Getallen zijn je beste vrienden

Getallen zijn je beste vrienden
Vincent van der Noort
Getallen zijn je beste vrienden
Ontboezemingen van een nerd
Athenaeum—Polak & Van Gennep
Amsterdam 2011
E7
E8
C1
B3
A3
E4
E1
A1
D2
A2
B2
D1
E2
E5
D3
B1
C2
E3
C3
E6
Inhoudsopgave
7
Wat is dit voor boek?
9
A1
E1
D1
E2
C1
C2
E3
D2
E4
B1
A2
E5
B2
A3
E6
B3
D3
E7
C3
E8
28
50
57
70
87
102
117
120
136
148
158
175
187
196
226
241
251
264
272
293
299
305
307
309
Getallen zijn je beste vrienden
Fibonaccigetallen en de gulden snede
Wiskunde en vissen
Met de vierdimensionale kubus de diepte in
Spelletjes
Passer- en latjeconstructies
Afstanden
Zeepsop en slijm
Complexe getallen
Wat betekent bestaan in de wiskunde?
Symmetrie
Mooie dingen waar niemand om gevraagd heeft
Wiskunde en onbegrip
Kansrekening
Kepler en de computer
Wat is een getal?
Wiskunde en muggen
Quaternionen
Wiskunde en kunst
Alles heeft met alles te maken
Appendix voor diehards
Noten
Bibliografie
Voor wie meer wil lezen
Dankwoord
Wat is dit voor boek?
Dit is een boek over wiskunde. Niet de wiskunde die u volgens het
College voor Examens het hardste nodig hebt in uw leven. Het is een
verzameling verhalen die ik de afgelopen tien jaar aan mensen op
feestjes en in de trein verteld heb om mijn fascinatie voor wiskunde
over te brengen. De ruggengraat van dit boek wordt gevormd door
acht hoofdstukken die evenzoveel totaal verschillende leuke aspecten van wiskunde beschrijven en die uiteindelijk in het achtste hoofdstuk (Alles heeft met alles te maken) op een onverwachte manier
allemaal bij elkaar komen. Naast die acht hoofdstukken, die het
Eigenlijke verhaal (E) vormen, zijn er drie hoofdstukken vol Andere
leuke wiskunde (A), die natuurlijk niet mag ontbreken, drie hoofdstukken met filosofische Bespiegelingen of Beschouwingen (een wiskundige zou zeggen: Betekenisloze Beweringen) (B), drie hoofdstukken onder het kopje Creatief met wiskunde (C) en drie hoofdstukken
over de fascinerende interactie tussen wiskunde en Dieren (D). Op
pagina 4 is de inhoudsopgave weergegeven in de vorm van een kubus. De acht E-hoofdstukken staan op de hoekpunten, de andere
hoofdstukken op de ribben. De kubus kan als volgt worden gelezen.
De hoofdstukken aan de voorkant van de kubus gaan over tastbare
dingen, de hoofdstukken in het achterste vlak over dingen die iets
meer inlevingsvermogen vergen. Het linkervlak van de kubus gaat
over dingen die vaststaan, die zijn zoals ze zijn, of u dat nou leuk vindt
of niet; het rechtervlak gaat over zaken waarover een hevig debat
woedt of gewoed heeft. De bovenkant van de kubus ten slotte is meer
algebraïsch van aard, de bodem is meer meetkundig.
Alle hoofdstukken hebben hun eigen thema, en ze zijn dus redelijk
goed los van elkaar te lezen. Er zijn wel verbanden. Aan het eind van
ieder hoofdstuk is bijvoorbeeld aangegeven in welke andere hoofdstukken meer te vinden is over bepaalde onderwerpen die even daarvoor aan de orde zijn geweest. Het kan ook geen kwaad het boek van
7
begin tot eind te lezen – er is wel degelijk nagedacht over de volgorde.
Tot slot een waarschuwing. In tegenstelling tot wat in wiskundeboeken gebruikelijk is, is niet alles wat ik zeg letterlijk waar. De wiskunde
in dit boek is over het algemeen betrouwbaar, maar waar het op de
weergave van historische gebeurtenissen aankomt heb ik kwistig het
principe gehanteerd dat je een goed verhaal niet kapot moet checken.
8
A1 Getallen zijn je beste vrienden
‘Veel getallen zeker?’ is de vraag die vaak gesteld wordt als ik vertel
wat ik doe. ‘Was het maar waar,’ zou ik willen zeggen. De meeste wiskunde is mooi en meeslepend, maar ook abstract en ongrijpbaar. Als
je als wiskundige af en toe de kans krijgt iets over gehele getallen te
zeggen is dat altijd een bron van vreugde. Getallen zijn immers je
beste vrienden. Die ken je al vanaf je vroegste jeugd. Je weet hoe ze
denken, wat ze voelen en wie ze zijn. Heel anders dan al de ingewikkelde wiskundige concepten die je je in de rest van je leven met pijn
en moeite een beetje eigen gemaakt hebt.
Die intimiteit met getallen is niet voorbehouden aan wiskundigen.
De meeste mensen praten er niet meer over als ze eenmaal geen acht
meer zijn, maar volgens mij heeft iedereen, daterend uit zijn vroege
jeugd, nog wel bepaalde onverklaarbare beelden of associaties bij
getallen: dat even getallen rond zijn en oneven vierkant (of andersom), of oneven getallen blauw en even rood, of oneven mannelijk
en even vrouwelijk, of andersom. Dat sommige getallen sympathiek
zijn en andere arrogant of juist mysterieus. Ik sprak ooit een meisje
dat een hekel had aan het getal 1 omdat het overal maar als eerste en
belangrijkste bij staat zonder ooit echt iets gepresteerd te hebben en
een jongen die vond dat getallen met veel zevens erin, zoals 77, meer
zelfvertrouwen uitstraalden dan andere getallen. Een vrouw hield van
het getal 63, maar had het gevoel dat het getal háár had uitgekozen
in plaats van andersom: op belangrijke momenten in haar leven dook
het steeds weer op.
