14 Quantumwereld

14 Quantumwereld
Deeltjes en quantumverschijnselen| vwo
Uitwerkingen basisboek
14.1 INTRODUCTIE
1
[W] Quantum in het nieuws
2
[W] Voorkennistest
3
Waar of niet waar?
a
b
e
Niet waar: De energie van fotonen is evenredig met de frequentie.
Niet waar: Atomen zijn goed vergelijkbaar met heel kleine knikkers, maar dat geldt
niet voor elektronen.
Waar
Niet waar: Alleen met een Atomic Force Microscope (AFM) kun je een beeld van een
atoom maken.
Waar
a
𝐸f = ℎ ∙ 𝑓 met 𝑐 = 𝜆 ∙ 𝑓 geeft
c
d
4
𝑐
2,998∙108
𝜆
700∙10−9
𝐸f = ℎ ∙ = 6,626 ∙ 10−34 ∙
= 2,84 ∙ 10−19 J.
𝑃 = 0,28 ∙ 10−3 W = 0,28 ∙ 10−3 J/s.
Dus is de fotonenstroom:
0,28∙10−3 J/s
2,84∙10−19 J/foton
= 9,9 ∙ 1014 fotonen/s.
b
Elke zonnebril laat 10% van het licht door. Een stapel van 14 zonnebrillen laat dus
(0,10)14 ∙ 9,9 ∙ 1014 = 9,9 fotonen/s door, en dat is bijna 10 fotonen per seconde.
a
Een liter is 1 dm 3 en op 1 dm (= 100 mm) passen
5
2503
b
c
∙ 107
100
0,4
= 250 zoutkorrels naast
107
elkaar. Dan passen er
= 1,6
≈
zoutkorrels in een literpak zout.
Als je al deze zoutkorrels achter elkaar legt is, dan is de lengte van de rij:
0,4 ∙ 1,6 ∙ 107 = 6,3 ∙ 106 mm ≈ 6 km lang.
De afstand tussen twee natriumionen is ongeveer 3 cm op de foto, dat is in het echt
10
8
dus 3∙10-8 cm. Op 1 dm (= 10 cm) passen
−8 = 3,3 ∙ 10 natriumionen naast
3∙10
d
elkaar (met daartussen de chloorionen). Er passen dus (3,3 ∙ 108 )3 = 3,7 ∙ 1025 ≈
1025 natriumatomen en ook 3,7∙1025 chlooratomen in een literpak.
In een eendimensionaal rooster liggen alle natrium- en chloorionen naast elkaar. Als
de afstand tussen twee natriumionen dan ook 3∙10-8 cm is, dan is de lengte van de
rij:
3 ∙ 10−8 ∙ 3,7 ∙ 1025 = 1,1 ∙ 1018 cm ≈ 1016 m lang.
6
a
b
c
d
De eerste aangeslagen toestand is een toestand met een hogere energie.
Het elektron springt alleen naar een hogere toestand als de energie van het foton
precies gelijk is aan het verschil tussen de energieniveaus van de twee toestanden.
Bij het terugvallen komt weer precies dezelfde hoeveelheid energie vrij in de vorm
van een foton. Het foton is dus identiek aan het foton dat eerder geabsorbeerd is.
Nee, dat is een toevalsproces.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 1 van 23
14.2 GOLFKARAKTER VAN LICHT
7
[W] Experiment: Interferentie in een magnetron
8
[W] Experiment: Buiging en interferentie bij watergolven
9
[W] Experiment: Buiging en interferentie bij geluid
10
[W] Experiment: Buiging en interferentie bij licht
11
Waar of niet waar?
a
Waar
b
Niet waar: Buiging treedt op bij geluid-, licht- en watergolven.
c
Waar
d
Niet waar: Buiging is alleen zichtbaar als de breedte van de opening tussen
ongeveer 10 x zo klein en 10 x zo groot als de golflengte is.
e
Waar
12
a
b
c
De magnetronstraling die door de wanden wordt weerkaatst interfereert, hierdoor
ontstaan warme en koude plekken in de kaas.
De plekken waar de kaas smelt komen overeen met de buiken in het
interferentiepatroon.
De afstand tussen de plekken waar de kaas smelt is gelijk aan de halve golflengte
van de magnetronstraling.
13
a
b
c
d
Op de middelloodlijn hebben de golven die van beide puntbronnen komen steeds
dezelfde fase. De golven versterken elkaar hier, dus is dit een buiklijn.
Als de afstand tussen de bronnen groter wordt gemaakt zullen er meer knooplijnen
zichtbaar zijn.
Als de frequentie van de trillingsbron groter wordt gemaakt, zal de golflengte kleiner
worden (de golfsnelheid verandert immers niet). Bij een kleinere golflengte zullen er
meer knooplijnen zichtbaar zijn.
14
a
b
Een buik en een knoop.
De golfsnelheid is gelijk dus als de frequentie hoger is bij een 4G-netwerk, zal de
golflengte kleiner zijn. De ideale antenne is bij een 4G-netwerk korter dan de antenne
het 3G-netwerk.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 2 van 23
15
a
b
c
De afstanden tussen de golftoppen zijn steeds gelijk, dus is de golflengte constant en
daarmee is ook de frequentie constant.
Op een knooplijn hoor je geen (of weinig) geluid. Zodra dan een luidspreker wordt
losgekoppeld zul je een toename van het geluidsniveau horen.
Als de frequentie van de trillingsbron groter wordt gemaakt, wordt de golflengte
kleiner en dus neemt het aantal knooplijnen toe.
16
[W] Computersimulatie: Interferentie bij dubbelbron en dubbelspleet
17
Eigen antwoord van de leerling
18
a
b
c
We zien voor buiging en interferentie van watergolven, licht en geluid precies
dezelfde patronen, dus in deze opzichten komen de drie golfverschijnselen overeen.
Er zijn verschillen in frequentie, golflengte en golfsnelheid. Licht heeft de grootste
golfsnelheid, de hoogste frequentie en de kleinste golflengte. Watergolven hebben
de kleinste golfsnelheid, de laagste frequentie en de grootste golflengte. Ook heeft
licht geen ‘medium’ nodig om zich voort te planten, het is een elektromagnetische
golf. Watergolven en geluid hebben wel een medium nodig. Verder zijn watergolven
en licht transversale golven terwijl geluid een longitudinale golf is.
Bij het dubbelspleetexperiment is te zien dat er op het scherm lichte en donkere
stippen ontstaan en dat, bij afdekking van één van de twee spleten, het licht een
beetje ‘uitwaaiert’. Dit betekent dat licht interferentie en buiging vertoont en daarmee
wordt aangetoond dat licht golfeigenschappen heeft.
19
a
b
Als de opening kleiner wordt, wordt het beeld groter (het waaiert meer uit) en de
lichtsterkte wordt kleiner (het licht wordt over een grotere oppervlakte verdeeld).
De golflengte van de blauwe laser is kleiner en hierdoor zal het buigingseffect minder
zijn dus wordt het beeld kleiner.
20
a
b
c
De openingen zijn veel groter dan de golflengte van het licht.
De golflengte van de magnetronstraling is groter dan de openingen in het scherm.
De magnetronstraling moet weerkaatst worden door alle wanden zodat er in de
magnetron interferentie optreedt. Bovendien zou de magnetronstraling die door de
openingen gaat ook voorwerpen buiten de magnetron verhitten. Als het licht wel door
de openingen kan, kun je zien wat er met het gerecht in de magnetron gebeurt.
a
De weglengte van de ene spleet tot aan middelloodlijn is gelijk aan de weglengte van
de andere spleet tot aan de middelloodlijn, dus zijn de golven daar altijd in fase en
versterken elkaar.
Er zijn 3 maxima boven de middelloodlijn en ook 3 maxima onder de middelloodlijn.
Samen met het maximum op de middelloodlijn is dat 7.
Als de golflengte groter wordt gemaakt is er meer buiging, maar minder interferentie.
Als de afstand tussen de spleten groter wordt gemaakt ontstaan er meer maxima.
21
b
c
d
22
[W] Experiment: Interferentiepatroon met tralie
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 3 van 23
23
[W] Experiment: Kleuren op een cd of dvd
24
[W] Tralieformule en interferentiepatroon
25
a
b
Er zijn 600 lijnen per mm en het tralie is 30 mm breed, dus het aantal lijnen op het
tralie is 600 ∙ 30 = 1,8 ∙ 104.
De tralieconstante is de afstand (in m) tussen 2 spleten:
𝑑=
c
0,030
1,8∙104
= 1,7 ∙ 10−6 m.
Voor het 2e orde maximum is 𝑛 = 2 in sin(𝛼n ) =
Dus sin(𝛼2 )
=
2∙589,0∙10−9
1,7∙10−6
𝑛∙𝜆
𝑑
.
