
6. bepaal alle stromen door de componenten
adhv gevonden potentialen + parameters netwerkelementen
7
Tim De Backer 2009-2010
H3
voorbeeld
8
Tim De Backer 2009-2010
H3
§4. Netwerken met spoelen en condensatoren
niet-lineaire en dynamische netwerken
oplossingsmethode niet-lineaire netwerken
knooppuntenwet van Kirchoff blijft gelden
<-> stromen naar knoop ifv onbekende potentialen
zijn niet-lineaire functies
gevolg: niet-lineair stelsel
=> complex + meerdere oplossingen mogelijk
oplossingsmethode lineaire dynamische netwerken
knooppuntenwet van Kirchoff blijft gelden
<-> stromen op knoop ifv onbekende potentialen
zijn lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten
in de tijd
spoelen en condensatoren in de systematische methode
stroom-spanning-verbanden
condensator
spoel
met
cte beginwaarde stroom bij
opstellen vergelijkingen
enkel condensatoren
-> differentiaalvergelijking 1e graad
enkel spoelen
-> integraalvergelijking
oplossen: afleiden -> differentiaalvergelijking 1e graad
spoelen én condensatoren
-> integro-differentiaalvergelijkingen
oplossen: afleiden -> differentiaalvergelijking 2e graad
beginvoorwaarden
zeer belangrijk
aanname
alle bronnen op voor
gevolg: stromen door spoelen op zijn 0 op
gevolg: spanningen over condensatoren zijn 0 op
+ ook op
9
Tim De Backer 2009-2010
H3
voorbeeld
RC-circuit
beginvoorwaarden
we willen geen spanning over de condensator
=>
bron maakt sprong van V naar V van net na 0
=>
(met
de stapfunctie)
gedrag
1. eerst volle spanning over weerstand
want links en rechts nog 0
=> grote stroom
2. spanning over condensator opgebouwd
want door stroom door weerstand stijgt
=> spanningsverschil daalt over en stijgt over
eerst snel, dan steeds trager (zie grafiek)
=> stroom daalt gelijklopend
analyse systematische methode
V (t)  v1 (t) Cdv1 (t)

0

R
dt


V (t)  V0U(t)

v (0)  0

 1
t


v1 (t)  V0U(t)(1 e RC )
 
t
 i(t)  V0U(t) e RC

R
tijdsconstante
: hoe kleiner, hoe sneller circuit eindwaarde bereikt
<-> bij RL circuit:



energie om condensator op te laden
  V U (t )  i (t )dt  CV 2
B
helft warmteverlies
helft opgeslagen in condensator
onafhankelijk van !!

0
0
0

1
0
2

1
 R   R  i 2 (t )dt  CV02
0
2
 C   v1 (t )  i (t )dt  CV02
gedrag bij terugkeer naar
vertrek van situatie
en
= stabiele situatie <-> eigenlijk maar bereikt in oneindig!
energie
bron geeft/neemt geen energie meer (
)
vrijgekomen energie uit condensator volledig weg in
gevolg
*op+ontladen van condensator kost bron
energie
*onafhankelijk van + alle energie warmteverlies
10
Tim De Backer 2009-2010
H3
§5. Lineaire netwerken in sinusregime
eigenschap netwerken met sinusoïdale bron
stelling
alle netwerkgrootheden in een netwerk dat aangestuurd wordt met
één sinusvormige stroom of spanning zijn:
of: zelf sinusvormig, met zelfde frequentie als bron
of: worden onbeperkt groot
(enkel bij perfecte elementen <-> realiteit)
uitbreiding door Fourierontbinding
elke periodieke bron kan als superpositie
van sinussen en cosinussen geschreven worden (Fourierreeks)
=> netwerkgrootheden aangestuurd door die bron bepalen:
1. voor elk van de sinusvormige signalen in bepalen
2. superpositie toepassen
gevolg: Fourierontbinding van de netwerkgrootheden meteen gekend!
gevolg
sinusgrootheid
met gekende frequentie
heeft slechts twee onbekenden
amplitude
fase
en bepalen gemakkelijk
analoog met weerstandsnetwerken
t.o.v. differentiaalvergelijkingen
fasorvoorstelling
situering
wet van Euler
toegepast
afleiding
voorstelling van sinusoïdale spanning
tijdsonafhankelijkheid
en
is gekend en gelijk voor gans het netwerk
=>
bepaalt gedrag
fasorvoorstelling
sinusoïdale spanningsfunctie
grafisch: vectoren in complexe vlak
voorstellen door fasor
11
Tim De Backer 2009-2010
H3
impedanties
situering
we werken met fasorvoorstelling
=> tijdsafhankelijkheid weggestoken in complexe getallen
=> ook bij dynamische elementen ‘constante’ (complexe) coëfficiënten
algemeen verband tussen stroomgedrag en spanningsgedrag
met
statische componenten
impedantie
de impedantie in
constant i/d tijd (reëel + onafhankelijk van )
weerstand
verband in sinusregime
fasorvoorstelling
(spanning en stroom zelfde hoek)
impedantie
condensator
verband in sinusregime
fasorvoorstelling
(stroom ijlt 90° voor op spanning, want
)
impedantie
spoel
verband in sinusregime
fasorvoorstelling
(stroom ijlt 90° na op spanning, want
)
impedantie
12
Tim De Backer 2009-2010
H3
netwerkvergelijkingen met fasoren
eigenschap
‘fasor van som van sinusoïdale signalen met gelijke pulsatie
is de som van hun fasoren’
gevolg
Wetten van Kirchoff gelden ook voor fasorvoorstelling
want werken met sommen van stromen en spanningen
parallelschakeling van en
serieschakeling van
en
netwerkanalyse met fasoren
volledig analoog aan weerstandsnetwerken
<-> met complexe getallen i.p.v. reële getallen
volledige symbolische analyse mogelijk
<-> voor numerieke analyse herevaluatie voor elke
Bodediagram
voorstelling voor gedrag van netwerkgrootheden
ifv pulsatie of frequentie
adhv hun twee parameters en
amplitudediagram
op logaritmisch-logaritmiche schaal
in dB relatief t.o.v. referentiewaarde
fasediagram
op linear-logaritmische schaal
in graden
13
Tim De Backer 2009-2010
H3