Hoe kleiner de getallen, hoe sterker de meningen erover. Het getal
3 kan zich in een zekere populariteit verheugen, over 5 zijn de meningen een beetje verdeeld. Sommige mensen vinden 5 maar een naar,
arrogant mannetje, anderen zien er een ongenaakbare schone jonkvrouw in of een betrouwbare vriend met wie je een gezellige avond in
de kroeg kunt doorbrengen. Hoe meer mensen je erover spreekt, hoe
9
meer je merkt dat je eigen associaties en gevoelens bij getallen eigenlijk volstrekt willekeurig zijn. En hoe leuk het is om daar na al die jaren
weer eens over na te denken. Ik raakte ooit in een discussie verwikkeld met een vriendin die meende dat oneven getallen vrouwelijk zijn
en even getallen mannelijk. Ik denk al mijn hele leven dat het juist
andersom is (waarom weet ik niet). Zij was ervan overtuigd dat ik
ergens een denkfout gemaakt moest hebben: oneven getallen zijn
immers veel grilliger en mooier en mysterieuzer? Ik had wat moeite
om haar duidelijk te maken dat in mijn wereld van vijfjarige de archetypische femme fatale geen rol van betekenis speelde.
Toch krijg ik uit mijn volkomen niet-wetenschappelijke onderzoekje naar associaties die mensen met gehele getallen hebben de
indruk dat er wel een paar vage ‘rode lijnen’ te zien zijn, bijvoorbeeld
dat deelbaarheid een rol speelt in de manier waarop mensen getallen
beoordelen. Een getal met veel delers, zoals 24, wordt over het algemeen gezien als sympathiek, een beetje saai misschien, maar dan op
een goede manier, als een soort oude, vriendelijke sint-bernardshond. Getallen met heel weinig delers, bijvoorbeeld 7, 13 of 23, lijken
eerder eigenwijs, mysterieus, stoer of gevaarlijk. Getallen die daar
een beetje tussenin zitten (qua hoeveelheid delers) zoals 26, 34 en
58, daarover lijkt niemand een mening te hebben. Het zijn de grijze
voorbijgangers die je elke dag bij de bushalte ziet staan zonder ze
ooit echt op te merken.
Zoals gezegd vind ik het een beetje jammer dat mensen niet vaker
over dit soort irrationele associaties met getallen praten. Een paar
duizend jaar geleden was dat wel anders. Pythagoras (ca. 570-490
v.Chr.), tegenwoordig vooral bekend van de Stelling van Pythagoras
(over driehoeken), groeide door zijn vele reizen, charisma en retorisch
talent tegen het eind van zijn leven uit tot wat we tegenwoordig een
sekteleider zouden noemen. Zijn volgelingen, de Pythagoreërs, vormden ook na zijn dood een hechte religieuze gemeenschap die nadacht
over wiskunde, geen vlees at en behoorlijk ver ging om de (wiskundige) ontdekkingen van de broederschap voor de buitenwereld
geheim te houden, tot als-schipbreuk-gecamoufleerde-moorden aan
toe. Maar in alles komt uiteindelijk de klad, en zo is er in de loop der
eeuwen toch het een en ander over de broederschap der Pythago-
10
reërs uitgelekt. Ik kan u nu zonder gevaar voor eigen leven vertellen
dat de kern van hun religie bestond uit getallen.
Die vereerden ze als iets heiligs. De Pythagoreërs meenden dat de
natuur op het diepste niveau uit getallen bestaat. Vooral kleine getallen stonden symbool voor van alles en nog wat. Zo stond 1 voor de
rede, 4 voor rechtvaardigheid, 5 voor het huwelijk omdat het de verbinding symboliseerde tussen 2, het kleinste even, en 3, het kleinste
oneven getal (waarom 1 niet als oneven telde is mij ook een raadsel)
en 7 voor de godin Athene. Bijzondere verering was weggelegd voor
vierkantsgetallen en driehoeksgetallen, getallen die je in een vierkant
of een driehoek kunt tekenen, zie de plaatjes hieronder.
1
4
9
16
6
10
Figuur 1
1
3
1
Figuur 2
De vierkantsgetallen, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … zijn vandaag de dag
beter bekend als kwadraten: je krijgt het n-de (wiskundeslang voor
zoveelste) door het getal n met zichzelf te vermenigvuldigen: het
11
1
tweede vierkantsgetal is 4 want 2 keer 2 is 4, het derde vierkantsgetal is 9 want 3 keer 3 is 9, het twaalfde vierkantsgetal is 144 want 12
keer 12 is 144 en zo verder.
De eerste driehoeksgetallen zijn 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... en
wie even naar de rij kijkt, ziet al gauw wat de regelmaat is en hoe het
verdergaat. Het is leuk om te weten dat een bepaald getal een vierkants- of driehoeksgetal is, het geeft een ogenschijnlijk saai getal als
55 toch wat meer allure (en een getal als 36, dat zowel een vierkantsals een driehoeksgetal is, al helemaal!).
Een moeilijkere vraag is of we ook kunnen berekenen wat het
zeventiende of het honderdste driehoeksgetal is zonder alle driehoeksgetallen ervóór ook uit te rekenen. Als we ons favoriete getal
even n noemen, is het n-de vierkantsgetal gelijk aan n keer n oftewel
n2, zagen we hierboven. Zo’n mooie formule zouden we voor de driehoeksgetallen ook wel willen. En we hebben geluk: die bestaat ook.