= 0,707  𝛼2 = sin−1 (0,707) = 45°.
26
a
De tralieconstante (de afstand tussen de spleten).
b
Voor het 3de orde maximum geldt sin(𝛼3 ) =
3∙𝜆
𝑑
. Dit maximum is nog net te zien als
𝛼3 = 90°. We kunnen de golflengte van dit licht uitrekenen:
𝑑
1,6∙10−6
3
3
𝜆 = ∙ sin(90) =
c
∙ 1 = 5,33 ∙ 10−7 m = 533 nm, dat is groen licht.
De golflengte van zichtbaar licht zit tussen de 380 en 780 nm. De golflengtes groter
dan 533 nm zullen niet meer zichtbaar zijn, dus is het 3 de orde maximum niet
compleet.
Violet licht: : 𝜆 = 380 nm:
sin(𝛼3 ) =
sin(𝛼4 ) =
3∙𝜆
𝑑
4∙𝜆
𝑑
=
=
3∙380∙10−9
25∙10−6
4∙380∙10−9
25∙10−6
= 0,0456  𝛼3 = 2,6° en
= 0,0608  𝛼4 = 3,5°.
Rood licht: 𝜆 = 780 nm:
sin(𝛼3 ) =
sin(𝛼4 ) =
3∙𝜆
𝑑
4∙𝜆
𝑑
=
=
3∙780∙10−9
25∙10−6
4∙780∙10−9
25∙10−6
= 0,0936  𝛼3 = 5,4° en
= 0,125  𝛼4 = 7,2°.
3de
Het
orde spectrum zit dus tussen 2,6° en 5,4° terwijl het 4 de orde spectrum tussen
3,5° en 7,2°. De twee spectra overlappen elkaar.
14.3 DEELTJESKARAKTER VAN LICHT
27
[W] Computersimulatie: Foto-elektrisch effect
28
[W] Draaiend lichtmolentje
29
Waar of niet waar?
a
Niet waar: Uit het foto-elektrische effect blijkt dat licht een deeltjeskarakter heeft.
b
Niet waar: Door het foto-elektrisch effect kan alleen een negatief geladen metaal
ontladen worden.
c
Waar
d
Niet waar: Als een bundel fotonen een metaaloppervlak treft maakt dat elektronen los
uit dat metaal.
e
Niet waar: Een foton kun je voorstellen als een brokje elektromagnetische straling.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 4 van 23
30
a
b
31
De fotonen botsen wel tegen je aan maar kunnen geen elektronen losmaken van de
atomen van je cellen, dus er ontstaat geen reactie die je een bruine kleur geeft.
De energie van de fotonen van de UV-lamp is groot genoeg om wel elektronen los te
maken van de atomen in je cellen.
Geen enkel foton van het licht van de bouwlamp heeft voldoende energie om een elektron
los te maken, maar de fotonen van het uv-licht hebben wel voldoende energie om een
elektron los te maken.
32
a
b
c
De kinetische energie van elk elektron is kleiner dan de fotonenergie want een deel
van de fotonenergie wordt gebruikt om het elektron los te maken uit het metaal.
De fotonen van licht met een grotere golflengte hebben minder energie, dus zal de
kinetische energie van de losgemaakte elektronen kleiner zijn.
Als de golflengte van het licht steeds groter wordt gemaakt zal de kinetische energie
van de losgemaakte elektronen steeds meer afnemen totdat er geen elektronen
meer losgemaakt worden.
33
a
b
2,52 eV
Blauw-groen
a
b
De fotonenergie is omgekeerde evenredig met de golflengte van de straling.
𝑐
𝐸f = ℎ ∙ 𝑓 met 𝑐 = 𝜆 ∙ 𝑓 geeft 𝐸f = ℎ ∙ .
c
De impuls 𝑝 is evenredig met de massa en de snelheid, dus 𝑝 = constante ∙ 𝑚 ∙ 𝑣.
a
b
Het zonnezeil krijgt een duwtje, dus er werkt een kracht op het zonnezeil.
Hieruit blijkt het deeltjeskarakter van licht.
a
b
Je neemt op het scherm telkens slecht één individuele absorptie van een foton waar.
Na een lange tijd, als er heel veel fotonen zijn gedetecteerd, is er een breed
buigingspatroon verschenen.
a
Een foton kan niet gehalveerd worden, dus de halfdoorlatende spiegel halveert het
aantal fotonen.
Na een groot aantal fotonen zal de helft bij de ene detector zijn gedetecteerd en de
andere helft bij de andere detector, maar van één foton valt niet te voorspellen bij
welke detector deze gedetecteerd wordt.
De fotodetectoren reageren onregelmatig want het is een toevalsproces op welke
detector één enkel foton valt. Je weet alleen dat na een groot aantal fotonen de helft
op de ene en de andere helft op de andere detector is gedetecteerd.
De overeenkomst zal zijn dat het aantal fotonen dat op de ene detector valt ongeveer
gelijk is aan het aantal fotonen dat op de andere detector valt. De volgorde waarin de
fotonen naar de ene of de andere detector gaan is niet te voorspellen.
Dat er gemiddeld evenveel fotonen op de ene als op de andere detector vallen.
34
𝜆
35
36
37
b
c
d
e
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 5 van 23
38
Eigen antwoord van de leerling
39
a
b
c
Door het foto-elektrisch effect werd duidelijk aangetoond dat fotonen bestaan uit
brokjes energie waarbij de energie evenredig is met de frequentie.
Bladgroen absorbeert alleen rood en blauw licht omdat die fotonen de juiste energie
hebben. Bij infrarode straling is de energie te klein om in het bladgroen een
chemische reactie te laten verlopen.
Nee, want uv-straling heeft een hogere energie dan licht. Het omzetten kost dus
energie.
40
a
1 N = 1 kg ∙ m/s 2 dus 1 N ∙ s = 1 kg ∙ m/s en dat is de eenheid van impuls.
b
De energie van gammastraling is veel groter dan die van de radiostraling van je
smartphone en dus is de impuls ook veel groter. Hierdoor komt het deeltjeskarakter
van gammastraling veel sterker naar voren.
41
[W] Computersimulatie: Constante van Planck
42
[W] Experiment: Ledlampjes en Planck
43
a
Energie in joule (J), snelheid in meter per seconde (m/s), impuls in kilogram keer
meter per seconde (kg∙m/s), frequentie in hertz (Hz of s -1) en golflengte in meter (m).
b
𝑝= =
c
𝐸f = 𝑝 ∙ 𝑐 = 1,47 ∙ 10−24 ∙ 2,998 ∙ 108 = 4,41 ∙ 10−19 J.
𝐸f = 2,4 eV = 2,4 ∙ 1,602 ∙ 10−19 = 3,845 ∙ 10−19 J 
𝑓=
ℎ
6,626∙10−34
𝜆
450∙10−9
𝐸f
ℎ
=
= 1,47 ∙ 10−24 kg ∙ m/s en
3,845∙10−19
6,626∙10
𝑐
14 Hz en 𝜆 = =
−34 = 5,8 ∙ 10
𝐸f
2,998∙108
𝑓
5,8∙1014
3,845∙10−19
= 1,3 ∙ 10−27 kg ∙ m/s.
d
𝐸f = 2,4 eV = 3,845 ∙ 10−19 J  𝑝 =
a
𝐸f = 1,94 eV = 1,94 ∙ 1,602 ∙ 10−19 = 3,108 ∙ 10−19 J 
𝑐
=
2,998∙108
= 5,2 ∙ 10−7 m.
44
𝜆=ℎ∙
b
𝑐
𝐸f
𝑐
= 6,626 ∙ 10−34 ∙
𝐸f = ℎ ∙ = 6,626
𝜆
2,998∙108
3,108∙10−19
2,998∙108
∙ 10−34 ∙
=
530∙10−9
= 6,39 ∙ 10−7 m = 639 nm.
3,738 ∙ 10−19 J = 2,34 eV.
De uittree-energie is 𝐸u = 1,94 eV en dus is de kinetische energie
𝐸k = 𝐸f − 𝐸u = 2,34 − 1,94 = 0,40 eV. Dat is 0,40 ∙ 1,602 ∙ 10−19 = 6,4 ∙ 10−20 J.
45
a
b
De uittree-energie van cesium is 1,94 eV en die van aluminium is 4,20 eV. De uittreeenergie van aluminium is te hoog voor het groene en zelfs het blauwe licht dus dit
metaal kan het niet zijn. De uittree-energie van cesium zit precies tussen de
fotonenergie van het rode en groene licht in dus het metaal zou wel cesium kunnen
zijn.