Hij staat aan het eind van dit hoofdstuk in de rubriek Gauss Gauss
Gauss.
De schoonheid van driehoeks- en vierkantsgetallen valt echter in
het niet bij de majesteitelijke uitstraling van de zogeheten perfecte
getallen, eveneens een ontdekking van de Pythagoreërs. Of een getal
wel of niet perfect is, wordt bepaald door zijn delers, dat wil zeggen:
de getallen waar je het getal door kunt delen met als uitkomst een
geheel getal. 15 is bijvoorbeeld deelbaar door 1, 3 en 5 (en door zichzelf, maar dat vinden we niet zo’n interessante observatie), en als je
die getallen optelt krijg je 9. Tja. 24 is deelbaar door een hoop meer
getallen: 1, 2, 3, 4, 6, 8 en 12, opgeteld 36. Hm. Het getal 23 is deelbaar door 1, opgeteld 1. Al met al lijkt dat uitrekenen van delers nog
wel aardig: het aantal delers van een getal kan blijkbaar sterk verschillen. Maar dat optellen lijkt een tamelijk zinloze toevoeging.
Toch deed Pythagoras dat, en hij ontdekte een bijzondere eigenschap van het getal 28: de delers van 28 zijn 1, 2, 4, 7 en 14, en als je
die bij elkaar optelt krijg je weer 28! Om die reden noemde hij 28 perfect. 28 en zijn delers leven samen in een perfecte wereld, waarin ze
niemand anders nodig hebben. Het geheel is gelijk aan de som der
delen: het getal 28 herrijst als een feniks uit zijn eigen as. Een ‘kleiner’ voorbeeld van een perfect getal is 6. 6 is deelbaar door 1, 2 en 3
12
en 1 + 2 + 3 = 6. Als u nu enthousiast geworden bent en zelf ook op
zoek wilt naar andere voorbeelden moet ik u wel waarschuwen dat
perfecte getallen (zoals alle perfecte zaken in het leven) extreem zeldzaam zijn: onder de duizend is er naast 6 en 28 nog maar één andere
en onder de tienduizend zijn er nog maar twee.[1]
In zijn zoektocht naar meer volmaakte getallen stuitte Pythagoras
op twee getallen die op een bepaalde manier nóg mooier zijn: 220 en
284. Als je de delers van 220 opschrijft, vind je 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,
44, 55 en 110 en deze tellen op tot 284. Tot zover niks bijzonders.
Maar de delers van 284 zijn 1, 2, 4, 71 en 142 en die tellen op tot 220!
De getallen 220 en 284 lijken dus aan elkaar te denken – ze zijn in de
eerste plaats elkaars beste vrienden. Pythagoras noemde deze getallen ‘bevriende getallen’ en zei zijn leerlingen er een voorbeeld aan te
nemen. ‘Wat is een vriend? Een vriend is een andere ik, zoals met 220
en 284.’ Door de eeuwen heen hebben dergelijke getallen veel mensen geïnspireerd. In de middeleeuwen gaven diverse Arabische schrijvers hun lezers de volgende tip: als u bij iemand in het gevlei wilt
komen, schrijft u op twee stukjes papier de getallen 220 en 284. Het
ene eet u zelf op, het andere prakt u stiekem door het eten van de
ander. Het opeten van deze bevriende getallen komt uw relatie zeker
ten goede! Ook gaat het verhaal dat geliefden in het middeleeuwse
Europa vaak een kettinkje droegen met daaraan een stukje hout met
een getal erin gekerfd: bij de ene geliefde 220 en bij de andere 284.
Een stuk romantischer dan die stomme halve hartjes die je tegenwoordig vaak ziet.
In de loop der eeuwen zijn er een hoop andere paren bevriende
getallen gevonden. Sommige wiskundigen ontwikkelden zelfs min of
meer systematische manieren om ze te vinden. Het eerstvolgende
tweetal dat ontdekt werd, in de negende eeuw, was 17296 (met delers
1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188, 368, 376, 752, 1081, 2162,
4324 en 8648) en 18416 (met delers 1, 2, 4, 8, 16, 1151, 2302, 4604 en
9208). In de negentiende eeuw waren er al een stuk of zestig van dit
soort paren bekend toen een zestienjarige jongen, Nicolo Paganini,
opeens het kleinste paar na 220 en 284 vond: 1184 en 1210.[2] Vanwege de jeugdige leeftijd van de ontdekker liggen de grappen voor
de hand: het beeld rijst op van een eenzame, ongelukkige jongen die
13
tot zijn ontsteltenis moet ontdekken dat zelfs zijn beste vrienden, de
getallen, nog méér vrienden hebben dan hij. Aan de andere kant: hoe
cool had u het niet gevonden als u zelf op zestienjarige leeftijd iets
ontdekt had wat alle grote wetenschappers voor u met hun domme
kop over het hoofd gezien hadden? Precies. Hoe Paganini deze getallen gevonden heeft, nam hij overigens mee in zijn graf.
Paganini zou tegenwoordig weinig kans meer maken: met hun
brute rekenkracht hebben computers alle paren getallen onder de
honderd biljoen (1014) gecontroleerd op vriendschap, en daarbij zijn
39374 paren bevriende getallen gevonden. In totaal zijn er inmiddels
bijna twaalf miljoen paren bevriende getallen bekend. Gek genoeg
zitten daarbij geen paren waarvan het ene getal even en het andere
oneven is. Kennelijk kunnen de families van even en oneven getallen
elkaar niet luchten of zien. Maar zoals we uit de geschiedenis weten,
bloeit er soms toch iets moois op tussen een lid van de ene familie en
de andere. Dat de eerste honderd biljoen getallen het niet aandurven
zegt nog niks over de volgende oneindig. Misschien ontdekt een
moderne Paganini morgen wel zo’n Romeo-en-Juliapaar.