Fotonen met een golflengte van 400 nm hebben volgens figuur 45 een energie van
3,1 eV. De maximale kinetische energie van de elektronen is dus
𝐸k = 𝐸f − 𝐸u = 3,1 − 1,94 = 1,2 eV.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 6 van 23
c
De uittree-energie van natrium is 2,28 eV, dus alle kleuren licht met een fotonenergie
van meer dan 2,28 eV kunnen elektronen losmaken uit het natrium. Dat zijn groen,
blauw en violet.
a
𝐸f = ℎ ∙ = 6,626 ∙ 10−34 ∙
b
Op één m 2 valt per seconde 1,37 ∙ 103 J en één foton heeft een energie van
3,973 ∙ 10−19 J, dus het aantal fotonen dat op elke m 2 weerkaatst is
46
𝑐
2,998∙108
𝜆
500∙10−9
1,37∙103
3,973∙10−19
c
d
= 3,973 ∙ 10−19 J = 2,48 eV.
= 3,45 ∙ 1021.
Bij de botsing draait de snelheid van het foton 180° om, dus verandert de impuls van
het foton van +"(𝑚 ∙ 𝑣)" naar −"(𝑚 ∙ 𝑣)", de verandering van impuls is dus
2 ∙ "(𝑚 ∙ 𝑣)" (de impuls van het foton wordt natuurlijk niet berekend met (𝑚 ∙ 𝑣)
maar met (ℎ⁄𝜆), vandaar de accoladen rondom (𝑚 ∙ 𝑣)).
De impuls van een foton met een energie van 2,48 eV is
𝑝=
𝐸f
𝑐
=
2,48∙1,602∙10−19
2,998∙108
= 1,325 ∙ 10−27 kg ∙ m/s.
Er vallen per seconde 3,45 ∙ 1021 fotonen op 1 m 2 zonnezeil dus is de verandering
per seconde van de impuls van 1 m 2 van een zonnezeil
2 ∙ 1,325 ∙ 10−27 ∙ 3,45 ∙ 1021 = 9,14 ∙ 10−6 kg ∙ m/s.
e
𝐹 =𝑚∙𝑎 = 𝑚∙
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑚∙∆𝑣
=
∆𝑡
∆𝑝
∆𝑡
dus de kracht op het zeil is de
impulsverandering ∆𝑝 per s van alle fotonen bij elkaar.
∆𝑝
= 9,14 ∙ 10−6 N.
𝐹=
a
b
𝐸u = 4,3 eV.
𝑓g = 10,6 ∙ 1014 Hz.
c
De constante van Planck is gelijk aan de helling van de lijn in figuur 46:
∆𝑡
=
9,14∙10−6
f
1
47
ℎ=
d
𝐸u
𝑓g
=
4,3∙1,602∙10−19
10,6∙1014
= 6,50 ∙ 10−34 Js.
𝑐
2,998∙108
𝜆
200∙10−9
𝐸f = ℎ ∙ = 6,50 ∙ 10−34 ∙
= 9,742 ∙ 10−19 J = 6,08 eV 
𝐸k = 𝐸f − 𝐸u = 6,08 − 4,3 = 1,8 eV.
e
De frequentie van het uv-licht is 𝑓
𝑐
2,998∙108
𝜆
200∙10−9
= =
= 1,50 ∙ 1015 Hz.
Het punt (15 ∙ 1014 Hz, 1,8 eV) is inderdaad een punt op de lijn in de grafiek.
48
a
Het volume van het zeil is 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑑 = 1200 ∙ 5 ∙ 10−6 = 6 ∙ 10−3 m3 .
De dichtheid is 𝜌
b
c
=
𝑚
𝑉
=
32
6∙10−3
= 5,3 ∙ 103 kg/m3.
De stuwkracht is 𝐹 = 6,4 ∙ 10−6 ∙ 1200 = 7,7 ∙ 10−3 N.
1 AE = 1,496 ∙ 1011 m en de massa van de zon is M = 1,9884 ∙ 1030 kg 
𝐹g = 𝐺 ∙
𝑚∙𝑀
𝑟2
= 6,674 ∙ 10−11 ∙
© ThiemeMeulenhoff bv
32∙1,9884∙1030
(1,496∙1011 )2
= 0,19 N.
CONCEPT
Pagina 7 van 23
d
Omdat de Sunjammer vanaf de aarde wordt gelanceerd en de aarde met een
bepaalde baansnelheid rondom de zon draait zal de Sunjammer ook een zijwaartse
snelheid meekrijgen van de aarde. De gravitatiekracht van de zon houdt de
Sunjammer in zijn baan maar de stuwkracht zorgt er voor dat de straal van die baan
steeds groter wordt (zie figuur, deze is niet op schaal).
49
[W] Compton-effect
50
Als het gammafoton in dezelfde richting door gaat, dan is 𝜃 = 0 en dat betekent (zie de
vergelijking in figuur 48) dat de golflengte van het invallende foton gelijk moet zijn aan de
golflengte van het foton dat ontstaat, maar deze twee golflengtes kunnen niet aan elkaar
gelijk zijn omdat de impuls van het foton verandert.
14.4 GOLFKARAKTER VAN MATERIEDEELTJES
51
[W] Experiment: Golfkarakter van elektronen
52
Waar of niet waar?
a
Niet waar: De massa van elektronen is veel kleiner dan die van protonen, dus bij
gelijke snelheid zal de golflengte van de elektronen groter zijn.
b
Niet waar: Elektronen die versneld worden, krijgen een steeds kleinere golflengte.
c
Niet waar: De elektronen uit het elektronenkanon van figuur 50 krijgen een andere
golflengte als de versnelspanning wordt veranderd.
d
Niet waar: Buiging en interferentie van elektronen worden veroorzaakt door het
golfkarakter van elektronen.
e
Waar
f
Waar
53
Als de snelheid van de elektronen groter wordt gemaakt, wordt de golflengte kleiner en zal
het aantal knooplijnen dus toenemen.
54
a
b
De golflengte van de elektronen is veel kleiner, dus moet de afstand tussen de
spleten heel klein zijn.
Het was overtuigend bewijs dat elektronen niet alleen een deeltje zijn, maar ook
golfeigenschappen hebben (net als fotonen).
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 8 van 23
55
a
b
c
d
e
f
g
Voor beide
Als het experiment wordt uitgevoerd met één elektron of één foton zie je geen
interferentiepatroon. Je ziet immers maar één stip verschijnen op het scherm.
Als het experiment met een groot aantal elektronen of fotonen wordt uitgevoerd zie je
op het scherm een interferentiepatroon verschijnen: plaatsen waar vrijwel geen
elektronen of fotonen worden gedetecteerd worden afgewisseld met plaatsen waar
veel elektronen of fotonen worden gedetecteerd.
Zes
Zes
Als de elektronen meer kinetische energie hebben wordt de golflengte kleiner en
neemt het aantal maxima toe.
Als de fotonen meer energie hebben neemt de frequentie toe en wordt de golflengte
kleiner, dus neemt het aantal maxima toe.
56
[W] Computersimulatie: Andere elektronenwolken en waarschijnlijkheidsverdelingen in
het waterstofatoom
57
Eigen antwoord van de leerling
58
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 ).
a
De elektronen hebben de kleinste massa, dus de grootste snelheid (𝐸k =
b
De debroglie-golflengte is omgekeerd evenredig met de impuls. De kinetische
1
1
energie kan ook worden geschreven als 𝐸k = ∙ (𝑚 ∙ 𝑣) ∙ 𝑣 = ∙ 𝑝 ∙ 𝑣 . Bij dezelfde
2
2
2
kinetische energie heeft het zwaarste deeltje de kleinste snelheid en dus de grootste
impuls. Het deeltje met de grootste impuls heeft het kleinste golflengte en dat is het
α-deeltje.
59
De golflengte van elektronen is veel kleiner dan van fotonen. Bij kleine voorwerpen gaan
interferentie-effecten een rol spelen en dat gebeurt als de afmetingen in de buurt van de
golflengte liggen. Bij elektronen is dat bij kleinere details.
60
a
Bij de grondtoestand hoort 𝑛 = 1.
b
𝐸n =
c
d
e
−13,6
𝑛2
dus als 𝑛 toeneemt wordt 𝐸n een kleiner negatief getal en dat betekent
dat de energie van het elektron toeneemt.
Met nulpuntsenergie wordt bedoeld dat het elektron in de baan met de laagste
energie zit.
De straal van de kleinst mogelijke baan van een elektron in het waterstofatoom is de
bohrstraal.
Figuur 64 geeft de waarschijnlijkheid aan om het elektron aan te treffen op een
bepaalde afstand van de kern. De afstand tot de kern waar deze waarschijnlijkheid
het grootst is wordt de bohrstraal genoemd.
61
a
b
Het deeltjeskarakter blijkt uit het feit dat het elektron zich alleen in bepaalde banen
met bijbehorende energieniveaus kan bevinden.