Eeuwige liefde
Hoe mooi vierkants- en driehoeksgetallen en bevriende en perfecte
getallen ook zijn, er is een soort getallen dat de gemoederen van de
mensheid al eeuwen meer bezighoudt dan welke andere soort dan
ook. Getallen waar iedereen van houdt, maar tegelijkertijd een beetje
bang voor is, als een straatmuzikant die de ene na de andere betoverende melodie uit zijn viool tovert maar heel hard en onsamenhangend begint te schreeuwen als je te dichtbij komt: de priemgetallen.
Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat alleen maar deelbaar is
door 1 en zichzelf. De eerste vijfentwintig priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89 en 97. Vijf andere willekeurig gekozen priemgetallen zijn 113, 1871,
161773, 5068691 en 6036092681. Door hun gebrek aan bemoeienis
met andere getallen hebben priemgetallen iets ongenaakbaars, iets
onsympathieks misschien zelfs. Toch krijg ik de indruk dat mensen
het ook wel stoer vinden, zeker van de grotere priemgetallen, dat ze
zich niet laten inpakken door al die kleinere getallen waar ze deel-
14
baar door hadden kunnen zijn, maar stug hun eigen plan blijven trekken. Zo’n 67, hij doet het toch maar mooi daar in zijn eentje.
De magie van priemgetallen zit erin dat ze onvoorspelbaar zijn. Ze
komen en gaan wanneer ze willen en slaan toe wanneer je ze het
minst verwacht. Als je over de getallenlijn loopt kan het zomaar
gebeuren dat het volgende getal een priemgetal is. Meestal gebeurt
dat echter niet. Als u in 1952 geboren bent, hebt u uw hele jeugd moeten doorbrengen zonder ooit in een priemjaartal te leven: pas in 1973
was het zover. Als u daarentegen geboren bent in 1986 dan denkt u
misschien dat priemjaartallen heel normaal zijn: 1987 was meteen al
‘priem’, en snel daarna 1993, 1997, 1999 en 2003 (en in 2011 is het
alwéér raak). Ook in andere stukken van de getallenlijn is er weinig
peil op te trekken. De priemgetallen tussen 1 miljoen en 1 miljoen plus
100 bijvoorbeeld zijn 1.000.003, 1.000.033, 1.000.037, 1.000.039,
1.000.081 en 1.000.099 – niet echt gelijkmatig verdeeld dus.
Een formule waar je een getal n in stopt en waar het n-de priemgetal uitkomt (zoals we voor vierkants- en driehoeksgetallen hebben)
was ooit de heilige graal van de wiskunde, maar al enige honderden
jaren geleden gaf de laatste optimist de hoop op dat zo’n formule
bestaat. Ook variaties erop, zoals een recept om uit een gegeven
priemgetal het volgende (of überhaupt een groter) priemgetal te
maken worden tegenwoordig geschaard in hetzelfde rijtje als het
recept om goud uit lood te maken en het recept voor de eeuwige
jeugd. Iets bescheidener formules, waar je een getal n in stopt en
waar altijd een priemgetal (maar niet noodzakelijk het n-de) uitkomt,
bestaan wel, maar zijn zonder uitzondering heel flauw. (Zoals de formule die, ongeacht wat je erin stopt, altijd het getal 17 uitspuugt.)
Is er echt niets over te zeggen? Nou ja, met een beetje gevoel voor
logica ligt het voor de hand te denken dat naarmate de getallen groter worden, priemgetallen steeds zeldzamer worden. Twee en drie
moeten wel priem zijn omdat er domweg geen kleinere getallen zijn
waardoor je ze zou kunnen delen. Tegen de tijd echter dat we in de
miljarden zijn aangekomen zijn er zo veel kleinere getallen dat je als
getal wel erg goed je best moet doen om niet per ongeluk toch door
eentje deelbaar te zijn. Deze redenering is natuurlijk niet bepaald precies, maar is dat wel te máken. De statistieken geven ons gelijk: tus-
15
sen de 0 en de 100 is een kwart van alle getallen priem, tussen 2000
en 2100 nog maar veertien van de honderd en tussen 1.000.000 en
1.000.100 nog maar zes. Priemgetal zijn, je eigen race blijven lopen
zonder te zwichten voor de verleidingen van kleinere getallen, wordt
kortom steeds moeilijker.
En toch, in weerwil van deze ijskoude logica duiken er om de
zoveel tijd twee getallen op die zich niks van alle tegenslagen aantrekken en zo dicht mogelijk bij elkaar blijven. 3 en 5, 5 en 7, 11 en
13, 17 en 19, 29 en 31, 41 en 43, 59 en 61, 71 en 73, 101 en 103:
ondanks dat de kans steeds kleiner wordt een priemgetal te zijn én
hoewel de gaten tussen de priemgetallen steeds groter worden blijven ze bij elkaar, omdat ze zo veel van elkaar houden. Het mooiste
is dat dit verschijnsel nooit ophoudt. Ook in de miljoenen en de
miljarden blijven dergelijke paren priemgetallen, priemtweelingen
genaamd, opduiken. 1949 en 1951; 21091979 en 21091981 of
123455999 en 123456001: samen staan ze sterk, niemand kan ze uit
elkaar drijven. Het is een prachtig idee: liefde overwint alles.
De grootste bekende priemtweeling op het moment van schrijven
is 65516468355·2333333 – 1 en 65516468355·2333333 + 1. Het paar
werd ontdekt in 2009. De vreemde manier van opschrijven is om
ruimte besparen: 2333333 betekent 2 keer 2 keer 2 keer 2 ... en dat
dan 333333 keer – een getal van 100343 cijfers. Dit wordt dan nog
eens vermenigvuldigd met 65516468355 om het even getal tussen de
tweelingen in te vinden. Het gevolg is dat beide priemgetallen 100355
cijfers lang zijn – ze eindigen respectievelijk op 6159 en 6161.
Telkens als er weer een nieuwe priemtweeling ontdekt wordt is dat
goed voor een eenregelig berichtje in de krant. Terecht, want als je er
te lang niets over hoort ga je toch twijfelen. Zou het hier ophouden?
Zouden er boven een bepaald getal met, zeg, een miljoen cijfers geen
priemgetallen meer zijn die het voor elkaar krijgen zo dicht bij elkaar
te komen? Overwint liefde wel echt alles of nemen de kwade machten
het uiteindelijk toch over?
Het gekke is namelijk dat we niet zeker weten of het wel oneindig
lang zo doorgaat. Ondanks dat de mensheid daar al eeuwen over
nadenkt is er niemand die een sluitend antwoord heeft kunnen geven.
De meeste mensen geloven wel dat er oneindig veel priemtweelingen
16
bestaan, maar het blijkt heel moeilijk dat echt te bewijzen.
Dat brengt ons op een andere romantische kant van de wiskunde,
dat van de Grote Onopgeloste Problemen. De vraag ‘Zijn er oneindig
veel priemtweelingen of niet?’ is makkelijk te stellen. Je zou het een
elfjarige kunnen uitleggen. Sterker nog, ik heb er voor het eerst over
gehoord toen ik elf was. De vraag is zo simpel dat het heel gek is dat
het antwoord zo moeilijk te vinden is. En bovendien: je hebt alle
benodigde informatie tot je beschikking. Het is niet nodig om een tunnel naar het binnenste van de aarde te boren en daar iets te meten, of
om in een atlas op te zoeken hoe een bepaald gebergte heet. Het antwoord zit in principe besloten in de vraag. Het feit dat allerlei slimme
mensen er in de afgelopen drieduizend jaar niet in geslaagd zijn te
bewijzen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn wil niet zeggen
dat u of ik of een of andere elfjarige morgen niet opeens een nieuwe
manier ontdekt om er tegenaan te kijken die iedereen al die tijd over
het hoofd gezien heeft en waardoor alles opeens duidelijk wordt. En
de gedachte dat al die mensen het tevergeefs geprobeerd hebben
maakt het natuurlijk alleen maar aantrekkelijker om erover na te denken.
Nu gebiedt de eerlijkheid me te zeggen dat hoe meer ik over wiskunde te weten ben gekomen, hoe minder ik ben gaan geloven dat ik
er ooit in zal slagen het priemtweelingvermoeden (zo heet het idee
dat er oneindig veel priemtweelingen zijn) te bewijzen. Misschien
hoort dat bij de tragiek van ouder worden. Je gaat inzien dat er al heel
veel aanzienlijk minder beroemde problemen zijn die je ook al niet
aankunt en je begint te begrijpen dat vele geleerde mensen vóór jou
al echt heel veel heel goede ideeën vergeefs op het probleem hebben losgelaten. Bovendien leert de ervaring dat beroemde en oude
problemen doorgaans worden opgelost door iemand die al eerder
indrukwekkende wiskundige prestaties heeft geleverd en bovendien
waanzinnig veel tijd in het betreffende probleem heeft gestoken. Toch
is er wiskundig gezien geen enkele reden waarom een lezer van dit
boek niet morgenochtend onder de douche het cruciale idee zou kunnen hebben dat leidt tot het bewijs van het priemtweelingvermoeden
en daarmee tot eeuwige roem. Het kan nooit kwaad om te blijven dromen.
17
Het andere gezicht van priemgetallen
Tot nu toe heb ik priemgetallen afgeschilderd als de katten van het
getallenrijk: iedereen houdt van ze, maar het is niet altijd duidelijk of
dat wederzijds is. Ze komen en gaan wanneer ze willen en steeds als
we denken iets van ze te begrijpen (bijvoorbeeld dat ze met het klimmen van hun getal steeds minder met elkaar ophebben) lachen ze ons
uit door af en toe weer even juist dicht tegen elkaar aan te kruipen.
De oude droom om priemgetallen echt te temmen (bijvoorbeeld met
een formule waar je een getal n instopt en het n-de priemgetal rolt
eruit) heeft de wiskundige wereld al eeuwen geleden opgegeven.
Mensen houden geen priemgetallen, priemgetallen houden mensen.
Dat is echter maar één kant van het verhaal. De grote priemmysteries spelen zich af rond optellen en aftrekken. Welke getallen kun je
wel of niet verkrijgen door uitsluitend priemgetallen bij elkaar op te
tellen? Hoe vaak treedt een bepaald getal op als verschil tussen twee
priemgetallen? We weten er maar bar weinig van. In de wereld van het
vermenigvuldigen en delen echter ontpoppen priemgetallen zich plotseling als de betrouwbare hoekstenen van de wiskundige samenleving.
Om te beginnen is ieder getal deelbaar door een priemgetal. Er
zijn weinig andere beroemde getallensoorten die dat kunnen zeggen.