Het golfkarakter blijkt uit het feit dat er een waarschijnlijkheidsverdeling rondom die
banen is met een bepaalde kans om het elektron daar aan te treffen.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 9 van 23
c
d
De waarschijnlijkheid om het deeltje op een bepaald stukje op afstand van de kern
aan te treffen is de breedte van dat stukje (in nm) keer de waarschijnlijkheid op die
afstand. Dus moet op de verticale as de waarschijnlijkheid in % per nm staan.
De oppervlakte onder het diagram is de totale waarschijnlijkheid om het deeltje aan
te treffen. Deze moet 100% zijn omdat het deeltje ergens is.
62
a
𝐸el = 𝑒 ∙ ∆𝑈 = 2,5 ∙ 103 ∙ 1,602 ∙ 10−19 = 4,0 ∙ 10−16 J.
2∙𝐸el
1
𝐸el = 𝐸k = 2 ∙ 𝑚e ∙ 𝑣 2  𝑣 = √
ℎ
ℎ
𝑝
𝑚∙𝑣
=
𝑚e
6,626∙10−34
=√
2∙4,0∙10−16
9,109∙10−31
= 3,0 ∙ 107 m/s.
= 2,5 ∙ 10−11 m.
b
𝜆= =
c
0,05 μm = 5 ∙ 10−8 m. De grootte van de gaatjes ligt in dezelfde orde van grootte
9,109∙10−31 ∙3,0∙107
als de debroglie-golflengte van de elektronen dus er treedt buiging op.
63
a
100 km/h = 27,8 m/s en 𝑚 = 58 ∙ 10−3 kg 
ℎ
ℎ
𝑝
𝑚∙𝑣
𝜆= =
=
6,626∙10−34
58∙10−3 ∙27,8
= 4,1 ∙ 10−34 m.
b
De ballen kunnen nooit door openingen die afmetingen hebben in de orde van
grootte van de debroglie-golflengte van deze ballen, dus kunnen er geen buigings- of
interferentieverschijnselen waargenomen worden.
a
b
Het patroon is het gevolg van zowel buiging als interferentie.
Dit experiment is alleen met het golfkarakter van elektronen te verklaren, want
buiging en interferentie zijn golfeigenschappen.
De golflengte van licht is veel groter dan de afstand tussen de atomen. Het licht ‘ziet’
de openingen niet en weerkaatst tegen het kristal.
64
c
65
Bij een enkele spleet zie je vrijwel geen interferentie, dus de bovenste grafiek hoort bij een
enkele spleet.
66
Het totale buigingspatroon is bij de onderste grafiek breder.
67
a
Zie figuur, de pijlen geven de energiesprongen aan die in de opgave zijn genoemd.
Aan de hand van deze getallen is te berekenen wat de energieniveaus zijn die horen
bij 𝑛 = 2, 𝑛 = 3 en 𝑛 = 4.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 10 van 23
b
De grootste energiesprong is die van -10,4 eV naar -2,7 eV. De energie van het foton
moet dan zijn: 𝐸f = −2,7 + 10,4 = 7,7 eV = 7,7 ∙ 1,602 ∙ 10−19 = 1,23 ∙ 10−18 J.
Met 𝐸f
𝑐
𝑐
𝜆
𝐸f
= ℎ ∙ volgt dat 𝜆 = ℎ ∙
= 6,626 ∙ 10−34 ∙
2,998∙108
1,23∙10−18
= 1,6 ∙ 10−7 m.
68
a
Merk op dat in Binas tabel 21A de energieniveaus op de lijnen precies andersom
worden weergegeven: bij 𝑛 = 1 staat 0,0000 in plaats van 13,595. Om dit te
vergelijken met de getallen in figuur 67 zou bij 𝑛 = 1 moeten staan: 0,00 eV en bij
𝑛 = ∞: 54,40 eV. De getallen in figuur 67 zijn telkens 4 keer zo groot als de getallen
die bij de energieniveaus staan in Binas tabel 21A:
voor 𝑛 = ∞: 54,40/13,5950 = 4,00,
voor 𝑛 = 4: 51,02/12,7497 = 4,00,
voor 𝑛 = 3: 48,37/12,0888 = 4,00,
voor 𝑛 = 2: 40,81/10,2002 = 4,00.
b
𝐸f = ℎ ∙ = 6,626 ∙ 10−34 ∙
𝑐
2,998∙108
𝜆
164,0∙10−9
= 1,211 ∙ 10−18 J = 7,561 eV.
Dat hoort bij de overgang van 𝑛 = 3 naar 𝑛 = 2 want 48,37 − 40,81 = 7,56 eV.
69
a
Voor het waterstofatoom is de lading van de kern gelijk aan de lading van het
elektron, dus 𝐸el
= −𝑓 ∙
∙ 10−18
b
𝑞∙𝑄
= −8,99 ∙ 109 ∙
𝑟
1,602∙10−19 ∙1,602∙10−19
5,29∙10−11
=
−4,36
J = −27,2 eV.
−13,6
𝐸n = 2 dus voor 𝑛 = 1 krijgen we 𝐸1 = −13,6 eV. Uit 𝐸1 = 𝐸k + 𝐸el 
𝑛
𝐸k = 𝐸1 − 𝐸el = −13,6 − (−27,2) = 13,6 eV = 2,18 ∙ 10−18 J.
c
2∙𝐸
1
2∙2,18∙10−18
𝐸k = 2 ∙ 𝑚e ∙ 𝑣 2  𝑣 = √ k = √
= 2,19 ∙ 106 m/s.
𝑚
9,109∙10−31
e
d
ℎ
ℎ
𝑝
𝑚∙𝑣
𝜆= =
=
6,626∙10−34
9,109∙10−31 ∙2,19∙106
70
[W] Afleiding formule van Bohr
71
[W] Elektronendiffractie bij grafiet
= 3,33 ∙ 10−10 m.
72
a
b
c
In figuur 69 zijn drie richtingen te zien waarbij de openingen op een rij liggen
(verticaal en onder een hoek van +30° en -30° met de horizontaal). Zo’n rij fungeert
als een aantal spleten naast elkaar en geeft dus twee maxima (links en rechts van
het midden). In totaal dus zes maxima.
Als de snelheid van de elektronen lager is, is de debroglie-golflengte groter en liggen
de maxima verder uit elkaar.
De lagen grafiet liggen achter elkaar, maar zijn iets gedraaid. Als je het patroon van
figuur 70 draait dan krijg je twee cirkels.
14.5 GOLF-DEELTJE-DUALITEIT EN ONBEPAALDHEID
73
[W] Experiment: Golf-deeltje-dualiteit
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 11 van 23
74
Waar of niet waar?
a
b
c
d
Niet waar: Een waarschijnlijkheidsverdeling laat zien waar je een deeltje kunt
waarnemen.
Waar
Niet waar: Uit het interferentiepatroon van elektronen door een dubbelspleet kun je
de waarschijnlijkheid om op die plaats een deeltje te kunnen waarnemen afleiden.
Niet waar: Bij detectie van één deeltje overheerst het deeltjeskarakter.
75
a
b
c
76
De golf-deeltje-dualiteit betekent dat golf- en deeltjeskarakter zich niet tegelijk
kunnen manifesteren.
Als bij een dubbelspleet waargenomen kan worden door welke spleet elk deeltje
gaat, overheerst het deeltjeskarakter.
Als bij er een dubbelspleet een interferentiepatroon ontstaat, overheerst het
golfkarakter.
Onbepaaldheid van plaats is de verdeling in de kans om een bepaald deeltje op plaats 𝑥
tegen te komen en onbepaaldheid van impuls is de verdeling van de waarneembare
waarden van de impuls 𝑝 in die 𝑥 -richting.
77
a
b
Als de opening smaller wordt gemaakt, dan gaan alle elektronen door een kleinere
opening en wordt de onbepaaldheid in de plaats ∆𝑥 kleiner.
Als de onbepaaldheid in de plaats ∆𝑥 kleiner wordt, wordt neemt onbepaaldheid in
de impuls ∆𝑝 toe.
78
a
b
c
Zowel elektronen als fotonen gedragen zich hetzelfde bij een spleet dus je kunt aan
de verdeling niet zien of het om elektronen of fotonen gaat.
Bij meting van een enkel elektron of foton zal dit waargenomen worden op één
plaats, en zich niet verdelen volgens de grafiek.
Alleen bij een groot aantal elektronen wordt de waarschijnlijkheid van het aantreffen
van een deeltje op een bepaalde plaats duidelijk.
79
a
b
c
d
e
80
Op den duur is een verdeling te zien die de som is van de aparte verdelingen die
ontstaan als je de ene of de andere spleet afsluit (zie figuur 75C).
De opstelling verandert niet door het uitzetten van de camera, dus is het antwoord
hetzelfde als bij vraag a.
De opstelling verandert door het uitschakelen van de röntgenbron. Op den duur is
een interferentiepatroon te zien.
Deze röntgenfotonen hebben niet voldoende energie om het experiment te
beïnvloeden. Er ontstaat een interferentiepatroon.
Een combinatie van een interferentiepatroon en het patroon dat beschreven is bij
antwoord a.
Eigen antwoord van de leerling
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 12 van 23
81
Als de bundel elektronen door een kleine opening gaat is de onbepaaldheid van de positie
∆𝑥 van de elektronen heel erg klein. Om aan de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg te
blijven voldoen moet de onbepaaldheid in impuls ∆𝑝 dan erg groot worden en zal er dus
buiging ontstaan.
82
a
b
Als een enkel elektron helemaal bewegingsloos is, is zijn onbepaaldheid in impuls 0
en dan wordt niet meer voldaan aan de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.
Zodra de temperatuur van de groep atomen exact 0 K is, is de snelheid van de
atomen 0 en dan is de impuls 0. De impuls is dan exact bepaald en dus wordt er niet
meer voldaan aan de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.
83
a
b
c
d
Als het elektron tot stilstand is gekomen is zijn impuls (𝑚 ∙ 𝑣 ) exact bekend en dus is
de onbepaaldheid in impuls Δ𝑝 nul.
Als de onbepaaldheid in impuls Δ𝑝 vrijwel nul is moet de onbepaaldheid van plaats
Δ𝑥 heel erg groot zijn om te blijven voldoen aan de onbepaaldheidsrelatie van
Heisenberg.
Als het elektron tot stilstand komt in de kern is zowel zijn snelheid als zijn positie
exact bekend, dus zijn zowel de onbepaaldheid in impuls Δ𝑝 als de onbepaaldheid
van plaats Δ𝑥 vrijwel nul en dus wordt er niet voldaan aan de onbepaaldheidsrelatie
van Heisenberg.
De onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg is niet de oorzaak van het niet in elkaar
storten van het waterstofatoom, het is een wetmatigheid in de natuur die
ondersteund wordt door het feit dat er nog geen waterstofatoom is gevonden waar
het elektron zich in de kern bevindt.
84
a
De diameter van de kern heeft een ordegrootte van 10 -14 m, dus is de plaats van het
elektron (als het zich in de kern bevindt) binnen een afstand van 10 -14 m bekend.
b
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥
c
∆𝑝 = 𝑚e ∙ ∆𝑣  ∆𝑣 =
ℎ
4𝜋
 ∆𝑝
≥
ℎ
∙
1
=
6,626∙10−34
4𝜋 ∆𝑥
4𝜋
∆𝑝
5∙10−21
𝑚e
≥
9,109∙10−31
=
1
= 5 ∙ 10−21 kg ∙ m/s.
10−14
6 ∙ 109 m/s. De onzekerheid in de
∙
snelheid is al groter dan de lichtsnelheid, dus is de snelheid van het elektron groter
dan de lichtsnelheid.
85
a
b
P1 ontstaat als de onderste spleet wordt afgedekt en P 2 ontstaat als de bovenste
spleet wordt afgedekt.
De som van patroon P 1 en P2:
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 13 van 23
c
De helft van de elektronen zullen voor een interferentiepatroon zorgen en de andere
helft voor het bij b getekende patroon. Het resultaat is de som van beide patronen:
a
∆𝐸k = −∆𝐸el = −𝑞 · 𝑈 = 1,602 ∙ 10−19 ∙ 5,0 ∙ 103 = 8,01 ∙ 10−16 J.
86
1
Met ∆𝐸k = ∙ 𝑚e ∙ 𝑣 2 geeft dit 𝑣
2
2∙∆𝐸k
=√
𝑚e
2∙8,01∙10−16
=√
9,109∙10−31
= 4,2 ∙ 107 m/s.
b
𝑝 = 𝑚e ∙ 𝑣 = 9,109 ∙ 10−31 ∙ 4,2 ∙ 107 = 3,8 ∙ 10−23 kg ∙ m/s.
c
tan 𝛼 = =
𝑏
0,05
𝐿
0,30
= 0,167  𝛼 = 9,46°.
𝑝x = 𝑝 ∙ sin 𝛼 = 3,8 ∙ 10−23 ∙ sin 9,46 = 6 ∙ 10−24 kg ∙ m/s.
d
De elektronen met impuls 𝑝 komen in b terecht en de breedte b is de onbepaaldheid
van plaats Δ𝑥, dus is de onbepaaldheid in impuls Δ𝑝x in de 𝑥 -richting de component
van de impuls 𝑝 in x-richting en dat is 𝑝x.
e
∆𝑥 ∙ ∆𝑝x ≥
ℎ
4𝜋
 ∆𝑥
≥
ℎ
∙
1
4𝜋 ∆𝑝x
=
6,626∙10−34
4𝜋
∙
1
6∙10−24
= 8 ∙ 10−12 m.
87
Als je op een exact tijdstip de energie van een deeltje wilt bepalen, is ∆𝑡 heel klein, dus is
volgens de onbepaaldheidsrelatie ∆𝐸 heel groot en dat betekent dat de energie een grote
spreiding heeft in de tijd.
88
[W] Computersimulatie: Golven en golfpakket
89
[W] Heisenberg en de elektronenwolk
90
Oriëntatie:
Gebruik bij deze opgave steeds dat (halve) lengte van het golfpakket de onbepaaldheid
van plaats is en de onbepaaldheid in impuls evenredig is met de spreiding in golflengtes
van de samenstellende golven.
Uitwerking:
a
Het licht van de gaslaser heeft een heel kleine spreiding in de golflengte, dus is de
onbepaaldheid in impuls erg klein. Dat heeft tot gevolg dat de onbepaaldheid van
plaats groot is en dus zijn de golfpakketjes van het licht van een gaslaser relatief
lang.
b
Het licht van een ledlampje bestaat uit veel golflengtes, dus is de onbepaaldheid in
impuls groot en daarom zal de onbepaaldheid van plaats klein zijn. De golfpakketjes
van het licht van een ledlampje zijn dan relatief kort.
c
Een grote spreiding van de snelheden van de elektronen in de bundel betekent dat
de onbepaaldheid in impuls groot is. Dus is de onbepaaldheid van plaats klein en zijn
de lengtes van de golfpakketjes klein.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 14 van 23
d
91
Voor een elektron is de spreiding in golflengte de spreiding in snelheid van het
elektron.
Daar waar de stippels dicht op elkaar staan (waar het ‘zwarter’ is), is (het kwadraat van)
de amplitude van de waarschijnlijkheidsgolf groter.
92
a
b
c
Het elektron wordt door de kern uitgezonden en zal zich dus steeds verder van de
kern af bewegen.
Het elektron kan zich vanuit de kern in alle richtingen verplaatsen en de totale
verplaatsing is dus altijd een combinatie van een verplaatsing in 𝑥-, 𝑦- en 𝑧-richting.
De bolvormige waarschijnlijkheidsverdeling krijgt, naarmate de tijd verstrijkt, een
steeds grotere oppervlakte, hierdoor zal de amplitude van de golfpakketjes afnemen.
14.6 OPGESLOTEN DEELTJES
93
[W] Atomen en ionisatie-energie
94
Waar of niet waar?
a
Waar
b
Niet waar: Een elektronenwolk geeft de waarschijnlijkheidsverdeling aan van de kans
om het elektron ergens in de wolk aan te treffen.
c
Waar
d
Niet waar: Een proton in een kern heeft een kleinere debroglie-golflengte dan een
elektron in een atoom.
e
Niet waar: Bij lange moleculen is de waarschijnlijkheidsverdeling van elektronen niet
meer te benaderen met een ééndimensionaal model.
f
Waar
g
Niet waar: De waarschijnlijkheidsverdeling kan alleen positieve waarden hebben.
95
De som van alle kansen om het deeltje aan te treffen moet wel 1 (= 100%) zijn, want het
deeltje moet ergens zijn.
96
De waarschijnlijkheidsverdeling geeft de waarschijnlijkheid aan om dat ene elektron op
een bepaalde plaats aan te treffen. Het patroon geeft dus voor elk ruimtelijk punt aan hoe
vaak daar het elektron gedetecteerd zou worden als er heel veel metingen gedaan zouden
worden.
97
a
b
c
Eigen antwoord van de leerling
Pas na het treffen is duidelijk waar het elektron is, en kan het ook niet meer ergens
anders zijn. Dat is dus een heel andere situatie dan voor het treffen, wanneer het
elektron nog overal kan zijn.
De quantummechanica beschrijft de situatie vóór het treffen.
98
a
Voorbeelden van deeltjes die gebonden zijn aan een kleine ruimte zijn een proton in
een kern en een elektron in een atoom.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 15 van 23
b
c
99
Als de stralingskromme spectraallijnen vertoont is de ruimte klein voor een deeltje, bij
een continu spectrum is de ruimte groot voor een deeltje.