De reden is niet zo moeilijk te begrijpen. Ieder priemgetal is deelbaar
door een priemgetal, namelijk door zichzelf. Als een getal niet priem
is, is het per definitie deelbaar door twee kleinere getallen. Met een
beetje geluk zijn die priem, maar zo niet dan kun je deze getallen
weer opbreken in kleinere getallen en daarmee doorgaan en doorgaan, net zo lang tot het niet kleiner kan – dat wil zeggen tot je op
een priemgetal stuit. 60 = 4·15. Maar 4 = 2·2 en 15 = 3·5 dus 60 =
2·2·3·5. Kleiner kan het niet: 2, 3 en 5 zijn priemgetallen en dus niet
verder op te delen. Priemgetallen zijn de onverwoestbare legoblokjes waaruit het getallenuniversum is opgebouwd.
De observatie 60 = 4·15 is natuurlijk leuk en aardig, maar we hadden ook kunnen beginnen met 60 = 2·30. Je zou kunnen hopen dat
dat nog andere priemgetallen oplevert. 2 is zelf al priem, maar 30 is te
schrijven als 6·5. We vinden dus 60 = 2·6·5. Nu is 6 natuurlijk niet
priem, dus die kunnen we nog verder ophakken als 6 = 2·3. Uiteinde-
18
lijk vinden we dan 60 = 2·2·3·5. Precies dezelfde priemgetallen als
net, dus! Dat blijkt geen toeval te zijn: al in 300 voor Christus bewees
de Griekse wiskundige Euclides dat ieder getal maar op één manier te
schrijven is als product van priemgetallen. Als een getal bijvoorbeeld
gelijk is aan 17·19 dan is het niet stiekem ook nog gelijk aan 3·107,
2·7·23, 5·5·13 of een ander product van priemgetallen, 17·19 is echt
alles wat er over de priemdelers van dat getal te zeggen valt. Dit verrassende resultaat staat bekend als de Hoofdstelling van de Getaltheorie. Uit die stelling volgt dat als je eenmaal de priemfactoren
gevonden hebt waar een getal uit is opgebouwd, je ook alle andere
delers van het getal kent. Zij kunnen namelijk ook alleen maar zijn
opgebouwd uit diezelfde priemfactoren. De hoofdstelling zegt min of
meer dat priemgetallen het dna van de getallen vormen. Zeg mij wie
uw priemdelers zijn en ik vertel u wie u bent.
Die eigenschap zorgt ervoor dat in de wereld van het vermenigvuldigen en delen priemgetallen bekendstaan als onverwoestbaar,
betrouwbaar en rechtdoorzee. Een niet-priem als 12 heeft de neiging
zich overal ongevraagd tegenaan te bemoeien: 30 en 40 zijn net
zomin deelbaar door 12 als u en ik, maar zodra we ze vermenigvuldigen zitten we met 1200, waar 12 opeens als deler in zit en het hoogste
woord voert! Een priemgetal als 11 of 13 zou dat nooit doen. Priemgetallen kunnen niet uit het niets ontstaan – als je twee getallen die niet
deelbaar zijn door 13 met elkaar vermenigvuldigt is het resultaat het
ook niet.
Gebaseerd op dat principe zijn er in de loop der eeuwen een hoop
mooie en onverwachte eigenschappen van getallen bewezen die
onder andere ten grondslag liggen aan de beveiliging van bankpassen
en internettransacties. Omdat de hoofdstelling na ruim 2300 jaar zo is
ingeburgerd worden al dit soort bewijzen vaak afgedaan met de term
‘elementair’. Elementair betekent echter niet altijd makkelijk. Sommige bewijzen zitten heel vernuftig in elkaar.
Voor het mooiste en beroemdste voorbeeld hiervan heb je de volle
kracht van de hoofdstelling niet eens nodig. De observatie dat ieder
getal deelbaar is door een priemgetal is al genoeg. Het betreft hier
het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn: hoe hoog je ook
komt, altijd duiken er nieuwe priemgetallen op.
19
Het feit dat ieder getal deelbaar is door een priemgetal suggereert
al een beetje dat er heel veel priemgetallen moeten zijn. Er zijn
immers Heel Veel getallen. Maar het is nog behoorlijk moeilijk dat
gevoel om te zetten in een echt bewijs. De eerste die dat deed was
Euclides, die wereldberoemd werd met zijn boek De elementen
(eigenlijk een reeks van dertien boeken), waarin hij alle in zijn tijd
bekende wiskunde op een heldere en samenhangende manier
opschreef. Het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn is een
van de hoogtepunten van het negende boek en heeft veel latere wiskunde beïnvloed. De voor de hand liggende manier om aan te tonen
dat er oneindig veel priemgetallen zijn is oneindig veel verschillende
priemgetallen opsommen. Dat kost echter oneindig veel tijd, en die
had Euclides niet. Hoe is het hem dan toch gelukt?
Om zijn stelling te bewijzen zegt Euclides: ‘Stel dat de stelling níét
waar is. Stel dat er eindig veel priemgetallen zijn. Dan is er ook een
grootste priemgetal. Laten we dat P noemen.’
Moderne lezers zijn nu misschien geneigd te zeggen: ‘Wat is dat
nu weer, Euclides? Opgeven voor je begonnen bent?’ Maar Euclides
heeft het niet opgegeven, hij wist heel goed wat hij deed. Het doel is
aan te tonen dat de veronderstelling dat er maar eindig veel priemgetallen zijn niet klopt. Om dat te bewijzen is het genoeg om slechts
één priemgetal te vinden dat groter is dan het zogenaamd grootste
priemgetal, P. Dan volgt immers dat P toch niet de grootste was en
dat er dus een fout zat in de aanname. Door zijn rare manier van het
bewijs beginnen (‘stel dat de stelling níét waar is’) brengt Euclides de
taak die voor hem ligt aanzienlijk in omvang terug. In plaats van
oneindig veel priemgetallen op te noemen is het genoeg om maar één
nieuw priemgetal te vinden, zolang het maar groter is dan het hypothetische grootste priemgetal P. Hoe doet hij dat?
Om te beginnen maakt hij een heel groot getal, N, door alle getallen van 1 tot en met P met elkaar te vermenigvuldigen. Dus N =
1·2·3·4·…·P. Het getal N is zeker groter dan P, maar het is geen priemgetal. Integendeel. Het is deelbaar door 2, want je hebt het gemaakt
door 2 te vermenigvuldigen met een heleboel grotere getallen. Het is
ook deelbaar door 3 omdat je het gemaakt hebt door 3 te vermenigvuldigen met 2 en met alle getallen groter dan 3 tot aan P. Zo is het
20
ook deelbaar door 4 en door 5 et cetera. Nu komt het geniale. Euclides neemt het grote getal N en telt er 1 bij op. Dit nieuwe getal, N + 1
is niet deelbaar door 2. Het getal N was al deelbaar door 2, dus als je
N + 1 snoepjes over twee mensen wilt verdelen kun je eerst de eerste
N snoepjes in twee gelijke helften delen maar hou je er vervolgens
eentje over. Op dezelfde manier is N + 1 ook niet deelbaar door 3 of
door 15 of door 127. Het grote getal N was al in 127 gelijke delen te
verdelen, dus als je N + 1 eieren over 127 mensen verdeelt, blijft er
altijd één over waarover ze ruzie krijgen. De conclusie is dat N + 1 niet
deelbaar is door enig getal kleiner dan of gelijk aan P. Maar N + 1 is óf
zelf een priemgetal, óf deelbaar door een ander priemgetal, dat dan
toch ook groter dan P moet zijn. N + 1 delen door een getal kleiner
dan P kan immers niet. We zien dus dat er een priemgetal groter dan
P moet bestaan. Maar P was toch het grootste priemgetal? Tegenspraak! De aanname dat er eindig veel priemgetallen bestaan kán dus
niet kloppen. Met andere woorden: er bestaan oneindig veel priemgetallen.
Ziehier een van de oudste en grootste wonderen uit de wiskunde:
met maar eindig veel woorden (Euclides had er zelfs nog iets minder
woorden voor nodig dan ik hier nu) kunnen we iets zeggen over de
oneindigheid van een verzameling getallen.
Met dit mooie resultaat op zak gingen mensen zich afvragen of er
ook oneindig veel priemgetallen zijn van een bepaalde soort. Priemtweelingen heb ik net al genoemd. Een iets bescheidenere vraag is of
er oneindig veel priemgetallen zijn waarvan de laatste vier cijfers
gelijk zijn aan mijn verjaardag: 1511. Dat is inderdaad het geval. Ik
noem er hier vier: 1511 zelf, 51511, 19801511 en 1234567891511. Het
goede nieuws is: als u jarig bent in januari, maart, juli, september of
november zijn er ook oneindig veel priemgetallen die eindigen op uw
verjaardag.
Het algemene principe hier achter is: kies een getal (dat kan een
verjaardag zijn, maar ook bijvoorbeeld 3) en loop daarvandaan met
gelijke stapjes door de getallenlijn. (In het voorbeeld van de verjaardagen nemen we stapjes van 10000 om de rij 1511, 11511, 21511, 31511
... te krijgen, maar je kunt ook stapjes van 4 of 5 of 6 nemen.) De rij
die je zo krijgt bevat dan oneindig veel priemgetallen. Niet alleen de
21
rij van getallen die op 1511 eindigen, maar ook de rij 3, 7, 11, 15, 19,
23, 27, 31, 35, 39, ... Zoals goed te zien is in dit laatste voorbeeld hoeven niet alle getallen in de rij priem te zijn – sterker nog, we hebben
(wederom) geen idee wanneer de priemgetallen toeslaan. Wat niet
mag, is een rij kiezen waarin de grootte van de stapjes en het getal
waar je mee begint een gemeenschappelijke deler hebben omdat alle
getallen in de rij dan deelbaar zijn door dat getal. In de rij 2, 8, 14, 20,
26, 32, 38, ... komt maar één priemgetal voor omdat alle termen in de
rij even zijn.
Deze ‘verfijndere’ versie van de stelling van Euclides werd pas
2200 jaar later bewezen, door Gustav Lejeune Dirichlet. Vooruitgang
gaat soms langzaam. De moeilijkheid zit hem er vooral in om het voor
alle denkbare rijtjes in één klap te bewijzen. Voor sommige individuele rijtjes, zoals het rijtje 3, 7, 11, 15, .... hierboven kan met een variatie op het argument van Euclides worden aangetoond dat het oneindig veel priemgetallen bevat. Als u niet kunt slapen en eens iets
anders wilt tellen dan schapen, is dit misschien een goed alternatief.
Priemgetallen in de eenentwintigste eeuw
Een ander hoogtepunt in de strijd tussen mens en priemgetal is van
nog recentere datum, namelijk 2004, het bewijs van wat (sindsdien)
bekendstaat als de Green-Taostelling – naar mijn mening het meest
sexy wiskundige wapenfeit van de laatste tien jaar.