Een kern is veel kleiner dan een atoom, dus is de debroglie-golflengte van een
neutron in een kern kleiner dan van een elektron in een atoom.
Door de kleinere afmetingen van losse atomen is de debroglie-golflengte van een elektron
in een los atoom veel kleiner dan in een lang kleurstofmolecuul. Dus is de energiesprong
van de grondtoestand naar de eerste en volgende aangeslagen toestanden in het
kleurstofmolecuul kleiner. De kleurstofmoleculen kunnen daardoor (een deel van)
zichtbaar licht absorberen en ook weer uitzenden.
100
a
b
c
d
Voor de elektronen in het waterstofmolecuul is het doosje groter dan voor het
elektron in een waterstofatoom.
Als het doosje groter is voor de elektronen in het waterstofmolecuul, is de debrogliegolflengte ook groter en dus is de energie van de elektronen in het waterstofgas
kleiner dan voor het elektron in een waterstofatoom.
In het absorptiespectrum van waterstofgas bevinden de spectraallijnen zich bij
kleinere golflengtes dan in het absorptiespectrum van losse waterstofatomen.
Bij het splitsen neemt de debroglie-golflengte van de elektronen af en dus neemt de
energie van de elektronen toe.
101 Eigen antwoord van de leerling
102
a
b
c
Alle kleuren bij elkaar geven wit licht, dus als een deel van het licht wordt
geabsorbeerd, zullen de overgebleven kleuren samen geen wit licht meer geven.
Het gereflecteerde licht zal daardoor een bepaalde kleur hebben.
De geabsorbeerde golflengte is gemiddeld 410 nm. Er is dus licht geabsorbeerd in
het golflengtegebied rondom de 410 nm, dat is blauw/violet licht. Als we dit weglaten
uit het spectrum, zal het gereflecteerde licht geel zijn.
Als je door een spectroscoop naar het gereflecteerde licht kijkt zie je een continu
spectrum met groen, geel en rood licht.
103 De waarschijnlijkheidsverdeling heeft in elk punt van de ruimte op elk moment de waarde
van het kwadraat van de golffunctie en een kwadraat is nooit negatief.
104
a
De ruimte voor de elektronen wordt 3 keer zo groot.
b
Voor de energie van quantumtoestand 𝑛 geldt: 𝐸n
=
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ 𝑛 2 , dus als de ruimte 𝐿
3 keer zo groot wordt, wordt de energie van elke quantumtoestand 9 keer zo klein.
De orde van grootte van de ionisatie-energie van een molecuul CO2 is dan 1 eV.
c
𝑐
𝐸f = 1,6 ∙ 10−19 ∙ 1 = 1,6 ∙ 10−19 J en 𝐸f = ℎ ∙ 
𝜆=ℎ∙
𝑐
𝐸f
−34
= 6,6 ∙ 10
∙
3,0∙108
1,6∙10−19
𝜆
−6
= 1,2 ∙ 10
m. Voor ionisatie is dus een
golflengte van 1∙10-6 m nodig. Als een aangeslagen koolstofdioxide-molecuul licht
uitzendt zal de golflengte groter zijn dan de golflengte die hoort bij ionisatie, dus de
orde van grootte van de te verwachten uitgezonden golflengtes is 10 -5 m (infrarood).
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 16 van 23
d
Het koolstofdioxide-molecuul absorbeert golflengtes in het infrarode gebied (zie
onderdeel c). Stikstof- en zuurstofmoleculen hebben een veel hogere ionisatieenergie, dus zullen deze moleculen veel kleinere golflengtes absorberen (en dus
geen infrarode straling).
a
De debroglie-golflengte van deze elektronen is 𝜆
105
−6
10
=
ℎ
𝑚∙𝑣
=
6,6∙10−34
9,1∙10−31 ∙103
=
m. Dit is veel kleiner dan de afmetingen van een spijker, dus zullen er geen
waarneembare quantumverschijnselen optreden.
Het is een continu spectrum.
b
106 Oriëntatie:
De fotonenergie van het licht dat hoort bij de overgang van de eerste aangeslagen
toestand naar de grondtoestand is te berekenen met 𝐸2 − 𝐸1 waarbij 𝐸n
=
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ 𝑛 2.
Deze energie is gelijk aan 10 eV.
Uitwerking:
𝐸f = 𝐸2 − 𝐸1 =
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ (22 − 12 ) =
3∙(6,626∙10−34 )2
√
8∙9,109∙10−31 ∙(10∙1,602∙10−19 )
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
𝐿
3∙ℎ 2
=√
8∙𝑚∙(𝐸f )
=
= 3,4 ∙ 10−10 m.
107 In het doosjes kunnen 𝑁 = 8 elektronen vrij bewegen, maar niet onafhankelijk van elkaar.
De eerste 4 niveau’s zijn ‘bezet’ volgens de aanvullende regel van het meerdere deeltjes
in een doosje model. Er kan wel een elektron van niveau 4 naar niveau 5 ‘springen’, dat in
de grondtoestand van het molecuul ‘onbezet’ is. We kunnen de energie die het foton dan
moet absorberen berekenen met 𝐸f
= 𝐸5 − 𝐸4 =
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ (52 − 42 ) =
De golflengte is dan
𝜆=
ℎ∙𝑐
𝐸f
=
ℎ∙𝑐
(
9∙ℎ2
)
8∙𝑚∙𝐿2
=
8∙𝑐∙𝑚∙𝐿2
9∙ℎ
=
8∙2,998∙108 ∙9,109∙10−31 ∙(1,2∙10−9 )
9∙6,626∙10−34
9∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
.
2
= 5,3 ∙ 10−7 m.
Dat komt ongeveer overeen met 540 nm.
108
a
𝐿=√
3∙ℎ∙𝜆
8∙𝑚∙𝑐
b
c
ℎ2
𝐸f = 𝐸2 − 𝐸1 =
8∙𝑚∙𝐿2
∙ (22 − 12 ) =
3∙6,626∙10−34 ∙550∙10−9
=√
8∙9,109∙10−31 ∙2,998∙108
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
en 𝐸f
=
ℎ∙𝑐
𝜆
geeft
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
=
ℎ∙𝑐
𝜆

= 7,1 ∙ 10−10 m.
Als de lengte 𝐿 van het doosje twee keer zo klein is, dan is de energie 𝐸n van elke
quantumtoestand vier keer zo groot en dus is ook het energieverschil tussen de
grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand vier keer zo groot.
Als de energie van het geabsorbeerde foton vier keer zo groot is zal de golflengte
vier keer zo klein zijn. De golflengte wordt dan 138 nm en dat valt buiten het
zichtbare gebied (ultraviolet).
109
a
De energie van een fotonen met een golflengte van 600 nm of kleiner is minimaal:
𝐸f =
ℎ∙𝑐
𝜆
=
6,626∙10−34 ∙2,998∙108
© ThiemeMeulenhoff bv
600∙10−9
= 3,3 ∙ 10−19 J.
CONCEPT
Pagina 17 van 23
b
In de goudbolletjes springen de vrije elektronen van de grondtoestand naar de eerste
aangeslagen toestand volgens 𝐸f
= 𝐸2 − 𝐸1 =
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ (22 − 12 ) =
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
. Voor
een minimale energie geldt dus dat er een maximale afmeting L en dus een
maximale diameter is.
c
De energie van het foton is te berekenen met 𝐸f
𝜆=
ℎ∙𝑐
𝐸f
=
ℎ∙𝑐
(
3∙ℎ2
)
8∙𝑚∙𝐿2
=
8∙𝑐∙𝑚∙𝐿2
3∙ℎ
=
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
en de golflengte volgt uit
.
Voor bolletjes met diameter 0,60 nm is de golflengte van het geabsorbeerde licht:
𝜆=
8∙2,998∙108 ∙9,109∙10−31 ∙(0,60∙10−9 )
2
3∙6,626∙10−34
= 4,0 ∙ 10−7 m
en voor bolletjes met diameter 0,75 nm is dat: 𝜆
8∙2,998∙108 ∙9,109∙10−31 ∙(0,75∙10−9 )
3∙6,626∙10−34
=
2
= 6,2 ∙ 10−7 m.
De geabsorbeerde kleuren zijn dus alle kleuren behalve rood.
110 [W] Quantumdots
111
a
b
De dikte is de kleinste afmeting waarbinnen een waarschijnlijkheidsgolf past.
De minimale frequentie ontstaat bij de kleinste energieovergang:
𝐸f = 𝐸2 − 𝐸1 =
𝑓=
𝐸f
ℎ
=
3∙ℎ
8∙𝑚∙𝐿2
ℎ2
(22 − 12 ) =
2 ∙
8∙𝑚∙𝐿
=
3∙6,626∙10−34
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐿2
8∙9,109∙10−31 ∙(1,0∙10−9 )2

= 2,7 ∙ 1014 Hz.