Als je nadenkt over priemtweelingen, kun je je ook afvragen wat
priemdrielingen zijn. Drie priemgetallen die op onderlinge afstand 2
liggen zijn helaas heel zeldzaam, sterker nog: 3, 5, 7 is het enige bekende voorbeeld. Dat komt doordat er binnen drie getallen die steeds
twee uit elkaar liggen (priem of niet-priem maakt niet uit) altijd eentje deelbaar is door 3. Als je nog iets langer nadenkt, ontdek je een
ander soort drietallen van priemgetallen dat ook wel de naam drieling verdient. Dat zijn drie getallen die mooi regelmatig op dezelfde
afstand van elkaar liggen: 3, 5, 7 (afstand 2); 11, 17, 23 (afstand 6), 29,
41, 53 (afstand 12), .... Het is dan ook duidelijk hoe je naast priemdrielingen ook priemvierlingen en priemvijflingen zou kunnen definiëren. De kritische lezer heeft misschien al opgemerkt dat de laatste twee voorbeelden hierboven deel uitmaken van een priemvijfling:
22
5, 11, 17, 23, 29 en 5, 17, 29, 41, 53. De logische vragen zijn vervolgens
natuurlijk: zijn er oneindig veel van dit soort meerlingen en zijn er
meerlingen van iedere denkbare lengte? De Green-Taostelling zegt
dat het antwoord op beide vragen ja is. Mooier nog: voor ieder getal
n zijn er oneindig veel rijtjes van n priemgetallen met steeds dezelfde
afstand ertussen. Het kleinste rijtje van tien priemen op gelijke
afstand (210) is: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879,
2089. Het logisch gezien volgende getal in het rijtje, 2299, is helaas
niet priem: 2299 = 11·11·19.
Niemand was echt verbaasd dat deze stelling waar was – priemgetallen doen immers waar ze zelf zin in hebben, en als er geen simpel argument is dat ze verbiedt om steeds langere regelmatige rijtjes
te vormen dan zullen ze dat doen ook. Wel was ik, en waren waarschijnlijk nog veel meer wiskundigen, verbaasd nog tijdens mijn leven
een bewijs van dit feit te zien. Ik dacht dat niemand dit soort problemen rond priemgetallen, die al eeuwen openstaan, durfde aan te pakken, of dan toch hooguit een of andere wiskundige die na zijn pensioen, als hij niks meer te verliezen heeft, besluit zich nog eenmaal
aan zijn jeugddroom te wijden. Gek genoeg is het bewijs juist geleverd door twee piepjonge wiskundigen: Ben Green (Engeland, 1977)
en Terrence Tao (Australië, 1975).
Dat zijn dan ook niet de minsten. Terence Tao is het wiskundige
equivalent van de Ideale Man. Aan de ene kant een wonderkind dat
op zijn zeventiende afstudeerde en op zijn vierentwintigste hoogleraar werd, en aan de andere kant een bijzonder normaal overkomende charmante jongeman met een schattig baby’tje, die zijn ideeën
over wiskunde met de wereld deelt via een veelgelezen weblog. Het
meest opmerkelijke is dat hij aan ieder denkbaar deelgebied van de
wiskunde iets zinnigs lijkt te kunnen toevoegen. Ben Green lijkt vergeleken met zijn collega iets meer op een klassieke wiskundige, één
die zijn oude jeugdliefde, de gehele getallen, altijd trouw is gebleven.
Evengoed behoorde hij stiekem ook voor zijn grote doorbraak met de
Green-Taostelling al tot de productiefste wiskundigen van mijn generatie.
Toen ik hoorde over dit resultaat begon ik, brandend van nieuwsgierigheid, het bewijs te lezen. Dat is eigenlijk best goed te volgen!
23
dacht ik optimistisch. En dat bleef ik denken, totdat ik, ergens op
pagina 20 besefte dat ik me a) niets meer kon herinneren van wat er
op de 19 pagina’s daarvoor gebeurd was en b) nog geen priemgetal
gezien had. Bovendien was ik toen nog maar op een derde van het
bewijs, dus gaf ik het maar op. Gelukkig waren Green en Tao in 2005
even in Nederland om een prijs in ontvangst te nemen en kreeg ik de
kans uit de mond van de eerstgenoemde iets van de gedachten achter het bewijs te vernemen.
Ben Green bleek een zeer Britse, buitengewoon geestige spreker
die met overtuiging wist over te brengen om welke redenen de stelling geloofwaardig was en waarom het vervolgens heel moeilijk is dat
gevoel van geloofwaardigheid om te zetten in harde wiskunde. Het is
wonderlijk om naar iemand te luisteren die een diepere structuur in
de priemgetallen lijkt te zien – als een grillig kustlandschap dat ontstaan is uit een constante strijd tussen de orde van het land en de
kolkende chaos van de zee. Soms denk je als luisteraar een glimp van
dat landschap te kunnen zien, maar als je een schelpje wilt oprapen
begrijp je dat je er helemaal niks van snapt en misschien toch maar
weer eens het onleesbare artikel moet proberen door te worstelen.
Wat me wel duidelijk werd is dat het bewijs van de Green-Taostelling de verzameling van alle priemgetallen als een geheel beschouwt,
en dat het je niet helpt individuele voorbeelden van rijtjes priemgetallen te vinden. Green leek zelfs een zeker onuitgesproken dedain te
voelen voor mensen die actief naar zulke rijtjes op zoek zijn. Die
indruk werd nog eens onbedoeld bevestigd toen hij ter illustratie een
voorbeeld van zo’n rijtje had meegenomen en de meeste van de vermeende priemgetallen even bleken te zijn (tot besmuikte hilariteit van
de zaal).
Een oude gedachte over priemgetallen is dat je een deel van hun
gedrag kunt voorspellen door aan te nemen dat de vraag of een gegeven getal priem is bepaald wordt door toeval: bij ieder getal gooit
iemand een munt op en bij kop wordt het getal priem en bij munt niet.
Uiteraard is de munt zo verzwaard dat hij vaker op munt (niet priem)
valt dan op kop (priem) en die oneerlijkheid wordt sterker naarmate
de getallen groter worden. Hoewel dat natuurlijk grote onzin is, blijkt
het al jaren een betrouwbare partner als het erom gaat te voorspellen
24