14.7 TUNNELING
112 Waar of niet waar?
a
Waar
b
Niet waar: Bij tunneling gaat een deeltje door een energiebarrière heen.
c
Waar
d
Waar
e
Niet waar: Radioactief verval is niet afhankelijk van temperatuur.
f
Niet waar: Bij een STM-microscoop wordt een oppervlak afgetast met een zeer
dunne naald die op atomaire afstand langs het oppervlak beweegt.
113
a
b
c
d
Elke keer dat een alfadeeltje wordt uitgezonden heeft er tunneling plaatsgevonden.
Als een stof een grote halveringstijd heeft is de activiteit laag en dus worden er per
seconde weinig alfadeeltjes uitgezonden. De kans op tunneling is dus kleiner bij een
grotere halveringstijd.
De sterke kernkracht is erg groot zolang het alfadeeltje zich in de kern bevindt, dus is
de energiebarrière hoog. Zodra het alfadeeltje buiten de kern is werkt deze kracht
niet meer en dat betekent dat de energiebarrière smal is.
De energiebarrière begint als een hoge piek bij 1. Buiten de kern neemt
aantrekkende sterke kernkracht sneller af dan de afstotende elektrische kracht zodat
de energiebarrière steeds lager wordt naarmate het deeltje verder van de kern af
komt.
Op grote afstand buiten het atoom beweegt de golffunctie zich rondom de 9 MeV.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 18 van 23
e
Het alfadeeltje is niet een apart deeltje binnen de kern. In de kern zitten immers
protonen en neutronen door elkaar. Pas zodra een combinatie van twee protonen en
twee neutronen de kern heeft verlaten kun je spreken van een alfadeeltje.
a
De oppervlaktespanning houdt de watermoleculen in de vloeibare toestand. Een
watermolecuul moet deze barrière doorbreken om in de dampfase te kunnen komen.
Moleculen met een te lage snelheid hebben niet genoeg bewegingsenergie om door
de energiebarrière heen te kunnen breken.
Als de temperatuur stijgt neemt de gemiddelde bewegingsenergie van alle moleculen
toe, dus hebben er meer moleculen voldoende energie om door de energiebarrière
heen te breken.
Nee, deze kans is niet te berekenen met de debroglie-golflengte, daar zijn de
afmetingen van de waterbak te groot voor.
114
b
c
d
115
a
b
c
d
e
De naald beweegt zich vlak langs de atomen van het oppervlak. De
waarschijnlijkheidsverdeling van de elektronen in het te scannen oppervlak bevindt
zich net buiten het oppervlak, daar waar de naald zich bevindt, en dat maakt het
mogelijk voor de elektronen om naar de naald te tunnelen.
Als de afstand tussen de naald en het oppervlak toeneemt wordt de kans op
tunneling kleiner.
Als de afstand tussen de naald en het oppervlak toeneemt wordt de sterkte van de
tunnelstroom kleiner.
Als de sterkte van de gemeten tunnelstroom kleiner wordt laat de STM de naald iets
zakken. Door voortdurend de hoogte 𝑧 en de (𝑥, 𝑦-positie) te meten is zo de
‘hoogtekaart’ van het oppervlak te maken.
Die beeldspraak klopt wel aardig, bij het lezen van braille wordt ook het oppervlak
afgetast naar hoogteverschillen.
116 Eigen antwoord van de leerling
117
a
b
Bij een STM wordt de breedte van de energiebarrière aangepast door de afstand
tussen de naald en het oppervlak aan te passen.
Bij een STM wordt de hoogte van de energiebarrière aangepast door de elektrische
spanning tussen de naald en het oppervlak aan te passen.
118 De halveringstijd van radium is kleiner dan van uranium, dus is de kans op tunneling groter
bij radium. De kans op tunneling is groter als de energiebarrière lager en/of smaller is dan
bij uranium.
119 De temperatuur van de zon is te laag dus de kinetische energie van de protonen is niet
groot genoeg om elkaar dicht genoeg te kunnen naderen. De enige manier waarop de
protonen elkaar dan toch dicht genoeg kunnen naderen is door te tunnelen.
120
a
De drie grootheden die de kans op tunneling bepalen zijn de hoogte van de
energiebarrière, de breedte van de energiebarrière en de massa van het deeltje.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 19 van 23
b
c
d
Bij een grotere drukkracht wordt de energiebarrière smaller waardoor de kans op
tunneling toeneemt. Het materiaal gaat dan beter geleiden en de weerstand neemt
af.
Tunneling hangt niet af van de temperatuur dus zal de weerstand ook niet afhangen
van de temperatuur.
Als de temperatuur toeneemt zet het isolerende materiaal uit. De metaalkorreltjes
komen daardoor verder van elkaar te liggen en de kans op tunneling neemt af
waardoor de weerstand toeneemt.
121
a
In die oude buizen werd de (bewegings)energie van de uittredende elektronen niet
verhoogd. De zeer hoge spanning tussen de kathode en de anode zorgde ervoor dat
de energiebarrière verlaagd werd zodat de elektronen toch uit het metaaloppervlak
van de kathode konden tunnelen.
b
c
122
a
b
c
d
Het luchtlaagje tussen de twee prisma’s is een energiebarrière voor de fotonen die
ervoor zorgt dat de fotonen weerkaatsen tegen de rand van het prisma.
Als de twee prisma’s tegen elkaar worden gedrukt, wordt het luchtlaagje kleiner en
zullen meer fotonen naar het andere prisma tunnelen. Lichtbundel 2 zal sterker
worden en lichtbundel 3 zwakker.
De frequentie van blauw laserlicht is hoger en de fotonen bevatten meer energie. De
energiebarrière zal breder gemaakt moeten worden om te voorkomen dat er teveel
fotonen naar het andere prisma tunnelen, dus is de dikte van de luchtlaag tussen de
prisma’s bij deze beamsplitter groter.
De fotonen van de rode laserbundel bevatten minder energie, zodat de
energiebarrière te hoog is voor deze fotonen. Dus als op de beamsplitter voor blauw
licht een rode laserbundel wordt gericht zullen meer fotonen weerkaatst worden:
lichtbundel 3 is sterker en lichtbundel 2 zwakker.
14.8 AFSLUITING
123 Eigen antwoord van de leerling
124
a
De fotonenergie hangt af van de golflengte en de frequentie van de fotonen.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 20 van 23
b
c
d
e
f
g
h
i
j
De kinetische energie van een materiedeeltje hangt af van de snelheid en de massa
van het deeltje.
In het atoommodel kunnen elektronen alleen om de kern draaien in bepaalde banen
met bijbehorende energieniveaus. Het elektron is een soort staande golf, met
debroglie-golflengte, op de omtrek van de ‘bohrse baan’.
Bij het dubbelspleetexperiment met elektronen treden buiging en interferentie op in
de vorm van een waarschijnlijkheidsverdeling van waarneembare posities.
Als bij een dubbelspleet de afstand tussen de spleten kleiner wordt, wordt het
interferentiepatroon breder.
Twee voorbeelden waarin zich het deeltjeskarakter van elektronen manifesteert zijn
het afbuigen van een elektronenbundel in een elektrisch of een magnetisch veld.
Twee voorbeelden waarin zich het deeltjeskarakter van licht manifesteert zijn het
foto-elektrisch effect en het ‘aanslaan’ van atomen na absorptie van fotonen met een
bepaalde energie.
Met behulp van het foto-elektrisch effect is de kinetische energie van de vrijgekomen
elektronen te bepalen door de tegenspanning te meten die nodig is om de elektronen
af te remmen tot er net geen enkel elektron meer de negatieve elektrode bereikt. De
energie van de fotonen is vervolgens te berekenen door de kinetische energie en de
uittree-energie bij elkaar op te tellen.
Bij botsingen blijven de totale energie en de totale impuls van de deeltjes behouden.
De energie van een foton bereken je met 𝐸f = ℎ ∙ 𝑓 en de impuls van een foton
ℎ
bereken je met 𝑝 = . Hierin is 𝐸f de fotonenergie (in J), ℎ de constante van Planck
𝜆
(6,626∙10-34 J∙s), 𝑓 de frequentie (in Hz, 𝑝 de impuls (in kg∙m/s) en 𝜆 de golflengte (in
m).
k
l
m
n
o
p
De debroglie-golflengte van materiedeeltjes bereken je met 𝜆
ℎ
= (met 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣).
𝑝
Hierin is 𝜆 de golflengte (in m), ℎ de constante van Planck, 𝑝 de impuls (in kg∙m/s),
𝑚 de massa (in kg) en 𝑣 de snelheid (in m/s).
Beeldvorming door een lens is een golfverschijnsel waardoor elk punt van het
voorwerp altijd wordt afgebeeld als een klein vlekje. Elektronen hebben een
debroglie-golflengte die kleiner is dan de golflengte van zichtbaar licht. Hierdoor zijn
de vlekjes kleiner en zullen ze minder snel overlappen zodat er bij een
elektronenmicroscooop kleinere details zijn te onderscheiden dan bij een
lichtmicroscoop.
Nee, een waarschijnlijkheid kan niet negatief zijn.
De amplitude op een bepaald punt van een staande debroglie-golf van een deeltje is
evenredig met de waarschijnlijkheid het deeltje op dat punt waar te kunnen nemen.
De onbepaaldheid van plaats is de spreiding in de waarschijnlijkheidsverdeling van
de plaats 𝑥 en de onbepaaldheid van impuls is de spreiding van de waarneembare
waarden van de impuls 𝑝 in die 𝑥 -richting.
De formule die de relatie tussen de minimale onbepaaldheid van plaats en de
minimale onbepaaldheid van impuls van een deeltje beschrijft luidt: ∆𝑝 ∙ ∆𝑥
q
≥
ℎ
4𝜋
.
Hierin is ∆𝑥 de onbepaaldheid van plaats (in m), ∆𝑝 de onbepaaldheid in impuls (in
kg∙m/s) van de elektronen en ℎ de constante van Planck.
Een waarschijnlijkheidsverdeling geeft aan hoe groot de kans is om op een bepaalde
plaats een deeltje te detecteren.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 21 van 23
r
s
t
u
v
w
x
y
z
Bij de energie die een elektron binnen een atoom kan hebben, overheerst het
golfkarakter en is de onbepaaldheid van plaats vaak groter dan de diameter van het
atoom. Je kunt bij een elektron dat gebonden is aan een atoom dus niet spreken van
de positie van het elektron op een bepaald moment, maar wel van een
waarschijnlijkheidsverdeling die voor elk ruimtelijk punt aangeeft hoe vaak daar een
elektron gedetecteerd zou worden als er heel veel metingen gedaan zouden worden.
De nulpuntsenergie is de energie die hoort bij de baan van het elektron waarbij de
omtrek precies gelijk is aan één debroglie-golflengte. Dit is de laagste energie van
het elektron.
Als het elektron helemaal vrij is op grote afstand van de kern en zonder snelheid, is
de energie 0 volgens de algemeen geldende afspraak. Omdat er energie moet
worden toegevoerd om het gebonden elektron los te maken uit het atoom heeft dit tot
gevolg dat de nulpuntsenergie van een gebonden elektron negatief is.
In het oude atoommodel van Bohr bevindt het elektron zich op een vaste afstand van
de kern in plaats van in een waarschijnlijkheidsverdeling, die ook wel elektronenwolk
wordt genoemd.
Bij buiging na een spleet zijn de plaats 𝑥 en de impuls 𝑝 in die 𝑥 -richting twee
grootheden die volgens de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg niet tegelijkertijd
exact bepaald kunnen worden. In of net na de opening is de onbepaaldheid in de
plaats ∆𝑥 niet groter dan de breedte van de opening. Bij het nauwer maken van de
spleet zal de onbepaaldheid van de plaats ∆𝑥 steeds kleiner worden en dus wordt de
onbepaaldheid van impuls ∆𝑝 steeds groter waardoor er meer buiging optreedt.
Als de energiebarrière hoger of breder is, is de kans op tunneling kleiner
Een toevalsproces waarbij tunneling een rol speelt is het alfaverval van een atoom.
Hoe kleiner de afmetingen van het doosje, des te kleiner is de maximale debrogliegolflengte en des te groter zijn de impuls en de energie van het deeltje.
Er zijn quantumverschijnselen te verwachten bij vrije elektronen in een metaal als de
afmetingen van het metaal zeer klein zijn.
125
a
b
B
A
a
Er wordt 30 J uitgezonden in 2,5 ms, dus het vermogen van een puls is
126
𝑃=
b
𝐸
𝑡
=
30
0,0025
= 1,2 ∙ 104 W = 12 kW.
De energie van één foton is 𝐸f
=
ℎ∙𝑐
𝜆
=
Het aantal fotonen van een puls is dus
c
ℎ
De impuls van één foton is 𝑝
= =
𝜆
6,626∙10−34 ∙2,998∙108
30
1064∙10−9
1,867∙10−19
6,626∙10−34
1064∙10−9
= 1,867 ∙ 10−19 J.
= 1,6 ∙ 1020.
= 6,23 ∙ 10−28 kg ∙ m/s
dus is de totale impuls van een enkele puls infraroodstraling
1,6 ∙ 1020 ∙ 6,23 ∙ 10−28 = 1,0 ∙ 10−7 kg ∙ m/s.
d
𝐹 ∙ ∆𝑡 = 𝑚 ∙ ∆𝑣  𝐹 =
a
𝐸f =
𝑚∙∆𝑣
∆𝑡
=
∆𝑝
∆𝑡
=
1,0∙10−7
0,0025
= 4,0 ∙ 10−5 N.
127
ℎ∙𝑐
𝜆
=
6,6∙10−34 ∙3,0∙108
10−7
= 2 ∙ 10−18 J = 12 eV dus het energieniveau van de
eerste aangeslagen toestand ligt rond de 10 eV boven het niveau van de
grondtoestand.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 22 van 23
b
ℎ2
𝐸f = 𝐸2 − 𝐸1 =
8∙9,1∙10−31 ∙(10∙1,6∙10−19 )
c
𝐿
=√
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐸f
=
= 3 ∙ 10−10 m.
De orde van grootte van een dergelijk atoom is dus 10 -10 m.
De massa van een proton of neutron is 1,7∙10 -27 kg dus
𝐿=√
3∙ℎ 2
8∙𝑚∙𝐸f
d
8∙𝑚∙𝐿2
8∙𝑚∙𝐿
3∙(6,6∙10−34 )2
√
3∙ℎ 2
(22 − 12 ) =
2 ∙
3∙(6,6∙10−34 )2
=√
8∙1,67∙10−27 ∙(1∙106 ∙1,6∙10−19 )
= 2 ∙ 10−14 m.
De orde van grootte van een atoomkern is dus 10-14 m.
Naarmate het systeem groter is kunnen de elektronen zich over een grotere afstand
bewegen, dus is de lengte 𝐿 van het doosje groter. Bij een grotere lengte van het
doosje is de energie van elke quantumtoestand groter (want 𝐸f
1
∝ 2 ) en dus is ook
𝐿
de afstand tussen de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand groter.
128
𝐸f = 𝐸2 − 𝐸1 =
ℎ2
(22 − 12 ) =
2 ∙
8∙𝑚∙𝐿
3∙ℎ 2
2 =
8∙𝑚∙𝐿
3∙(6,626∙10−34 )
2
8∙1,675∙10−27 ∙(10−14 )2
=
9,8 ∙ 10−13 J = 6,1 MeV. Volgens Binas tabel 19B is dat een gammafoton.
129
a
b
c
De linkertekening is een plaatje van een staande debroglie-golf. Het is een
momentopname, enige tijd later kan een berg een dal zijn geworden en andersom.
Daar waar een buik zit is de amplitude van de golf het grootst en is ook de
waarschijnlijkheid om het deeltje daar aan te treffen het grootst.
De golf in de rechtertekening is het kwadraat van de golffunctie in de linkertekening
en geeft de waarschijnlijkheidsverdeling weer in elk punt van de ruimte om het
deeltje daar aan te treffen. Door het kwadraat heeft deze functie geen negatieve
waarden.
Het energieniveau van elke quantumtoestand is te berekenen met 𝐸n
Daaruit volgt dat 𝐸1
d
e
f
g
h
=
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
, 𝐸2
=
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ 4 = 4𝐸1 en 𝐸3 =
=
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
ℎ2
8∙𝑚∙𝐿2
∙ 𝑛2.
∙ 9 = 9𝐸1 .
Opmeten van de lijnen geeft dat 𝐸1 op 3,6 mm hoogte zit, 𝐸2 op 14,5 mm en 𝐸3 op 33
mm dus dat is inderdaad ongeveer juist aangegeven.
De waarschijnlijkheidsgolven zijn 0 bij de wanden en lopen niet ‘door de wanden
heen’.
De waarschijnlijkheidsgolven zijn niet 0 bij de randen maar lopen ‘door de wanden
heen’ en hebben ook naast het doosje nog een waarde ongelijk aan 0.
De lengte L van het doosje is eigenlijk wat breder en dat betekent dat de energieën
van dezelfde deeltjes kleiner zijn.
In de aangeslagen toestand zit er een extra bult in de waarschijnlijkheidsgolf.
Daardoor is het verloop van de waarschijnlijkheidsgolf veel steiler en dus bevindt een
groter deel van de waarschijnlijkheidsgolf zich buiten het doosje.
De waarschijnlijkheidsgolf bevindt zich in het rechterdoosje ook deels buiten het
doosje dus daar is sprake van tunneling.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 23 van 23